Random Walk
-
Upload
noelani-mcconnell -
Category
Documents
-
view
63 -
download
6
description
Transcript of Random Walk
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 1
Random Walk
36 försök medRandom walk med 1000 steg.
Beräknad genomsnittligräckvidd är 100032.
Visualisering av utfallsrummed en gränsfunktion.
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 2
Vad är slumptal?
• Äkta slumptal utgår från fysikaliska processer!- singla slant- kasta tärning (jmf Lotto-spelen)- antal radioaktiva sönderfall under en viss tid
• Pseudo-slumptal genereras genom någon(matematisk) metod!- 7:e decimalen ur kvadratroten(ur alla heltal)t.ex. (för att ta en enkel – men dålig – metod).
• En standardslumptalsgenerator genererar slumptalmellan 0 och 1 med en flat gränsvärdesfördelning.
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 3
Slumptal mellan 0 och 1
10 slumptal(bin=1/1000)
100 slumptal(bin=1/1000)
1 000 slumptal(bin=1/1000)
10 000 000 slumptal(bin=1/10000)
Funktionen rand() i MatLab
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 4
Summera slumptal mellan 0 och 1
Vi noterar att fördelningarna samlas kring det sanna värdet som i dessa fall är 1 (vänster), 2,5 (mitten) och 10 (höger)
I varje histogram finns 10 000 samplade värden på summorna
2
1iix
5
1iix
100
1iix
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 5
Gränsvärdesfunktionen
Grön kurva
5
1iix
Blå kurva
100
1iix
Röd kurva
2
1iix
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 6
Centrala gränsvärdessatsen
Om vi summerar ett stort antal slumpmässigt fördelade tal, så kommer den asymptotiska fördelningen för summan attunder vissa allmänna villkor, gå mot en normalfördelning.
Detta gäller oberoende av hur fördelningen ser ut för de termer som ingår i summan!!
Central Limit Theorem på engelska eller Normal Convergence Theorem
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 7
Normalfördelningsfunktionen
Normerad till 1, dvs integralen av f för - < x < + är 1. Maximum vid x = Symmetrisk runt x = När är litet så blir exponenten stor -> lutningen blir större. När är litet så blir normaliseringskonstanten större -> höjden vid
toppen blir relativt sett högre.
Men hur ser den ut då?
2
2
2 2
)(exp
2
1),f(x;
x
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 8
Grafisk form av f(x;, ) 1
2 2exp
(x )2
2 2
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
2.5
sigma = 1.0
sigma = 0.5
sigma = 0.1
Genom att sätta para-metern = 0 (medel-värdet noll) skrivsfunktionen:
2
2
2 2exp
2
1),0f(x;
x
Sätter vi dessutombredden = 0 får vi:
2
exp2
1)1,0f(x;)1,0(
2xN
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 9
Tolkningen av: f(x;, ) 1
2 2exp
(x )2
2 2
Tolkning av normalfördelningsfunktionen som en sannolikhetsfördelning.Utfallet av en mätning ges med en viss sannolikhet.
(99,73 %)
(95,45 %)
(68,27 %)
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 10
Felfunktionen erf(t)
Notera att MatLabs erf(t) ärdefinierad med s2 = 1/2 i motsatstill bokens s2 = 1.Dvs sannolikheten att vid en mätningfinna ett värde mellan -1 < t < +1blir = erf(1/sqrt(2)) = 68,27%
0,6827
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 11
Parametrarna för denasymptotiska fördelningen
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
1
2
3
4
5
6
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
1
2
3
4
5
6
Teorin ger oss en asymptotisk fördelning
Mätningar ger oss en verklig fördelningsom av många olika skäl bara innehåller ett mycket begränsat antal mätningar!
Minsta kvadratmetoden låter oss bestämma vilka värden på de teoretiska parametrarna som ger bästa överensstämmelsen
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 12
”Real life” example!
Vi noterar att statistiken (antalethändelser) är inte överväldigande.
Stora fluktuationer i data – vad ärsignal och vad är inte signal?
Generering av bakgrund (blå linje)med hjälp av slumptal (många stor-leksordningar högre statistik så attosäkerheten blir liten).
Den röda kurva motsvarar enavvikelse från den röda med 5,3standardavvikelser.
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 13
Längden av en student!
Längden hos 18 manliga studenter på fysiklinjen 2002:
179, 176, 173, 174, 182, 191, 192, 182, 169, 170, 181, 183, 178, 173, 171, 177, 176, 184.
140 150 160 170 180 190 200 210 2200
0.5
1
1.5
längd i cm
Manliga studenter Fysiklinjen 2002
160 165 170 175 180 185 190 195 2000
1
2
3
4
5
6
längd i cm
Manliga studenter Fysiklinjen 2002
Mindre bra
Bättre
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 14
Histogram med anpassade data
160 165 170 175 180 185 190 195 2000
1
2
3
4
5
6
längd i cm
Manliga studenter Fysiklinjen 2002
Medelvärde 178.4
Sigma 6.57
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 15
En ”riggad” tärning
Nedan visas utfallet för kastmed en normal tärning.Gränsfunktionen förväntasvara en konstant P(x) = 1/6för 1 x 6.
Denna tärning misstänker vi vara riggad!
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 16
Bestämning av P(x)
x
y
z
a b c d e f
Antag att vi har antalet utfall som i figuren:p(1) = a, P(2) = b, P(3) = c, P(4) = d, P(5) = e, P(6) = f.Antag vidare att den ”sanna” fördelningen bör vara:P(1) = x, P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = y, P(6) = z.
Vilka värden på parametrarna för den asymptotiska (sanna) fördelningen ger bäst överensstämmelse med observationerna?
Ett sätt att välja de “bästa” värdena för parametrarna är att minimera skillnaden mellanobservationer och förväntade värden:
• Vi kan inte gärna välja att summera skillnaderna (observation – förväntad). Bidrag med olikatecken kan då summeras till noll även om bidragen i sig är stora.
• Summan av |observation – förväntad| löser det problemet, men två små avvikelser blirlika viktiga som en stor.
• Summan av (observation – förväntad)2 löser även det problemet. Denna metod - minsta kvadratmetoden har i allmänhet andra teoretiska fördelar, och är den som oftast används.
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 17
Minstakvadratmetoden
Obs medelvärdet av b,c,d,e!
”a” mätt endast en gång (liksom ”y”)!
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 18
Exempel på utfall!
Utfall från en riggad tärning
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
1 2 3 4 5 6
Utfall
Pro
ce
ntu
ell
förd
eln
ing
# Nomi-nellt
Utfall Beräk-nat
Alterna-tivt
1 0,143 0,146 0,146 0,148
2 0,164 0,163 0,165 0,165
3 0,164 0,156 0,165 0,165
4 0,164 0,166 0,165 0,165
5 0,164 0,176 0,165 0,165
6 0,200 0,192 0,194 0,192
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 19
Nomenklaturen
Medelvärdet (stickprovsmedelvärdet)kan skrivas
Standardavvikelsen (stickprovsvariansen)kan skrivas (V = variansen)
N
ii
N xNN
xxxxx
1
21 1
N
iix xx
NsxV
1
222 )(1
1)(
I MatLab beräknas medelvärdet: <x> = mean(x)
I MatLab beräknas kvadratroten ur variansen: s = std(x)
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 20
Uppgifter
4.2 medelvärdet 9,7 Standardavvikelsen = 0,2 (0,16)
4.3 Räkna själva med samma mall som ovan
4.5 På tavlan
4.9
2005-08-29 Fysikexperiment, 5p 21
Problem 4.2
Student g (gi - <g>) (gi - <g>)^2
1 9,9 0,2 0,04
2 9,6 -0,1 0,01
3 9,5 -0,2 0,04
4 9,7 0,0 0,00
5 9,8 0,1 0,01
<g> 9,7 Summan= 0,10
Medelvärdet blir 9,70 och standardavvikelsen blir 0,10 som beräknas genom
Observera att 0,10 (standardavvikelsen) INTE är ett mått på osäkerheten i medelvärdet!Detta återkommer vi till i nästa lektion.
16,0)15(
10,0