RAČUNARSKA LOGIKA
-
Upload
georgia-stanley -
Category
Documents
-
view
74 -
download
4
description
Transcript of RAČUNARSKA LOGIKA
![Page 1: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/1.jpg)
RAČUNARSKA LOGIKA
Booleova (logička, prekidačka) algebra
![Page 2: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/2.jpg)
George Boole (1815-1864).
George Boole (1815-1864).
sin obućara prekinuo školovanje nakon trećeg razreda postao je briljantan naučnik - predavao latinski i
grčki jezik poznati matematičar po doprinosima u oblasti
diferencijalnih jednačina i u algebri pokušao da izvede matematičku analizu mišljenja
(logike) - uspostvio je "logičku algebru" 1854
![Page 3: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/3.jpg)
Claude E. Shanon Claude E. Shanon
1938. god. u svojoj magistarskoj tezi na MIT-u (Massachusetts Institute of Technology - Boston), opisao metod za predstavljanje sklopova od (tada elektromehaničkih) prekidača, skupom matematičkih izraza na bazi Booleove algebre.
Ta metoda se i danas koristi za dizajn i analizu prekidačkih kola
prednosti matematskog opisivanja rada logičkih sklopova - lakše je projektovati pomoću algebarskih izraza koji opisuju prekidačka kola, nego pomoću šema ili logičkih dijagrama
![Page 4: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/4.jpg)
Booleova algebraBooleova algebra
Varijable mogu imati jednu od vrijednosti iz skupa {0,1}skup operacija nad varijablama {+, , }logičko sabiranje - X+Y=Z se može čitati "X ili Y jednako Z" ili "X plus Y jednako Z”logičko množenje - XY=Z se može čitati "X i Y jednako Z" ili "X puta Y jednako Z”Invertovanje X=/Y “X jednako ne-Y”
![Page 5: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/5.jpg)
Logička kolaLogička kola
ULAZ IZLAZ
X Y Z0 0 00 1 11 0 11 1 1
ULAZ IZLAZ
X Y Z
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
![Page 6: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/6.jpg)
NI kolo (invertor)NI kolo (invertor)
ULAZ IZLAZ
X Z
0 1
1 0
![Page 7: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/7.jpg)
NILI koloNILI kolo
ULAZ IZLAZ
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
![Page 8: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/8.jpg)
NI koloNI kolo
ULAZ IZLAZ
X Y Z
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
![Page 9: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/9.jpg)
XOR/XNORXOR/XNOR
ULAZ IZLAZ
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
ULAZ IZLAZ
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
![Page 10: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/10.jpg)
Sve logičke operacije!Sve logičke operacije!X Y f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Log. op. 0 XZ’ X X’Y Y + Y’ X’ 1
![Page 11: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/11.jpg)
Pravila Booleove algebrePravila Booleove algebreNaziv pravila “I” forma “ILI” forma
Zakon identiteta 1 X = X 0 + X = X
Zakon nultog elementa 0 X = 0 1 + X = 1
Zakon idempotencije X X = X X + X = X
Zakon inverzije X X’ = 0 X + X’ = 1
Zakon komutacije X Y = Y X X + Y = Y + X
Zakon asocijacije (X Y) Z = X (Y Z) (X+Y)+Z = X+(Y+Z)
Zakon distribucije X+YZ=(X+Y)(X+Z) X (Y+Z) = XZ + YZ
Zakon apsorpcije X (X+Y) = X X + XY = X
De Morganov zakon (XY)’ = X’ + Y’ (X+Y)’ = X’ Y’
![Page 12: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/12.jpg)
Važi i ovo!Važi i ovo!
X'' = X
X + X'Y = X + Y
na osnovu zakona distribucije I-forme za Z=X'
![Page 13: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/13.jpg)
Što ne važi u klasičnoj algebri...
Što ne važi u klasičnoj algebri...
(X + Y)(X + Z) = XX + XZ + XY + YZ= X(1 + Y) + XZ + YZ
= X + XZ + YZ= X(1+ Z) + YZ
= X + YZ
![Page 14: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/14.jpg)
Pojednostavljivanje izrazaPojednostavljivanje izraza
(X + Y)(X + Y')(X' + Z) Prva dva umnoška se mogu pojednostaviti:
(X + Y)(X + Y')= XX + XY' + XY + YY' =X + XY' + XY + 0 =
X + 0 a zatim se čitav izraz pojednostavi
X(X' + Z) = XZ
![Page 15: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/15.jpg)
Drugi primjerDrugi primjer
XYZ + XY'Z + XYZ' =X(YZ+Y'Z+YZ')=X[Y(Z+Z’)+Y’Z]=
X(Y + Y'Z) =X(Y + Z) = XY + XZ
![Page 16: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/16.jpg)
De MorganDe Morgan
Pomoću De Morganovih pravila može se naći komplement bilo kojeg Booleovog izraza ili njegovog dijela
(X+YZ)' = X' (YZ)' = X'(Y' + Z')
(W'X+YZ')' = (W'X)'(YZ')' = (W + X')(Y' + Z)na osnovu
X+XY = Xmože se tvrditi:
X(X+Y) = X
![Page 17: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/17.jpg)
IZVOĐENJE BOOLEOVIH JEDNAČINA
IZVOĐENJE BOOLEOVIH JEDNAČINA
standardni logički proizvodi (engl. minterms) m0 , m1 itd. standardne logičke sume (engl. maksterms). M0, M1 itd.
I i II kanonska forma funkcija
![Page 18: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/18.jpg)
Prvo se mora znatiPrvo se mora znati
koja su moguća stanja na ulazima, i
željeni odziv na svako stanje na ulazu
Na osnovu tih podataka se formira tabela istine
![Page 19: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/19.jpg)
Primjer tabele istinePrimjer tabele istine
ULAZ IZLAZ Standardni logički proizvodi
X Y Z
0 0 1 X’Y’
0 1 0 X’Y
1 0 1 XY’
1 1 1 XY
![Page 20: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/20.jpg)
prva kanonska forma date funkcije
X'Y' + XY' +XY = Z što se može pojednostaviti kako slijedi:
X'Y' + XY' + XY = ZX'Y' + X(Y' + Y) = Z
X'Y' + X = ZX + Y' = Z
![Page 21: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/21.jpg)
i sa 3 ulazne varijablei sa 3 ulazne varijableULAZI IZLAZ Standardni logički
proizvodi
X Y Z A
0 0 0 1 m0=X’Y’Z’
0 0 1 0 m1=X’Y’Z
0 1 0 1 m2=X’YZ’
0 1 1 0 m3=X’YZ
1 0 0 1 m4=XY’Z’
1 0 1 0 m5=XY’Z
1 1 0 1 m6=ZYZ’
1 1 1 0 m7=XYZ
![Page 22: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/22.jpg)
SUMA PROIZVODA I PROIZVOD SUME
SUMA PROIZVODA I PROIZVOD SUME
logički proizvod (engl. product term) je varijabla ili logički proizvod više varijabli (koplementiranih ili ne)
Logička suma (engl. sum term) je varijabla ili logička suma više varijabli (koplementiranih ili ne)
![Page 23: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/23.jpg)
Suma proizvoda Suma proizvoda
- je logički proizvod ili više logičkih proizvoda, logički sabranih.
XXY + Z
X'Y' + X'Y'Z'X + Y
![Page 24: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/24.jpg)
Proizvod sumaProizvod suma
- je logička suma, ili više njih međusobno logički pomnoženih.
(X + Y)(X + Y')(X' + Y')(X + Y + Z)(X + Y')(X' + Y')
(X' + Z)X'
(X + Y)X
![Page 25: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/25.jpg)
pisanje izrazapisanje izrazaULAZI IZLAZ Standardni logički
proizvodiStandardne
logičke sume
X Y Z A
0 0 0 0 m0=X’Y’Z’ M0=X+Y+Z
0 0 1 0 m1=X’Y’Z M1=X+Y+Z’
0 1 0 1 m2=X’YZ’ M2=X+Y’+Z
0 1 1 1 m3=X’YZ M3=X+Y’+Z’
1 0 0 0 m4=XY’Z’ M4=X’+Y+Z
1 0 1 0 m5=XY’Z M5=X’+Y+Z’
1 1 0 1 m6=XYZ’ M6=X’+Y’+Z
1 1 1 0 m7=XYZ M7=X’+Y’+Z’
![Page 26: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/26.jpg)
Prva forma se može pojednostaviti ovako: X'YZ' + X'YZ + XYZ' = X'(YZ'+YZ)+XYZ' = ("ILI" forma zakona
distribucije )X'Y+XYZ' = ("ILI" forma zakona inverzije)Y(X'+XZ') = ("ILI" forma zakona distribucije )X'Y+YZ' ("I" forma zakona distribucije) a druga ovako: (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X'+Y+Z)(X'+Y+Z')(X'+Y'+Z') =(X+Y)(X'+Y)(X'+Z') = /* jer je (X+Y+Z)(X+Y+Z') =(X+Y) itd.*/Y(X'+Z')
što je isto!
![Page 27: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/27.jpg)
I i II kanonska forma logičke jednačine izgledaju ovako:
A = (m0, m2 , m4 , m6 )A = (M1 , M3 , M5 , M7 )
Jednačina izlaza A je:
A = X'Y'Z' + X'YZ' + XY'Z' + XYZ' a može biti pojednostavljena kako slijedi:
A = X'(Y'Z' + YZ') + X(Y'Z' + YZ')= (X' + X)(Z'(Y + Y')) = Z'
![Page 28: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/28.jpg)
KontureKonture
Y 1 0
1 1
pa se sabiranjem jednačina te dvije konture dobije
Z = X + Y'
X
![Page 29: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/29.jpg)
0 1
Y
0 1
X 0 0 0 1
Z
pa je zbir te dvije kontureA = X'Y + YZ'
![Page 30: RAČUNARSKA LOGIKA](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061507/568134a5550346895d9bac4f/html5/thumbnails/30.jpg)
KARNAUGHOVE MAPE KARNAUGHOVE MAPE Y
m0 m1
X m2 m3
Y
m0 m1 m3 m2
X m4 m5 m7 m6
Z
Y
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6 W
X m12 m13 m15 m14
m8 m9 m11 m10
Z