RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES

Instituto Tecnológico de Los Mochis.

Carrera:

INGENIERÍA MECATRÓNICA

Asignatura:

MÉTODOS NUMÉRICOS

Facilitador:

RODRÍGUEZ RODRÍGUEZ MARCO ANTONIO

Grupo:

M31

Estudiante:

VÍCTOR DE JESÚS BERNAL SANDOVAL

UNIDAD 2.RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES

20 DE OCTUBRE DEL 2013

TRABAJOUNIDAD 2; RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES

Métodos NuméricosUNIDAD 2. Raíces de ecuaciones no lineales

Marco Antonio Rodríguez R.Alumno: Bernal Sandoval Victor de Jesús

N° de Control: 12440123

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UNIDAD 2. Raíces de ecuaciones no lineales

Actividad colaborativa en el aula.

CONTENIDO:

1.- a) Conceptos. ................................................................................................2b) Tabla que compara las ventajas y desventajas de cada método................3

2.- Pseudocódigo del método de bisección.............................................................4

3.- Pseudocódigo del método de Newton-Raphson...............................................5

4.- Encuentren las raíces de f(x) = -12 -21x +18x2 -2.75x3.a) Gráficamente (en Matlab). ........................................................................6b) Por bisección..............................................................................................7c) Mediante falsa posición. ............................................................................8

5.- Determine la raíz real de f(x)= - 25 + 82x - 90x2 + 44x3 - 8x4 + 0.7x5.a) Gráficamente (en Matlab). .......................................................................9b) Usando el método de bisección con εa = 10%, Con valores inicialesde xl = 0.5 y xu = 1. ..................................................................................10c) Usando el método de falsa posición con los mismos datos que en b)pero para un εa =2%.....................................................................................11

6. Determine la raíz real de f(x) = -1 + 5.5x - 4x2 + 0.5x3.a) Gráficamente (en Matlab). .......................................................................12b) Usando el método Newton-Raphson con εs =0.001%. ...........................13

7. Localice la primera raíz positiva de f(x) = sin(x) + cos(x2 + 1) – 1.Donde x está en radianes.Use cuatro iteraciones del método de la secante con valores iniciales de;

a) xi-1 = 1 y xi = 3. ...................................................................................14b) xi-1 = 1.5 y xi = 2.5. ..........................................................................15

8. Use f(x)= -x2 + 1.8x + 25 usando x0 = 5 con εs = 0.05%.a) En el método de iteración de punto fijo. ..................................................16b) En el método de Newton-Raphson. ........................................................17




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1. Definan por los siguientes conceptos:

Ecuación no lineal:Cuando una ecuación tiene grado 1, se dice que es lineal. Entonces una ecuación no lineal es cuando es degrado mayor a 1.Ejemplo.2x2+ 3x - 3=11x3 + 4y = 14

Raíz de una función:Cuando se habla de raíces en matemáticas, se refiere a todo elemento de una función f(x) tal que f(x)=0Ejemplo:La Raíz de la ecuación y=2x^2+3x-14 es 2.f=@(x) 2*x^2+3*x-14;f(2)ans =

0fzero(f,0)ans =

2

Iteración:En matemática se habla de métodos iterativos que resultan útiles para resolver problemas por medio deaproximaciones sucesivas a la solución, partiendo desde una estimación inicial. Este tipo de estrategias puedenser más útiles que los métodos directos para resolver problemas con miles o millones de variables.En programación, la iteración consiste en reiterar un conjunto de instrucciones o acciones con uno o variosobjetivos.

Métodos cerrados:Estos métodos aprovechan el hecho de que una función cambia de signo en la vecindad de una raíz. A estastécnicas se les llama métodos cerrados, o de intervalos, porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz.Como su nombre lo indica, dichos valores iniciales deben “encerrar”, o estar a ambos lados de la raíz.

Métodos abiertos:Se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos,pero que no necesariamente encierran la raíz.Éstos, algunas veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que se avanza en el cálculo. Sin embargo,cuando los métodos abiertos convergen, en general lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados.




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Tabla que compara las ventajas y desventajas de cada método.

MÉTODOS VENTAJAS DESVENTAJASCERRADOS

Bisección.Falsa Posición.

Simple. Convergencia lenta.

Buena estimación del error absoluto.Requiere una buena estimación delintervalo inicial (que encierra laraíz).

Convergencia garantizada.Si existe más de una raíz en elintervalo, el método permiteencontrar sólo una de ellas.

ABIERTOS

Iteración de puntofijo.

Es simple No está garantizada laconvergencia.Es flexible

Newton - Raphsono de la Tangente

Converge más rápido que cualquierade los métodos analizados hastaahora.

No es conveniente en el caso deraíces múltiples.Puede alejarse del área de interéssi la pendiente es cercana a cero.Requiere una derivada.

SecanteLa derivada se puede aproximarmediante una diferencia finitadividida hacia atrás.

Requiere dos puntos inicialesaunque no es necesario queencierren a la raíz.




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2. De acuerdo al pseudocódigo del método de bisección, hagan una propuestaen Matlab para aplicar este algoritmo.

function[xr]= biseccion(f,xl,xu,es)% Método de Bisección para raíces en funciones continúas dentro de un intervalo.% Ejemplo:% Ejecutar en la ventana de comandos:% f=@(x)(x.^2-4);% x = biseccion(f, 0, 5, 0.01);% Se buscará la raíz de la función (x^2)-4, puntos iniciales a=0 y b=5, con unatolerancia es=0.01.fprintf('Método de la bisección\n\n');i = 0;if f(xl)*f(xu)>0fprintf('Error No hay cambio de signo (%i,%i) \n',xl,xu);

returnendfprintf('Iter. \t xl \t \t xu \t \t raiz \n');while (abs(xu-xl) >= es)

i=i+1;xr=(xu + xl)/2;if f(xr) == 0

fprintf('Raiz encontrada en x = %f \n', xr);return

endfprintf('%2i \t %f \t %f \t %f \n', i, xl, xu, xr);if f(xl)*f(xr)>0

xl=xr;else

xu=xr;end

endf(xr);fprintf('\n La mejor aproximación a la raíz tomando una tolerancia de %f es \n x= %f con \n f(x) = %f \n y se realizaron %i iteraciones\n',es,xr,f(xr),i-1);end




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3. De acuerdo al pseudocódigo del método de Newton-Raphson, hagan unapropuesta en Matlab para aplicar este algoritmo.

(Código proporcionado por Rodríguez Rodríguez Marco Antonio)

function [x,fx,xx] = newton(f,df,x0,TolX,MaxIter)%MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON%ENTRADAS% f = función de la que se obtendrá la raíz.% df = df(x)/dx. (Si la derivada no se proporciona, entonces% automáticamente se usa la derivada numérica.% x0 = es el valor estimado inicial de la solución inicial.% TolX = El límite superior de |x(k) - x(k-1)|.% MaxIter = El # máximo de iteraciones.%SALIDAS% x = El punto alcanzado por el algoritmo.% fx = f(x(nuevo)).% xx = la historia de xh = 1e-4; h2 = 2*h; TolFun=eps;if nargin == 4 && isnumeric(df)

MaxIter = TolX; TolX = x0;x0 = df;

endxx(1) = x0;fx = feval(f,x0);for k = 1: MaxIter

if ~isnumeric(df)dfdx = feval(df,xx(k)); %derivada de la function

else dfdx = (feval(f,xx(k) + h)-feval(f,xx(k) - h))/h2; %derivada num?ricaenddx = -fx/dfdx;xx(k+1) = xx(k)+dx;fx = feval(f,xx(k + 1));if abs(fx)<TolFun || abs(dx) < TolX

breakend

endx = xx(k + 1);if k== MaxIter, fprintf('La mejor en %d iteraciones\n',MaxIter),end




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4. Encuentren las raíces de f(x) = -12 -21x +18x2 -2.75x3.

a) Gráficamente (en Matlab).f=@(x) -12-21*x+18*x.^2-2.75*x.^3;ezplot(f),grid

-6 -4 -2 0 2 4 6-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

X: -0.4208Y: 0.2295

x

-12-21 x+18 x2-2.75 x3

Usando los valores iniciales de xl = -1 y xu = 0, y un criterio de paro de 1%.x=-1:0.001:0;Plot(x, f(x)), grid

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

X: -0.415Y: 0.0116




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b) Por bisección;

f=@(x) -12-21*x+18*x.^2-2.75*x.^3;xl=-1;xu=0;xr=(xl+xu)/2;f(xl),f(xr),f(xu)ans =

29.7500ans =

3.3438ans =

-12xl=xr;

xr2=(xl+xu)/2;f(xl),f(xr2),f(xu)ans =

3.3438ans =

-5.5820ans =

-12xu=xr2;ea=abs((xr2-xr)/xr2)*100ea =

100


3.3438ans =

-1.4487ans =

-5.5820xu=xr3;ea=abs((xr3-xr2)/xr3)*100ea =

33.3333


3.3438ans =

0.8631ans =

-1.4487xl=xr4;ea=abs((xr4-xr3)/xr4)*100ea =

14.2857


0.8631ans =

-0.3137ans =


7.6923

xr6=(xl+xu)/2;f(xl),f(xr6),f(xu)

ans =0.8631

ans =0.2695

ans =-0.3137

xl=xr6;ea=abs((xr6-xr5)/xr6)*100ea =

3.7037


0.2695ans =

-0.0234ans =


1.8868


0.2695ans =

0.1227ans =


0.9346


0.1227ans =

0.0496ans =


0.4695

Comprobación:Raíz aproximadaxr9xr9 =

-0.4160

Raíz verdadera:fzero(f,-1)ans =

-0.4147

Raíz aproximada evaluada en f.f(xr9)ans =

0.0496




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c) Mediante falsa posición.

f=@(x) -12-21*x+18*x.^2-2.75*x.^3;xl=-1;xu=0;xr=xu-f(xu)*(xl-xu)/(f(xl)-f(xu));f(xl),f(xr),f(xu)ans =

29.7500ans =

-4.4117ans =

-12xu=xr;

xr2=xu-f(xu)*(xl-xu)/(f(xl)-f(xu));f(xl),f(xr2),f(xu)ans =

29.7500ans =

-1.2897ans =

-4.4117xu=xr2;ea=abs((xr2-xr)/xr2)*100ea =

24.2520


29.7500ans =

-0.3513ans =


6.3626


29.7500ans =

-0.0938ans =

-0.3513

xu=xr4;ea=abs((xr4-xr3)/xr4)*100ea =

1.6840


29.7500ans =

-0.0249ans =


0.4464


29.7500ans =

-0.0066ans =


0.1184

Comprobación;Raíz aproximadaxr6xr6 =

-0.4145

Raíz verdadera:fzero(f,-1)ans =

-0.4147

Raíz aproximada evaluada en f.f(xr6)ans =

-0.0066




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5. Determine la raíz real de f(x)= - 25 + 82x - 90x2 + 44x3 - 8x4 + 0.7x5.a) Gráficamente (en Matlab).

f=@(x) -25 +82*x -90*x.^2 +44*x.^3 -8*x.^4 +0.7*x.^5;ezplot(f),grid

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

x 104

X: 0.5659Y: -0.2236

x

-25+82 x-90 x2+44 x3-8 x4+0.7 x5

Usando los valores iniciales de xl = 0.5 y xu = 1.x=0.5:0.001:1;plot(x,f(x)),grid

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1-2

-1

0

1

2

3

4

X: 0.579Y: -0.006632




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b) Usando el método de bisección con εa = 10%, Con valores iniciales de xl = 0.5 yxu = 1.

f=@(x) -25+82*x-90*x.^2+44*x.^3-8*x.^4+0.7*x.^5;xl=0.5;xu=1;

xr=(xl+xu)/2;f(xl),f(xr),f(xu)ans =

-1.4781ans =

2.0724ans =

3.7000xu=xr;


-1.4781ans =

0.6820ans =

2.0724xu=xr2;ea=abs((xr2-xr)/xr2)*100ea =

20


-1.4781ans =

-0.2820ans =

0.6820xl=xr3;ea=abs((xr3-xr2)/xr3)*100ea =

11.1111

xr4=(xl+xu)/2;

f(xl),f(xr4),f(xu)ans =

-0.2820ans =

0.2265ans =

0.6820xu=xr4;ea=abs((xr4-xr3)/xr4)*100ea =

5.2632

ComprobaciónRaíz aproximadaxr4xr4 =

0.5938Raíz verdadera:fzero(f,0.5)ans =

0.5794Raíz aproximada evaluada en f.f(xr4)ans =

0.2265




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c) Usando el método de falsa posición con los mismos datos que en b) pero para unεa =2%.

f=@(x) -25+82*x-90*x.^2+44*x.^3-8*x.^4+0.7*x.^5;xl=0.5;xu=1;xr=xu-f(xu)*(xl-xu)/(f(xl)-f(xu));f(xl),f(xr),f(xu)ans =

-1.4781ans =

0.9188ans =

3.7000xu=xr;


-1.4781ans =

0.1373ans =

0.9188xu=xr2;ea=abs((xr2-xr)/xr2)*100ea =

9.3043


-1.4781ans =

0.0182ans =

0.1373xu=xr3;ea=abs((xr3-xr2)/xr3)*100ea =

1.2885ComprobaciónRaíz aproximadaxr3xr3 =


0.5794Raíz aproximada evaluada en f.f(xr3)ans =

0.0182




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6. Determine la raíz real de f(x) = -1 + 5.5x - 4x2 + 0.5x3.a) Graficamente (en Matlab).

f=@(x) -1+5.5*x-4*x.^2+ 0.5*x.^3;fplot(f,[-5,8]),grid

-4 -2 0 2 4 6 8-200

-150

-100

-50

0

50

X: 6.232Y: -1.057

Con xi = 6 y xu = 7.x=6:0.001:7;plot(x,f(x)),grid

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

X: 6.306Y: 0.001506




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b) Usando el método Newton-Raphson con εs =0.001%.

f=@(x) -1+5.5*x-4*x.^2+ 0.5*x.^3;xi=7;df=@(x) 5.5-4*2*x+0.5*3*x.^2;xr=xi-(f(xi)/df(xi));ea=abs((xr-xi)/xr)*100,xi=xrea =

8.783783783783781xi =

6.434782608695652xr=xi-(f(xi)/df(xi));ea=abs((xr-xi)/xr)*100,xi=xrea =

1.950853695256105xi =


0.091053261134278xi =


1.943555052127402e-04xi =


8.846152917677153e-10xi =


0xi =

6.305897529333429ComprobaciónRaíz aproximadaxrxr =

6.305897529333429Raíz verdadera:fzero(f,7)ans =

6.305897529333430Raíz aproximada evaluada en f.f(xi)ans =

0




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7. Localice la primera raíz positiva de f(x) = sin(x) + cos(x2 + 1) – 1 donde x está enradianes. Use cuatro iteraciones del método de la secante con valores iniciales de;

f=@ (x) sin(x)+cos(x^2+1)-1;ezplot(f),grid

a) xi-1 = 1 y xi = 3.

-0.023214278484220x3=x2-((x2-x1)/(f(x2)-f(x1)))*f(x2)x3 =

-1.226347475638797x4=x3-((x3-x2)/(f(x3)-f(x2)))*f(x3)x4 =

0.233951216302741x5=x4-((x4-x3)/(f(x4)-f(x3)))*f(x4)x5 =

0.396365773726685x6=x5-((x5-x4)/(f(x5)-f(x4)))*f(x5)x6 =

0.944691165764433x7=x6-((x6-x5)/(f(x6)-f(x5)))*f(x6)x7 =

9.129551776043687e-04

En el intervalo de 1 a 3 por el método de la secante diverge porque se encuentran dosraíces, arrojando resultados incorrectos. Como se observa en la gráfica superior.

f=@ (x) sin(x)+cos(x^2+1)-1;x0=1;,x1=3;

x2=x1-((x1-x0)/(f(x1)-f(x0)))*f(x1)x2 =




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b) xi-1 = 1.5 y xi = 2.5.

2.356928734995134x3=x2-((x2-x1)/(f(x2)-f(x1)))*f(x2)x3 =

2.547287160429604x4=x3-((x3-x2)/(f(x3)-f(x2)))*f(x3)x4 =

2.526339088383083x5=x4-((x4-x3)/(f(x4)-f(x3)))*f(x4)x5 =

2.532106931631685x6=x5-((x5-x4)/(f(x5)-f(x4)))*f(x5)x6 =

2.532213337592640x7=x6-((x6-x5)/(f(x6)-f(x5)))*f(x6)x7 =

2.532212552600018x8=x7-((x7-x6)/(f(x7)-f(x6)))*f(x7)x8 =

2.532212552702561x9=x8-((x8-x7)/(f(x8)-f(x7)))*f(x8)x9 =

2.532212552702561Comprobación;Raíz aproximadax9x9 =


2.532212552702561Raíz aproximada evaluada en f.f(x9)ans =

4.440892098500626e-16

f=@ (x) sin(x)+cos(x^2+1)-1;x0=1.5;,x1=2.5;

x2=x1-((x1-x0)/(f(x1)-f(x0)))*f(x1)x2 =




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8. Use f(x)= -x2 + 1.8x + 25 usando x0 = 5 con εs = 0.05%.f=@(x) -x^2+1.8*x+25;ezplot(f),grid

-6 -4 -2 0 2 4 6

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

X: 5.993Y: -0.1283

x

-x2+1.8 x+25

a) En el método de iteración de punto fijo.

f=@(x) -x^2+1.8*x+25;g=@(x) sqrt(1.8*x+25);xi=5;xr=g(xi),ea=abs((xr-xi)/xr)*100,xi=xr;xr =

5.8310ea =

14.2507xr=xi-f(xi)/df(xi),ea=abs((xr-xi)/xr)*100,xi=xr;xr =

5.982617682974883ea =


5.980354822307041ea =


5.980354318352240ea =

8.426838521902416e-06xr=xi-f(xi)/df(xi),ea=abs((xr-xi)/xr)*100,xi=xr;xr =

5.980354318352215ea =


5.980354318352215ea =

0




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b) En el método de Newton-Raphson.

f=@(x) -x^2+1.8*x+25;df=@(x) -2*x+1.8;xi=5;xr=xi-f(xi)/df(xi),ea=abs((xr-xi)/xr)*100,xi=xr;xr =

6.097560975609756ea =

18.000000000000004xr=xi-f(xi)/df(xi),ea=abs((xr-xi)/xr)*100,xi=xr;

xr =5.981675842098637

ea =1.937335565654146

xr=xi-f(xi)/df(xi),ea=abs((xr-xi)/xr)*100,xi=xr;xr =

5.980354490187754ea =


5.980354318352218ea =


5.980354318352215ea =


5.980354318352215ea =

0Comprobación;Raíz aproximadaxrxr =

5.980354318352215Raíz verdadera:fzero(f,5)ans =

5.980354318352215Raíz aproximada evaluada en f.f(xr)ans =

0

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