Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/06 10.11.
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Quantum Computing
Hartmut KlauckUniversität FrankfurtWS 05/0610.11.
A) Quantenschaltkreise und klassische Berechnungen
Quantenschaltkreise
n Qubits initialisiert mit der Eingabe s Arbeitsqubits Unitäre Operationen auf zwei Qubits
U1,…,Um; zusammen mit Wahl der zwei Qubits
Operation Ui wird als Tensorprodukt mit der Identität auf den n+s-2 restlichen Qubits angewendet
Zu messendes Ausgabequbit sei fix
Quantenschaltkreise
Uniforme Familien wie gehabt [hier gibt es fü uns an dieser Stelle noch ein Problem mit der Beschreibung „beliebiger“ unitärer Transformationen, siehe einige Folien weiter]
Klasse BQP: durch uniforme Familien von Quantenschaltkreisen polynomieller Grösse berechenbare Funktionen, bei Fehlerwahrscheinlichkeit < 1/3
EQP: kein Fehler erlaubt Selbe Klassen durch (Quanten) Turingmaschinen
definierbar (siehe Gruskas Buch)
Klassische Simulation
Jeder Quantenschaltkreis mit m Gattern und n+s Qubits kann durch einen klassischen deterministischen Schaltkreis der Grössem¢2O(n+s) simuliert werden
Also sind höchstens exponentielle Speedups möglich
Idee: speichere den Zustandsvektor explizit, wobei die Amplituden bis zu einer bestimten Genauigkeit gerundet werden
Simuliere Gatter als Matrixmultiplikation
Verhältnis des Klassen
P µ BPP µ BQP µ PSPACE
P µ EQP µ BQP
Alle Inklusionen ausser der ersten und letzten brauchen einen Beweis
Insbesondere enthält BQP keine nichtberechenbaren Funktionen
Man glaubt, dass P=BPP Das Faktorisierungsproblem liegt in BQP, kein BPP
Algorithmus ist bekannt Es ist unwahrscheinlich, dass BQP=PSPACE, man glaubt
nicht, dass NP=BQP, also sind NP -vollständige Problem ws. nicht zu knacken
P vs. BQP
Simulation klassischer Schaltkreis
Probleme: Quanten Schaltkreise sind reversibel
(bis auf Messung am Schluss) Fan-Out nicht implementierbar
(mehrfaches Lesen von Zwischenergebnissen, No Cloning)
Lösung: Zeigen, dass jeder klassische Schaltkreis durch einen klassischen reversiblen Schaltkreis simulierbar ist
Simulation
Toffolli Gatter:bildet a,b,c auf a,b, (aÆb)©c ab
Gatter ist reversibel [gegeben a,b,d berechne c=(aÆb)©d ]
Gatter kann universelle Basis ausdrücken [AND darstellen durch c=0, NOT durch c=1, b=1]
Problem des Fan-outs:um a zu kopieren setze b=1, c=0Verwende binären Baum um beliebig viele Kopien zu erstellen
Klassische reversible Schaltkreise sind implizit schon Quantenschaltkreise
BPP vs. BQP
Probabilistische Schaltkreise werden genauso simuliert
Zufallseingaben: k-fach zu lesendes Zufallsbit: Berechne 1/21/2 ( |0ki+|1ki ), messe und
verwende k Qubits wie Zufallsinputs
Also BPP µ BQP
Verhältnis des Klassen
P µ BPP µ BQP µ PSPACE
P µ EQP µ BQP
Vor der weiteren Inklusion jedoch Gibt es eine untere Schranke für die Grösse von
Quantenschaltkreisen für fast alle Funktionen?
Abzählargument versagt, da wir bisher unendlich viele Arten von Gattern erlaubt haben, alle unitären Transformationen auf 1 oder zwei Qubits
Auch aus praktischen Gründen wollen wir eine endliche Menge von Gatterfunktionen
Definition uniformer Schaltkreisfamilien benötigt ebenfalls eine endliche Menge von Gatterfunktionen
Resultate zu möglichen Basen Basen (d.h. Mengen von Gatterfunktionen):
CNOT und jedes unitäre Gatter auf 1 Qubit CNOT, Hadamard, einige (konstant viele)
Rotationsgatter Toffoli Gatter und Hadamard
Für all diese gilt, dass ein Schaltkreis mit beliebigen 2 Qubit Gattern durch einen mit Gattern aus der jeweiligen Basis mit geringem Overhead approximiert werden kann
Beweis später
Schlussfolgerung
Die meisten Booleschen Funktionen brauchen Quantenschaltkreise exponentieller Grösse
Denn: Abzählargument wie bei den klassischen Schaltkreisen möglich, wenn nur eine endliche Menge von Gatterfunktionen erlaubt ist
BQP vs. PSPACE
BQP: Klasse von Funktionen f:{0,1}*!{0,1}, die durch uniforme Quantenschaltkreise mit Fehler 1/3 berechenbar sind (Gatterfunktionen aus endlicher Menge)
PSPACE: Klasse von Funktionen f:{0,1}*!{0,1}, die durch deterministische Turingmaschinen mit polynomiellem Speicherplatz berechenbar sind
Hier: BQP µ PSPACE BQP PSPACE nicht bekannt, würde
P PSPACE implizieren (schwierig)
Simulation in PSPACE
Gegeben ist uniforme Quantenschaltkreisfamilie (d.h. „Bauanleitung“) für Schaltkreise für alle Eingabelängen n2N mit polynomieller Grösse für eine Funktion f
Gesucht ist polynomiell platzbeschränkter Algorithmus für f
Auf Eingabe x2{0,1}n simuliere Schaltkreis und berechne für Ausgaben a Prob(a)= |ha|U|x0i|2
Simulation in PSPACE
Idee 1: Stelle Zustand als Vektor da, beschränkte Präzision der Einträge, Matrixmultiplikation
Problem: Zustand ist Vektor mit dim exp(n) Beobachtung: a|U|x0i=ha|UT U1|x0i
= z(1),…,z(T-1) h a | UT | z(T-1)i hz(T-1) |UT-1| z(T-2)i hz(2) |U2 | z(1)i hz(1) |U1 | x0iz(j)2{0,1}n+s
hz(i) |Ut | z(j)i ist ein Eintrag in Ut [Zeile z(i), Spalte z(j) ]
Simulation in PSPACE
Es ist also eine Summe mit 2(n+s)(T-1) Termen zu evaluieren. Jeder Term ist Produkt von T Matrixeinträgen, aus den T Matrizen Ui
Wert jedes Terms mit Präzision 1/(10 ¢ 2(n+s)(T-1)) ausreichend für Fehler 1/10
Term Produkt von T Zahlen, Präzision 1/(20 ¢ T ¢ 2(n+s)(T-1)) ausreichend
Also: Runde Matrixeinträge, Darstellungg komplexer Zahlen als Paar reeller Zahlen, O((+s)T) Bits pro Zahl
Simulation in PSPACE
Simulationsalgorithmus: Laufe durch alle z(1),...,z(T-1) Berechne h a | UT | z(T-1)i
hz(T-1) |UT-1| z(T-2)i hz(1) |U1 | x0i
Addiere zu bisher berechnetem Wert Für jeden Matrixeintrag hz(T-1) |UT-1| z(T-2)i benutze
Turingmaschine aus der Uniformitätsbedingung, d.h. in polynomieller Zeit berechenbar
Platz insgesamt: O(T(n+s)) für z(j) und für zu speichernden Wert der Teilsumme, poly(n) zur Berechnung der Matrixeinträge
Zeit insgesamt: exp(T(n+s))
B) Approximative Berechnungen Was ist der Einfluss von Fehlern während
der Berechnung?
Beschränkte Präzision
Angenommen ein Schaltkreis berechnet |Ti=UT UT-1 U1 |xi |0…0i
Ui unitäre Transformationen
Angenommen statt UT wird VT angewendet Wegen unpräziser Implementierung Wegen Simulation mit beschränkt
genauer Arithmetik Ergebnis VT|T-1i=|Ti+|ETi, wobei
|ETi=(VT-UT) |T-1i (nicht normiert)
Beschränkte Präzision
Ergebnis VT|T-1i=|Ti+|ETi, wobei |ETi=(VT-UT) |T-1i (nicht normiert)
Wenn Vi statt Ui für alle i:
|1i=V1|0i=|1i+|E1i
|2i=V2|1i=|2i+|E2i+V2|E1i
|Ti=VT|T-1i=|Ti +|ETi +VT|ET-1i + + VTV2 |E1i
Daher ist k |Ti |Ti k · i=1…T k |Eii k i=1…T k (Vi-Ui) |i-1i k
Approximation von Transformationen Sei U ein beliebiger unitärer Operator auf
n Qubits Gegeben sei ein Operator U‘ Wir sind an der Approximationsqualität
interessiert Spektralnorm kUk=maxx: kxk =1 k U x k Approximationsfehler: k U – U‘ k
Approximationsfehler gesamt i=1…T k (Vi-Ui) |i-1i k · i=1…T k (Vi-Ui) k Wenn also der Approximationsfehler pro
Transformation /T ist, dann ist der Abstand zwischen korrektem und erreichtem Zustand
k |Ti |Ti k · , wie gross ist der Fehler der Berechnung?
Messung Standardbasis (n+s Qubits) Messergebnis a mit Wahrscheinlichkeit
P(a)=|h a|Ti|2 bzw. Q(a)=|h a|Ti|2
Approximationsfehler gesamt Messergebnis a mit Wahrscheinlichkeit
P(a)=|h a|Ti|2 bzw. Q(a)=|h a|Ti|2
Approximationsfehler fürjede Berechnung höchstens
a|P(a)-Q(a)|· 2 k |Ti |Ti k · 2