Question 1 – Méthode de Monge

Question 2 – Projection cotée

Il s’agit d’une représentation en courbes de niveaux de l’île d’Atlasova, citée dans la question 3. Cette île volcanique a quasiment la forme d’un cône.

Question 3 – Trigonométrie sphérique On calcule la longueur de l’arc sphérique reliant Hastings et l’île d’Atlasova au moyen des formules :

( )1 0 1 0 1 0cos sin sin cos cos cosβ α α α α ϕ ϕ= + − TLongueur r β= = 8471 km

La longueur de la loxodromie entre Hastings et l’île d’Atlasova est obtenue au moyen de la formule :

( )1 0 0cosTLongueur rϕ ϕ α= − = 10892 km (Les deux endroits ont la même latitude.)

Entre Hastings et l’île d’Atlasova, la loxodromie est plus longue de 2420 km que l’orthodromie. On calcule maintenant la surface du triangle sphérique délimité par les méridiens des deux endroits et l’orthodromie. Les angles des dièdres sont calculés à l’aide de la formule :

cos cos coscossin sina b cA

b c−

=

On calcule l’excès sphérique E au moyen d’une de ces deux formules :

• tan tan tan tan tan2 2 2 2 2E p p a p b p c− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ avec 2a b c p+ + = .

• 2E A B C π= + + − La surface est donnée par 22 TAire Er= = 4,907.10

6 km². On obtient une surface égale à 1% de la surface terrestre ( 2 64. . 511,186.10 ²T TS r kmπ= = ). La figure définie par les deux mêmes méridiens et la courbe loxodromique est une fraction de calotte sphérique.

2 1 002 1 cos 2 2T

Surface r ϕ ϕππ απ−⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= 24,703.106 km², soit 5% de la surface terrestre ou

5 fois plus que la surface définie avec l’orthodromie.

Ile d’Atlasova

Ile d’Atlasova

http://www.sveurop.org/gb/articles/articles/Kuril.htm http://kcs.iks.ru/ivs/kvert/volcanoes/Alaid/index_eng.html http://www.theoceanadventure.com/KIIE/KI6.html

Question 4 – Transformation géométrique et projection perspective On applique l’opérateur de cisaillement par calcul matriciel :

[ ] [ ]

1 0 0 00 1 0 0

410,10,4,1 10,10,4, 1 10,10,4,210 0 1

0 0 0 1

dd

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤− = − + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

avec d = 4 Les coordonnées de (M) sur l’épure sont : [ ]5,5− car la quatrième coordonnée doit se réduire à un. On repère le point de fuite de la perpendiculaire au tableau passant par (M) : FP = P. Sa trace est située en [ ]10,10− , c’est le pied de la perpendiculaire au tableau. La ligne de fuite fα du plan α incliné à 45° est tangente au cercle de distance. Par M, on trace une droite quelconque q dont le point de fuite Fq est situé sur fα. Avec la droite p, elle construit un plan β contenant M, dont la ligne de fuite fβ lie Fq et Fp, la trace tβ est parallèle à fβ et passe par Tp, on trouve ainsi la trace Tq sur tβ. En exprimant que la droite q qui contient M fait partie de α, on trouve tα parallèle à fα et passant par Tq. Les droites de α, inclinées à 40°, ont leurs points de fuite sur le cercle de rayon

4,7740dr

tg= = et sur fα. On trouve ainsi Fa et Fb. Comme les droites passent par M, leurs

traces sont situées sur tα, on trouve donc Ta et Tb. Pour trouver l’angle formé par ces deux droites, il suffit de rabattre leurs rayons de fuite autour de fα. Le point de vue S est rabattu successivement en Sr1 et Sr2 et l’angle entre les deux droites peut être mesuré sur l’épure.

Question 1 – Axonométrie

A

C

B

A

C

B

Axonométrie réalisée sous Catia

Question 2 – Ombres portées

Fa

Fb

hauteur à reporter

90°

élévation

azimut

35°

Ouest

Nord

Est

SudSoleil

80°

τ

S

S'

FbFa

LT

LH

L’ombre propre est représentée par des hachures verticales et l’ombre portée est représentée par des hachures horizontales.

FbFa

LT

LH

haut

eur r

epor

tée

FL

Ft