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６．ベクトル解析２ 本章では主にベクトルの積分について述べる。本講義では、スカラー場およびベクトル場におい

てベクトル関数の軌跡が描く曲線 Cに沿って積分をする線積分のほか、2重積分、面積分、体積分

について解説する。このほかのベクトルの積分として、被積分関数がベクトル関数である場合や、

積分変数がベクトル関数である場合の積分についても概説する。

６－１．線積分と 2 重積分

a) スカラー場の線積分

空間における曲線 に沿った積分を線積分という。 が 上の距離 （弧の長さ）により

（６．１）

で示されるとする（ 上の の点を A、 の点を B）。

, , は の各点で定義される与えられた関数であって、 の連続な関数とするとき、

, , , , （６．２）

を に沿った点 Aから Bまでの関数 の線積分という。

Fig.6‐1向きづけられた曲線 Fig.6‐2二次元領域 平面 における線積分

が任意のパラメータ により表わされている場合には、

, , , , （６．３）

ここで、

に沿った点 Aから Bまでに曲線が , , ⋯ , の順とすると、関数 の線積分は次式で表される。

, , , , , , ⋯ , , （６．４）

と逆向きの点 Bから Aまで経路を とすると、関数 の線積分は次の関係が成り立つ。

, , , , （６．５）

A

B

C

A B

C

x

y

f (x, y) f

A

B

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【演習問題】

6‐1 cos sin 0 2⁄ で表される円弧の上で、 , 2 を積分せよ。

6‐2 Cが 平面上の直線 2 を A: ‐1,‐2,0 から B: 1,2,0 までに区切った線分であると

き、 を求めよ。

6‐3 曲線 cos sin 3 の A : 1, 0, 0 から B : 1, 0, 6 までの線分における

の積分を求めよ。

6‐4 変化する力 がある粒子に作用している場合を考える。粒子が空間に与えられた軌道 Cに沿

って動かされたとすると、この変位で がした仕事 は、線積分

∙

で与えられる。今、 4 8 2 で示されるベクトル場において、粒子が以下の軌

道を通過する場合の仕事量を求めよ。

a 直線 2 , 2 に沿って、 0,0,0 から 3,6,6 まで

b 放物線 2 3⁄ , 0に沿って、 0,0,0 から 3,6,0 まで

b) 2 重積分

空間における 2 次元領域（平面） における積分を２重積分

という。閉領域 が

,

の形の不等式で記述できるとするとき、次式を閉領域 におけ

る , の２重積分という。

Fig.6‐32重積分の計算

Fig.6‐4

, , （６．６）

右図（Fig.6‐4）において、領域 の面積 は、

（６．７）

曲面 , 0 の下方で 平面における閉領域 Rの上

方の体積 Vは、

, （６．８）

となる。

c) ２重積分の変数変換

, , , なる新しい変数 , を導入した場合の２重積分は、

, , , , | | （６．９）

x

y

R

h(x)

g(x)

a b

x

y

f (x, y)

z

R

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ここで、Jはヤコブ行列式（ヤコビアン）と呼ばれ、次式で与えられる。

,,

≡ ∙ ∙ （６．１０）

変数変換の頻繁な例としては、デカルト座標系から極座標系への変換

cos , sin とするとき、

,,

cos sinsin cos

となるので、

, cos , sin （６．１１）

【演習問題】

6‐5 極座標を用いて、 : 9, 0の領域における関数 2 の積分を求めよ。

6‐6 極座標を用いて、 :0 √1 , 0 1の領域における関数 の積分を求め

よ。

d) 平面におけるグリーンの定理（２重積分－線積分間の変換）

平面上に単純閉曲線（自分自身が交わることのない閉曲線） で囲まれた領域 Rの２つのスカ

ラー場 , と , に対して、次式が成り立つ（ただし、 の向きは反時計まわり）。

（６．１２）

【演習問題】

6‐7 グリーンの定理を用いて、積分路 上の反時計回りの積分 を求めよ。

a 3 , 4 , : 0, 0 , 1, 0 , 0, 2 を頂点とする３角形の境界

b 2 , 3 , : 1

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６－２．面積分

a) 面要素によるスカラー場の面積分

空間スカラー場 , , の曲面 Sにおける微小面積

（面要素）による積分を面積分とよぶ。

Fig.6‐5

Fig.6‐6

, , （６．１３）

空間スカラー場 , , に２つのパラメータ（媒介変数）

, を用いて曲面 Sが、

, , , , （６．１４）

, は領域 内を動く点

で与えられているものとする。

スカラー関数 , , の曲面 における微小面積要素

（面要素） ∆Aは、右図（Fig.6‐6）のように２つの微小

ベクトル ⁄ ∆ , ⁄ ∆ の外積の大きさに等

しい。∆ → 0, ∆ → 0とすると、

（６．１５）

よって、スカラー関数 , , の曲面 における面要素 による面積分は、次のように定義される。

, , , , , , , （６．１６）

【演習問題】

6‐8 下記の空間スカラー場 の曲面 S をパラメータ表示（媒介変数表示）して面積分

∬ , , を求めよ。

2, S: 1, 0 1

b) 面積分－２重積分間の変換

空間スカラー場 , , の曲面 Sが , （ , は

領域 を動く点）で与えられているとき、スカラー関数

, , の曲面 における面積要素 による面積分は、

平面における平面領域 の２重積分に変換できる。

Fig.6‐7

, , , , ,

, , ,

（６．１７）

【演習問題】

6‐9 空間スカラー場 であり、半球面Sが で与え

られているとき、面積分∬ , , について極座標変換を用いて求めよ。

x

y

f (x,y,z) z

S r

uu

r

vv

v 一定

u 一定

A r

u r

vuv

(u, v)

(u+Δu, v+Δv) (u, v+Δv)

(u+Δu, v)

ΔA

ru

u

rv

v

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６－３．ガウスの発散定理（体積分－面積分間の変換）

閉曲面 で囲まれた領域 がベクトル場 であるときの体積分と

面積分について、

Fig.6‐8閉領域 と閉曲面 の

単位法線ベクトル

∙ （６．１８）

が成り立つ。ここで、 は の体積、 は の表面積とし、 は曲

面 上の面積要素ベクトルである。

ここで、 が曲面 の単位法線ベクトルであるならば、 を曲面

の に関して外向きの法線ベクトルにおける の成分とすると、

∙

であるから、（６．１８）式は以下のように表せる。

（６．１９）

一般に、ガウスの発散定理の右辺よりも左辺の計算のほうが楽なので、右辺の計算の代わりに

左辺を計算するような問題が多い。

【例題６−１】空間ベクトル場 2 , 2 , 0 に２つの曲面 S : 4 0 と

S : 4 0 でできる閉曲面 Sが与えられている。

このとき、∬ を求めよ。

（解答）

閉曲面 Sは右図のとおりであり、Sに囲まれた領域を Rとする。

ガウスの発散定理より、∬ の代わりに ∭ を

計算する。 4 より、次式を計算すればよい。

Fig.6‐9

4 ①

, , の積分範囲は、曲面 S1と S2の方程式より、

0 4 , √4 √4 , 2 2 よって、式①は以下のように書ける。

4√

√

2 4√

√②

ここで、 cos , sin とおいて変数変換（極座標変換）すると、 平面では、

0 2,0 2 であり、ヤコブ行列式 、4 4 なので、式②は、

2 4

x

y

z 閉曲面S

領域R

0

n

n

n

x

y

z

2 2

2

-2

-2

S1: x2 +y2 +z2 =4 (z ≥ 0)

S2: x2 +y2 ≤ 4 (z = 0)

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【演習問題】

6‐10 空間ベクトル場 , , において、３つの座標平面と平面2x 2y z 2 0とで囲ま

れる領域を とし、 を囲む閉曲面を とする。このとき、∬ を求めよ。

ガウスの発散定理を直感的に理解をするために、以下のような物理現象を考える。

ベクトル場 を水の流れとする。ベクトルの発散（ ）は，湧き出しや吸い込みを意味するので、

定理の左辺の意味は『領域 内全体で、新たに増えたり減ったりする流れの総量』を表わす。今、

水の圧縮性を考えていない（非圧縮性流体）ので、もし、湧き出しや吸い込みが全くなければ、領

域 に流入する水量と流出する水量は同じになるはずである（ 0）。もし湧き出しがあれば、

流出する水量の方が多くなり（ 0）、吸い込みがあれば流入する水量が多くなる（ 0）。

（領域 内にある水道の蛇口か何かによる湧き出し口をイメージしてみよう。）領域 全体での、水

量の増減がガウスの発散定理の左辺を意味する。

一方、右辺の中の ∙ は『この領域 の曲面 における、 の法線方向成分 』であるので、定

理の右辺は『領域の曲面 全域に渡る、曲面 を通過する流れの総量』を表わす。従って、ガウスの

発散定理の意味を現象論として記述すると以下のようになる。

（領域全体での増減）= (領域表面で出たり入ったりした量の差)

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６－４．ストークスの定理（面積分－線積分間の変換）

a) ベクトル場の線積分（接線線積分）

６−１節ではスカラー場の線積分について説明した。ここでは空間

ベクトル場の線積分について述べる。（さまざまな線積分が定義でき

るが、ここでは最も良く使われる接線線積分について定義を示す。）

空間ベクトル場： , , , ,

に、右図のような

曲線 ： , ,

が与えられているとき、 と の内積の曲線 に沿った接線線積分

を次のように定義する。 Fig.6‐10接線線積分

∙

（６．２０）

上式は、

∙ ∙ ∙ ′ （６．２１）

とも表され、 ′ は接線ベクトル , , であることから、接線線積分と呼ばれる。

ベクトル場の接線線積分においても、スカラー場の積分と同様に次の式が成り立つ。

∙ ∙ : → , : → （６．２２）

∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ （６．２３）

【例題６−２】空間ベクトル場 , , 2 , , 2 、曲線 ： , , 1 0 1 の

とき、ベクトル場の（接線）線積分 ∙ を求めよ。

（解答）

曲線 ： , , 1 0 1 より、求める接線線積分は、

∙ 2 2

曲線 上のベクトル関数は、

, , 2 , , 2 2 , , 2 1

曲線 上に沿った について

1 , 2 , 1

であるから、

∙ Fig.6‐11

x

y

z

p'(t)

p(t)=[x(t), y(t), z(t)]

P

0 A

B 曲線C

p (t)

(t=b)

(t=a)

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2 ∙ 1 ∙ 2 2 1 ∙ 123

2 ∙12

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b) ストークスの定理

ベクトル場 , , において閉曲線 で囲まれた曲面 について、面積分と線積分の関係を表

すストークス定理は、以下の公式で与えられる。

∙ ∙ （６．２４）

ここで、曲面 の単位法線ベクトル 方向の の成分を とすると、

∙

また、

′

より、閉曲線 の接線ベクトル ′ 方向の の成分を とすると

Fig.6‐12ストークスの定理 ∙ ′ （６．２５）

左辺はベクトル場 の回転と面の法線との内積の面積分であり、

右辺はベクトル と接線の内積の線積分であることを意味する。

ストークスの定理の場合、ガウスの発散定理と違って、左辺または右辺のどちらか一方が計算し

やすいというわけではない。

ストークスの定理を 平面で考えれば（ベクトル場を , , 0 と考える）、平面におけるグ

リーンの定理が導かれるので、ストークスの定理はグリーンの定理の曲面版と言える。

【例題６−３】 が原点から見て反時計回りに向きつけられた円 4, 3であって、右

手系のデカルト座標系に関して、 であるとき、 を求めよ。

（解答）

で囲まれた平面 4, 3を Sとする。平面 の法線ベクトル kなので、

∙ 1

であり、 3なので、 28

したがって、ストークスの定理を用いると、

28 28 4

（∵ ∬ は平面 の面積なので、4）

【演習問題】

6‐11 空間ベクトル場 , , 0 において、閉曲線 ： 1 0 と で囲まれる平面

（ 平面上の円板） がある。このとき、ストークスの定理の（６．２４）式における

左辺および右辺をそれぞれ計算し、一致することを確かめよ。