1

MEHANIČKI RAD

Mehanićki rad je skalarna veličina koja opisuje razmenu energije putem dejstva sile na tela u kretanju. Mehanički rad je znači direktno povezan sa promenom položaja tela usled dejstva sile. Rad se definiše kao skalarni proizvod sile pod čijim se dejstvom telo pomera i pomeraja koji tom prilikom načini:

Pogledajmo najjednostavniji slučaj kada je sila konstantna

constF

i pralalena pomeraju tela sF

.

U ovom slučaju ugao izmeĎu vektora F

i vektora s

iznosi

nula stepeni pa je rad jednak proizvodu intenziteta sile i pomeraja

jedinice N m = J Jedinica rada je Džul (J) i on se definiše kao rad sile od 1N na putu od 1m. Sila u opštem slučaju može delovati na neko telo u različitim pravcima i smerovima (kao na slici pored).

Neka je ugao izmeĎu sile i pravca kretanja tela . Po

definiciji je rad cosFssFA

, a sa slike je

očigledno cosFFx pa je rad sFA x tj.

jednak je proizvodu pomeraja koji načini telo i komponente sile paralelne pomeraju. Komponenta

sile sinFFy ne vrši rad jer zaklapa ugao 2 sa

pomerajem, tj. pomeranje u pravcu Fy je nula.

S obzirom na to da su intenziteti sile i preĎenog puta uvek pozitivne veličine ( 0FF

i 0ss

)

možemo razlikovati sledeće slučajeve:

Pojam mehaničkog rada se veoma razlikuje od našeg svakodnevnog pojma rada. Pogledajmo sledeći primer. Prenosimo neki teret. Teret podižemo (A) i vršimo pozitivan rad. Prenosimo teret (B), nema rada. Spuštamo teret (C), vršimo

negativan rad (u stvari, rad vrši gravitaciona sila usmerena na dole). Na celom putu, ukupan izvršen rad jednak je nuli.

Elementarni rad

Šta ako je sila koja deluje na telo promenljiva duž puta, što je mnogo realnija situacija? U tom slučaju se uvodi pojam elementarnog rada na sledeći način.

F

s

s

)),(( sFFssFA

cos

sFA

xF

s

s

F

yFF

F

A >0 ( motorni rad) 2

0,

A = 0 ( kod Lorencove sile) 2

A < 0 (otporni rad, kod sile trenja npr.) ,2

B A = 0

A 0 00

A 0

2

Putanja tela se podeli na beskonačno male delove, tako da se može smatrati: a) da su ti elementarni

delići pravolinijski sr

dd i b) da se vektor sile na tim elementarnim delićima puta može smatrati

konstantnim. Ovime se problem svodi na izražunavanje elementarnog rada Ad na pojedinim

elementarnim delićima puta sd

:

dsFdssd,FcosFsdFdA s

Fs je projekcija (komponenta) sile na pravac puta.

Ukupan rad

Ukupan rad koji izvrši sila F

nad telom na putu od tačke 1 do tačke 2 dobićemo tako što saberemo radove na svim delićima puta

izmeĎu te dve tačke: i

iAA . Ukupan rad

je2

1

2

10dAAlimA i

s, odakle dobijamo konačan izraz za rad na putu od tačke 1 do tačke 2.

Ako predstavimo grafički zavisnost komponente promenljive sile u pravcu puta (Fs) od preĎenog puta, očigledno je elementarni rad na deliću puta ds predstavlja površinu išrafiranog dijagrama. Sabiranjem svih tih površina od tačke 1 do tačke 2 dobija se

ukupan rad na tom putu koji je jednak površini ispod krive sF

(označena površina izmeĎu tačaka 1 i 2).

Ako na telo istovremeno deluje više sila čija je rezultanta i

i

ex FFrez

, tada rad rezultantne sile iznosi:

ii

ii

iirez AsdFsdFsdFdAA

2

1

2

1

2

1

2

1

(U opštem slučaju iF

nije paralelno sa sd

, pa se tada mora uvesti i cos .)

Dobili smo da je rad rezultantne sile jednak sumi radova pojedinačnih sila – osobina

superpozicije radova.

SNAGA

Srednja snaga je rad koji se izvrši u jedinici vremena t

APsr . Jedinica za snagu je vat

W = J/s .

Trenutna snaga definiše brzinu vršenja rada Fdt

sdF

dt

sdF

dt

dAP

.

MEHANIČKA ENERGIJA

Energija predstavlja sposobnost tela da izvrši rad. Energija se javlja u raznim oblicima – toplotna, hemijska, energija kretanja, položajna energija itd.

Pod pojmom mehaničke energije podrazumevaju se isključivo kinetička i potencijalna

energija nekog tela.

Fs

s

ds

Fs

1 2

1 2

F

sr

dd

r

r

2

1

2

1

2

1

dssd,FcosFsdFdAA

3

Kinetička energija

Kinetička energija predstavlja sposobnost tela da izvrši rad zahvaljujući svom kretanju (brzi tokovi reka, vetar, vrše rad zahvaljujući kretanju).

Zamenom izraza za silu na osnovu II Njutnovog zakona (dt

pdFrez

) u izraz za elementarni rad dobiće

se,

pddt

sdpdsd

dt

pdsdFdA rez . Dobijena je opštevažeća relacija:

pddA .

Ako se tela kreću brzinama mnogo manjim od brzine svetlosti – u oblasti klasične fizike dobijamo da je

22

1 22 m

ddmdmmddA 1)

.

Dobijeno je:

22

22 mEdE

mddA kk

, jedinice kg m2/s

2 = N m = J

Izraz 2

2

1m predstavlja kinetičku energiju tela. Opštiji izraz za kinetičku energiju može se dobiti preko

impulsa 222 mpmp te je

Još jedna veoma bitna stvar je dobijena a to je da je elementaran rad neke spoljašnje rezultantne sile

jednak elementarnoj promeni kinetičke energije kdEdA . Integracijom poslednje jednačine na putu

1 2

2

1

2

1kdEdA , dobija se:

Rad rezultantne spoljašnje sile koja deluje na neko telo jednak je promeni kinetičke

energije tog tela.

Ako je rezultantna spoljašnja sila jednaka nuli (takvi sistemi tela se nazivaju izolovani sistemi) njen rad je jednak nuli pa je

Formulacija je: u izolovanom sistemu ukupna kinetička energija ostaje konstantna.

Konzervativne sile

Da bi se definisala potencijalna energija tela, potrebno je objasniti pojam konzervativnih sila. Tela deluju jedna na druga silama, tj. nalaze se u ogdovarajućem polju.

1. Ako se polja ne menjaju u toku vremena za njih kažemo da su stacionarna

2).

2. Sa druge strane, ako sile koje deluju u nekom polju zavise od rastojanja izmeĎu tela, a pravci im prolaze kroz zajednički centar, takve sile su centralne, a polje koje stvaraju je centralno polje. Ove sile

mogu se matematički izraziti kao 0rrFF

gde je r rastojanje od

centra sila, a 0r

je jedinični vektor u radijalnom pravcu. Tipičan primer

ovih sila i centralnog polja je gravitaciono polje Zemlje (kao na slici).

1)

Matematički podsetnik 222

2

1

2

12 adadadaadaadaaadaadad

2) Bilo koja veličina koja se ne menja u toku vremenu naziva se stacionarnom.

F

F

F

F

F

F

F

F

0r

0r

0r

0r

0r

0r

m

pEk

2

2

kkk Emm

EEA22

21

22

1212

const0012 kk EEA

4

Ovom tipu polja pripadaju i polja odbojne sile – usmerene od centra. Šta je karakteristika konzervativnih sila? Dva ravnopravna načina definisanja ovih sila su:

1. Rad konzervativnih sila ne zavisi od oblika puta koji telo prelazi već samo od početnog i krajnjeg položaja tela A1a2= A1b2;

2. Rad konzervativnih sila po zatvorenoj putanji je jednak nuli

0121 sdFA

.

(matematika: integral po zatvorenoj putanji sdF

se zove cirkulacija vektora F

)

Centralne i stacionarne sile su i konzervativne sile. Primer: gravitaciona sila je konzervativna. Sile koje nisu konzervativne nazivaju se disipativnim silama. Primer: sila trenja je disipativna sila .

Potencijalna energija

Potencijalna energija predstavlja sposobnost tela da izvrši rad zahvaljući svom položaju, zbog čega je neki nazivaju položajnom energijom. Prema samoj svojoj definiciji ona predstavlja neku funkciju prostornih koordinata pa je možemo obeležiti kao U(x,y,z). Sa obzirom na to da rad konzervativnih sila zavisi samo od početnog i krajnjeg položaja tela možemo zapisati (povezati sa definicijom potencijalne energije):

Potencijalna energija se često označava i sa Ep. Još jednom

Rad konzervativnih sila je jednak negativnoj promeni potencijalne energije tela.

Za razliku od kinetičke energije koja je dosledno izvedena, kod potencijalne energije nema opšteg izraza već oni zavise od

a) tipova polja (sila) koja deluju b) izbora nultog nivoa potencijalne energije

Videćemo kasnije kako izgledaju izrazi za potencijalnu energiju u polju gravitacione sile (u zavisnosti od izabranog nultog nivoa potencijalne energije), izraz za potencijalnu energiju elastične deformacije opruge itd. Prilikom rešavanja zadataka iz ove oblasti, treba uvek postaviti neki referentni nivo na kome je potencijalna energija jednaka nuli!

PRIMERI

GRAVITACIONA POTENCIJALNA ENERGIJA

Ovaj primer je veoma ilustrativan za odreĎivanje potencijalne energije. Rekli smo da potencijalnu energiju računamo uvek u odnosu na neki proizvoljno izabran referentni nivo na kome je potencijalna energija jednaka nuli (Ep = 0). Pogledajmo izraze koje ćemo dobiti za potencijalnu energiju tela u polju gravitacione sile ako se referentni nivo izabere: a) u beskonačnosti i b) na površini Zemlje.

a) Referentni nivo u beskonašnosti (Ep( ) = 0). Zanima nas koliko iznosi potencijalna energija tela mase m2 na nekom konačnom rastojanju r od tela mase m1. Prema Njutnovom zakonu opšte gravitacije, telo mase m1 privlači telo mase m2 gravitacionom silom (podsetiti se):

Gravitaciona sila je konzervativna, a rad konzervativnih sila jednak je negativnoj promeni potencijalne energije:

1

2 а

b

)z,y,x(U)z,y,x(U)z,y,x(UrdFAkonz21

2

1

12

pkonz EA12

02

21 rr

mmFg

0r

r

m2

m1

gF

5

Konačno se za potencijalnu energiju tela koje ima nultu potencijalnu energiju u beskonačnosti dobija:

b) Referentni nivo na površini Zemlje (Ep(Rz) = 0). Posmatrajmo telo na nekoj visini h iznad površine Zemlje. Potencijalna energija tela mase m u ovom slučaju je jednaka nuli na površini Zemlje. Koliko iznosi njegova potencijalna energija na visini h? Primenjujući isto razmišljanje kao u prethodnom slučaju (primenjujući samo odgovarajuće oznake kao na slici), dobijamo:

Ako je zRh dobija se:

Grafik zavisnosti potencijalne energije tela od rastojanja. (r je rastojanje izmedju centara masa m1 i m2, tj. m i Mz)

U slučaju privlačne sile F 0 (znak »minus«),

Ep tela je negativna (~ 1/r). Kvalitativno taj grafik izgleda:

0r

h

Rz

m

Mz

r))r,r((rrrr(rrr

mmrFA g

konz ddcosddddd 00002

21 1

2212

21 ddddd

r

rmmEr

r

mmEA pp

konz

r~

r

mmE

rmmE pp

111 2121

hR

R

z

E

p

z

z

p

r

rmME

20

dd

z

z

z

zzz

zzzp

R

hh

R

mM

)hR(R

hmM

RhRmME

1

111

2

=g

mghEp

F 0

Ep 0

Ep

r

xx

x

r

rmmE

rE

p

p1dd

d2221

0

6

Ako je sila odbojna F 0 (znak »plus«), Ep tela je veće od nule i opada sa rastojanjem. Kvalitativno taj grafik izgleda:

POTENCIJALNA ENERGIJA ELASTIČNE OPRUGE

Rad konzervativnih sila je jednak negativnoj promeni potencijalne energije, a elastična sila opruge je konzervativna sila, pa je

Zakon o održanju energije

Poznato je da je dAkonz

= dEp i dA = dEk. Ako na telo deluju samo konzervativne sile, tada je:

(Zbir kinetičke energije Ek i potencijalne energije Ep je jednak ukupnoj mehaničkoj energiji Emeh) .

Gornja relacija predstavlja Zakon o održanju mehaničke energije (ZOME) :

Ukupna mehanička energija sistema ili tela, na koja deluju samo konzervativne sile ne

menja se u toku vremena.

Drugim rečima, ako na sistem ili telo deluju samo konzervativne sile, doći će samo do pretvaranja kinetičke energije u potencijalnu i obrnuto (Npr. spuštanje tela niz strmu ravan u odsustvu sile trenja). Konzervativne sile su upravo i dobile takvo ime jer čuvaju (konzerviraju) mehaničku energiju. MeĎutim, šta se dešava ako na tela deluju i nekonzervativne sile (sila trenja, sila otpora sredine). Polazimo od činjenice da je ukupni elementarni rad nad sistemom jednak elementarnoj promeni

kinetičke energije sistema kEA dd i da je rad konzervativnih sila jednak negativnoj promeni

potencijalne energije sistema pEA dd konz . Setimo se da je rad aditivna fizička veličina, pa je

ukupan rad jednak zbiru radova konzervativnih i nekonzervativnih sila:

(Iste relacije važe i kada su u pitanju konačne promene, tj. kada umesto d pišemo .)

Ep

r

F 0

Ep 0

.0d0d0dddddd

ddconstEEEEEEEE

EA

EAmehmehpkpkpk

k

p

konz

nekonzkonz AAA ddd

nekonzpk AEE ddd

nekonzpkpk AEEEE dddd

nekonzmeh AE dd

nekonzAEE 12

2dddddd

2

0

kxExkxExkxxFAE p

xE

op

konzp

p

7

Ako na tela deluju i nekonzervativne sile, promena mehaničke energije sistema jednaka je

radu nekonzervativnih sila. Ukupna mehanička energija sistema nije konstantna i ne važi više

zakon o održanju mehaničke energije sistema. Ova formulacija predstavlja zakon o održanju energije (ZOE): mehanička energija sistema može da prelazi u druge oblike energije (toplotnu npr.), ali se ne može uništiti. Do sada još uvek nije pronaĎen ni jedan izuzetak od ovog pravila.

ZAPAMTITI:

ENERGIJA HARMONIJSKOG OSCILOVANJA

KINETIČKA ENERGIJA

Po definiciji je 2

2mEk , a brzina harmonijskog

oscilovanja je )t(x 00 cos , pa je:

POTENCIJALNA ENERGIJA

Dobili smo da je potencijalna energija opruge 2

2kxEp

a kod harmonijskog oscilovanja je trenutno udaljenje

tela od ravnotežnog položaja dato sa x(t)= x0 sin( t+ 0), pa je:

UKUPNA ENERGIJA

Ukupna energija predstavlja zbir kinetičke i potencijalne energije

Na slici pored su grafički predstavljene kinetička energija, potencijalna energija kao i ukupna energija harmonijskog oscilovanja. U odsustvu sile trenja, ukupna mehanička energija je očuvana – pogledati grafik. Ako raste kinetička energija potencijalna energija opada i obrnuto, ali ukupna energija ima stalno konstantnu vrednost.

EA)EEE(EA

EAEA

EAEA

nekonzpk

nekonz

pkonz

pkonz

kk

ilidd

ilidd

ilidd

t

E

2 3

t

Ek

2 3

t

Ep

2 3

)t(xmEk 0222

0 cos2

1

)t(xmEp 0222

0 sin2

1

)km(kxxm

E

)t(xm)t(xm

EEE pk

220

220

0222

00222

0

22

sin2

1cos

2

1

8

Primer - sudari

Sudari su tipičan primer zakona o održanju energije sistema (bilijarske kugle, bejzbol, golf, automobili...) Sudar predstavlja interakciju izmeĎu tela (ili čestica videćemo kasnije) pri čemu dolazi do razmene količine kretanja meĎu interagujućim telima i do promene njihove energije. U opštem slučaju pod sudarom se ne podrazumeva samo neposredan kontakt izmeĎu tela, već se kaže da je potrebno samo da tela (čestice) budu »dovoljno blizu«. Prilikom svakog sudara važi zakon o održanju količine kretanja (ZOKK) i zakon o održanju energije (ZOE). (ZOKK) Ukupna količina kretanja sistema pre i posle sudara ostaje konstantna, gde su primovima označene veličine posle sudara. ČEONI (CENTRALNI) ELASTIČNI SUDAR. Ovo je najjednostavniji slučaj sudara. Pri ovom sudaru čestice (tela) zadržavaju svoj pravac kretanja i ukupna kinetička energija čestica se ne menja – važi zakon o održanju kinetičke energije. Telo koje naleće naziva se projektil, a pogoĎeno telo je meta.

Osnovni uslov da do čeonog sudara uopšte doĎe je da vektori brzina projektila i mete leže na istoj

pravoj u trenutku neposredno pre sudara, kao i da je 1 2. Pretpostavimo da su date brzine tela pre sudara i njihove mase. Zanima nas kolike su njihove brzine posle sudara.

(ZOKK): 22112211mmmm (1)

(ZOE): 2222

222

211

222

211

mmmm (2)

Iz (1) )(m)(m 222111 Iz (2) )(m)(m 2

22

222

1211

Deobom poslednje dve jednačine dobija se

12212121 )( što zamenom

u jed.(1) daje:

Ako telo 2 (meta) miruje pre sudara ( 02 ), dobija se :

U slučaju kada je m2 m1, brzina 1 menja smer kretanja posle sudara: projektil (masa m1) se odbija od mete i kreće se u suprotnom smeru u odnosu na smer pre sudara.

2121pppp

)mm(

)mm(m

)mm(

)mm(m

21

221112

21

121221

2

2

1

21

121

21

211

2

)mm(

m

)mm(

)mm(

1

2

posle sudara

1

2

pre sudara

m1 m2

x

9

Pri kakvom odnosu masa projektila i mete je maksimalan prenos kinetičke energije sa

projektila na metu u slučaju da je 02 ?

22

222

2

211

1

mE;

mE kk , zamenom 2

2 u poslednju jednačinu i neznatnim sreĎivanjem

dobija se da je:

Na grafiku desno predstavljena je dobijena funkcija. Proanalizirajmo poslednju jednačinu.

Ako je m1 m2 , t = 0, E k2 /Ek1 = 0.

Ako je m1 = m2 , t = 1, E k2 /Ek1 = 1. Najveći prenos kinetičke energije sa projektila na metu je kada su projektil i meta jednakih masa.

Pri kakvom odnosu masa projektila i mete je maksimalan prenos količine kretanja?

222111 mp;mp . Na isti način kao u prethodnom slučaju dobija se da je:

Na grafiku desno predstavljena je dobijena funkcija. Proanalizirajmo poslednju jednačinu.

Ako je m1 m2 , t = 0, p 2 /p1 = 2.

Ako je m1 = m2 , t = 1, p 2 /p1 = 1. Najveći prenos količine kretanja sa projektila na metu je kada je projektil mnogo manje mase od mete. ELASTIČNI SUDAR SA RAŠTRKAVANJEM (RASEJANJEM). Uslov da doĎe do sudara sa raštrkavanjem je da putanje projektila i mete leže u istoj ravni i da se pravci kretanja seku u trenutku neposredno pre sudara. I pri ovom sudaru ukupna kinetička energija čestica se ne menja – važi zakon o održanju kinetičke energije kao i zakon o održanju količine kretanja.

(ZOKK): 22112211

mmmm (1)

(ZOE): 2222

222

211

222

211 mmmm

(2)

21

2

2

1

2

2

1

2

1

221

21

1

2

1

4smena

1

44

)t(

t

E

Et

m

m,

)m

m(

m

m

)mm(

mm

E

E

k

k

k

k

1

2

k

k

E

E

2

1

m

m21 mm

1

tp

pt

m

m,

m

mmm

m

p

p

1

2smena

1

22

1

2

2

1

2

121

2

1

2

1

2

p

p

2

2

1

m

m

10

Kao što se vidi sa slike, tela posle sudara ne ostaju na istom pravcu. Neka se projektil rasejao pod

uglom , a meta pod uglom . Prilikom rešavanja ovakvih problema prvo se najpre postavi koordinatni sistem (obično se postavlja kao na slici radi jednostavnosti), a onda se brzine projektuju na odgovarajuće pravce, pa zakon o održanju količine kretanja zapisan u skalarnom obliku ima oblik:

x-osa: coscoscos 221122011 mmmm

y-osa: sinsinsin 2211011 mmm

Dalje je sve principski isto kao i kod čeonog elastičnog sudara. NEELASTIČAN SUDAR. Ovo je slučaj sudara pri kome dolazi do promene unutrašnje energije (Q) sistema tela. Ovo znači da pri ovakvim sudarima ne važi zakon o održanju kinetičke energije, već zakon o održanju ukupne energije (ZOE):

(ZOE): Qmmmm

2222

2

22

2

11

2

22

2

11

IDELANO NEELASTIČAN SUDAR bio bi sudar pri kome tela ostaju spojena u jedno telo posle sudara i kreću se nekom zajedničkom brzinom. Naravno, u realnim situcijama ne postoji ni idealno elasičan ni idealno neelastičan sudar (sudar dva automobila npr.).

(ZOKK): )mm(mm 212211 (ZOE): Q

mmmm

2222

222

211

222

211

ZAPAMTITI

1

2

pre sudara

m1

m2

1

2

posle sudara

x

y

posle sudara

1

2

pre sudara

m1 m2

x

m1+m2

Uvek važi zakon o održanju količine kretanja.

Kod elastičnih sudara važi zakon o održanju

mehaničke energije

Kod neelastičnih sudara važi zakon o

održanju energije sistema.

y

0