1

Quantità di moto quantità di moto di una particella di massa m che si muove con velocità v:

q = m v

F = ma = md vdt

=d qdt

nel caso in cui non ci sia una forza agente q rimane costante

Se m e’ costante possiamo riscrivere la seconda legge della dinamica mediante la quantità di moto:

è un vettore la cui direzione e il cui verso sono quelli del vettore velocità

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Leggi della dinamica prima legge della dinamica:

in assenza di forze, o in presenza di forze a risultante nulla, la quantità di moto di un corpo non muta

seconda legge della dinamica: in presenza di forze non equilibrate la risultante delle forze eguaglia istante per istante la derivata della quantità di moto

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Quantità di moto l'eguaglianza F = ma

q =m0v

1−v 2

c2

è valida solo nella meccanica classica

F = dq/dt vale sempre , purche’ q sia definito come

Dove c e’ la velocita’ della luce e v la velocita’ di m0.

m0 e’ la massa del corpo misurata a v =0

q tende a m0 V ( e dq/dt a ma) per v<< c

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Terza legge della dinamica dati due corpi A e B osserviamo che, se A esercita una forza su B, anche B esercita una forza su A il modulo delle due forze risulta uguale

la direzione è la stessa

il verso è opposto possiamo dire che se A agisce su B, B reagisce su A

dobbiamo allora parlare di mutua interazione tra i corpi questo lo osserviamo quotidianamente:

quando spingiamo un oggetto tendiamo ad allontanarcene

quando lo tiriamo tendiamo ad avvicinarcene

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Terza legge della dinamica terza legge della dinamica:

se un corpo A esercita una forza FA su un corpo B, questo a sua volta esercita su A una forza FB avente la stessa intensità, la medesima direzione e verso opposto la somma dei due vettori è nulla:

FA + FB = 0

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Il moto avviene nello spazio e nel tempo.La posizione “cambia” e il tempo “passa”

La posizione richiede la definizione di un sistema di riferimento ( X,Y,Z,t)Si misurano U=(X,Y,Z) e t rispetto a (Xo.Yo.Zo) e to

La posizione e’ definita da tre numeri , da un VETTORE (U)Il tempo da uno scalare t, un numero solo.

C’e’ moto quando U cambia di dU (in lunghezza e/o direzione) nel tempo dt dU/dt ≠ 0 (in senso vettoriale dU/dt = (dX/dt,dY/dt,dZ/dt)

O (0000)

U

dU

Se si ipotizza che lo stato “naturale” di un corpo libero sia la quiete,deve esistere un sistema di riferimento “assoluto” che permetta di dire che un corpo materiale fermo (in quiete) rispetto ad esso e’ “libero”

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Se la risposta e’ SI’ :Se un corpo e’ fermo rispetto al riferimento “assoluto” su di esso non

agiscono “forze”Si muove se su di esso agisce una “forza”. C’e’ “forza” se dU/dt ≠ 0V= dU/dt e’ la velocita’ . Se F = cost V = dU/dt = cost U2 –U1 = V (t2 –t1) lo spazio percorso nel tempo Δt e’ proporzionale a Δt

Il “peso” e’ una forza costante:G.Galilei 1638 “discorso e dimostrazioni matematiche intorno etc…”“In un regolo di legno, lungo circa 12 braccia, incavatoun caneletto, tiratolo dritissimo, .., incollatovi dentro una carta pecora zannata e lustrata al possibile, …..scendere una palla dì bronzo durissimo, ben rotondata ……si lasciava (come dico) scendere per il detto canale la palla, notando, nel modo che appresso dirò, il tempo con esatissima bilancia pesando. per esperienze ben cento volte replicate sempre s'incontrava gli spazii passati esser tra di loro come i quadrati dei tempi, e questo in tutte le inclinazioni del regolo, ……

lo spazio percorso nel tempo Δt e’ proporzionale a Δt2 !!!!29/4/2010

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mg

YY

Xθ

θ

mg sin θ i

-mg cos θ j

Scelta assi: Y perpendic. al piano e x parallelo al piano.Per il principio di sovrapposizione e’ possibile scomporre le forze agenti come sovrapposizione di forze lungo X e Lungo Y. Sia R la forza sviluppata dal piano per sostenere m lungo Y. Poiche’ non c’e’

moto lungo Y deve essere – mg cos θ j + R = 0 L”unica componente efficace e’ quella di g lungo x Fx= mgsin θ

Dunque il moto e’ un moto uniformemente acc. Lungo X

Ri

j

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Galilei (1638) conclude che una forza non provoca velocita’ ma variazionidi velocita’ (accelerazioni) e che una forza costante produce una accelerazione costante.

F = k dV/dt = k A se F = cost A=dV/dt = Ao = cost

dV = Ao dt V = Ao t+Vo dU = Vdt =Ao t dt +Vo dt U = ½ Aot2 + Vo t + Uo

Se a t =0 V=0 e U =0 U(t) = ½ Ao t2

Non esiste alcun sistema di riferimento “assoluto” ( in prigione!)

Se non esiste un riferimento “assoluto”, non esiste una posizione/orientamento preferenziale nello spazio, Ogni suo punto o orientazionee’ indistinguibile da ogni altro <e’ inconoscibile> : lo spazio e’ isotropo e omogeneo.

Se lo stato “naturale” di un corpo “libero” e’ quello di possedere una Velocita’ costante (anche nulla) cio’ che e’ possibile misurare e’ solo VV = DS/Dt. Una variazione di posizione divisa per una variazione di Tempo. E’ possibile misurare solo “variazioni” di tempo o “segmenti”di spaziol’ origine del tempo (t=0) come quello delle coordinate (X=0) e’ arbitraria <e’ inconoscibile>

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Due osservatori studiano il moto dello stesso punto P da due riferimentiGalileiani ( O e O’). Le origini sono scelte arbitrariamente, essi si muovono l’uno rispetto all’altro con velocità’ W = costante in valore e verso. Sia P “libero”, non soggetto a forze. La sua velocità e’ diversa in O e O’Ma essa e’ costante in entrambi.

O’ O

P (X,t)

V

W

X’

XX’(t) = X(t)+ O’O(t) = X(t) + Wt Y’= Y Z’= Z t’ = t N.B. la trasformazione del tempo e’ indipendente da quella di X

Si da’ il nome di “galileiano” o “inerziale” ai sistemi di riferimento nei qualiun corpo libero si muove con velocita’ costante. Una volta identificatoun sistema “galileiano” ( O’ ) ce ne sono infiniti altri: tutti quelli in moto relativo rettilineo e uniforme rispetto ad O’.

In presenza di una forza P accelera a = dV/dta’ = dV’/dt = dV/dt + dW/dt = a + dW/dt = a perche’ W= cost

V’= dX’/dt = dX /dt+ d(OO’)/dt == V +W = cost

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Newton (1666) osserva che l’accelerazione in presenza di una data forza dipende dalla quantita’ di materia M posseduta dal corpo e che la variabile importante non e’ V ma P = MV quantita’ di moto

In assenza di forze la quantita’ di moto di un corpo libero e’ costante(nel senso che non cambia nel tempo) in tutti i riferimenti “galileiani”.

Questa proprieta’ (l’esistenza di una costante del moto) e’ la conseguenza di una “simmetria” della natura , che si traduce nell’arbitrarietà’ nella scelta dell’origine del sistema di riferimento dello spazio e del tempo.

Una conseguenza e’ che anche l’equazione del moto in presenza diuna forza e’ invariante per trasformazioni “galileiane”

dP/dt = dP’/dt

La legge fondamentale di Galilei diventa la legge d’inerzia di Newton:

La legge P = cost e’ invariante per trasformazioni di coordinate tra riferimenti “galileiani” P = cost P’ = cost’

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1) Ad ogni grandezza fisica conservata e’ associata una simmetria legata ad una variabile il cui valore assoluto e’ inconoscibile2) La legge del moto e’ invariante per cambiamenti dell’origine di quella variabile

Qualunque sia il riferim. scelto, una rotazione di 60 gradi (o multipla) di un cristallo di neve e’ inavvertita, “non osservabile”.

Emma Noether (Emmy) fissa nel 1905 la relazione tra Invarianza, Simmetrie e Costanti del Moto. E’ un teorema celebre.

Ad ogni costante del moto e’ associata una simmetria locale continua (differenziabile) che lascia la Lagrangiana (e quindi le equazioni del moto) invarianti

(“un monumento del pensiero umano” A.Einstein)

La descrizione matematica F(phi,r) del cristallodeve essere invariante per variazioni di phi di passo 60°.

La rotazione di 60 e’ una operazione di simmetria che lascia F(phi.r) invariante.

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Assumendo che per le osservazioni astronomiche la terra possa esser considerata un riferimento “galileiano”, e che le tre leggi abbiano valore universale, Newton conclude che il moto dei pianeti intorno al sole e’ dovuto ad una forza F = G MsMp/r2

Se e’ cosi’ non ha alternative : la forza che fa cadere la mela m e’ F= G’ MtMm/rt

2 con G’ = G !!!!!

In un riferimento “galileiano”, P di un sistema isolato rimane costanteViceversa se in un dato riferimento la P di un sistema isolato rimane costante il riferimento e’ un riferimento “gallileiano”.

1

Una Forza produce variazioni di PIn un riferimento “galileiano” la variazione istantanea di P e’ una misura dell’intensità’ della Forza : F = dP/dt = d (MV)/dt = MA se M rimane costante

2

P e’ una quantita’ additiva (in senso vettoriale). In presenza di due corpi si puo’ considerare come “sistema” l’insieme dei due. Se l’insieme e’ isolato P = P1 + p2 = costante. Se tra i due agisce una forza : dP/dt = dP1/dt + dP2/dt = F21 + F12 = 0 (legge di azione e reazione)

3

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Le leggi di Newton dicono quale e’ l’effetto di una forza, ma F = G MsMp/r2 e’ la prima descrizione matematica di una forza.

L’espressione dice molte cose per es.- L’ intensita’ di F dipende dalla massa- Essa agisce a distanza ( e non per contatto)- Essa e’ conservativa ( vedi piu’ avanti) etc……

In particolare la 2° legge F = G’ MtMm/rt2 =Mm A dice che sulla

superficie terrestre A = G’Mt = 9,81 m/sec 2 e’ indipendente da Mm

Ma :La massa che compare nella legge di gravitazione e’ la stessa che compare nella

legge d’inerzia P = MV = costante ?Il principio di Azione/Reazione dice che la forza esercitata dal sole sul pianeta e’ la

stessa esercitata dal pianeta sul Sole allo stesso istante. L’effetto gravitazionale si propaga con V infinitaLa gravita’ e’ intrinseca alla massa? Newton risponde che cio’ che dice e’ che due

masse si attraggono con quella forza “la massa non so cosa sia”

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Secondo E.Noether le grandezze fisiche che si conservano in natura sono legate ad una invarianza delle equazioni del moto rispetto ad un cambiamento “locale” di una variabile cioe’ ad una simmetria locale della natura . Questa invarianza si manifesta nella impossibilita’ di conoscere il valore assoluto della variabile stessa.

Il valore assoluto di posizione, orientamento e tempo e’ inconoscibile.E’ facile dimostrare che l’inconoscibilita’:di posizione assoluta > Conservazione della quantita’ di moto P in un sistema isolato di orientamento assoluto >conservazione momento angolare M in s.i.del tempo assoluto > Conservazione dell’energia E in sist. Isolato.

O’ O

P (X,t)

V

W

X’

N.B. 2) Questa e’ una trasformazione “globale” . Il valore di X e’ cambiato allo stesso istante della stessa quantita’ in tutti i punti dello spazio

N.B.1) La conservazione di P,M e E e’ un fatto sperimentale. La “teoria” interpreta questa conservazione come dovuta ad una particolare “simmetria” dellospazio/tempo

X’= X + O’O = X + Wt

E.Noether dice qualcosa di piu’ “profondo”:parla di invarianza per Trasformazioni locali ! In una trasformazione “locale” OO’ potrebbe essere diverso per ogni X e per ogni T.(equivalente a fare una trasformazione “globale” usando un metro con passo non costante)

N.B. 0) [PX] =[θ M] =[Et] = “azione” = [L2,m1,t-1]

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Tra il 1887 e il 1901 si scoprono due cose importanti

1887 Michelson e Morley la velocita’ della luce e’ indipendente dal Sistema di riferimento V’(luce) = V (luce) e non V(luce) + W

1901

Planck Atomo assorbe ed emette energia in quantita’ finite E=h h ha un valore molto piccolo h ~ 10-34 J sec

1905 Einstein la relativita’ ristretta e 1916 la relativita’ generale (prima verifica Eddington 1919)

1927 Heisenberg il principio di indeterminazione: conseguenza di Planck.La grandezza che e’ chiamata “azione” e’ quantizzata. Le sue piu’ piccolevariazioni non possono essere minori di h.

Non e’ possibile conoscere con precisione arbitraria i valori di P e della posizione allo stesso istante , e di E e t nella stessa posizione. Il prodotto delle incertezze e’ sempre maggiore di h di Planck. dE dt > h dPx dX > h dPy dY>h dPz dZ > h Il valore di E all’istante t e’ inconoscibile. In un intervallo dt essa non e’ conoscibile meglio di dE = h/dt

Conseguenze

[E/ = [Et]=[px] =h = [azione] in unita’ naturali h=1 [E] =[1/t] [p]=[1/x]

17

dA = rXr’ = rXr + r X dr = r r dθ K

dA/dt = r2 d θ/dt = r2 ω K (r=cost, K=cost)

V = ω X r a = dV/dt= dω/dt X r + ω X dr/dt

ω = cost a = ω X dr/dt = ω X V = ω X (ω X r)Diretta in verso opposto a r

!a! = ω2 r = V2/r

ω

r

V

r

r’K

drdθ

Da

da ω= v/r si ha dA/dt = r v K = rXv

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2 Keplero dA/dt = cost se l’orbita e’ ~ circ. ω = cost 3 Keplero T2/s3 = cost = T2/r3 = k

T = periodo s = semiasse maggiore ~ r (orbita circolare)

ω = 2π/ T

a = ω2 r = 4 π2 r / T2 ~ 4 π2/k r2 F = ma = m/(k r2) m = m terra

Azione e reazione Fs = M/k’ r2 = m/k r2 = Ft M= M sole

k’ = G/m k = G/M F = G Mm/r2

dA/dt = cost = r X v ~ r X (mV) = rXPConservazione del momento della QdM

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Conservazione della quantità di moto consideriamo due corpi che interagiscono tra loro:

m1a1dt = −m2a2dt

a =d vdt

m1d v 1 = −m2d v 2 se prendiamo un intervallo finito si ottiene

ma sappiamo che:

se moltiplichiamo ambo i membri per un intervallo dt

F 1 F 2 0 m1a1 m2a2

m1 v 1 t2 v 1 t1 m2 v 2 t2 v 2 t1

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Conservazione della quantità di moto raccogliendo da una parte i termini in t1 e dall'altra i termini in t2 avremo:

Principio di conservazione della quantità di moto: la quantità di moto di un sistema di due particelle soggette solamente alla loro mutua interazione rimane costante nel tempo

poiché i tempi t1 e t

2 sono arbitrari questa

relazione si traduce in un principio del tutto generale:

che possiamo anche scrivere come

m1v 1 t2 m2v 2 t2 m1v 1 t1 m2v2 t1

q 1 t2 q 2 t2 q 1 t1 q 2 t1

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Per “misurare” sono necessarie ‘UNITA’ DI MISURA” e Sistema di riferimento (xyzt).Per (xyz) si sceglie una terna ordinata e levogira di versori,Vale il teorema di Pitagora . L’ordine dei versori (i,j,k) indica il verso positivo delle rotazioni .Il verso positivo delle rotazioni (della misura degli angoli) e’ levogiro,“sinistrorso” Antiorario (medio,indice,pollice) della mano sinistra.

Sperimentalmente Galilei verifica che il valore assoluto della velocita’ ( della Quantita’ di Moto per Newton) e’ sempre definito a meno di una costante e dunque il suo valore assoluto non e’ conoscibile. Cio’ che e’ misurabile,

Conoscibile in modo “assoluto” sono le variazioni di QdM. ( e di Momento della QdM e dell’energia ) .

I valori di queste variazioni sono gli stessi in tutti i sistemi di riferimento in moto relativo rettilineo e uniforme.

Un sistema di riferimento in cui un corpo “libero”, non soggetto a forze, mantieneCostante la propria QdM si chiama “Galileiano” o “inerziale”.Tutti sistemi “galileiani” sono equivalenti. In particolare se un sistema e’

Galileiano tutti i riferimenti in moto relativo rettilineo uniforme rispetto ad esso Sono “galileiani”.

Le variazioni della QdM sono le stesse in tutti i sistemi Galileiani o Inerziali.

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La fondamentale legge di inerzia Q =costanteE’ invariante per trasformazioni di coordinate tra sistemi galileiani :

Se in O (X,Y,Z,T) Q = costIn O’(X’,y’z’,t) Q’ = cost’ se O’ e O sono Galileiani

L’invarianza della legge e’ legata alla “arbitrarieta” nella scelta dell’origine delleCoordinate.Una trasformazione “galileiana” e’ una operazione di simmetria che lascia Invarianti le leggi del moto.AD OGNI COSTANTE DEL MOTO E’ SEMPRE ASSOCIATA UNA VARIABILE ILCUI VALORE ASSOLUTO E’ INCONOSCIBILE. Il cui cambiamento costituisceuna simmetria del sistema.

Oggi si pensa che esista un legame stretto tra simmetrie, grandezze conservate,e forze.

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Conservazione della quantità di moto il principio di conservazione della quantità di moto è uno dei principi fondamentali della Fisica la sua validità è generale, sussiste cioè qualunque sia il numero di particelle che si considerano, purché interagenti esclusivamente tra loro, costituenti quindi un sistema isolato

non si conoscono violazioni a questo principio

abbiamo dedotto la conservazione della quantità di moto dal principio di azione e reazione, ma è possibile fare il viceversa:

i due principi sono uno conseguenza dell'altro

24

Moto rettilineo un punto materiale di massa m si muove lungo l'asse z sotto l'azione di una forza diretta lungo l'asse z con componente Fz

per il secondo principio di Newton abbiamo:

e quindi

il problema consiste nel trovare la funzione z = z(t) tale che la derivata seconda rispetto al tempo ad ogni istante sia pari a Fz/m

az=Fz

m

d2zdt2

=F z

m

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Forza peso consideriamo il caso in cui la forza agente sia la

forza peso mg e che il punto materiale si muova lungo l'asse z. Questo non è altro che un caso di moto rettilineo uniformemente accelerato, già visto in precedenza, la cui soluzione è:

dove v0z z0 sono velocità e posizione all'istante t=0 se l'asse z è orientato verso l'alto ovviamente

l'equazione cambia

il segno di v0z riflette il verso rispetto l'asse z

z t12g t2 v 0zt z0

z t12g t2 v0zt z0

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X

Z

P (x,y)

θ

lungo z NON si conserva la quantita’ di moto

mg =dPz/dt =maz az=-g

Vz(t) = V0z – gt

Z(t) = V0z t – 1/2gt2 + Z0

Sia Z0 = 0

V(t) = 0 per t = V0z/g

Zmax= V0z2/(2g)

Per t = V0z/gZ=0 per t = 2 V0z/g

Lungo X si conserva la quantita’ di moto Mv0x = cost

Vx = V0x X(t) = Vox t X(V0z/g) = V0x Voz/g

X(2V0z/g)= 2v0xV0z/g = 2V0 cos(θ) V0sin(θ)/g =V02 sin (2 θ)

sin(a) x cos(a)=1/2 sin(2a)X max per a = 45o

Nella discesa vz(t) = gt t discesa = v0z/g Vz finale = v0z v x fin= v0x

Nella discesa ½ v0z2 = g zmax mentre nella salita g z max = ½ v0z

2

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Moto su piano orizzontale liscio un corpo lanciato su di una superficie orizzontale, a

parità di velocità iniziale, percorre spazi maggiori se la superficie viene levigata con maggiore cura

idealmente, se la superficie è perfettamente liscia il corpo, se non incontra altri impedimenti, non si ferma

☞questa è chiaramente una situazione ideale non realizzabile praticamente

su un piano orizzontale liscio un corpo si muove con velocità costante (a=0), per il secondo principio di Newton:

F=m a

sul corpo agiscono la forza peso mg e la reazione vincolare R (derivante dal principio di azione e reazione), perciò

F = mg + R = 0 se sta fermo

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Moto su piano orizzontale liscio quindi avremo:

si ricava:

la reazione che un vincolo privo di attrito può sviluppare in un punto è perpendicolare (in quel punto) alla superficie che costituisce il vincolo

Rx = 0Rz−mg = 0 Rz = mg

Un vincolo si dice liscio se e’ capace solo di reazioni normali(perpendicolari alla tangente locale alla superficie vincolare)

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Moto su piano inclinato liscio consideriamo un corpo di massa m posto su di un piano

liscio inclinato rispetto alla orizzontale di un angolo :

le uniche forze agenti sono: la forza peso mg la reazione vincolare R

possiamo prendere un sistema di riferimento il cui asse x è parallelo al piano inclinato e l'asse z ortogonale a esso e diretto verso l'alto

Mg cos b ma cos b = sin ( P/2 – b)

Lungo Z non c’e’ moto Fztot=0

Lungo z, Qz =costC’e’ moto lungo x

Fxtot = max = dQx/dt

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Moto su piano inclinato liscio in questo sistema di riferimento si osserva che:

il moto avviene lungo l'asse x la componente z della accelerazione è nulla la componente x della accelerazione è g sin(α)

la risultante delle forze risulta essere:

un piano inclinato liscio esercita su di un corpo che scivola sopra di esso una reazione perpendicolare al piano stesso e di intensità uguale alla componente perpendicolare della forza peso

Fx Rx mgsin mgsinFz Rz mgcos 0

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Piano inclinato supponiamo che

all'istante t=0 il corpo parta con velocità nulla dalla sommità del piano inclinato:

all'istante t avremo: V(t) = g sin(α) t S(t) = ½ g sin(α) t2

Si ha V2(t) = 2 s(t) g sin(α)

Quando tocca il suolo s=l

l sin(α) = h

V2(t)=2 h g

La velocita’ finale e’ indipendente da l , dipende

solo da h . Come nel caso del

Corpo lanciato verso l’alto.

la velocità acquistata da un corpo scendendo lungo un piano inclinato liscio è in modulo uguale a quella che il corpo acquista cadendo lungo la verticale per un dislivello uguale all'altezza del piano inclinato

questo enunciato può essere generalizzato per qualunque superficie liscia non piana con la quale il corpo mantiene costantemente il contatto

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Forza d'attrito forze d'attrito: quando un

corpo viene a contatto con un altro corpo nascono delle forze che si oppongono a qualsiasi movimento di scorrimento relativo

una superficie che presenta attrito viene detta scabra

consideriamo il caso di un corpo di massa m in quiete sopra un piano scabro e soggetto ad una forza F verticale

R + mg + f = 0

R è verticale, diretta verso l'alto e ha modulo pari alla somma dei moduli di mg e F

applichiamo una forza T parallela alla superficie di appoggio; se la forza è abbastanza piccola il corpo rimane in quiete

R + mg + f + T = 0

la reazione R non è più verticale, ma sarà:

Rz= N = mg + f

Rx = Fs = T

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Attrito statico aumentando l'intensità della forza T il corpo rimane in

quiete fino a che non raggiunge il valore limite Tmax oltre il quale il corpo si mette in moto:

la superficie scabra può esercitare una forza d'attrito statico di intensità massima Fs

max = Tmax

aumentando F aumenta anche Tmax

F + mg= Rz determina una pressione sulla superficie di appoggio. A parita’di superficie Tmax aumenta con Rz

Fsmax è proporzionale alla componente normale della

forza risultante (Rz)

Fsmax = s Rz

μs è un coefficiente numerico chiamato coefficiente di coefficiente di massimo attrito staticomassimo attrito statico

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Attrito statico valgono le seguenti leggi empiriche:

la massima forza di attrito statico tra due superfici ha un'intensità proporzionale all'intensità della forza normale tra le due superfici

il coefficiente s di proporzionalità dipende dalla natura e dallo stato di levigatezza delle superfici

entro larghi limiti, è indipendente dall'area di contatto tra le due superfici

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Una cassa viene appoggiata con velocità nulla sopra un piano inclinato di = /4 rad rispetto all'orizzontale; il coefficiente di massimo attrito statico tra la cassa e il piano è s = 0.4. Si mostri che la cassa scende verso il basso scivolando lungo il piano inclinato

consideriamo un sistema di riferimento con l'asse x parallelo al piano inclinato e l'asse y perpendicolare ad esso

sulla cassa agiscono le forze mg e la reazione vincolare N

Lungo y R = - mg cos α + N = 0 = dQy/dt l'accelerazione lungo l'asse y è nulla

Lungo X agiscono mg sin α e l’attrito il cui max e’ - μ N = - μ mg cos α

Attrito statico

la cassa scivola se mg sin > Fsmax

mgsinα > μ mg cos α

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Attrito dinamico Nel caso del problema

precedente, si calcoli il modulo della velocità che la cassa raggiunge dopo aver percorso un tratto l = 0.5 m sopra il piano inclinato se il relativo coefficiente di attrito dinamico è D = 0.3

la forza risultante agente sulla cassa ha componente y nulla, mentre la componente x è data da

con

l'accelerazione risulta essere:

la velocità scalare richiesta è allora:

a =mgsin −D mgcos

m

v = 2al = 2.2m /s

a = gsin −Dgcos ==4.9m /s2

Fx = mg sin α = Fd

Fd = μ mg cos α

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consideriamo un corpo di massa m su di un piano scabro con coefficiente di massimo attrito statico relativo s

applichiamo una forza T di modulo maggiore di Fsmax, la

forza totale risultante è:

F = T - Fsmax

l'accelerazione risultante è:

a = T/m - sg

sperimentalmente si trova che il moto è uniformemente accelerato, ma con accelerazione maggiore di a

Attrito dinamico

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la forza agente tra superficie e corpo è inferiore a Fs

max, comunque di intensità costante se a è il modulo della accelerazione del corpo scriviamo:

dove μD < μS è un coefficiente numerico chiamato coefficiente di attrito dinamicocoefficiente di attrito dinamico

Attrito dinamico

a = T/m - μd g

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Attrito dinamico la forza di attrito dinamico tra due superfici ha

la stessa direzione ma verso opposto della velocità relativa delle due superfici

intensità proporzionale all'intensità della forza normale tra le due superfici

il coefficiente D di proporzionalità dipende dalla natura e dallo stato di levigatezza delle superfici, entro larghi limiti, è indipendente dall'area di contatto tra le due superfici

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