Rappel...
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Rappel...
• Valeurs propres et vecteurs propres.– Définitions;– Propriétés;– Équations aux différences;– Équation caractéristique;– Matrices similaires;– Applications aux systèmes dynamiques.
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Aujourd’hui
• Diagonalisation.
• Transformations linéaires.
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11. Diagonalisation et transformations linéaires
Dans certains cas, on peut décomposer une matrice selon A = PDP-1, D étant une matrice diagonale.
Cette décomposition contient de l’information à propos des valeurs propres et des vecteurs propres.
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Diagonalisation
Pourquoi diagonaliser?
Calcul des puissances d’une matrice.
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Diagonalisation (suite)
On dit qu’une matrice A est diagonalisable si A est similaire à une matrice diagonale, i.e. A = PDP-1, pour une matrice inversible P et une matrice diagonale D.
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Théorème de la diagonalisation
Une matrice A n n est diagonalisable si et seulement si A possède n vecteurs propres linéairement indépendants.
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Théorème de la diagonalisation (suite)
Si A = PDP-1, où D est une matrice diagonale, alors les éléments de la diagonale de D sont les valeurs propres de A et les colonnes de P sont les vecteurs propres correspondants.
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Base de vecteurs propres
Le théorème précédent implique queA n n est diagonalisable si on a assez de vecteurs propres pour former une base de Rn.
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Méthode pour diagonaliser une matrice
1) Trouver les valeurs propres de A, n n.
2) Trouver les vecteurs propres de A. Il en faut n qui soient linéairement indépendants.
4) Construire D à partir des valeurs propres.
3) Construire P à partir des vecteurs propres.
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Théorème: diagonalisation et valeurs propres distinctes
Si une matrice A n n possède n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable.
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Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes
Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes 1,...,p.
a. Pour 1 k p, la dimension de l’espace propre de k est inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre k.
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Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (suite)
Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes 1,...,p.
b. La matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres distincts est égale à n, et ceci arrive si et seulement si la dimension de l’espace propre de chaque k est égale à la multiplicité de k.
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Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (fin)
Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes 1,...,p.
c. Si A est diagonalisable et Bk est une base pour l’espace vectoriel correspondant à k
pour chaque k, alors l’union de tous les vecteurs appartenant aux ensembles B1,...,Bp
forment une base de vecteurs propres pour Rn.
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Vecteurs propres et transformation linéaire
Nous allons maintenant explorer la relation entre la décomposition matricielle A = PDP-1 et les transformations linéaires.
x Ax u Du
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Matrice d’une transformation linéaire
Vn-dim Wm-dim
T: transformation linéaire de V vers W
V: base B, vecteurs de coordonnées [x]B Rn.
W: base C, vecteurs de coordonnées [T(x)]C Rm.
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V Wx T(x)
[x]B
Rn
[T(x)]C
Rm
T
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Calcul de la matrice
À cause de la linéarité, on peut écrire
[T(x)]C = M[x] B
où M = [[T(b1)]C [T(b2)]C … [T(bn)]C ]
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V Wx T(x)
[x]B
Rn
[T(x)]C
Rm
T
M
Matrice de la transformation T selon les bases B et C
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V Vx T(x)
[x]B
Rn
[T(x)]B
Rn
T
[T]B
Transformation linéaire de V dans V: matrice B de T.
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Représentation par une matrice diagonale
Supposons que A = PDP-1, où D est une matrice diagonale n n. Si B est la base de Rn formée des colonnes de P, alors D est la matrice B de la transformation linéairex Ax.
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Prochain cours...
• Systèmes dynamiques:
– discrets;– continus.