R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica...
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Gennaio 2009 1
Votazioni ed elezioni
R. De Leone
Dipartimento di Matematica e Informatica
Universita degli Studi di Camerino
Gennaio 2010
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Indice
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 2
Definizione del problema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delle eliminazioni successive
Teorema dell’impossibilit a di Arrow
Definizione di distretti elettorali
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Definizione del problema
Definizione delproblema
I dati del problema
Esempio
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 3
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I dati del problema
Definizione delproblema
I dati del problema
Esempio
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 4
n votanti ed m alternative o candidati.
Per un generico votante X
a ≻ b
se e solo se il votante X preferisce l’alternativa a all’alternativa b.
Ciascun votante esprime un ordinamento delle varie alternative (o
candidati).
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Esempio
Definizione delproblema
I dati del problema
Esempio
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 5
3 alternative, 20 votanti
8 3 3 5 1
a 1 2 1 3 3
b 2 1 3 1 2
c 3 3 2 2 1
8 votanti a ≻ b ≻ c
3 votanti b ≻ a ≻ c
e cosı via
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Sistema uninominale
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 6
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“Dittatura” della maggioranza
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 7
{a, b, c, d, . . . , z} alternative, 100 votanti
51 votanti: a ≻ b ≻ c ≻ d . . . ≻ z
49 votanti: z ≻ b ≻ c ≻ d . . . ≻ a
In un sistema uninominale a vince ricevendo 51 voti su 100 contro i 49
ottenuti da z.
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“Dittatura” della maggioranza
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 7
{a, b, c, d, . . . , z} alternative, 100 votanti
51 votanti: a ≻ b ≻ c ≻ d . . . ≻ z
49 votanti: z ≻ b ≻ c ≻ d . . . ≻ a
In un sistema uninominale a vince ricevendo 51 voti su 100 contro i 49
ottenuti da z.
Il candidato b appare, invece, un buon compromesso anche se non e la
prima scelta di nessuno dei votanti.
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“Rispetto” della maggioranza
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 8
3 alternative, 21 votanti
10 6 5
a 1 3 3
b 2 1 2
c 3 2 1
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“Rispetto” della maggioranza
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 8
3 alternative, 21 votanti
10 6 5
a 1 3 3
b 2 1 2
c 3 2 1
In un sistema uninominale a vince ricevendo 10 voti su 21.
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“Rispetto” della maggioranza
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 8
3 alternative, 21 votanti
10 6 5
a 1 3 3
b 2 1 2
c 3 2 1
In un sistema uninominale a vince ricevendo 10 voti su 21.
La maggioranza dei votanti (11 su 21) preferiscono un altro candidato (b o
c) al vincitore a.
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“Rispetto” della maggioranza
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 8
3 alternative, 21 votanti
10 6 5
a 1 3 3
b 2 1 2
c 3 2 1
In un sistema uninominale a doppio turno, vanno al ballottaggio a e b con
10 e 6 voti rispettivamente.
Al secondo turno b riceve anche i voti prima per c e vince con 11 voti
contro i 10 di a.
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“Rispetto” della maggioranza e “voto utile”
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 9
4 alternative, 21 votanti
10 6 5
a 2 2 1
b 1 4 3
c 3 1 4
d 4 3 2
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“Rispetto” della maggioranza e “voto utile”
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 9
4 alternative, 21 votanti
10 6 5
a 2 2 1
b 1 4 3
c 3 1 4
d 4 3 2
In un sistema uninominale ad un turno viene eletto b. In un sistema
uninominale a doppio turno vanno al ballottaggio b e c e vince b con 15
voti su 21.
La maggioranza dei votanti (11 su 21) preferiscono pero sia a che d a b.
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“Rispetto” della maggioranza e “voto utile”
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 9
4 alternative, 21 votanti
10 6 5
a 2 2 1
b 1 4 3
c 3 1 4
d 4 3 2
![Page 16: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/16.jpg)
“Rispetto” della maggioranza e “voto utile”
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 9
4 alternative, 21 votanti
10 6 5
a 2 1 1
b 1 4 3
c 3 2 4
d 4 3 2
I 6 votanti che avevano espresso l’ordine di preferenza
c ≻ a ≻ d ≻ b
decidono di “rendere utile” il loro voto cambiando in
a ≻ c ≻ d ≻ b
Il candidato a vince al primo turno con la maggioranza assoluta di 11 voti
su 21.
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“Doppio turno” e “tutti al mare!”
Definizione delproblema
Sistema uninominale
“Dittatura” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza
“Rispetto” dellamaggioranza e “votoutile”
“Doppio turno” e “tuttial mare!”
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 10
3 alternative, 11 votanti
4 3 3
a 1 3 2
b 2 2 3
c 3 1 1
Vanno al ballottaggio a e c ed al secondo turno vince c con 7 voti su 11.
3 alternative, 9 votanti
2 3 3
a 1 3 2
b 2 2 3
c 3 1 1
Vanno ora ballottaggio b e c ed al secondo turno vince b con 5 voti su 9.
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Condorcet
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 11
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Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marchese di Condorcet
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 12
(Ribemont, 17 settembre 1743 – Bourg-la-Reine, 29 marzo 1794)
Filosofo, uomo politico e matematico francese, fece parte del gruppo degli
“enciclopedisti”, come D’Alembert e Voltaire.
Partecipo attivamente alla Rivoluzione Francese nel partito dei girondini.
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Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marchese di Condorcet
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 12
(Ribemont, 17 settembre 1743 – Bourg-la-Reine, 29 marzo 1794)
Filosofo, uomo politico e matematico francese, fece parte del gruppo degli
“enciclopedisti”, come D’Alembert e Voltaire.
Partecipo attivamente alla Rivoluzione Francese nel partito dei girondini.
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Il criterio di Condorcet
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 13
Il candidato che, confrontandosi singolarmente con ciascuno degli
altri, li vince tutti e il vincitore.
Criterio di Condorcet
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Il criterio di Condorcet
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 13
Il candidato che, confrontandosi singolarmente con ciascuno degli
altri, li vince tutti e il vincitore.
Criterio di Condorcet
In base all’ordine di preferenza si puo stabilire il candidato preferito e
quindi il vincitore per ogni coppia di candidati.
Ripetendo l’operazione per tutti i votanti e aggregando gli esiti si ottiene il
vincitore dell’elezione.
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Esempio
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 14
8 3 3 5 1
a 1 2 1 3 3
b 2 1 3 1 2
c 3 3 2 2 1
![Page 24: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/24.jpg)
Esempio
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 14
8 3 3 5 1
a 1 2 1 3 3
b 2 1 3 1 2
c 3 3 2 2 1
a batte b 11 a 9
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Esempio
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 14
8 3 3 5 1
a 1 2 1 3 3
b 2 1 3 1 2
c 3 3 2 2 1
a batte c 14 a 6
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Esempio
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 14
8 3 3 5 1
a 1 2 1 3 3
b 2 1 3 1 2
c 3 3 2 2 1
b batte c 16 a 4
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Esempio
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 14
8 3 3 5 1
a 1 2 1 3 3
b 2 1 3 1 2
c 3 3 2 2 1
a b c
a 0,55 0,7
b 0,45 0,85
c 0,3 0,15
a ≻ b ≻ c
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Il vincitore secondo Condorcet
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 15
Se esiste un vincitore secondo Condorcet, questo e unico.
Sfortunatamente, non sempre esiste un vincitore secondo il criterio di
Condorcet.
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Non esistenza di un vincitore secondo Condorcet
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 16
4 3 3
a 1 3 2
b 2 1 3
c 3 2 1
![Page 30: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/30.jpg)
Non esistenza di un vincitore secondo Condorcet
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 16
4 3 3
a 1 3 2
b 2 1 3
c 3 2 1
4 3 3
a 1 3 2
b 2 1 3
c 3 2 1
a batte b 7 a 3
![Page 31: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/31.jpg)
Non esistenza di un vincitore secondo Condorcet
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 16
4 3 3
a 1 3 2
b 2 1 3
c 3 2 1
4 3 3
a 1 3 2
b 2 1 3
c 3 2 1
c batte a 6 a 4
![Page 32: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/32.jpg)
Non esistenza di un vincitore secondo Condorcet
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 16
4 3 3
a 1 3 2
b 2 1 3
c 3 2 1
4 3 3
a 1 3 2
b 2 1 3
c 3 2 1
b batte c 7 a 3
![Page 33: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/33.jpg)
Non esistenza di un vincitore secondo Condorcet
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 16
4 3 3
a 1 3 2
b 2 1 3
c 3 2 1
a ≻ b, b ≻ c ma c ≻ a
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Un caso estremo
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 17
19 21 10 10 10 31
a 2 6 4 4 4 2
b 3 7 5 5 5 3
c 4 8 6 6 6 4
d 5 9 7 7 7 5
e 6 1 1 8 8 7
f 7 2 8 1 9 8
g 8 3 9 9 1 9
x 9 4 2 2 2 6
y 1 5 3 3 3 1
![Page 35: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/35.jpg)
Un caso estremo
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 17
a b c d e f g x y
a 1 1 1 0,693 0,693 0,693 0,495 0
b 0 1 1 0,693 0,693 0,693 0,495 0
c 0 0 1 0,693 0,693 0,693 0,495 0
d 0 0 0 0,693 0,693 0,693 0,495 0
e 0,307 0,307 0,307 0,307 0,901 0,901 0,495 0,307
f 0,307 0,307 0,307 0,307 0,099 0,901 0,495 0,307
g 0,307 0,307 0,307 0,307 0,099 0,099 0,495 0,307
x 0,505 0,505 0,505 0,505 0,505 0,505 0,505 0,505
y 1 1 1 1 0,693 0,693 0,693 0,495
Il candidato x vince su tutti gli altri candidati con 51 voti contro 50.
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Un caso estremo
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 17
a b c d e f g x y
a 1 1 1 0,693 0,693 0,693 0,495 0
b 0 1 1 0,693 0,693 0,693 0,495 0
c 0 0 1 0,693 0,693 0,693 0,495 0
d 0 0 0 0,693 0,693 0,693 0,495 0
e 0,307 0,307 0,307 0,307 0,901 0,901 0,495 0,307
f 0,307 0,307 0,307 0,307 0,099 0,901 0,495 0,307
g 0,307 0,307 0,307 0,307 0,099 0,099 0,495 0,307
x 0,505 0,505 0,505 0,505 0,505 0,505 0,505 0,505
y 1 1 1 1 0,693 0,693 0,693 0,495
![Page 37: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/37.jpg)
Un caso estremo
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 17
19 21 10 10 10 31
a 2 6 4 4 4 2
b 3 7 5 5 5 3
c 4 8 6 6 6 4
d 5 9 7 7 7 5
e 6 1 1 8 8 7
f 7 2 8 1 9 8
g 8 3 9 9 1 9
x 9 4 2 2 2 6
y 1 5 3 3 3 1
![Page 38: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/38.jpg)
Un caso estremo
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Jean-Antoine-Nicolasde Caritat, marchese diCondorcet
Il criterio di Condorcet
Esempio
Il vincitore secondoCondorcet
Non esistenza di unvincitore secondoCondorcet
Un caso estremo
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 17
19 21 10 10 10 31
a 2 6 4 4 4 2
b 3 7 5 5 5 3
c 4 8 6 6 6 4
d 5 9 7 7 7 5
e 6 1 1 8 8 7
f 7 2 8 1 9 8
g 8 3 9 9 1 9
x 9 4 2 2 2 6
y 1 5 3 3 3 1
31+19 = 50 votanti su 101 pongono y al primo posto
nessun votante pone x al primo posto; 19 votanti pongono x all’ultimo
posto e 19+31 = 50 su 101 pongono x al 6 posto o peggio pongono x
![Page 39: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/39.jpg)
Borda
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Jean-Charles de Borda
Il criterio di Borda
Il criterio di Borda
Possibili manipolazioni
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 18
![Page 40: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/40.jpg)
Jean-Charles de Borda
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Jean-Charles de Borda
Il criterio di Borda
Il criterio di Borda
Possibili manipolazioni
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 19
(Dax, 4 maggio 1733 - Parigi, 19 febbraio 1799)
Matematico, fisico e ammiraglio francese. francese. Utilizzo la lunghezza
del meridiano terrestre per determinare la misura precisa del metro.
![Page 41: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/41.jpg)
Jean-Charles de Borda
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Jean-Charles de Borda
Il criterio di Borda
Il criterio di Borda
Possibili manipolazioni
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 19
(Dax, 4 maggio 1733 - Parigi, 19 febbraio 1799)
Matematico, fisico e ammiraglio francese. francese. Utilizzo la lunghezza
del meridiano terrestre per determinare la misura precisa del metro.
![Page 42: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/42.jpg)
Il criterio di Borda
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Jean-Charles de Borda
Il criterio di Borda
Il criterio di Borda
Possibili manipolazioni
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 20
Si attribuisce a ciascun candidato un punteggio dato dalla somma
dei numeri che rappresentano le sue posizioni negli ordinamenti dei
diversi elettori e si considera vincitore il candidato che ottiene il pun-
teggio minore.
Criterio di Borda
![Page 43: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/43.jpg)
Il criterio di Borda
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Jean-Charles de Borda
Il criterio di Borda
Il criterio di Borda
Possibili manipolazioni
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 20
Si attribuisce a ciascun candidato un punteggio dato dalla somma
dei numeri che rappresentano le sue posizioni negli ordinamenti dei
diversi elettori e si considera vincitore il candidato che ottiene il pun-
teggio minore.
Criterio di Borda
ll metodo di Borda e un sistema di voto ponderato. I suoi primi impieghi
sono molto antichi, poiche fu utilizzato dal Senato romano fin dall’anno
105.
![Page 44: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/44.jpg)
Il criterio di Borda
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Jean-Charles de Borda
Il criterio di Borda
Il criterio di Borda
Possibili manipolazioni
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 21
19 21 10 10 10 31
a 2 6 4 4 4 2
b 3 7 5 5 5 3
c 4 8 6 6 6 4
d 5 9 7 7 7 5
e 6 1 1 8 8 7
f 7 2 8 1 9 8
g 8 3 9 9 1 9
x 9 4 2 2 2 6
y 1 5 3 3 3 1
Il candidato y e ora il vincitore con 245 e precede abbondatemente x che
ha un punteggio di 501
![Page 45: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/45.jpg)
Il criterio di Borda
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Jean-Charles de Borda
Il criterio di Borda
Il criterio di Borda
Possibili manipolazioni
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 21
19 21 10 10 10 31
a 2 6 4 4 4 2 346
b 3 7 5 5 5 3 447
c 4 8 6 6 6 4 548
d 5 9 7 7 7 5 649
e 6 1 1 8 8 7 522
f 7 2 8 1 9 8 603
g 8 3 9 9 1 9 684
x 9 4 2 2 2 6 501
y 1 5 3 3 3 1 245
Il candidato y e ora il vincitore con 245 e precede abbondatemente x che
ha un punteggio di 501
![Page 46: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/46.jpg)
Possibili manipolazioni
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Jean-Charles de Borda
Il criterio di Borda
Il criterio di Borda
Possibili manipolazioni
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 22
1 1 1
a 1 1
b 2 2
c 3 3
d 4 4
![Page 47: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/47.jpg)
Possibili manipolazioni
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Jean-Charles de Borda
Il criterio di Borda
Il criterio di Borda
Possibili manipolazioni
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 22
1 1 1
a 1 1
b 2 2
c 3 3
d 4 4
Volendo favorire il candidato b suo amico, il terzo votante decide di
mettere in quarta posizione il candidato a
![Page 48: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/48.jpg)
Possibili manipolazioni
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Jean-Charles de Borda
Il criterio di Borda
Il criterio di Borda
Possibili manipolazioni
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 22
1 1 1
a 1 1 4
b 2 2 1
c 3 3 2
d 4 4 3
![Page 49: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/49.jpg)
Possibili manipolazioni
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Jean-Charles de Borda
Il criterio di Borda
Il criterio di Borda
Possibili manipolazioni
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 22
1 1 1
a 1 1 4 6
b 2 2 1 5
c 3 3 2 8
d 4 4 3 11
Il vincitore risulta b con 5 punti contro i 6 di a che pero e il vincitore
secondo Condorcet.
![Page 50: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/50.jpg)
Metodo delle eliminazioni successive
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 23
![Page 51: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/51.jpg)
Eliminazioni successive
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 24
Il metodo si svolge per fasi successive, in ciascuna delle
quali tutti votano per il candidato preferito fra quelli an-
cora in lizza e viene eliminato il candidato che riceve
meno voti. Vincera l’ultimo candidato rimasto in lizza,
quando tutti gli altri saranno stati eliminati.
Criterio delle elimizazioni successive
![Page 52: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/52.jpg)
Esempio 1
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 25
1 1 1
a 1 1 4
b 2 2 1
c 3 3 2
d 4 4 3
I II III IV
a 2 2 2 3
b 1 1 1
c 0
d 0 0
Nella I fase, a riceve 2 voti e b riceve un voto: viene eliminato c, poi viene
eliminato anche d. Nella III fase, a riceve 2 voti e b riceve un voto e viene
quindi eliminato. Resta solo il vincitore a.
![Page 53: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/53.jpg)
Esempio 2
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 26
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a 1 1 5 5 4 4 3 5 2 5 4
b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2
c 3 4 1 1 5 5 4 3 5 1 5
d 4 5 4 4 1 1 5 4 4 2 1
e 5 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3
![Page 54: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/54.jpg)
Esempio 2
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 26
I II III IV V
a 2 3 4 7 11
b 1
c 3 3 4 4
d 3 3 3
e 2 2
Il vincitore e quindi a
![Page 55: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/55.jpg)
Esempio 2
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 26
a b c d e
a 0,182 0,636 0,364 0,273
b 0,818 0,727 0,636 0,727
c 0,364 0,273 0,636 0,364
d 0,636 0,364 0,364 0,455
e 0,727 0,273 0,636 0,545
Il vincitore secondo Condorcet e b.
![Page 56: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/56.jpg)
Esempio 2
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 26
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a 1 1 5 5 4 4 3 5 2 5 4 39
b 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 23
c 3 4 1 1 5 5 4 3 5 1 5 37
d 4 5 4 4 1 1 5 4 4 2 1 35
e 5 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3 31
Il vincitore secondo Borda e b.
![Page 57: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/57.jpg)
Non monotonicit a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 27
Intenzioni di voto
6 5 4 2
a 1 2 3 2
b 2 3 1 1
c 3 1 2 3
I II III
a 6 11 17
b 6 6
c 5
![Page 58: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/58.jpg)
Non monotonicit a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 27
Il vincitore a volendo aumentare le sue chance di successo decide di
concentrare la sua campagna elettorale sugli elettori che oggi
preferiscono b ma hanno a come seconda scelta.
Supponiamo che questa campagna di propaganda abbia successo e i due
elettori che avevano espresso precedentemente le preferenze
b ≻ a ≻ c
cambino le loro preferenze in
a ≻ b ≻ c
![Page 59: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/59.jpg)
Non monotonicit a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 27
6 5 4 2
a 1 2 3 1
b 2 3 1 2
c 3 1 2 3
I II III
a 8 8
b 4
c 5 9 17
Il vincitore e ora c !!!
![Page 60: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/60.jpg)
Non manipolabilit a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 28
Intenzioni di voto
6 5 4 2
a 1 2 3 1
b 2 3 1 2
c 3 1 2 3
I II III
a 8 8
b 4
c 5 9 17
Il vincitore e c.
![Page 61: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/61.jpg)
Non manipolabilit a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 28
Due elettori che hanno a come prima preferenza e per i quali
a ≻ b ≻ c
per favorire il loro candidato a decidono di votare secondo le preferenze
b ≻ a ≻ c
![Page 62: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/62.jpg)
Non manipolabilit a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 28
6 5 4 2
a 1 2 3 2
b 2 3 1 1
c 3 1 2 3
I II III
a 6 11 17
b 6 6
c 5
Il vincitore e ora a !!!
![Page 63: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/63.jpg)
Indipendenza
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 29
Intenzioni di voto8 5 4
a 1 2 2
b 2 1 1
I II
a 8
b 9 17
Il vincitore e quindi b.
![Page 64: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/64.jpg)
Indipendenza
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 29
Ai due candidati a e b, si aggiunge ora un nuovo candidato c. Questo
cambia l’ordine tra a e b!
![Page 65: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/65.jpg)
Indipendenza
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Eliminazionisuccessive
Esempio 1
Esempio 2
Non monotonicita
Non manipolabilita
Indipendenza
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 29
8 5 4
a 1 3 3
b 3 2 2
c 2 1 1
I II III
a 8 8
b 0
c 5 9 17
Il vincitore e ora c e c ≻ a ≻ b!
![Page 66: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/66.jpg)
Teorema dell’impossibilit a di Arrow
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 30
![Page 67: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/67.jpg)
Kenneth Joseph Arrow
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 31
(New York, 23 agosto 1921 – )
Economista statunitense, vincitore del Premio Nobel per l’economia nel
1972, insieme a John Hicks, per i loro contributi pionieristici alla teoria
dell’equilibrio economico generale e alla teoria del benessere.
![Page 68: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/68.jpg)
Kenneth Joseph Arrow
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 31
(New York, 23 agosto 1921 – )
Economista statunitense, vincitore del Premio Nobel per l’economia nel
1972, insieme a John Hicks, per i loro contributi pionieristici alla teoria
dell’equilibrio economico generale e alla teoria del benessere.
![Page 69: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/69.jpg)
La funzione di scelta pubblica
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 32
Il problema che si deve affrontare e il seguente:
Identificare una funzione di scelta pubblica, che trasformi l’insieme delle
preferenze individuali in un ordinamento globale coerente.
![Page 70: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/70.jpg)
Propriet a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 33
Arrow considera le seguenti proprieta che ritiene ragionevoli per un
sistema di voto equo:
Universalita, Non imposizione , Non dittatorialita, Monotonicita,
Indipendenza dalle alternative irrilevanti, Unanimita
![Page 71: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/71.jpg)
Propriet a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 33
Arrow considera le seguenti proprieta che ritiene ragionevoli per un
sistema di voto equo:
Universalita, Non imposizione , Non dittatorialita, Monotonicita,
Indipendenza dalle alternative irrilevanti, Unanimita
La funzione di scelta sociale deve definire un ordina-
mento delle preferenze collettive deterministico e com-
pleto, a partire da qualsiasi insieme iniziale di preferenze
individuali
Universalita (o dominio non ristretto)
![Page 72: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/72.jpg)
Propriet a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 33
Arrow considera le seguenti proprieta che ritiene ragionevoli per un
sistema di voto equo:
Universalita, Non imposizione , Non dittatorialita, Monotonicita,
Indipendenza dalle alternative irrilevanti, Unanimita
Qualsiasi possibile preferenza collettiva deve essere rag-
giungibile a partire da un appropriato insieme di pref-
erenze individuali
Non imposizione (o sovranita del cittadino)
![Page 73: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/73.jpg)
Propriet a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 33
Arrow considera le seguenti proprieta che ritiene ragionevoli per un
sistema di voto equo:
Universalita, Non imposizione , Non dittatorialita, Monotonicita,
Indipendenza dalle alternative irrilevanti, Unanimita
La funzione di scelta sociale non deve semplicemente
seguire l’ordinamento delle preferenze di un singolo indi-
viduo o un sottoinsieme di individui, ignorando completa-
mente le preferenze degli altri
Non dittatorialita
![Page 74: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/74.jpg)
Propriet a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 33
Arrow considera le seguenti proprieta che ritiene ragionevoli per un
sistema di voto equo:
Universalita, Non imposizione , Non dittatorialita, Monotonicita,
Indipendenza dalle alternative irrilevanti, Unanimita
Se un individuo modifica il proprio ordinamento delle preferenze pro-
muovendo una data opzione, la funzione di scelta collettiva deve pro-
muovere tale opzione o restare invariata, ma non puo assegnare a
tale opzione una preferenza minore
Monotonicita, o associazione positiva tra i valori individuali e sociali
![Page 75: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/75.jpg)
Propriet a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 33
Arrow considera le seguenti proprieta che ritiene ragionevoli per un
sistema di voto equo:
Universalita, Non imposizione , Non dittatorialita, Monotonicita,
Indipendenza dalle alternative irrilevanti, Unanimita
Se si considera solo un sottoinsieme di opzioni, e la fun-
zione di scelta collettiva e applicata ad soltanto a queste,
il risultato deve essere compatibile con il caso in cui la
funzione di scelta collettiva e applicata all’intero insieme
di possibili alternative
Indipendenza dalle alternative irrilevanti
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Propriet a
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 33
Arrow considera le seguenti proprieta che ritiene ragionevoli per un
sistema di voto equo:
Universalita, Non imposizione , Non dittatorialita, Monotonicita,
Indipendenza dalle alternative irrilevanti, Unanimita
Se ogni singolo individuo preferisce una certa opzione a
all’opzione b, allora a deve essere preferita a b anche da
parte della funzione di scelta collettiva
Unanimita (o criterio paretiano, o efficienza paretiana)
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Teorema dell’impossibilit a di Arrow
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Kenneth Joseph Arrow
La funzione di sceltapubblica
Proprieta
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Gennaio 2009 34
Sia il numero di candidati (alternative) maggiore di 2. Allora non esiste
alcuna funzione di scelta collettiva che soddisfi contemporaneamente le
proprieta di
Universalita
Unanimita
Non dittatorialita
Indipendenza dalle alternative irrilevanti
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Definizione di distretti elettorali
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 35
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Formazione dei distretti elettorali
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 36
Si consideri una area geografica divisa in zone elementari
con 81 zone.
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Formazione dei distretti elettorali
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 36
Si consideri una area geografica divisa in zone elementari
con 81 zone.
Il problema e disegnare una mappa di 9 distretti uninominali ciascuna di 9
zone
![Page 81: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/81.jpg)
Formazione dei distretti elettorali
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 36
Si consideri una area geografica divisa in zone elementari
con 81 zone.
Il problema e disegnare una mappa di 9 distretti uninominali ciascuna di 9
zone
Si assuma poi che in ciascuna zona il vincitore sia Y (giallo) oppure O
arancione). Ci sono 41 zone Y e 40 zone O
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Gerrymandering, I
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 37
Il candidato Y vince 8 ad 1.
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Gerrymandering, II
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 38
Il candidato O vince 8 ad 1.
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Il Governatore Elbridge Gerry
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 39
Qualcosa di simile e accaduto in Massachussets nel 1821, quando il
Governatore Governor Elbridge Gerry emano una legge che ridefiniva i
distretti elettorali dello stato a favore del suo partito.
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Il Governatore Elbridge Gerry
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 39
Qualcosa di simile e accaduto in Massachussets nel 1821, quando il
Governatore Governor Elbridge Gerry emano una legge che ridefiniva i
distretti elettorali dello stato a favore del suo partito.
La forma inusuale a salamandra di un o dei distretti ha dato origine al
termine Gerrymander contrazione di Gerry-salamander
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Criteri di formazione dei distretti elettorali
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 40
Equita: il numero di abitanti in ciascun distretto deve essere quanto piu
bilanciato possibile
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Criteri di formazione dei distretti elettorali
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 40
Compattezza: i distretti devono avere una forma geometrica regolare
![Page 88: R. De Leone Dipartimento di Matematica e Informatica ...mat.unicam.it/sites/mat.unicam.it/files/pls/... · Dipartimento di Matematica e Informatica Universita degli Studi di Camerino`](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022042320/5f0a305c7e708231d42a70db/html5/thumbnails/88.jpg)
Criteri di formazione dei distretti elettorali
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 40
Compattezza: i distretti devono avere una forma geometrica regolare
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Criteri di formazione dei distretti elettorali
Definizione delproblema
Sistema uninominale
Condorcet
Borda
Metodo delleeliminazioni successive
Teoremadell’impossibilita diArrow
Definizione di distrettielettorali
Formazione dei distrettielettorali
Gerrymandering, I
Gerrymandering, II
Il Governatore ElbridgeGerry
Criteri di formazionedei distretti elettorali
Gennaio 2009 40
Conformita ai confini legislativi: i distretti devono quanto piu possibili
conformarsi ai confini legislativi (comune, provincia, comunita montana,
regione)