Quelle sémiotique pour l'analyse de l'activité et des productions ...

Fecha de recepción: Febrero de 2006/ Fecha de aceptación: Abril de 2006

Université du Littoral Côte d’Opale(ULCO), France.

Quelle sémiotique pour l’analyse de

l’activité et des productions

mathématiques?

Raymond Duval 1

RESUMEN

Tanto en la enseñanza como en sus prácticas más avanzadas, las matemáticas son eldominio donde todas las formas de representación semiótica pueden ser utilizadas. Elloplantea el problema siguiente: ¿las diferentes teorías semióticas permiten analizar lautilización de imágenes, del lenguaje y de los símbolos en matemáticas? Para comprenderlos elementos del problema, se debe no solamente observar cómo estas teoríasdistinguen las relaciones que constituyen y diferencian los signos, sino también considerarlas exigencias matemáticas que demanda el recurso de las diferentes formas derepresentación semiótica. Su comparación muestra una diferencia considerable entrelas herramientas de análisis semiótico existentes y la complejidad semiótica de todaslas producciones matemáticas. Limitándose al caso de la representación de los números,se puede poner en evidencia que estas herramientas no permiten analizar laheterogeneidad semiótica de los diferentes sistemas utilizados. Ahora bien, estaheterogeneidad semiótica provoca una de las dificultades mayores del aprendizaje delas matemáticas: pasar de un tipo de representación a otro. El análisis de las produccionesmatemáticas exige herramientas de análisis semiótico más complejas y mejor adaptadasa los procesos cognitivos movilizados en toda actividad matemática. Para poder realizaresta investigación, tres preguntas son cruciales: una sobre la pertinencia de la distinciónentre significante y significado, otra en torno a la clasificación de los signos, y, finalmente,otra referente a la comparación entre un análisis funcional y un análisis estructural delos signos.

PALABRAS CLAVE: Condensación, designación, imagen, figura geométrica,relaciones constitutivas de signos, representaciones semióticas y no semióticas,sistema semiótico, transformación de representaciones.

ABSTRACT

Mathematics, whether in its teaching or in its more advanced practices, is a domainwhere all the forms of semiotic representation can be used. This entails the followingproblem: do different semiotic theories allow for the analysis of the use of images, languageand symbols in mathematics? To grasp the givens of the problem, we not only have to

45Relime, Número Especial, 2006, pp. 45-81.

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Relime

see how these theories make the distinction between the relations that constitute anddifferentiate signs, but we also have to consider the mathematical demands whichnecessitate that we make recourse to different kinds of semiotic representation. Theircomparison reveals a considerable gap between existing semiotic tools and the semioticcomplexity found in all mathematical production. Limiting ourselves to the case of therepresentation of numbers, we can highlight the fact that these tools do not allow us toanalyze the semiotic heterogeneity of the different systems used. Moreover, this semioticheterogeneity brings up one the major difficulties in the learning of mathematics: goingfrom one type of representation to another. The analysis of mathematical productionsdemands semiotic tools of analysis that are more complex and better adapted to thecognitive practices mobilized in all mathematical activity. In order to undertake thisresearch, three questions seem to be crucial: that of the pertinence of the distinctionbetween signifier and signified, that of the classification of signs, and that of the connectionbetween the functional analysis and the structural analysis of signs.

KEY WORDS: Condensation, designation, image, geometrical figure, constitutiverelations of signs, semiotic and non semiotic representations, semiotic system,transformation of representations.

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RESUMO

Tanto no ensino como nas práticas mais avançadas a matemática é o domínio ondetodas as formas de representação semiótica podem ser utilizadas. Coloca-se o problemaseguinte: As diferentes teorias semióticas permitem analisar a utilização de imagens, dalinguagem e dos símbolos em matemática? Para compreender os elementos do problema,se deve não somente observar como estas teorias distinguem as relações que constitueme diferenciam os signos, mas também considerar as exigências matemáticas quedemanda o recurso das diferentes formas de representação semiótica. Sua comparaçãomostra uma diferença considerável entre as ferramentas de análise semiótico existentese a complexidade semiótica de todas as produções matemáticas. Limitando ao caso darepresentação dos números, se pode colocar em evidência que estas ferramentas nãopermitem analisar a heterogeneidade semiótica dos diferentes sistemas utilizados. Assim,esta heterogeneidade semiótica provoca uma das dificuldades maiores da aprendizagemdas matemáticas: passar de um tipo de representação a outra. A análise das produçõesmatemáticas exige ferramentas de análise semiótico mais complexas e melhor adaptadasaos processos cognitivos, mobilizados em toda atividade matemática. Para poder realizaresta investigação, três perguntas são cruciais: uma sobre a pertinência da distinçãoentre significante e significado, outra em torno da classificação dos signos, e, finalmente,outra referente a comparação entre uma análise funcional e uma análise estrutural dossignos.

PALAVRAS CHAVES: Condensação, designação, imagem, figura geométrica,relações constitutivas de signos, representações semióticas e não semióticas,sistema semiótico, transformação de representações.

Quelle sémiotique pour l’analyse de l’activité et des productionsmathématiques? 47

L’attention portée au rôle des signes dansla pensée mathématique est à la foisancienne et récente. Elle est ancienne sil’on considère la création multiforme d’unsymbolisme mathématique qui aaccompagné le développement del’algèbre, de l’analyse et de la logique ditemathématique. Mais elle est très récentesi l’on considère les recherches sur lesproblèmes d’apprentissage qui, dans uncadre piagétien et constructiviste, ontprivilégié une problématique d’acquisitionde concepts.

Des raisons très différentes ont contribuéà la découverte de l’importance desreprésentations sémiotiques pour

comprendre la complexité desapprentissages en mathématiques. Il y a,bien sûr, l’introduction de l’algèbre. Il y aaussi l’analyse des productions des jeunesélèves dans le cadre des activités qui leursont proposées en classe. Il y a euégalement l’influence, tardive, de lapensée de Vygotski qui avait souligné,contre les explications de Piaget,l’importance du langage à travers ses troismodalités d’expression, intérieure, orale etécrite, dans le développement de lapensée de l’enfant. Mais la découverte del’importance et de la variété desreprésentations sémiotiques dans lesactivités mathématiques et pourl’apprentissage soulève un problème

RÉSUMÉ

Aussi bien dans l’enseignement que dans ses pratiques les plus avancées, lesmathématiques sont le domaine où toutes les formes de représentation sémiotiquepeuvent être utilisées. Cela pose le problème suivant : les différentes théories sémiotiquespermettent-elles d’analyser l’utilisation des images, du langage et des symboles enmathématiques ? Pour saisir les données du problème, il faut non seulement regardercomment ces théories distinguent les relations qui constituent et différencient les signes,mais il faut aussi considérer les exigences mathématiques qui commandent le recoursaux différentes formes de représentation sémiotique. Leur comparaison montre un écartconsidérable entre les outils d’analyse sémiotique existants et la complexité sémiotiquede toutes les productions mathématiques. En se limitant au cas de la représentation desnombres, on peut mettre en évidence que ces outils ne permettent pas d’analyserl’hétérogénéité sémiotique des différents systèmes utilisés. Or cette hétérogénéitésémiotique soulève l’une des difficultés majeures de l’apprentissage des mathématiques :passer d’un type de représentation à un autre. L’analyse des productions mathématiquesexige des outils d’analyse sémiotique plus complexes et mieux adaptés aux processuscognitifs mobilisés dans toute activité mathématique. Pour conduire cette recherchetrois questions semblent cruciales : celle de la pertinence de la distinction entre signifiantet signifié, celle de la classification des signes, et celle du rapport entre une analysefonctionnelle et une analyse structurale des signes.

MOTS CLÉS: Condensation, désignation, image, figure géométrique, relationsconstitutives des signes, représentations sémiotique et non sémiotique, systèmesémiotique, transformation de représentation.

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considérable et souvent peu discuté :comment les décrire, comment lesanalyser et comment les situer par rapportaux démarches mathématiques ?

Le problème, en effet, n’est pas d’analyserla variété des représentations sémiotiquesen fonction des concepts et desconnaissances mathématiques qu’ellespermettent d’exprimer, de traduire, decontextualiser, etc. Cela conduit, en fait, àles dissoudre dans une analyse faite entermes de « savoirs » relatifs à descontenus mathématiques particuliers. Leproblème est d’abord de savoir déterminerce que sont des « signes », ce qu’ilsévoquent ou représentent et comment ilsle font, quelles fonctions ils remplissent oune remplissent pas dans une démarche deconnaissance. Certes, ces questionssemblent avoir trouvé une réponse clairedans les différentes théories sémiotiquesqui ont été élaborées depuis les Stoïcienset, plus particulièrement, avec Peirce,Saussure, et aussi Frege. Mais cetteapparente clarté s’évanouit vite si oncompare ces différentes théories entreelles et, surtout, si on considère la variétéconsidérable et hétérogène desreprésentations sémiotiques utilisées enmathématiques et dans l’enseignementdes mathématiques. Les quelques« concepts » et classifications élaborésdans les théories sémiotiques et auxquelsbeaucoup de travaux didactiques seréfèrent, apparaissent alors insuffisants etparfois non pertinents pour analyserl’activité mathématique et ses productions.Et c’est là que surgit la question suivante :quelle sémiotique pour analyser l’activitéet les productions mathématiques ?

Cette question est essentielle à un tripletitre. Tout d’abord, il s’agit de disposer d’unoutil d’analyse suffisamment adapté etdiscriminant pour étudier l ’activitémathématique et ses productions : celles

des experts, celles des enseignants et cellesdes élèves y compris ceux de l’enseignementprimaire. Car toutes les productionsmathématiques mettent en jeu desreprésentations sémiotiques. Or, les typesde représentations que l’on trouve chez lesuns ne sont pas ceux qui sont privilégiés parles autres. Peut-on les considérer comme àpeu près équivalents ou interchangeablestant du point de vue de leur fonctionnementsémiotique que du point de vuemathématique? En d’autres termes, peut-onou non passer facilement d’un type à unautre, ou au contraire ce passage de l’un àl’autre ne cache-t-il pas une rupture? Ensuite,il y a le problème du rôle des signes et desreprésentations sémiotiques dans lefonctionnement de la pensée. On peutl’aborder de manière très générale sans seréférer à aucun domaine particulier deconnaissance, c’est-à-dire à la manièrespécifique dont on a accès aux objets deconnaissance dans chaque disciplinescientifique. Mais on peut aussi l’aborder enprenant en compte les exigences propres audéveloppement de la connaissancemathématique. Dans ce cas, il faut tenircompte de la situation épistémologiqueparticulière des mathématiques par rapportaux autres domaines de connaissance. Lesreprésentations sémiotiques jouent-elle lemême rôle en mathématiques qu’enbotanique, qu’en géologie, qu’en géographie,qu’en astronomie, etc.? Enfin, cela concerneles variables cognitives à prendre en comptedans les apprentissages. Peut-on considérerque certains types de représentation facilitentl’entrée dans les démarches mathématiquesou, au contraire, en brouillent la visibilité ?Les changements de type de représentationconstituent-ils une variable didactiquecruciale ou au contraire une variablesecondaire ?

Le propos de cet article n’est pas deprésenter ici une autre approchesémiotique pour analyser l’activité et les


productions mathématiques, approche quenous avons développée dans d’autrestravaux (Duval 1995a, 1996, 2003, 2005,2006a, 2006b). Notre propos est de poserla question de la pertinence et des moyensd’une analyse sémiotique de l’activitémathématique et des problèmesd’apprentissage en mathématiques. Cettequestion exige que l’on commence paranalyser les différentes théoriessémiotiques dont on a importé endidactique les distinctions et les concepts,sans s’être vraiment interrogé sur leursfondements, sur leur portée réelle ainsi quesur les critères opératoires qu’elles offrentou n’offrent pas. Le résultat auquel nousespérons conduire le lecteur est qu’il voitpourquoi il faut se poser cette question. Sion ne s’est pas posé cette question,l’utilisation d’une théorie sémiotique, quellequ’elle soit, ne peut avoir de sens.

Nous commencerons donc par présenterles données du problème sémiotique,telles qu’elles ressortent des différentesthéories sémiotiques existantes. Nousverrons que les différentes théories ontconduit à expliciter cinq relationsfondamentales pour caractériser les signeset les représentations sémiotiques, mêmesi aucune ne prend en compte toutes lesrelations. Mais ce n’est là qu’une partie desdonnées pour la question dont nousvoulons montrer la nécessité et la priorité.Il nous faut aussi examiner les exigencesmathématiques concernant l’utilisation dessignes. Nous verrons alors que lesreprésentations sémiotiques ne sontmobilisées et développées que dans lamesure où elles peuvent être transforméesen d’autres représentations sémiotiques.Ce sont ces transformations possibles quisont importantes et non pas les relationsfondamentales explicitées dans lesdifférentes théories sémiotiques. Pourillustrer cela, nous prendrons l’exemple dela représentation des nombres. Nous

aurions pu aussi prendre un exemple engéométrie (Duval, 2005) ou un problèmedans lequel on ne peut pas distinguer sion est dans un cadre géométrique ounumérique (Duval, 2006b). L’intérêt de lareprésentation des nombres est que cetexemple permet de comparer plusieurstypes de représentation, dont celui dereprésentations «concrètes», ouiconiques, de marques unités que l’onutilise comme des pseudo objets et qui nefonctionnement pas du tout comme dessignes. Dans une troisième partie, nousverrons, en gardant le même exemple,comment le passage d’un type dereprésentation à un autre implique un sautsémiotique non seulement dans lefonctionnement de la relation de référencemais surtout dans le type d’opérationdiscursive à effectuer. La dernière partienous permettra de montrer comment laquestion, thème de cet article, se traduitet se diffracte en plusieurs questionscruciales. Nous en retiendrons trois. Ladistinction entre signifiant et signifié, est-elle pertinente en mathématiques ? Laclassification des représentations, se fait-elle en fonction des relationsfondamentales caractéristiques des signesou en fonction des systèmes producteursde représentations ? L’analyse desproductions peut-elle être entièrementsubordonnée à la fonction remplie dans uncontexte ?

I. LES DONNÉES DU PROBLÉMESÉMIOTIQUE

Les définitions des signes qui ont étéproposées dans les différentes théoriessémiotiques, mettent toutes en avant lafonction cognitive d’évocation, ou deremplacement, qu’un élément remplit àl’égard d’un autre élément, ces deuxéléments étant implicitement considéréscomme n’ayant pas le même statut

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épistémologique. De ce point de vue, il n’y a pas de différence entre la définition dessignes et celle des représentations qui ne sont pas des signes, comme les imagesproduites sur une surface plane réfléchissante ou par un système optique.

Fonction cognitive:évoquer ou remplacer

(1)

(2)Exigence épistémologique:ne jamais prende l’un pour

l’autre

QUELQUE CHOSED’AUTRE

aliud aliquid (Augustin)something else (Peirce)

QUELQUE CHOSE

REPRÉSENTATION(S)NON sémiotique(s)

SIGNE (S)

Représentation

Les trois définitions suivantes en sont uneparfaite formulation :

— Le signe est une chose qui, outre la formeperçue par les sens, fait venir à partird’elle la pensée de quelque chosed’autre .... (Signum est enim res, praeterspeciem quam ingerit sensibus, aliudaliquid ex se faciens in cogitationemvenire). (Augustin 1997, p. 136 )

— Un signe ou représentamen estquelque chose qui tient lieu pourquelqu’un de quelque chose d’un certainpoint de vue ou realtivement à unecompétence (A sign, or representamen,is something which stands tosomebody for something in somerespect or capacity ). (Peirce 1978, p.121(2.228)).

— Les « représentations » sont« l’évocation d‘objets absents » (Piaget1968a, p.305 ; 1968b, p. 8).

Malgré une apparente évidence, toutes cesdéfinitions sont à la fois inutilisables etincomplètes. Elles sont tout d’abordincomplètes parce qu’elles laissent implicitel’exigence épistémologique fondamentale qui

Figure 1. Les deux éléments constitutifs caractérisant les signes et toutes les représentations

conduit à ne pas confondre unereprésentation avec ce qu’elle représente(Platon République, 509e-510b). Car, sansle respect de cette exigence, il n’y a plus designe ou de représentation. Le respect decette exigence peut sembler trivial ouimmédiat lorsqu’il s’agit de chosesmatérielles, comme, par exemple une chaise.On ne confondra jamais la chaise en boissur laquelle on peut s’asseoir et laphotographie de cette chaise ou encore undessin de cette chaise. Cela ne l’est plus pourles représentations sémiotiques utilisées enmathématiques, comme, par exemple lesmultiples représentations possibles desnombres, car on ne peut pas accéder à cesobjets mathématiques sans mobiliser desreprésentations sémiotiques (Duval 2006b).Mais, surtout, cette définition est inutilisablecar la fonction cognitive consistant à« évoquer » ou à « se tenir lieu de quelquechose » ne précise pas comment cettefonction cognitive peut être remplie.Autrement dit, cette définition, qui caractériseles signes par leur seule fonction, ne dit riende la relation qui, structuralement, permet àquelque chose d’évoquer quelque autrechose.


C’est pourquoi les différentes théories dusigne et de la représentation qui ont étédéveloppées ont été conduites à expliciterplusieurs relations fondamentales constitutivesdes signes ou des représentations. Nous enretiendrons cinq et il semble qu’il ne puisse pasen exister d’autres.

1. Une relation de « ressemblance »

La relation de ressemblance, à travers lesnotions de « copie » ou d’« image » (eikon) quilui sont associées, a été dégagée par Platon(République 476c, 509e, 510e). Peirce en a faitl’une des trois catégories des représentations :« Une icône est un represenamen dont laqualité représentative est la priméité durepresentamen...par conséquent n’importequelle chose peut être un substitut de n’importequelle chose à laquelle elle ressemble » (Peirce1978 p.14 7 (2.276) ; voir aussi 2.247).Cependant, ce qui permet de définir uneressemblance entre le contenu d’unereprésentation et ce dont ce contenu est lareprésentation reste flou comme Quine (1977)l’avait signalé. Comment déterminer s’il y a« ressemblance» ou non entre une

représentation et ce qu’elle est censéereprésenter, sans passer par un ensembled’opérations qui coûtent plus de temps que leseul fait de reconnaître quelque chose commeune image ?

Bresson a proposé un critère qui s’avère êtreun outil précieux à la fois pour décider si unereprésentation est, ou n’est pas « iconique » etpour pouvoir distinguer les différents typesd’images. La ressemblance se caractérise par« la conservation entre les éléments dureprésentant des relations de voisinage existantentre les éléments du représenté » ( Bresson1987, p. 940). Autrement dit, la ressemblancene se fonde pas sur la reproduction de formesmais sur la conservation de relationstopologiques des éléments qui composentl’ensemble d’une figure. Ainsi, dans l’exempleci-dessous, les éléments des deux premiersdessins sont homogènes (que des carrés oudes ronds !) et leur forme ne ressemble pasaux différentes parties du visage humain. Cesont leurs relations de voisinage qui les fontinterpréter comme des yeux, un nez, etc.Présentées simultanément à de jeunes enfants,ces formes sont généralement vues comme« un robot » et un « bonhomme ».

Figure 2. Deux images schématisées et une image figurative.

La comparaison du troisième dessin avec lesdeux premiers montre l’intérêt de la définitionde Bresson. Elle permet de voir ce qui fait ladifférence entre une image figurative (à droite),qui est une «copie » plus ou moins fidèle d’unvisage, et une image schématisée ou abstraite(à gauche) mais qui ressemble encore à unvisage. Dans l’image figurative, les élémentssont différents et ont chacun une ressemblancede contour avec une partie du visage. Une

image devient schématique lorsque tous leséléments composant l’image deviennenthomogènes et perdent donc tout caractèred’iconicité (Duval 2003, p. 39-40).

Regardons maintenant ces figures qui suivent.En quoi se distinguent-elles des premiersdessins ci-dessus ? Peut-on les considérercomme relevant de la même catégorie que lesimages ci-dessus ?

Relime 52

I Ia Ib II iiI Figure 3. Quatre ou cinq figures géométriques ?

On peut noter une première différence.Une figure géométrique ne se dessine pasà main levée mais se construit à l’aided’instruments, tandis qu’un dessin ne seconstruit pas mais se compose à mainlevée. Mais, d’un point de vue sémiotique,cette différence a peu d’importance. Laquestion suivante demeure : une foisconstruite ou dessinée, une figuregéométrique s’analyse-t-elle en termes deressemblance avec ce qu’ellereprésente ?

2. Une relation de « référence »

Cette relation, que Frege (1971) appelaitla Bedeutung (dénotation) des signes oude leur combinaison en une expression,exclut toute possibilité de ressemblanceentre les signes et ce dont ils sont lessignes. Elle concerne surtout deux typesde signes très différents : les symboles etles mots. La relation de référence d’unsigne ou d’une combinaison de signesà un objet résulte d’une opérationdiscursive de désignation . C’est decette manière que les lettres en algèbre,les mots, ou les constructionssyntagmatiques de mots dans un énoncé,réfèrent à un objet. Cette opération peutparaître simple lorsqu’il s’agit de lettres oude symboles, puisque généralement onles associe à quelque chose qui est visiblegraphiquement : les sommets ou les pointsd’intersection sur une figure géométrique,ou un ensemble de nombres que l’on se

donne : « Soit x... ». Dans ce type desituation on parle le plus souvent de« notation mathématique » (Freudenthal,2002).

L’opération de désignation est beaucoupplus complexe dès qu’elle se fait par desmots. Un mot, seul, ne désigne jamaisun objet, sauf si on lui assigne un statutde nom propre. La désignation d’un objetpar un nom commun exige toujours unequantification. Autrement dit, la désignationlinguistique se fait par la combinaison d’unnom commun et d’un déterminant. Mais,comme aucun lexique ne comporte jamaisautant de mots que d’objets à désigner, laconstruction syntagmatique doit articulerplusieurs noms en une seule expression :« le point d’intersection des hauteurs d’untriangle ... ». Russell considérait ce type deconstruction syntagmatique, comme une« description ». Il est caractéristique dulangage mathématique (Duval, 1995a). Eton le retrouve dans tous les énoncés dedéfinition ou de théorème ainsi que dansles énoncés des problèmes ! Cetteopération de désignation, qui crée laréférence à un objet, est soumise à unecondition d’unicité pour qu’il n’y ait pasd’ambiguïté dans la communication surl’objet qui est ainsi désigné (Ducrot, 1972).En mathématiques, les expressions quiintroduisent une notation articulent en faitdeux opérations discursives dedésignation : l’une littérale et l’autrelinguistique : « l’écriture a/b) désigne (lequotient de a par b ». ( Deledicq 1979, p.


48 ), ou encore « Soit A le pointd’intersection des hauteurs d’un triangle ».

3. Deux relations caractérisées entermes de causalité

Il s’agit ici d’une relation totalement différentedes deux précédentes. Ici la relation peut êtreprise de deux manières différentes : soit cequi fonctionne comme signe est un effet dece qu’il évoque, soit, au contraire, il agitcomme cause ou comme déclencheur d’uneaction.

3.1 La relation effet cause

Elle caractérise les phénomènes naturels quiinduisent la recherche de leur cause ou deleur origine : des reflets, des traces, desvestiges, des symptômes, des indices...Peirce a pris l’exemple de l’observation d’unefumée. On pourrait ici faire appel àl’abondante littérature qui, de Plotin àDerrida, a cherché, dans ce type de relation,le caractère premier et fondateur des signes.La trace est devenue la métaphoresémiotique de ce type de relation.

3.2 La relation cause effet

Elle ne concerne plus des phénomènesnaturels mais ce qu’on considère commeun signal. Ainsi les feux aux carrefours sontdes signaux qui doivent déclencher, demanière réflexe, une action de la part desconducteurs. Plus généralement, toutetransmission d’informations à l’intérieurd’un système physique ou organiquedépend de codes et de signaux.

4 . Une relation d’oppositionalternative ouvrant un choix d’emploi

Ici, les termes de cette relation ne sont plusentre un élément qui remplirait une fonction

d’évocation et un autre qui serait ce quiest évoqué; ils sont entre au moins deuxéléments qui s’opposent comme deuxsignes possibles pour évoquer ou pourdésigner quelque chose d’autre.Autrement dit, il n’y a pas de signes isolésqui fonctionneraient par eux-mêmes,comme une notation, mais il y a d’embléeun système de plusieurs signes. Cetterelation a été mise en évidence parSaussure (1915) :

La langue est un système dont tous lestermes sont solidaires et où la valeurde l’un ne résulte que de la présencesimultanée des autres..... Entre eux iln’y a qu’opposition. Tout lemécanisme du langage repose surdes oppositions de ce genre et sur lesdifférences phoniques et conceptuellesqu’elles impliquent. Ce qu’il y a d’idéeou de matière phonique dans un signeimporte moins que ce qu’il y a autourde lui dans les autres signes. (Saussure1973, p. 159, 166 )

Autrement dit, il n’y a pas de signes endehors du système où des élémentsprennent valeur de signe. Cette théorie aconduit aux méthodes d’analysestructurale des langues à basephonologique (Martinet, 1966) et de toutesles formes de discours produits(Benveniste, 1974). En dehors deslangues, les systèmes de numération deposition en fonction d’une base n sont uneparfaite illustration de ce qu’est unsystème sémiotique, selon la définitionstructurale et non pas purementfonctionnelle de Saussure. En effet, cessystèmes de numération sont, selonl’expression de Freudenthal (2002), un«compromis entre le système linguistiqueet celui de l’abaque ». Pour bien le mettreen évidence, il suffit de comparer les deuxtypes suivants de représentation desnombres.

→

→

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Des MARQUES UNITÉS tenantlieu chacune d’un objet

Aucune valeur de position mais desarrangements configuraux possibles

|

| |

| | |

| | | | | | | | | |

ou ( | | | | | | | | | | )

Un SYSTÈME SÉMIOTIQUE

Principe positionnel de l’abaque: la valeur dépend dela colonne où se trouve la marque

Base «10» : lexique fondé surneuf valeurs d’opposition

pour chaque terme1

2

3

10

Base «2» : lexiqueréduit à une seule

valeur d’opposition1

10

11

100

Nous sommes ici en présence de deuxgenres radicalement différents dereprésentation. L’un consiste en desmarques unités qui sont indépendantes lesune des autres et qui ne peuvent êtreassemblées que sous forme d’unecollection. L’autre est un systèmesémiotique dans lequel les chiffres,analogues aux termes d’un lexique,dépendent les uns des autres selon deuxprincipes de composition.

— un principe organisationnel de positionqui permet de combinersystématiquement les chiffres entre euxpour écrire de nouveaux nombres.Chaque chiffre a ainsi une valeur deposition qui correspond à une élévation,à une puissance. Ce principe détermineun algorithme de calcul pour lesopérations arithmétiques.

— un principe de choix lexical quicorrespond à la base n. Cette basedétermine le nombre d’oppositionsalternatives pour le choix des signesnumériques.

A la différence des marques unités(colonne de gauche) qui sont constituées

Figure 4. Hétérogénéité sémiotique de deux types de représentation des nombres.

par leur seule trace matérielle, la réalitésignifiante des chiffes est déterminée parleur seule valeur d’opposition alternative àd’autres chiffres, et non pas par leur tracematérielle. En ce sens, il ne peut pas y avoirde lexique ne comportant qu’un seulterme : « 1 » ne fonctionne comme signed’un nombre que par son opposition soit à« 0 » dans le système binaire, soit à neufautres signes dans le système décimal,dont évidemment « 0 ». Par conséquent« 1 » ne représente le nombre UN, commela marque unité « l », que par sonopposition à « 0 », et sous la conditionqu’il occupe la première position en partantde la gauche.

Ces deux types de représentation desnombres sont hétérogènes. De l’une àl’autre, il y a un saut sémiotique et cognitif.Lorsque nous comparerons ces deux typesde représentations sous le point de vue desopérations qu’elles permettent, nousverrons que les marques unitésfonctionnent comme des pseudo objetsmanipulables concrètement et non pascomme des signes opératoires (infra 2.1).L’apparition du symbole « 0 », irréductible àtoute représentation concrète, c’est-à-dire


non représentable par des marques unités,traduit déjà la rupture qui se produit quandon passe d’un type de représentation àl’autre.

5. Quel est l’autre terme de cesrelations fondamentales ?

Ces relations fondamentales sont autant demodes différents par lesquels «quelquechose », appelé « signe» ou« représentation », peut remplir la fonctioncognitive d’évocation de « quelque chosed’autre » (Figure 1). Quel peut être cet autreterme que les définitions purementfonctionnelles désignent comme aliud aliquidou something else et qui, d’un point de vueépistémologique ne doit jamais être confonduavec son signe ou sa représentation ?

C’est cet « autre chose » du signe ou de lareprésentation qui est important. C’estpourquoi il a été considéré comme «l’étantvéritable » (Platon), comme la res, commela « chose elle-même», c’est-à-dire commel’objet de connaissance. La notion d’objet estcelle qui s’est imposée dans toutes lesanalyses philosophiques etphénoménologiques de la connaissancecomme la notion fondamentale (Duval 1998,p.167-168, 196). L’objet peut être soit unechose matérielle, accessible perceptivementcomme une chaise, comme les plantes dansune forêt ou comme le soleil que l’onreconnaît être « le même » qui se lèvechaque matin, soit une réalité idéaleaccessible uniquement par des démarchesde pensée mobilisant justement des signes,comme par exemple les nombres. Ainsi lesreprésentations « III », « 3 », « 39/13 », ouencore une configuration triangulaire depoints, renvoient au même nombre commeà un même objet. On ne parle jamais dunombre « trois » comme d’un concept et dunombre « quatre » comme d’un autreconcept. En mathématiques, on travaille

avec les nombres et non pas avec lenombre, c’est-à-dire avec une définition dunombre, celle donnée par exemple parPeano, ou celles qui ont été discutées lorsdu débat entre Poincaré et Russell. De cepoint de vue, l’ouvrage de Piaget sur Lagenèse du nombre chez l’enfant (1941) aintroduit des glissements terminologiquesqui ont été néfastes pour la réflexiondidactique concernant les processus de lapensée.

Un objet, réalité matérielle ou idéalité, peutêtre le terme de plusieurs relationssémiotiques fondamentales. Ainsi, unechaise peut être à la fois le terme d’unerelation de ressemblance dans unephotographie, d’une relation de référencedans un énoncé descriptif, et d’une relationd’effet à cause, s’il reste une trace de cettechaise, sur un sol meuble par exemple. Celapermet de composer des juxtapositionsparadoxales comme nous le verrons plusloin. Au contraire, à la différence d’une chosematérielle, une réalité idéale ne peut pas êtrele terme d’une relation de ressemblance.

Cependant, il y a des situations où les signesne tiennent pas à la place des objets qu’ilsévoquent, mais remplacent d’autres signes.C’est le cas, par exemple, des codesalphabétiques qui commutent l’émissionorale d’un discours en une suite visuelle decaractères, ou encore des lettres en algèbre,les lettres remplaçant une liste de valeursnumériques possibles. Dans le premier cas,les codes apparaissent comme unmarquage formel de signes, les marquesformelles appelant un décodage pourretrouver la réalité des signes, c’est-à-direl’une ou l’autre des cinq relationsfondamentales. Aristote, qui avait déjàremarqué cette situation, en avait conclu àune plus grande distance de l’écriture parrapport à la pensée que celle de la parole àla pensée (De l’interprétation, 16a 1-10). Lesecond cas est différent. Il répond à une

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fonction d’abréviation et d’économiecognitive et soulève la question du caractère« aveugle » d’un symbolisme qui ne remplitplus la fonction d’évocation d’un objet (infra,2.13 et 4.3). Mais ces deux cas peuvent doncêtre ramenés à l’opposition entre signe etobjet, conformément à l’exigenceépistémologique sans laquelle la définitionpurement fonctionnelle des signesdeviendrait non pertinente. Rappelonsd’ailleurs que Peirce recourt lui aussi à cettenotion d’objet pour caractériser des différentstypes de representamen, c’est-à-dire troisdes cinq relations fondamentalesconstitutives des signes.

6. Qu’en est-il de la distinction entresignifiant et signifié ?

Cette distinction est évidemment ladistinction familière. Mais elle est aussi celledont l’emploi dans la littérature didactiqueest complètement équivoque.

Soit elle correspond à la distinction entrel’élément qui remplit une fonction d’évocationet cet autre chose qu’il évoque. Dans ce cas,la distinction est redondante par rapport auxdéfinitions classiques du signe (Figure 1) :« signifiant » est alors synonyme de signeet « signifié » synonyme de l’objet évoqué !Soit elle porte sur ce qui serait la structureinterne de l’élément qui remplit la fonctioncognitive d’évocation. Dans ce cas, la portéede cette distinction se limite aux langueshumaines qui remplissent une fonction decommunication orale, c’est-à-dire auxsystèmes linguistiques à basephonologique .

En effet, toute l’économie des langueshumaines, qui remplissent une fonction decommunication orale, repose sur ce queMartinet a appelé la « double articulation ».D’une part, il y a une première articulationde la parole en unités de sens (phrases,

mots, monèmes). D’autre part, les unités desens minimales (les monèmes) sont leproduit d’une articulation de plusieurs unitésphoniques (les phonèmes), ces deuxarticulations étant entièrement indépendantesl’une de l’autre :

« Si nous devions faire correspondre àchaque unité significative minima uneproduction vocale spécifique etinanalysable, il nous faudrait en distinguerdes milliers, ce qui serait incompatible avecles latitudes articulatoires et la sensibilitéauditive de l’être humain. Grâce à laseconde articulation, les langues peuventse contenter de quelques dizaines deproductions phoniques distinctes que l’oncombine pour obtenir la forme vocale desunités de première articulation» (Martinet1966, p. 19).

Les langues humaines se distinguent dulangage des animaux par cette doublearticulation.

Nous verrons plus loin (4.1) que cettedistinction n’a pas de sens pour les signespurement visuels, notamment pour lesnotations mathématiques.

7. Conclusion : le problème de l’analyseet du rôle des signes dans l’activité

cognitive.

Ce rapide panorama de la diversité desrelations constitutives de la « signifiance »des signes (Benveniste 1974, p .45, 51)permet de faire les trois observationssuivantes.

Tout d’abord, personne ne confondra lafonction cognitive d’évocation ou desubstitut d’autre chose avec les relationsde ressemblance, de référence, de causalitéou d’opposition alternative entre deuxéléments. Ce sont ces relations structurales


qui permettent qu’un élément remplisse lafonction d’« évocation ». Seule la relationcause effet, caractéristique du signal, neremplit pas cette fonction, mais une fonctiond’instruction ou de commande, comme onpeut le voir dans le fonctionnement de tousles systèmes automatisés ou non conscients.

Dans une approche sémiotique, on ne peutpas faire appel aux phénomènesd’association (Russell, 1969). Car celaconcerne un autre problème, celui del’apprentissage des signes et plusparticulièrement de celui d’une langue. Or,pour expliquer cet apprentissage le recoursau processus d’association relève d’unethéorie plus que discutable et démentie parles observations (Boysson-Bardies 1999).Nous verrons plus loin que ce qu’on appelleassociation relève en fait d’une opérationdiscursive de dénomination complexe.

Aucune théorie sémiotique existante nepermet de prendre en compte toutes cesrelations, mais chacune tend à en privilégierune ou deux. Autrement dit, aucune théoriene couvre la diversité et la complexité desphénomènes sémiotiques.

Maintenant la question n’est pas seulementde savoir quelles sont les relations les pluspertinentes pour analyser les activités et lesproductions mathématiques, elle est surtoutde savoir si les relations que l’on estimepertinentes sont suffisantes.

II. ÉXIGENCE ET PRATIQUEMATHÉMATIQUES CONCERNANT LES

SIGNES : LES POSSIBILITÉS DETRANSFORMATION DES

REPRÉSENTATIONS.

En mathématiques, une représentationn’est intéressante que dans la mesure oùelle peut se transformer en une autrereprésentation. Un signe n’est intéressant

que s’il peut être substitué à d’autres signespour effectuer des opérations (Condillac,1982). Ce ne sont donc pas lesreprésentations qui sont importantes, maisles transformations des représentations.Cette exigence a commandé ledéveloppement d’un symbolisme spécifiqueaux mathématiques, avec la représentationdes nombres, avec l’algèbre, avecl’analyse... Elle traduit le fait que la fonctionprimordiale des signes et desreprésentations, en mathématiques, n’est nila communication, ni « l’évocation d’objetsabsents », mais le traitement d’informations,c’est-à-dire la transformation intrinsèque deleurs représentations en d’autresreprésentations pour produire de nouvellesinformations ou de nouvellesconnaissances.

Ce serait cependant une erreur que de limitercette exigence au symbolismemathématique et donc au calcul. Cetteexigence mathématique concerne aussil’utilisation de tous les types de signesculturellement communs, comme leslangues naturelles ou les représentationsfigurales, lesquelles donnent, en géométriepar exemple, des possibilités purementvisuelles de transformation. L’originalité etla puissance de la pensée mathématiqueviennent de ce qu’elles jouent sur la variétédes registres sémiotiques et sur lespossibilités spécifiques de transformation quisont propres à chaque système. Pourillustrer cela, nous allons prendre deuxexemples : la variété sémiotique de lareprésentation des nombres et lesreprésentations figurales en géométrie.

2.1 Quel rapport entre les signes et lesopérations dans la représentation des

nombres et/ou des grandeurs ?

Nous avons analysé plus haut lesdifférences entre deux types dereprésentation des nombres (Figure 3).

→

Relime 58

Nous pouvons compléter cette comparaison en y ajoutant deux autre types dereprésentation : l’écriture littérale et algébrique, et les dessins schématisés d’objets(Belmas 2003) que l’on trouve dans les productions de jeunes enfants, ou dans cellesd’étudiants plus âgés (Hitt 2003), pour résoudre des problèmes de dénombrement.

Figure 5. Possibilités de transformations, ou de calcul en fonction du type de représentation.

TYPESDE

REPRÉSENTATIONDES

NOMBRES

OPÉRATIONSpossibles de

TRANSFORMATIONSdes

représentations

Les principesd’organisationsuivent les loisd’organisation

perceptive

I. Des dessinsschématisantdes d’objets

conservant lescorrespondances

topologiques(voitures, rouesd’un véhicule..)

Accentuer oueffacer l’iconicité

(ressemblanceavec l’objet

représenté) parajout ou

suppression detracés

Pas de principesd’organisationpour l’emploides marques

II.Des marques-

unitésformellement

indiscernablespouvant êtreagrégées encollections

( traits,points ...)

Support pourdes

manipulationslibres :

- comptage-regroupementsou séparation

en paquets- dispositionselon des

configurationspolygonales

Des principes d’organisation déterminentl’EMPLOI des signes et leurs

COMBINAISONS en unités de sens(expressions)

III. Des systèmesd’écriture de

positiondécomposant un

nombre selon unepuissance n et

exigeant n signes

algorithmes decalcul

fondés sur leprincipe : un

changement deposition

correspond à uneélévation à la

puissance

IV. Notationsalgébriques

articulant deuxtypes de symboles :

- variablesconventionnelles

pour unedésignationfonctionnelle- symboles

d’opérations et derelations

Substitutionsd’expressions

symboliquesfondées surdes règles

syntaxiques propresà chaque opération

- invarianceréférentielle dansles substitutions

Si on regarde ces quatre types dereprésentations sémiotiques enfonction des relations fondamentales,les types I et II peuvent être considéréscomme iconiques puisqu’ils ressemblentsoit aux objets représentés soit à descollections de jetons, de cailloux. Les typesIII et IV doivent être considérés commesymboliques bien qu’ils ne relèvent pas dela même relation fondamentale : III estdéterminé par une relation d’oppositionalternative (supra 1.4) et IV est déterminé

par une relation de référence (supra 1.3).Mais une telle analyse ne nous conduit pasloin et elle n’apporte pas grand chose. Enrevanche, tout change si on regarde cesquatre types de représentations desnombres en fonction des opérations detransformations qu’ils permettent (ligne2 du tableau). On voit alors qu’il fautdistinguer trois classes de représentations.Elles sont séparées par un trait doubleentre les colonnes. Chacune de ces troisclasses de représentation donne


respectivement lieu à trois typesd’opérations radicalement différentes : desmanipulations concrètes libres, desalgorithmes de calcul, des opérationsdiscursives de désignation et desubstitution salva veritate.

2.1.1 Représentations n’étant qu’unsimple support externe pour des

manipulations libres

Les opérations que l’on peut effectuer avecles représentations de type I ou II (Figure 5)sont totalement extérieures à cesreprésentations : on peut les compter en lespointant du doigt, les regrouper par paquets,ou les disposer sur deux rangées parallèlespour les mettre en correspondance, etc. Cesont ces opérations que Piaget apresqu’exclusivement considérées dans sonétude sur La genèse du nombre (1941).Dans les épreuves piagétiennes, les jetonssont le strict équivalent des marques unités.Celles-ci sont un simple support, matériel ougraphique, pour des opérations. Ellesfonctionnent plus comme des pseudo objetsque comme des signes. Les opérationseffectuées sur ce matériel n’entraînent àproprement parler aucune transformation deces représentations. Se pose alors laquestion de savoir s’il est utile de représenterles opérations faites et comment lesreprésenter.

Les marques auxquelles on recourtgénéralement dépendent entièrement duchoix de celui qui les utilise. Ainsi on peutjouer uniquement sur la disposition spatialedes marques unités (les séparer en paquetspuis les regrouper) comme l’a fait parexemple Wittgenstein (1983, p.143), ou bienles entourer comme dans les diagrammesde Venn. On peut également utiliser des traitsplus longs pour matérialiser des paquets, etc.De toute manière elles viennent se surajouteraux marques unités et elles ne sont que desindices des opérations faites.

Dans la pratique, les représentations detype I et II ne sont jamais employées sansque l’on recourt à un deuxième type dereprésentation sémiotique pour justementexpliciter ou pour effectuer les opérations :soit par exemple, une explication verbalequi, évidemment, s’oublie très vite, soitl’utilisation d’une écriture numérique quivient en quelque sorte représenter lesopérations (infra Figure 11).

Les dessins schématisant des objetsprésentent des caractéristiques qui lesrapprochent de ces marques unités. A ladifférence des marques unités, i lsprésentent l’inconvénient majeur de ne paspouvoir être répétés à loisir comme lesmarques unités. Cela devient vite tropcoûteux.

2.1.2. Représentation ou signesconstitués par un principe d’organisationinterne qui détermine des algorithmes de

calcul

Les écritures numériques (III, Figure 5) nepeuvent pas être considérées comme unsimple support pour des opérations decalcul. L’effectuation des opérations est icientièrement subordonnée aux possibilitéset aux contraintes des principesd’organisation du système numériqueutilisé. Pour l’écriture des nombres, lesalgorithmes des différentes opérationsarithmétiques dépendent à la fois duprincipe de position et de la base. Parexemple, les valeurs de position permettentun déplacement à droite ou à gauche,correspondant à une élévation ou à unediminution de la puissance de la base, et,pour chaque position, un dépassement despossibilités de choix offertes par la baseconduit à un déplacement à gauche avecreport. Ce système est évidementextensible avec l’adjonction d’unséparateur (virgule ou point), et cetteextension permet de calculer avec d’autres

Relime 60

nombres que les nombres entiers. Pour lesmêmes opérations sur les mêmes nombres,les algorithmes changent si, au lieu d’uneécriture décimale, on adopte une écriturefractionnaire.

2.1.3 Représentations ou signes ouvrant àl’intégration des calculs dans des

opÉrations DISCURSIVES : l’algèbre.

L’écriture littérale (IV, Figure 5) crée unenouvelle rupture sémiotique avec lesprécédentes représentations des nombreset elle ouvre la voie à de nouvellesopérations. Cette rupture apparaît sur deuxpoints. Tout d’abord, une différenciation entrela sémantique des signes (l’interprétation deslettres) et leur syntaxe (les règlesdéterminant l’ordre des opérations et leurportée sur les symboles associés dansl’expression) devient nécessaire. Avec cettedifférenciation, l’interprétation des lettres nedépend plus directement des choix offertspar un système sémiotique (supra 1.4) maisd’une opération discursive de désignation(supra 1.2). Ensuite, il y a la possibilité deconstruire des unités syntagmatiques parl’organisation de plusieurs signes autour d’unsymbole dominant (un symbole d’égalité oud’inégalité). Cette possibilité conduit à desopérations de substitution d’expressions oude transfert d’expressions salva veritate,c’est-à-dire salva suppositione. C’est ce quifait l’originalité du calcul algébrique.

Pour illustrer cette rupture, nous nouslimiterons à la seule émergence des lettresen rappelant comment, avec Viète etDescartes, elle s’est inscrite dans laconstitution de l’écriture algébrique (Serfati,1987).

L’émergence des lettres comme symbolesalgébriques a longtemps été réduite à ladésignation d’une quantité inconnue, laquellefut appelée res ou cosa pour faciliter larésolution d’un problème. On en retrouve

d’ailleurs la trace dans l’explication queLacroix donnait des signes algébriques :« ...la détermination du nombre inconnu parle moyen des nombres donnés » (Lacroix1820, p. 1). Cependant, c’est avec lasubstitution de lettres à des motsdésignant différents types de grandeursque les lettres comme signes se sontvéritablement constituées. Ainsi, pour necombiner dans le calcul que des grandeurshomogènes, Viète a classé les grandeursselon deux critères : le critère géométriquedes genres (planus, solidus..) et le critèrenumérique d’un produit scalaire (quadratus,cubus..). Et pour pouvoir définirsystématiquement et brièvement les règlesde composition des opérations selon lanature des grandeurs, Viète a abrégé pardes lettres les mots qui désignaient lesdifférents types de grandeur. Cettesubstitution systématique de lettres à desmots référant déjà à des types de grandeurconduit, chez Descartes, à l’écritured’équations et à la notation des puissances,lesquelles ont ouvert la voie à la notion depolynôme (Serfati, 1987). Et cela s’est faiten fonction d’une exigence cognitived’économie que Descartes a formulée dansla règle XVI des Regulae. Il faut condenseren un seul signe tout ce qui intervient dansla résolution d’un problème, c’est-à-dire toutce que Viète avait bien pris soin de séparerpour les calculs : les quantités connues ouinconnues (res) et les deux genres degrandeur, géométrique (solidus) ou scalaire(cubus).

L’autonomie sémiotique des signes qui s’estainsi imposée en algèbre s’est donc faite auprix d’une réduction-condensation desdifférents types d’objets représentés. End’autres termes, l’autonomie sémiotique dessignes en algèbre s’est faite au prix d’uneneutralisation de leur fonction cognitived’évocation (supra Figure 1) et, par la suite,de toutes les relations fondamentales. Seulimporte ce que Husserl a appelé leur


« signifié opératoire », c’est-à-dire les règlesd’emploi (règles de priorité, desubstitution...). On comprend alors laquestion du sens des signes algébriques queLeibniz soulève dans un texte de 1684, doncpeu après la constitution de l’écriturealgébrique moderne : «... cette pensée là,j’ai coutume de l’appeler aveugle ou encoresymbolique... ; c’est celle dont nous usonsen algèbre et en arithmétique.. » (Leibniz1972, p. 152-153).

2.2 Peut-il y avoir des transformationsfigurales purement visuelles ?

Il semble plus difficile d’associer desreprésentations figurales, que ce soit des« images », des schématisations ou desfigures géométriques, à des opérations.Bresson (1987) soulignait qu’une figurereprésente un état et que la représentationd’une transformation exige la représentationde deux états, l’un initial et l’autre final. Cesont les différences entre deux figures qui

« Deux rôles au moins, peuvent être attribués aux figures en géométrie : d’une part, elles illustrent les situations

étudiées, d’autre part elles servent de support à l’intuition au cours de la recherche en faisant apparaître sur un objet

visible des relations ou des hypothèses de relations qui ne sont pas clairement évidentes dans un énoncé verbal »

(Bessot 1983, p.35). La distinction entre dessin et figure reprend cette opposition entre ce qui est visuel, donc particulier,

et l’ensemble des propriétés qui le sous-tendent et qui en font un dessin parmi d’autres.

2

peuvent évoquer un mouvement, une actionou une opération. Et en ce qui concerne lagéométrie, les opérations sont généralementassociées à des propriétés qui ne peuventêtre mobilisées qu’en fonction d’hypothèses.Par conséquent, le contenu visuel d’unefigure géométrique ne remplirait que l’unedes fonctions suivantes : soit une fonctiond’illustration pour faciliter la compréhensiond’un énoncé soit un support pour desopérations commandées par leraisonnement et non pas par le contenuvisuel de la représentation2.

Cependant, et contrairement à cette opinioncommune, il est important de remarquer queles représentations figurales suggèrentou induisent des opérations qui sontinternes au contenu visuel de lareprésentation. Nous nous limiterons ici àun exemple très simple. Le dessin d’unquadrilatère concave induit plusieurstransformations visuelles possibles, commeon peut le voir ci-dessous :

C. Complémentation

figurative ou iconique

A. Deux complémentations

successives

B. Partage symétrique

Figure 6. Trois transformations visuelles possibles d’une forme polygonale concave

Relime 62

La transformation A se fait parcomplémentation. Cette transformation résulteautomatiquement des lois d’organisationperceptive qui conduisent à voir les formesconcaves dans leur enveloppe convexe.Ainsi un quadrilatère concave estspontanément transformable en unassemblage de trois triangles. Cettetransformation ne doit pas être confondueavec une règle essentielle pour lespropriétés affines d’une figure: joindre tousles points singuliers (sommets) d’une forme,règle dont la mise en œuvre visuelle n’estjamais évidente comme on peut le vérifieravec les quadrilatères convexes, surtout s’ils’agit de faire apparaître les droites qui sontles supports des segments tracés (Duval &Godin, 2005). La transformation B résultede la reconnaissance d’une organisationsymétrique.

On remarquera que ces deux types detransformation ne dépendent ni d’uneinterprétation fondée sur une ressemblancepartielle ou complète avec quelque chosed’autre, ni d’une interprétation en termesd’objets représentés. Le recours à des

propriétés mathématiques sert seulement àles justifier.

Il n’en va pas de même avec la transformationC. Elle se fait en fonction d’une ressemblancedu contenu avec un objet extérieur del’environnement : une flèche, une lance, laforme concave du quadrilatère étant ici miseen rapport avec celle d’une partie de la formetypique d’une lance. La transformation C se faitévidemment sur la base de connaissances.

Ce sont des transformations de type A ou Bqui constituent l’enrichissement intuitif desfigures en géométrie. Elles sontindépendantes de toute analyse des figuresen termes de propriétés . Elles dépendentd’abord de facteurs propres à lavisualisation. Il n’est peut-être pas inutilede rappeler ici que la géométrie fait appel àau moins deux types de représentationhétérogène et que chaque type dereprésentation y fonctionne indépendammentl’un de l’autre. Sinon pourquoi mobilisersimultanément deux représentationshétérogènes ?

Registre de la visualisation :un jeu de réorganisations

visuelles selon la forme ou selonle nombre de dimension desunités figurales reconnues

ARTICULATIONpar le codage dessommets avec des

lettres

Quels éléments desénoncés permettent

un ancrage dans lavisualisation ?

Quelle fonction rem-plit la figure par

rapport à l’énoncé et àla résolution du

problème :—illustration ?—heuristique ?

— objet support pourdes mesures ?

Registre du discours :mise en œuvre d’énoncés de

propriétés et de dérivation déductivedes énoncés

Enoncé du problème :

A’C’ et AC sont parallèlesA’B’ et AB sont parallèlesB’C’ e BC sont parallèles

Prouver que A est le milieu de B’C’

ABED et BCED sontdes parallélogrammes.

le théorème des milieux

Figure de départ

Figure 7. Analyse sémiotique des représentations géométriques (Duval 2005, p. 29)


L’un des points décisifs de l’enseignement dela géométrie porte sur la prise en compte desfacteurs qui favorisent l’entrée des élèves dansle jeu cognitif complexe de toutes lestransformations des représentations figurales(Duval 1995b, 2005).

2.3 Transformations sémiotiques etdémarches de pensée

Les théories du signe reposent, implicitementou explicitement, sur l’idée que les signesremplissent d’abord une fonction decommunication et qu’elles fournissentsecondairement une représentation d’appuipar rapport à la pensée et à ses démarches.Cette idée est d’ailleurs reprise dansbeaucoup d’études sur le rôle et l’usage dessignes en mathématiques (Kaput 1987). Or,c’est cette idée qu’il faut remettre en causesi l’on veut analyser et comprendre le rôledes signes en mathématiques. Enmathématiques, les signes ne remplissentpas d’abord et essentiellement une fonctionde communication mais une fonction detraitement. Condillac (1982) semble être lepremier dans l’histoire à avoir mis l’accentsur cette fonction fondamentale des signes.Et les mathématiques sont le domaine deconnaissances où l’on utilise le spectre leplus étendu et le plus hétérogène dereprésentations sémiotiques. Mais, commenous avons pu le voir avec les deuxexemples précédents, cela se fait toujours

en fonction des opérations de transformationque chaque type de représentation rendpossible. Et là, nous devons distinguer deuxgrands types d’opérations :

— celles qui sont externes aux élémentsutilisés, les représentations étant alors despseudo objets que l’on peut manipulerlibrement, et ce sont seulement le résultatd’une opération déjà faite qui peut êtremarqué. Ici on peut séparer et opposer lesreprésentations et les actions (« perceptivo-gestuelles » selon l’expression de G.Vergnaud), comme cela se fait dans lathéorie piagétienne.

— celles qui sont intrinsèques etspécifiques au système de représentationsémiotique, comme avec les écrituresnumériques de position, l’écriture algébriqueet ou les représentations figurales engéométrie. Ici on ne peut plus opposer lesreprésentations et les opérations. Car il y ades opérations sémiotiques et il y a desopérations qui ne sont possibles quesémiotiquement. Et toutes les opérations etles transformations mathématiques sont dece type. Les démarches de penséemobilisent toujours un type issu desmultiples types possibles de représentationsémiotique. En mathématiques, elles enmobilisent plusieurs à la fois, même si unseul occupe le devant de la scène.

On peut résumer cela dans le tableau suivant :

Figure 8. Les différents types de transformations sémiotiques.

Transformation d’une représentation en une autre du même genre par des OPÉRATIONS

Externes aux signes prisisolément

Marques unités

Opérations de reconfiguration portant surdes formes ou sur des positions

Spatialcontinu

Figures engéométrie

discret

Système numériquede position

Opérations discursives dans unelangue naturelle ou formelle

Sémantique(référence àdes objets)

Syntaxique Formationd’expression et

d’énoncésEcriture algébrique

(ouverte à l’intégration dequantificateurs)

Dépendant de principes d’organisation d’un système sémiotique

Relime 64

Lorsque les transformations sont externesaux signes utilisés, c’est-à-dire lorsque cesderniers ne remplissent qu’une fonction desupport, elles peuvent être réaliséesmatériellement d’une manière équivalenteà une transformation symbolique. Enrevanche, si certaines transformationssémiotiques peuvent être reproduitesmatériellement, elles deviennentcependant très vite impossibles à réaliser,non seulement pour des raisons de coûtmais surtout parce qu’elles ne sont pasconcevables en dehors de lareprésentation symbolique qui les permet.On peut d’ailleurs remarquer qu’il n’y asouvent aucune congruence entre laréalisation matérielle d’une opération et saréalisation symbolique. C’est l’une desdifficultés, dans la représentation desnombres, lors du passage des marquesunités au système décimal. Et c’est aussil’une des difficultés en géométrie oùl’articulation des énoncés avec les figuresexige la déconstruction dimensionnelle desformes visuelles reconnues (Duval, 2005).

De la représentation iconique ou matérielledes petits nombres à leur représentationsystématique dans une écriture décimale,binaire, etc., le saut sémiotique et cognitifà faire est considérable. Mais ce n’est làqu’un exemple parmi d’autres de ce quiconstitue l’obstacle spécifique àl’apprentissage des mathématiques :passer d’un type de représentationsémiotique à un autre.

III. LE PASSAGE D’UN TYPE DEREPRÉSENTATIONS SÈMIOTIQUES A

UN AUTRE : PROBLÈME CLÉ DEL’APPRENTISSAGE.

Le phénomène le plus importantconcernant les représentations est qu’il n’ya pas une seule représentation pour unobjet, comme pourrait le laisser croire la

définition fonctionnelle (Figure 1), mais unetrès grande diversité de représentationspossibles pour un même objet. On connaîtla célèbre photo intitulée « une et troischaises ». Celle-ci juxtapose, dans unmême montage, une chaise, une photo decette chaise et la description verbale decette chaise. Mais un autre montage auraitpu tout aussi bien permettre de faire unephoto « une et cinq chaises » en ajoutantdes schémas ou un plan de montage dela chaise à partir de morceaux livrés enkit. En réalité, i l y a autant dereprésentations possibles d’un objet qu’ily a de systèmes différents producteurs dereprésentations (Duval, 2006b). Et celavaut aussi bien pour les représentationsnon sémiotiques que pour lesreprésentations sémiotiques. Le problèmecognitif que pose cette diversité dereprésentations possibles est celui de lareconnaissance du même something else(ou aliud aliquid ), c’est-à-dire du mêmeobjet, dans les contenus différents dechacune de ses multiples représentationspossibles.

Ce problème est crucial pourl’apprentissage des mathématiques dontla situation épistémologique est totalementdifférente de celle des autres disciplines.En effet, dans les autres domaines deconnaissance, les objets et lesphénomènes étudiés sont accessiblesperceptivement ou à l’aide d’instruments(microscope, télescope, etc..) quiaugmentent soit le champ de la perceptionsoit les capacités de détection (les sondesspatiales pour cartographier la planèteMars). On peut alors ancrer chaque typede représentation dans une expérienceperceptive directe ou instrumentalementmédiatisée. Cela n’est pas possible pourles mathématiques. Car les objetsmathématiques ne sont pas accessiblesperceptivement et, en mathématiques,l’attention se porte toujours sur tous les cas


possibles et non pas seulement sur ceuxqui sont réellement observés ouobservables. L’accès aux objetsmathématiques passe nécessairement pardes représentations sémiotiques,rudimentaires ou complexes. C’est danscette situation épistémologique trèsparticulière que le problème cognitif dela diversité des représentationssémiotiques devient crucial .

Rappelons tout d’abord l’un desphénomènes les plus caractéristiques del’activité mathématique : la mobilisation,simultanée ou successive, de plusieurstypes de représentations sémiotiques y estconstante. D’une part, toute activitémathématique exige que l’on puisse passerd’un type de signe et de représentation àun autre type, c’est-à-dire que l’on puisseconvertir la représentation d’un objet enune autre représentation du même objetdans un autre système sémiotique, afin dese donner d’autres moyens de traitementou de contrôle. D’autre part, la pratique del’enseignement des mathématiques tend àjuxtaposer des représentationssémiotiques différentes comme si celadevait rendre l’accès aux objetsmathématiques plus facile. Il suffit d’ouvrirn’importe quel manuel à n’importe quellepage pour le constater. Et le recours àl’informatique permet de développer cettestratégie.

Or, tout cela présuppose que les élèvespuissent comprendre ce passage d’un typede représentation à un autre, et surtoutcomprendre comment il se fait. Car, commentreconnaître que deux représentations, dontles contenus sont différents , puissent être

deux représentations du même objet, si onn’a pas la possibil ité d’avoir uneexpérience de cet objet en dehors de cesdeux représentations? On peut se référerà une autre troisième représentationsupposée plus familière. Mais, c’estsimplement déplacer le problème. Là, setrouve le seuil de compréhension quebeaucoup d’élèves ne franchissent pas.

Il ne s’agit pas, ici, de présenter lesméthodes d’observation et les résultats quimettent en évidence la relation entre leséchecs pour passer d’un type dereprésentation à un autre et les difficultésrencontrées par les élèves enmathématiques (Duval 1996, 2006a).L’intérêt d’une approche sémiotique estplus théorique. Il est d’analyser commentfonctionne chacun des systèmessémiotiques utilisés en mathématiques etd’expliciter le saut cognitif considérableque le passage de l’un à l’autre exige. Celaest important pour comprendre lacomplexité des apprentissages. Car, quelsque soient les contenus et les objectifsvisés, l’enseignement des mathématiquesimplique nécessairement l’introduction denouveaux types de représentation et ilexige que les élèves puissent passerspontanément de l’un à l’autre.

Pour illustrer les sauts existant entre dessystèmes de représentation hétérogène,sauts qui sont au cœur des tâchesmathématiques demandées aux élèves,nous pouvons garder l’exemple desdifférents types de représentation desnombres (Figure 5). Ce qui est demandéaux élèves peut alors se traduire dans lestrois séries de flèches suivantes :

Relime 66

Figure 9. Ruptures sémiotiques dans la représentation des nombres et/ou des grandeurs.

3.1 Des dessins schématisant desobjets matériels jusqu’à l’écriture

algébrique : un ordre d’introductionprogressif aveugle aux ruptures ?

Les passages représentés par les flèches(1) (2) et (3) dans le tableau ci-dessus sontsouvent considérés comme un ordre, aussibien génétique qu’historique, d’apparition.C’est un tel ordre que l’enseignement suitde la Maternelle jusqu’au début du Collège.Or, c’est évidemment le passage (3) quiretient le plus l’attention en raison du passagede l’arithmétique à l’algèbre, tandis que lepassage (2), celui de marques unitésmanipulables comme des objets matériels àun système d’écriture de position, n’est pasconsidéré comme un saut sémiotiqueimportant parce qu’il s’agirait toujours desmêmes objets, les nombres entiers !Pourtant, ce changement de représentationaffecte le sens des opérations3, car il introduitdes algorithmes d’opérations qui n’ont plus

Il y a deux types d’interprétation des signes mathématiques qu’il est capital de ne pas confondre. L’un est interne aux

démarches mathématiques et l’autre concerne l’application d’opérations ou de modèles mathématiques à des situations

de la réalité physique, économique ou quotidienne, dont il faut sélectionner des données (Duval, 2003). En ce sens, il y a

une sémantique mathématique et une sémantique commune, celle correspondant à la pratique commune du langage et

à la culture d’un milieu ou d’une société. Pour pouvoir justifier les mathématiques, l’enseignement tend à rabattre la

sémantique mathématique sur la sémantique commune ! Cela se révèle catastrophique pour l’analyse des problèmes

d’apprentissage. Car nous sommes là devant deux types de problèmes très différents.

3

rien de commun avec des manipulationslibres sur des marques unités. Et il marquecomme une première ligne d’arrêt, souventmasquée par une fausse familiarité avecl’usage culturel du système décimal dansl’apprentissage des mathématiques.

Voici deux exemples de difficultés classiqueset récurrentes auxquelles l’apprentissage seheurte. Ceux-ci soulignent la complexitésémiotique, irréductible et trop souvent sous-estimée, de la représentation décimale desnombres.

Le premier exemple est emprunté à uneenquête d’évaluation nationale sur lesdécimaux chez des adultes et porte surdes situations de la vie courante (Leclère,2000 ) :

« Les adultes que nous avons observés ontentendu ou retenu : «multiplier par 10, c’estrajouter un zéro! »

TYPES DEREPRÉSENTATION

DESNOMBRES

Passages d’untype à un autre

Etcoordination

cognitive

I. Des dessinsschématisantdes d’objets

(1)

Pas de principesd’organisation pour

l’emploi des marques

II. Des marquesunités formellement

indiscernables

(2)

?

Des principes d’organisationdéterminent l’EMPLOI des

signes et leurs COMBINAISONSen unités de sens (expressions)

III. Des systèmesd’écriture de

position

(3)

(5)(5bis)

?

IV. Notationsalgèbriques

(4)

?


— 10 forets à 25,99 F cela fait combien ?

— Combien exactement ?

— Combien ?

— à peu près 300 balles!

— Je vais faire l’opération

— 250, 99 ! peut-être plus !

sait faire 25 x 10 et 30 x 10 maisne voit pas

25,9 proche de 26

(et donc ne fait pas 26 x 10)

Figure 10. Exemple d’incompréhension typique du système de la représentation décimale desnombres

Avant de résulter d’une incompréhensiondes nombres décimaux, cet exemplemontre une incompréhension du systèmede représentation des nombres. En effet,ce qui a été retenu par ces adultes reflèteune double déficience : d’une part, le nonaccès au principe d’organisation del’écriture, dont la règle retenue n’est qu’unedescription partielle et, d’autre part, la nonarticulation de l’écriture numérique avecl’énonciation orale des nombres, utiliséepar ailleurs sans erreur pour estimer lesordres de grandeur des prix familiers !

Le deuxième exemple montre que lerecours à un type de représentation plus

familier ne constitue pas nécessairementune aide pour entrer dans un autresystème. Car cela soulève deuxquestions. La première est celle de lacongruence entre les deux types dereprésentations. La seconde est celle desavoir si on peut articuler, par exemple,une représentation concrète ou iconiqueet une représentation symbolique. Dansle cadre de l ’apprent issage de lamultiplication, le problème suivant a étéprésenté : Madame Dubois a acheté 5tablettes de chocolat à 7 francs l’une.Combien a-t-elle dépensé ?». Les troistypes de réponses ont été observées(Brissiaud 1995 ,15).

Figure 11. Quelle articulation entre deux types de représentation ?

7f. 7f. 7f. 7f. 7f.

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35

Elle a dépensé 35 F.

5

2

Elle a dépensé 7 Francs

Sébastien Mélanie Cécile

7 x 5 = 35

Elle a dépensé 35 F.

Relime 68

Les deux premières productions utilisentsimultanément des dessins schématisantdes objets et l’écriture décimale desnombres. Or, le recours à lareprésentation iconique d’une quantitéconduit à des productions différenteschez Sébastien et chez Mélanie.

Chez Sébast ien, la représentat ioniconique d’une quantité est mise encorrespondance avec les prix unités. Or,il est important de voir que ce type dereprésentation iconique impose quasinécessairement l’opération additive !Chez Mélanie, la représentation iconiqued’une quantité induit une opération deregroupement des images schématiséesde tablettes et cette opération estmarquée par un encerclement (2.1.1).Cela conduit à une impasse sémiotiquecar aucune correspondance pertinentene peut plus alors être établie avecl’écriture numérique des nombres.

Ces deux exemples montrent que lepassage d’une représentation iconiquedes nombres par des marques unités àla représentat ion par un systèmed’écriture de position constitue peut-êtreun saut analogue à celui del’apprentissage de la lecture. Et pour lesdifficultés qui apparaissent à travers cesexemples, on pourrait ici presque parlerde dif f icul tés d’alphabétisat ionnumérique . En revanche, les difficultésd’entrée dans l’algèbre sont d’une touteautre nature : elles concernent la maîtrised’un langage, à commencer par lesopérations discursives de désignation(Duval, 2002). Or, chacun sait que, dansle langage, ce ne sont pas les mots quiimportent mais les énoncés et, sous-jacentes aux énoncés, les opérationsdiscursives qui en construisent le sens(Duval,1995a).

3.2 De l’écriture algébrique auxdessins et aux marques unités : quelle

fonction et pour qui ?

La deuxième série de flèches (les flèchesinverses (4), (5), (5bis) de la Figure 9)correspond aux productions individuellesque l’on peut observer chez des étudiantsou dans des manuels. Celle-ci marque unretour vers des représentations pseudoconcrètes qui sont à la fois manipulableset qui correspondent à de petites quantitésque l’on peut « voir ». Ce retour peutrépondre à des besoins très différents.

Ce peut être pour des besoins de bricolage,lors d’une phase de recherche d’unproblème, ou pour des besoins devérification (Hitt, 2003). Ce peut-être aussipour un besoin de preuve. AinsiWittgenstein lui-même, voulant soulignercontre Russell la nécessité d’une synopsisdans un processus de preuvemathématique, n’hésite pas à dessiner:

||||||||||||||||||||||||||| ||||||||||||||||Puis il commente :

« Cette figure est-elle une preuve que 27+ 16 = 43 parce qu’on arrive à «27» encomptant les traits du côté gauche et à«16» quand on compte ceux du côtédroit , et à «43» quand on compte lasérie entière ?... A quoi tient l’étrange ici -quand on appelle la figure preuve de cetteproposition ? Eh bien à la façon dont ilfaut reproduire ou reconnaître cettepreuve : en ce qu’elle n’a pas de formevisuelle caractéristique... » (1983, p. 143).

Quel que soit le besoin ou la fonctionparticulière qui commande l’utilisation deces représentations qu’on peut manipulercomme des pseudo objets, cette utilisationmanifeste toujours le besoin de s’éloigner


de l’abstraction sémiotique, « aveugle »selon Leibniz, pour revenir aux chosesmêmes, ou du moins à ce qui aiderait àles apercevoir.

Cependant, il faut être ici extrêmementprudent dans l’ interprétation desutil isations faites de ce type dereprésentation. Outre la polyvalencefonctionnelle de leur utilisation, on peut sedemander si le recours à ce type dereprésentation correspond aux mêmesdémarches cognitives chez un expert etchez un élève du primaire. En d’autrestermes, le recours à ces représentationsrelève-t-il de la même compréhension chezcelui qui peut à loisir passer d’un type dereprésentation à un autre et chez celui quine peut travailler qu’avec desreprésentations pseudo concrètes ? Cettequestion est celle de la coordination entreles différents types de représentations et,donc, celle de la capacité des individus àpasser d’un type de représentation à unautre. Elle est marquée par la troisièmesérie de flèches sur la figure 9 ci-dessus.

3.3 Les difficultés intrinsèques à lacoordination des registres de

représentation et les passages d’untype de représentation à un autre.

C’est la situation épistémologique trèsparticulière des mathématiques qui rendle passage d’un type de représentation àun autre si difficile et si insaisissable pourles apprenants. En effet, enmathématiques comme dans les autresdomaines de connaissances l’exigenceépistémologique de ne jamais confondreles représentations avec les objetsreprésentés demeure (Figure 1). Mais,comment ne pas confondre lesreprésentations sémiotiques avec lesobjets représentés, lorsque ces objets nepeuvent pas être atteints en dehors de cesreprésentations?

Une chose en tout cas est certaine : lacapacité à passer d’un type dereprésentation sémiotique à un autre et lareconnaissance d’un même objetreprésenté dans deux représentations dontles contenus sont différents sont les deuxfaces d’un même processus cognitif. Deuxréactions interprétatives manifestent ceprocessus cognitif et sont d’ailleursnécessaires pour conduire une activitémathématique ou résoudre desproblèmes :

— reconnaître un même objet représentéà travers deux représentations dont lescontenus sont sans rapports entre eux,parce qu’elles dépendent de systèmesdifférents. Il s’agit ici d’unereconnaissance identifiante quipermet, par exemple pour uneprocédure de dénombrement, de jouersur au moins deux registres différents :les représentations figurales etl’établissement de suites numériques.

— reconnaître deux objets différents, àtravers deux représentations, dont lescontenus paraissent semblables, parcequ’elles relèvent du même système dereprésentation et que, d’unereprésentation à l’autre, la variation decontenu est faible. Il s’agit ici d’unereconnaissance discriminante quiconduit, par exemple, à la variation del’écriture algébrique d’une fonction linéairequand on varie la position d’une droite surun plan organisé selon des coordonnéescartésiennes, et inversement ! Mais onpourrait également prendre l’exemple desénoncés de problèmes additifs, de misesen équations, et plus généralement tousles énoncés verbaux d’application desavoirs mathématiques à des situationsnon mathématiques.

Un individu ne devient capable de ces deuxréactions que lorsqu’il a commencé à

Relime 70

développer des coordinations entre lesdifférents systèmes de représentations.

Or, il ne suffit pas que l’enseignement aitfait suivre aux élèves le parcours marquépar les flèches (1), (2), (3) dans la Figure 9et que l’on voit les élèves effectuer desretours du type (4) ou (5), pour que de tellescoordinations cognitives se soientdéveloppées et que les élèves aient acquisde réelles capacités de conversion (Duval,2006 b). Le problème qui se pose dansl’enseignement des mathématiques n’estpas de savoir de quel type dereprésentations, sémiotiques ou nonsémiotiques, seraient les productionsspontanées des élèves, ou encore quelserait le meilleur type de représentationpour les élèves, mais pourquoi les élèvesont tant de mal à passer d’un type dereprésentation sémiotique à un autre etcomment leur faire acquérir cettecapacité. Car un élève incapable de cespassages se trouve très vite durablementbloqué dans sa compréhension et sescapacités de recherche et de contrôle, pourles activités mathématiques qu’on peut luiproposer.

IV. QUELLE SÉMIOTIQUE POUR LESMATHÉMATIQUES ET POUR

L’ANALYSE DES PROBLÈMES QUESOULÈVE LEUR APPRENTISSAGE ?

Il pourrait paraître provoquant d’affirmerque la sémiotique comme science dessignes reste encore à fonder et que lesdifférentes théories des signes souffrentdes limitations du champ particulier dessignes qu’elles ont étudiés : la logique etl’interprétation adaptative des phénomènesobservés dans l’environnement avecPierce, la linguistique avec Saussure ou

encore les phénomènes de codage et detransmission d’informations avecJakobson, etc. Ces théories ont eu aumoins l’intérêt de définir cinq relationsfondamentales pour analyser ce qu’onconsidère comme eikon et non comme lecorps dont on voit le reflet (Platon,République 509e), comme signum et nonpas comme la res (Augustin, 1997), commerepresentamen et non pas simplementcomme l’objet dont il tient lieu (Peirce,1978). En réalité, chacune de ces relations,ou parfois leur composition, caractérise untype particulier de signes : image réfléchieou image imitée, signe logique oualgébrique, signe linguistique, trace, indiceou signal. La question est de savoir si toutcela constitue un apport utile et pertinentpour l ’analyse des signes enmathématiques et du rôle qu’ils jouent dansle fonctionnement de la pensée. Pourcerner cette question avec plusprécision, nous allons examiner troisquestions.

4.1 Comment situer la distinctionsignifiant-signifié par rapport à la

relation signe-objet ?

La distinction signifiant-signifié est souventprésentée comme une analyse de lastructure interne des signes. Un signeserait constitué de deux éléments : sonaspect matériel qui le rend perceptible etson aspect immatériel qui serait sasignification. Cette distinction ne doitévidemment pas être confondue avec lafonction cognitive d’évocation d’un objetabsent dont le signe tient lieu (Figure 1).Les stoïciens ont été les premiers à avoirexplicitement bien séparé les deux aspectsde la « signifiance » des signes: lasignification et la dénotation.


λεκτον

sηµαινοµενον l'entité manifestée par le signe matériel

t υγχανον la chose réelle, physique(immatériel )

σηµαινον {sonore)

Signification

Dénotation

la parole dite Figure 12. Schéma de l’analyse stoïcienne de la signifiance des signes

On peut tout de suite faire trois remarques :

— La distinction entre signifiant et signifiéne vaut que pour les signeslinguistiques, c’est-à-dire pour leslangues dont l’emploi est d’abord oralpour remplir une fonction sociale decommunication. Cela veut dire que ladistinction entre signifiant et signifiéne s’applique pas aux symbolesmathématiques ni d’ailleurs auxsignes purement graphiques, c’est-à-dire purement visuels. Car lessignes purement graphiques, à ladifférence des signes linguistiques,lesquels sont d’abord oraux avant d’êtrecodés graphiquement, ne relèvent pasd’une double articulation (supra I.6). Ilsrelèvent uniquement d’une relation deréférence qui lie un caractère à un objet,constituant ainsi ce caractère en signe.Or, cette relation de référence est établiepar une opération de désignation (supra1.2) et elle peut d’ailleurs répondre à desfonctions très différentes selon lecontexte particulier de la démarche oùcette opération de désignation esteffectuée. Il n’y a pas de signifiantalgébrique, mais seulement desnotations qui sont des signes par leurseule référence instituée à un objet

(Freudenthal 2002 ; Weyl 1994).

— La distinction signifiant-signifié nepermet pas de définir la nature dessignes comme Saussure (1973) l’amontré. On ne peut donc pas considérerle signifiant et le signifié comme deuxconstituants qui auraient chacun uneidentité ou une réalité par eux-mêmes.Les signifiants (phoniques) comme lessignifiés lexicaux ne sont déterminésque par des différences respectivementà d’autres signifiants phoniques et àd’autres signifiés à l’intérieur d’unelangue (supra 1.4). Ce n’est pas lesignifiant qui signifie mais le signe danssa totalité indivisible.

— Les signes, à la différence dessignaux ou des représentations nonsémiotiques, relèvent toujours d’unemploi intentionnel . Cela veut direqu’il ne faut pas confondre les imagesproduites intentionnellement, commepar exemple les dessins, et les imagesproduites automatiquement par le seulusage d’un appareil ou par le jeu deslois physiques (celles par exemple dela réflexion). Cela veut dire aussi que,parmi les cinq relations fondamentalespermettant de caractériser des signes,

Relime 72

la relation d’opposition alternative (1.4)et la relation de référence (1.2) sont lesrelations les plus appropriées à unemploi intentionnel. Cela estparticulièrement net pour la relation deréférence qui s’inscrit toujours dans uneopération discursive de désignation d’unobjet (individu, classe, relation, etc.).

Il apparaît donc qu’on ne peut pas mettresur le même plan la distinction signifiant-signifié, laquelle relève de la doublearticulation spécifique aux langues, et larelation signe-objet, laquelle relève d’uneopération discursive de désignation ou dedéfinition. Ce qu’on a présenté comme letriangle sémiotique (Eco 1990, p.31-33) estune illusion néfaste pour la compréhensionde ce qu’est un signe et de la manière dontil peut évoquer ou «tenir lieu». On ne peutpas fermer le schéma illustrant les deuxaspects, ou plus exactement les deuxniveaux de la signifiance des signes (Figure12) : le niveau du système sémiotiqueconstitutif d’un type de signes (par exempleune langue naturelle ou formelle) et leniveau du discours produit ou du traitementeffectué à l’aide de ce système sémiotique.

Il faut donc s’interroger sur la pertinencedu recours à la distinction signifiant-signifiéque l’on trouve dans beaucoup de travauxde didactique des mathématiques, danslesquels d’ailleurs le terme « signifié »devient vite synonyme de « concept » et leterme « signifiant » synonyme de « signe» ! Cette distinction induit un glissementd’idées qui conduit à des conclusionserronées : de l’immatérialité du signifié, onglisse à son caractère non sémiotique et,par la suite, à la nécessité de doubler lesreprésentations sémiotiques par desreprésentations mentales pures. Comme sila pensée était indépendante de tout lectonou de tout langage !

4.2 Comment distinguer, dans lavariété des signes, différents types oucatégories de signes : en fonction des

relations fondamentales ou enfonction des systèmes producteurs de

signes et de représentations ?

C’est certainement l’apport de Peirce qued’avoir mis cette question au centre del’étude des signes. Et c’est lui qui a proposéla première classification systématique dessignes. En fait, cette question de laclassification recouvre deux problèmesqu’il est important de ne pas confondre. Ily a tout d’abord celui du corpus de signeset de représentations, c’est-à-dire lechamp d’observation à partir duquel onétablit la classification. Il y a ensuite leproblème des critères ou des principes quel’on retient pour établir la classification.

4.2.1 Quelle diversité de signes et dereprésentations sert de base à l’étude

des signes et des représentations?

Il faudrait ici produire un corpusd’exemples. Nous ne pouvons iciqu’évoquer la variété des signes et desreprésentations que l’on met sous les mots« image » et « symbole », ce qui rendl’emploi de ces termes problématique ouéquivoque.

Ainsi le mot « image » peut recouvrir nonseulement des dessins schématisés oudes « copies » (Figure 2) mais égalementdes reflets dans un miroir ou encore lesproductions du rêve, les souvenirs visuels.C’est sur la base de ce type d’images quePlaton a élaboré son analyse de lareprésentation. Le développementtechnologique est venu élargir encore cettegamme avec les photos argentiques et lesphotos numériques. Quoi de commun entretous ces types d’images ?


Le mot « symbole » est employéégalement pour une variété considérablede signes : les notations mathématiques,les sigles, et même des fragments del’objet représenté. Peut-on aussi l’utiliserpour caractériser les mots de la langue ?L’opposition « antithétique », soulignéepar Benveniste (1974), entre l’approchede Peirce et celle de Saussure, vient dece que le premier avait cherché à prendreen compte la diversité des signes, aurisque de perdre la spécificité des languesnaturelles, et que le second s’était aucontraire limité à la langue en en faisantle système sémiotique par excellence,c’est-à-dire celui dont les autres pouvaientêtre dérivés. Mais qu’y a-t-il de communentre les mots d’une langue et lesnotations mathématiques ?

Si maintenant nous regardons lesmathématiques, nous sommes devant unesituation encore plus complexe, car lesmathématiques utilisent une gamme trèsétendue de signes et de représentations.

Il y a, d’une part, tous les types de signesprogressivement créés pour le calculnumérique et algébrique, mais il y aégalement les figures en géométrie, quipeuvent ressembler à des dessinsschématisés, mais qui ne le sont pas, et ily a aussi tous les graphes et enfin la languenaturelle qu’il ne faut pas oublier. Car lalangue naturelle continue de jouer un rôleessentiel en mathématiques: sans elle, ilne pourrait pas y avoir d’énoncés, c’est-à-dire de définitions, de théorèmes ou mêmed’énoncés de problème.

4.2.2 Selon quels critères distinguer etclasser la variété des signes et des

représentations ?

Pour classer la variété des signes, Peircea pris comme critères deux des cinqrelations fondamentales que nous avonsdistinguées plus haut : la relation deressemblance (1.1) et la relationcause effet (1.3.1 ). Avec ces deuxrelations, i l a établi la partit iontrichotomique suivante :

Contenu du

representamen

ICONES SYMBOLES INDICES

OUI NON

Objet

représenté

Effet

observéCause

RESSEMBLANCE CAUSALIT É

OUI

Figure 13. Partition trichotomique des signes selon Peirce

On remarquera qu’il n’y a pas de rapport entre les deux relations retenues par Peirce.En effet, dans la première relation, les signes et les représentations sont caractériséscomme étant des representamen à partir de leur seul contenu. Dans la seconde relation,les signes et les représentations sont considérés comme étant le résultat, ou l’effet duphénomène ou de l’objet qu’ils évoquent. Ce peut être un effet direct comme la fumée.Mais ce pourrait être aussi bien un effet indirect médiatisé par un système physique (un

→

Relime 74

appareil photo) ou neurophysiologique (lamémoire visuelle). De toute manière, laclassification de Peirce se limite àjuxtaposer ces deux relations hétérogènes.

Pour notre propos, la principale questionn’est cependant pas là. Elle est de savoirsi cette trichotomie est suffisammentdiscriminante pour être utilisée dansl’analyse des productions mathématiques.Par exemple, le recours à la notion d’icône,fondée sur la relation de ressemblance,permet-elle de distinguer les différencesentre les figures schématisées qui peuventévoluer vers des marques unités (Figure2, 4 et 5), les figures figuratives (Figure 2)et les représentations visuelles de lagéométrie (Figures 3, 6 et 7) ? Le recoursà la notion de symbole, permet-il dediscriminer entre les systèmes d’écrituredes nombres, les symboles algébriques oulogiques, et les mots d’une langue (Figure4, 5 et 12) ? D’une manière plus générale,cette partition trichotomique permet-elle deprendre en compte les signes quidépendent d’un système producteur, c’est-à-dire de principes d’organisation générantdes règles de formation et une syntaxe4, etles marques qui sont des supports pour desopérations libres ou encore qui sontseulement la trace d’une opération faite ?Cette question n’a rien de général et devague. Peut-on, par exemple, appliquer lacatégorie d’indice pour désigner le recoursà des lettres marquant une opérationdiscursive de désignation et répondant àune fonction d’abréviation (Radford,1998) ?

La tentative de la classification des signespermet donc de formuler un problèmethéorique fondamental pour la sémiotique :

4 Rappelons que le principe de position de l’abaque génère une règle de composition des signes qui permet de désigner

systématiques et sans confusion n’importe quel nombre entier, la seule limitation étant celle du coût temporel et spatial.

En ce sens le principe de position de l’abaque génère un ébauche de syntaxe.

les relations fondamentales pour l’analysedes signes, peuvent-elles être des critèrespertinents et discriminants pour établir uneclassification des signes utilisable enmathématiques ? Il semble qu’aucunethéorie sémiotique cohérente ne soitsusceptible d’articuler ensemble lesdifférentes relations fondamentales qui ontété mises en évidence de Platon àSaussure. Il semble en outre, que cesrelations ne permettent pas de prendre encompte ce qui est pourtant essentiel pourl’activité et la pensée mathématiques : latransformation des représentations (supra II).

En réalité, si l’on veut classer les signes, ilfaut partir d’un tout autre point de vue : celuides systèmes qui produisent lesreprésentations. La variété desreprésentations vient de la diversité dessystèmes producteurs de représentations,ainsi que nous l’avons déjà suggéré plushaut à propos de la photo intitulée « une etn chaises ». Car il y a autant de types dereprésentations possibles qu’il existe desystèmes différents pour les produire. Cesont donc moins les représentations qu’ils’agit de classer que les systèmespermettant de les produire (Duval, 1999).Ces systèmes peuvent être :

— de nature physique (reflets,photographies) ou neurophysiologique(images oniriques, souvenirs visuels...) :dans ce cas, la relation est une relationde causalité et le mode de production nedépend pas de l’intention du sujet maisdes propriétés du système qui produit lareprésentation. En retenant la relation effetobservé cause, Peirce s’en est tenuaux seuls systèmes physiques commesystèmes producteurs de représentation.

→


— de nature sémiotique : dans ce cas, larelation est une relation de référence etla production est une productionintentionnelle, c’est-à-dire opérant deschoix dans la production desreprésentations qui impliquent uneélaboration combinant des unités desens. Il est surprenant que l’on ait peuou pas du tout prêté attention au fait queles systèmes sémiotiques sont aussides systèmes producteurs dereprésentation. Cela est pourtantfrappant en mathématique, ne serait-cequ’avec les systèmes de numération !Mais, c’est aussi frappant avec leslangues naturelles. L’oublier, c’estoublier toute la création littéraire etpoétique.

En ce qui concerne les mathématiques, cesont évidemment les systèmessémiotiques qui sont intéressants, et nonpas les systèmes de nature physique ouorganique. On peut alors classer lessystèmes sémiotiques en prenant encompte deux aspects : d’une part, selonqu’ils permettent, ou non, des traitementsalgorithmiques et, d’autre part, selon qu’ilssont multifonctionnels ou monofonctionnels.Nous obtenons ainsi quatre grandesclasses de registres de représentationutilisées en mathématiques (Duval 2003 ;2006a p.110). Elles permettent, enparticulier, de voir que la géométriemobilise au moins deux types totalementdifférents de représentations. Cetteclassification permet de mettre enévidence les deux grands types detransformations des représentations, c’est-à-dire les conversions et les traitementsqui font la dynamique de toute activitémathématique (Figures 7 et 9) ainsi queles variables cognitives qui jouent dansl’apprentissage des mathématiques.

4.3 L’analyse des signes et dessystèmes sémiotiques, peut-elle être

entièrement subordonnée à lafonction remplie par les signes dans

un contexte déterminé ?

Cette question touche le problème desrapports entre une analyse fonctionnelledes signes et une analyse structurale. Ilfaut reconnaître que, dans la plupart destravaux, hormis ceux qui prennent encompte l’apport de Saussure, l’analysedes signes est faite en leur assignant uneou plusieurs fonctions, sans que ni uneanalyse structurale du fonctionnementpropre à chaque type de représentationni une étude systématique de leursfonctions possibles (Duval, 1999) n’aientréellement été faites. Ainsi, pour lalangue naturelle, c’est la fonction decommunication qui est immédiatementretenue. Mais, lorsqu’ i l s ’agi t desnotat ions algébriques, on fai tévidemment appel à d’autres fonctions :

— abréger, faire court, non seulement poursoulager la mémoire mais égalementpour appréhender le plus grand nombrede signes (et donc d’objets) dans unseul acte de pensée. En d’autrestermes, i l s’agit de transformerl’appréhension successive d’uneséquence en une appréhensionsimultanée. Cette fonctiond’économie cognitive, qui a étéexplicitée pour la première fois parDescartes, tient essentiellement comptedes limitations des capacités del’intuition et de la mémoire (supra 2.1.3).Mais, cette fonction d’économiecognitive ne peut réellement être miseen œuvre que dans une productionécrite des signes, et non pas dans laparole.

Relime 76

— pouvoir effectuer des substitutions designes entre eux. C’est la fonctionmathématique de traitement que lessignes doivent remplir pour permettred’effectuer des calculs. Et la puissancede calcul dépend évidemment dusystème sémiotique utilisé.

Il y a bien d’autres fonctions que nousn’allons pas prendre en compte ici. Celasuffit pour soulever les deux problèmessuivants en nous limitant aux seulesfonction de communication et detraitement.

4.3.1 Un même système sémiotiquepeut-il remplir des fonctions

hétérogènes ?

Le langage, c’est-à-dire l’expression dansun langue naturelle, répond prioritairementà une fonction sociale de communication.C’est à ce titre que l’on oppose souventles mathématiques et le langage.Cependant, la langue naturelle est aussiutilisée, par exemple en géométrie, poureffectuer des démarches mathématiquesqui vont permettre de remplir une fonctionde preuve : pour définir, pour énoncer desthéorèmes, pour déduire. Ce changementde fonction dans l’utilisation de la langueentraîne un changement, souvent nonremarqué, dans les opérations discursivesqui vont être privilégiées (Duval, 1995a).La difficulté de l’utilisation de la languenaturelle en mathématiques tient au faitqu’un changement de fonction dans sonutilisation entraîne un autre type defonctionnement du discours. Et, le plussouvent, ce changement de fonction nepeut se faire qu’en passant d’une modalitéd’expression orale à une modalitéd’expression écrite. Car la pratique oralede la langue ne permet pas de remplir lesmêmes fonctions que sa pratique écrite(Duval 2000, 2001). C’est là une sourceprofonde, et souvent niée, d’équivoques

dans l’enseignement des mathématiquesentre les enseignants et leurs élèves(Duval, 2003).

On pourrait faire des remarques analoguesà propos des fonctions très différentes quel’on fait remplir aux figures géométriques(Duval, 2005).

Au contraire, les systèmes que nous avonsappelés « monofonctionnels », comme lessystèmes de numération ou le symbolismemathématique constitutif des langagesformels, ne permettent de remplir qu’uneseule fonction, celle de traitement.

4.3.2 Quel est le degré de liberté del’interprétant dans la signification des

signes ?

Ce qui est le plus souvent cité, et retenu,de la définition des signes proposée parPeirce est la relation des signes à uninterprétant : « Un signe ou representamenest quelque chose qui tient lieu pourquelqu’un de quelque chose ». Cetterelation, que nous n’avons pas retenueparmi les relations fondamentales, est, eneffet, très générale et son utilisation dansl’analyse des productions requiert que l’onprenne en compte deux facteursimportants.

Le premier facteur est le type dereprésentation. Nous avons vu, parexemple, qu’il y avait deux grands types dereprésentation des nombres (Figure 4 etFigure 5). Lorsque la représentationdépend d’un système de numération,comme, par exemple, le système décimal,l’interprétant n’a aucun degré de liberté. Enrevanche, s’il s’agit de marques unités,l’interprétant dispose de tous les degrés deliberté qu’il souhaite puisque lesreprésentations lui servent seulement desupport externe pour des manipulationslibres.


Le deuxième facteur est la situation del’interprétant : est-il lui-même en situationde production, comme dans un travail derecherche, ou est-il en situation deréception, comme dans l’écoute ou lalecture d’une explication ? Dans lapremière situation, la relation del’interprétant aux signes varie selon qu’ilproduit les représentations pour lui-même,c’est-à-dire pour explorer, pour contrôler,pour mieux prendre conscience ou, aucontraire, selon qu’il produit lesreprésentations pour les autres, c’est-à-dire pour communiquer. Dans la premièresituation, c’est la fonction que l’interprétantassigne aux signes qu’il produit lui-mêmequi détermine leur critère d’interprétation.Dans la seconde situation, l’interprétant n’aque le contexte global de la communicationqui lui sert alors d’appui pour comprendre.C’est dans cette situation particulière qu’uneapproche pragmatique des signes devientplus essentielle qu’une approchesémantique ou syntaxique. Historiquement,l’intérêt de la relation à l’interprétant qui estmentionnée dans la définition de Peirce estd’avoir ouvert une approche pragmatiquedans l’analyse des productions sémiotiques.Mais, une telle approche peut-elle être miseau centre d’une analyse sémiotique del’activité et des productions mathématiques ?

CONCLUSION

L’analyse de signes se fait toujours parrapport au type d’activité pour lequel laproduction et la transformation dereprésentations sémiotiques s’avèrentnécessaires. Pour ne pas se trouver tropretreintes dans leur champ de validité etd’application, les théories du signe ontdonc cherché à s’appuyer sur les formesd’activités les plus communes et, donc lesplus générales : la communication,l’interprétation adaptative des phénomènesde l’environnement, ou, en psychologie, la

dualité de ces modes de la représentationque sont l’image et le langage, et plusrécemment les transmissions del’information avec leur traitementnumérique. Mais toutes ces théoriesrestent en deçà de la complexité et de lavariété des représentations sémiotiquesqui sont mobilisables dans l’activité et lesproductions mathématiques.

L’originalité de l’activité mathématique parrapport à tous les autres types d’activitéest double. D’une part, ce sont lesmathématiques qui utilisent le spectre leplus étendu de représentationssémiotiques et elles ont même contribué àl’enrichir. Mais, elles le font toujours avecla même exigence : utiliser les possibilitésde transformation que chaque type designes ou de représentation peut offrir demanière spécifique. Et cela, pour desraisons heuristiques, pour des raisons desimplification ou d’économie, pour desbesoins de contrôle, pour augmenter lapuissance de traitement, etc. D’autre part,les objets de connaissances mathématiquessont indépendants des représentationsutilisées pour y accéder ou pour les utiliser.Ce qui rend tel ou tel type de représentationsémiotique, localement ou momentanémentnécessaire, c’est la fonction que ce type dereprésentation permet de remplir : fonctionheuristique, fonction de contrôle, fonction detraitement. La variété des types de signesmobilisés dans les productionsmathématiques reflète la variété desdémarches de pensée à accomplir dans uneactivité mathématique. C’est pourquoi unesémiotique prenant en compte la variété desreprésentations sémiotiques mobilisées enmathématiques reste peut-être encore àfaire ! Mais, pourquoi alors une approchesémiotique ?

Nous touchons là au paradoxe cognitif desmathématiques. Les objets deconnaissances mathématiques ne sont

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accessibles que par le moyen dereprésentations sémiotiques, mais ils nepeuvent jamais être confondus avec lesreprésentations sémiotiques qui permettentde les atteindre et de les utiliser. Commentalors reconnaître les mêmes objets dans lavariété de leurs représentations possibles ?C’est évidemment ce paradoxe qui est aucœur des difficultés que les élèvesrencontrent dans l’apprentissage desmathématiques, paradoxe qui n’existe pasdans les autres domaines de connaissance.

En outre, il faut rappeler que l’enseignementdes mathématiques ne se limite pas àintroduire des concepts selon uneprogression planifiée dans un curriculum. Ilintroduit aussi de nouveaux systèmes dereprésentations sémiotiques, en mêmetemps qu’il introduit une autre mode defonctionnement cognitif dans les systèmesculturellement communs des images et dulangage. L’analyse des différentes tâchesimpliquées dans les activités proposées aux

élèves et dans la résolution de problèmesne peut pas faire l’impasse sur la variété desreprésentations sémiotiques à mobiliser. Leparadoxe cognitif des mathématiques ne peutêtre résolu par les élèves que par unecoordination de tous les registres dereprésentation mobilisables dans l’activitémathématique. Les passages d’un registreà un autre, qui sont ce qu’il y a de plus difficile,ne deviennent possibles pour les élèvesqu’avec le développement d’une tellecoordination.

Ne prendre en compte dans l’enseignementni ce paradoxe cognitif ni la complexitécognitive d’une mobilisation simultanée ousuccessive de types de signes hétérogènes,qui est pourtant inhérente à l’activitémathématique, c’est prendre le risqued’égarer la plupart des élèves dans ce qu’onpourrait appeler, en prolongement desréflexions de Leibniz sur «ce qui embarrassenotre raison», le troisième « labyrinthe », celuides représentations sémiotiques.

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Raymond DuvalUniversité du Littoral Côte d’Opale(ULCO)France

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