Random Sampling
-
Upload
nenda-andintya -
Category
Documents
-
view
94 -
download
0
Transcript of Random Sampling
METODE DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING
(STUDI KASUS : MENAKSIR TOTAL BANYAK KATAK
DI SEKELILING DANAU AGATIS
UNIVERSITAS INDONESIA)
ANDIKA DWI ISFANDIARI
0 3 0 3 0 1 0 0 4 4
UNIVERSITAS INDONESIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
DEPARTEMEN MATEMATIKA
DEPOK
2009
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
METODE DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING
(STUDI KASUS : MENAKSIR TOTAL BANYAK KATAK
DI SEKELILING DANAU AGATIS
UNIVERSITAS INDONESIA)
Skripsi ini diajukan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Oleh :
ANDIKA DWI ISFANDIARI
0 3 0 3 0 1 0 0 4 4
DEPOK
2009
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
SKRIPSI : METODE DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING
(STUDI KASUS : MENAKSIR TOTAL BANYAK KATAK DI
SEKELILING DANAU AGATIS UNIVERSITAS INDONESIA)
NAMA : ANDIKA DWI ISFANDIARI
NPM : 0303010044
SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI
DEPOK, 24 JUNI 2009
Dra. Rianti Setiadi, M.Si. Dra. Saskya Mary S., M.Si.
PEMBIMBING I PEMBIMBING II
Tanggal Ujian Sidang Sarjana : 24 Juni 2009
Penguji I : Dra. Rianti Setiadi, M.Si.
Penguji II : Dr. Dian Lestari, DEA
Penguji III : Dra. Suarsih Utama
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
i
KATA PENGANTAR
Dengan rahmat dan karunia ALLAH SWT yang berlimpah, penulis
dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Penyelesaian tugas akhir ini juga tidak
lepas dari bantuan, dukungan, serta do’a dari berbagai pihak, sehingga
penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sangat besar kepada:
Pembimbing tugas akhir penulis, Dra Rianti Setiadi MSi dan Dra
Saskya Mary MSi, yang telah memberikan waktu, tenaga, pikiran,
arahan, dan motivasi
Ayah dan ibu penulis, Handi Rohandi dan Linda Marni Djohan, yang
telah memberikan segalanya, terutama kasih sayang, perhatian,
kesabaran, dorongan, dan tempat bernaung
Pendamping hari-hari penulis, Desi Natasha Rufiani, yang telah
memberikan waktu bersama, baik dalam suka maupun duka
Keluarga Andromeda, Johan Andromeda, Lydia Amanda Handayani,
dan Maissa Aliya Andromeda, yang telah memberikan doa dan
motivasi
Kakek dan nenek penulis, (Alm)Hassan Basri Djohan dan
(Almah)Chasiah Djohan, yang telah memberikan kasih sayang
sewaktu kecil, beserta (Alm)Sanapi dan (Almah)Uken Sukaenah
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
ii
Pembimbing Akademik penulis, Bevina D. Handari PhD, yang telah
memberikan perhatian untuk perkembangan akademik penulis
Dosen-dosen Matematika Universitas Indonesia khususnya Dra Netty
Sunandi MSi, Milla Novita SSi MSi, Sarini SSi MStats, Dr Dian Lestari
DEA, Dra Suarsih Utama, dan Fevi Novkaniza SSi MSi yang telah
memberikan waktu untuk hadir dalam seminar dan sidang penulis,
beserta Prof Dr Djati Kerami DEA
Tim Pencari Katak, Ajat Ardiansyah, Pudiahwai Anton Wibowo, Bembi
Prima, R.Arkan Gilang, Agustinus Gunung, Ilham Candra Budiman,
Rendie Maulana Arifin, Reza Henganing, Irwanto, Yanuar Singgih
Saputra, Desi Natasha Rufiani, dan Ardani, yang telah memberikan
waktu dan tenaga dalam pengambilan sampel di Danau Agatis,
Universitas Indonesia
Karyawan Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia,
yang telah memberikan bantuan dalam segala hal di jurusan
Sahabat-sahabat the Deplus, Priangga Adam Kartosuwiryo, Ilham
Hismi Haque, Rezza Abadilla, dan I Made Yogi Pranasatya, yang telah
memberikan banyak hal bersama
Teman-teman Matematika 2003, yang telah memberikan
kebersamaan selama beberapa tahun terakhir ini
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
iii
Teman-teman Matematika angkatan lain, yang telah memberikan
pilihannya untuk mengejar cita-cita di kampus ini
Teman-teman Indonesian Toon Army, CCF Wijaya, dan Futsal Sabtu
Pagi, yang telah memberikan kesenangan dan keceriaan pada masa-
masa penyelesaian tugas akhir ini
Murid-murid penulis, Barry Thraser, DB, Jamie McNally, dan Kurt
McNally, yang telah memberikan keceriaan tersendiri
Keluarga Suwenda, Bapak Rema Suwenda, Ibu Fatmahani
Dhamayanti, Desi Natasha Rufiani, dan Astrid Novirianti, yang telah
memberikan kesabaran dan kepercayaan yang sangat besar
dan pihak-pihak lain yang tanpa sengaja tidak disebutkan di atas,
namun telah memberikan bantuan selama ini
Akhir kata, penulis sangat menyadari bahwa tugas akhir ini masih
sangat jauh dari kesempurnaan, oleh karena hal tersebut penulis memohon
maaf dan sangat terbuka terhadap saran dan kritik yang membangun.
Semoga tugas akhir ini bermanfaat.
Penulis
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
iv
ABSTRAK
Masalah yang akan dijumpai dalam pengambilan sampel di alam
terbuka dengan objek pengamatan hewan yaitu tidak semua objek
pengamatan dapat terdeteksi. Salah satu metode untuk mengatasinya adalah
metode Detectability Sampling, yaitu metode pengambilan sampel dengan
mempertimbangkan probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan. Jika
metode Detectability Sampling diterapkan pada Simple Random Sampling,
maka metode pengambilan sampel ini disebut Detectability Simple Random
Sampling. Taksiran total populasi yang didapat dari metode Detectability
Simple Random Sampling merupakan taksiran yang tak bias. Probabilitas
terdeteksinya suatu objek pengamatan dapat diketahui atau ditaksir dari
penelitian sebelumnya.
Dalam tugas akhir ini, probabilitas terdeteksinya suatu objek
pengamatan ditaksir dari penelitian sebelumnya yang menggunakan metode
Direct Sampling. Studi kasus penerapan metode ini digunakan dalam
menaksir total banyak katak di sekeliling Danau Agatis, Universitas
Indonesia. Hasil analisa data menunjukkan bahwa total banyak katak di
sekeliling Danau Agatis adalah sebesar 266 katak. Jika banyak katak per
luas di sekeliling Danau Agatis dibandingkan dengan banyak katak per luas
yang didapat dari penelitian sebelumnya di sekeliling danau yang bersih,
dimana memberikan hasil bahwa banyak katak per luas di sekeliling Danau
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
v
Agatis lebih kecil dibandingkan banyak katak per luas di danau yang bersih,
maka dapat disimpulkan bahwa Danau Agatis, Universitas Indonesia telah
mulai tercemar.
kata kunci : taksiran tak bias, total populasi, simple random sampling,
probabilitas terdeteksinya objek pengamatan, direct
sampling
x + 64 hlmn.
Bibliografi : 8 (1977-2009)
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
vi
DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR ............................................................................... i
ABSTRAK ............................................................................................... iv
DAFTAR ISI ............................................................................................ vi
DAFTAR TABEL ..................................................................................... ix
DAFTAR GAMBAR ................................................................................ x
BAB I PENDAHULUAN .......................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ...................................................................... 1
1.2 Perumusan Masalah ............................................................. 2
1.3 Tujuan ................................................................................... 3
1.4 Sistematika Penulisan .......................................................... 3
BAB II LANDASAN TEORI ................................................................... 5
2.1 Metode penaksiran mean dan total populasi dengan
Simple Random Sampling .................................................. 5
2.1.1 Taksiran untuk mean populasi ............................. 5
2.1.2 Taksiran untuk total populasi ............................... 13
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
vii
2.2 Metode untuk mencari taksiran dari probabilitas
terdeteksinya suatu objek pengamatan ........................... 15
BAB III DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING ................ 20
3.1 Pengertian dasar tentang metode Detectability Sampling 20
3.2 Pengertian dan cara pengambilan sampel dengan
metode Detectability Simple Random Sampling .............. 25
3.3 Taksiran untuk total populasi dimana sampel diambil
dengan metode Detectability Simple Random Sampling 27
3.3.1 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek
diketahui dan bernilai sama untuk setiap
daerah pengamatan .......................................... 27
3.3.2 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek
diketahui, namun memiliki ni lai yang berbeda
untuk setiap daerah pengamatan ..................... 33
3.3.3 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek
tidak diketahui, namun diasumsikan bernilai
sama untuk setiap daerah pengamatan .......... 40
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
viii
BAB IV APLIKASI .......................................................................... 45
4.1 Katak sebagai bioindikator tingkat kebersihan danau 45
4.2 Pengambilan sampel katak di sekeliling Danau Agatis
Universitas Indonesia ................................................... 47
4.3 Populasi dan sampel .................................................... 48
4.4 Hasil penelitian dan pembahasan ................................ 48
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................. 52
5.1 Kesimpulan .................................................................. 52
5.2 Saran ........................................................................... 55
LAMPIRAN ................................................................................... 56
Lampiran 1 ....................................................................... 57
Lampiran 2 ....................................................................... 58
Lampiran 3 ....................................................................... 62
DAFTAR PUSTAKA ................................................................... 64
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
ix
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel Hasil Penelitian Di Danau Agatis .......................................... 48
Tabel Analisa Deskriptif .................................................................. 49
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
x
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar Foto-Foto Sampah di Sekeliling Danau Agatis ................. 51
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pengambilan sampel dalam beberapa penelitian, khususnya di alam
terbuka, sering dijumpai masalah dimana unit sampel yang seharusnya
diamati sebagai elemen sampel, tidak dapat terdeteksi. Karena hal ini, jika
ingin mencari taksiran parameter populasi, misalnya total populasi, perlu
diperhatikan metode pengambilan sampel yang tepat, dengan
mempertimbangkan probabilitas terdeteksinya unit sampling. Jika probabilitas
terdeteksinya suatu unit sampling tidak diperhatikan, maka akan didapatkan
taksiran yang underestimate terhadap total populasi. Metode pengambilan
sampel dengan memperhatikan probabilitas terdeteksinya suatu unit
sampling disebut metode Detectability Sampling. Jika metode Detectability
Sampling diterapkan pada Simple Random Sampling, maka metode
pengambilan sampel ini disebut Detectability Simple Random Sampling.
Dalam metode Detectability Sampling, probabilitas terdeteksinya suatu unit
sampling dapat diketahui atau ditaksir berdasarkan data penelitian
sebelumnya.
Dalam tugas akhir ini, akan dibahas tentang cara mencari taksiran
total populasi pada metode pengambilan sampel Detectability Simple
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
2
Random Sampling jika probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan
telah diketahui atau ditaksir berdasarkan data penelitian sebelumnya. Metode
tersebut akan diterapkan untuk menaksir total banyak katak di sekeli ling
Danau Agatis, Universitas Indonesia, yaitu danau alami yang berada tepat di
seberang Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Indonesia. Pengambilan sampel katak dilakukan secara Detectabillity Simple
Random Sampling di sekeliling Danau Agatis, Unversitas Indonesia.
Dalam penerapannya, taksiran probabilitas terdeteksinya katak dan
taksiran untuk variansinya diperoleh dari penelitian sebelumnya dengan
menggunakan metode Direct Sampling. Banyak katak di sekeli ling danau
dapat menjadi bioindikator kebersihan danau tersebut. Semakin banyak
katak, berarti semakin bersih danau tersebut. Dengan membandingkan
banyak katak per luas di sekeli ling Danau Agatis terhadap banyak katak per
luas di sekeliling danau yang bersih, dapat ditentukan apakah Danau Agatis
masih bersih atau sudah tercemar.
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan dalam tugas akhir ini adalah bagaimana mencari
taksiran total populasi berdasarkan sampel yang diambil dengan metode
Detectability Simple Random Sampling baik jika probabilitas terdeteksinya
suatu objek pengamatan diketahui, maupun jika probabilitas terdeteksinya
objek pengamatan ditaksir berdasarkan data dari penelitian sebelumnya.
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
3
1.3 Tujuan
Tujuan dari tugas akhir ini:
1. Mencari taksiran total populasi berdasarkan sampel yang diambil
dengan metode Detectability Simple Random Sampling jika
probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan diketahui.
2. Mencari taksiran total populasi berdasarkan sampel yang diambil
dengan metode Detectability Simple Random Sampling jika
probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan ditaksir
berdasarkan data dari penelitian sebelumnya.
3. Metode Detectability Simple Random Sampling akan diterapkan untuk
menghitung total banyak katak di sekeliling Danau Agatis, Universitas
Indonesia.
4. Membandingkan banyak katak per luas di sekeliling Danau Agatis
terhadap banyak katak per luas di sekeliling danau yang masih bersih.
1.4 Sistematika Penulisan
Penulisan tugas akhir ini dibagi menjadi lima bab, yaitu :
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini menjelaskan secara singkat mengenai latar belakang,
permasalahan, tujuan, pembatasan masalah, aplikasi dan
sistematika penulisan.
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
4
BAB II LANDASAN TEORI
Bab ini membahas landasan teori dari tugas akhir ini yaitu
mengenai metode untuk mencari taksiran mean dan total populasi
pada Simple Random Sampling. Akan dibahas jaga metode Direct
Sampling yang akan digunakan untuk menaksir probabilitas
terdeteksinya suatu objek pengamatan
BAB III DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING
Bab ini menjelaskan mengenai bagaimana cara pengambilan
sampel dengan metode Detectability Simple Random Sampling,
dan mencari taksiran total populasi dimana sampel diambil dengan
metode Detectability Simple Random Sampling.
BAB IV APLIKASI
Bab ini menjelaskan penerapan metode Detectability Simple
Random Sampling dalam pengambilan sampel untuk menaksir
total banyak katak di sekeliling Danau Agatis, Universitas
Indonesia.
BAB V PENUTUP
Bab ini menampilkan kesimpulan dan saran.
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
5
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas dasar-dasar teori yang akan digunakan
dalam penulisan tugas akhir ini, yaitu mengenai metode penaksiran mean
dan total populasi untuk Simple Random Sampling dan metode untuk
mencari taksiran dari probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan.
2.1 Metode penaksiran mean dan total populasi dengan Simple Random
Sampling
Simple Random Sampling adalah cara pengambilan sampel dimana
sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N . Dengan cara ini
maka setiap unit populasi akan memiliki probabilitas yang sama untuk terpilih
menjadi sampel.
2.1.1 Taksiran untuk mean populasi
Misalkan sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N .
Definisikan S adalah sampel yang terpilih secara Simple Random Sampling.
nyyy ,...,, 21 adalah nilai-nilai dari unit sampel yang terpilih secara Simple
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
6
Random Sampling. Sebut Nuuu ,...,, 21 adalah nilai-nilai dari unit populasi.
Definisikan N
uN
i
i 1 sebagai mean populasi. Selanjutnya didefinisikan
n
y
y
n
i
i 1 , maka dapat dibuktikan bahwa:
1. y adalah taksiran tak bias untuk
2. variansi dari y adalah
1
2
N
nN
nyV
dengan
N
i
iuN 1
22 1
3.
N
nN
n
syV
2
ˆ adalah taksiran tak bias untuk yV , dimana
n
i
i yyn
s1
22
1
1
bukti:
Definisikan variabel indikator
Su
Suz
i
i
i,0
,1
dapat diketahui bahwa
)1.1.2.........(..........................................................................................
101
Pr0Pr1
0Pr01Pr1
N
n
N
n
N
n
SuSu
zzzE
ii
iii
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
7
)2.1.2........(................................................................................1
2
2
22
N
n
N
n
N
n
N
n
zEzE
zEzEzV
ii
iii
dan jijiji zEzEzzEzz ,cov , dimana
)3.1.2.........(................................................................................1
1
!21
!21
!2
!2
!!
!
!2!
!2
1,1Pr
22
NN
nn
nnn
NNN
n
N
nnN
N
nnN
N
C
C
zzzzE
nN
nN
jiji
sehingga dari persamaan (2.1.1) dan (2.1.3), didapat
2
1
1
1
1
,cov
N
n
N
n
N
n
N
n
N
n
NN
nn
zEzEzzEzz jijiji
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
8
)4.1.2.......(............................................................1
11
1
11
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1,cov
2
NN
n
N
n
NN
n
N
n
NN
Nn
N
n
NN
Nn
N
n
NN
nNnNNn
N
n
NN
NnnN
N
n
N
n
N
n
N
n
N
n
N
n
N
nzz ji
sehingga
1. akan dibuktikan bahwa y adalah taksiran tak bias untuk , yang
berarti bahwa yE
n
zEu
n
zu
E
n
y
EyE
N
i
ii
N
i
ii
n
i
i
1
1
1
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
9
dari persamaan (2.1.1) didapat
)5.1.2.....(..........................................................................................
1
1
1
N
u
n
N
nu
n
zEu
yE
N
i
i
N
i
i
N
i
ii
terbukti bahwa y adalah taksiran tak bias untuk .
2. akan ditunjukkan bahwa
1
2
N
nN
nyV
dengan
N
i
iuN 1
22 1
)6.1.2........(..............................,cov1
1
1
1
2
2
1
1
N
i ji
jijiii
N
i
ii
n
i
i
zzuuzVun
zun
V
yn
VyV
dari persamaan (2.1.2), (2.1.4), dan karena
N
i
i
N
i
i
ji
ji uuuu1
2
2
1
, maka
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
10
)7.1.2(......................................................................1
1
1
1
1
11
1
1
11
1
1
11
1
1
11
1
111
1
11
11
1
11
1
1
111
1
,cov1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
11
2
2
11
2
1
2
1
1
2
2
12
1
2
2
1
2
2
1
2
2
N
nN
n
N
u
N
nN
n
N
u
N
nN
n
N
u
N
n
n
uNN
n
n
N
u
uNN
n
n
uuNNN
n
nN
N
u
N
u
N
uN
N
n
nN
N
uu
uN
n
nN
N
uuu
N
n
N
n
n
NN
n
N
nuu
N
n
N
nu
n
zzuuzVun
yV
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
iN
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
N
i
i
N
i
i
i
N
i ji
ji
i
N
i ji
jii
N
i ji
jijiii
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
11
3. akan dibuktikan
N
nN
n
syV
2
ˆ adalah taksiran tak bias yV ,
n
i
i yyn
s1
22
1
1 , yang berarti akan dibuktikan yVyVE ˆ
2
2
ˆ
sENn
nN
N
nN
n
sEyVE
dimana
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
ynVyVn
ynyEn
ynynyEn
ynyynyEn
yyynyEn
yyyyEn
yyyyEn
yyEn
yyEn
yyn
EsE
1
1
22
22
1
2
2
1
2
1
2
1
2
11
2
1
2
1
22
1
2
1
2
1
22
1
1
1
1
21
1
21
1
21
1
21
1
21
1
1
1
1
1
1
1
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
12
)8.1.2...(................................................................................1
1
1
1
11
11
1
1
1
11
11
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
22
2
1
2
N
N
N
nN
n
N
NNn
n
N
nNnNn
n
N
nNNn
n
N
nNn
n
N
nN
nnn
n
ynVnn
ynVyVn
sEn
i
maka dari persamaan (2.1.8) didapat
)9.1.2.....(................................................................................
1
1
ˆ
2
2
2
2
yV
N
nN
n
N
N
Nn
nN
sENn
nN
N
nN
n
sEyVE
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
13
karena yVyVE ˆ , maka terbukti bahwa
N
nN
n
syV
2
ˆ adalah
taksiran tak bias untuk yV .
2.1.2 Taksiran untuk total populasi
Didefinisikan total populasi sebagai
N
i
iY1
dan mean populasi
sebagai
N
i
iYN 1
1 , selanjutnya didefinisikan taksiran untuk total populasi
adalah n
y
NyN
n
i
i 1 dan dapat dibuktikan bahwa:
1. merupakan taksiran tak bias untuk
2. Variansi dari adalah
1ˆ
22
N
nN
nNV
3.
N
nN
n
sNV
22ˆˆ adalah taksiran tak bias untuk V
bukti:
1. akan dibuktikan adalah taksiran tak bias , yang berarti akan
dibuktikan )ˆ(E
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
14
yNE
yNEE
)ˆ(
dari persamaan (2.1.5) didapat yE , sehingga
)10.1.2....(................................................................................
)ˆ(
NE
karena ˆE , maka terbukti yN adalah taksiran tak bias untuk .
2. akan ditunjukkan variansi dari adalah
1ˆ
22
N
nN
nNV
.
yVN
yNVV
2
ˆ
dari persamaan (2.1.7) didapat
1
2
N
nN
nyV
, sehingga
)11.1.2..(............................................................1
ˆ
22
2
N
nN
nN
yVNV
telah ditunjukkan bahwa variansi dari adalah
1ˆ
22
N
nN
nNV
3. akan dibuktikan bahwa V adalah taksiran tak bias untuk V , yang
berarti akan dibuktikan bahwa ˆˆˆ VVE
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
15
yVEN
yVNE
yNVEVE
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
2
2
dari persamaan (2.1.9) didapat
1ˆ
2
N
nN
nyVE
, sehingga
)12.1.2...(......................................................................ˆ
1
ˆˆˆ
22
2
V
N
nN
nN
yVENVE
karena ˆˆˆ VVE , maka terbukti V adalah taksiran tak bias untuk
V
2.2 Metode untuk mencari taksiran dari probabilitas terdeteksinya suatu
objek pengamatan
Metode Detectability Simple Random Sampling merupakan suatu
metode pengambilan sampel yang mempertimbangkan adanya probabilitas
terdeteksinya suatu objek pengamatan. Namun dalam penerapannya,
adakalanya probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan p tidak
diketahui, sehingga harus ditaksir berdasarkan data penelitian sebelumnya.
Karena dalam penerapan pada tugas akhir ini nilai taksiran untuk p didapat
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
16
dari penelitian sebelumnya yang menggunakan metode Direct Sampling
untuk menaksir total banyak katak di sekeliling suatu danau, yang berada di
lingkungan Kampus Universitas Indonesia Depok, maka pada subbab ini
akan dijelaskan tentang metode untuk mendapatkan taksiran untuk p pada
metode Direct Sampling. Metode Direct Sampling dilakukan untuk menaksir
probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan p , yang dilakukan
dengan cara sebagai berikut:
Ambil sampel sebanyak t objek pengamatan, ditandai, dan kemudian
dilepaskan kembali ke habitatnya. Selanjutnya pada kesempatan lain, diambil
lagi sampel sebanyak n objek pengamatan, dan dihitung banyak objek yang
telah ditandai pada pengambilan sampel sebelumnya. Misalkan s adalah
objek pengamatan yang tertandai. Karena n suatu nilai fixed, maka s akan
berdistribusi pnb , dengan p merupakan probabilitas terdeteksinya suatu
objek pengamatan.
Definisikan n
sp ˆ , dan dapat dibuktikan bahwa:
1. p adalah taksiran tak bias untuk p ,
2. variansi untuk p adalah
n
pppV
1ˆ ,
3.
2
2
1
1ˆˆ
n
s
n
s
npV adalah taksiran tak bias untuk pV ˆ
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
17
bukti:
1. akan dibuktikan p adalah taksiran tak bias untuk p , yang berarti akan
dibuktikan ppE ˆ
sEn
n
sEpE
1
ˆ
karena s berdistribusi pnb , dengan npsE , maka
)1.2.2....(..........................................................................................
1
1ˆ
p
npn
sEn
pE
karena ppE ˆ , maka terbukti p adalah taksiran tak bias untuk p
2. akan ditunjukkan bahwa variansi untuk p adalah
n
pppV
1ˆ
sVn
n
sVpV
2
1
ˆ
karena s berdistribusi pnb , dengan pnpsV 1 , maka
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
18
)2.2.2....(................................................................................
1
11
1ˆ
2
2
n
pp
pnpn
sVn
pV
telah ditunjukkan bahwa variansi untuk p adalah
n
pppV
1ˆ
3. akan dibuktikan bahwa
2
2
1
1ˆˆ
n
s
n
s
npV adalah taksiran tak bias
untuk pV ˆ , yang berarti akan dibuktikan bahwa pVpVE ˆˆˆ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1ˆˆ
sEsVn
sEnn
sEn
sEnn
n
sE
n
sE
n
n
s
n
sE
n
n
s
n
s
nEpVE
karena s berdistribusi pnb , dengan npsE dan pnpsV 1 , maka
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
19
)3.2.2....(................................................................................ˆ
1
1
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
111
1
1
11
1
1ˆˆ
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
pV
n
pp
nn
npp
nn
ppppn
nn
pp
n
pp
nn
pp
n
pp
n
pppp
n
pn
ppp
n
pn
ppp
n
n
pn
n
pnpp
n
nppnpn
npnn
sEsVn
sEnn
pVE
karena pVpVE ˆˆˆ , maka terbukti pV ˆˆ adalah taksiran tak bias
pV ˆ
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
20
BAB III
DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai bagaimana cara pengambilan
sampel dengan metode Detectability Simple Random Sampling, serta cara
mencari taksiran total populasi dimana sampel diambil dengan metode
Detectability Simple Random Sampling.
3.1 Pengertian dasar tentang metode Detectability Sampling
Dalam pengambilan sampel di alam bebas dengan objek pengamatan
hewan, pasti akan menemukan masalah yaitu tidak semua objek
pengamatan dapat terdeteksi. Salah satu cara untuk mengatasinya adalah
dengan menggunakan metode Detectability Sampling, yaitu sebuah metode
pengambilan sampel dengan mempertimbangkan probabilitas terdeteksinya
objek pengamatan.
Misal:
adalah total banyak objek yang sebenarnya
y adalah banyak objek pengamatan yang terdeteksi
p adalah probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
21
y akan berdistribusi binomial pb , dengan pyE dan
ppyV 1
Jika probabilitas terdeteksinya objek pengamatan p telah diketahui,
maka akan didefinisikan taksiran untuk adalah p
y . Selanjutnya dapat
ditunjukkan bahwa:
1. adalah taksiran tak bias untuk
2. variansi untuk adalah
p
pV
1ˆ
3.
2
1ˆˆ
p
pyV
adalah taksiran tak bias untuk V
bukti:
1. akan dibuktikan bahwa adalah taksiran tak bias untuk , dengan
perkataan lain akan dibuktikan bahwa ˆE
)1.1.3.(..........................................................................................
1
1
ˆ
pp
yEp
p
yEE
karena ˆE , maka terbukti p
y adalah taksiran tak bias .
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
22
2. akan ditunjukkan bahwa variansi untuk adalah
p
pV
1ˆ
)2.1.3.(................................................................................1
11
1
ˆ
2
2
p
p
ppp
yVp
p
yVV
terbukti bahwa variansi untuk adalah
p
pV
1ˆ
3. akan dibuktikan bahwa
2
1ˆˆ
p
pyV
adalah taksiran tak bias untuk
V , dengan perkataan lain akan dibuktikan bahwa ˆˆˆ VVE
)3.1.3..(......................................................................ˆ
1
1
1
1ˆˆ
2
2
2
V
p
p
pp
p
yEp
p
p
pyEVE
karena ˆˆˆ VVE , maka terbukti
2
1ˆˆ
p
pyV
adalah taksiran
tak bias untuk V .
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
23
Jika probabilitas terdeteksinya objek pengamatan p tidak diketahui,
namun ditaksir dengan p , dimana p adalah taksiran tak bias untuk p dan
p tidak berkorelasi dengan y , maka akan didefinisikan taksiran untuk total
populasi adalah p
y
ˆˆ . Variansi untuk p , sebut pV ˆ , dan taksiran untuk
pV ˆ , sebut pV ˆˆ , dapat dicari berdasarkan metode yang digunakan untuk
menaksir p . Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa:
1. adalah taksiran tak bias untuk ,
2. variansi untuk adalah pVpp
pV ˆ
1ˆ
2
2
,
bukti:
1. akan dibuktikan adalah taksiran tak bias untuk , yang berarti akan
dibuktikan bahwa ˆE
berdasarkan Delta Method, XE
YE
X
YE
, sehingga
)4.1.3.......(................................................................................
ˆ
ˆˆ
p
p
pE
yE
p
yEE
karena ˆE , maka terbukti p
y
ˆˆ adalah taksiran tak bias untuk .
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
24
2. akan ditunjukkan bahwa pVpp
pV ˆ
1ˆ
2
2
berdasarkan Delta Method,
YX
XE
YEXV
XE
YEYV
XEX
YV ,cov
2134
2
2
, sehingga
ypp
ppV
p
pyV
p
yppE
yEpV
pE
yEyV
pE
p
yVV
,ˆcov2
ˆ1
,ˆcovˆ
2ˆ
ˆˆ
1
ˆˆ
34
2
2
34
2
2
karena p tidak berkorelasi dengan y , maka 0,ˆcov yp , sehingga
)5.1.3....(............................................................ˆ1
ˆ11
ˆ1
,ˆcov2
ˆ1
ˆ
2
2
4
22
2
4
2
2
34
2
2
pVpp
p
pVp
ppp
p
pVp
pyV
p
ypp
ppV
p
pyV
pV
telah ditunjukkan bahwa variansi untuk adalah pVpp
pV ˆ
1ˆ
2
2
Taksiran dari V dapat dicari dengan formula sebagai berikut:
)6.1.3..(......................................................................ˆˆˆˆ
ˆ1ˆˆ
4
2
2pV
p
y
p
pyV
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
25
3.2 Pengertian dan cara pengambilan sampel dengan metode
Detectability Simple Random Sampling
Detectability Simple Random Sampling adalah cara pengambilan
sampel secara Simple Random Sampling dengan memperhatikan
probabilitas terdeteksinya suatu unit sampling. Probabilitas terdeteksinya
suatu unit sampling adalah probabilitas sebuah objek teramati (baik terlihat,
terdengar, tertangkap, maupun terdeteksi oleh suatu alat pendeteksi) dalam
suatu daerah pengamatan.
Metode Detectability Simple Random Sampling sering digunakan
untuk menaksir total banyak suatu jenis hewan di daerah tertentu. Namun
penaksiran total banyak objek pengamatan sangat bergantung pada
probabilitas terdeteksinya objek pengamatan tersebut. Probabilitas
terdeteksinya suatu objek pengamatan, dinotasikan sebagai p , dapat
dianggap telah diketahui atau ditaksir dari data penelitian sebelumnya.
Probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan dapat ditaksir
dengan berbagai metode, misalnya dengan metode perbandingan banyak
objek yang teramati dari udara terhadap banyak objek yang diamati dari
darat, metode perbandingan jumlah salah satu spesies terhadap seluruh
spesies dari objek, metode Double Sampling, metode Direct Sampling,
metode Inverse Sampling, dan metode-metode pendeteksian lainnya. Dalam
tugas akhir ini, p ditaksir berdasarkan data yang diambil dengan metode
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
26
Direct Sampling. Dengan metode Direct Sampling telah dibuktikan n
sp ˆ
adalah taksiran tak bias untuk p , dan
2
2
1
1ˆˆ
n
s
n
s
npV adalah taksiran
tak bias untuk variansi dari p .
Cara pengambilan sampel dengan metode Detectability Simple
Random Sampling dilakukan dengan membagi wilayah pengamatan menjadi
N daerah pengamatan, kemudian dari N daerah pengamatan tersebut,
dipilih n daerah pengamatan secara Simple Random Sampling. Dari setiap
n daerah pengamatan yang terpilih, akan dicatat banyak objek yang
terdeteksi di daerah pengamatan tersebut. Seperti yang telah disebutkan
sebelumnya, untuk mencari taksiran total banyak objek di setiap daerah
pengamatan bergantung pada probabilitas terdeteksinya suatu objek
pengamatan p , yang untuk setiap daerah pengamatan dapat diketahui
maupun tidak, dan dapat bernilai sama maupun tidak. Sehingga pembahasan
mengenai penaksiran total populasi dimana sampel diambil dengan metode
Detectability Simple Random Sampling akan dibedakan menjadi:
1) p diketahui dan bernilai sama untuk setiap daerah pengamatan
2) p diketahui, namun bernilai beda untuk setiap daerah pengamatan
3) p tidak diketahui, namun ditaksir dengan p yang diasumsikan
bernilai sama untuk setiap daerah pengamatan.
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
27
3.3 Taksiran untuk total populasi dimana sampel diambil dengan
metode Detectability Simple Random Sampling
3.3.1 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek diketahui dan bernilai
sama untuk setiap daerah pengamatan
Misalkan:
Wilayah pengamatan dibagi menjadi N daerah pengamatan,
Sampel merupakan n daerah pengamatan yang diambil secara Simple
Random Sampling dari N daerah pengamatan,
iY adalah banyak sebenarnya objek di daerah pengamatan ke- i ,
iy adalah banyak objek terdeteksi oleh peneliti di daerah pengamatan ke- i ,
p adalah probabilitas objek terdeteksi, dimana p diasumsikan diketahui dan
bernilai sama untuk setiap daerah pengamatan.
Jika nilai-nilai NYYY ,...,, 21 fixed, maka variabel random iy berdistribusi
binomial pYb i , , dengan pYyE ii dan ppYyV ii 1 . Didefinisikan
taksiran untuk banyak sebenarnya objek pada daerah pengamatan ke- i , iY
adalah p
yY i
i ˆ .
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
28
Didefinisikan total banyak objek diseluruh daerah pengamatan sebagai
N
i
iY1
. Kemudian didefinisikan taksiran untuk total populasi adalah
p
yN dimana
n
i
i
n
yy
1
. Dapat ditunjukkan bahwa:
1. iY adalah taksiran tak bias untuk iY
2. adalah taksiran tak bias untuk
3.
np
p
nN
nNNV
1
1ˆ
22 dimana
N
i
i
N
Y
1
2
2 ,
N
i
iYN 1
1
4.
y
Np
p
np
s
N
nNNV
22
22 1
ˆˆ adalah taksiran tak bias untuk V ,
dimana
n
i
i
n
yys
1
2
2
1 dan
n
i
iyn
y1
1
bukti:
1. akan dibuktikan iY adalah taksiran tak bias iY , yang berarti akan
dibuktikan ii YYE ˆ
)1.3.3(................................................................................
1
1
ˆ
i
i
i
i
i
Y
pYp
yEp
p
yEYE
karena ii YYE ˆ , maka terbukti p
yY i
i ˆ adalah taksiran tak bias untuk iY .
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
29
2. akan dibuktikan adalah taksiran tak bias , yang berarti akan dibuktikan
bahwa ˆE
didefinisikan
n
i
iYn
Y1
1 , dan dari persamaan (2.1.5) didapat YE ,
dimana
N
i
iYN 1
1 .
Untuk suatu sampel s tertentu berlaku pYsyE ii | . Jika dimisalkan s
berukuran n , maka
)2.3.3....(................................................................................
1
|
|
|
|ˆˆ
1
1
1
1
1
1
N
i
i
N
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Y
YN
N
N
YNE
YNE
Yn
NE
pYnp
NE
syEnp
NE
synp
NEE
sp
yNEE
sEEE
karena ˆE , maka terbukti p
yN merupakan taksiran tak bias .
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
30
3. akan ditunjukkan bahwa
np
p
nN
nNNV
1
1ˆ
22 dengan
N
i
i
N
Y
1
2
2 dan
N
i
iYN 1
1
dari persamaan (2.1.5) dan (2.1.7) didapat YE dan nN
nNYV
2
1
,
sehingga
)3.3.3.........(........................................1
1
1
1
1
11
1
1
||
||
||
|ˆ|ˆˆ
22
222
22
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
11
np
p
nN
nNN
p
p
n
N
nN
nNN
YEp
p
n
NYVN
Yn
Ep
p
n
NYNV
Yp
p
n
NEY
n
NV
ppYnp
NEpY
np
NV
syVnp
NEsyE
np
NV
synp
NVEsy
np
NEV
sp
yNVEs
p
yNEV
sVEsEVV
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
31
telah ditunjukkan bahwa
np
p
nN
nNNV
1
1ˆ
22 dengan
N
i
i
N
Y
1
2
2 dan
N
i
iYN 1
1 .
4. akan dibuktikan V adalah taksiran tak bias untuk V , dengan
perkataan lain, akan dibuktikan bahwa ˆˆˆ VVE
Misalkan Nyyy ,...,, 21y adalah ni lai dari iy jika seluruh N daerah
pengamatan terpilih menjadi sampel
Dengan mengondisikan bersyarat y , maka Simple Random Sampling untuk
n unit, akan menghasilkan
N
i
iyN
yE1
1| y
N
i
N
i
ii yN
yNnN
nNyV
1
2
1
11
1| y
dan
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i YN
ppppY
NyV
NyV
Ny
NVyEV
12
12
12
12
1
11
1111| y
y
y
|1
|ˆˆˆˆ
22
22 y
Np
p
np
s
N
nNNEE
VEEVE
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
32
)4.3.3......(..........................................................................................ˆ
|ˆ|ˆ
||
||
111
1
1
1
1
1
11
1
|1
1
|1
|
|1
|1
ˆˆ
2
2
12
1 12
2
12
2
2
2
12
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
V
EVVE
yp
NEVy
p
NVE
yEVyVEp
N
YN
ppy
Ny
NnN
nN
p
N
yEN
p
nN
nNE
p
N
yEN
p
nN
nNE
p
N
yNN
pE
nN
nNE
p
N
yEN
pE
nN
nNE
p
N
yN
pEE
n
s
N
nNEE
p
N
yN
p
n
s
N
nNEE
p
N
yN
p
n
s
N
nN
p
NEEVE
N
i
i
N
i
N
i
ii
N
i
i
N
i
i
N
i
i
yy
yy
yy
y
yy
y
y
karena ˆˆˆ VVE , maka terbukti
y
Np
p
np
s
N
nNNV
22
22 1
ˆˆ
merupakan taksiran tak bias V , dimana
n
i
i
n
yys
1
2
2
1 dan
n
i
iyn
y1
1 .
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
33
3.3.2 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek diketahui, namun
memiliki nilai yang berbeda untuk setiap daerah pengamatan
Misalkan:
Wilayah pengamatan terdiri dari N daerah pengamatan,
Sampel merupakan n daerah pengamatan yang dipilih secara Simple
Random Sampling,
iY adalah banyak sebenarnya objek di daerah pengamatan ke- i ,
iy adalah banyak objek terdeteksi oleh peneliti di daerah pengamatan ke- i ,
ip adalah probabilitas suatu objek terdeteksi untuk daerah pengamatan ke- i ,
dimana setiap ip diasumsikan diketahui.
Jika nilai-nilai NYYY ,...,, 21 fixed, maka variabel random iy berdistribusi
binomial ii pYb , , dengan iii pYyE dan iiii ppYyV 1 . Didefinisikan
taksiran untuk banyak sebenarnya objek pada daerah pengamatan iY ,
adalah i
i
ip
yY ˆ .
Didefinisikan total banyak objek diseluruh daerah pengamatan sebagai
N
i
iY1
. Kemudian didefinisikan taksiran total populasi adalah
n
i i
i
p
y
n
N
1
.
Dapat ditunjukkan bahwa:
1. iY adalah taksiran tak bias untuk iY
2. adalah taksiran tak bias untuk
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
34
3.
N
i i
N
i
i
i
i
ii
N
i
i Yp
p
n
NYY
Nn
nNY
n
nNV
1 1' 1
'
1
2 1
1
4.
n
i i
n
i
i
i
i
i
i
i
in
i i
i yp
p
n
N
p
y
p
y
nn
nN
n
N
p
y
n
nN
n
NV
1 1' 12
'
'
12
2 1
1ˆˆ adalah
taksiran tak bias untuk V .
bukti:
1. akan dibuktikan iY adalah taksiran tak bias iY , yang berarti akan
dibuktikan bahwa ii YYE ˆ
)5.3.3........(................................................................................
1
1
ˆ
i
ii
i
i
i
i
i
i
Y
pYp
yEp
p
yEYE
karena ii YYE ˆ , maka terbukti i
i
ip
yY ˆ adalah taksiran tak bias untuk iY .
2. akan dibuktikan adalah taksiran tak bias , yang berarti ˆE
didefinisikan
n
i
iYn
Y1
1 , dan dari persamaan (2.1.5) didapat YE ,
dimana
N
i
iYN 1
1 .
Untuk suatu sampel s tertentu berlaku iii pYsyE | . Jika dimisalkan s
berukuran n , maka
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
35
)6.3.3.....(..........................................................................................
1
...1
1...
11
|1
...|1
|1
|...
|
|
|ˆˆ
1
1
21
22
2
11
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
N
i
i
N
i
i
n
nn
n
n
n
n
n
n
i i
i
n
i i
i
Y
YN
N
N
YNE
YYYn
NE
pYp
pYp
pYpn
NE
syEp
syEp
syEpn
NE
sp
y
p
y
p
yE
n
NE
sp
yE
n
NE
sp
y
n
NEE
sEEE
karena ˆE , terbukti
n
i i
i
p
y
n
N
1
adalah taksiran tak bias .
3. akan ditunjukkan
N
i i
N
i
i
i
i
ii
N
i
i Yp
p
n
NYY
Nn
nNY
n
nNV
1 1' 1
'
1
2 1
1
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
36
n
i i
ii
n
i
i
n
n
nn
nnn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
i i
in
i i
i
n
i i
in
i i
i
p
pYE
n
NYV
n
N
p
pY
p
pYE
n
NYYV
n
N
ppYp
ppYp
En
NpY
ppY
pV
n
N
syVp
syVp
En
NsyE
psyE
pV
n
N
sp
yVs
p
yVE
n
Ns
p
yEs
p
yEV
n
N
sp
y
p
yVE
n
Ns
p
y
p
yEV
n
N
sp
yVE
n
Ns
p
yEV
n
N
sp
y
n
NVEs
p
y
n
NEV
sVEsEVV
12
2
12
2
1
112
2
12
2
21112
1
2
2
11
1
2
2
212
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
12
2
12
2
11
1
1...
1...
11
...111
...1
|1
...|1
|1
...|1
|...||...|
|...|...
||
||
|ˆ|ˆˆ
misalkan variabel indikator
sampelbukanikeunit
sampelmenjadiikeunitzi
,0
,1, sehingga
N
i i
i
ii
N
i
ii
n
i i
ii
n
i
i
p
pzYE
n
NzYV
n
N
p
pYE
n
NYV
n
NV
12
2
12
2
12
2
12
2
1
1
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
37
dari persamaan (2.1.6), (2.1.1), (2.1.2), dan (2.1.4) didapat
N
i i
iiii
N
i
ii
N
i
ii zzYYzVYzYV1 1'
''
1
2
1
,cov dengan N
nzE i ,
N
n
N
nzV i 1 , dan
1
11,cov '
NN
n
N
nzz ii
, sehingga
)7.3.3.........(....................
1
1
1
1
111
1
1
111
1
1
111
1,cov
1ˆ
11
'
1'1
2
11 1'
'
1
2
11 1'
'
1
2
12
2
1 1'
'
1
2
2
2
12
2
1 1'
''
1
2
2
2
12
2
12
2
N
i
i
i
iN
i
ii
i
N
i
i
N
i i
ii
N
i i
ii
N
i
i
N
i i
ii
N
i i
ii
N
i
i
N
i i
i
i
N
i i
ii
N
i
i
N
i
i
i
i
i
N
i i
iiii
N
i
ii
N
i i
iii
N
i
ii
Yp
p
n
NYY
Nn
nNY
n
nN
p
pY
n
N
Nn
NYY
n
NY
n
N
p
pY
NN
n
n
NYY
N
n
n
NY
N
n
p
pY
n
N
NN
n
N
nYY
N
n
N
nY
n
N
zEp
pY
n
NzzYYzVY
n
N
p
pzYE
n
NzYV
n
NV
telah ditunjukkan
N
i i
N
i
i
i
i
ii
N
i
i Yp
p
n
NYY
Nn
nNY
n
nNV
1 1' 1
'
1
2 1
1 .
4. akan dibuktikan
n
i i
n
i
i
i
i
i
i
i
in
i i
i yp
p
n
N
p
y
p
y
nn
nN
n
N
p
y
n
nN
n
NV
1 1' 12
'
'
12
2 1
1ˆˆ adalah
taksiran tak bias V , yang berarti akan dibuktikan bahwa ˆˆˆ VVE
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
38
n
i
i
i
in
i i
ii
n
i
i
n
i i
i
n
i
i
i
in
i i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
in
i i
ii
n
i
ii
n
i i
i
i
i
n
i i
ii
n
i
i
n
i
i
i
i
n
i i i
i
i
in
i i
i
n
i
i
i
i
n
i i i
i
i
in
i i
i
n
i
i
i
i
n
i i i
i
i
in
i i
i
n
i i
n
i
i
i
i
i
i
i
in
i i
i
Yp
p
n
NEYY
nn
nN
n
NE
Yn
nN
n
NEs
p
yV
n
nN
n
NE
sYEp
p
n
NEYY
nn
nN
n
NE
sYEn
nN
n
NEsYV
n
nN
n
NE
sYp
pE
n
NEsYEsYE
nn
nN
n
NE
sYEsYVn
nN
n
NE
sp
y
p
pE
n
NE
sYYEnn
nN
n
NEsYE
n
nN
n
NE
syp
pE
n
NE
sp
y
p
yE
nn
nN
n
NEs
p
yE
n
nN
n
NE
syp
pE
n
NE
sp
y
p
yE
nn
nN
n
NEs
p
yE
n
nN
n
NE
syp
p
n
NEE
sp
y
p
y
nn
nN
n
NEEs
p
y
n
nN
n
NEE
syp
p
n
N
p
y
p
y
nn
nN
n
N
p
y
n
nN
n
NEEsVEE
11 1'
'
1
2
1
11 1'
'
1
2
1
11 1'
'
1
2
1
1 1'
'
1
2
12
1 1' '
'
12
2
12
1 1' '
'
12
2
12
1 1' '
'
12
2
1 1' 12
'
'
12
2
1
1
|
|ˆ1
1
|ˆ|ˆ
|ˆ1|ˆ|ˆ
1
|ˆ|ˆ
|1
|ˆˆ1
|ˆ
|1
|1
|
|1
|1
|
|1
|1
|
|1
1|ˆˆ
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
39
n
i
i
i
in
i i
ii
n
i
i
n
i i
i
i
n
i
i
i
in
i i
ii
n
i
i
n
i
iii
i
n
i
i
i
in
i i
ii
n
i
i
n
i
i
i
Yp
p
n
NEYY
nn
nN
n
NE
Yn
nN
n
NE
p
pY
n
nN
n
NE
Yp
p
n
NEYY
nn
nN
n
NE
Yn
nN
n
NEppY
pn
nN
n
NE
Yp
p
n
NEYY
nn
nN
n
NE
Yn
nN
n
NEsyV
pn
nN
n
NEsVEE
11 1'
'
1
2
1
11 1'
'
1
2
12
11 1'
'
1
2
12
1
1
1
1
1
11
1
1
|1
|ˆˆ
misalkan variabel indikator
sampelbukanikeunit
sampelmenjadiikeunitzi
,0
,1, sehingga
i
N
i
i
i
iii
N
i i
ii
i
N
i
ii
N
i
i
i
i
N
i
ii
i
iN
i i
iiii
N
i
ii
N
i
ii
i
i
zEYp
p
n
NzzEYY
nn
nN
n
N
zEYn
nN
n
NzEY
p
p
n
nN
n
N
zYp
p
n
NEzYzY
nn
nN
n
NE
zYn
nN
n
NEzY
p
p
n
nN
n
NEsVEE
1
'
1 1'
'
1
2
1
11 1'
''
1
2
1
1
1
1
1
1
1|ˆˆ
dari bab sebelumnya, telah dibuktikan bahwa N
nzE i ,
1
1'
N
n
N
nzzE ii
sehingga
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
40
)8.3.3.........(................................................................................ˆ
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1|ˆˆ
11 1'
'
1
2
11 1'
'
1
2
11 1'
'
1
2
1
11 1'
'
1
2
11 1'
'
1
2
1
11 1'
'
1
2
1
V
Yp
p
n
NYY
Nn
nNY
n
nN
Yp
p
n
NYY
Nn
nNY
n
nN
Yp
p
n
nNYY
Nn
nNY
n
nN
Yp
p
Yp
p
n
nNYY
Nn
nNY
n
nN
Yp
pYY
Nn
nN
Yn
nNY
p
p
n
nN
N
nY
p
p
n
N
N
n
N
nYY
nn
nN
n
N
N
nY
n
nN
n
N
N
nY
p
p
n
nN
n
NsVEE
N
i
i
i
iN
i i
ii
N
i
i
N
i
i
i
iN
i i
ii
N
i
i
N
i
i
i
iN
i i
ii
N
i
i
N
i
i
i
i
N
i
i
i
iN
i i
ii
N
i
i
N
i
i
i
iN
i i
ii
N
i
i
N
i
i
i
i
N
i
i
i
iN
i i
ii
N
i
i
N
i
i
i
i
karena ˆˆˆ VVE , maka terbukti V adalah taksiran tak bias V
3.3.3 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek tidak diketahui, namun
diasumsikan bernilai sama untuk setiap daerah pengamatan
Misalkan:
Wilayah pengamatan dibagi menjadi N daerah pengamatan,
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
41
Sampel merupakan n daerah pengamatan yang diambil secara Simple
Random Sampling dari N daerah pengamatan,
iY adalah banyak sebenarnya objek di daerah pengamatan ke- i ,
iy adalah banyak objek terdeteksi oleh peneliti di daerah pengamatan ke- i ,
p adalah probabilitas suatu objek pengamatan terdeteksi,
p adalah taksiran tak bias untuk p dimana p diasumsikan sama untuk
setiap daerah pengamatan dan p tidak berkorelasi dengan iy
pV ˆ adalah variansi dari p ,
pV ˆˆ adalah taksiran tak bias untuk pV ˆ ,
Nilai dari p dan pV ˆˆ dicari berdasarkan metode yang digunakan pada
penelitian sebelumnya.
Didefinisikan taksiran untuk total populasi , adalah p
yN
ˆˆ , dimana
n
i
iyn
y1
1 . Maka dapat dibuktikan bahwa:
1. adalah taksiran tak bias untuk
2. variansi untuk adalah
pV
pnp
p
nN
nNNV ˆ
1
1ˆ
4
222
,
bukti:
1. akan dibuktikan bahwa adalah taksiran tak bias untuk , yang
berarti bahwa akan dibuktikan bahwa ˆE
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
42
n
i
i
n
i
i
n
i
i
sp
yEE
n
N
sp
yEE
n
N
sp
y
n
NEE
sp
yNEEsEE
1
1
1
|ˆ
|ˆ
|ˆ
|ˆ
|
berdasarkan Delta Method, XE
YE
X
YE
, sehingga
)9.3.3..(................................................................................
1
ˆ
|
|ˆ
|ˆ
1
1
1
1
1
1
N
i
i
N
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Y
YN
N
N
YNE
YEn
N
p
pYE
n
N
pE
syEE
n
N
sp
yEE
n
NsEE
karena ˆE , maka terbukti adalah taksiran tak bias untuk
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
43
2. akan ditunjukkan bahwa variansi untuk adalah
pV
pnp
p
nN
nNNV ˆ
1
1ˆ
4
222
,
berdasarkan Delta Method,
YX
XE
YEXV
XE
YEYV
XEX
YV ,cov
2134
2
2
, sehingga
ypp
pVp
yVp
N
yppE
yEpV
pE
yEyV
pEN
p
yVN
p
yNVV
,ˆcov2
ˆ1
,ˆcovˆ
2ˆ
ˆˆ
1
ˆ
ˆˆ
34
2
2
2
34
2
2
2
2
karena p tidak berkorelasi dengan iy , maka 0,ˆcov yp ,
sehingga
pVp
Nyp
NV
pVp
NyVp
N
pVp
yVp
N
ypp
pVp
yVp
NV
ˆ
ˆ
ˆ1
,ˆcov2
ˆ1
ˆ
4
22
4
22
2
2
4
2
2
2
34
2
2
2
dari persamaan (3.3.3) didapat
np
p
nN
nNN
p
yNV
1
1
22 , sehingga
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
44
)10.3.3.......(....................ˆ1
1
ˆ1
1
ˆˆ
4
222
4
22
22
4
22
pVpnp
p
nN
nNN
pVp
Nnp
p
nN
nNN
pVp
Nyp
NVV
telah ditunjukkan bahwa variansi untuk adalah
pV
pnp
p
nN
nNNV ˆ
1
1ˆ
4
222
Taksiran untuk V dapat dicari dengan formula sebagai berikut:
)11.3.3.(........................................ˆˆˆ
ˆ1
ˆˆˆ
2
22
2
2
pV
p
yy
N
p
n
s
N
nN
p
NV
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
45
BAB IV
APLIKASI
Pada bab ini akan dijelaskan penerapan metode Detectability Simple
Random Sampling dalam menaksir total populasi katak di sekeliling Danau
Agatis Universitas Indonesia.
4.1 Katak sebagai bioindikator tingkat kebersihan danau
Katak adalah salah satu jenis amfibi, yang merupakan hewan
ectothermal, yang berarti hewan yang suhu tubuhnya berfluktuasi tergantung
pada suhu lingkungan di sekitarnya (Sutanto 2006). Amfibi juga merupakan
hewan yang dapat hidup di dua habitat, yaitu habitat air dan habitat darat.
Kehidupan amfibi secara umum sangat berhubungan erat dengan air, karena
air berkaitan dengan sebagian dari siklus hidupnya, yaitu pada saat fase telur
dan fase berudu (Sutanto 2006).
Katak baik digunakan sebagai bioindikator kebersihan air karena
katak lebih menyukai hidup di habitat dekat dengan perairan yang bersih.
Selain itu, katak memiliki jumlah yang berlimpah di alam, mudah diamati, dan
perilakunya mudah dipantau (Sutanto 2006). Biasanya katak hanya dapat
hidup di suatu habitat tertentu dan tak mudah untuk berpindah tempat,
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
46
sehingga jika habitat tempat hidupnya terganggu, maka siklus hidup dan
regenerasi katak tersebut akan terganggu, dan pada akhirnya populasi di
habitat tersebut akan menurun. Sebagai contoh seharusnya katak banyak
hidup di habitat dekat perairan tenang yang luas dan terbuka seperti Danau
Agatis, Universitas Indonesia. Jika banyak katak di sekeliling Danau Agatis
hanya sedikit, hal itu mengindikasikan bahwa Danau Agatis sudah mulai
tercemar. Suatu peneli tian pernah dilakukan pada tahun 2006 di sekeliling
salah satu danau di Kampus Universitas Indonesia Depok, yang memiliki
keadaan yang similar dengan Danau Agatis. Dari penelitian yang
menggunakan metode Direct Sampling tersebut, didapat taksiran probabilitas
katak terdeteksi adalah sebesar 3390.0ˆ p , taksiran untuk variansi p
sebesar 001126.0ˆˆ pV . Dengan mempertimbangkan taksiran probabilitas
katak terdeteksi beserta taksiran dari variansinya diatas, akan ditaksir total
banyak katak di sekeliling Danau Agatis untuk tahun 2008, beserta sampling
errornya. Dari suatu penelitian di sekeliling danau yang bersih, didapat
banyak katak per luas adalah sebesar 13.1 . Dengan membandingkan banyak
katak per luas di sekeliling Danau Agatis terhadap banyak katak per luas di
sekeliling danau yang bersih tersebut, dapat diindentifikasi kebersihan Danau
Agatis, Universitas Indonesia. Taksiran probabilitas terdeteksinya katak di
salah satu danau di Kampus Universitas Indonesia Depok dapat digunakan
karena probabilitas terdeteksinya katak tidak dipengaruhi lingkungan
(Thompson 2002).
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
47
4.2 Pengambilan sampel katak di sekeliling Danau Agatis Universitas
Indonesia
Pengambilan sampel dilakukan pada bulan November 2008, pada
malam hari antara pukul 18:00 hingga 21:00. Alat bantu yang digunakan
adalah ember dengan tutup rapat, meteran, lampu emergensi, senter, jaring
bergagang panjang, kamera digital, kertas, dan alat tulis. Penelitian dilakukan
di sekeliling Danau Agatis Universitas Indonesia, yang merupakan danau
alami yang berada di seberang Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam. Penelitian pertama dilakukan untuk melihat lokasi pengambilan sampel
dan penentuan pembagian daerah pengamatan. Sekeliling Danau Agatis
dibagi menjadi 23 daerah pengamatan per 10 meter, dengan batasan
pengamatan hingga 2 meter keluar danau.
Penelitian kedua adalah saat pengambilan sampel, yang dilakukan
dengan cara sebagai berikut, daerah pengamatan 10x2 meter persegi yang
dipilih secara acak sebagai sampel disusuri secara perlahan dengan
menggunakan lampu emergensi dan senter. Pada saat seekor katak
terdeteksi, segera ditutup ruang geraknya dengan menggunakan jaring
bergagang panjang, dan ditangkap menggunakan tangan, kemudian
dimasukkan ke dalam ember yang ditutup rapat.
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
48
4.3 Populasi dan sampel
Dalam tugas akhir ini, sekeliling Danau Agatis dibagi menjadi 23N
daerah pengamatan yang sama besar )20( 2m . Dari 23 daerah pengamatan
tersebut, diambil sampel secara Simple Random Sampling sebanyak 12n
daerah pengamatan. Dari masing-masing daerah pengamatan yang menjadi
sampel dilakukan pengamatan banyak katak yang terdeteksi. Data yang
diperoleh adalah sebagai berikut:
4.4 Hasil penelitian dan pembahasan
Hasil penelitian di sekeliling Danau Agatis Universitas Indonesia,
disajikan dalam tabel di bawah ini:
n Banyak katak 1 6 2 2 3 4 4 5 5 4 6 3 7 3 8 4 9 1
10 3 11 5 12 7
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
49
Dengan menggunakan bantuan program SPSS 13.0, dihasilkan
analisa deskriptif dari data sebagai berikut:
Descriptive Statistics
N Minimum Maximum Mean Std. Deviation katak 12 1.00 7.00 3.9167 1.67649 Valid N (listwise) 12
Dari tabel di atas didapat: 23N , 12n , 9167.3y , 67649.12 s , dan telah
diketahui bahwa dari penelitian yang pernah dilakukan didapat 3390.0ˆ p ,
001126.0ˆˆ pV ,
sehingga dari persamaan (3.3.9) dan (3.3.11) akan didapat:
266
734801.265
553687.1123
3390.0
9167.323
ˆˆ
p
yN
1726
66566.1725
374887.016217.4603
150307.0112563.0112017.016217.4603
001126.0114921.0
34054.159167.3
23
6610.0
12
81062.2
23
11
114921.0
529
001126.03390.0
9167.39167.3
23
3390.01
12
67649.1
23
1223
3390.0
23
ˆˆˆ
ˆ1
ˆˆˆ
2
22
2
2
2
22
2
2
pV
p
yy
N
p
n
s
N
nN
p
NV
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
50
selanjutnya dapat dihitung sampling error sebagai berikut:
60
59.82502
172644.1
ˆˆ44.1
VSE
Total populasi katak di sekeliling Danau Agatis, Universitas Indonesia
diperkirakan sebanyak 266ˆ ekor katak. Dengan tingkat kepercayaan %85 ,
dipercaya total populasi katak di sekeliling Danau Agatis, Universitas
Indonesia berada pada interval 326,206
Banyak katak per luas di sekeliling Danau Agatis 578.0460
266 ,
sedangkan dari penelitian sebelumnya dilakukan di sekeliling danau yang
bersih didapat banyak katak per luas adalah sebesar 13.1 . Sehingga dapat
disimpulkan bahwa densitas katak di sekeliling Danau Agatis lebih sedikit
dibanding densitas katak di sekeliling danau yang bersih, yang berarti Danau
Agatis dapat dikatakan sudah mulai tercemar. Hal ini didukung oleh fakta
bahwa banyak ditemukan sampah di sekeliling Danau Agatis, Universitas
Indonesia seperti yang terlihat pada foto-foto berikut:
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
51
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
52
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini akan dijelaskan kesimpulan dan saran yang dapat
diambil dari tugas akhir ini, baik dari aplikasinya, maupun dari keseluruhan
tugas akhir ini.
5.1 Kesimpulan
1. Untuk menaksir total populasi dimana tidak semua objek
pengamatan dapat terdeteksi, metode Detectability Simple
Random Sampling baik digunakan karena menghasilkan taksiran
yang tak bias.
2. Taksiran untuk total populasi dimana sampelnya diambil
berdasarkan metode Detectability Simple Random Sampling jika
probabilitas terdeteksinya suatu unit sampling diketahui dan
bernilai sama untuk setiap daerah pengamatan adalah
p
yN
dengan sampling error ˆ44.1 V dimana
y
Np
p
np
s
N
nNNV
22
22 1
ˆˆ
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
53
adalah taksiran tak bias untuk , dan V adalah taksiran tak
bias untuk V
3. Taksiran untuk total populasi dimana sampelnya diambil
berdasarkan metode Detectability Simple Random Sampling jika
probabilitas terdeteksinya suatu unit sampling diketahui namun
bernilai beda untuk setiap daerah pengamatan adalah
n
i i
i
p
y
n
N
1
dengan sampling error ˆ44.1 V dimana
n
i i
n
i
i
i
i
i
i
i
in
i i
i yp
p
n
N
p
y
p
y
nn
nN
n
N
p
y
n
nN
n
NV
1 1' 12
'
'
12
2 1
1ˆˆ
adalah taksiran tak bias untuk , dan V adalah taksiran tak
bias untuk V
4. Taksiran untuk total populasi dimana sampelnya diambil
berdasarkan metode Detectability Simple Random Sampling jika
probabilitas terdeteksinya suatu unit sampling ditaksir dari
penelitian sebelumnya dan bernilai sama untuk setiap daerah
pengamatan adalah
p
yN
ˆˆ
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
54
dengan sampling error ˆ44.1 V dimana
pV
p
yy
N
p
n
s
N
nN
p
NV ˆˆ
ˆ
ˆ1
ˆˆˆ
2
22
2
2
adalah taksiran tak bias untuk , dan V adalah taksiran bias
untuk V .
5. Dari contoh penerapan, didapat hasil bahwa:
Taksiran total banyak katak di sekeliling Danau Agatis,
Universitas Indonesia adalah sebesar 266ˆ katak dengan
sampling error 60SE
Densitas banyak katak per luas di sekeliling Danau Agatis,
Universitas Indonesia, lebih kecil dibanding densitas banyak
katak di sekeliling danau yang bersih, sehingga dapat
disimpulkan Danau Agatis sudah mulai tercemar
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
55
5.2 Saran
1. Metode Detectability Sampling dapat diterapkan tidak hanya pada
pengambilan sampel dengan Simple Random Sampling, namun
juga dengan metode pengambilan sampel lainnya, seperti Stratified
Random Sampling, Cluster Sampling, dan metode-metode
pengambilan sampel lainnya.
2. Pimpinan Universitas Indonesia seharusnya lebih memperhatikan
kebersihan dari danau-danau alami yang terdapat di lingkungan
kampus Universitas Indonesia, Depok, Jawa Barat.
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
57
Lampiran 1:
Pembuktian: YXabYVbXVabYaXV ,cov222
bukti:
Misalkan terdapat dua variabel random X dan Y , dengan bobot
masing-masing a dan b , maka
YXabYVbXVa
YEXEXYEabYEYEbXEXEa
YEXabEXYabEYEbYEbXEaXEa
YEbYEXabEXEaYEbXYabEXEa
bYEbYEaXEaXEYEbXYabEXEa
bYEbYEaXEaXEYbEabXYEXaE
bYEaXEYbabXYXaE
bYaXEbYaXEbYaXV
,cov2
2
22
22
22
22
2
22
222222
22222222
22222222
222222
222222
22222
22
terbukti YXabYVbXVabYaXV ,cov222
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
58
Lampiran 2:
Pembuktian:
1. XE
YE
X
YE
2.
YX
XE
YEYV
XEXV
XE
YE
X
YV ,cov
21324
2
bukti:
Delta Method merupakan suatu metode pendekatan ekspansi deret
Taylor yang sering digunakan untuk mencari pendekatan variansi untuk
fungsi dari variabel random. Ekspansi deret Taylor untuk fungsi xf jika
diketahui ni lai dari a adalah sebagai berikut:
...!2
'''
2
ax
afaxafafxf
namun sering kali bentuk derajat yang lebih tinggi dapat diabaikan sehingga
menghasilkan pendekatan
axafafxf '
Jika terdapat variabel random Y yang merupakan fungsi dari variabel
random X , atau dengan perkataan lain XfY , maka ekspansi deret
Taylor dari XfY dengan diketahui nilai dari XE , akan berbentuk
XEXXEfXEfY '
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
59
dan akan didapatkan juga hasil sebagai berikut:
XEfE
XEXEfXEXEfXEfE
XEEXEfXEXEfXEfE
XEXEfEXXEfEXEfE
XEXEfXXEfXEfE
XEXXEfXEfEYE
''
''
''
''
'
dan
XVXEf
XXEfV
XEXEfXXEfXEfV
XEXXEfXEfVYV
2'
'
''
'
Selanjutnya akan dijelaskan ekspansi deret Taylor untuk dua variabel.
Misalkan terdapat fungsi yxf , , jika diketahui nilai dari ax 0 dan by 0 ,
maka ekspansi deret Taylor dari yxf , adalah
...,,
,,,,
by
y
yxfax
x
yxfbafyxf
baba
Jika terdapat YXf , yang merupakan fungsi dari dua variabel
random X dan Y dengan diketahui nilai dari XE dan YE , maka ekspansi
deret Taylor untuk YXf , adalah
...,,
,,,,
YEY
Y
YXfXEX
X
YXfYEXEfYXf
YEXEYEXE
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
60
Sehingga jika X
YYXf , , dan diketahui nilai dari XE dan YE , maka
ekspansi deret Taylor untuk X
YYXf , adalah
YEY
XEXEX
XE
YE
XE
YE
YEYY
YXfXEX
X
YXfYEXEf
X
YYXf
YEXEYEXE
1
,,,
,
2
,,
sehingga akan didapatkan hasil sebagai berikut
XE
YE
YEXE
YEXE
XEXE
YEXE
XE
YE
XE
YE
YEEXE
YEXE
XEEXE
YEXE
XE
YE
XE
YE
YEXE
EYXE
EXEXE
YEEX
XE
YEE
XE
YEE
YEXE
YXE
XEXE
YEX
XE
YE
XE
YEE
YEYXE
XEXXE
YE
XE
YEE
X
YE
11
11
11
11
1
22
22
22
22
2
maka terbukti XE
YE
X
YE
dan
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
61
YX
XE
YEYV
XEXV
XE
YE
YXXE
YEYV
XEXV
XE
YE
YXXE
YEY
XEVX
XE
YEV
YEXE
YXE
XEXE
YEX
XE
YE
XE
YEV
YEYXE
XEXXE
YE
XE
YEV
X
YV
,cov21
,cov21
,cov21
11
1
324
2
3
22
2
32
22
2
maka terbukti bahwa
YX
XE
YEYV
XEXV
XE
YE
X
YV ,cov
21324
2
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
62
Lampiran 3:
Pembuktian:
1. 212 | XEXXEE
2. 12122 || XXEVXXVEXV
bukti:
Misalkan:
1X dan 2X adalah variabel random diskrit
p.d.f bersama dari 1X dan
2X adalah 21, xxf
p.d.f marginal dari 1X adalah
2
2111 ,x
xxfxf
p.d.f marginal dari 2X adalah 1
2122 ,x
xxfxf
maka
12
11
1
12
11
1 2
122
11
1 2 11
212
1 2 11
11212
1 2
2122
|
|
|
,
,
,
xxEE
xfxxE
xfxxfx
xfxf
xxfx
xf
xfxxfx
xxfxXE
x
x x
x x
x x
x x
terbukti bahwa 212 | XEXXEE
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
63
dan
22
2
22 XEXEXV
dari pembuktian sebelumnya didapat 212 | XEXXEE , sehingga
1212
2
12
2
12
2
121
2
2
2
12
2
12
2
121
2
2
2
12
2
12
2
121
2
2
2
12
2
12
2
121
2
2
2
121
2
22
||
||||
||||
||||
||||
||
XXEVXXVE
XXEEXXEEXXEXXEE
XXEEXXEEXXEEXXEE
XXEEXXEEXXEEXXEE
XXEEXXEEXXEEXXEE
XXEEXXEEXV
terbukti bahwa 12122 || XXEVXXVEXV
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.
64
DAFTAR PUSTAKA
Cochran, W.G. 1977. Sampling Techniques (3rd ed). John Wiley and Sons
Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics
(5th ed). Prentice Hall Inc.
Ramsey, F.L., & Harrison, K. 2004. A closer look at detectability. Journal
of Environment and Ecological Statistics: 73-84
Scheaffer, R.L., Mendenhall III, W., Ott, L. 1996. Elementary Survey
Sampling (5th ed). Duxburry Press
Sutanto, D. 2006. Struktur komunitas amfibi di kampus Universitas
Indonesia, Depok, Jawa Barat. Skripsi
Thompson, S.K. 2002. Sampling (2nd ed). Wiley series in probability and
statistics
Thompson, S.K., & Seber, G.A.F. 2002. Detectability in conventional and
adaptive sampling. Journal of Biometrics, 50: 712-724
http://www.math.umt.edu/patterson/549/Delta.pdf (25 Maret 2009 12:11
WIB)
Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.