RAPPORTI E PROPORZIONI PROPORZIONALITA’ DIRETTA ED INVERSA MENU GENERALE.

• RAPPORTI E PROPORZIONI• PROPORZIONALITA’ DIRETTA ED INVERSA

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• Proprietà delle proporzioni

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Dal rapporto alla proporzioneDati due numeri a e b, con b≠0, si chiama rapporto fra i due numeri il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo, cioè a : b.

Si chiama invece, rapporto inverso il quoziente ottenuto dividendo il secondo per il primo, cioè b : a.

Tale numero sarà un numero razionale esprimibile sotto forma di frazione.

Esempi di rapporti

Rapporto fra numeri: è il numero che si ottiene dividendo il primo numero per il secondo.

Rapporto tra grandezze omogenee: è il numero che si ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda (o la misura della prima grandezza rispetto alla seconda).

Rapporto fra grandezze eterogenee: è la grandezza che si ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda

(2 : 5 = 0,4)

(15kg : 3kg = 5kg)

(40m : 5s = 8m/s)


In un rapporto, il dividendo viene detto antecedente e il divisore conseguente.

L’uguaglianza di due rapporti è una proporzione:

a : b = c : d

Tale uguaglianza si legge in questo modo: “Il rapporto fra a e b è uguale al rapporto fra c e d” oppure: “a sta a b come c sta a d”.

I numeri che compaiono nella proporzione vengono detti termini della proporzione. In particolare il primo e il quarto vengono detti estremi, il secondo e il terzo medi.

Una proporzione si dice continua se i medi sono uguali

Esempio: 36 : 12 = 12 : 4

In generale la forma di una proporzione continua è la seguente:

a : b = b : c

In una proporzione continua b viene detto medio proporzionaleMENU PROPORZIONIMENU GENERALE

La proprietà fondamentale

In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

SE a : b = c : d ALLORA b x c = a x d

25

2:

20

3

5

2:4

3

Esempi

7 : 2 = 21 : 6 → 2 x 21 = 7 x 6 = 42

25

2

4

3

100

6

20

3

5

2 →

Grazie alla proprietà fondamentale possiamo quindi verificare se quattro numeri, in un dato ordine, formano una proporzione.

Adesso andremo a vedere come, sfruttando la proprietà fondamentale, è possibile calcolare un termine incognito conoscendo gli altri termini della proporzione.


Poniamoci una domanda su un problema abbastanza semplice: se un operaio percepisce 900€ in un mese quanti euro percepirà in due mesi e mezzo?

In questo caso, basterà moltiplicare 900 per 2,5 e otterremo il risultato. Ma se pensiamo il problema in termini di rapporti tra i termini numerici che vi compaiono, potremmo andare a scrivere la seguente proporzione:

900 : 1 = x : 2,5

Se applichiamo la proprietà fondamentale otteniamo:

1 ∙ x = 900 ∙ 2,5

Il termine incognito a questo punto sarà dato proprio dal prodotto tra i termini numerici dati.

Quindi attraverso la proprietà fondamentale possiamo calcolare il valore dell’incognita tenendo conto ogni volta della posizione che essa occupa all’interno della proporzione. In particolare:


Se il termine incognito è un estremo, esso si calcola dividendo il prodotto dei medi per l’estremo noto.

Se il termine incognito è un medio, esso si calcola dividendo il prodotto degli estremi per il medio noto.

Se la proporzione è continua e il termine incognito è un medio allora esso sarà dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi; se il termine incognito invece sarà un estremo lo si otterrà dividendo il quadrato del medio per l’altro estremo.

Esempi

x : 3 = 4 : 9 Per la proprietà fondamentale 3 ∙ 4 = x ∙ 9 e quindi 3

4

9

12

9

43

x

Esempi

5 : x = 15 : 7 → 3

7

15

35

15

75

x

SE a : b = b : c ALLORA b ∙ b = a ∙ c.

Cioè b2 = a ∙ c. Dunque e mentrecab c

ba

2

a

bc

2

Esempi 3 : x = x : 12 →

636123 xMENU PROPORZIONIMENU GENERALE

Proprietà delle proporzioniLe proporzioni godono di interessanti e utilissime proprietà che ne fanno uno strumento molto potente nella risoluzione di problemi riguardanti i più diversi ambiti. Riuscire ad applicare nella maniera corretta tali proprietà è fondamentale nella risoluzione di tali problemi.

Vediamole tutte quante.

PROPRIETA’ DELL’INVERTIRE

Data la proporzione a : b = c : d, poiché, se due rapporti sono uguali, lo sono anche i loro inversi, si può scambiare di ogni posto ogni antecedente col proprio conseguente, e la proporzione resta valida.

SE a : b = c : d ALLORA b : a = d : c

Esempi

6 : 3 = 24 : 12 diventa 3 : 6 = 12 : 24

9 : 2 = 45 : 10 diventa 2 : 9 = 10 . 45MENU PROPORZIONI

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PROPRIETA’ DEL PERMUTARE

In ogni proporzione, poiché il prodotto dei medi è eguale al prodotto degli estremi e il prodotto è commutativo, è possibile scambiare di posto i medi fra loro e/o gli estremi fra loro, e la proporzione resta valida.

SE a : b = c : d ALLORA

acbd

dbca

::

::

Esempio

4 : 6 = 20 : 30

permutando i medi 4 : 20 = 6 : 30

permutando gli estremi 30 : 6 = 20 : 4

Se in una proporzione i medi e gli estremi vengono permutati simultaneamente si ottiene un risultato “banale” cioè la proporzione scritta a rovescio.

Esempio 7 : 5 = 21 : 15 diventa 15 : 21 = 5 : 7 MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

PROPRIETA’ DEL COMPORRE

In una proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto).

a : b = c : d → (a + b) : a = (c + d) : c oppure (a + b) : b = (c + d) : d

Esempi

4 : 7 = 12 : 21

Applicando la proprietà del comporre otteniamo:

(4 + 7) : 4 = (12 + 21) : 12 cioè 11 : 4 = 33 : 12

Quella che abbiamo ottenuto è una nuova proporzione. Infatti:

4 ∙ 33 = 11 ∙ 12 = 132.


PROPRIETA’ DELLO SCOMPORRE

La differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).

Data la proporzione : a : b = c : d,

se a > b e c > d si ha che (a – b) : a = (c – d) : c oppure

(a – b) : b = (c – d) : d;

se, invece, a < b e c < d, prima di eseguire le sottrazioni si dovrà applicare ai termini della proporzione la proprietà dell’invertire.

Esempio

7 : 2 = 28 : 8

Applichiamo la proprietà dello scomporre:

(7 – 2) : 2 = (28 – 8) : 8 cioè 5 : 2 = 20 : 8

Si è ottenuta una nuova proporzione. Infatti 2 ∙ 20 = 5 ∙ 8 = 40


Le proprietà del comporre e dello scomporre si rivelano utilissime quando si tratta di risolvere problemi del tipo “somma-rapporto” e del tipo “differenza-rapporto”.

Esempio

Il rapporto fra due numeri è 2/5 e la loro somma è uguale a 40. Determinare i due numeri.

x + y =40 x :y = 2 : 5

Applicando la proprietà del comporre otteniamo:

(x + y) : x = (2 + 5) : 2

40 : x = 7 : 2

7

80

7

240 x 7

200

7

80280

7

8040

y

Determina due numeri la cui differenza è pari a 22 e il cui rapporto è uguale a 3/2. (devi applicare la proprietà dello scomporre)

Esercizio


Esercizi

53

x

74

xx

2

9

1) Trova quali dei seguenti rapporti sono equivalenti a 21/9:

3/7; 7/3; 25/13; 210/90; 49/21

2) Calcola il valore di x

3) Calcola il, termine incognito

4) Trova due numeri sapendo che la loro somma è 45 e il loro rapporto 4/5

5) Nell’anidride solforica il rapporto fra le masse di zolfo e di ossigeno è 2/3. Quanti grammi di zolfo sono contenuti in 250g di anidride solforica?

6) Se Mario e Carlo hanno in tutto 240 figurine e Carlo ne possiede i 3/5 di quelle di Mario, quante ne ha ciascuno?

543 ::x x::x 94 82 :xx: 25

4

25

216 :x:


Grandezze direttamente ed inversamente proporzionali

Prima di analizzare nei dettagli l’argomento riguardante la proporzionalità diretta e inversa fra grandezze, è opportuno ritornare brevemente su un concetto tipicamente matematico che trova largo uso nelle scienze sperimentali: quello di funzione.

Si considerino due grandezze qualsiasi che per comodità indichiamo con x e y. Spesso si verifica (soprattutto in fisica) che scelte le due grandezze in modo opportuno, al variare della prima (la x) anche la seconda (la y) subisca variazioni. Se poi la legge è tale che ad ogni valore assunto dalla x, è possibili associare uno ed un solo valore della y diremo allora che y è funzione di x.

Denoteremo questa condizione con la scrittura

y = f(x)

nella quale la grandezza x viene detta variabile indipendente mentre la grandezza y variabile dipendente nel senso che i valori assunti da questa dipendono da quelli assegnati alla x.


Consideriamo ora un’esperienza nella quale vengono pesati blocchetti di ferro di volume assegnato e rispettivamente uguale a 1, 2, 3, 4, 5, 6 cm3.

La tabella che segue mostra i valori del peso al variare del volume.

Volume (cm3) 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Peso (g) 7.8 15.6 23.4 31.2 39.0 46.8

Osservando attentamente la tabella ci si rende conto che esiste una regolarità tra i valori assunti dalle due grandezze fisiche, e cioè quando il volume raddoppia, triplica, ecc., anche il peso raddoppia, triplica, ecc… Possiamo esprimere questa regolarità anche notando che il rapporto tra il peso P ed il volume V si mantiene costante. Infatti:

.....

..

.

.

03

423

02

615

01

87


In generale quando due grandezze x e y sono tali che il loro rapporto si mantiene costante diremo allora che le due grandezze sono direttamente proporzionali.

In formule scriveremo :

kxy (dove k rappresenta una qualsiasi costante)

e chiameremo questa legge della proporzionalità diretta.

Si considerino ora l’insieme dei rettangoli aventi per area un valore dato A. Se si indicano con b e h rispettivamente la base e l’altezza dei rettangoli in questione, l’espressione che determina l’area sarà

b ∙ h = A

Anche in questo caso tra le due grandezze esiste una dipendenza ma di tipo completamente diverso da quella vista sopra. Ora infatti è immediato riconoscere che se il valore di b raddoppia, triplica ecc., affinchè l’area si mantenga sempre uguale ad A. occorre necessariamente che il valore di h diventi rispettivamente la metà, un terzo, ecc.


In generale quando due grandezze x e y sono tali che il loro prodotto si mantiene costante diremo allora che le due grandezze sono inversamente proporzionali. In formule scriveremo

x ∙ y = k (k costante qualsiasi)

e chiameremo questa legge della proporzionalità inversa.

La rappresentazione attraverso una tabella può aiutare a comprendere meglio quanto è stato detto.

Posto A = 24 cm2 assegniamo valori arbitrari alla base b e determiniamo i corrispondenti valori dell’altezza h.

base b (cm) 1 2 3 4 6 8 12 24

Altezza h (cm) 24 12 8 6 4 3 2 1


ESERCIZI

1) Stabilisci se tra le seguenti coppie di grandezze variabili esiste una relazione di proporzionalità diretta, inversa oppure non esiste alcun legame di proporzionalità.

Diretta Inversa Nessun legame

Calorie assimilate e peso di una persona

Superficie e altezza di un trapezio

Strada percorsa e benzina consumata da un’auto

Numero di operai e tempo di esecuzione di un lavoro

Crescita di una pianta e tempo


2) Individua le relazioni fra gli elementi delle seguenti tabelle e trova gli elementi mancanti.

x 2 4 6 10

y 1 2 3 …

x 2 4 8 16

y 8 4 2 …

x 1 5 8 10

y 3 7 10 …

x 4 5 7 6

y 9 11 15 …


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