Auteur : Alain Stenger

Situation problème

Je souhaite choisir un élève au hasard à partir de ma liste numérotée d’élèves.

Pour cela j’utilise la fonction RAND de ma calculatrice.

Cette fonction me donne un nombre aléatoire entre [0,1[

Exemple

Choisir un numéro dans une liste

Choisir un numéro dans une liste Tous mes élèves ont-ils la même

chance de passer au tableau ?

Pour répondre à cette question, nous allons faire une simulation avec un tableur.

Simulation avec un tableur Nous allons faire une simulation avec le

logiciel Excel.

Rappel de 2 fonctions utiles d’Excel:=ALEA()

donne un nombre aléatoire entre 0 et 1.=ARRONDI(A1;0) arrondi le nombre de la

cellule A1 avec 0 chiffre après la virgule.

Simulation avec un tableur Autres fonctions :

=NB.SI(A5:A12;"1") compte le nombre de fois que la valeur « 1 » est apparue pour les cellules A5 à A12.

Choisir un numéro dans une liste Sachant que j’ai une classe de 12

élèves.La fonction RAND me donne un nombre aléatoire entre 0 et 1 que je multiplie par 12.

Il me reste à arrondir le nombre obtenu à l’entier le plus proche.

Simulation avec un tableur Dans un premier temps, on fera 15

tirages. On classera les résultats dans un

tableau à 3 colonnesRang de l’élève de 1 à 12EffectifsFréquences

Simulation avec un tableur

PROBLEMATIQUE : Sachant qu’on a une liste numérotée de 1 à 12, est il préférable de multiplier le nombre aléatoire par 12 ou par 13 ?

Simulation avec un tableur

ATTENTION : Les valeurs 0 et 13 ne sont pas comptées dans nos effectifs.

Situation 1 : Rand*12

Exemple de résultats pour15 tirages

Rang de l'élève Effectifs Fréquence1 1 0,0672 0 0,0003 1 0,0674 2 0,1335 0 0,0006 3 0,2007 2 0,1338 3 0,2009 0 0,00010 1 0,06711 0 0,00012 2 0,133

TOTAL: 15 1

Exemple de résultats pour50 tirages

Rang de l'élève Effectifs Fréquence1 2 0,0412 2 0,0413 3 0,0614 7 0,1435 3 0,0616 3 0,0617 4 0,0828 5 0,1029 5 0,10210 6 0,12211 8 0,16312 1 0,020

TOTAL: 49 1

Situation 1 : Rand*12

On constate que les fréquences sont encore très dispersées.

Pour 15 ou 50 tirages, on ne peut rien conclure.

Exemple de résultats pour1000 tirages

Rang de l'élève Effectifs Fréquence1 85 0,0892 99 0,1043 70 0,0734 95 0,0995 78 0,0826 78 0,0827 81 0,0858 99 0,1049 70 0,07310 81 0,08511 74 0,07712 46 0,048

TOTAL: 956 1

Situation 1 : Rand*12

A partir de 1000 tirages, on constate que la valeur 12 est nettement plus rare que les autres.

Pourquoi ?

Essayez de vérifier ce résultat pour10 000 et 60 000 tirages

Situation 1 : Rand*12

Essayez de vérifier vos hypothèses pour10 000 et 60 000 tirages

Exemple de résultats pour10 000 tirages

Rang de l'élève Effectifs Fréquence1 853 0,0892 819 0,0863 840 0,0884 855 0,0895 844 0,0886 864 0,0907 832 0,0878 797 0,0839 787 0,08210 865 0,09011 799 0,08312 419 0,044

TOTAL: 9574 1

Exemple de résultats pour60 000 tirages

Rang de l'élève Effectifs Fréquence1 4980 0,0872 4833 0,0843 4933 0,0864 4995 0,0875 5052 0,0886 5065 0,0887 5038 0,0888 4964 0,0869 5124 0,08910 4986 0,08711 4954 0,08612 2566 0,045

TOTAL: 57490 1

Conclusion : situation rand*12 Le nombre 12 a deux fois moins de

chance de sortir que les autres. Cette situation n’est pas acceptable.

Comment corriger cette situation ?

Situation 2 : Rand*13

Exemple de résultats pour15 tirages

Rang de l'élève Effectifs Fréquence1 0 0,0002 2 0,1543 2 0,1544 1 0,0775 1 0,0776 2 0,1547 2 0,1548 1 0,0779 2 0,15410 0 0,00011 0 0,00012 0 0,000

TOTAL: 13 1

Exemple de résultats pour50 tirages

Rang de l'élève Effectifs Fréquence1 2 0,0432 3 0,0653 1 0,0224 4 0,0875 2 0,0436 5 0,1097 3 0,0658 3 0,0659 7 0,15210 6 0,13011 6 0,13012 4 0,087

TOTAL: 46 1

Exemple de résultats pour1000 tirages

Rang de l'élève Effectifs Fréquence1 90 0,0982 77 0,0833 71 0,0774 81 0,0885 78 0,0856 79 0,0867 71 0,0778 80 0,0879 68 0,07410 75 0,08111 82 0,08912 71 0,077

TOTAL: 923 1

Exemple de résultats pour10000 tirages

Rang de l'élève Effectifs Fréquence1 740 0,0802 769 0,0833 752 0,0814 755 0,0825 769 0,0836 734 0,0797 795 0,0868 769 0,0839 811 0,08810 784 0,08511 808 0,08812 748 0,081

TOTAL: 9234 1

Exemple de résultats pour60000 tirages

Rang de l'élève Effectifs Fréquence1 4552 0,0822 4709 0,0853 4571 0,0834 4529 0,0825 4696 0,0856 4636 0,0847 4657 0,0848 4539 0,0829 4663 0,08410 4419 0,08011 4665 0,08412 4752 0,086

TOTAL: 55388 1

Conclusion : situation rand*13 Maintenant nous avons une situation où

tous les nombres ont la même probabilité de sortir.Même le dernier de la liste !

Chaque élève a la même probabilité d’être interrogée.