R e il mondo aleatorio - Parte II -

Statistiche in R

Paola Lecca, CIBIO - UNITN Corso di Matematica e Stastistica 2

Testo di riferimento

S. M. Iacus, G. Masarotto, Laboratorio di statistica con R, McGraw-Hill.

Verifica di ipotesi sulle proporzioni

Esempio: supponiamo che un sedicente indovino affermi di leggere nel pensiero delle persone. Lo volgiamo mettere alla prova con il seguente esperimento. Prendiamo un mazzo di 40 carte, 20 rosse 20 nere e ci sistemiamo in una stanza ben separata da quella dove si trova l’indovino. Estraiamo in successione in successione una carta, guardiamo di colore è, è, prima di rimetterla nel mazzo, chiediamo all’indovino di indovinare il colore della carta estratta. Ci chiediamo poi se alla luce di questi esperimenti possiamo affermare che l’indivino sia realmente dotato di poteri paranormali.

Verifica di ipotesi sulle proporzioni

Se l’indovino fosse realmente dotato di questi potere, la propabilità che indivini il colore della carta sarebbe uguale a 1. Appelliamoci a un principio di “buona fede” per cui ammettiamo ch eanche nelle migliori condizioni, a causa di possibili disturbi/interferenze con i suoi presunti poteri, l’indovino non abbia probabilità uguale a 1 di indovinare il colore della carta estratta. Poniamoci allora la seguente domanda:

l’indovino indovina per puro caso? Impostiamo dunque un test statistico come segue. L’ipotesi nulla è che l’indovino indovini il colore della carta a caso, quindi che la probabilità di indovinare sia 50%, così come quella di sbagliare il colore della carta estratta.

Verifica delle ipotesi sulle proporzioni

Supponimao che vengano eseguite 50 estrazioni e che l’indovino abbia individuato 32 estrazioni su 50. Siamo quindi difronte a uno schema binomiale con n=50 e p uguale alla probabilità che l’indovino indovini una carta. In R il test si esegue così:

binom.test(32, 50, alternative=“greater”)

Inputs della funzione binom.test

binom.test {stats} R Documentation

x number of successes, or a vector of length 2 giving the numbers of successes and failures, respectively.

n number of trials; ignored if x has length 2.

p hypothesized probability of success.

alternative indicates the alternative hypothesis and must be one of "two.sided", "greater" or "less". You can specify just the initial letter.

conf.level confidence level for the returned confidence interval.

Exact Binomial Test Description Performs an exact test of a simple null hypothesis about the probability of success in a Bernoulli experiment. Usage binom.test(x, n, p = 0.5, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), conf.level = 0.95) Arguments

Outputs della funzione binom.text

statistic the number of successes.

parameter the number of trials.

p.value the p-value of the test.

conf.int a confidence interval for the probability of success.

estimate the estimated probability of success.

null.value the probability of success under the null, p.

alternative a character string describing the alternative hypothesis.

method the character string "Exact binomial test".

data.name a character string giving the names of the data.

Value A list with class "htest" containing the following components:

binom.test in R: esempi

> binom.test(32, 50, alternative="greater") Exact binomial test data: 32 and 50 number of successes = 32, number of trials = 50, p-value = 0.03245 alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5 95 percent confidence interval: 0.5142308 1.0000000 sample estimates: probability of success 0.64

Nota: Il livello di confideva è posto uguale al 95%

Circa uguale al valore che otteniamo con Z <- (32/50, -0.5/sqrt(0.5*0.5/50) pnorm(Z, lower.tail=FALSE)s

E con prop.test?

> prop.test(32, 50, alternative="greater") 1-sample proportions test with continuity correction data: 32 out of 50, null probability 0.5 X-squared = 3.38, df = 1, p-value = 0.033 alternative hypothesis: true p is greater than 0.5 95 percent confidence interval: 0.5137352 1.0000000 sample estimates: p 0.64

binom.test in R: esempi

> binom.test(32, 50, alternative="greater", conf.level=0.01) Exact binomial test data: 32 and 50 number of successes = 32, number of trials = 50, p-value = 0.03245 alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5 1 percent confidence interval: 0.7742634 1.0000000 sample estimates: probability of success 0.64

In questo caso il test non ha ragione di rifiutare l’ipotesi nulla. Spiegate perchè.

L’enigma dell’indovino

Come possiamo risolvere l’enigma sulle presunte capacità paranormali dell’indovino? Provate a rispondere a questa domanda giustificando la vostra risposta: avere un campione maggiore di estrazioni (prove ripetute) potrebbefornirci una statistica più robusta sulla base della quale poter ragionare?

Verifica di ipotesi sulla varianza(1/5)

Se abbiamo un campione di n dati di tipo gaussiano con media e varianza allora

CASO 1. Consideriamo le seguenti ipotesi Se pensiamo che il valore di sia maggiore di un certo valore allora possiamo costruire un test che rifiuta H0 se

Verifica di ipotesi sulla varianza (2/5)

Il valore c sidetermina in relazione all’errore del I tipo che è definito come segue

ovvero il che implica dove è il quantile di ordine della distribuzione Chi-quadro con n - 1 gradi di libertà.

Verifica di ipotesi sulla varianza (3/5)

Quindi il test di livello a è del tipo: Rifiuto in favore di se

cioè quando

(F1)

Verifica di ipotesi sulla varianza (4/5)

CASO 2. Consideriamo le seguenti ipotesi L’errore di I tipo si calcola come segue Allora il test è del tipo: rifiutiamo H0 in favore di H1 se

(F2)

Verifica di ipotesi sulla varianza (5/5)

Eserizio: scrivere un codice in R per la verifica di ipotesi sulla varianza. Suggerimenti: a) si implementino le formule (F1) ed (F2) viste nelle slide precedenti b) utilizzare la funzione qchisq (eseguite help(qchisq) per accedere all’aiuto).

RISOLVETE L’ESERCIZIO SCRIVENDO UN CODICE IN R. INVIATE ENTRO IL 21 MAGGIO 2013 IL CODICE ALL’INSEGNANTE PER E-MAIL ALLEGATO A UN BREVE TESTO DI SPIEGAZIONE.

Verifica di ipotesi su due campioni

Verifica di ipotesi su due proporzioni

Farmaco Infartuati Non infartuati

Totali

Placebo 239 10795 11034

Aspirina 139 10686 11037

Si vuole accertare se l’aspirina ha effetti positivi sulla prevenzione dell’infarto. In R possiamo usare la funzione prop.test, come segue. # Per un test a due code prop.test( c(239, 139), c(11034, 11037) ) # Per un test a una coda prop.test( c(239, 139), c(11034, 11037) , alternative=“greater”)

Confronto tra le medie di gruppi (1/3)

Si construisce un test t per verificare l’uguaglianza delle medie come segue dove n1 ed n2 sono le dimensioni dei due campioni ed con ed uguali alle varianze campionarie dei due campioni. Questa statistica test t si distribuisce come una t di Studnet con n1 + n2 -2 gradi di libertà.

(F3)

Confronto tra le medie di gruppi (2/3)

Confronto tra le medie di gruppi (3/3)

Esercizio da svolgere in R.

Su due campioni di autovetture guidate da un gruppo di uomini e da un gruppo di donne, sono state calcolate le seguenti spese annuali: - per i gruppo di n1=5 uomini si è avuto 540 Euro in media - per il gruppo di n2=7 donne si è avuto 300 Euro in media.

Supponiamo a = 5% e Suggerimento: implementate la formula (F3). Vi sarà poi utile usare la funzione qt (che significa quantile) come segue

qt(0.95, df=10)

Confronto tra le medie di gruppi

Esercizio da svolgere in R.

Su due campioni di autovetture guidate da un gruppo di uomini e da un gruppo di donne, sono state calcolate le seguenti spese annuali: - per i gruppo di n1=5 uomini si è avuto 540 Euro in media - per il gruppo di n2=7 donne si è avuto 300 Euro in media.

Le varianze campionarie sono Euro ripettivamente. Supponiamo a = 5%. Suggerimento: implementate la formula (F3). Vi sarà poi utile usare la funzione qt (che significa quantile) come segue

qt(0.95, df=10)

SI tratta di un test t. Quindi calcoliamo le quantità in gioco.

Quindi:

Se vogliamo testare l’ipotesi alternativa H1: m1 > m2, dobbiamo calcolare il valore di soglia Se a = 5%, qt(0.95, df=19) in R dà 1.81. Siccome t < 1.81 non rifiutimao l’ipotesi nulla in favore del fatto che i guidatori uominispendono di più in media ripestto alla donne per la manutenzione delle automobili.

Per utilizzare l a funzione t.test di R in questo caso dobbiamo disporre di due insiemi di dati su cui effettuare il test. Per semplicità simuliamo due campioni casuali estratti dalla normale ipotizzando come media e varianza quelle del nostro esempio, come segue

> m <- rnorm(5, mean=540, sd=299) > f <- rnomr(7, mean=300, sd=238) > t.test(m, f, alternative="greater") Welch Two Sample t-test data: m and f t = 5.7483, df = 9.941, p-value = 9.493e-05 alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0 95 percent confidence interval: 437.463 Inf sample estimates: mean of x mean of y 801.2664 162.1743