Ra cunarska gra ka Projektovanje -...

Racunarska grafikaProjektovanje

Vesna Marinkovic

Vesna Marinkovic Racunarska grafika Projektovanje 1 / 48

Obnavljanje

Geometrijske transformacije – obnavljanje

1 Kako se moze jednostavno utvrditi da li duz P0P1 sece ravan datujednacinom Ax + By + Cz + D = 0?

2 Kako bi se mogla izvesti matrica refleksije u ravni u odnosu na y osunjenim delovanjem na vektore standardne baze?

3 Iz kog razloga se prelazi na rad sa homogenim koordinatama? Navestibar dve razlicite reprezentacije Dekartove tacke (−3, 2) homogenimkoordinatama.

4 Koja je transformacija inverzna smicanju za faktor a po x osi?

5 Odrediti matricu skaliranja za faktor 5 po obe ose u odnosu na tackusa koordinatama (1,−2). Odrediti matricu njoj inverznetransformacije.


Obnavljanje


6 Dokazati da 2D rotacija za ugao ϕ i skaliranje komutiraju ako jesx = sy ili je ϕ = nπ za celobrojno n, a inace ne komutiraju.

7 Data je jedinicna kocka sa donjim levim temenom u tacki (0, 0, 0) igornjim desnim u tacki (1, 1, 1). Izvesti matricu transformacijepotrebne za rotiranje kocke za ϕ stepeni oko glavne dijagonale usmeru suprotnom od smera kazaljke na casovniku kada se gleda duzdijagonale ka koordinatnom pocetku.

8 Dokazati da je centralna simetrija u ravni oko koordinatnog pocetkaizometrija. Da li je u pitanju direktna ili indirektna izometrija?


Obnavljanje


9 Izvesti matricu smicanja u 3D u smeru koordinatne ravni Oxy .

10 Navesti matricu direktne transformacije ravni (za homogenekoordinate) kojom se figura A data na narednoj slici preslikava ufiguru B.

11 Navesti primer situacije u kojoj je pogodno izvrsiti promenukoordinatnog sistema.


Obnavljanje

Graf scene – obnavljanje

12 Od cega se sastoji graf scene?

13 Da li uz svaku primitivu u grafu scene kao atribut cuvamo i njenudimenziju (npr. duzinu stranice kocke)?

14 Cemu sluze cvorovi grupisanja u grafu scene?

15 Nacrtati graf scene za model kucice koja se sastoji od kocke cija jestranica duzine 2 na cijem vrhu je postavljena pravilna cetvorostranapiramida visine 3. Donji levi ugao kucice nalazi na poziciji (2, 2, 0).


Projektovanje Pojam i vrste projektovanja

Pojam projektovanja

3D objekte je potrebno prikazati na 2D uređajima za prikaz

3D objekti se najcesce prikazuju tako sto se prikazuje njihovaprojekcija na ravan

Projekcija je preslikavanje iz koordinatnog sistema dimenzije n ukoordinatni sistem dimenzije manje od n

Projekcije koje preslikavaju u ravan nazivaju se planarne projekcije

Postoje i projekcije koje nisu planarne



Neplanarne kartografske projekcije

Cilindricna projekcija – projekcija na valjak opisan oko sfereKonusna projekcija – projekcija na kupu opisanu oko sfere



Vrste projekcija

Projekcija iz 3D u 2D je određena centrom projekcije i ravni projekcije

3D planarne projekcije mogu biti:

perspektivne – centar projekcije je na konacnom rastojanju od ravniprojekcijeparalelne – centar projekcije je na beskonacnom rastojanju od ravniprojekcije

ravan projekcijecentar projekcije

A

BA′

B ′

ravan projekcije

centar projekcije

A

BA′

B ′



Podela planarnih projekcija

planarne projekcije

paralelne perspektivne

ortogonalne kose

ortografske aksonometrijske

spreda

odozgo

sa strane

izometrijske

dimetrijske

trimetrijske

cabinet

cavalier

druge

jedna osna tacka nedogleda

dve osne tacke nedogleda

tri osne tacke nedogleda



Paralelna vs. perspektivna projekcija



Vrste projekcija

Za perspektivnu projekciju eksplicitno se zadaje centar projekcije, a zaparalelnu projekciju pravac projekcije

Centar projekcije moze biti predstavljen homogenim koordinatama:(x , y , z ,W )

za perspektivnu projekciju to je konacna tacka (x , y , z , 1)za paralelnu projekciju to je beskonacno daleka tacka (x , y , z , 0)

Perspektivna projekcija ciji je centar beskonacno daleka tacka jeupravo paralelna projekcija


Projektovanje Perspektivna projekcija

Perspektivna projekcija

Vizualni efekat perspektivne projekcije odgovara ljudskom vizualnomsistemu – daje perspektivno skracivanje



Istorijat koriscenja perspektive u umetnosti

Egipatsko slikarstvo se karakterise paralelnom projekcijom

Na srednjovekovnim slikama ne postoji perspektiva




Bruneleski – jedan od prvih autora koji je ovladao perspektivomNaslikao je realisticnu sliku crkve u Firenci, u sredini slike na visiniposmatraca probusio rupu, tako da se posmatranjem kroz nju sazadnje strane vidi crkvaU drugoj ruci je ogledalo upereno ka slici tako da se kroz rupuposredstvom ogledala moze videti slika crkveNaizmenicnim podizanjem i spustanjem ogledala moglo se doci dozakljucka da slika verno odgovara stvarnosti




Sa pojavom renesanse krecu prvi pokusaji oponasanja perspektive naslikama (paralelne prave konvergiraju, ali ne ka jedinstvenoj tackinedogleda)

a) “Scene iz Hristovog zivota”, Ðoto, 1305. b) “Legenda Sv. Franje”, Ðoto, 1297.




Postrenesansni period se karakterise odlicnim poznavanjemperspektive

a) “Atinska skola”, Rafael, 1510. b) “Grand Canal”, Kanaleto, 1720.



Savremeno oponasavanje perspektive



Perspektivna projekcija

Prednosti:

realistican prikazpruza osecaj trodimenzionalnosti objekta

Mane:

ne cuva se oblik objekta, niti odnosi (osim kada objekat sece ravanprojekcije)paralelne prave se ne projektuju uvek u paralelne pravesa povecanjem rastojanja od posmatraca velicina objekta se smanjujejednaka rastojanja na pravoj se ne projektuju nuzno u jednakarastojanja (skracenje nije uniformno)

Primene:

izrada realisticnih slikanacin opisa dizajna finalnih proizvodau umetnosti



Tacka nedogleda

Paralelne prave koje nisu paralelne ravni projekcije seku se priperspektivnom projektovanju u tacki nedogleda

Tacka nedogleda je projekcija beskonacno daleke tacke



Osna tacka nedogleda

Ako je skup pravih paralelan sa koordinatnom osom, onda njenu tackunedogleda zovemo osna tacka nedogleda

Postoje najvise tri osne tacke nedogleda i prema njihovom broju moguse razvrstavati perspektivne projekcije



Tacke nedogleda

Za pravougaone figure cije su normale strana upravne na koordinatneose x , y i z , broj tacaka nedogleda jednak je broju koordinatnih osakoje presecaju ravan projekcije

Ovo ne vazi ukoliko normale strana nisu upravne na koordinatne ose



Dva pristupa perspektivnoj projekciji – razlika

1 Perspektivna slika je rezultat skracenja kao posledica konvergencijenekih paralelnih linija ka tacki nedogleda

2 Perspektivna slika je presek ravni projekcije sa zrakom projekcije kojevode od objekta ka oku



Dva pristupa perspektivnoj projekciji – kombinacija

Ova dva pristupa se mogu i iskombinovati



Tacke nedogleda i tacka pogleda

Odredimo projekciju dve paralelne duzi AB i CD koje su paralelne iravni Oxy na ravan Oxy

Projekcioni zraci od tacke pogleda do duzi AB i CD definisu dve ravnikoje se seku po pravoj koja sadrzi tacku pogleda

Presecna prava ravni je paralelna ravni projekcije Oxy te ne postojitacka nedogleda



Tacke nedogleda i tacka pogleda

Odredimo projekcije dve paralelne duzi AB i CD koje nisu paralelneravni Oxy (tacke A i C su iza ravni projekcije) na ravan Oxy

Duzi A′B i C ′D nisu paralelne

Projekcioni zraci od tacke pogleda do duzi A′B i C ′D definisu dveravni koje se seku po pravoj koja sadrzi tacku pogleda

Presecna prava ravni sece ravan projekcije xy i tacka preseka je tackanedogleda


Projektovanje Paralelna projekcija

Paralelna projekcija



Paralelna projekcija

Prednosti:

određivanje oblika i dimenzija je jednostavnije nego kod perspektivneprojekcijeparalelne prave se preslikavaju u paralelne prave

Mane:

daje manje realisticnu slikukao i u perspektivnoj projekciji uglovi se cuvaju samo na ravnima kojesu paralelne sa ravni projekcije

Primene:

u inzenjerstvu i arhitekturi, za potrebe merenja



Podela paralelnih projekcija

Paralelna projekcija je određena:

uglom koji pravac projekcije zahvata sa normalom ravni projekcijepolozajem ravni projekcije u odnosu na glavne ose objekta

Paralelne projekcije se dele prema odnosu pravca projekcije i normaleravni projekcije:

kod ortogonalne projekcije ovi pravci su jednakiako to nije slucaj, onda je u pitanju kosa projekcija



Podela ortogonalnih projekcija

Ortogonalne projekcije se dele u zavisnosti od odnosa ravni projekcijei koordinatnih osa:

ortografske – ravan projekcije je upravna na neku od koordinatnih osaaksonometrijske – ravan projekcije nije upravna ni na jednu koordinatnuosu



Ortografske projekcije

Tri tipa ortografskih projekcija:pogled spredapogled odozgopogled sa strane

Ravan projekcije je normalna na jednu od koordinatnih osa



Ortografske projekcije

Primene:

za izradu inzenjerskih i arhitektonskih crtezaza prikaz nekretninaza prikaz dizajna delova koji ce se proizvoditi na udaljenoj lokaciji

Prednosti:

dobijaju se precizne mereobjekti su istih dimenzija u svim pogledima

Mane:

nerealisticna slikanema osecaja trodimenzionalnosti objektapotrebno je istovremeno koristiti nekoliko razlicitih pogleda



Aksonometrijska projekcija

Ortogonalna projekcija kod koje ravan projekcije nije upravna ni najednu koordinatnu osu

Primena:

u dizajnu, za prikaz proizvoda iz razlicitih uglovadugo su koriscene u video igrama (i danas u strategijama)



Aksonometrijska projekcija

Prednosti:

za razliku od perspektivnog projektovanja, skracivanje je uniformnocuva se paralelnost pravih, ali ne i uglovi

Mane:

nerealisticna slika

Na osnovu vrednosti uglova koje normala ravni projekcije zahvata sakoordinatnim osama deli se na:

izometrijsku projekciju: normala ravni projekcije zahvata jednaki ugaosa svim trima koordinatnim osamadimetrijsku projekciju: ugao između normale ravni projekcije i neke dvekoordinatne ose je istitrimetrijsku projekciju: uglovi između normale ravni projekcije ikoordinatnih osa su međusobno razliciti



Podela aksonometrijskih projekcija



Izometrijsko projektovanje

Aksonometrijsko projektovanje u kojem normala ravni projekcijezahvata podudarne uglove sa sve tri koordinatne ose

Za normalu ravni projekcije (n1, n2, n3) vazi: |n1| = |n2| = |n3|Svim jednakim duzinama odgovaraju jednake duzine projekcija



Izometrijsko projektovanje

Primena:

ilustracije po katalozimapogodno za prikaz predloga proizvoda investitoruza objasnjenje mehanickih sistema: npr. u uputstvima za sklapanjeLego kocki

Prednosti:

nisu potrebni visestruki poglediilustruje 3D prirodu objektasa projekcije se mogu uzeti mere objekta

Mane:

nedostatak skracenja daje “iskrivljen” prikaz



Kosa projekcija

Kosa projekcija koristi ravan projekcije koja je upravna na neku odkoordinatnih osa, a pravac projekcije nije jednak normali ravniprojekcije

Akcenat se stavlja na jednu (prednju) stranu objekta, dok se kodizometrijske projekcije akcenat stavlja na ivice objekta



Kosa projekcija

Primene:

za tehnicke crteze

Prednosti:

moze da predstavi tacan oblik jedne strane objekta (mogu se izvestiprecizna merenja)nedostatak perspektivnog skracenja olaksava poređenje velicinadonekle daje utisak 3D izgleda objekta

Mane:

objekti mogu da izgledaju iskrivljeno ukoliko se pozicija ravni projekcijene izabere pazljivo (npr. krugovi postaju elipse)nedostatak skracenja daje nerealistican izgled



Postavljanje ravni projekcije kod kose projekcije

Neka od pravila za postavljanje ravni projekcije kod kose projekcije:

ravan projekcije treba da bude paralelna strani objekta koja je najmanjepravilna, odnosno strani koja sadrzi najveci broj zakrivljenih povrsinaravan projekcije treba da bude paralelna najduzoj glavnoj strani objektaravan projekcije treba da bude paralelna strani od interesa



Vrste kosih projekcija

Najcesce korisceni tipovi kosih projekcija su cavalier i cabinet

cavalier projektovanje koristi pravac projekcije koji zahvata ugao od45◦ sa ravni projekcije

cabinet projektovanje koristi pravac projekcije koji zahvata ugaoarctg(2) ≈ 63.4◦ sa ravni projekcije



Cavalier projektovanje

Projekcije duzi normalnih na ravan projekcije imaju iste duzine kao isame duzi (tj. za njih nema skracivanja)

cavalier projekcije se međusobno razlikuju po uglu koji zahvata pravacprojekcije sa koordinatnim osama – ovim uglom je određen i ugaoizmeđu projekcija pravih koje su paralelne sa ravni projekcije i koje sunormalne na nju (obicno 45◦ ili 30◦)



Cabinet projektovanje

Projekcije duzi normalnih na ravan projekcije imaju dva puta manjuduzinu u odnosu na same duzi (nesto realisticniji prikaz)

Cabinet projekcije se takođe međusobno razlikuju po uglu koji zahvatapravac projekcije sa koordinatnim osama – ovim uglom je određen iugao između projekcija pravih koje su paralelne sa ravni projekcije ikoje su normalne na nju (obicno 45◦ ili 30◦)



Podela planarnih projekcija

planarne projekcije

paralelne perspektivne

ortogonalne kose

ortografske aksonometrijske

spreda

odozgo

sa strane

izometrijske

dimetrijske

trimetrijske

cabinet

cavalier

druge

jedna osna tacka nedogleda

dve osne tacke nedogleda

tri osne tacke nedogleda


Projektovanje Matrice projektovanja

Primer izracunavanja ortografskih projekcija tacaka

Zadatak: odrediti matricu ortografskog projektovanja na ravan z = 0.

Za koordinate projekcije Pp(xp, yp, zp) tacke P(x , y , z) vazi:

xp = x , yp = y , zp = 0

XYZW

= Morth · P =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1

·

xyz1

=

xy01



Primer izracunavanja perspektivnih projekcija tacaka

Zadatak: odrediti matricu perspektivnog projektovanja za koju vazi:centar projektovanja je u koordinatnom pocetkuravan projekcije je ravan z = d

y

x

z

P (x , y , z)

Pp (xp, yp, d)

d

Koordinate projekcije Pp(xp, yp, zp) tacke P(x , y , z) racunamo naosnovu slicnosti trouglova:

xpd

=x

z

ypd

=y

z



Primer izracunavanja projekcija tacaka - resenje

Dakle za koordinate tacke projekcije vazi:

xp =x

z/dyp =

y

z/d

XYZW

= Mpersp · P =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1/d 0

·

xyz1

=

xyzzd

(X

W,Y

W,Z

W

)= (xp, yp, zp) =

(x

z/d,

y

z/d, d

)U 3D dekartovskom sistemu

(x

z/d ,y

z/d , d)

je projekcija tacke (x , y , z)



Materijal

Veliki broj ilustracija preuzet je iz slajdova Univerziteta Brown i sasajta: http://glasnost.itcarlow.ie/~powerk/GeneralGraphicsNotes/

projection/perspective_projection.html


http://glasnost.itcarlow.ie/~powerk/GeneralGraphicsNotes/projection/perspective_projection.html

http://glasnost.itcarlow.ie/~powerk/GeneralGraphicsNotes/projection/perspective_projection.html

Ra cunarska gra ka Projektovanje -...

Documents

Transcript of Ra cunarska gra ka Projektovanje -...