Optimisation d’un faisceau d’électrons de haute brillance

Par Thomas Audet

Stage réalisé au département accélérateurs du Laboratoire de l’Accélérateur Linéaire sous la tutelle de Christelle Bruni et Pierre Lepercq.

Rapport de stage

Master 1 Physique Appliquée et Mécanique

Avril-Juin 2012

Remerciements

Je tiens d’abord à remercier Alessandro Variola, directeur du département accélérateur pour m’avoir accepté dans son laboratoire.

Je remercie ensuite particulièrement mes tuteurs, Christelle Bruni et Pierre Lepercq pour leur disponibilité, leurs explications, leurs conseils avisés, leur sympathie ainsi que l’aide qu’il m’ont apporté pour la rédaction de ce rapport et tout au long de ce stage.

Je remercie Delphine Monnier Ragaigne, responsable de l’expérience de fluorescence pour ses explications sur les rayons cosmiques ainsi que sur toute l’expérience.

Je remercie également Hugues Monard et Raphaël Roux pour toutes leurs explications sur le contrôle de PHIL ainsi que sur la dynamique faisceau.

Merci aussi à Emilienne Ngo-Mandag et son stagiaire Songkai Song pour le dépouillement des images expérimentales ainsi que Julien Brossard pour son aide sur les simulations.

Je tiens finalement à remercier toute l’équipe du département accélérateur pour sa bonne humeur et son accueil au sein de l’équipe.

I. Introduction ................................................................................................................ 1 II. Contexte du stage ................................................................................................ 2

1. Mesure du rendement de fluorescence de l’azote ................................. 2 a. La sphère intégrante ................................................................................................................. 2 b. Compatibilité de Phil avec l’expérience .............................................................................. 3

2. La ligne de PHIL ......................................................................................................... 3 a. Description générale de la ligne ........................................................................................... 3 b. Le photo-injecteur PHIN .......................................................................................................... 4 c. Les solénoïdes .............................................................................................................................. 4 d. Les diagnostics ............................................................................................................................ 5 e. Positionnement de l’expérience de fluorescence ............................................................. 6

III. Le photo-injecteur PHIN ........................................................................... 7 1. Champ électrique ...................................................................................................... 7 2. Force de charge d’espace ..................................................................................... 8

IV. Effets des solénoïdes ................................................................................... 11 1. Modélisation ....................................................................................................................... 11 2. Comparaison avec les mesures ........................................................................... 18

V. Fenêtre de sortie de l’accélérateur........................................ 21 1. Modélisation ....................................................................................................................... 21 2. Mesures .................................................................................................................................. 23 3. Comparaisons ................................................................................................................... 24

VI. Conclusions................................................................................................................. 26 VII. Annexes ............................................................................................................................ 27

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I. Introduction L’expérience présentée ici de mesure de rendement de fluorescence de l’azote s’inscrit dans le

cadre de la physique des rayons cosmiques. En effet, il existe des rayons cosmiques, appelés Rayons Cosmiques d’Ultra-Hautes Energies (RCUHE) dont l’énergie est très grande (de l’ordre de 1018eV), même plus grande que l’énergie accessible dans les accélérateurs de particules. La mesure précise de leur énergie pourrait permettre de mieux comprendre les processus de leur génération.

Pour cela on peut, à l’aide d’un télescope, visualiser la lumière émise lors de leur passage. En effet lorsqu’une particule d’ultra-haute énergie arrive dans l’atmosphère, elle va créer ce que l’on appelle une gerbe atmosphérique, c’est-à-dire une réaction en cascade de génération de particules secondaires. Dans cette gerbe atmosphérique, des électrons secondaires sont émis et, en excitant l’azote de l’atmosphère, lui permettent d’émettre de la lumière par fluorescence, lumière que l’on veut visualiser. La figure 1 représente le schéma de principe de la mesure de l’énergie des RCUHE.

Fig. 1 : Schéma de principe de mesure de l’énergie des RCUHE par la fluorescence de l’azote.

Les mesures s’appuient sur des simulations pour reproduire les effets atmosphériques. La mesure de l’énergie du RCUHE est ainsi obtenue avec une précision de 22 %, le rendement de fluorescence étant l’incertitude la plus grande avec 14%. Le passage de 14 % à 5% sur la précision du rendement de fluorescence ferait passer la précision sur la mesure de l’énergie des RCUHE à l’observatoire Pierre Auger de 22% à 17%.

Le point clé pour améliorer cette précision est la maitrise du volume fiduciel ainsi que des conditions atmosphériques.

On définit le volume fiduciel comme la zone d’espace où toute la lumière de fluorescence a été émise. Le volume fiduciel dépend de la pression, en effet, en augmentant la pression, on diminue le libre parcours moyen des électrons. Les électrons vont donc perdre leur énergie, jusqu’à ne plus pouvoir initier de fluorescence, et ce, dans un volume plus petit puisqu’ils subissent plus de collisions [2].

Les conditions atmosphériques telles que la pression, la composition de l’atmosphère (humidité, pourcentage d’azote, d’oxygène…) ainsi que la température sont les paramètres jouant le plus grand rôle sur la mesure. Comme expliqué précédemment, la pression joue un rôle sur le volume fiduciel tandis que la composition du gaz joue un rôle sur le rayonnement émis. Car plus il y a d’azote plus il y aura de lumière de fluorescence mais elle peut éventuellement être atténué par d’autres éléments.

Pour cela, une expérience de mesure de fluorescence par des électrons issus d’un accélérateur est adaptée, on pourra alors maitriser les conditions de l’expérience et ainsi améliorer la précision de la mesure.

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II. Contexte du stage 1. Mesure du rendement de fluorescence de l’azote.

a. La sphère intégrante

La figure 2 illustre une des sphères intégrantes qui sera utilisée pour l’expérience. Les électrons issus de l’accélérateur PHIL arrivent dans la sphère après avoir traversé une fenêtre en aluminium. Ils excitent ainsi l’azote contenu dans la sphère qui émet un rayonnement de fluorescence.

Ces sphères ont une fenêtre d’entrée et une de sortie pour le passage des électrons, deux ouvertures d’entrée/sortie du gaz pour contrôler les conditions atmosphérique. Il y a aussi une ouverture où sera placée une photodiode servant à la calibration et une autre d’où sortiront des fibres optiques reliées à un photomultiplicateur (PMT) et un spectromètre dont la sortie sera reliée à un PMT pour sa calibration et une caméra CCD. Le spectromètre et la caméra CCD serviront à mesurer le nombre de photons de fluorescence pour la mesure du rendement. La sphère garde son caractère intégrant du fait que la surface de ces ouvertures est faible devant la surface totale (<5%).

Fig. 2 : Schéma de principe de l’expérience.

L’expérience devra se dérouler en plusieurs étapes. Il faut, en premier lieu, calibrer les PMT car la précision sur leur efficacité donnée par le constructeur est de 15 à 20%, ce qui ne permettrait pas une mesure précise du rendement de fluorescence. La calibration des PMT se fait avec les photodiodes NIST dont l’efficacité est connue avec une précision de 1,5%. On utilise d’abord une LED et deux NIST, la deuxième NIST ayant le même facteur de réduction que le PMT. Puis on remplace cette deuxième NIST par le PMT et on calibre le PMT par rapport au NIST avec le facteur de réduction calculé auparavant. Le PMT calibré est ensuite utilisé pour calibrer le spectromètre et la caméra CCD à l’aide de la LED, donc avec la même efficacité.

On peut ensuite valider la méthode à des conditions standards de pression et de température avant de commencer les mesures.

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b. Compatibilité de PHIL avec l’expérience

PHIL est un accélérateur d’électrons qui produit des électrons par un photo-injecteur. Les électrons sont produits par paquets d’une durée de quelques ps à une cadence de 5Hz. L’énergie des électrons est comprise entre 2 et 5MeV et la charge, c’est-à-dire le nombre d’électrons composant le paquet est variable selon les conditions expérimentales entre 50 et 300 pC.

• Charge

C’est le paramètre le plus important, la mesure du rendement dépend directement de la charge du faisceau pour déterminer le nombre d’électrons arrivant dans la sphère. Le paquet devra avoir une charge comprise entre 50pC et 300pC. Cette charge doit être connue à 2% car cette incertitude est sommée quadratiquement dans l’incertitude de la mesure de rendement de fluorescence. Les valeurs de charge ainsi que leur mesure sont donc bien adaptés à PHIL.

• Dimensions transverses

Les dimensions transverses du paquet d’électrons sont très importantes pour l’expérience de fluorescence. Elles doivent être suffisamment faibles pour que le paquet puisse entrer, se propager et sortir de la sphère sans perdre d’électron sur les parois. C’est sur ce point que l’on va se focaliser dans ce rapport afin de déterminer si d’éventuelles modifications de la ligne sont nécessaires.

2. La ligne de PHIL a. Description générale de la ligne

Le but d’un photo-injecteur est de créer un paquet d’électrons, de l’accélérer à l’aide de champs électriques et de le maintenir en forme à l’aide de champs magnétiques. L’accélérateur PHIL a notamment pour objectif de conditionner et de caractériser des canons à électrons HF et de fournir du faisceau d’électrons à des utilisateurs.

Le premier élément d’un photo-injecteur est la cathode. C’est elle qui est à l’origine de la génération du paquet d’électrons. Pour cela, elle est éclairée par un laser dont la longueur d’onde est réglée pour que l’énergie des photons incidents corresponde avec le travail de sortie photoélectrique des électrons de la cathode.

Les électrons ainsi générés sont ensuite accélérés à l’aide d’un canon HF autour duquel se trouvent des bobines (B1 et B3). Une bobine est située à la sortie du canon (B3) et une deuxième est située juste avant la cathode (B1) comme on peut le voir sur la figure 3.

Le long de la ligne, le faisceau se propage dans un vide de 10-9 mbar et passe également par de petits dipôles magnétiques afin de corriger les éventuels défauts d’alignement. Après être sorti du canon, il va passer par un deuxième solénoïde (B5) permettant de le focaliser. Il y a ensuite deux possibilités de propagation, la ligne directe et la ligne déviée.

Les 2 lignes servent à mesurer certaines propriétés du faisceau comme ses dimensions, sa charge ou son énergie (cf. I.2.d.). L’expérience de fluorescence est disposée sur la ligne directe.

Fig. 3 : Représentation schématique de la ligne de PHIN.

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b. Le photo-injecteur PHIN

La figure 4 illustre le schéma mécanique du canon PHIN qui est actuellement installé sur la ligne de PHIL.

Fig. 4 : Schéma du canon PHIN.

A l’intérieur des cavités du photo-injecteur, il réside un champ électrique stationnaire, de fréquence 2,998 550 GHz amené par des guides d’ondes. Ce champ est caractérisé par son gradient maximum théorique (environ 60MV) bien que lors des expériences, la valeur du champ soit souvent plus faible car limitée par les claquages dans la cavité même après conditionnement du canon. La taille ainsi que la forme de la cavité influent sur la fréquence de résonnance du champ. Pour cette raison, ainsi que pour diminuer les pertes d’énergie par effet Joule, la cavité doit être usinée avec précision, ainsi, on s’assure qu’un maximum d’énergie est disponible pour accélérer les électrons (la température de la cavité est à prendre en compte car elle la fait se dilater). Le nombre de cellules composant la cavité est important et doit être choisi afin que les électrons ne voient pas un champ nul lors de leur émission (cf. I.2.a).

c. Les solénoïdes

La ligne de PHIL est composée de plusieurs solénoïdes (cf. Fig.3) à plusieurs emplacements et ayant des rôles différents. Le solénoïde B1 est situé juste avant le canon PHIN et a pour but de maintenir un champ magnétique nul sur la cathode afin de ne pas faire éclater le paquet d’électrons. Le solénoïde B3 est à la sortie du canon et permet de maintenir le paquet d’électron en forme. On s’en sert notamment en expérience pour focaliser le faisceau sur l’écran YAG1 ou associé à B5 pour propager le faisceau plus loin sans perdre d’électron sur les parois du tube à vide.

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Le solénoïde B5 est situé environ au milieu de la ligne, associé à B3, il permet de focaliser le faisceau sur YAG2, YAG3, YAG4, la fenêtre de sortie ou l’écran LANEX (cf. I.2.d).

d. Les diagnostics

Il existe différents diagnostics sur la ligne de PHIL qui donnent des informations sur les caractéristiques du faisceau.

• Les écrans YAG

Les écrans YAG (grenat d'yttrium et d'aluminium) sont des écrans scintillants lorsqu’ils sont excités, dans notre cas par le faisceau d’électrons. Associé à un système optique (lentille convergente) et à une caméra CCD ainsi qu’à des logiciels d’acquisition et de traitement d’images, ils permettent d’obtenir la distribution transverse du faisceau.

• L’écran LANEX

L’écran LANEX est un autre écran scintillateur, composé de plusieurs couches de matériaux différents. Il a été placé à 4 cm de la sortie de l’accélérateur, à l’air, soit approximativement au centre de la sphère. Il nous renseigne sur la distribution transverse du faisceau à l’emplacement de la sphère et sous pression atmosphérique donc dans des conditions semblables à celles de l’expérience de fluorescence.

• La ligne déviée

On peut dévier le faisceau grâce au dipôle magnétique situé sur la ligne de PHIL. Cette déviation donne des informations sur l’énergie et la distribution en énergie du faisceau.

En effet si on écrit l’équation du mouvement d’une particule dans un champ magnétique constant on obtient :

𝑑𝑃�⃗𝑑𝑡

= �⃗� = 𝑞𝑣 ���⃗ x 𝐵�⃗

Or : �⃗� ┴ 𝐵�⃗

Si on prend comme hypothèse que le mouvement est circulaire uniforme on a : 𝑑𝑣�⃗𝑑𝑡

= 𝑣2

𝜌 𝑒𝑟���⃗ avec

ρ le rayon du cercle décrit par la particule. En remplaçant, on obtient :

𝐵𝜌 =𝑃𝑞

Ainsi, une particule avec une énergie cinétique plus grande sera moins déviée qu’une particule de plus faible énergie cinétique.

La ligne déviée permet donc de transformer la distribution en énergie en distribution spatiale, bien que la taille transversale du paquet soit à prendre en compte pour une mesure plus précise. L’écran YAG4 associée à une caméra CCD nous permet d’observer cette distribution en énergie, et donc d’avoir accès à la dispersion en énergie, qui est définie comme la largeur rms de la distribution en énergie.

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e. Positionnement de l’expérience de fluorescence

Les sphères intégrantes de l’expérience de fluorescence seront placées en bout de ligne directe, à 5,6385 m de la cathode, séparées de l’accélérateur par deux fenêtre en aluminium (une en entré, l’autre à la sortie de la sphère) afin que les électrons puissent traverser la sphère.

Fig. 5 : Schéma de la sphère de mesure implantée sur la ligne de PHIL.

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III. Le photo-injecteur 1. Champ électrique Le champ électrique stationnaire qui réside dans le photo-injecteur est de forme sinusoïdale et

comporte 1,25 période, ainsi la cathode se situe sur une crête, s’il y avait 1,5 période il régnerait un champ nul sur la cathode et ce quelle que soit la phase. Ainsi, la phase entre l’impulsion laser sur la cathode et le champ électrique est un paramètre primordial, car c’est la phase qui détermine le champ vu par les électrons. Il faut s’assurer que la phase est réglée afin que les électrons voient un champ accélérateur lors de leur propagation dans la cavité et gagnent ainsi l’énergie souhaitée. Le champ électrique dans le photo-injecteur est représenté sur la figure 6.

Fig. 6 : Champ électrique longitudinal dans la cavité.

On peut calculer l’énergie cinétique des électrons en calculant le travail de la force Coulombienne du champ électrique sur les électrons : �⃗� = 𝑞𝐸�⃗ . Ce travail étant égal à l’énergie cédée par le champ aux électrons.

Si on prend le champ de la forme : 𝐸�⃗ = 𝐴𝑚𝑎𝑥cos (2𝜋𝑓𝑧𝑐

+ 𝛷)𝑒𝑧���⃗

Avec : 𝐴𝑚𝑎𝑥 : Le gradient maximum

f : La fréquence du champ

𝛷 : La phase entre l’impact du laser sur la cathode et le champ électrique.

Le travail s’écrit après intégration : W = −q 𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑐2𝜋𝑓

�sin �2𝜋𝑓𝑧𝑚𝑎𝑥𝑐

+ 𝛷� − sin (𝛷)�

Avec : 𝑧𝑚𝑎𝑥 = 1,25 𝑇. 𝑐 = 0,125 𝑚 et T= 1/f la période temporelle du champ.

L’énergie des électrons varie donc avec la phase ϕ, paramètre que l’on peut contrôler en expérience grâce à des déphaseurs (cf. Annexe 1).

L’énergie moyenne des électrons du paquet en fonction de la phase est représentée sur la figure 7. La simulation a été effectuée pour le canon PHIN, un gradient maximum de 60MV/m et pour un ensemble de 10000 électrons 3 mm après la sortie du canon PHIN en négligeant les interactions entre électrons.

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Fig. 7 : Énergie extraite en fonction de la phase pour un gradient maximum dans le canon de

60MV/m, σx= σy =0,5 mm et une charge totale de 0,1nC.

On voit sur la figure 7 un pic vers 300° (il ne sera pas considéré dans la suite de ce rapport) qui est causé par la perte des électrons périphériques et modifie donc l’énergie moyenne, ce pic n’est donc pas physique et ne sera plus considéré dans la suite de ce rapport. On peut remarquer que l’énergie est nulle jusqu’à une phase de 160°, ce qui s’explique par le fait qu’on n’extrait aucun électron, puis est constante jusqu’à 180° environ. Entre 200° et environ 260° l’énergie dépend sinusoïdalement de la phase, ce qui est prévu par le modèle analytique ci-dessus. On obtient une phase où l’énergie est maximale à 225° et une énergie cinétique moyenne de 3,8 MeV.

2. Force de charge d’espace Nous allons maintenant nous intéresser à l’effet de la charge d’espace (CE) sur les propriétés du

faisceau. D’une façon générale, la répulsion Coulombienne liée à la charge d’espace, c’est-à-dire la charge négative du paquet d’électrons, a tendance à dégrader les propriétés du faisceau. C’est cette force qui limite la compression spatiale du faisceau.

Chaque particule du faisceau est définie par ses coordonnées x, y, z et px, py, pz. On peut alors définir x’=px/pz et y’=py/pz comme les divergences transverses des particules (le faisceau se propageant selon la direction z). Le faisceau est, lui, définit par les dimensions rms des distributions des particules. Par exemple 𝜎𝑥 est la dimension selon x du faisceau et est égale à l’écart-type de la distribution en x des particules. On peut définir de la même façon 𝜎𝑦 𝜎𝑥′ et 𝜎𝑦′ , respectivement la dimension du faisceau selon y et la divergence du faisceau selon x et selon y.

J’ai utilisé ASTRA qui est un code permettant de faire du tracking de particules au travers de champ. Ce code fonctionne en coordonnées cylindriques, calcule les forces s’appliquant aux particules et modifie alors leurs coordonnées. On peut générer des distributions de particules ou lui en soumettre, simuler les ouvertures dues la chambre à vide, le canon et les différents éléments magnétiques.

Les simulations ASTRA présentées ici ont été effectuées avec un gradient maximum de 60MV/m pour 10000 macroparticules et 0,1nC de charge à 3mm de la sortie du canon PHIN.

• Dimensions transverses

Les variations des dimensions transverses en fonction de la phase sont représentées sur la figure 8.

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Fig. 8 : Dimensions transverses en fonction de la phase (à gauche sans CE, à droite avec CE).

On voit sur la figure 8 dans le cas où on ne prend pas en compte la charge d’espace que les dimensions transverses dans la zone de phase où l’on transmet toute la charge sont d’abord minimales puis subissent une augmentation. Lorsqu’on prend la charge d’espace en compte, le comportement est inversé, en effet les dimensions sont d’abord maximales puis subissent une diminution.

Cela s’explique par le fait que la phase minimale où on transmet toute la charge est la phase où les électrons voient le plus grand champ accélérateur au niveau de la cathode (cela ne correspond pas à l’énergie maximale car le paquet gagnera moins d’énergie dans les cellules du canon suivantes). Le champ longitudinal à la cathode est alors très supérieur au champ transverse et si on ne prend pas la force de charge d’espace en compte le paquet est alors légèrement focalisé taille. Lorsque la charge d’espace est prise en compte, cette taille faible au début du canon induit une grosse augmentation à cause de la force de charge d’espace, c’est pourquoi les comportements des deux courbes sont inversés.

• Emittance transverse

L’émittance est un paramètre défini comme le produit des dimensions transverses par la divergence du faisceau. C’est un paramètre particulièrement important pour l’expérience de fluorescence car il faut que l’émittance soit faible pour que le faisceau puisse traverser la sphère d’interaction sans perdre d’électrons sur les parois (cf. IV). L’émittance correspond à l’aire de l’ellipse dans le plan (x,x’) ou (y,y’) comme représentée sur la figure 9.

Fig. 9 : Exemple de représentation du faisceau dans le plan (x,x’)

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La taille du laser sur la cathode est un autre paramètre important car l’émittance du paquet d’électrons lorsqu’il est généré est égale à l’émittance thermique (c’est-à-dire l’émittance donnée par la génération d’électrons par effet photoélectrique), qui varie linéairement avec le rayon du laser. La forme de la distribution du laser, sa durée ainsi que son angle d’incidence influent sur le nombre de charges extraites et l‘émittance transverse du paquet. Le nombre de charges extraites, en augmentant la force de charge d’espace, joue un rôle sur la taille et l’émittance du paquet.

Fig. 10 : Emittance transverse en fonction de la phase (à gauche sans CE, à droite avec CE).

Lors des simulations sans prendre en compte la charge d’espace, on obtient une émittance inférieure à 0,5 πmm mrad dans les valeurs de phase où on maximise l’énergie, avec un minimum inférieur à 0,1 πmm mrad pour 225° (la phase qui maximise l’énergie), et encore une augmentation jusqu’à une valeur d’environ 850 πmm mrad pour 295°. Lorsque la charge d’espace est prise en compte, on trouve des valeurs d’émittance transverse d’environ 2 πmm mrad dans la zone où on maximise l’énergie avec un minimum obtenu pour une phase de 220°.

On constate donc que l’émittance est beaucoup plus grande lorsque l’on prend en compte la charge d’espace mais dans les deux cas, le minimum d’émittance est obtenu pour la phase qui maximise l’énergie. Ce résultat était prévisible car à la phase où l’énergie est maximale, le faisceau subit plus d’influence du champ longitudinal qui domine le champ radial. De plus, lorsqu’on prend en compte la charge d’espace, ce minimum s’explique aussi par le fait que la force de charge d’espace est proportionnelle à 1/𝛾² (𝛾 : facteur de Lorentz) [1]. Ainsi, plus l’énergie des électrons, et donc leur vitesse est grande, plus la force de charge d’espace qu’ils subissent est faible et l’émittance également.

D’un point de vue général, on peut dire que la force de charge d’espace tend à faire éclater le paquet, ce qui augmente l’émittance et les dimensions du paquet. Il est donc important de contrôler la phase pour se placer à l’énergie désirée et minimiser la taille du faisceau dans le cas de l’expérience de fluorescence.

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IV. Effets des solénoïdes 1. Modélisation

• Matrices de transfert Comme en optique géométrique, il est possible de formaliser le transport des particules dans

l’accélérateur par des matrices de transfert correspondants aux différents éléments rencontrés par

les particules. Il suffira alors de multiplier la matrice de l’élément M et le vecteur V1=�

𝑥𝑥′𝑦𝑦′�

correspondant aux coordonnées de la particule pour obtenir le vecteur caractérisant la particule après qu’elle ait rencontré l’élément considéré V2.

Ainsi, la matrice de transfert correspondante à un espace de glissement de longueur d est :

�1 𝑑0 1

00

00

00

00

10

𝑑1

�

La matrice de transfert correspondante à un solénoïde est :

⎣⎢⎢⎡ 𝑐2−𝐾𝑠𝑐

𝑠𝑐/𝐾𝑐²

𝑠𝑐 𝑠²/𝐾−𝐾𝑠² 𝑠𝑐

−𝑠𝑐 −𝑠2/𝐾 𝑐² 𝑠𝑐/𝐾𝐾𝑠² −𝑠𝑐 −𝐾𝑠𝑐 𝑐²⎦

⎥⎥⎤

Avec : 𝑐 = cos(𝐾𝐿), 𝑠 = sin(𝐾𝐿), 𝐾 = 𝐵𝑚𝑎𝑥2𝐵𝜌

et L la longueur magnétique du solénoïde, définie par

𝐿 = ∫𝐵0(𝑧)𝑑𝑧𝐵𝑚𝑎𝑥

, ce qui correspond à l’intégrale sur la direction z du champ magnétique normalisé,

soit l’aire en grise sous la courbe de la figure 11 (le champ représenté étant normalisé).

Fig. 11 : Représentation du champ magnétique au niveau de l’axe d’une bobine.

Par exemple si le faisceau passe par un espace de glissement puis un solénoïde la matrice de transfert totale sera :

Mtot = MsolénoïdeMglissement

• Espace des phases

Lorsque l’on représente l’espace des phases (x,x’) ou (y,y’) pour chaque particule, la figure obtenue est une ellipse comme représentée sur la figure 9.

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L’équation de l’ellipse obtenue est alors :

𝛾𝑥𝑥² + 2𝛼𝑥𝑥𝑥′ + 𝛽𝑥𝑥′2 =𝜀𝑥𝜋

Avec 𝛾𝑥 ,𝛼𝑥 ,𝛽𝑥 les paramètres de Twiss aussi appelés paramètres faisceau. [3]

Et 𝜀𝑥𝜋

l’émittance du faisceau.

• Matrice faisceau

On peut alors introduire la matrice faisceau, donnant les caractéristiques du faisceau et définie comme ci-dessous :

𝑀𝑥 = 𝜀𝑥𝜋 � 𝛽𝑥 −𝛼𝑥

−𝛼𝑥 𝛾𝑥� = �

𝜎²𝑥 −𝜀𝑔𝛾−𝜀𝑔𝛾 𝜎′²𝑥

�

Donc 𝜎𝑥 = �𝜀𝑥𝜋 𝛽𝑥 , les paramètres de Twiss définissent la taille du faisceau.

La matrice faisceau complète étant :

𝑀 = �𝑀𝑥

00

00

00

00 𝑀𝑦

�

On étudie alors le transport du faisceau dans son ensemble et non pas des particules. Ainsi, si la matrice faisceau est M0 avant une propagation, la matrice faisceau après la propagation sera :

M=Mtot M0 Mtott

• Espace réel

On peut également représenter le faisceau dans l’espace réel, c’est-à-dire selon ses coordonnées réelles. On s’intéressera notamment ici à la distribution dans le plan (x,y) accessible en expérience grâce aux écrans YAG et LANEX.

Avec la méthode des matrices de transfert, j’ai codé un programme Matlab permettant de modifier les coordonnées des particules à travers les solénoïdes de la ligne de PHIL. On peut alors observer la distribution des particules dans le plan transverse à la propagation en fonction des champs appliqués par les solénoïdes. On s’intéresse aux effets de couplage induits par les solénoïdes.

La figure 12 a été obtenue en introduisant un faisceau asymétrique avec σx=0,4 mm et σy=0,2mm et σx’ =σy’=3,5.10-3 rad.m et 91A injectés dans B3 pour la colonne de gauche. On observe le faisceau au niveau de l’écran LANEX au centre de la sphère et on voit que la focalisation à l’aide de B5 fait également tourner le faisceau ce qui est imputable aux termes de couplages de la matrice de transfert d’un solénoïde c’est-à-dire les termes de la matrices qui lient les coordonnées en x, x’, y et y’, encadrés ci-dessous. La colonne de droite donne des images expérimentales obtenues en injectant 80A dans B3 et, de haut en bas 18, 20 et 22A dans B5.

⎣⎢⎢⎡ 𝑐2−𝐾𝑠𝑐

𝑠𝑐/𝐾𝑐²

𝑠𝑐 𝑠²/𝐾−𝐾𝑠² 𝑠𝑐

−𝑠𝑐 −𝑠2/𝐾 𝑐² 𝑠𝑐/𝐾𝐾𝑠² −𝑠𝑐 −𝐾𝑠𝑐 𝑐²⎦

⎥⎥⎤�

𝑥𝑥′𝑦𝑦′�

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Fig. 12 : Mise en évidence de la rotation causé par B5. A gauche : simulations Matlab pour B5 de haut en bas 0,04T, 0,05T, 0,06T, B3=0,13T et 5000 électrons. A droite : images expérimentales pour

B5 de haut en bas 0,06T, 0,065T, 0,075T, B3=0,12T et 80pC de charge. Taille des images expérimentales : 28,4mm en horizontal et 21,3mm en vertical.

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Pour comparer les résultats de ces simulations et les résultats donnés par ASTRA, j’ai codé un programme Matlab permettant d’observer les distributions des électrons calculés par ASTRA au niveau des écrans YAG1, YAG2 et YAG3 (respectivement à 1,9816m, 3,3928m et 5,1715m de la cathode). On observe alors que le faisceau ne tourne pas mais se désaxe pendant la focalisation comme on peut le voir sur la figure 13, obtenue pour B3=0,24T et B5=0,16T en prenant comme précédemment σx=0,4 mm, σy=0,2mm et σx

=σy’=3,5.10-3 rad.m. Ce désaxage est tout à fait

surprenant et vient probablement de la méthode de calcul d’ASTRA, une explication est encore recherchée.

Fig. 13 : Profil transverse du faisceau au niveau de YAG 2 avec B3=0,24T (205A) et B5=0,16T (49A)

• Effet d’un désaxage

J’ai également observé l’effet d’un désaxage du paquet. C’est-à-dire que la distribution des particules dans le plan transverse à la propagation n’est pas centrée sur l’axe magnétique de la ligne. J’ai créé des distributions centrée sur x=3*σx=1,2mm ou x=5*σx=2mm avec σx=σy=0,3mm et je les ai faites se propager avec ASTRA. Les résultats de cette simulation sont représentés sur la figure 14.

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Fig. 14 : Evolution de la distribution transverse le long de la ligne pour un désaxage de 5*σx

=1,2mm, avec B3=82A et B5=30A.

Fig. 15 : Image du faisceau sur YAG3, avec B3=110A et B5=25A. Taille de l’image : 39,5mm en

horizontal et 30,6mm en vertical.

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Les images de la figure 14, notamment les observations sur YAG2 et YAG3 sont à rapprocher de l’image expérimentale de la figure 15. On voit qu’un désaxage du paquet d’électron crée, dans les simulations, un paquet plutôt homogène sur YAG1 tandis que sur YAG2 cela crée un centroïde plus intense entouré d’un halo, plus intense d’un côté. Sur YAG3, on voit un point intense centré sur l’axe magnétique de la ligne avec un halo partant vers les x et y négatifs. On voit donc qu’un paquet désaxé peut expliquer la forme du faisceau sur certaines images expérimentales comme celle représentée sur la figure 15 où on voit un faisceau déformé avec un halo.

• Simulation du transport

Afin de connaître les dimensions du faisceau à la fin de l’accélérateur, c’est-à-dire avant la fenêtre de sortie, j’ai codé un programme Matlab qui permet de simuler la propagation du faisceau le long de l’accélérateur. L’effet de la fenêtre de sortie sera ensuite étudié au chapitre IV. Ce programme s’appuie sur la méthode de la matrice faisceau, on n’aura donc pas accès aux coordonnées de chaque particule, mais uniquement aux 𝜎𝑥,𝜎′𝑥 ,𝜎𝑦 et 𝜎′𝑦.

On récupère les coefficients α, β et ε grâce au programme LINEPLOT associé à ASTRA à la sortie du

canon. On calcule 𝛾 grâce à la relation 𝛾 = 1+𝛼²𝛽

et on construit alors la matrice faisceau M0 avant la

propagation. Les éléments rencontrés par le faisceau sont : • Un solénoïde (B3) mais seulement une partie du champ est pris en compte car le début est

pris en compte dans ASTRA, puisque les électrons subissent le champ de B3 dans le canon. • Un espace de glissement de longueur d2 ≈ 1,90m • Un solénoïde (B5) • Un espace de glissement de longueur d3 ≈ 3,74m

Fig. 16 : Schéma de la propagation imposée au faisceau.

On peut alors calculer la taille du faisceau (σx) ainsi que sa divergence (σx’) au niveau de la fenêtre de sortie en fonction des champs B3 et B5 appliqués. Les directions x et y étant équivalentes par symétrie cylindrique, on choisit de n’étudier que les propriétés du faisceau selon x. La figure 17 expose d’abord le comportement de σx et de σx’ en fonction d’un seul solénoïde (B3) avec B5=0,04T.

Fig. 17 : Variations de σx et de σx’ en fonction de B3.

17

On voit sur la figure 17 que σx et σx’ ont le même comportement, une diminution relativement lente jusqu’à un minimum puis une augmentation beaucoup plus rapide, bien que leurs minimums ne soient pas obtenus exactement pour la même valeur de champ. Si on couple ces comportements avec des drifts (qui jouent sur la taille du faisceau via la divergence) et un deuxième solénoïde, on peut alors tracer, pour la ligne présentée, l’évolution des dimensions et de la divergence en fonction de B3 et de B5. Les résultats sont résumés sur les figures 18 et 19.

Fig. 18 : σx en fonction des champs B3 et B5.

Le minimum de σx vaut 0,1236 mm et il est obtenu pour B3 = 0,13 T et B5 = 0,10 T (ce qui correspond à des courants dans les bobines de respectivement 91,18 A et 30,44 A). Pour ces valeurs de champs, on obtient une divergence de 1,3 mrad.

Fig. 19 : σx‘ en fonction des champs B3 et B5.

18

Le minimum de σx‘ vaut 1,27.10 - 2mrad et est obtenu pour B3 = 0,08 T et B5 = 0,08 T (ce qui correspond à des courants dans les bobines de respectivement 48,71 A et 24 ,32 A). Pour ces valeurs de champ, on obtient une dimension du faisceau σx = 5,6 mm.

2. Comparaison avec les mesures • Objectif

Pour la préparation de la mesure du rendement de fluorescence, des mesures de la taille minimale du faisceau au niveau de la sphère de mesure ont été réalisées. Je comparerai ces mesures avec les simulations. Pour cela, un écran LANEX a été placé à l’endroit du centre de la sphère, dans l’air, à pression atmosphérique orienté à 45° par rapport à l’axe de propagation et par rapport à la caméra l’observant, ainsi l’image obtenue est uniquement inversée gauche-droite mais ne subit pas de dilatation.

• Protocole des mesures

Nous avons d’abord effectué une prise d’ « images du LANEX » en faisant varier le courant injecté dans B5 en injectant 80A dans B3, c’est-à-dire une valeur proche de celle donnée par les simulations pour avoir le minimum de dimension. On s’est ensuite placé à la valeur de courant dans B5 tel que les dimensions du faisceau sur le LANEX soient minimales et on a fait varier le courant injecté dans B3, en effet, selon les simulations la valeur de courant que l’on doit injecter dans B5 pour avoir le minimum de taille ne dépend pas du courant injecté dans B3. Nous avons ensuite fait varier le courant injecté dans B5 pour vérifier que le minimum de taille est bien à la valeur de courant dans B5 précédemment mesurée.

On a ensuite observé le faisceau sur YAG3 en faisant varier B5 ce qui permettra d’observer l’effet de la fenêtre en aluminium de l’accélérateur en comparant les mesure avant et après la fenêtre. Il faut, pour chaque set de mesure s’assurer que la charge mesurée à l’ICT n’a pas changé. Il faut également dévier le faisceau afin de vérifier que l’énergie n’est pas modifiée par une dérive de phase ou un éventuel saut de phase.

• Résultats

La configuration lors des mesures était :

• 62µJ d’énergie dans le laser • Champ maximum dans le canon : 43MV/m • Energie du faisceau : 2,7 MeV • 80pC de charge, mesurée avec l’ICT1

La figure 20 récapitule les résultats obtenus par les mesures sur le LANEX en faisant varier B5 pour B3=80A.

19

Fig. 20 : Dimensions du paquet au centre de la sphère en fonction de B5 pour B3=80A (0,118T)

Le minimum de taille selon x est obtenu pour B5=22A tandis que le minimum selon y est obtenu pour B5=18 A. Cela montre qu’il existe deux distances focales différentes, une pour la dimension en x et une pour la dimension en y.

Lorsque l’on fait la moyenne des tailles selon x et selon y, on obtient une zone entre 14A et 24A où la taille est relativement constante et vaut environ 4mm.

On s’est alors placé à B5=20A pour effectuer les mêmes mesures en faisant varier B3. Les résultats de ces mesures sont donnés par la figure 21.

Fig. 21 : Dimensions du paquet au centre de la sphère en fonction de B3 pour B5=20A (~0,065T)

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

7.5

8 13 18 23 28

Taill

e (m

m)

Courant injecté dans B5 (A)

Dimension du faisceau sur le LANEX enfonction de B5

Dimension x

Dimension y

Moyenne

2.5

3

3.5

4

4.5

75 80 85 90 95 100 105 110 115

Taill

e (m

m)

Courant injecté dans B3 (A)

Dimension du faisceau sur le LANEX en fonction de B3

Dimension x

Dimension y

Moyenne

20

On voit sur la figure 21 que l’on conserve deux distances focales différentes en x et en y, le minimum de taille en x étant obtenue pour B3=96A, et celui en y pour B3=100A. Le minimum pour la moyenne des deux dimensions est obtenu pour B3=100A mais c’est pour B3=98A que le faisceau est le plus rond. On trouve donc un minimum de taille plus petite (2,7mm) qu’avec les mesures précédentes, on a donc optimisé B3 pour la taille du faisceau. On a ensuite refait les mesures pour B3=98A en faisant varier B5 pour vérifier que la valeur de B5 qui donne le minimum de taille est restée la même.

Enfin, j’ai pu comparer les résultats des mesures aux simulations introduite au III.1.Simulation du transport, pour rappel ces simulations sont basées sur le formalisme des matrices de transfert et ne prend pas en compte les forces de charge d’espace.

Fig. 22 : Dimensions du paquet sur YAG3 en fonction de B5 avec B3=98A (~0,14T)

On observe sur la figure 22 que les dimensions minimales sont obtenues pour la même valeur de courant dans mes simulations et selon les mesures. La valeur du minimum est, elle, différente, elle vaut 0,4mm pour les resultats expérimentaux et 1,6mm pour les simulations. Cet écart peut provenir d’une différence entre les conditions initiales simulées et expérimentales, d’une coupure du faisceau sur la chambre à vide, ou bien encore d’un décalage qui a été constaté entre la modélisation de B3 et ses valeurs expérimentales.

On voit donc que pour l’expérience de fluorescence, il est nécessaire de réduire encore la taille du faisceau, par exemple en installant des collimateurs avant l’entrée de la sphère afin de ne garder que le centre du faisceau. Cela permettrait d’avoir un faisceau plus petit, bien rond et de dimension constante. On peut également travailler avec un faisceau de plus faible charge ce qui réduirait l’émittance et donc les dimensions transverses.

0

2

4

6

8

10

14 16 18 20 22 24 26 28

Taill

e rm

s (m

m)

Courant injecté dans B5 (A)

Comparaison de la taille entre simulation et mesure sur YAG3

Moyennesimulations

Moyennemesures

21

V. Fenêtre de sortie de l’accélérateur 1. Modélisation Une fenêtre entre l’accélérateur et la sphère de mesure est nécessaire pour maintenir le vide

dans l’accélérateur. Il faut déterminer l’épaisseur de cette fenêtre de sortie de l’accélérateur, elle devra pouvoir résister à la pression atmosphérique mais avoir une épaisseur la plus petite possible pour avoir l’influence la plus faible possible sur le faisceau.

Des essais de mise sous pression ont été effectués et ont montrés qu’une fenêtre de diamètre 16mm et d’épaisseur 18µm en aluminium pur à 99% résiste à la pression. Le choix de l’aluminium est justifié par sa grande longueur de radiation X0 = 8,897cm.

La traversée de la fenêtre par les électrons induit une augmentation de la divergence du faisceau mais on peut considérer que la taille du faisceau reste la même car la fenêtre est mince. Pour la même raison, on considère que l’énergie des électrons n’est pas modifiée par la traversée de la fenêtre.

Pour limiter l’augmentation de la divergence à la traversée de la fenêtre, il faut se rapprocher d’une divergence nulle au niveau de la fenêtre, avoir un waist sur la fenêtre.

Fig. 23 : Photo de la fenêtre en aluminium montée sur PHIL.

Pour simuler l’effet de diffusion de la fenêtre, j’ai codé un programme qui calcule la diffusion due à la traversée de la fenêtre.

La distribution angulaire induite par la diffusion dans la feuille d’aluminium est représentée par une

distribution gaussienne, d’écart-type : 𝜎 = 15𝐸

�𝑒𝑋0

avec E l’énergie de la particule (en MeV), e

l’épaisseur de la fenêtre (ici 18μm) et X0 la longueur de radiation (pour l’aluminium, X0 = 8,897cm) [4]. On crée donc une distribution gaussienne avec ces paramètres. On crée également une distribution gaussienne pour les particules, dont les caractéristiques (𝜎𝑥 ,𝜎′𝑥,𝜎𝑧) sont tiré du programme de transport précédent. On modifie alors les coordonnés des particules avec la distribution angulaire et on représente l’espace des phase (x,x’).

22

Si on utilise les valeurs précédentes des champs magnétiques qui minimisent les dimensions transverses, on obtient les résultats de la figure 24 :

Fig. 24 : Effet de la fenêtre de sortie sur l’espace des phases (x,x’) en minimisant la taille du faisceau

(avant la fenêtre en rouge ,après la fenêtre en bleu).

Si on utilise les valeurs précédentes qui minimisent la divergence avant la fenêtre, on obtient la figure 25 :

Fig. 25 : Effet de la fenêtre de sortie sur l’espace des phases (x,x’) en minimisant la divergence du

faisceau (avant la fenêtre en rouge ,après la fenêtre en bleu).

On voit sur les figures 24 et 25 que les ellipses après le passage de la fenêtre sont très similaires au niveau de la divergence, ce qui s’explique par le fait que cette divergence est dominée par l’effet de la fenêtre et non par la divergence initiale du faisceau. Cependant, la taille du faisceau est beaucoup plus petite lorsque l’on choisit de minimiser la taille plutôt que la divergence.

Cette solution est donc à privilégier pour l’expérience afin d’éviter que des électrons soient absorbés par la sphère intégrante, ce qui poserait de nombreux problème, notamment de mesure de la charge ainsi que de dégazage de la sphère ce qui modifierait la composition du gaz de la sphère.

23

Fig. 26 : Effet de la feuille d’aluminium et de l’air de la sphère sur l’espace des phases (x,x’), en

rouge : distribution après passage de la fenêtre, en bleu : distribution après passage de la fenêtre et propagation dans l’air de la sphère.

On voit sur la figure 26 que l’effet de l’air sur la divergence reste assez faible (longueur de radiation de l’air : X0=30390cm), mais la propagation du faisceau dans l’air après la traversée de la feuille d’aluminium fait augmenter sa taille à cause de sa divergence. La fenêtre de sortie ayant un diamètre de 25mm, si cette simulation est valide, les dimensions du faisceau devraient être suffisamment petites pour que les électrons ne soient pas absorbés par la sphère.

2. Mesures La configuration lors des mesures était :

• 62µJ d’énergie dans le laser • Champ maximum dans le canon : 43MV/m • Energie du faisceau : 2,7 MeV • 80pC de charge, mesurée avec l’ICT1

Ces mesures ont été effectués avec le LANEX après la fenêtre de sortie avec 98A injectés dans B3 (c’est-à-dire la valeur qui donne la taille de faisceau la plus petite) et sont récapitulées sur la figure 27.

24

Fig. 27 : Courbes expérimentales des dimensions du faisceau sur le LANEX en fonction du courant

injecté dans B5.

On voit sur la figure 27 qu’il y a, ici aussi, deux distances focales différentes selon x ou y, le minimum de taille en x étant obtenu pour 22A tandis que le minimum pour y est obtenu pour 19A. Cependant, si on fait la moyenne selon x et y le minimum de taille du faisceau est obtenu pour 20A injectés dans B5.

3. Comparaisons On s’est placé à B3=98A et on a fait varier le courant injecté dans B5 en observant le faisceau sur

YAG3 et sur le LANEX.

Fig. 28 : Dimensions du paquet sur le LANEX et sur YAG3 en fonction de B5 avec B3=98A (~0,14T).

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

7.5

8.5

9.5

10.5

11.5

14 16 18 20 22 24 26 28

Taill

e (m

m)

Courant injecté dans B5 (A)

Dimension du faisceau sur le LANEX en fonction de B5

Dimension x

Dimension y

Moyenne

0

1

2

3

4

5

6

7

8

14 16 18 20 22 24 26 28

Taill

e (m

m)

Courant injecté dans B5 (A)

Diamêtre moyen du faisceau en fonction du courant injecté dans B5

LANEX

YAG3

25

La figure 28 montre que le faisceau subit une augmentation de sa taille entre YAG3 et le LANEX, ce qui est cohérent avec la théorie. Les minimums de taille sont bien obtenus pour la même valeur de courant mais il est inférieur à 1mm sur le YAG3 et vaut environ 2,7mm sur le LANEX. Cette taille de faisceau sur le LANEX est trop importante pour que le faisceau puisse sortir de la sphère sans perte de charge.

De plus, les dimensions obtenues en expérience sont peut être sous-estimées, en effet les gains des caméras sont réglés afin de ne pas saturer les images mais cela coupe peut-être les queues des distributions transverses.

26

VI. Conclusions

Dans ce rapport, on a vu que la phase entre le laser et le champ du canon HF est un paramètre primordial dont dépendent l’énergie mais également les dimensions transverses et l’émittance du faisceau. La force de charge d’espace joue également un grand rôle, surtout lors de l’accélération des électrons sur les caractéristiques du faisceau, elle doit donc être prise en compte le plus souvent possible bien que son influence soit minimisée à faible charge.

On a également pu observer que la considération des termes de couplage des solénoïdes n’est pas négligeable par rapport aux termes de focalisation et qu’ils permettent d’expliquer la rotation du faisceau et certaines de ses formes observées en expérience.

On rappelle aussi que la fenêtre de sortie de l’accélérateur nécessaire pour l’expérience de fluorescence induit une augmentation très importance de la divergence du faisceau ce qui nuit aux dimensions transverses à cause de la propagation du faisceau.

Ainsi, on peut dire que la plus grosse difficulté à l’expérience de fluorescence reste les dimensions transversales du faisceau d’électrons. Selon les simulations, en optimisant au maximum le faisceau, l’expérience aurait pu être effectuée en l’état. Cependant les résultats expérimentaux ont montrés une difficulté à avoir des dimensions suffisamment faibles pour ne pas perdre de charge sur les parois. Plusieurs aménagements de la ligne sont envisagés, comme l’ajout d’un collimateur avant l’entrée du faisceau dans la sphère afin d’avoir un faisceau de taille plus faible et fixe, mais cette solution inclut des difficultés techniques et donc un temps de réalisation important. On pourrait également travailler avec un faisceau de charge moindre ce qui permettrait de diminuer la force de charge d’espace et d’obtenir un faisceau plus petit mais pourrait augmenter l’erreur sur la mesure de la charge.

27

VII. Annexes Annexe 1 : Calcul analytique de l‘énergie gagnée par les électrons.

On dérive l’expression du travail de la force coulombienne pour chercher la phase où l’énergie est maximale :

𝜕𝑊𝜕𝛷

= −q 𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑐

2𝜋𝑓 �cos �𝛷 +

2𝜋𝑓𝑧𝑚𝑎𝑥

𝑐� − cos (𝛷)�

L’annulation de cette dérivée donne 𝛷 + 2𝜋𝑓𝑧𝑚𝑎𝑥𝑐

= −𝛷 [2𝜋]

Ce qui donne : 𝛷 = −𝜋𝑓𝑧𝑚𝑎𝑥𝑐

[𝜋]

La dérivée s’annule donc pour 𝛷 = −225° ou 𝛷 = −45°.

En injectant ces valeurs de phase dans le calcul du travail on trouve :

W = -1,349 MeV pour 𝛷 = −225° c’est un minimum (dans ce cas, aucun électron n’est extrait de la cathode), et W = 1,349 MeV pour 𝛷 = −45° qui est le maximum d’énergie extraite. On trace alors la figure 10 représentant l’énergie en fonction de la phase, toutes les énergies négatives ne sont pas prises en compte car elles correspondent à des phases où l’on extrait aucun électron.

Fig. A1 : Énergie extraite en fonction de la phase (calcul analytique).

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

-230 -180 -130 -80 -30 20 70 120

Ener

gie

(MeV

)

Phase (degrés)

Energie = f(phase)

28

Annexe 2 : Courant d’obscurité.

Il faut considérer le problème du courant d’obscurité observé dans l’accélérateur, en effet même lorsque le laser n’est pas en état de marche, il y a émission d’électrons par effet de champ. Ce courant d’obscurité est créé par effet de pointe à cause de la rugosité des différents éléments qui « voient » le champ électrique, les lignes de champs se resserrent et cela crée un champ électrique très intense. Ce champ électrique localement très intense abaisse la barrière de potentiel des électrons (voir schéma ci-dessous) qui ont alors une probabilité non nulle de passer la barrière par effet tunnel.

Fig. A2 : Schéma de la barrière de potentiel des électrons.

Le courant d’obscurité peut parfois avoir une charge plus grande que les photoélectrons émis par la cathode (surtout lorsque l’on veut maximiser l’énergie des photoélectrons, le champ électrique étant alors très fort) il n’est donc pas négligeable. Il sera mesuré à chaque changement d’énergie du faisceau et soustrait de la charge. Une autre méthode consisterait à utiliser deux dipôles l’un après l’autre avec une bobine de focalisation entre eux. Le courant d’obscurité ayant une dispersion en énergie bien plus importante que le faisceau de photoélectrons, on pourra sélectionner uniquement la gamme d’énergie correspondant au faisceau et une petite partie du courant d’obscurité. Dans la pratique, on pourra faire une mesure de la lumière de fluorescence uniquement avec le courant d’obscurité afin de voir la lumière qu’il faut lui attribuer.

29

Index des figures Figure 1 : création personnelle Figure 2 : Présentation D. Monnier Ragaigne 28 juin 2011 Figure 3 : création personnelle Figure 4 : plans mécaniques de PHIL Figure 5 : plans mécaniques de PHIL Figure 6 : ASTRA Figure 7 : ASTRA Figure 8 : ASTRA Figure 9 : création personnelle (MATLAB) Figure10 : ASTRA Figure11 : création personnelle (MATLAB) Figure12 : création personnelle (MATLAB et images experimentales) Figure 13 : création personnelle (ASTRA puis visualisation MATLAB) Figure 14 : création personnelle (ASTRA puis visualisation MATLAB) Figure 15 : image expérimentale Figure 16 : Création personnelle Figure 16 : Thèse G. LEFEUVRE Figure 17 : création personnelle (MATLAB) Figure 18 : création personnelle (MATLAB) Figure 19 : création personnelle (MATLAB) Figure 20 : création personnelle (Excel) Figure 21 : création personnelle (Excel) Figure 22 : création personnelle (Excel) Figure 23 : Photo fenêtre Figure 24 : création personnelle (MATLAB) Figure 25 : création personnelle (MATLAB) Figure 26 : création personnelle (MATLAB) Figure 27 : création personnelle (Excel) Figure 28 : création personnelle (Excel) Figure A1 : création personnelle (Excel) Figure A2 : création personnelle

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Références bibliographiques

[1] : Thèse G. DEVANZ [2] : Présentation D. Monnier Ragaigne 28 juin 2011 [3] : S. M’Garrech : Etude de la mesure des émittances transverse d’un faisceau par la méthode des gradients. Application au cas d’une focalisation par solénoïde (2002). [4] : B. Rossi, K. Greisen, Rev. Mod. Phys. 13 (1941) 240 V. L. Highland, Nucl. Inst. Meth. 129 (1975) 497, Nucl. Inst. Meth. 161 (1979) 171