raciocinio logico
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Instituto Nacional do Seguro Social
Raciocínio Lógico
Jucilândio
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Expressões, proposições e valores
lógicos
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Proposição é toda sentença declarativa que pode
ser julgada verdadeira ou falsa.
Exemplos: (descubra o valor lógico)
“O poeta Castro Alves era baiano.”
“Fortaleza é a capital do estado da Bahia.”
3 x 7 = 35
Proposição
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Existe sentença que não é proposição?
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Expressões interrogativas:
“Onde fica a Praça da República?”
Expressões exclamativas:
“Mal posso acreditar!”
Expressões imperativas:
“Leia e viva melhor.”
“Estude, garoto, estude.”
Sentenças
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Expressões sem verbo:
“A vida nos crimes – a morte na dor.”
“O poema de Castro Alves.”
Promessas:
“Após o carnaval, começarei a estudar.”
“Prometo ser fiel, na alegria e na tristeza, na saúde e na
doença, até que o chifre nos separe.”
Sentenças
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Poemas:
“Oh! Bendito o que semeia
Livros... livros à mão cheia...
E manda o povo pensar!
O livro caindo n'alma
É germe — que faz a palma,
É chuva — que faz o mar.”
(Castro Alves)
“Ser ou não ser! Eis a questão” (Shakespeare)
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Sentenças abertas:
(x+7) < 20
X é um mamífero.
Sentenças paradoxais:
“Esta frase é falsa.”
Sentenças
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Como transformar uma sentença aberta
em proposição?
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Atribuição de valores;
Uso de quantificadores:
Todo, existe um, nenhum, qualquer que seja, algum...
Ex:
Qualquer que seja o X, temos que (X+7) < 20
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Proposições simples, compostas e
conectivos
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Toda sentença fechada declarativa que exprime um
pensamento, desde que esse possa ser julgado
verdadeiro ou falso.
Por convenção, designa-se as proposições simples
pelas letras minúsculas p, q, r, etc.
Ex: p: Castro Alves escreveu “A Escrava Isaura.”
Proposição simples:
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Formada por duas ou mais proposições simples.
As proposições compostas são representadas pelas
letras maiúsculas P, Q, R, etc.
Ex: P: Castro Alves era baiano e poeta.
p: Castro Alves era baiano.
q: Castro Alves era poeta.
Proposição composta
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Como identificar o tipo de proposição?
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•Bernardo Guimarães e Castro Alves foram
escritores abolicionistas.
•Ronaldinho é brasileiro e jogador de futebol.
•Elaine e Denise são colegas de trabalho.
•Luana é professora de biologia e dona de casa.
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ATENÇÃO!
•Toda e qualquer proposição somente pode ser
falsa ou verdadeira – não haverá outra condição.
•Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa
ao mesmo tempo.
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(FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma
mesma característica lógica em comum, enquanto uma
delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
Questões
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A frase que não possui essa característica comum é a
A) I. C) III. E) V.
B) II. D) IV.
Questões
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Os conectivos
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São expressões utilizadas na formação de novas
proposições. Podem ser representadas por sinais
lógicos
Conectivos
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e....................... Ʌ (conjunção)
ou..................... V (disjunção ou adjunção)
ou...ou.............. V (disjunção exclusiva)
então................ → (condicional)
se, e somente se ↔ (bicondicional)
Sinais
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Conjunção
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Proposição composta por duas outras quaisquer (p
e q) ligadas pelo conectivo e.
Exemplos:
“O leão vive na África e o pinguim vive no Pólo.”
p: O leão vive na África.
q: O pinguim vive no Pólo.
Conectivo “e”
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O valor lógico de uma conjunção será VERDADEIRO
somente quando as duas proposições forem
verdadeiras!
p: O leão vive na África.
q: O pinguim vive no Polo.
Valores
“O leão vive na África e o pinguim vive no Pólo.” v
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Tabela verdade da Conjunção
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p q Resultado
V V V
F F F
V F F
F V F
Conjunção “e”
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Outras formas de Conjunção
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“Paula estudou, mas não passou no concurso.”
(Paula estudou e não passou no concurso)
“Tanto Maria foi viajar quanto José foi estudar.”
(Maria foi viajar e José foi estudar)
Conjunções
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“A Seleção Brasileira venceu, mas não convenceu.”
“Tanto o atacante fez gol quanto brigou em
campo.”
Conjunções
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[Conjunção não é, simplesmente, o uso do “e” para ligar
proposições; bem, como disjunção não se resume, tão
somente, ao uso do “ou”. Tais nomenclaturas (conjunção,
disjunção, etc.) dão nome ao fenômeno, ao “ritual” de
ligação de proposições simples com a intenção de formar
uma composta. O conectivo é um mero instrumento desse
“fenômeno”.] (Trecho do livro “O Raciocínio Lógico Argumentativo – professor
Jucilândio)
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Disjunção (inclusiva)
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Chama-se disjunção a proposição composta por
duas outras quaisquer, ligadas pelo conectivo “ou”.
Exemplos:
“Flamengo será campeão ou irá para a
Libertadores.”
p: Flamengo será campeão.
q: Flamengo irá para a Libertadores.
Disjunção
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O valor lógico de uma disjunção será FALSO
somente se as duas proposições que a compõem
forem falsas!
p: Flamengo será campeão.
q: Flamengo irá para a Libertadores.
Disjunção
F
F F
“Flamengo será campeão ou irá para a Libertadores.”
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p q Resultado
F F F
V V V
V F V
F V V
Tabela Verdade da Disjunção
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(ESAF-2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim, a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel. b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara. c) sou amiga de Nara e amiga de Abel. d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara. e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.
Questões
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Valores lógicos de condicionais,
bicondicionais e disjunções exclusivas
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Chama-se condicional a proposição composta por
duas outras quaisquer, ligadas pelo conectivo
então.
Exemplos:
“Se a vaca pasta, então a grama é verde.”
p: A vaca pasta.
q: A grama é verde.
Condicional
37
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O valor lógico de uma condicional será FALSO
somente se a primeira proposição for verdadeira e
a segunda for falsa!
p: A vaca pasta.
q: A grama é verde.
Busca pelo valor lógico (p → q)
38
“Se a vaca pasta, então a grama é verde.” F V
F
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p q Resultado
V F F
V V V
V F V
F V V
Tabela verdade da Condicional
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(ESAF-AFC-2006) Se X está contido em Y, então X está contido em Z. Se X está contido em P, então X está contido em T. Se X não está contido em Y, então X está contido em P. Ora, X não está contido em T. Logo: a) Z está contido em T e Y está contido em X. b) X está contido em Y e X não está contido em Z. c) X está contido em Z e X não está contido em Y. d) Y está contido em T e X está contido em Z. e)X não está contido em P e X está contido em Y.
Questões
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1) Se X está contido em Y, então X está contido em Z. 2) Se X está contido em P, então X está contido em T. 3) Se X não está contido em Y, então X está contido em P. Ora, X não está contido em T.
Questões
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Chama-se disjunção exclusiva a proposição
composta por duas outras quaisquer, ligadas pelo
conectivo ou...ou.
Exemplos:
“Ou Mônica é professora ou fiscal da receita.”
p: Mônica é professora.
q: Mônica é fiscal da receita.
Disjunção exclusiva
42
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O valor lógico de uma disjunção exclusiva será
FALSO somente se as duas proposições forem,
simultaneamente, verdadeiras ou, simultaneamente,
falsas!
p: Mônica é professora.
q: Mônica é fiscal da receita.
Busca pelo valor lógico (p V q)
43
“Ou Mônica é professora ou fiscal da receita.” F
V
F V F
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p q Resultado
F F F
V V F
V F V
F V V
Tabela verdade da Disjunção Exclusiva
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José nasceu em Pernambuco ou no Paraná.
p: José nasceu em Pernambuco.
q: José nasceu no Paraná.
Disjunção exclusiva subentendida
45
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Chama-se bicondicional a proposição composta por
duas outras quaisquer, ligadas pelo conectivo se, e
somente se.
Exemplos:
“Vou à piscina se, e somente se fizer sol.”
p: Vou à piscina.
q: Fizer Sol.
Bicondicional
46
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O valor lógico de uma bi condicional será
VERDADEIRO somente se as duas proposições
forem, simultaneamente, verdadeiras ou,
simultaneamente, falsas!
p: Vou à piscina.
q: Fizer sol.
Busca pelo valor lógico (p ↔ q)
47
“Vou à piscina se, e somente se fizer sol.” V
V F V
F
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p q Resultado
F F V
V V V
V F F
F V F
Tabela verdade da bicondicional
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(FCC) Paloma fez as seguintes declarações:
“Sou inteligente e não trabalho.”
“Se não tiro férias, então trabalho.”
Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO
concluir que Paloma:
Questões
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a) é inteligente.
b) tira férias.
c) trabalha.
d) não trabalha e tira férias.
e) trabalha ou é inteligente.
Questões
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(ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema; se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa; se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla, logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
Questões
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• Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema;
•
• se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa;
• se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla.
Ora, Raul não briga com Carla.
Questões
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(Cespe-2008-Analista) Com relação à lógica formal, julgue os
itens subsequentes.
86) A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma
proposição simples.
87) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores
lógicos.
88) A negação da proposição “2+5=9” é a proposição “2+5=7”.
Questões
53
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[ESAF] Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo.
Ora, não velejo. Assim:
a) estudo e fumo;
b) não fumo e surfo;
c) não velejo e não fumo;
d) estudo e não fumo;
e) fumo e surfo.
Questões
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Questões
1) Surfo ou estudo.
2) Fumo ou não surfo.
3) Velejo ou não estudo.
Ora, não velejo
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[ESAF] Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é
florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta.
Logo:
a) o jardim é florido e o gato mia;
b) o jardim é florido e o gato não mia;
c) o jardim não é florido e o gato mia;
d) o jardim não é florido e o gato não mia;
e) se o passarinho canta, então o gato não mia.
Questões
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Se o jardim não é florido, então o gato mia.
Se o jardim é florido, então o passarinho não canta.
Ora, o passarinho canta
Questões
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[ESAF] Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul
mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um
leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala.
Logo:
a) Nestor e Júlia disseram a verdade;
b) Nestor e Lauro mentiram;
c) Raul e Lauro mentiram;
d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade;
e) Raul e Júlia mentiram.
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Questões
• Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram.
• Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade.
• Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala.
Ora, não há um leão feroz nesta sala.
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Questões
[ESAF-] Determinado rio passa pelas cidades A, B e C. Se chove
em A, o rio transborda. Se chove em B, o rio transborda e, se
chove em C, o rio não transborda. Se o rio transbordou, pode-se
afirmar que:
a) Choveu em A e choveu em B;
b) Não choveu em C;
c) Choveu em A ou choveu em B;
d) Choveu em C;
e) Choveu em A.
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Questões
• Determinado rio passa pelas cidades A, B e C.
• Se chove em A, o rio transborda.
• Se chove em B, o rio transborda e, se chove em C, o rio não
transborda.
O rio transbordou.
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Questões
(Olimpíada de Lógica) Considere a afirmação Z, abaixo, e leve
em conta que toda ela é falsa:
Z: “X ou Y”
Considere, ainda, que X e Y possuem os seguintes conteúdos:
X: “O rato roeu a roupa do rei de Roma”
Y: “Se o rato rói, então a roupa não é do rei de Rhana”
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Questões
Com base na análise lógica argumentativa, a alternativa correta
é:
a) O rato não rói.
b) O rato roeu a roupa do rei de Roma.
c) O rato rói e a roupa é do rei de Roma.
d) A roupa é do rei de Rhana e o Rato rói.
e) Rato não rói roupa de rei.
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Questões
• “O rato roeu a roupa do rei de Roma”
• “Se o rato rói, então a roupa não é do rei de Rhana”
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Questões
[ESAF-] Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então
Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito.
Ora, Jorge é juiz. Logo:
a) Jorge é juiz e Breno é bonito;
b) Carlos é carioca ou Breno é bonito;
c) Breno é bonito e Ana é artista;
d) Ana não é artista e Carlos é carioca;
e) Ana é artista e Carlos não é carioca.
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Questões
• Ana é artista ou Carlos é carioca.
• Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito.
•
• Se Carlos é carioca, então Breno é bonito.
Ora, Jorge é juiz
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Questões
[ESAF-AFC-CGU] Ana é prima de Bia, ou Carlos é
filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então
Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de
Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é
irmão de Maria. Logo:
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Questões
a) Carlos é filho de Pedro, ou Breno é neto de Beto;
b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia;
c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro;
d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto;
e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.
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Questões
1) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro.
2) Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é
neto de Beto.
3) Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto
de Beto.
Ora, Jorge é irmão de Maria.
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Questões
1) (Olimpíada de Lógica) Considere a afirmação
P disposta abaixo:
P: “Se A, então, B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes
afirmações:
A: “Paixão não mata”
B: “Engorda ou traz felicidade”
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Questões
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo,
conclui-se que:
a) Paixão mata.
b) Paixão engorda.
c) Paixão traz felicidade.
d) Paixão mata ou engorda.
e) Paixão não mata.
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Questões
(Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a
afirmação P:
P: “A ou B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes
afirmações:
A: “Carlos é dentista”
B: “Se Ênio é economista, então Juca é arquiteto”.
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Questões
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Ênio não é economista; Juca não é
arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca não é arquiteto.
c) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Ênio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Ênio é economista; Juca não é arquiteto.
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Número de linhas da
tabela-verdade
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•Por que podem possuir mais de quatro linhas?!
•As combinações de Verdadeiro e Falso na tabela-verdade
•As infinitas possibilidades de combinações de proposições
•Sendo infinitas/inumeráveis, é possível calcular o número
de linhas de qualquer tabela imaginada?
Número de linhas da tabela-verdade
75
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• O número de linhas de uma tabela-verdade qualquer é obtido
através de uma potência, onde a base é a quantidade de valores
lógicos possíveis, e o expoente é o número de proposições
simples.
• Exemplo de proposição composta por três proposições simples:
“Se Maria é irmã de Walesca, então Jorge é irmão de Daniel e Pedro é primo do Mário”
Cálculo do número de linhas
76
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Tabela resultante de
três proposições sim
ples e o número de
linhas.
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Como negar proposições
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Negação da Conjunção
79
~(p Ʌ q) ~p v ~q
Exemplo:
P: “Gorete joga futebol e Mariana prefere tênis”
p: Gorete joga futebol.
q: Mariana prefere tênis.
~(p Ʌ q): “Gorete não joga futebol ou Mariana não
prefere tênis”
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Negação da Disjunção
80
~p Ʌ ~q ~(p v q)
Exemplo:
P: “Manoela é rubro-negra ou 2+2=5”
p: Manoela é rubro-negra.
q: 2+2=5.
~(p V q): “Manoela não é rubro-negra e 2=2≠5”
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Questão de concurso
(Cesgranrio) A negação de “2 é par e 3 é ímpar” é:
2 é par e 3 é ímpar.
2 é par ou 3 é ímpar.
2 é ímpar e 3 é par.
2 é ímpar e 3 é ímpar.
2 é ímpar ou 3 é par.
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Negação da Condicional
82
p Ʌ ~q ~(p → q) Exemplo:
P: “Se faz sol, vou à praia”
p: Faz sol.
q: Vou à praia.
~(p → q): “Faz sol e não vou à praia”
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Negação da Condicional
83
p Ʌ ~q ~(p → q) Exemplo:
P: “Se uma pessoa é gaúcha, então bebe
chimarrão”
p: Uma pessoa é gaúcha.
q: Bebe chimarrão.
~(p→q): “Uma pessoa é gaúcha e não bebe
chimarrão.”
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Questão de concurso
(ESAF) A negação da afirmação condicional “se Ana
viajar, Paulo vai viajar” é:
Ana não está viajando e Paulo vai viajar.
se Ana não viajar, Paulo vai viajar.
Ana está viajando e Paulo não vai viajar.
Ana não está viajando e Paulo não vai viajar.
se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.
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Questão de concurso
(Cesgranrio) Alguém declara: “Se uma pessoa é gaúcha,
então bebe chimarrão”. Para provar que essa declaração é
falsa, basta encontrar uma pessoa que:
Seja gaúcha e não beba chimarrão.
Seja gaúcha e beba chimarrão.
Não seja gaúcha e beba chimarrão.
Não seja gaúcha e não beba chimarrão.
Ou seja gaúcha ou beba chimarrão.
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Negação da Disjunção Exclusiva
86
(~p Ʌ ~q) ou (p Ʌ q) ~(p v q)
Exemplo:
P: “Ou Ana é médica ou advogada”
p: Ana é médica.
q: Ana é advogada.
~(p v q): “Ana não é médica e Ana não é
advogada” ou “Ana é médica e advogada.”
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Questão de concurso
(Olimpíada de Lógica) A negação de “ou vai ou
racha” é:
a) Não vai e não racha
b) Vai e racha
c) Não vai e racha
d) Racha e não vai
e) A e B corretas
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Negação da bi condicional
88
(p Ʌ ~q) V (~p Ʌ q) ~(p ↔ q)
P: “Dois lados de um triângulo são congruentes se, e
somente se os seus ângulos opostos são congruentes.”
p: Dois lados de um triângulo são congruentes.
q: Seus ângulos opostos são congruentes.
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Negação da bi condicional
89
(p Ʌ ~q) V (~p Ʌ q) ~(p ↔ q)
~(p → q): “Dois lados de um triângulo são
congruentes e seus ângulos opostos não são
congruentes” ou “Dois lados de um triângulo não
são congruentes e seus ângulos opostos são
congruentes”.
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Questão de concurso
(Olimpíada de Lógica) “Falar é prata se, e somente
se, calar for ouro”. A negação lógica dessa sentença
é:
a) Falar é prata e calar é ouro
b) Falar é ouro ou calar é prata
c) Falar é prata e calar não é ouro
d) Falar não é prata e calar é ouro
e) C e D corretas
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Equivalência de Proposições
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Dupla negação
92
~ ~p p
“Não é verdade que Colombo
não descobriu a América.”
“Colombo descobriu a América.”
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Propriedade Comutativa
93
“Joana é advogada e Paulo é
engenheiro.”
“Paulo é engenheiro e Joana é
advogada.”
p Ʌ q q Ʌ p
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Propriedade Comutativa
94
“Joana é advogada ou Paulo é
engenheiro.”
“Paulo é engenheiro ou Joana é
advogada.”
p V q q V p
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Propriedade Comutativa
95
“Chove se, e somente se faz sol.”
“Faz sol se, e somente se chove.”
p ↔ q q ↔ p
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As afirmações categóricas e os
quantificadores
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O quantificador Universal
O quantificador Existencial
A negação do quantificador Universal
A negação do quantificador Existencial
97
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O quantificador universal, representado pelo
símbolo equivale às expressões “todo”,
“para todo”, “qualquer que seja” e “para
cada” (ou outras sinônimas).
O quantificador Universal
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O quantificador Universal
99
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O quantificador Existencial
100
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O quantificador Existencial
101
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O quantificador Existencial
102
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Questão de concurso
103
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Questão de concurso
104
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Tautologia
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Porcentagem
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Questão de concurso
(Técnico Previdenciário-INSS-Cesgranrio-2005)
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Questão de concurso
(Técnico Previdenciário-INSS-Cesgranrio-2005)
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Questão/exemplo 1: Qual é o capital cujos 8%
é igual a R$ 2.000,00?
Porcentagem
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Aulão Para o INSS (com Jucilândio Sousa)
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Montagem prática da tabela-verdade
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Uso da regra-de-três na solução de
problemas básicos
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Porcentagem
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Questão: Em uma turma de Engenharia, 25%
são homens. Sabendo que existem 15 mulheres,
quantos alunos há nesta turma?
Porcentagem
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Problema 1: determinada classe de
trabalhadores recebe um aumento de 35% sobre o
salário. Sabendo que o salário antigo era de R$
2.500,00, qual será o novo salário?
1) Resolução por fórmula;
2) Resolução por regra de três.
Problemas
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Problema 2: Ao longo de um conturbado dia útil,
determinado gerente de vendas recebe duas ordens de aumento
dos preços de uma linha de produtos: Às 9 horas, seu superior
imediato ordena a elevação dos preços em 10% e, ao meio dia,
em 15%. Considerando que o nobilíssimo gerente de vendas
tenha esquecido de aumentar os preços quando da primeira
ordem e, por razões técnicas, necessita aplicar ambos os
aumentos de uma só vez, calcule a taxa única, resultado da soma.
Problemas
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Questão de concurso
(Técnico Previdenciário-INSS-FCC-2012)
Em uma turma de 100 alunos, 63 sabem escrever apenas com a mão
direita, 5 não sabem escrever, 25% dos restantes sabem escrever tanto
com a mão direita quanto com a esquerda, e os demais alunos sabem
escrever apenas com a mão esquerda.
Dessa turma, a porcentagem de alunos que sabe escrever com apenas
uma das duas mãos é de
(A) 86%.
(B) 87%.
(C) 88%.
(D) 89%.
(E) 90%.
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