Računaje sa približnim brojevima (PDF)

39
1 1 Računanje sa približnim brojevima 1.1 IZVORI GREŠAKA Hemijsko-inženjerski proračun u opštem slučaju obuhvata dve faze: Formulisanje neophodnih jednačina – matematičkog modela Rešavanje matematičkog modela Neka je cilj proračuna određivanje neke veličine x, koja je funkcija niza parametara i promenljivih koje figurišu u matematičkom modelu. Izvori grešaka u procesu rešavanja problema mogu se prikazati sledećom šemom, u kojoj svaka zvezdica u eksponentu tražene veličine x označava prisustvo greške u njenoj vrednosti, koja potiče iz jednog od izvora: stvarni proces matematički model matematički model sa približnim parametrima numeričko rešenje matematičkog modela na idealnom računaru numeričko rešenje matematičkog modela na realnom računaru x(a, b, c, . . .) x* (a, b, c, . . .) x**(a*, b*, c*, . . .) x***( a*, b*, c*, . . .) x****(a**, b**, c**, . . . )

Transcript of Računaje sa približnim brojevima (PDF)

Page 1: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

1

1 Računanje sa približnim brojevima

1.1 IZVORI GREŠAKA

Hemijsko-inženjerski proračun u opštem slučaju obuhvata dve faze:

• Formulisanje neophodnih jednačina – matematičkog modela

• Rešavanje matematičkog modela

Neka je cilj proračuna određivanje neke veličine x, koja je funkcija niza parametara i promenljivih koje figurišu u matematičkom modelu. Izvori grešaka u procesu rešavanja problema mogu se prikazati sledećom šemom, u kojoj svaka zvezdica u eksponentu tražene veličine x označava prisustvo greške u njenoj vrednosti, koja potiče iz jednog od izvora:

stvarni proces ↓ matematički model ↓ matematički model sa približnim parametrima ↓ numeričko rešenje matematičkog modela na idealnom računaru ↓ numeričko rešenje matematičkog modela na realnom računaru

x(a, b, c, . . .) ↓ x* (a, b, c, . . .) ↓ x**(a*, b*, c*, . . .) ↓ x***( a*, b*, c*, . . .) ↓ x****(a**, b**, c**, . . . )

Page 2: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

2

Tako se mogu uočiti sledeće greške:

1. greška matematičkog modela, koji uvek manje ili više odstupa od tačnog opisa realnog procesa

E1 = x - x*

2. greška usled približnih vrednosti parametara,

čije tačne vrednosti nisu poznate

E2 = x* - x**

3. greška numeričkih metoda za približno

rešavanje matematičkog modela

E3 = x** - x***

4. greška računanja zbog neizbežnih zaokruživanja

međurezultata

E4 = x*** - x****

Za ukupnu grešku imamo: ∑=−=

=

4

1iiEx****xE (1.1)

Primer: U protivstrujnom izmenjivaču toplote hladi se ekstrakciono ulje od temperature T1 do temperature T2, hladnim uljem koje se pri tom zagreje od temperature θ1 do temperature θ2. Potrebno je odrediti neophodnu površinu izmenjivača toplote, A(m2) za hlađenje F(kg/h) ulja, specifične tople cp:

( ) ( )( )∫ θ−=

1

2

T

T Tp TTTK

dTFcA

gde je temperatura rashladnog ulja, θ u podintegralnoj funkciji, na osnovu energetskog bilansa, jednaka

( ) 2112

21 θ+−−θ−θ

=θ TTTT

T1

θ2

θ1

T2

F

Greška modela: postoji, jer model uključuje niz uprošćujućih pretpostavki, između ostalog :

• nema radijalnih promena temperature • nema razmene toplote sa okolinom • specifična toplota ulja se ne menja sa temperaturom • kriterijalne jednačine za određivanje koeficijenata prelaza toplote za

radni i rashladni fluid su tačne

Page 3: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

3

Greška koja potiče od grešaka parametara: vrednosti fizičkih parametara koji se koriste za izračunavanje koeficijenta prolaza toplote KT :

• gustina, • specifična toplota, • viskozitet ulja, • koeficijenti provodljivosti toplote za zid cevi i ulje, itd.

odstupaju od tačnih (stvarnih) vrednosti.

Greška numeričke metode: greška trapezne formule za približno (numeričko) i zračunavanje vrednosti integrala :

( ) ( )( ) ∫∫ =θ−

=2

1

1

2

)(T

T

T

T T

dTTfTTTK

dTI

f(T)

T T2 T1

I1

I2 I3 I4

I = I1+ I2 + I3+ I4

Greška trapezne formule za približno određivanje I1

Greška računanja: Kao što ćemo se uveriti u poglavlju 1.5, ova greška, pri izvođenju proračuna na računaru je zanemarljiva u odnosu na prethodne.

1.2 OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE

Za neki broj x* kaže se da je približan ako se neznatno razlikuje od njegove tačne vrednosti, x koju najčešće ne znamo. Greška približnog broja je razlika: ∆x* = x - x*

Granica apsolutne greške, *xA je broj koji nije manji od apsolutne vrednosti njegove greške:

** xxAx −≥ (1.2)

Tako je interval na brojnoj pravoj u kome leži nepoznata, tačna vrednost x:

*xA

x*

*xA

Page 4: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

4

Primer: ...14159265.3== πx

002.0*

002.00016.0...00159265.0*

14.3*

=

<<=−

==

π

π

A

xx

x

Relativna greška približnog broja je količnik odstupanja i približne vrednosti:

**

* xx

x∆

=δ (1.3)

Kako je

*** *

* xA

xx x

x ≤∆

Kao granica relativne greške uzima se količnik :

*

*

*

xA

R xx= (1.4)

Primer:

%1.0

1010369.614.3002.0

*

*

*34

*

=

<⋅==π

=

π

−−ππ

R

AR

Prikazivanje brojeva

Oblik sa fiksiranom decimalnom tačkom u brojnom sistemu sa osnovom B izgleda:

{ }1,...,1,0,....... 2101 −∈ααααααα±= −−−− Bx imnn (1.5)

a u razvijenom obliku predstavlja zbir:

=)......( 22

11

00

11 ∑

−=

−−

−−

−−

−− α±α++α+α+α++α+α±=

n

mi

ii

mm

nn

nn BBBBBBBx

Primer: − = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅− − −424 071 4 10 2 10 4 10 0 10 7 10 1 102 1 0 1 2 3. ( )

1,...,2 ,4 312 =α=α=α −

Page 5: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

5

Specijalni slučajevi:

≥=>>=∧≠

≥=

−−

razlomak pravi:0 za 0decimala sa broj decimalni0 za,00

cifara 1+ sa broj ceo:1 za 0 Ako

immk

ni

i

km

i

ααα

α

U obliku sa pokretnom decimalnom tačkom (eksponencijalni oblik), broj se prikazuje

kao proizvod jednog broja u obliku sa fiksiranom decimalnom tačkom i odgovarajućeg celobrojnog stepena osnove sistema. Prikaz nije jednoznačan. Primer:

{ =×−=−

osnove

10071.424071.424 0

stepencelobrojni

faktorilnencijapredekspon

43421

...104240711024071.4 32 =⋅−=⋅−= −

Normalizovani eksponencijalni oblik je jednoznačno definisan kao:

broj ceo eksponent,

10.1razlomak, pravi je koja mantisa,10

−<≤−

×±=

E

MM

xM

xxx

xx E

(1.6)

Primer: 3,424071.0,10424071.0071.424 3 =−=⋅−=− EM xx

Značajne cifre broja

Značajne cifre nekog broja su sve cifre tog broja u obliku sa nepokretnom tačkom, počev od prve cifre sleva, koja je različita od nule. Primeri: Po 5 značajnih cifara imaju brojevi: 3.1284, 0.048076, 210.00

1 g težine izmeren na analitičkoj vagi sa tačnošću Ax* = 10 –4 pravilno se prikazuje

kao:

g 0001.00000.1*cifre ajneczna

±= 43421(x

Dakle, » desne« nule u decimalnom delu broja se smatraju značajnim i zato se prikazuju samo ako nose značajnu informaciju (na primer, ako su rezultat merenja)!

Page 6: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

6

U normalizovanom eksponencijalnom obliku broja, sve cifre u decimalnom delu mantise su značajne! Primer: 11048076.0048076.0

cifre ajneczna

−⋅= 321(

Pri prikazivanju celih brojeva u obliku sa fiksnom decimalnom tačkom, neophodno je

zadržati desne nule iako one ne nose nikakvu informaciju – nisu značajne, već služe samo za naznačavanje reda veličine broja. Da bi se prikazale samo značajne cifre, neophodno je da se takav ceo broj prikaže u normalizovanom eksponencijalnom obliku Primer:

Ako je u broju x*=280000 samo 1 nula značajna, to se može naznačiti prikazivanjem broja u obliku: x*=0.280⋅106

Sigurne cifre broja

Cifra ak dekadnog broja u obliku sa fiksiranom decimalnom tačkom je sigurna:

• u užem smislu, ako je kx

A 105.0* ⋅≤ (1.7a)

• u širem smislu, ako je kxA 10* ≤ (1.7b)

dakle, ako granica apsolutne greške ne prevazilazi polovinu mesne vrednosti (10k) te cifre (uži smisao) odnosno mesnu vrednost te cifre - širi smisao. Sledi, ako je ak sigurna cifra, sigurne su i sve cifre levo od nje. Zadatak 1.1 Odrediti broj sigurnih cifara u broju x*=0.06943, sa granicom apsolutne

greške, Ax*=10-4.

Rešenje:

x*=0.06943, Ax*=10-4, s = ?

smislu emzuu 2,3105.010

smislu iremsu 3,41011034

*

44*

(

(

=−=⇒⋅≤=

=−=⇒⋅≤=−−

−−

skA

skA

x

x

Primer:

x* Ax* U širem smislu U užem smislu

5.142 0.5·10-3 0.5·10-3 ≤ 10-3 ⇒ s=4 0.5·10-3 ≤ 0.5·10-3 ⇒ s=4

5.140 0.8·10-2 0.8·10-2 ≤ 10-2 ⇒ s=3 0.8·10-2 ≤ 0.5·10-1 ⇒ s=2

3.14 0.002=0.2·10-2 0.2·10-2 ≤ 10-2 ⇒ s=3 0.2·10-2 ≤ 0.5·10-2 ⇒ s=3

Page 7: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

7

Dekadni broj x* prikazan u normalizovanom eksponencijalnom obliku ima s sigurnih cifara ako, sx

xEA −⋅ω≤ 10* (1.8)

s - najveci ceo broj za koji važi formula

i to,

=ωsmislu iremsu 1smislu emzuu 5.0

za (

(

Primer:

x*=0.06943= 0.6943·10-1 xE = -1

Ax* = 10-4 ≤ 0.5·10-3 = 0.5·10-1-s

- 3 = -1 - s ⇒ s = 2 u užem smislu

Ax* = 10-4 ≤ 1·10-4 = 1·10-1-s ⇒ s = 3 u širem smislu

Zadatak 1.2 Koliko sigurnih cifara ima vrednost pritiska p* = 2.13 bar, dobijena merenjem

sa relativnom greškom Rp* = 1% =0.01.

Rešenje:

x* = 2.13 = 0.213·101 xE = 1

Ap* = Rp*·p* = 0.01·2.13 = 0.0213 bar

Ap* = 0.213·10-1 ≤ 0.5·10-1 = 0.5·101-s

-1 = 1 - s ⇒ s = 2 u užem smislu

Pravilnije prikazana vrednost pritiska, koja sadrži samo sigurne cifre: p* = 2.1 bar

Granica apsolutne greške iz broja sigurnih decimala

Ako je poznato da neki približan broj x* ima d sigurnih decimala, znači da za poslednju cifru, čija je mesna vrednost d−10 , važi (1.7a,b):

1,5.0,10* =ωω≤ −dxA (1.9)

i dobili smo formulu za granicu apsolutne greške iz broja sigurnih decimala u užem (ω = 0.5) ili širem (ω = 1) smislu. Primer:

Neka su u tabeli termodinamičkih podataka za neku supstancu, njene gustine ρ date sa 2 decimale, koje su sigurne u širem smislu. Granica apsolutne greške datih gustina je:

210*−

ρ=A

Page 8: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

8

1.3. GRANICA RELATIVNE GREŠKE I BROJ SIGURNIH CIFARA

Granica relativne greške iz broja sigurnih cifara

Neka broj x∗ ima s sigurnih cifara. Kako, koristeći samo tu informaciju, a ne i vrednost broja, proceniti granicu njegove relativne greške? Ako u formulu (1.4) umesto granice apsolutne greške zamenimo, u skladu sa jednačinom (1.8), sx

xEA −⋅ω= 10* i broj prikažemo u

normalizovanom eksponencijanom obliku, za granicu relativne greške dobijamo:

E

E

xM

sx

x xR

1010

*⋅

⋅ω=

Kako je najmanja moguća vrednost mantise jednaka 0.1, smenom te vrednosti umesto xM dobijamo traženu procenu relativne greške,

sxR −⋅ω= 110* (1.10)

gde se za ω uzima 0.5 ili 1 u zavisnosti da li su cifre sigurne u užem ili širem smislu. Jasno je da će formula (1.10) u opštem slučaju dati veće procene relativnih grešaka od onih bi se dobile iz granice apsolutne greške i vrednosti broja (1.4). Pokazali smo da je

• relativna greška u direktnoj vezi sa brojem sigurnih cifara, dok je

• apsolutna greška u direktnoj vezi sa brojem sigurnih decimala

Zadatak 1.3 Instrument daje vrednosti pritisaka sa tačnošću od dve sigurne cifre u užem smislu. Proceniti granicu relativne greške izmerenih pritisaka. Rešenje: %505.0105.0 21

* ==⋅= −xR

Uporedite ovaj zadatak sa prethodnim!

Broj sigurnih cifara iz granice relativne greške

Neka je *xR granica relativne greške približnog broja x i treba proceniti broj njegovih sigurnih cifara s u užem smislu.U pitanju je problem obrnut prethodnom i pokazaćemo da za njegovo rešavanje nije korektno koristiti jedn. (1.10). U skladu sa definicijom (1.8), to je najveći ceo broj s za koga važi:

sxx

xMx

EE RxA −⋅≤= 105.010 **

odnosno,

Page 9: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

9

s

Mx x

R −⋅≤ 105.0*

Da ne bi precenili broj sigurnih cifara, neophodno je uzeti donju granicu kao vrednost nepoznatog broja 0.5/xM , kojim se množi stepen s−10 :

sxR −⋅≤ 105.0* (1.11)

Dakle, kao procenu broja sigurnih cifara u užem smislu uzimamo najveći ceo broj s, koji zadovoljava relaciju (1.11). Očigledno je da jedn. (1.10) može da preceni broj sigurnih cifara ( za 1 veći od stvarnog ). Primer:

Neka je vrednost 50* =x određena sa granicom apsolutne greške 1.0* =xA . Koristeći jednačinu (1.7a) ili (1.8), dobijamo da je s = 2, u užem smislu. Granica relativne greške približnog broja je :

31233 105.0105.010510250/1.0*−−−− ⋅=⋅=⋅<⋅==xR

i ako bi koristili jednačinu (1.10) za procenu broja sigurnih cifara, dobili bi nekorektnu procenu s = 3. Iz relacije (1.11) sledi korektna procena s = 2.

U daljem tekstu će se pod sigurnim ciframa smatrati sigurne cifre u užem smislu, ako nije naglašeno da su u pitanju sigurne cifre u širem smislu. Primer:

Ako približan broj ima granicu relativne greške 0.2%, imamo

223 105.0102.0102*−−− ⋅≤⋅=⋅=xR

pa procenjujemo da ima 2 sigurne cifre.

1.4. PROCENJIVANJE GREŠKE FUNKCIJE

Problem: Data je funkcija n promenljivih y = y(x), gde je x = (x1, x2, . . ., xn ). Potrebno je proceniti grešku vrednosti funkcije, koja je nastala zamenom tačnih vrednosti argumenata x1, x2,..., xn približnim vrednostima x1*, x2*, . . ., xn*. Ukratko, dato je ∗

ixA (i=1,2,...,n), traži se

granica apsolutne greške funkcije Ay*, za koju važi: *)()(*)(* xxx yyyyA −∆ =≥

Primer: Uticaj 1. izvoda na grešku funkcije jedne promenljive, y(x) (n = 1).

Page 10: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

10

y Interval u kome leži tačna vrednost funkcije

Ax* x*

y*

x x*

y*

y

x Ax*

Interval u kome leži tačna vrednost nezav. promenljive: x*- Ax*

≤ x ≤ x*+ Ax*

Prvi izvod funkcije je, kao što znamo, mera osetljivosti vrednosti funkcije na promene vrednosti nezavisno promenljive. Zato, granica apsolutne greške funkcije je utoliko veća ukoliko su vrednosti njenog prvog izvoda u intervalu x*- Ax*

≤ x ≤ x*+ Ax* veće po apsolutnoj vrednosti.

Linearna procena greške funkcije, se bazira na zameni priraštaja funkcije ∆y, koji

potiče od malih poremećaja vrednosti argumenata, totalnim diferencijalom, dy:

∑ −∂∂=≈−=∆

=

n

iii

ixx

xydyyyy

1*)*)((*)()(*)( xxxx

Pošto je:

∑ ∂∂≤∑ −

∂∂

==

n

ix

ii iii

iA

xyxx

xy

1

n

1**)(*)*)(( xx

usvajamo:

( )∑= ∂

∂=

n

ix

jy j

AxxyA

1

*** (1.12)

Primer:

U slučaju funkcije jedne promenljive,

( ) ***

xyAx

dxdyA =

Page 11: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

11

x*

A x*

A y*

y*

nagib : ( )*xy ′

• Pri procenjivanju granice apsolutne greške funkcije primenom formule (1.12), kod

usvajanja konačne procene koristi se princip majorizacije (uvećavanje)

• Pri tom, najčešće, konačna procena se usvaja sa preciznošću od jedne značajne cifre i to, u skladu sa definicijom sigurnih cifara (7a,b), u obliku 10k ili 0.5⋅10k.

Zadatak 1.4 Proceniti, za date približne vrednosti i granice apsolutnih grešaka argumenata, granicu apsolutne greške datog izraza.

3

221

xxxy +

= 02.0,008.0,03.0

11.2,34.1,25.3

*3

*2

*1

*3

*2

*1

======

xxx AAAxxx

Rešenje:

14.1211.2

234.125.3

*

28.111.234.12

*;474.0

11.21

*

3

21

<+=∂∂

<⋅=∂∂<=

∂∂

xxy

xxy

xxy

05.00473.002.014.1008.028.103.0474.0* <<⋅+⋅+⋅=yA (majorizacija!)

05.0* =yA

Specijalni slučajevi funkcija

• Algebarski zbir (sabiranje i oduzimanje)

y(x)=x1 ± x2 ± x3 ± . . . ± xn

1;1 =±=ii x

yxy

∂∂

∂∂

∑=

=n

ixy i

AA1

** (1.12a)

Page 12: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

12

ili opštije:

∑=

=n

iii xaxy

1

)(

ii

ii

axya

xy

==∂∂

∂∂ ;

∑=

=n

ixiy i

AaA1

** (1.12b)

gde su ai ( i=1,...,n) tačni brojevi.

• Proizvod stepena

nan

aaa xxxxCy K321321)( ⋅=x ,

Neka su C i ai ( i =1,...,n ) tačni brojevi : 0== Ca AAi

***)(;

i

i

ii

i

i xya

xy

xya

xy

=∂∂

=∂∂ x

∑=

=n

i i

xiy x

AyaA i

1

** *

*

∑=

=n

ixiy i

RaR1

** (1.13)

• Množenje i deljenje y = x1 x2 ( a1 = a2 = 1) ,

y = x1/x2 ( a1 = 1, a2 = -1)

Iz (1.13): *** 21 xxy RRR += (1.13a)

• Stepenovanje tačnim brojem

y = xa

Iz (1.13)

** xy RaR = (1.14)

Page 13: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

13

( )

( )

<<>>

= ekorenovanj npr. ,1brojem celim jestepenovan npr.,1

Za**

**

xy

xy

RRRR

a

• Logaritmovanje

y = logax

**** loglog

* xaxa

xy ReAx

eA

xyA ==∂∂

= (1.15)

=

==

**

**

4343.0,10

,

xy

xy

RA

RAea (1.15a)

Zadatak 1.5 Sa koliko sigurnih cifara je moguće izračunati gustinu etilena iz formule

zRTpM

sa podacima:

p* = 56 atm Rp* = 0.1% = 0.001 T* = 295 K AT* = 0.5 K z* = 0.7325 sz* = 4 M = 28.05 g/mol R = 0.08206 latm/molK

Podatke o molarnoj masi i univerzalnoj gasnoj konstanti smatrati tačnim. Rešenje:

0 0 RMzTp RRRRRR ++++=ρ ****

540

**

3**

1077325.0105.0

*

107.1295

5.0*

−−

⋅<⋅

==

⋅<==

zAR

TAR

zz

TT

2/5.0266.059.88103

/59.88**

**

1031077.21007.0107.1101

3*

33333*

=⇒<=⋅⋅=

==ρ

⋅<⋅=⋅+⋅+⋅=

−ρ

−−−−−ρ

slgA

lgRTz

MpR

Tako, rezultat prikazujemo kao: ρ = 89 g/l ili eventualno kao ρ = 88.6 g/ l (poslednja cifra nije sigurna)

Page 14: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

14

U narednim zadacima izostavićemo označavanje približnih vrednosti zvezdicama. Zadatak 1.6 Koeficijent prolaza toplote, k između vode koja se zagreva i zasićene pare kao grejnog fluida u cevnom izmenjivaču toplote, određuje se iz merenja pomoću formule :

sr

vp

TSTMC

k∆∆

=

M – protok vode koja se zagreva, kg/s Cp – srednja specifična toplota vode, J/kgK

−∆ vT razlika izlazne i ulazne temperature vode 12 TTTv −=∆ , 0C S – grejna površina izmenjivača toplote, m2

srT∆ - srednja pogonska sila razmene toplote u izmenjivaču, 0C,

sppsr TTTTTT −=+

−=∆2

21

Tp – temperatura grejne pare

Ts – srednja temperatura vode u izmenjivaču , 2

21 TTTs+

=

Izvesti sledeće formule za procenjivanje granice relativnih grešaka razlike temperatura ∆Tv i pogonske sile ∆Tsr , koje potiču od relativne greške RT instrumenta za merenje temperature vode (temperaturu pare smatrati tačnom veličinom) :

Tsp

sTT

sT R

TTTRR

TTTR

srv −=

−= ∆∆

12

2

b) Za sledeće izmerene vrednosti:

M = 10 kg/min, Cp = 4817 J/kg0C, S = 1.6m2, Tp = 1100C, T1 = 25.10C, T2 =65.50C

izračunati koeficijent prolaza toplote, a na osnovu sledećih informacija o greškama merenja:

AM = 0.01 kg/min, AS = 0.02 m2, RT = 0.2%

odrediti granice u kojima se očekuje njegova tačna vrednost. Pri tom vrednosti specifične toplote i temperature pare smatrati tačnim.

Rešenje: a) 12 TTTv −=∆ ( ) TsTTTT RTRTTAAA

v22112

=⋅+=+=∆

Ts

v

TT R

TTT

TA

R v

v12

2−

=∆

= ∆∆

( ) Tsp

sTTTT R

TTTRAAA

srsr −=+= ∆∆ 212

1

b)

Page 15: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

15

KmW

KmW

TSTMC

k

CTTTCTT

TTs

kgminkgM

sr

vp

vpsr

22

012

021

3137.646.1

4.4048171667.0

4.407.642`

1667.010

=⋅

⋅⋅=

∆=

=−=∆=+

−=∆==

Granice u kojima leži tačna vrednost k su k – Ak i k + Ak , pa je neophodno proceniti granicu apsolutne greške izračunate, približne vrednosti k. Pogodno je traženu apsolutnu grešku, obzirom na strukturu izraza za k, izračunati iz prethodno procenjene relativne greške:

srv TSTMk RRRRR ∆∆ +++= 310−==MAR M

M

33

12

104.1,105.42,013.0 −∆

−∆ ⋅<

−=⋅<

−=<= T

sp

sTsrT

sT

SS R

TTTRR

TTTR

SAR

v

KmWkRAR kkk2695.5019.0 <===

Konačno traženi interval u kome leži tačna vrednost koeficijenta prolaza toplote je: [307,319]

Zadatak 1.7 Potrebno je iz izmerenih koncentracija reaktanata, zapremine reakcione smeše u idealno mešanom protočnom reaktoru i protoka reakcione smeše odrediti konstantu brzine nepovratne reakcije :

produktiBA →+ 2 ,

polazeći od bilansa reaktanta A:

essme reakcioneprotok izapreminsk

essme reakcione zapremina

,0

2

(

(

−−

−=

FV

FVCCCkC AA

BA

a) Pretpostavljajući da je početna ulazna koncentracija reaktanta A, CA0 tačna, izvesti

sledeći izraz za granicu relativne greške određivanja konstante k, u funkciji stepena konverzije reaktanta A, xA :

0

0

,21

A

AAAFVC

A

Ak C

CCxRRRx

xR −=++

+=

gde su CFV RRR i, granice relativnih grešaka merenja zapremine, protoka i izlaznih koncentracija reaktanata ( )

CCCRRR

BA== . Proceniti grešku za stepen konverzije 0.72, ako su

granice relativnih grešaka merenja koncentracija, zapremine i protoka: R R RC V F= = =2%, 0 5%, 15%. .

Page 16: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

16

b) Može li se i do koje granice smanjiti granica relativne greške konstante k, pogodnim izborom stepena konverzije, pri datim greškama merenja koncentracija, zapremine reakcione smeše i protoka ? Rešenje:

2. Iz bilansne jednačine:

VF

Cy

VF

CCCC

VF

CCCCk

BBA

AA

BA

AA22

0

2

0 11=

−=

−=

gde je uvedena smena:

A

AA

CCCy −

=0

Za relativnu grešku, primenjujući jednačinu (1.13) dobijamo:

FVCyk RRRRR +++= 2

( ) CA

CAA

A

AAA

CAyy R

xR

CCC

CCCAC

yA

RA

A 10

0

0

0

=−

=−

==

FVcA

Ak

RRRx

xR +++

=21

Za zadate greške i stepen konverzije iz izvedene formule dobijamo: %9088.0 <=kR

b) Uočavamo da je u oblasti definisanosti ( 10 ≤≤ Ax ), Rk opadajuća funkcija stepena konverzije, pa se najmanja greška dobija ako sav reaktant A izreaguje, 1=Ax , i pri datim greškama zapremine i protoka ona iznosi 8%.

Pravila za računanje i procenjivanje tačnosti rezultata

Mogu se formulisati sledeća iskustvena pravila za izvođenje nekog složenog proračuna uz pomoć kalkulatora:

1. Rezultat ima najviše onoliko sigurnih cifara koliko ima podatak sa najmanje sigurnih cifara.

2. Međurezultate računati sa 1 značajnom cifrom više od procenjene tačnosti

rezultata. Pri tom,

• ako je tražena tačnost rezultata k sigurnih cifara, podatke treba uzeti sa k+1 sigurnom cifrom.

Page 17: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

17

• ako najmanje tačni podaci imaju s sigurnih cifara, ostale podatke treba uzeti sa s + 1 (najviše s + 2) sigurnih cifara i primenjivati pravila zaokruživanja.

3. Iz prethodna dva pravila sledi pravilo za približno procenjivanje broja sigurnih cifara rezultata nekog složenog proračuna:

Rezultat ima onoliko sigurnih cifara koliko i najmanje tačni podaci, ili jednu sigurnu cifru manje.

Treba naglasiti da navedena pravila važe samo za stabilne računske procese, koji nisu praćeni akumulacijom efekata grešaka zaokruživanja, tj. gubitkom sigurnih cifara u toku računskog procesa (poglavlje 1.7). Zadatak 1.8 Vrednost specifične toplote pentana na t = 250C i normalnom pritisku, u kojoj su sve date cifre sigurne, je Cp= 0.536 kcal/kgK. Preračunati datu vrednost u SI sistem jedinica. Konverzioni faktor je f = 4.1868 kJ/kcal.

Rešenje:

Broj sigurnih cifara u vrednosti Cp , s = 3 . Konverzioni faktor uzimamo sa jednom značajnom cifrom više: f = 4.187

Cp = 0.536 · 4.187 = 2.2442 kJ/kcal

Uzećemo da je broj sigurnih cifara dobijenog rezultata, u skladu sa 3. pravilom, jednak broju sigurnih sifra manje tačnog podatka: s = 3. Tako, pravilno prikazan rezultat konverzije:

kgKkJCp 24.2=

ima isti broj značajnih cifara kao i polazna vrednost. Zadatak 1.9 Protok etilena, Q (kg/h) u pogonu proizvodnje polietilena se izračunava iz izmerene srednje brzine etilena, w (m/h) prigušnom pločom i njegove gustine,

Q = wAρ ; 4

;2π

=∆=DApCw

koja se računa iz izmerenih vrednosti pritiska i temperature i odgovarajuće tabelarne vrednosti koeficijenta stišljivosti, z (Zadatak 1.5). Za podatake date u Zadatku 1.5 i ,

( )stuba vodenog1.066,05.01.0,1000 21 mmmmVSmmVSpmmmDmmVSh

mC ±=∆±=⋅

=

proceniti protok i broj njegovih sigurnih cifara, koristeći linearnu procenu greške funkcije. Vrednost konstante prigušne ploče, C smatrati tačnom. Uporediti procenjeni broj sigurnih cifara sa onim koji bi se dobio primenom pravila 3 za procenjivanje tačnosti nekog rezultata.

Rešenje: U zadatku 1.5 smo za date uslove i tabelarnu vrednost z odredili gustinu i granicu njene relativnu greške:

33 103,/6.88 −ρ ⋅==ρ Rmkg

i za protok etilena računamo :

Page 18: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

18

hkgDpCQ 3

2

1065.54

⋅=ρπ

∆=

3101.0

51052241084106.7

661.0

21

21 −=

−⋅==−⋅<−⋅==∆=

++=

DRARpRRw

RARwRQR ρ

24105.02105.0210282.0

/210282.02.28

31053108.431033104108

=⇒−⋅=⋅≤⋅

⋅===

−⋅<−⋅=−⋅+−+−⋅=

ss

hkgQQRQA

QR

U polaznim podacima za računanje protoka, broj sigurnih cifara je:

podaci s D 4 ∆p 2 ρ 2

i prema empirijskom pravilu 3, za broj sigurnih cifara u izračunatom protoku bi takođe dobili 2. 1.5 OBRNUT PROBLEM PROCENE GREŠKE

Problem: Proceniti dozvoljene granice apsolutnih grešaka argumenata xi, i = 1,2,...n da bi se vrednost funkcije y(x1, x2, . . ., xn) dobila sa zadatom granicom greške, Ay* ≤ ε . Treba odrediti vrednosti *

ixA iz uslova:

∑=

ε≤∂∂

=n

ix

iy i

AxyA

1** *)(x (1.16)

Problem je matematički određen (broj nepoznatih jednak broju uslova) samo za n = 1:

*)(**

** xy

AAdxdyA xx

xy ′

ε≤⇒ε≤=

Page 19: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

19

x *

A x *

A y *

y *

U slučaju n > 1, da bi se problem učinio matematički određenim, primenjuje se jedan od tri principa (pretpostavki):

• Princip jednakih uticaja

Pretpostavka: λ=∂∂

==∂∂

=∂∂

**2

*1

.......21 nx

nxx A

xyA

xyA

xy

Polazeći od jednačine (1.16) izvodimo:

n

Axy

nnA

ixi

≤∂∂ε

≤λ⇒ε≤λ= ** ,

ni

xyn

A

i

x i,...,2,1,* =

∂∂ε

≤ (1.17)

• Princip jednakih apsolutnih grešaka

Pretpostavka: niAA xxi

,...,1,** ==

∑=

ε≤∂∂

=n

i ixy x

yAA1

**

∑= ∂

∂ε

≤n

i i

x

xy

A

1

* (1.18)

• Princip jednakih relativnih grešaka

Pretpostavka: ∗====xxxx RRRR

n *** ........21

Page 20: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

20

∑=

ε≤∂∂

==n

ii

ixyixx x

xyRAxRA

i1

**** *,*

nix

xy

Rn

ii

i

x ,...,2,1,*

1

* =

∂∂ε

∑=

(1.19a)

nix

xyx

An

ii

i

ixi

,...,2,1,*

*

1

* =

∂∂

ε≤

∑=

(1.19b)

Pri procenjivanju dozvoljenih grešaka argumenata, primenom nekog od tri opisana metoda,

• primenjuje se princip minorizacije (umanjivanje). Zadatak 1.10 Faktor stišljivosti etilena se iz izmerenih vrednosti pritiska, gustine i temperature, određuje po formuli:

RTMpzρ

= , M = 28.05 , R = 8.315 kJ/kmolK

Podatke M i R smatrati tačnim. Granice u kojima se kreću vrednosti pritiska, gustine, i temperatura su:

p = 50 - 60 bar , T = 280 - 300 K, ρ = 80 - 90 kg/m3

Uz pretpostavku da instrumenti za merenje gustine, pritiska i temperature imaju istu tačnost (jednake relativne greške), odrediti koliko je neophodno da budu tačni (Rp = RT = Rρ = ?), da bi se faktor stišljivosti dobio,

a) sa granicom relativne greške Rz = 5%

b) sa granicom apsolutne greške Az = 0.05 kg/m3 Rešenje:

Primenićemo jednačinu (1.19a):

zzTTzp

pz

R Tp 3,,ε

∂ρ∂

+∂∂

+∂∂

ε≤ρ

jer: zRT

MpzTTzp

pz

=ρ∂ρ∂

=∂∂

=∂∂

a)

%5.1015.00167.031

3 ,,,, =>≈=ε

≤ ρρ TpzTp RRz

R (minorizacija!)

Page 21: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

21

b)

max,, 3z

R Tpε

≤ρ (minorizacija!)

%5.1015.0018.0904.0305.0

904.0

,,,,

minmin

maxmax

=>=⋅

=

=

ρρ TpTp RR

TRpMz

Zadatak 1.11 Treba izračunati vrednost funkcije z(x,y) = 3x2 (ln x – sin y) za x = 14.8 , y = 1100 sa 4 sigurne cifre. Odrediti potrebnu tačnost argumenata , tj. granice relativnih grešaka Rx, Ry i to sa preciznošću od jedne značajne cifre. Rešenje:

5.0,5.04

2.11532360110sin8.14ln8.143 2

=ε≤⇒=

=

π⋅−⋅=

zz As

z

[ ]

75.224)0110(cos28.143,cos23

24.2005.0)0110sin(8.14ln8.146

)21sin(ln6123)sin(ln6

=⋅=∂∂

−=∂∂

=+−⋅=∂∂

+−=+−=∂∂

yzyx

yz

xz

yxxx

xyxxxz

a) Princip jednakih uticaja

54

44

44

10,108.0

101.01010112.011075.2242

5.0

2

108.01084358.08.1424.2002

5.0

2

−−

−−

−−

=⋅=

⋅>⋅=⋅⋅

=

∂∂ε

≤=

⋅>⋅=⋅⋅

=

∂∂ε

≤=

yx

yy

xx

RR

yyzy

AR

xxzx

AR

Page 22: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

22

b) Princip jednakih apsolutnih grešaka

54

44

44

10,107.0

101.01010695.0)75.22424.200(110

5.0

107.0107947.0)75.22424.200(8.14

5.0

−−

−−

−−

=⋅=

⋅>⋅=+

=

∂∂+

∂∂

ε≤

⋅>⋅=+

=

∂∂+∂

ε≤

yx

y

x

RR

yz

xzy

R

yz

xzx

R

c) Princip jednakih relativnih grešaka

54 101018059.0

11075.2248.1424.2205.0

−− >⋅=

=⋅+⋅

=

∂∂

+∂∂

ε≤=

yyzx

xz

RR yx

5101.0 −⋅== yx RR Zadatak 1.12 Iz kubne jednačine

0)23()1(),,( 23223 =−++−−+−+= ABBBBBAzBzzBAzf (*)

koja sledi iz Peng - Robinson jednačine stanja, se za date vrednosti temperature i pritiska, iz kojih se po odgovarajućim formulama prethodno izračunaju vrednosti parametara A i B, mogu izračunati koeficijenti stišljivosti ključale tečnosti, zL i zasićene pare, zV neke supstance kao najmanji i najveći od tri realna korena. Za amonijak, na tački ključanja: T = 373.15 K i p = 63.05 bar vrednosti parametara su: A = 0.3194 , B = 4.714⋅10-2, a odgovarajuće vrednosti koeficijenata tečnosti (L) i pare (V),

210084.96447.0 −⋅== Lv zz

su dobijene kao najveći i najmanji od tri korena jednačine (*) - vidi skicu.

z

f

z L z V

Page 23: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

23

Pod pretpostavkom da jednačina tačno opisuje promene koeficijenta stišljivosti tečnog i parnog amonijaka duž linije ključanja, treba odrediti sa kojom granicom relativne greške je neophodno poznavati vrednosti parametara A i B, da bi se , zL i , zV mogli dobiti sa greškom manjom od 0.1%.

Rešenje:

Imamo slučaj da funkcija z(A,B) nije definisana eksplicitno, već implicitno. Potrebni

su nam izvodi Bz

Az

∂∂

∂∂ , implicitno zadate funkcije: f(z,A,B) = 0 , čije se

vrednosti dobijaju rešavanjem kubne jednačine (*). Podsetimo se nalaženja parcijalnih izvoda implicitne funkcije 0),( =xyf . Diferenciranjem obe strane te jednačine po xi :

0=∂∂

⋅∂∂

+∂∂

ii xy

yf

xf

i odatle:

yfxf

xy i

i

∂∂∂∂

−=∂∂

Dakle:

∂∂

∂∂

−=∂∂

∂∂

∂∂

−=∂∂

zf

Bf

Bz

zf

Af

Az ,

ABBzBzBfBz

Af

ABBBzzzf

−+++−=∂∂

−=∂∂

+−−−+=∂∂

23)26(,

23)1(23

22

22

zR

BBfA

Af

zf

BBzA

Az

R

z

BA

⋅=ε

∂∂

+∂∂

ε∂∂

=

∂∂

+∂∂

ε≤,

Za parnu fazu (z = 0.6447):

274.1,5975.0,2365.0 =∂∂

=∂∂

=∂∂

Bf

Af

zf

%)05.0(1051007.6 44,

−− ⋅>⋅≤BAR

Za tečnu fazu 44,

2 105.11089.1:)10084.9( −−− ⋅>⋅≤⋅= BARz (0.015%)

Page 24: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

24

Zadatak 1.13 Bensonova formula za procenjivanje molske zapremine, vb(cm3/mol) supstance na normalnoj temperaturi ključanja iz vrednosti njene kritične zapremine, vc(cm3/mol) i kritičnog pritiska, pc(bar) glasi:

vvpbc

c=

+01833 1979. ln . (sve cifre u vrednostima konstanti su sigurne)

Uz pretpostavku da Bensonov model korektno opisuje vezu između v v pb c c, i ,

a) Proceniti molsku zapreminu na normalnoj temperaturi ključanja izopropilalkohola, čiji su kritični parametri,

vc = 220 cm3/mol , pc = 47.6 bar (sve cifre u vrednostima su sigurne)

i broj sigurnih cifara u rezultatu. Analizirati relativne uticaje grešaka pojedinih parametara u Bensonovom izrazu na grešku rezultata.

b) Odrediti sa kojom granicom relativne greške treba poznavati vrednosti kritičnih parametara neke supstance da bi vb procenili sa apsolutnom greškom manjom od 0.5 cm3/mol, ako Bensonova formula važi u oblasti:

500100,5030 ≤≤≤≤ cc vp Rešenje:

a)

( ) 87.81979.16.47ln1833.0

220ln

=+

=+

=bpa

vvc

cb

Prema empirijskom pravilu, datom na kraju prethodnog poglavlja, broj sigurnih cifara u rezultatu je 3 (koliki je broj sigurnih cifara u vrednostima pc i vc), pa bi korektno prikazan rezultat bio: molcmvb

39.81=

Procenićemo broj sigurnih cifra rezultata i na bazi linearne procene greške:

ccccb ppvvbbaav AfAfAfAfA +++=

gde su:

( ) ( ) ( )222 lnln1

lnlnln

bpapavf

bpaf

bpavf

bpapvf

cc

cp

cv

c

cb

c

cca cc +

=+

=+

=+

=

Za date podatke:

1173.0,3722.0,47.30,7.117 ====cc pvba ffff

i za granicu apsolutne greške rezultata dobijamo: 5.0213.0 <=bvA

Tako je poslednja sigurna cifra u rezultatu molcmvb387.81= cifra na mestu jedinica,

pa je broj sigurnih cifara s = 2.

Zanimljivo je uporediti doprinose grešaka pojedinih parametara u izrazu za vb ukupnoj apsolutnoj greški rezultata:

3123 109.5,109.1,105.1,109.5 −−−− ⋅=⋅=⋅=⋅=cccc ppvvbbaa AfAfAfAf

Page 25: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

25

Očigledan je dominantan uticaj greške kritične zapremine vc, koji je za jedan ili dva reda veličine veći od doprinosa grešaka ostalih parametara, pa se njihovi uticaji mogu zanemariti. Zaista, zanemarujući uticaj ostalih parametara za granicu greške bi dobili:

5.019.0 <=bvA , tj. procenjeni broj sigurnih cifara bi opet bio 2.

b)

Ako parametre a i b, smatramo tačnim, odnosno, u skladu sa prethodnom analizom, zanemarimo njihov doprinos greški vb, traženu granicu relativne greške vc i pc ćemo dobiti iz formule (1.19a):

cpcv pfvfR

cc+

=5.0

Pošto su apsolutne vrednosti parcijalnih izvoda cc pv ff , funkcije vc i pc, postavlja se

pitanje za koje vrednosti kritičnih parametara izračunati R . To je, u skladu sa principom minorizacije, onaj par vrednosti za koji R ima minimum, odnosno imenioc u formuli za R

( )2lnln bpaav

bpavpfvf

c

c

c

ccpcv cc +

++

=+

ima maksimum, u datoj oblasti u kojoj se Bensonova formula primenjuje. Pošto vrednost imenioca raste sa vc, a opada sa pc, R ćemo računati u tački

30,500 == cc pv :

( ) 1.192979.130ln1833.0

500ln

=+

=+

=bpa

vvfc

ccvc

( ) ( )( )53.13

979.130ln1833.01833.0500

ln 22 =+

⋅=

+=

bpaavpfc

ccpc

0024.053.131.192

5.0≈

+=R

Usvajamo, u skladu sa principom minorizacije, R = 0.002 = 0.2%

Radi provere, izračunaćemo bvA u tački 30,500 == cc pv sa usvojenom granicom

relativne greške kritičnih parametara. Dobijamo procenu 46.0=bvA , što potvrđuje

da su korišćena uprošćenja u postupku opravdana.

1.6 NASTAJANJE GREŠAKA U TOKU RAČUNSKOG PROCESA

Vrednost nekog složenog izraza (funkcije) u računaru se dobija korak po korak, tj. kao rezultat niza osnovnih računskih operacija (koraka).

• Rezultat svakog pojedinog koraka, sem poslednjeg u nizu je međurezultat, koji ulazi kao operand u naredni korak.

Page 26: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

26

• Pre no što uđe u operaciju u narednom koraku, on se privremeno memoriše i pri tom, u opštem slučaju, trpi zaokruživanje (ili jednostavno, odsecanje) zbog ograničenog broja značajnih cifara koji se može registrovati u memorijskoj lokaciji.

• Konačno, i rezultat poslednjeg koraka trpi zaokruživanje (odsecanje). Tako izračunata vrednost neke funkcije ( )nxxxf ,..., 21 neće biti tačna, ni kada su polazni podaci ( )nxxx ,..., 21 sasvim tačni, zbog grešaka zaokruživanja (ili odsecanja) u toku računskog procesa.

Memorisanje brojeva u računaru-mašinski brojevi

Iz tehničkih razloga, brojevi se u računaru realizuju u binarnom ili eventualno u binarno kodiranom oktalnom ili heksadekadnom brojnom sistemu. U okviru programa namenjenih raznim inženjerskim proračunima, registrovanje realnih brojeva je organizovano u normalizovanom eksponencijalnom obliku (6):

±=±= =

−±

=

−∑e

j

jej

E

Bbx BBaBxx

m

i

iiM

1

1 (1.20)

Vidimo da je realizacija realnih brojeva definisana sa tri parametra: brojna osnova B, broj cifara decimalnog dela mantise, tj. broj značajnih cifara m i broj cifara eksponenta, e.

Primer: Kao što znamo, realni brojevi se u okviru programskih jezika BASIC, FORTRAN i PASCAL predstavljaju u binarnom brojnom sistemu, B = 2, a kapacitet memorijske lokacije za brojeve obične tačnosti je 4 bajta, od kojih je jedan namenjen registrovanju eksponenta i njegovog znaka, a preostala tri bajta registrovanju decimalnog dela mantise (značajne cifre broja) i znaka broja:

Bitovi znaka xMxE

Pri tom, negativni eksponenti se prikazuju kao B - komplementi odgovarajućih pozitivnih brojeva.Tako su vrednosti ostala dva parametra:

23183,718 =−⋅==−= me

Brojevi oblika (1.20) za dato B,m i e se zovu mašinski brojevi. Skup svih mašinskih brojeva označićemo sa M(B,m,e). U daljoj diskusiji ćemo se ograničiti na slučaj B = 2, tj. binarne mašinske brojeve.

Page 27: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

27

Primer:

Za opisano registrovanje brojeva kod programskih jezika, mašinski brojevi pripadaju skupu M(2,23,7)

Realizacija brojnih vrednosti u računaru (polazni podaci ili međurezultati) može se posmatrati kao preslikavanje skupa realnih brojeva, R u skup mašinskih brojeva M. Pošto je skup mašinskih brojeva konačan i prebrojiv, a skup realnih brojeva beskonačan i neprebrojiv, jasno je da to preslikavanje ima ograničenja (vidi skicu) i nazivamo ga redukovano preslikavanje (γ):

γ: R → M (1.21)

MM

R – skup realnih brojeva Q – skup racionalnih brojeva Z – skup celih brojeva M – skup mašinskih brojeva

R

Z

Q M

Internu ili mašinsku vrednost nekog broja x, koju dobijamo primenom redukovanog preslikavanja opisujemo kao γx.

Mogu se odrediti najmanji, xmin i najveći, xmax po apsolutnoj vrednosti realni brojevi, koji se mogu (tačno) registrovati u računaru : ( ) ( ) ( ) ( )minmax

minminmaxmax , EE xM

xM BxxBxx ==

Za M(B,m,e), najveća mantisa i najveći eksponent se dobijaju kao, ( ) m

M Bx −−=1max ( ) 1max −= eE Bx

Najmanja mantisa, u skladu sa definicijom mantise je

( ) 1min 1.0 −== BxM

a najmanji eksponent (negativan ceo broj, veliki po apsolutnoj vrednosti), imajući u vidu da se negativni brojevi registruju kao B-komplementi:

( ) eE Bx −=min

Page 28: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

28

Primer: Približne dekadne vrednosti xmax i xmin u M(2,23,7) su:

( ) {23

2bajta23

2bajta 23

max 21)01...00.01()1...11.0( −−=−== 321Mx

( ) ( ) ( ) 121100000001111111 722max −=−==Ex

( ) 381271223max 10701.12221

7

⋅≈≈⋅−= −−x ≈=⋅= −−− 12921min 222

7

x 1.469⋅10-39

Tako se u računaru,

• brojevi manji od -xmax registruju kao -xmax i svi brojevi veći od xmax kao xmax ( arithmetic overflow)

• brojevi, po apsolutnoj vrednosti manji od xmin , registruju kao nule (eventualno ± xmin)

Dakle, ako skup realnih brojeva, R podelimo na podskupove na sledeći način:

(

R

R 1R -1 R -∝ R∝

-xmax xmax -xmin xmin

R = R -∝ ∪ R -1 ∪ R 0 ∪ R 1 ∪ R∝ = = (- ∞ ,-xmax) ∪ [-xmax, -xmin] ∪ (-xmin, xmin) ∪ [xmin, xmax] ∪ (xmax, ∞ )

možemo da pišemo:

0

max

max

,0,

,

RRR

∈=γ∈=γ∈−=γ

∞−

xxxxxxxx

Ni brojevi iz podskupova R-1 i R1 se u opštem slučaju nemogu tačno predstaviti u računaru jer je kapacitet memorijske lokacije ograničen na m binarnih značajnih cifara (jednačina 1.20). Tako se iracionalni brojevi i beskonačni periodični razlomci ne mogu tačno registrovati. Primer:

U skupu M(2,23,7), mogu se registrovati prvih 23 značajnih cifara broja 11 RR ∪∈ −x u njegovom binarnom obliku. To je približno prvih 7 dekadnih značajnih cifara istog broja jer je:

7723 101019.12 −−− ≈⋅≈

Page 29: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

29

Ukoliko tačna vrednost broja 11 RR ∪∈ −x u binarnom obliku ima više od m značajnih cifara,

( ) Exmmm aaaaax 2.......0 2121 ++±=

prilikom njegovog memorisanja se vrši odsecanje ili zaokruživanje na m značajnih cifara. Primeri:

Za M(2,23,7) imamo:

( ) ( ) ( )

=γ=γ=γivanezzaokru uz 6666667.0

odsecanje uz 6666666.032,3333333.031,125.0125.0 (

( )njezaokruziva uz

odsecanje uz1000000.009999999.0

1.0

=γ jer je ( ) ( )4444 34444 21

(( brojdecimalan an cperiodian cbeskona

210 ...0011...000110011.01.0 =

U programskim jezicima BASIC, FORTRAN i PASCAL moguće je brojeve registrovati u tzv. duploj preciznosti, kada se za broj angažuje umesto 4, duplo više, tj. 8 bajtova i od toga se 52 bita koristi za registrovanje mantise, m = 52, tj. imamo M(2,52,10), što obezbeđuje da se brojevi 11 RR ∪∈ −x registruju sa preciznošću od 15 dekadnih sigurnih cifara ( 151652 105.0102.22 −−− ⋅<⋅≈ ). Poznati softverski paketi Mathcad i Excel takođe rade u M(2,52,10). Primer:

Uz zaokruživanje, interna vrednost iracionalnog broja 2 biće:

( ) ( )( )

=γ10,52,2u73104142135623.17,23,2u414214.1

2MM

Greška redukovanog preslikavanja

Ako se pri memorisanu realnog broja 11 RR ∪∈ −x on, odnosno njegova mantisa zaokružuje na m dekadnih značajnih cifara, tj. približna vrednost mantise *

Mx dobija po pravilu zaokruživanja:

≥⋅+<

=+

−+

5 je ako101....05 je ako....0

121

121*

mm

m

mmM aaaa

aaaax

odbačeni deo mantise će biti:

( ) mmmmmm gaaaa −−++++ ⋅== 1010....0......0.0 2121

gde decimalan broj:

Page 30: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

30

( )10....0 21 <≤= ++ gaag mm

ima osobine mantise. Greška redukovanog preslikavanja mantise je tako

( )( )

≥≥−<<⋅

=−+

−+

0.5g tj.5, je ako 101 0.5g tj.5, je ako10

1

1*

mm

mm

MM agag

xx

i u svakom slučaju, po apsolutnoj vrednosti je manja od 0.5⋅10-m. Dakle, za grešku redukovanog preslikavanja broja x važi :

mxxMMx

EExx −⋅≤⋅−=∆ 105.010**

pa za granicu apsolutne greške zaokruživanja možemo da usvojimo:

mxx

EA −⋅= 105.0* (1.22a)

Znači da, uz pretpostavku da je broj x tačan, svih m značajnih cifara njegove interne vrednosti su sigurne cifre. Konačno, iz jednačine (1.10) dobijamo granicu relativne greške zaokruživanja:

mx

R −⋅= 1105.0* (1.22b)

Analognim postupkom, lako je izvesti sledeće procene apsolutne i relativne greške odsecanja:

mxx

EA −=10* (1.23a)

mxR −= 110* (1.23b)

Greške računskih operacija

Rezultat neke osnovne računske operacije ( :,,, ×−+ ), zbog ograničenog kapaciteta memorijske lokacije u koju se unosi, u opštem slučaju nije tačan. Tako ako je z tačan rezultat operacije x + y,

z = x + y

razultat u računaru će biti :

( ) ( )( )ryxrzrzzzzz ++=+=+=∆+= 11γ

gde je r relativna greška, definisana ovde kao količnik odstupanja i tačne vrednosti. Njena apsolutna vrednost je najviše jednaka izvedenoj granici relativne greške redukovanog

Page 31: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

31

preslikavanja (jednačine 1.22b, 1.23b). Dakle u kompjuterskoj aritmetici se operacije :,,, ×−+ izvode sa ograničenim brojem značajnih cifara, m i zbog toga se nazivaju

pseudoperacije. Pri izračunavanju vrednosti složenijih izraza, uzastopno se izvode umesto pravih, pseudoaritmetičke operacije, pa u kompjuterskoj aritmetici ne važi zakon asocijativnosti za operacije sabiranja i množenja kao ni zakon distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje.

Primer: Rezultat sabiranja tri broja , 321 xxxS ++= u računaru će zavisiti od redosleda sabiranja. Tako će se u opštem slučaju, za sumu 3211 xxxS ++= dobiti različit rezultat od onoga za sumu 1322 xxxS ++= . Sume se računaju u dva koraka - pseudosabiranja, sa memorisanjem rezultata i to:

• prva suma kao : ( ) 321 xxx ++ • druga suma kao ( ) 132 xxx ++

Pošto će greške u prvoj pseudooperaciji biti u opštem slučaju različite za jednu i drugu sumu (zavise od veličine brojeva koji se sabiraju) , ni dobijene sume neće biti jednake.

Primer: U kompjuterskoj aritmetici ne važi 21 UU = gde su: ( ) yzxzUzyxU −=−= 21 , . Vrednost U1 je rezultat jednog oduzimanja i jednog množenja, sa međumemorisanjem, dok se U2 računa u tri koraka, dva množenja i jedno oduzimanje sa dva međumemorisanja i u opštem slučaju greške ta dva računska procesa će se razlikovati.

Prostiranje grešaka u računskom procesu

Rezultat nekog složenog računskog procesa u koji, kao podaci, ulaze vrednosti promenljivih nxxx ,..., 21 možemo smatrati nekom funkcijom ( )nxxxf ,..., 21 . Dobijena vrednost posmatrane funkcije, ni u slučaju kada su vrednosti argumenata nxxx ,..., 21 potpuno tačni, neće biti tačna zbog grešaka računskih operacija u procesu računanja. Pri tom, pogrešan rezultat neke operacije u nizu ulazi kao operand ili podatak u sledeću operaciju i tako imamo pojavu prostiranja ili propagacije grešaka u rečunskom procesu. Efekat je zamena tačnog računskog procesa, ( )nxxxf ,..., 21 nekim približnim (pseudo), koga ćemo označiti kao ( )nxxxf ,...,ˆ

21 . Razlika,

( )nxxxf ,..., 21 - ( )nxxxf ,...,ˆ21

predstavlja grešku, koja je rezultat propagacije grešaka u računskom procesu i naziva se i mašinska greška.

U opštem slučaju ni polazni podaci za posmatrani računski proces, ( )nxxxf ,..., 21 nisu tačni. Recimo, neki od njih sadrže greške merenja, a neki su netačni zbog redukovanog preslikavanja tačnih vrednosti. Rezultat će biti pogrešna vrednost približnog računskog

Page 32: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

32

procesa, tj. pseudofunkcije, ( )nxxxf ,...,ˆ21 , zbog približnih vrednosti argumenata : **

2*1 ,..., nxxx .

Ukupnu grešku,

( )nxxxf ,..., 21 - ( )**2

*1 ,...,ˆ

nxxxf

možemo da razložimo na komponente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )**1

**1

**11

**11 ,...ˆ,...,...,...,...ˆ,... nnnnnn xxfxxfxxfxxfxxfxxf −+−=−

pa kao granicu ukupne apsolutne greške možemo da uzmemo:

( ) ( ) ( ) ( )

4444 34444 214444 34444 21(((((kasgre inskasma

**1

**1

podacimau akasgre od ecpoti koja kasgre

**11 ,...ˆ,...,...,...** nnnnf

xxfxxfxxfxxfA −+−= (1.24)

U hemijsko inženjerskim proračunima su greške koje potiču od grešaka u polaznim podacima mnogo veće od mašinske greške, naročito ako se proračun izvodi u duploj preciznosti (double precision), pa se efekat mašinske greške može zanemariti.

Oduzimanje bliskih brojeva Posmatrajmo jednostavan računski proces oduzimanja, tj. funkciju:

( ) 2121, xxxxf −=

uz pretpostavku da se pri memorisanju rezultata primenjuje zaokruživanje na m značajnih cifara. Prva komponenta greške u proceni (1.24) je:

( ) ( ) *2

*1

*2

*121 ,, xx AAxxfxxf +≤−

a druga,

( ) ( ) ( ) *2

*1

*2

*1

*2

*1

*2

*1 ,ˆ, xxRxxrxxfxxf −≤−=−

gde je R granica relativne greške zaokruživanja (1.22b):

mR −⋅= 1105.0

Tako, za granicu apsolutne greške oduzimanja dobijamo:

RxxAAA xxf*2

*1*

2*1

** −++=

pa je granica relativne greške oduzimanja:

RRxx

xRxx

xRxx

AAR xx

xxf +

−+

−=+

+= *

2*1

*2

*1

** *2

*1

*2

*2

*1

*1

*2

*1

(1.25)

Page 33: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

33

U slučaju da su brojevi *2

*1 i xx bliski, *

2*1 xx ≈ komponenta relativne greške koja potiče od

njihovih grešaka postaje vrlo velika i dominantna u odnosu na drugu komponentu (mašinska greška), koju možemo da zanemarimo:

*2

*1

** *2

*1

*2

*2

*1

*1

xxf Rxx

xRxx

xR−

+−

=

Ako su uz to brojevi *

2*1 i xx podjednako tačni,

**2

*1 xxx RRR ==

procena greške oduzimanja bliskih brojeva je:

( )*2

*1

**2

*1

*

,max,2 *** xxxRxx

xR xf =

−= (1.26)

Očigledno je da je oduzimanje bliskih brojeva “kritična” operacija, praćena velikom relativnom greškom. Do istog zaključka smo mogli da dođemo pomoću formule (1.22b), koja povezuje broj sigurnih cifara sa relativnom greškom nekog broja. Kako pri oduzimanju bliskih brojeva dolazi do gubitka sigurnih cifara, koji je utoliko veći ukoliko su brojevi bliži po veličini, rezultat je mnogo manje tačan od polaznih podataka. Tako, ako su operandi iste tačnosti, a gubitak sigurnih cifara jednak ∆s , prema formuli (1.22b) relativna greška rezultata je 10∆s puta veća od relativne greške operanada.

Primer: Neka je potrebno izračunati vrednost izraza 201.2 −=y (y = 0.003531125...) u kompjuterskoj aritmetici sa 4 dekadne značajne cifre, uz zaokruživanje. Sa preciznošću od 4 sigurne cifre, vrednosti operanada su:

( ) ( )...41421356.12414.1,...41774468.101.2418.1 *2

*1 ==== xx

a njihova greška : 443 106.3,106.341.1105.0 **−−− ⋅=⋅<⋅≈ xx RR

Rezultat:

y* = 1.418 – 1.414 = 0.004,

dobijen je sa samo jednom značajnom cifrom koja je i sigurna jer je njegova apsolutna greška :

3105.0004.0...0035311.0 −⋅<− , 3105.0*−⋅=yA

Dakle, u operaciji oduzimanja je došlo do gubitka 3 sigurne cifre, što znači da je relativna greška rezultata oko 1000 puta veća od greške operanada, dakle reda veličine 10-1 . Zaista, iz apsolutne greške rezultata dobijamo :

13

3

* 103.1104105.0*

*−

⋅<⋅⋅

==yA

R yy

ili, grublju procenu iz formule (1.26) :

Page 34: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

34

13*

*

106.2106.3004.0418.122 **

−− ⋅<⋅== xy RyxR

Sledi pravilo:

• Ako se pri oduzimanju približnih brojeva *2

*1 i xx gubi prvih ∆s sigurnih cifara, a

rezultat se želi dobiti sa k sigurnih cifara, neophodno je uzeti brojeve sa tačnošću od k+∆s sigurnih cifara.

Primer:

Ako bismo izraz iz prethodnog primera želeli da dobijemo sa tačnošću od 4 sigurne cifre u oduzimanje bi trebalo da uđu vrednosti korena sa 7 sigurnih cifara. To bi se moglo realizovati u nekom od programskih jezika u običnoj tačnosti (7 sigurnih cifara). Međutim, da bi dobili rezultat sa 7 sigurnih cifara, neophodne su vrednosti korena sa 10 sigurnih cifara, pa bi u programskom jeziku bilo neophodno koristiti opciju DOUBLE PRECISION .

Nekada se izraz u kome se javlja kritična operacija oduzimanja bliskih brojeva može transformisati u njemu ekvivalentan u kome je njen uticaj manji.

Primer:

( )201.2

201.2201.2201.2201.2201.2

+−

=++

−=−=y

003531.0414.1418.1

01.0* =+

=y

Nema gubitka sigurnih cifara !

Primer: Kao procena tačne vrednosti neke merene veličine x usvaja se aritmetička sredina x , n ponovljenih merenja te veličine :

n

xx

n

ii∑

== 1

Da bi procenili granicu njene apsolutne greške, neophodna je disperzija, s2 definisana kao:

( )

11

2

2

−=∑=

n

xxs

n

ii

Ako je instrument precizan, tj. rasipanje rezultata merenja malo, u brojiocu se sumiraju razlike bliskih brojeva, pa će disperzija biti izračunata sa malom tačnošću. Suma u brojiocu se može transformisati:

( ) 2

1

2

1

2

11

2

1

2 2 xnxxxxxxxn

ii

n

i

n

ii

n

ii

n

ii −=+−=− ∑∑∑∑∑

=====

Dobijeni ekvivalentan izraz umesto n oduzimanja bliskih brojeva uključuje samo jednu takvu operaciju. Zato se kao praktična formula za računanje disperzije koristi:

Page 35: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

35

1

2

1

2

2

−=∑=

n

xnxs

n

ii

1.7 STABILNOST RAČUNSKOG PROCESA

Neki računski proces, koji polazeći od m podataka mixi ,...,1, = daje n rezultata niyi ,...,1, = može se posmatrati kao preslikavanje ulaznih podataka u izlazne vrednosti,

posredstvom n funkcija:

( ) nixxxfy mnii ,...,1,...,,1 == (1.27)

odnosno vektorske funkcije:

( )( )

( )

=

x

xxy

nf

fM

1

N um eričk i postupak

x1

x2

xm

podaci

y1

y2

yn

rezu lta ti: y i = fi(x1,x2,...xm), i = 1 ,...,n

Ako male ili umerene greške u podacima kao posledicu imaju greške istog reda u

rezultatima, kažemo da je posmatrani računski proces stabilan ili dobro uslovljen (well conditioned). Ako pak male greške podataka izazivaju značajne greške rezultata, tada je računski proces nestabilan ili loše uslovljen (ill conditioned). Znači, da nestabilne računske procese karakteriše nepovoljna propagacija (uvećavanje) grešaka.

Da bi smo analizirali uticaj malih grešaka polaznih podataka na tačnost rezultata, posmatraćemo priraštaje funkcija (1.27), koje možemo da aproksimiramo totalnim diferencijalima:

nixxyx

xyx

xyy m

m

iiii ,...,1...2

21

1

=∆∂∂

++∆∂∂

+∆∂∂

≈∆

gde su priraštaji argumenata:

**iiii xxxx −=∆=∆

odstupanja od njihovih tačnih vrednosti, a priraštaji funkcija:

**iiii yyyy −=∆=∆

Page 36: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

36

predstavljaju odgovarajuća odstupanja (greške) dobijenih rezultata. Dakle, vezu između malih odstupanja podataka i odstupanja rezultata daje jednačina:

( ) nixx

yym

jj

j

ii ,...,1

1

**

* =∆∂

∂=∆ ∑

=

x (1.28)

Iz ove jednačine, pod uslovima niymix ii ,...,1,0,...,1,0 ** =≠=≠ , dobijamo vezu između relativnih odstupanja podataka i rezultata:

( ) nixx

xy

yx

yy m

j j

j

j

i

i

j

i

i ,...,11

*

**

*

*

*

*

=∆

∂∂

=∆ ∑

=

x (1.29)

Očigledno je da je doprinos odstupanja nekog podatka, xj greškama pojedinih rezultata, određen veličinama apsolutnih vrednosti parcijalnih izvoda funkcija yi (i = 1,...,n) po promenljivoj xj:

( ) nix

y

j

i ,...,1*

=∂

∂ x

koje zovemo apsolutni uslovni brojevi za promenljivu xj (j = 1,...,m). Slično, apsolutne vrednosti

( ) nix

yyx

j

i

i

j ,...,1*

*

*

=∂

∂ x

se zovu relativni uslovni brojevi za datu promenljivu i određuju uticaj relativne greške podataka na relativne greške rezultata.

Sada možemo da formulišemo kriterijum stabilnosti nekog računskog procesa: računski proces je stabilan ili dobro uslovljen ako su apsolutni i relativni uslovni brojevi mali.

Primer: Sistem jednačina:

000001.8000001.53

853

21

21

=−=−

yyyy

ima rešenje: 1,1 21 −== yy

Ako bi samo neznatno promenili vrednosti dva koeficijenta u drugoj jednačini:

9996.7000002.53

853

21

21

=−=−

yyyy

rešenja bi se značajno promenila: 200,336 21 == yy U ovom problemu, podaci su koeficijenti u jednačinama, a rešenja sistema su rezultati. Izvedeni “računski eksperiment” ukazuje da je rešavanje ovog sistema jednačina jedan nestabilan proces: neznatni poremećaji podataka izazivaju ogromne promene rezultata. Kažemo da je sistem jednačina loše uslovljen. Primetimo da se radi

Page 37: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

37

o sistemu veoma bliskom neodređenom, tj. dve jednačine su gotovo identične. Geometrijski, treba naći presek dve prave, koje se gotovo preklapaju, što je nemoguće uraditi sa zadovoljavajućom tačnošću. Ako koeficijente koje variramo označimo sa x1 i x2, funkcije koje definišu rezultate su:

( ) ( ) DDxxfyDDxxfy 2212212111 ,, ====

gde su:

1533

53243

383

5858

11

22

22112

1 +=−

=−==+=−

= xx

Dxx

Dxxxx

D

Potražimo apsolutne uslovne brojeve:

222

211

2

1

2212

111

1

1

1 338DDDD

xD

DxD

xy

DD

DDD

xD

DxD

xy

−=

∂∂

−∂∂

=∂∂

−=

∂∂

−∂∂

=∂∂

Dx

yDx

y 35

2

2

2

1 =∂∂

=∂∂

Za date vrednosti koeficijenata, 000001.8,000001.5 21 =−= xx determinante su:

( ) 62

61

6 10310310315000001.53 −−− ⋅=⋅−=⋅=+−= DDD

a apsolutni uslovni brojevi:

6

2

26

2

16

1

26

1

1 10107.110107.3 =∂∂

⋅=∂∂

=∂∂

⋅=∂∂

xy

xy

xy

xy

Velike vrednosti uslovnih brojeva su u skladu sa uočenom lošom uslovljenošću problema, a one su očigledno posledica male vrednosti determinante sistema (sistem blizak neodređenom). Tako je jedan od pokazatelja loše uslovljenosti saglasnih određenih sistema linearnih jednačina, mala vrednost determinante sistema.

Računski proces u prethodnom primeru sadrži ”opasnu” operaciju oduzimanja bliskih brojeva (izračunavanje determinanata) i očigledno je ona uslovila njegovu nestabilnost.

• Uopšte, na osnovu analize u poglavlju 1.6 može se konstatovati da računski postupci koji uključuju operacije oduzimanja bliskih brojeva su potencijalno nestabilni.

Page 38: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

38

ZADACI 1.1 U sledećim približnim vrednostima sve značajne cifre su i sigurne: 101.34, 0.00246, 7200, 7.35⋅10-5, 5.045⋅1015. Odrediti granice apsolutnih grešaka tih vrednosti. Rešenje: U u širem smislu : 10-2, 10-5, 1, 10-9, 10-20 U užem smislu : 0.5·10-2, 0.5·10-5, 0.5, 0.5·10-9, 0.5·10-20

1.2 Kritične temperature, Tc supstanci su u bankama podataka date najčešće sa preciznošću od 1 decimale. Ako se pretpostavi da su sve cifre u tim vrednostima sigurne ,

a) Kolika je granica apsolutne greške tih podataka ?

b) Proceniti granicu relativne greške Tc, za grupu supstanci čija je kritična temperatura reda veličine 102 ( 102 ≤ Tc < 10 3 )

c) Za kritičnu temperaturu etilena se u banci podataka nalazi vrednost 282.4oC. Odrediti granice u kojima leži tačna vrednost i odrediti preciznije granicu relativne greške tog podatka. Rešenje: a) 0.05oC b) 0.05% c) 282.4±0.05 oC, 0.02%

1.3 Kritični pritisci supstanci su u banci podataka dati sa tri značajne cifre, koje su sigurne u širem smislu. Na osnovu procenjene zajedničke granice relativne greške tih podataka, proceniti granice u kojima leži tačna vrednost kritičnog pritiska benzola, za koga nalazimo podatak pc = 48.9 bar i to

a) U barima

b) U mm Hg stuba (1 bar = 750 mmHg)

c) Odrediti uži interval u kome leži tačna vrednost pc benzola Rešenje: a) 48.9±0.5 bar b) 3.68⋅104±380 mmHg c) 48.9±0.1 bar 1.4 Gustina neke supstance je 39.46 ftlb=ρ . Treba odrediti njenu vrednost u SI sistemu, ako su dati konverzioni faktori 1lb = 0.45359kg, 1ft = 0.3048m. U skladu sa pravilima računanja sa približnim brojevima,

a) koje vrednosti konverzionih faktora se koriste u proračunu

b) koja je tražena vrednost gustine. Rešenje: a) 1lb = 0.4536kg, 1ft = 0.3048m b) 751 kg/m3 1.5 Vrednosti parametara u Antoanovoj jednačini:

ln p AB

C T0 = −

+

Page 39: Računaje sa približnim brojevima (PDF)

39

za napon pare, p0 (bar) akroleina, u temperaturnom intervalu 235 360K T K≤ ≤ su A B C= = = −9 286 2607 45. , , , pri čemu su sve date cifre sigurne (u užem smislu). Uz pretpostavku da Antoanov model korektno opisuje promenu napona pare akroleina sa temperaturom, proceniti granicu relativne greške sa kojom se dobija napon pare akroleina na T = 350K i prikazati njegovu vrednost samo sa sigurnim ciframa. Rešenje: Rp = 2%, p0 = 2.1bar

1.6 Primenjujući princip jednakih uticaja, odrediti sa kojom tačnošću treba izmeriti prečnik osnove valjka, sa približnim vrednostima prečnika osnove, d i visine h: d = 20cm h = 100 cm, da bi zapremine valjka, V bila određena sa tri sigurne cifre u širem smislu. Rešenje: 0.01cm 1.7 Sa kojom granicom relativne greške treba izmeriti dužinu a, širinu b, visinu c i masu m paralelopipeda da bi se gustina materijala od koga je sačinjen odredila sa granicom relativne greške 2% ? Rešenje: 0.5% 1.8 Primenjujući princip jednakih uticaja, odrediti sa kojim granicama apsolutnih grešaka i kojim brojem sigurnih cifara moraju biti poznate vrednosti parametara A – C u Antoanovoj jednačini (zadatak 1.5), da bi maksimalna greška procenjivanja napona pare akroleina u datom intervalu temperatura bila 1%. Rešenje: AA = 0.5·10-3, AB = 0.5, AC = 0.5·10-2, sA = sB = sC = 4 1.9 Za gasnu smešu etan-butan sa 42.8% molskih etana, na T = 1200C i p = 16.8bar parametri A i B u SRK jednačini stanja imaju vrednosti A = 0.1550 i B = 0.05482. Koeficijent stišljivosti smeše, z se uz pomoć te jednačine stanja dobija kao najveći realan koren kubne jednačine:

( ) 0223 =−−−+− ABzBBAzz

Za date podatke, rešenje jednačine je z = 0.9025

a) Proceniti granicu apsolutne greške u dobijenoj vrednosti z koja potiče od grešaka parametara A i B, ako su sve cifre u vrednostima parametara sigurne u užem smislu.

b) Proceniti koliko najmanje sigurnih cifara u širem smislu moraju da imaju vrednosti parametara da bi z bilo izračunato sa 3 sigurne cifre u širem smislu. Rešenje: a) 10-4 b) sA = 4, sB = 3