1 Uvod

U poslednje vreme posvecuje se znacajna paznja problemima deforma-bilnih tela, u slucaju kada su ta tela podvrgnuta ogranicenim defor-macijama. Za takva tela se kaze da su podvrgnuta tzv. unutrasnjimvezama (internal constraints) ili unutrasnjim prinudama. Primer takvih(realnih) materijala su: skoro potpuno nestisljive tecnosti i gume. Vlakna,kojima se ojacava guma, cini takav materijal neistegljiv u pravcima tihvlakana. Tecni kristali nematskog tipa nemenjaju intenzitet vektoraorijentacije pri elasticnoj deformaciji. Sustinski, unutrasnja prinuda jekonstitutivno ogranicenje na deformacije koje telo moze da podnese.

Od posebnog interesa su proste unutrasnje veze, koje se definisuskalarnom funkcijom λ(F), gde je promenljiva gradijent deformacije F.Kazemo da je materijalna cestica X tela B pod dejstvom veze λ akosu moguce deformacije tela one za koje je

λ(F) = 0.

Ocigledno je da za telo podvrgnuto prostim unutrasnjim vezama gradi-jent deformacije F pripada nekoj monostrukosti. To je potpuno drugacijeod situacije kada na telo ne deluju unutrasnje veze, jer tada je F el-ement otvorenog podskupa tenzora drugog reda cije su determinantepozitivne. Sa teorijskog stanovista materijali pod prinudama su se raz-matrali do sada na nacin koji su predlagali Truesdell i Noll [6], (viditako -de Chadwick [2], Jaric [7]).

U tom prilazu tenzor napona T se apriori razlaze na zbir dva tenzora

T = Tr + Ta,

od kojih Tr predstavlja reaktivnu, a drugi Ta aktivnu komponentutenzora napona.

Za komponentu Tr se pretpostavlja da ne vrsi rad pri svim kre-tanjima, koja su saglasna sa prinudama (vezama). Odre -dena je un-utrasnjim prinudama do na skalarni mnozitelj, a koji predstavlja La-granzev mnozitelj veze. Prirodno je da tumacimo tu komponentu kaoonaj deo napona koji predstavlja reakciju veze, zbog toga se tako inaziva.

Komponenta Ta je gradijent gustine unutrasnje energije (u slucajuelasticnih tela) u odnosu na gradijent deformacije. Vrsi rad i naziva seaktivan napon.

Postupak za odre -divanje Lagranzeovog mnozitelja veze sustinskizasniva na sledecem problemu (vidi [2], str. 27, problem 12):

Neka je dat simetrican tenzor T (T 6= 0). Pokazati da se proizvol-jan i simetrican tenzor S moze izraziti u obliku

S = αT + U, (1)

gde je α skalar, a U simetrican tenzor takav da je tr(TU) = 0.Dalje, ako su T1 i T2 simetricni tenzori (T1,T2 6= 0) i ako jetr(T1A) = 0 za ove tenzore A za koje je tr(T2A) = 0, onda jeA1 = αA2 .

Resenje problema zasniva se na cinjenici da je tenzor T simetrican irazlicit od nule. Onda najmanje jedna njegova karakteristicna vrednostrazlicita od nule, pa je trT2 > 0. Odavde tako -de sledi da je simetricantenzor ciji je trag kvadrata jednak nuli, nula tenzor. Prema uslovu

zadatka trTU = 0, pa je α =trTS

trT2. Tada iz (1) sledi da je S = αT+U.

Ova dekompozicija je jednoznacna. Zaista, ako pretpostavimo da jeS = βT + V onda je (α − β)T = αV − U, pa je (α − β)trT2 = 0.Znaci mora biti α = β i V = U.

Drugi deo problema zasniva se na prethodnom rezultatu, tj. nadekompoziciji T1 = αT2 + U, gde je tr(T2U) = 0. Onda je

tr(T1A) = αtr(T2A) + tr(AU),

za svako A. Me -dutim, prema uslovu problema, tr(T1A) = 0 uvekkada je tr(T2A) = 0. Odavde sledi da U mora zadovoljavati uslovtr(UA) = 0 za svaki tenzor A za koji je tr(T2A) = 0. To je sigurnoslucaj kada je A = U, jer je tada tr(T2U) = 0. Prema tome, morabiti trU2 = 0 odakle sledi da je U = 0. Znaci T1 = αT2.

Ilustrojmo to na slucaju nestisljivih materijala. Tada je deformacijaizohoricna i odre -dena sa

detC− 1 = 0,

gde je

C = FTF

2

desni Kosi-Grinov tenzor deformacije. Odavde se lako pokazuje da je

(detC)C−1· C = C−1· C = 0.

Kako jeL = FF−1 = D + W,

gde je L – gradijent brzine, D – tenzor brzine deformacije, simetricantenzor, a W – tenzor vrtloznosti, antisimetrican, sledi da je

C = 2FTDF.

Onda jeC−1· C = 2C−1· FTDF = 2FC−1FT ·D = 0,

iliI·D = 0.

Imajuci u vidu da je rad reaktivnog dela napona nula, tj.

Tr·D = 0,

za svako D za koje je I·D = 0, sledi da je

Tr = −pI

saglasno sa resenjem navedenog problema; p je proizvoljna funkcija isa fizickog stanovista predstavlja hidrostaticki pritisak.

Nedavno, Carlson i Tortorelli [1] predlazu novi prilaz razmatranjutela sa prinudama u kome se iskljucuje formalizam Lagranzeovih mnoziteljaveza. U ovom prilazu se ukazuje na sledece cinjenice: savremenamehanika kontinuuma zasniva sa na jasnoj podeli na kinematiku, os-novne zakone balansa, s jedne strane, i konstitutivnih jednacina sadruge strane. Pitanje koje se postavlja je mesto unutrasnjih veza utoj podeli? Pri odgovoru na to pitanje, polazi se od cinjenice da seiste unutrasnje veze odnose na razlicite klase materijala. Na primer,inkompresibilnost (nestisljivost) se moze odnositi i na hiperelasticnacvrsta tela i viskozne fluide. Na osnovu toga zakljucuje se da su un-utrasnje veze daleko siri pojam od konstitutivnih jednacina. Imajucito u vidu, Anderson, Carlson and Fried [5], koriste modifikovanu verz-iju geometrijskih argumenata [8] pri razmatranju inkompresibilnosti i

3

mikrostrukturne neistegljivosti u slucaju nematic elastomers. Na tajnacin dolaze do dveju komponenata tenzora napona bez koriscenja za-kona balansa ili konstitutivnih pretpostavki.

Od interesa je da se ovaj prilaz detaljnije razmotri, s obzirom nanjegovu aktuelnost.

1.1 Osnovni pojmovi i oznake

U cilju sazetog i preglednog izlaganja problema koje ovde razmatramo,navodimo osnovne pojmove deformabilnog tela, kao i oznake, koje suuobicajene u mehanici kontinuuma, a koje cemo koristiti.

Telo se identifikuje sa oblascu prostora B, koje ono zauzima u ref-erentnoj konfiguraciji. Kretanje tela odre -deno je relacijom

x = x(X, t).

Sa X oznacavamo polozaj materijalne cestice X tela u pocetnoj kon-figuraciji, a sa x polozaj iste materijalne cestice X tela u trenutnojkonfiguraciji. Gradijent deformacije oznacavamo sa

F = Gradx, detF > 0.

Na osnovu teoreme o polarnoj dekompoziciji, pisemo

F = RU = VR,

gde je

R – tenzor rotacije, RTR = RRT = I,

I – jedinicni tenzor,

U – desni tenzor deformacije,

V, Vij – levi tenzor deformacije,

B = FFT = V2 – levi Kosi-Grinov tenzor deformacije,

C = FTF = U2 – desni Kosi-Grinov tenzor deformacije.

4

Glavne invarijante levog Kosi-Grinov tenzor deformacije oznacavamosa:

IB = trB,

2IIB = (trB)2 − trB2,

IIIB = detB,

a glavne invarijante tenzora V sa:

IV = trV,

2IIV = (trV)2 − trV2,

IIIV = detV.

Dalje, oznacavamo sa:

T, Tij – Kosijev tenzor napona,

a = x – ubrzanje tacke tela,

1.2 Geometrija mnogostrukosti sa ogrnicenjima

Pretpostavljamo da je telo podvrgnuto dejstvu prostih veza, koje suodre -dene neprekidnim diferencijabilnom funkcijama

fi(F) = 0, i = 1, . . . , n. (2)

Tako -de pretpostavljamo da su vektori Gradfi(F), i = 1, . . . , n linearnonezavisni za svako F koje zadovoljava (2). Napomenimo da je na ovomnivo opstosti n < 9. Me -dutim, na osnovu principa materijalne indifer-entnosti, sledi da je fi funkcija simetricnog tenzora FTF, pa je prematome n < 6. Ove relacije odre -duju domen D vrednosti F, koji nazivamomnogostrukost sa ogrnicenjima na F, a koja je data sa

D :={F ∈ Lin+ : fi(F) = 0, i = 1, . . . , n

}.

Lin+ oznacava linearni prostor tenzora drugog reda, cija je determi-nanata veca od nule.

5

Potprostor N linearnog vektorskog prostora (Lin), upravan na Du F, odre -den je baznim vektorima Gradfi(F), i = 1, 2, . . . , n, ili sim-bolicki zapisujemo u obliku

N(F) := {Gradfi(F), i = 1, 2, . . . , n} .

Njegov ortogonalni komplement u linearnom vektorskom prostoru Linoznacavamo sa

(N(F))⊥ := {A ∈ Lin : A·Gradfi = 0, i = 1, 2, . . . , n} . (3)

Sa geometrijskog stanovista, (N(F))⊥ je tangentni prostor T (F) na Du F, tj.

(N(F))⊥ = T (F).

S obzirom da (2) vazi za svaki t sledi da je

Gradfi(F)F = 0, i = 1, 2, . . . , n. (4)

Iz (3) i (4) moze da se zakljuci da je

F ∈ T (F). (5)

Kako je, na osnovu teoreme o projekcijama,

Lin = N(F)⊕ T (F)

onda je za svako A ∈ Lin

A = A⊥ + A‖, A⊥ ∈ N(F), A‖ ∈ T (F). (6)

Iz (3), (5) i (6), sledi

A⊥· F = 0, A· F = A‖· F. (7)

1.3 Energetska nejednakost

Nadalje razmatramo mehanicku teoriju, koja se zasniva na drugomzakonu termodinamike kada je trenutno povecanje slobodne energije ψ

6

u bilo kojoj tacki tela nije vece od utrosene snage. Izrazane u oblikuKlauzijus-Dijemove nejednakosti ova energetska nejednakost glasi

˙∫

B

%

(ψ +

1

2|v|2

)dv ≤

∫

∂B

Sn·v da +

∫

B

%b·v dv

i vazi za svaki trenutak i svaki deo tela. Ovde smo oznacili sa: % -gustinu mase, v - polje brzine, S - prvi Piola-Kirkof tenzor napona, b -

zapreminsku silu po jedinici mase; sa˙() oznacavamo materijalni izvod

po vremenu. Ako se u ovoj nejednakosit iskoristi zakon balansa mase,kolicine kretanja i identitet

∫

∂B

Sn·v da +

∫

B

%b·v dv =

∫

B

S· F dv +

∫

B

1

2|v|2 dv

onda ona postaje˙∫

B

%ψ dv ≤∫

B

S· F dv,

ciji je lokalni oblik%ψ ≤ S· F. (8)

Ova nejednakost je od sustinskog znacaja za razmatranje teorije hipere-lasticnih materijala.

1.4 Aktivni i reaktivni napon

Kako je S ∈ Lin, onda je prema (6) i (7)

S = S⊥ + S‖,

gde jeS⊥· F = 0, S· F = S‖· F.

Odavde se vidi da je snaga napona S⊥ jednaka nuli, pri kretanju poddejstvom prinude. Zbog toga se S⊥ naziva reaktivna komponentanapona i obelezava sa

S⊥ = Sr.

7

Dalje, Sr ∈ N(F), pa je

Sr =n∑

i=1

λiGradfi(F).

Skalarne funkcije λi (i = 1, . . . , n) su konstitutivno neodre -dene velicine.Komponenta napona S‖ vrsi rad po jedinici vremena pri kretanju podprinudom. Obelezavamo je sa

S‖ = Sa

i nazivamo je aktivna komponenta napona.Vazo je uociti da je ova dekompozivija napona, pri kretanju tela

pod dejstvom prinuda, nezavisna od konstitutivnih pretpostavki i daje u potpunosti odre -dena prirodom prinuda. Prema tome, pri ovakvojdekompoziciji napona telo ne mora da bude elasticno. Tako -de je vaznouociti da je uvek

Sa·Sr = 0.

1.5 Hiperelasticno telo pod dejstvom prinuda

U slucaju dejstva prinuda na telo (8) postaje

%ψ ≤ Sa· F. (9)

Za hiperelasticno telo vazi da je

ψ = ψ(F), Sa = Sa(F) ∈ T (F).

Iz

ψ = Grad‖ψ(F)· Fi (9), dobijamo

(Sa(F)− %Grad‖ψ(F))· F ≥ 0. (10)

Kako je Sa(F), %Grad‖ψ(F) ∈ T (F) i F ∈ T (F) proizvoljno, onada iz(10) dobijamo

Sa(F) = %Grad‖ψ(F). (11)

8

Iz nacina izvo -denja, Sr i Sa moze da se izvede zakljucak o sustinskomkarakteru reaktivnog i aktivnog (konstitutivnog) dela napona S za telakoja se krecu pod dejstvom prinude.

Aktivna komponenta napona Sa se odre -duje saglasno sa opstomteorijom konstitutivnih jednacina. Reaktivna komponenta napona Sr

odre -dena je do na proizvoljne skalarne funkcije λi, koje se u opstemslucaju odre -duju iz jednacina kretanja i granicnih uslova.

1.6 Izotropni elasticni materijali pod dejstvom prin-uda

Unutrasnje prinude mogu biti razlicitog oblika i mogu biti primen-jene u razlicitim situacijama. Verovatno najcesce koriscene prinudei izucavani materijali pod prinudom su geometrijske prinude: inkom-presibilnost i neistegljivost. Efekat svake prinude je dvostruk. Kine-maticka prinuda rezultira u smanjenju stepena slobode deformacije telai istovremeno uvo -denju odre -denih promena u naponu bez promene de-formacije. Primera radi nezavisno od opterecenja duzina materijalnihlinijskih elemenata duz pravca neistegljivosti se ne menja. Takva prin-uda dovodi do smanjena stepena slobode koji se odnosi na deformaciju,tj. neke promene oblika tela ne mogu da se realizuju. Tacnije, duzpravca neistegljivosti, ne moze da se menjaju oblik tela, nezavisno odvelicine napona.

U mehanickoj teoriji osnovni problem se svodi na odre -divenje uti-caja prinuda pri izracunavanja napona. U cilju ilustracije opsteg pos-tupka pri razmatranju takvih problema navodimo sledeci

Problem. Kruzni cilindar poluprecnika A i duzine L u prirod-nom stanju rotira se oko svoje ose simetrije konstantnom ugaonombrzinom ω, tako da je njegovo kretanje dato sa:

x1 = λ−1/2 (X1 cos ωt−X2 sin ωt) ,

x2 = λ−1/2 (X1 sin ωt + X2 cos ωt) ,

x3 = λX3,

(12)

gde je λ pozitivna konstanta, a xi i Xi su prostorne i referentnekoordinate, respektivno, u odnosu na zajednicki Dekartov sistem

9

koordinata, vidi sl.1. Pokazati da je kretanje izohoricno i naciglavna izduzenja. Guma je nestisljiva i moze se tretirati kaoMooney matrijal koji je dat konstitutivnom relacijim

T = −pI + (α + βIB)B− βB2, (13)

α i β su pozitivne konstante. Pretpostavljajuci da je povrs cilin-dricna slobodna od napona i da zapreminske sile ne deluju, odred-iti pritisak p. Pretpostavljajuci dalje da se rezultujuce sile na os-novama cilindra jednake nuli, odrediti jednacinu iz koje se mozenaci duzina cilindra koji rotira, [2].

Slika 1:

Resenje.

Obelezimo sa e1, e2 i e3, bazne vektore zajednickog koordinatnogsistema kao sto je prikazano na slici. Onda je gradijent deformacije Fza zadato kretanje cilindra odre -den sa

F = λ−1/2 (e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2) cos ωt+

+ λe3 ⊗ e3 − λ−1/2 (e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1) sin ωt.(14)

Odavde sledi da je

B = FFT = λ−1 (e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2) + λ2e3 ⊗ e3. (15)

i da su λ−1/2, λ−1/2, λ glavna izduzenja tenzora B1/2. To znaci dahomogena deformacija koja proizilazi iz rotacije tela namece na cilindaraksijalno (uzduzno) izduzenje λ i transverzalno (poprecno) izduzenjeλ−1/2.

10

Posto proizvod glavnih izduzenja λ−1/2·λ−1/2·λ = 1, kretanje jeizohoricno (nema promene zapremine).

Koristeci relaciju I = e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2 + e3 ⊗ e3 lako je pokazatida se (15) svodi na

B = λ−1I +(λ2 − λ−1

)e3 ⊗ e3, IB = 2λ−1 + λ2. (16)

Smenom ovih izraza u (13) dobijamo

T ={−p + αλ−1 + β

(λ−2 + λ

)}I+

+(α + βλ−1

) (λ2 − λ−1

)e3 ⊗ e3.

(17)

Ubrzanje rotirajuceg tela dobija se iz (12) diferenciranjem po vre-menu, tako da je

a = −ω2 (x1e1 + x2e2) . (18)

Imajuci u vidu da su zapreminske sile jednake nuli, Kosijeve jednacinekretanja

%a = divT + %b,

postaju∂p

∂x1

= %ω2x1,∂p

∂x2

= %ω2x2,∂p

∂x3

= 0. (19)

Ove jednacine se mogu integraliti, odakle dobijamo

p =1

2%ω2r2 + ϕ(t), (20)

gde je r =√

x21 + x2

2, a ϕ proizvoljna funkcija integracije. Ovu funkcijuϕ(t) odre -dujemo iz uslova da je napon na povrsi cilindra nula. Ondaiz (17) sledi da je

n·Tn = 0. (21)

Odakle dobijamo

−p + αλ−1 + β(λ−2 + λ

)= 0 za r = λ−1/2A. (22)

Vazno je uociti da je poluprecnik rotirajuceg cilindra r = λ−1/2A i daje n· e3 = 0. Iz ove jednacine (20) i (22), za r = λ−1/2A odre -dujemoϕ(t).

11

Tada je

ϕ(t) = −1

2%ω2λ−1A2 + αλ−1 + β

(λ−2 + λ

).

Smenom ovog izraza u (20) konacno dobijamo

p =1

2%ω2

(r2 − λ−1A2

)+ αA−1 + β

(λ−2 + λ

). (23)

Vektor napona na levoj osnovi cilindra je sada

t(e3) = TTe3 =

{−1

2%ω2

(r2 − λ−1A2

)+

(α + βλ−1

) (λ2 − λ−1

)}e3

(24)Sto sledi iz (17) i (23). S druge strane vektor napona na desnoj osnovicicilindra je suprotnog znaka od (24).

Zahtev da je rezultujuci napon na osnovici cilindra jednak nuli,svodi se na izraz

2π

λ−1/2A∫

0

{−1

2%ω2

(r2 − λ−1A2

)+

(α + βλ−1

) (λ2 − λ−1

)}r dr = 0

odakle se integracijom dobija

αλ4 + βλ3 −(

α− 1

4%ω2A2

)λ− β = 0. (25)

Iz ove jednacine cetvrtog stepena po λ sledi da je jedno resenje izme -du0 i 1, a da je proizvod resenja negativan. Mogucnost postojanja tripozitivna korena se iskljucuje, jer drugi izvod bi imao pozitivnu nulusto nije slucaj. Prema tome jednacina (25) ima samo jedno pozitivnoresenje koje se nalazi u intervalu izme -du 0 i 1. Sto se moglo i ocekivati,jer se cilindar pri rotaciji skracuje duz ose rotacije i siri upravno na osurotacije.

2 Posebna naponska stanja

Kosijev tenzor napona je realan i simetrican. U opstem slucaju imatri karakteristicne vrednosti (glavni naponi), kojima odgovaraju ortog-onalni karakteristicni vektori koji odre -duju glavne ose tenzora napona.

12

U slucaju inkompresibilnih materijala svi glavni naponi sadrze isti clanp, koji predstavlja proizvoljni hidrostaticki pritisak. U radu Rivlina [9],a koji se odnosi na konacne deformacije inkompresivnih (nestisljivih)elasticnih materijala ova proizvoljnost p se koristi za odre -divanje posebneravni, slobodne od normalnog napona. U tom slucaju naponsko stanjese znatno uproscava.

Navedimo primer [9].

Posmatrajmo tanku plocu koju cini hiperelasticni inkompresibilnimaterijal. U odnosu na referentnu konfiguraciju izaberimo ortog-onalni koordinatni sistem ea, a = 1, 2, 3, kao sto je prikazano nasl.2

Izduzenja λ1, λ2 duz pravaca e1, e2, rezultiraju u homogenojbiaksijalnoj deformaciji. Homogena deformacija ploce odre -denaje relacijama

x1 = λ1X1, x2 = λ2X2, x3 = λ3X3. (26)

Pretpostavlja se da je materijal nestisljiv, tj. λ1λ2λ3 = 1 i da jestanje napona ravno, tako da su komponente Kosijevog naponat13, t23, t33 jednake nuli.

Pokazati da je stanje biaksijalnog napona, homogenog problema,dato sa

t1 = 2(λ2

1 − λ−21 λ−2

2

) (∂ψ

∂I1

+ λ22

∂ψ

∂I2

),

t2 = 2(λ2

2 − λ−21 λ−2

2

) (∂ψ

∂I1

+ λ21

∂ψ

∂I2

).

(27)

13

Slika 2:

Resenje.

Iz (26) lako je pokazati da je

F =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

(28)

B = FFT =

λ21 0 0

0 λ22 0

0 0 λ23

, (29)

kao i da su glavne invarijante tenzora B, date sa

I1 = λ21 + λ2

2 + λ−11 λ−2

2 ,

I2 = λ21λ

22 + λ−1

1 + λ−22 ,

I3 = 1.

(30)

14

Posto su tenzori T i B koaksijalni za izotropne elasticne materijale,glavni naponi se dobijaju iz

T = −pI + 2∂ψ

∂I1

B− 2∂ψ

∂I2

B−1 (31)

i glase

ta = −p + 2

(λ2

a

∂ψ

∂I1

− 1

λ2a

∂ψ

∂I2

), a = 1, 2, 3, (32)

λ2a su tri karakteristicna broja levog Kosi-Grinovog tenzora B.

Koristeci uslov inkompresibilnosti

λ1·λ2·λ3 = 1 (33)

i granicni uslovt3 = 0

moguce je odrediti p eksplicitno. Za a = 3 iz (32) sledi

t3 = 0 ⇒ p = 2

(1

λ21λ

22

∂ψ

∂I1

− λ21λ

22

∂ψ

∂I2

). (34)

Smenom ovog izraza u (32) dobijamo (27).Ideja Rivlina moze se primeniti i u opstem slucaju. Zaista, ako je

n = n3 jedinicni vektor normale nenapregnute ravni u nekoj tacki telaonda mora biti

ni·Tn3 = 0, za i = 1, 2, 3,

ni·nj = δij.

Tada je0 = ni(ni·Tn3) = (ni ⊗ ni)Tn3 = Tn3,

jer je ni ⊗ ni = I. Kako je n3 jedinicni vektor, sledi da (za postojanjetakve ravni) mora biti

detT = 0.

Kako je T simetrican tenzor, onda je

T =∑

i

tiei ⊗ ei,

15

gde su ti, karakteristicne vrednosti, a ei njima odgovarajuci karakter-isticni vektori, i = 1, 2, 3. Znaci

detT = t1t2t3 = 0,

sto obuhvata i Rivlinov slucaj kada je t3 = 0.

3 Unutrasnje prinude Belovog i Eriksen-

ovog materijala

U nizu eksperimenata, pri izucavanju kaljenih materijala, Dzems Bel[15], [16], uocio je da je pri konacnim deformacijama, razlicitih izotrop-nih metala, uvek

trV = 3. (35)

Mada se ovo kinematicko ogranicenje odnosilo, izvorno, na konacnuplasticnu deformaciju metala, nadalje se intenzivno primenjuje i naslucaj konacne teorije elasticnosti. U svakom slucaju, materijali kojizadovoljavaju vezu (35), nazivaju se Belovi materijali. Slicno tome,materijali koji zadovoljavaju vezu

trB = 3, (36)

nazivamo Eriksenovi materijali.Geometrijski smisao ogranicenja na Belove i Eriksenove materijale

mozemo iskazati i relacijama:

tr(V − I) = 0, odnosno tr(B− I) = 0.

Odavde se vidi da tenzori V−I, odnosno B−I odre -duje cisto smicanje.Karakterise ih postojanje ortonormiranog sistema vektora pi, za V−I,za koje je

pi· (V − I)pi = 0,

odnosno qi, za B− I, za koje je

qi· (V − I)qi = 0, i = 1, 2, 3, ne sabirati po i

(videti [10] i [11]).Kao ilustraciju, navodimo primer deformacije

16

x = AX + sin Y ,

y = DY ,

z = AZ − cos Y ,

gde su: Y = kY , k, A i D konstante [12]. Pokazano je da je ovadeformacija moguca u Belovim materijalima [13]. Tako -de je (u[14]) pokazano da je ona dopustiva za sve izotropne materijalepod dejstvom izotropnih prinuda (sa izuzetkom nestisljivosti). Uslucaju Eriksenovih materijala imamo

B =

A2 cos2 Y D cos Y sin Y cos Y

D cos Y D2 D sin Y

sin Y cos Y D sin Y A2 sin2 Y

B−1 =

1

A2− 1

D

cos Y

A20

− 1

D

cos Y

A2

1

D2+

1

A2D2− 1

D

sin Y

A2

0 − 1

D

sin Y

A2

1

A2

U slucaju Belovog izotropnog materijala konstitutivna relacija glasi

T = −pV + ω0I + ω2B,

ili u komponentalnom obliku

Tij = −pVij + ω0δij + ω2Bij;

p se odre -duje iz jednacina ravnoteze i granicnih uslova, kao sto smopokazali na prethodnom primeru. ω0 i ω2 su funkcije od IIV i IIIV.

Navedimo i konstitutivna relacija za Eriksenov materijal

T = −pB + β0I + β−1B−1,

gde su β0 i β−1 funkcije od IIB i IIIB.

17

U slucaju nestisljivih materijala, kao sto je navedeno u prethodnomslucju, isti clan pojavljuje u svim glavnim naponima. Prema tome, iz-bor p ne moze da utice na opstu strukturu tenzora napona. Pitanjeglasi da li se ideja Rivlina moze koristiti u slucaju materijala koji supodvrgnuti drugom izotropnom unutrasnjim ogranicenjima. Ova idejase razmatra u radu Hejsa i Sakomandi-a [4]. Takvi materijali su naprimer Belovi i Eriksenovi materijali. Kosijev napon, za Bel-ov ma-terijal, na primer ima clan −pV. Njegovi glavni naponi sadrze redomclanove: −pλ1, −pλ2, −pλ3, gde su λ1, λ2 i λ3 glavna izduzenja. Akose pretpostavi da su glavna izduzenja me -dusobno razlicita, onda jemoguce izabrati p tako da su dva glavna napona jednaka i da se ten-zor napona svodi na oblik prostog istezanja superponiranog na hidro-staticki pritisak. To je bila centralna ideja ovog rada, ciji je smisao dase pokaze da su u nekim situacijama struktura tenzora napona mozesvesti na vrlo prost oblik, tj. na prosto istezanje superponirano nahidrostaticki pritisak, sto pretpostavlja veliko uproscenje za eksperi-mentariste (eksperimentatore), pri odre -divanju deformacije koja dovodido takvog naponskog stanja.

Uocimo da su V i B pozitivno definitni tenzori i da zbog toga (sve)normalne komponente tenzora V sadrze p. Tako -de, ako je V12 6= 0 zaBelove materijale, onda smicuca komponenta T12 ce sardzati reakcioniskalar. Odavde vidimo da p moze biti izabrano tako da je ili jedna nor-malna komponenta napona ili smicuca komponenta T12 jednaka nuli.U svakom slucaju, postoji veci broj mogucnosti takvog izbora p zaBelove i Eriksenove materijale nego kada je u pitanju inkompresibilanmaterijal.

Takve mogucnosti postoje i u slucaju drugih ogranicenja, kao stoje u slucaju postojanja proste izotropne prinude

f (IC − 3, IIC − 3, IIIC − 1) = 0,

gde je f glatka funkcija glavnih invarijanti tenzora C.U opstem slucaju ova jednacina obuhvata ogranicenja na inkompre-

sibilnost, Belove i Eriksenove materijale.U ovom slucaju tenzor napona dat je relacijom

T = −πF∂CγFT + TE, ∂Cγ =∂γ

∂C

18

gde je π reakcioni skalar, a TE je extra- reaktivni napon. Za izotropnematerijale konstitutivna relacija za tenzor napona onda glasi

T = −πA + β0I + β1B + β−1B−1,

gde je

A =

(I2

∂γ

∂I2

+ I3∂γ

∂I3

)I +

∂γ

∂I1

B + I3∂γ

∂I2

B−1.

βi, i = 1, 2, 3 su koeficijenti ove reprezentacije i funkcije invarijanata IB,IIB i IIIB, koje su podvrgnute odgovarajucim ogranicenjima. Ociglednoje da su A i B koaksijalni, jer je AB = BA. Isto vazi za A i V.Me -dutim, relacije izme -du njihovoh karakteristicnih vrednosti, u opstemslucaju, nisu jednostavne.

Specijalno, iz izraze za A sledi da su samo materijali sa sfernimdelom tenzora napona inkompresibilni materijali. Za takve materijalemi nemamo mogucnost izbora skalara reagovanja za koji bi clanovi iz-nad dijagonale bili jednaki nuli. Zbog toga se ovaj prilaz ne odnosi nainkompresibilne materijale. Tacnije, u slucaju inkompresibilnih mater-ijala ne mozemo birati skalar reagovanja tako da su dva glavna naponajednaka.

4 Osnovni rezultat Hejsa i Sakomandija

U radu Hejsa i Sakomandija [4], pokazano je da u slucaju Belovih matri-jala, podvrgnutih izotropnoj prinudi, koja je razlicita od nestisljivosti,tenzor napona moze svesti na prosto istezanje (u pravcu) na koji jesupeponiran hidrostaticki pritisak. To ce biti slucaj

ako jedan od karakteristicnih vektora tenzora napona ima jednukomponentu jednaku nuli, u datoj bazi, a kada se iskoristi proizvoljnostfunkcije p u konstitutivnoj relaciji.

Analizirajmo ovaj slucaj detaljno, koristeci njihove oznake.Obelezimo sa ei, i = 1, 2, 3 ortonormirani sistem baznih vektora

Dekartovih koordinata. S obzirom da je Kosijev tenzor T simetrican,pisemo ga u obliku

T =3∑

i=1

tifi ⊗ fi,

19

gde su ti glavni naponi, a fi glavni pravci tenzora napona. U njihovomradu pretpostavlja se da je

fi 6= ej za svako i, j = 1, 2, 3.

Pretpostavlja se, tako -de, da je sistem baznih vektora takav da je

e1· f1 = 0,

sto je ekvivalentno uslovu

e1·Tf1 = f1·Te1 = 0.

Izaberimo p u Belovim materijalima tako da je

e1·Te2 = 0,

gde je

Te1 =3∑

i=1

xiei.

Onda iz e1·Te2 = 0 sledi da je x2 = 0, i da je

0 = f1·Te1 = x1· (f1· e1) + x3f1· e3,

x3· (f1· e3) = 0 ⇒ x3 = 0 za (f1· e3) 6= 0.

Prema tome jeTe1 = x1e1.

Kako jee1 = α2f2 + α3f3,

gde jeα2 = (f2· e1), α3 = (f3· e1),

sledi da je

Te1 = x1 [(f2· e1)f2 + (f3· e1)f3] =

(3∑

i=1

tifi ⊗ fi

)e1 =

= t2(f2· e1)f2 + t3(f3· e1)f3

20

ili

x1 = t2 = t3.

U tom slucaju je, t2 = t3 ≡ t, i

T = t (f2 ⊗ f2 + f3 ⊗ f3)− t1f1 ⊗ f1 =

= tI + (t1 − t)f1 ⊗ f1.

U ovom izrazu clan tI odre -duje hidrostaticki pritisak, a clan (t1 −t)f1 ⊗ f1 je prosto istezanje.

Heis i Sakomandi [4] ilustruji sledecim primerom.Neka je

V =3

19

7 −1 1−1 6 −21 −2 6

onda su njegove karkateristicne vrednosti i njima odgovarajuci karak-teristicni vektori dati sa

v1 =12

19, e =

1√2(0, 1, 1),

v2 =27

19, m =

1√3(1,−1, 1),

v3 =18

19, s =

1√6(2, 1,−1).

Odavde se vidi da je V pozitivno definitan tenzor i da je trV = 3.Prema tome ovako zadat tenzor V moze predstavljati levi tenzor de-formacije u slucaju Belovih materijala, za koje je

T = −pV + ω0I + ω2B =

= −p3

19

7 −1 1−1 6 −21 −2 6

+ ω0

1 0 00 1 00 0 1

+ ω2

(3

19

)2

51 −15 15−15 41 −2515 −25 41

.

Biramo p tako da je T12 = 0. Onda je

p =45

19ω2,

21

i

T = ω0

1 0 00 1 00 0 1

+

ω2

361

−486 0 0

0 −441 450 45 −441

.

Dalje oni pisu da se prethodni izraz za tenzor napona moze izraziti uobliku

T =

(ω0 − 396

361ω2

)I− 90

361ω2e⊗ e,

gde je

e =1√2(0, 1, 1).

5 Direktan prilaz

Pitanje koje postavljamo glasi: da li postoje drugi pristupi u kojima biprethodni pristup bio specijalan slucaj.

U tom cilju vrsimo detaljnu analizu tenzora napona za Belov ma-terijal

T = −pV + ω0I + ω2B.

Imajuci u vidu da su T, V i B simetricni i koaksijalni, pisemo ih uodnosu na ortonormiranu bazu njihovih karakteristickih vektora fi:

T =3∑

i=1

tifi ⊗ fi,

V =3∑

i=1

vifi ⊗ fi, (37)

B = V2 =3∑

i=1

v2i fi ⊗ fi.

Ovde su:

ti – karakteristicne vrednosti tenzora T,

vi – karakteristicne vrednosti tenzora V,

22

v2i – karakteristicne vrednosti tenzora B,

ei – karakteristicni vektori tenzora T, V i B.

Odmah se vidi da je

ti = ω0 − pvi + ω2v2i , i = 1, 2, 3.

Odavde se vidi da je uvek, kada je vi = vj i ti = tj (i 6= j). Obrnutone vazi.

Zaista, u slucaju kada je t1 = t2 sledi da je

t1 − pv1 + ω2v21 = ω2 − pv2 + ω2v

22

ili

p(v1 − v2) = ω2(v22 − v2

1).

Ova relacija ima smisla i kada je v1 6= v2. Ona uvek vazi za

p = ω2(v1 + v2).

Me -dutim, u ovom slucaju tenzor napona se svodi na oblik

T = t1I + (t3 − t1)e3 ⊗ e3.

Sa fizickog stanovista stenje napona se svodi na prosto naprezanje su-perponirano na hidrostaticki pritisak.

Eksplicitni oblik tenzora napona sada glasi

T = (ω0 − ω2v1v2)I + ω2 (v3 − v2) (v3 − v1) f3 ⊗ f3.

U slucaju koji je razmatran u [4], kada je t2 = t3, lako je pokazatida je

T = (ω0 − ω2v2v3)I + ω2 (v1 − v2) (v1 − v3) f1 ⊗ f1

Sledece pitanje, koje glasi, je: da li je ovaj izbor funkcije p jed-noznacan? Preciznije, da li su pri tom specijalnom naponskom stanjumoguca naprezanja samo u pravcu karakteristicnih vektora tenzora V?Odgovor na to pitanje daje sledeci stav.

23

Stav. Neka su karakteristicni brojevi vi, u slucaju Belovog mater-ijala, me -dusobno razliciti. Onda je uvek moguce izabrati p takoda se naponsko stanje svodi na prosto naprezanje superponiranona hidrostaticki napon. Formalno matematicki, to znaci da je

T = aI + bt⊗ t, a, b 6= 0 (38)

gde je t jedinicni vektor koji karakterise pravac naprezanja.

Dokaz. Poznato je da je

T = −pV + ω0I + ω2B (39)

za Belov materijal, gde je: V – levi Kosi-Grinov tenzor, B = V2, p –proizvoljna (skalarna) funkcija. Ekvivalentan izraz ovom izrazu je izraz

T =∑

i

(ω0 − pvi + ω2v

2i

)fi ⊗ fi =

∑i

tifi ⊗ fi

Odavde se vidi da su karakteristicni vektori V tako -de karakteristicnivektori tenzora T, cije su karakteristicne vrednosti date sa

ti = ω0 − pvi + ω2v2i , (i = 1, 2, 3).

Ako jeT = aI + bt⊗ t

onda je t karakteristicni vektor T. Tako -de su svi vektori upravni na tkarakteristicni vektori tenzora T. Znaci, u slucju kada je

T = aI + bt⊗ t = −pV + ω0I + ω2B (40)

karakteristicni vektori T ne moraju biti i karakteristicni vektori V, stosmo prethodno pokazali. Pogodno je (40) pisati u obliku

bt⊗ t =∑

3

[(ω0 − a)− pvi + ω2v

2i

]fi ⊗ fi (41)

odakl sledi da je

b(t· fi)t = (ω0 − a− pvi + ω2v2i )fi, i = 1, 2, 3, ne sabirati po i. (42)

24

i) Slucaj kada je b = 0, tj.

T = aI

je restrektivna i nije od interesa za Belove materijale. Zaista, u tomslucju iz (42) sledi da je

ω0 − a− pvi + ω2v2i = 0, i = 1, 2, 3,

ilip(vj − vi) = ω2(vj − vi)(vj + vi), i 6= j (43)

odakle sledi da mora biti

vi = vj(= v), i, j = 1, 2, 3.

Znaci V = vI, lokalna rotacija.ii) U svakom drugom slucju, iz (42) sledi t· fi 6= 0 za svako i = 1, 2, 3,

jer su t i fi jedinicni vektori.Zaista, iz

t· fi = 0 ⇒ (t· fi)fi = t(ti ⊗ fi) = t = 0,

jer je fi ⊗ fi = I. Kontradikcija.iii) Znaci da postoji jedno fi (i = 1, 2, 3) za koje je t· fi 6= 0. Neka

je to f1. Onda je

b(t· f1)t = (ω0 − a− pv1 + ω2v21)f1

odakle se vidi da jet = f1 (44)

do na znak (sto nije od bitnog znacaja).Iz (41) i (44) sledi da je

bf1 ⊗ f1 =∑(

ω0 − a− pv1 + ω2v21

)fi ⊗ fi

ilib = ω0 − a− pv1 + ω2v

21. (45)

Za i = 2, 3bδi2 = ω0 − a− pv2 + ω2v

22,

bδi3 = ω0 − a− pv3 + ω2v23

(46)

25

odakle sledi da jep(v3 − v2) = ω2(v

23 − v2

2) (47)

iii)1 Ako je v3 − v2 = 0, onda je

V = v2I + (v1 − v2)f1 ⊗ f1,

B = V2 = v22I + (v2

1 − v22)f1 ⊗ f1

i

T =(ω0 − pv2 + ω2v

22

)I + (v2 − v1)[p− ω2(v2 + v1)]f1 ⊗ f1 (48)

za proizvoljno p, tj. bez ikakvog ogranicenja na p. Trivijalan slucaj.iii)2 Od interesa je slucaj

v3 − v2 6= 0. (49)

Sada iz (47) dobijamop = ω2(v3 + v2). (50)

Smenom ovog izraza u (46) nalazimo da je

a = ω0 − ω2v2v3. (51)

Konacno, za i = 1 iz (45) i (51) sledi da je

b = ω2(v2 − v1)(v3 − v1). (52)

Prema tome je

T = (ω0 − ω2v2v3)I + ω2(v2 − v1)(v3 − v1)f1 ⊗ f1 (53)

i stav je dokazan. Dokazano je i da su moguci pravci prostog naprezanjasamo glavni pravci tenzora V.

Postoje jos samo dva moguca slucaja kada se T svodi na naprezanjeu datom pravcu na koji je superponiran hidrostaticki napon. Ta dvaslucaja su:

T = (ω0 − ω2v3v1) I + ω2(v3 − v2)(v1 − v2)f2 ⊗ f2

iT = (ω0 − ω2v2v1) I + ω2(v1 − v3)(v2 − v3)f3 ⊗ f3.

26

Primenimo to na slucaj Hejsa i Sakomandija [4], kada je

v1 =12

19, v2 =

27

19, v3 =

18

19.

Tada je

v2· v3 =486

361, (v2 − v1)(v3 − v1) =

90

361

i

T =

(ω0 − 486

361ω2

)I + ω2

90

361f1 ⊗ f1.

Navedimo i ostale moguce skucajeve. To su:

T =

(ω0 − 216

361ω2

)I + ω2

135

361f2 ⊗ f2,

T =

(ω0 − 324

361ω2

)I− ω2

54

361f3 ⊗ f3.

Prilaz iskazan stavom, koji smo dokazali, nazivamo direktan, jerse pretpostavlja trazeni oblik tenzora napona.

5.1 Slucaj Eriksenovog materijala

Znamo da je

T = −pB + β0I + β−1B−1 (54)

u slucju Eriksenovog materijala.Prethodno dokazani stav, za Belove materijale, moze da se primeni

i na Eriksenove materijae. Radi kompletnosti dajemo njegov dokaz,koji se vrlo malo razlikuje od dokaza istog stava za Belove materijale.

Stav Tvrdimo da je uvek moguce odrediti p, za Eriksenove mater-ijale, tako da je

T = aI + bt⊗ t, (55)

gde su a i b skalarne funkcije, a t jedinicni vektor koji karakterise pravactenzora.

Dokaz. Polazimo od (37)

27

Onda se (54) moze napisati u obliku

T =∑

i

(β0 − pbi + bi−1β

−1i

)fi ⊗ fi =

∑i

tifi ⊗ fi

gde su ti karakteristicni brojevi tenzora T dati sa

ti = β0 − pbi + bi−T β−1i , i = 1, 2, 3.

U slucju (55) karakteristicne vektori T su t i svi vektori su upravnina t. Iz (54) i (55) sledi da je

T = aI + bt⊗ t = −pB + β0I + β−1B−1 (56)

ilibt⊗ t = −pB + (β0 − a)I + β−1B

−1.

Istim postupkom, kao kod Belovog materijala, zakljucujemo da je

bδi1 = β0 − a− pbi + β−1b−1i ,

odakle dobijamob = β0 − a− pb1 + β−1b

−11 ,

0 = β0 − a− pbα + β−1b−1α , α = 2, 3.

Iz poslednjeg sistema jednacina dobijamo

p(b3 − b2) = β−1(b−13 − b−1

2 ).

Od intersa je samo slucaj kada je b−13 − b−1

2 6= 0. Onda je

p = − 1

b2b3

β−1,

a = β0 + (b−13 + b−1

2 )β−1,

pa jeb =

(b−11 + 3b−1

2 b−13

)β−1,

jer je b1 + b2 + b3 = trB = 3.Lako se izvode izrazi za a i b u slucaju kada je t = f2 i t = f3. Ovi

izrazi se mogu odmah pisati ako se iskoriste izrazi za f1 i u njima izvrsistriktna zamena indeksa.

28

6 Cisto smicanje

Jedno, od uvek mogucih naprezanja, u slucaju materijala pod dejstvomizotropnih prinuda je cisto smicanje. Tada je uvek moguce izabratifunkciju p tako da je

trT = 0.

Uslucaju Belovih materijala ovaj uslov glasi

−ptrV + 3ω0 + ω2trV2 = 0 ⇒ p =

3ω0 + ω2trV2

trV,

gde jetrV > 0, trV2 > 0.

Tada je

T = −3ω0 + ω2trV2

trVV + ω0I + ω2V

2.

Njegovi karakteristicne vrednosti su:

ti = −3ω0 + ω2trV2

trVvi + ω0 + ω2v

2i ,

∑i

ti = 0.

Ilustrujmo to na primeru Hejsa i Sakomandija [4]. Iz

trT = −p3

19· 19 + 3ω0 + ω2

(3

19

)2

· 133 = 0

dobijamo

p = ω0 +21

19ω2.

Kako je

trV =3

19· 19 = 3,

trV2 =

(3

19

)2

· 133 =63

19

29

onda je

T = −(

ω0 +21

19ω2

)V + ω0I + ω2V

2

i

ti = (1− vi)ω0 + vi

(vi − 21

19

)ω2.

Konkretno:

t1 = − 8

19ω0 + 18·

(3

19

)2

ω2,

t2 =1

19ω0 − 6

(3

19

)2

ω2,

t3 =7

19ω0 − 12·

(3

19

)2

ω2.

Odavde se vidi da je

trT = t1 + t2 + t3 = 0.

Prema tome, bar jedan glavni napon razlicitog je znaka od ostala dva.Ovo se odrazava na postupak odre -divanja ortonormiranih vektora pi,i = 1, 2, 3, za koje je

pi·Tpi = 0, i = 1, 2, 3, ne sabirati po i.

U radu [10] dat je analiticki i geometrijski postupak za njihovo odre -divanje.On se u potpunosti moze primeniti i u slucaju Belovog materijala. Ukonkretnom primeru, koji je razmatran u [4] znaci glavnih napona tinamece odgovarajuca ogranicenja na vrednosti ω0 i ω2. Ta ogranicenjazavise od svakog od mogucih slucajeva, kojih ima vise, a koje ovdenecemo razmatrati.

7 Zakljucak

Na kraju navedimo ono sto nije razmatrano u ovome radu, a sto svakakozasluzuje paznju. Pri tome imamo na umu da je u klasicnoj mehanici

30

materijalnih tacaka dobro poznato da neholonomne i neideane veze, uoptem slucaju, ne mogu se tretirati kao veze cije reakcije ne vrse rad.Ovakva razmatranja, koliko je meni poznato, nisu jos nasla mesto umehanici kontinuuma. Ovo napominjemo ovde jer su sva dosadasnjarazmatranja materiajala pod dejstvom unutrasnjih materiajlnih prin-uda vrsila dekompoziciju tenzora napona na dva dela: reaktivni, kojine vrsi rad pod dejstvom veza, i aktivni koji vrsi rad ali koji ne zavisiod Lagranzevih mnozilaca veza. Tako na primer, vec je sada poznato uliteraturi da fluidi mogu biti aproksimirani kao nestisljivi dok njihovematerijalne osobine, kao sto je viskoznost ili vreme relaksacije moguda zavise od pritiska. Za ocekivanje je da ce se u skoro vreme ovakvimproblemima u mehanici kontinuuma posvetiti duzna paznja. U prilogtome navodimo rad K.R. Rajagopal & G. Saccomandi [17].

31

Literatura

[1] D.E Carlson and D.A. Tortorelli, On hiperelasticity with internalconstraints, Journal of Elasticity 42, pp. 91-98, 1996.

[2] Chadwick, P., Continuum mechanics, George Allen & Unwin Ltd.,London, 1976.

[3] Holzapfel, A.G., Nonlinear solid mechanics, John Wiley & Sons,2001.

[4] Hayes, M.A., and Saccomandi G., The Cauchy stress tensor fora material subject to an isotropic internal constraint, Journal ofEngineering Mathematics, 37, pp. 85-92, 2000.

[5] Donald E. Carlson, Eliot Fried and Daniel A. Tortorelli, Geo-metrically based Consequences of Internal Constraints, Journal ofElasticity 70, pp. 101-109, 2003.

[6] C. Truesdell and W. Noll, The non-linear field theories of mechan-ics, Springer-Verlag 1965.

[7] J. Jaric, Mehanika kontinuuma, Gra -devinska knjiga, Beograd,1988.

[8] Anderson, Carlson and Fried, A continuum - mechanical theoryfor nematic elastomers, Journal of Elasticity 56, pp. 33-58, 1999.

[9] Rivlin, R.S., Large elastic deformations of isotropic materials. IV.Further developments of the general theory, Philosophical Trans-actions of the Royal Society of London, A241, pp. 379-397.

[10] P. Belik and R. Fosdick, The state of pure shear, Journal of Elas-ticity, 52, 91-98, 1998.

[11] Ph. Boulanger and M. Hayes, On Pure Shear, Journal of Elasticity,77, 83-89, 2004.

[12] M.M. Carroll, Some results on finite amplitude elastic waves, ActaMechanica, 3, pp. 167-181, 1967.

32

[13] M.F. Beatty and M.A. Hayes, Deformations of an elastic, inter-nally constrained material, part 2: nonhomogeneous deformations.Q.J. Mech. Appl. Math. 45, pp. 663-709, 1992.

[14] E. Pucci and G. Saccomandi, Universal relations in constrainedelasticity, Math. Mech. Solids, 1, pp. 207-217, 1996.

[15] J.F. Bell, Contemporrary perspectives in finite strain plasticity,Int. J. Plasticity, 1, pp. 3-27, 1985.

[16] J.F. Bell, Experiments on the kinematics of large plastic strain inordered solids, Int. J. Sol. Str., 25, pp. 267-278, 1989.

[17] K.R. Rajagopal and G. Saccomandi, On internal constrains incontinuum mechanics, Differential Equations and Nonlinear Me-chanics, Vol. 2006, Article ID 18572, Pages 1-12.

33

Sadrzaj

1 Uvod 11.1 Osnovni pojmovi i oznake . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Geometrija mnogostrukosti sa ogrnicenjima . . . . . . . 51.3 Energetska nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Aktivni i reaktivni napon . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Hiperelasticno telo pod dejstvom prinuda . . . . . . . . 81.6 Izotropni elasticni materijali pod dejstvom prinuda . . 9

2 Posebna naponska stanja 12

3 Unutrasnje prinude Belovog i Eriksenovog materijala 16

4 Osnovni rezultat Hejsa i Sakomandija 19

5 Direktan prilaz 225.1 Slucaj Eriksenovog materijala . . . . . . . . . . . . . . 27

6 Cisto smicanje 29

7 Zakljucak 30

Literatura32

34