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Università di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica Quaderno # 23 – Gennaio 2004 DANIELA ROMAGNOLI Elementi di Matematica discreta

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QUADERNI DIDATTICI del

Dipartimento di Matematica

Quaderno # 23 – Gennaio 2004

DANIELA ROMAGNOLI

Elementi di Matematica discreta

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PREFAZIONE In questo quaderno didattico è contenuta la traccia delle lezioni del laboratorio di matematica discreta per il corso di laurea in Matematica di Torino (anno accademico 2003-2004). Le lezioni si propongono sia di richiamare i prerequisiti necessari che di introdurre strumenti nuovi per la presentazione di alcune tematiche del calcolo combinatorio e più in generale della matematica discreta . Filo conduttore del laboratorio è l'uso del concetto di funzione nel contare gli elementi di un insieme, il suo scopo è quello di elaborare il materiale presentato nelle lezioni , integrandolo con osservazioni ed esercizi. Per una più vasta trattazione dei temi presentati si rimanda alla bibliografia che riporta i testi consigliati ed usati dai frequentanti il laboratorio per la stesura di tesine attinenti gli argomenti presentati . INDICE

Capitolo1 – IL PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA E IL METODO

DELLE SCELTE ……………… …………………………………p.1

Capitolo 2 – CORRISPONDENZE E FUNZIONI

2.1 Corrispondenze tra insiemi …. ………………………………….…p.5

2.2 Funzioni tra insiemi finiti ………………………………………….p.7

Capitolo 3 – SUCCESSIONI E RELAZIONI RICORSIVE

3.1 Definizioni ed esempi……………….…….…………………………p.19

3.2 Successioni aritmetiche e geometriche…....…………………………p.23

3.3 La successione di Fibonacci……………………………………….p.26

3.4 Relazioni ricorsive lineari………………………………………….p.31

Capitolo 4 – FUNZIONI ARITMETICHE E FUNZIONI INTERE

4.1 Funzioni aritmetiche moltiplicative……………….. .……………...p.39

4.2 La funzione di Eulero e la funzione di Moebius . …………………..p.40

4.3 Funzioni intere……………………………………………………..p.50

.

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CAPITOLO 1 Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte

Alla base del contare vi sono l’insieme N dei numeri naturali, a tutti ben noto fin dalle scuole elementari, e le sue proprietà. L’insieme N dei numeri naturali viene formalmente determinato dai cinque assiomi seguenti, dovuti al matematico Giuseppe Peano ( 1858-1931): i) 0 è un numero naturale ii) ad ogni numero naturale n corrisponde un altro numero naturale, unico, detto

successore di n iii) due numeri naturali distinti hanno due successori distinti iv) 0 non è il successore di nessun numero naturale v) qualunque sottoinsieme A di N avente le due proprietà

a) 0∈A b) per tutti gli n ∈N, n∈A ⇒ il successore di n ∈A deve essere l’insieme N.

L’assioma v) viene detto principio di induzione matematica . Invece di n∈A si può dire "n ha la proprietà P". Con questa terminologia il principio di induzione matematica diventa l’assioma seguente: v’) qualsiasi proprietà dei numeri naturali valida per 0 e valida per il successore di n

ogniqualvolta valga per n vale per tutti i numeri naturali . Dagli assiomi di Peano si può dedurre formalmente tutta l’aritmetica; il primo passo consiste nell' introdurre l’operazione di somma di numeri naturali, in base alla quale, indicato con 1 il successore di 0, si trova subito che il successore di n è n+1, l’operazione di moltiplicazione e nel dimostrarne le proprietà . Non ci inoltriamo in queste definizioni, accenniamo solo al fatto che, a partire dagli assiomi di Peano è possibile dotare N di un ordinamento totale, il consueto ordinamento secondo grandezza, definito come la relazione ≤ seguente : dati m, n ∈ N ,

m ≤ n ⇔ ∃ x ∈ N tale che m+x = n .

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2 Capitolo 1 Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte

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Si può provare che tale relazione è una relazione di ordine totale verificante la seguente proprietà : v") dato comunque un sottoinsieme non vuoto A di N, A possiede un primo elemento, cioè un elemento m tale che

m ≤ a , ∀a ∈ A .

Diciamo allora che la relazione data è un buon ordinamento e che l’insieme N è bene ordinato . La proprietà v" può venire assunta come quinto assioma al posto del principio di induzione matematica . In tal caso è semplice dimostrare la validità del principio di induzione : assumiamo quindi che N sia un insieme bene ordinato e dimostriamo il Principio di induzione matematica ( 1a forma ) Sia ( P(n) ) una successione di proposizioni tali che i) P(0) (P(n 0 )) è vera ( base dell’induzione ) ii) La verità di P(k) implica la verità di P(k + 1 ) , k ≥ 0 (n 0 ) (ipotesi induttiva) Allora P(n) è vera, ∀n ≥ 0 (n 0 ) . Dimostrazione . Sia S = {x > 0 (n0) | P(x) è falsa }. Supponiamo, per assurdo, che S non sia vuoto. Per l’assioma del buon ordinamento di N, S ha un primo elemento, che indichiamo con m. Consideriamo ora la proposizione P(m) : poiché m∈S, P(m) è falsa; inoltre, poiché m è il primo elemento di S, m – 1 ∉ S (e m – 1 ≥ 0 (n0)), quindi la proposizione P(m-1) è vera e la ii) ci dice allora che P(m) è vera . Abbiamo una contraddizione, dunque S è vuoto . In modo del tutto analogo si dimostra il Principio di induzione matematica ( 2a forma ) . Sia ( P(n) ) una successione di proposizioni tali che i) P(0) (P(n 0 )) è vera ( base dell’induzione ) ii) La verità di P(k), ∀ 0 (n 0 ) ≤ k < m, implica la verità di P(m) (ipotesi

induttiva) Allora P(n) è vera, ∀n ≥0 (n 0 ) . Il principio di induzione matematica si rivela molto utile per dimostrare proposizioni il cui enunciato dipenda da n ∈ N . Vediamone negli esempi l’uso corretto .

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Esempi 1.1

1) Si provi la validità della formula di Gauss : 1 + 2 + …+ n = 2

)1n(n + .

Soluzione : in questo caso P(n) è l’affermazione : la somma dei primi n naturali è

2)1n(n + .

Base dell’induzione : 1 = 221.

, quindi P(1) è vera

Ipotesi induttiva : P(k) è vera , cioè 1 + 2 +…+ k = 2

)1k(k +

Proviamo la verità di P(k + 1) :

1 + 2 +…+ k + (k + 1) = 2

)1k(k + + (k + 1) = 2

)2k)(1k( ++

Il principio di induzione matematica (1° forma) ci permette di concludere che P(n) è vera ∀n≥1.

Dalla formula di Gauss segue subito la formula che ci dà la somma dei primi n termini di una successione aritmetica di termine iniziale a e di ragione d

a + (a + d) + (a + 2d) + …+ (a + (n-1)d) = 2

)d)1n(a2(n −+ ,

che naturalmente può essere dimostrata indipendentemente per induzione su n .

Lasciamo per esercizio la verifica della formula che dà la somma dei primi n termini di una successione geometrica di termine iniziale a e ragione q ≠1 :

a + aq + aq2 + … + aqn-1 = q1

aqa n

−− .

2) Come esempio di applicazione del principio di induzione matematica nella 2a forma , dimostriamo la nota proposizione P(n) : ogni numero naturale n > 1 può essere fattorizzato in un prodotto di numeri primi . Base dell’induzione . P(2) è vera : infatti 2 è un numero primo ed è lui la sua fattorizzazione. Ipotesi induttiva : vale P(k), ∀ 2 ≤ k < m Proviamo P(m) . Abbiamo due casi :

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4 Capitolo 1 Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte

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i) m è primo ed è lui la sua fattorizzazione ii) m non è primo, allora m = m1m2 , con 2 ≤ m1,m2 <m . Per l’ipotesi induttiva m1 e m2 fattorizzano in numeri primi e così avviene quindi per m . Il metodo delle scelte Il metodo delle scelte è basato sul " principio di moltiplicazione delle scelte " : Se una scelta può essere compiuta in n modi diversi e , per ciascuno di essi ,una seconda scelta può essere compiuta in m modi diversi , allora la successione delle due scelte può essere effettuata in nm modi distinti ed è motivato dalla nota Proposizione 1.1 Siano A e B due insiemi finiti di ordine n e m rispettivamente Allora

A x B = A.B= nm . Il "principio di moltiplicazione delle scelte" (anche nella sua forma estesa a più di due scelte) ci permette di risolvere molti problemi combinatorici . Esempi 1.2 1) Usiamo il metodo delle scelte per dimostrare la Proposizione 1.2 Sia I un insieme finito di ordine n . Allora P(I) ha 2n elementi . Dimostrazione . Sia I = {a1,…,an} . Vogliamo contare i modi per costruire un sottoinsieme A di I . Ogni elemento di I può appartenere o non appartenere ad A , cioè abbiamo due possibilità di scelta per ogni ai , i = 1,…,n . Vi sono quindi 2.2.….2 = 2n modi per costruire A da cui la tesi . 2) Contiamo le diagonali di un poligono convesso di n lati . Osserviamo che ognuno degli n vertici può essere scelto come primo punto di una diagonale , mentre dobbiamo escludere come scelta per il secondo punto il vertice in questione e i due a lui adiacenti . Abbiamo dunque n scelte per il primo punto di ogni diagonale ed n – 3 scelte per il secondo punto .Il prodotto delle scelte deve poi essere

diviso per due . Dunque le diagonali di un n-gono sono 2

)3n(n − .

3) Quanti numeri di sei cifre hanno almeno una cifra pari ? Abbiamo dieci cifre ( 0,1,…,9 ) : di queste ve ne sono cinque pari ( 0,2,4,6,8 ) e cinque dispari ( 1,3,5,7,9 ) . Vi sono 9 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 900000 numeri con sei cifre (per la prima cifra devo escludere lo 0 e quindi ho 9 scelte anziché 10) e15625 numeri con sei cifre tutte dispari. I numeri di sei cifre aventi almeno una cifra pari sono quindi 900000 – 15625 = 884375 .

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CAPITOLO 2 Corrispondenze e funzioni

2.1 Corrispondenze tra insiemi

2.2 Funzioni tra insiemi finiti 2.1 Corrispondenze tra insiemi Definizione 2.1.1 Si definisce corrispondenza dell’insieme I nell’insieme I’ un sottoinsieme F del prodotto cartesiano I x I’. F esprime un "legame" tra gli elementi di I e gli elementi di I’ : precisamente dice che l’elemento x di I è legato all’elemento x’ di I’ se e solo se la coppia ordinata (x,x’) appartiene a F. Diciamo allora che x’ è una immagine di x nella corrispondenza F e che x è una controimmagine di x’nella corrispondenza F . I è detto dominio della corrispondenza. I’ è detto codominio della corrispondenza. Esempio 2.1.1 Dati I ={a,b,c} e I’ = {1,2,3} è una corrispondenza di I in I’ l’insieme F = {(a,2),(c,3), (c,2)}. Definizione 2.1.2 Una corrispondenza è detta : funzionale se ogni x di I ha al più una immagine ovunque definita se ogni x di I ha almeno una immagine iniettiva se ogni elemento di I’ ha al più una controimmagine ( o equivalentemente se elementi distinti hanno immagini distinte ) suriettiva se ogni elemento di I’ ha almeno una controimmagine . La corrispondenza dell’esempio 2.1.1 non ha nessuna di queste proprietà . Le corrispondenze più importanti sono quelle ovunque definite e funzionali : esse sono dette funzioni e sono i sottoinsiemi F di I x I’ in cui ogni elemento x di I è primo elemento di una e una sola coppia .

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6 Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni

Il concetto di funzione è basilare in matematica ; ne diamo un’altra definizione equivalente alla precedente . Definizione 2.1.3 Dato un insieme I (detto dominio) e un insieme I’ (detto codominio ) , una funzione f di I in I’ è una legge che associa ad ogni elemento di I uno ed un solo elemento di I’ . Scriveremo

f : I→ I’ e per indicare che x viene mandato in x’scriveremo x → x’ oppure

f(x) = x’. x’ è detto l’ immagine di x ; x è detta una controimmagine di x’ . La legge f sopra definita, come sottoinsieme di I x I’, è l’insieme

F = {(x,x’) x’ = f(x)}.

F viene in tal caso detto grafo (o grafico) di f . Nel caso di funzioni reali di variabile reale l’insieme F è l’insieme dei punti appartenenti al grafico della funzione nel piano cartesiano . Osservazione 2.1.1 In qualche caso una funzione può essere identificata con la sequenza delle immagini degli elementi del dominio : è il caso , per esempio, delle successioni ( o progressioni ), su cui torneremo nel seguito . Richiamiamo ancora la composizione di funzioni : Definizione 2.1.4 Date due funzioni f : I → I’ e g : I’ →I" si dice funzione composizione (o funzione composta) di f e di g la funzione g ° f di I in I” così definita

(g ° f )(x) = g(f(x)) .

In termini di grafo , indicati con F e G i grafi di f e g rispettivamente e con H il grafo della loro composizione , abbiamo

H = { ( x,x”) ∈I x I” ∃ x’∈ I’ , (x,x’)∈ F e (x’,x”)∈G } . E’ immediato verificare che la composizione di due funzioni è una operazione associativa e che la composizione di due funzioni iniettive è iniettiva , di due suriettive è suriettiva . Da ciò segue che la composizione di due biiezioni è ancora una biiezione . Data una biiezione f , la sua funzione inversa secondo la Definizione 2.1.5 Se f : I → I’ è una biiezione , si definisce inversa di f la funzione f - 1 : I’ → I che associa ad ogni x’ di I’ l’unico x tale che f(x) = x’

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è ancora una biiezione . Sono esempi di biiezioni le permutazioni di n oggetti che tratteremo in seguito . 2.2 Funzioni tra insiemi finiti Ogni insieme finito con n elementi A = {a1, … ,an } è in corrispondenza biunivoca con l’insieme In = { 1 ,2 , … , n }( suo insieme di indici ) , quindi è sufficiente ragionare con tali insiemi . Enunciamo alcune proprietà di tipo combinatorico . Proposizione 2.2.1 Le corrispondenze tra In e Im sono 2nm . Dimostrazione . Le corrispondenze sono tante quante i sottoinsiemi del prodotto In x Im , che sono 2nm . Proposizione 2.2.2 Le funzioni di In in Im sono mn . 1° dimostrazione . Con l’induzione su n . Se n=1, si hanno m = m1 funzioni di I1 in Im , poiché una singola funzione è assegnata dando l’immagine di 1 . Supponiamo vera la proprietà per n e proviamola per n + 1 . Una funzione f di In+1 in Im si ottiene dando una funzione g di In in Im ed una immagine ad n + 1 . Poichè le g, per l’ipotesi induttiva, sono mn ne segue che vi sono mn funzioni che mandano n + 1 in 1 , mn funzioni che mandano n + 1 in 2 , … , mn funzioni che mandano n + 1 in m cioè m . mn = mn+1 funzioni di In+1 in Im . 2° dimostrazione . Con il metodo delle scelte . Dare una funzione di In in Im significa dare f(1) ,f(2),…,f(n) . Per f(1) ho m scelte , tante quanti sono gli elementi del codominio , per f(2) ho ancora m scelte ,…, così per f(n) . In totale avrò m m ...m = mn scelte . Osservazione 2.2.1 Diamo la traccia di un'altra dimostrazione della proposizione 1.2

I= n ⇒P(I)=2n

che usa quanto sopra dimostrato . Per ogni sottoinsieme A di I , sia ϕA : I→{0,1} la funzione così definita :

ϕA(x) = 0 , se x∉A ϕA(x) = 1 , se x∈A .

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8 Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni

ϕA è detta la funzione caratteristica di A . Sia f : P(I) →{ funzioni di I in {0,1}} la funzione così definita : f(A) = ϕA . Si prova che f è una biiezione e da questo segue che l’ordine di P(I) è pari all’ordine dell’insieme delle funzioni di un insieme con n elementi in un insieme con 2 elementi , che abbiamo provato essere 2n . Osservazione 2.2.2 Una funzione di un insieme con n elementi in un insieme di m elementi può essere vista come una n-pla ordinata di elementi scelti tra m , con possibilità di ripetizioni . Per questo motivo tali funzioni sono anche dette disposizioni con ripetizione : per quanto provato sopra il numero delle disposizioni con ripetizione di m elementi a n a n è mn . Esempio 2.2.1 Le funzioni di I3 in I2 sono identificabili con le 8 terne (1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2) , (2,1,1) , (2,1,2) , (2,2,1) , (2,2,2) . La prima è la funzione costante di valore 1 , la seconda è la funzione che manda 1 in 1, 2 in 1,3 in 2 , … , l’ultima è la funzione costante di valore 2 . Esempio 2.2.2 Vogliamo calcolare il numero delle colonne tra loro diverse che si possono giocare al totocalcio . Come è noto , il gioco consiste nell’assegnare uno dei tre simboli 1 , x , 2 ad ognuna delle 13 partite . Ogni colonna può essere identificata con una sequenza ordinata di elementi scelti tra 1,x,2 e quindi con una funzione di un insieme con 13 elementi (le tredici partite) in un insieme con 3 elementi (i tre simboli citati) . Le colonne possibili sono quindi 313 = 1594323 .Giocando tutte queste colonne si ha la certezza del tredici (purtroppo con una spesa superiore alla vincita !!) . Proposizione 2.2.3 Sia f una funzione di In in Im .

i) Se f è iniettiva , n ≤ m ii) Se f è suriettiva , n ≥ m iii) Se n = m , f è biiettiva se e soltanto se f è iniettiva o suriettiva . Tralasciamo la dimostrazione della proprietà 2.2.3 , intuitiva ma non banale . Osserviamo che la proposizione contrapposta di i) (ad essa logicamente equivalente): se n > m ,allora f non è iniettiva è detta principio dei cassetti (o principio delle gabbie dei piccioni ) e può venire così riformulata (chiamando oggetti gli elementi di In e cassetti le loro immagini ) : se in m cassetti (gabbie) ho n > m oggetti (piccioni) , qualche cassetto (gabbia) contiene almeno 2 oggetti(piccioni). La proprietà iii) ci dice anche che non possono esistere biiezioni tra insiemi finiti di ordini diversi , quindi , in particolare, tra un insieme finito e un suo sottoinsieme proprio .

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Al contrario , un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio : per esempio la funzione f : Z → 2Z , f(x) = 2x è una corrispondenza biunivoca tra l’insieme Z dei numeri interi relativi e il suo sottoinsieme proprio 2Z (insieme dei numeri relativi pari). Osservazione 2.2.3 Il principio dei cassetti può essere esteso , diventando il Principio generale dei cassetti ( o delle gabbie dei piccioni ) : Se ho nk + 1 oggetti da riporre in n cassetti , qualche cassetto contiene almeno k + 1 oggetti. Per k = 1 , si ritrova il principio enunciato prima ( se ho n + 1 oggetti in n cassetti , qualche cassetto ne contiene almeno 2 ) . La dimostrazione per assurdo di questa proposizione è la seguente : se ogni cassetto contenesse al più k oggetti , avremmo al più nk oggetti , contro l’ipotesi . Esempio 2.2.3 Dobbiamo riporre 25 mele in 3 ceste : 25 = 3.8 + 1 . Usando il principio generale dei piccioni con n = 3 e k = 8 , avremo che qualche cesta contiene almeno 8 + 1 = 9 mele Proposizione 2.2.4 Siano A e B due insiemi finiti dello stesso ordine n . Le biiezioni tra di essi sono n! . 1° dimostrazione . Con l’induzione . Sia n = 1 ( base dell’induzione ) . Se A e B hanno un elemento ciascuno l’unica biiezione è quella che li fa corrispondere ( e 1 = 1! ) Ipotesi induttiva : supponiamo di sapere che tra due insiemi di ordine n-1 vi sono (n-1)! biiezioni . Sia ora A di ordine n : una biiezione di A in B (anch’esso di ordine n ) si ottiene dando una biiezione su n-1 elementi e dando l’immagine dell’elemento rimasto : si hanno così (n-1)! biiezioni con la stessa immagine per il primo elemento di A , (n-1)! con la stessa immagine per il secondo elemento di A ,…, (n-1)! con la stessa immagine per l’n-simo elemento di A . In totale le biiezioni cercate sono n . (n-1)! = n ! . 2°dimostrazione . Con il metodo delle scelte . Per individuare una biiezione , noti il dominio e il codominio , basta assegnare le n immagini degli n elementi del dominio . Ora , per l’immagine del primo elemento di A abbiamo n scelte (qualunque elemento di B) , per l’immagine del secondo elemento di A abbiamo n-1 scelte ( per l’iniettività ) , … , per l’immagine dell’n-simo elemento di A la scelta è unica . Si possono dunque effettuare n! scelte : ad ognuna corrisponde una diversa biiezione di A in B . Nel caso in cui i due insiemi A e B coincidano , le biiezioni di A in se stesso vengono dette permutazioni di A . Abbiamo così il

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10 Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni

Corollario 2.2.1 Le permutazioni di un insieme di ordine n sono n! Per comodità di scrittura poniamo , nel seguito , A = In ( identifichiamo in pratica gli elementi dell’insieme con i loro indici ) e facciamo alcune considerazioni . Ricordiamo che è notazione standard indicare con

)n(f...)2(f)1(f

n...21

la biiezione f che manda 1 in f(1) , 2 in f(2), … , n in f(n) . Così , per esempio , per n = 4 , la scrittura

32144321

rappresenta la biiezione che manda 1 in 4 , 2 in 1 , 3 in 2 e 4 in 3 .

Con questa notazione diventa semplice comporre due permutazioni e trovare l’inversa di una permutazione . Vediamolo su un esempio .

Esempio 2.2.4 Sia n = 4 e siano f la permutazione precedente e g la seguente :

34124321

g ° f è la permutazione che otteniamo applicando i due fattori successivamente (prima f poi g): possiamo pensare di scrivere su tre righe , omettendo poi il passaggio intermedio :

412332144321

da cui troviamo la composizione cercata :

41234321

L’inversa di una permutazione si ottiene scambiando le due righe e riordinando poi le colonne in modo che la prima riga diventi la riga 1 2 3 4 .

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Scambiando le righe di f , abbiamo :

.

43213214

e, riordinando le colonne , abbiamo f -1 :

14324321

Ricordando che la composizione di funzioni è un operazione associativa e non commutativa , si ha la Proposizione 2.2.5. L’insieme di tutte le permutazioni di un insieme di ordine n , rispetto all’operazione di composizione , è un gruppo non abeliano . Tale gruppo , che ha un’ importanza fondamentale all’interno della teoria dei gruppi , si indica solitamente con il simbolo Sn e si chiama gruppo simmetrico(totale) : abbiamo provato che esso ha ordine n! . Se scriviamo le n! permutazioni dei numeri da 1 a n , vediamo che nella seconda riga delle tabelline abbiamo scritto gli n numeri in tutti gli ordini possibili esattamente una volta : abbiamo ordinato (allineato ) in tutti i modi possibili i nostri elementi . Possiamo dedurre che n oggetti distinti possono essere ordinati in n! modi possibili . Si dice quindi, per estensione, permutazione di n oggetti distinti un qualunque loro ordinamento o allineamento . Questi ordinamenti si ottengono uno dall’altro permutando gli n oggetti e la teoria svolta ci dice che ne otteniamo in totale n! (corrispondenti alle seconde righe delle tabelline precedenti ) . Si scrive anche

Pn = n!

per indicare il numero totale delle permutazioni di n oggetti distinti . Esempio 2.2.5 Scriviamo tutte le 3! = 6 permutazioni di 3 palline di colore B (bianco), R (rosso), V (verde) . Abbiamo due allineamenti che mettono la pallina B al primo posto , altrettanti per R e V (stiamo usando il procedimento induttivo usato nella dimostrazione della proposizione 2.2.4)

B R V B V R R V B R B V V B R V R B . Esercizio 2.2.1 Quanti sono gli anagrammi della parola madre ? E della parola mamma ? Osserviamo che si definisce alfabeto un insieme finito di simboli e, dato un certo

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12 Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni

alfabeto (qui si tratta dell’alfabeto latino di 26 lettere), si definisce parola un qualunque allineamento dei suoi simboli . Il numero di simboli è detto lunghezza della parola. Se n è l’ordine dell’alfabeto, le parole di lunghezza m sono in totale nm . Non è richiesto quindi che la parola che si ottiene anagrammando madre abbia un significato nella lingua italiana , né che ne segua le regole grammaticali . Dobbiamo quindi contare in quanti modi si possono allineare le cinque lettere m,a,d,r,e . I modi sono tanti quante le permutazioni di 5 oggetti , cioè 5! = 120 . Osserviamo che , in generale , gli anagrammi di una parola con n lettere distinte sono n! Nella parola mamma vi sono invece delle lettere ripetute , due a e tre m : gli

anagrammi saranno !3!2

!5 . Motiviamo così questo fatto : passiamo da mamma ( che

ha due lettere ripetute ) a mamme ( che ha una sola lettera ripetuta ) e da mamme a madre (che ha tutte lettere distinte) . Gli anagrammi di mamme sono la sesta parte di quelli di madre : da ogni anagramma di mamme ne ottengo 6 = 3! di madre sostituendo nelle posizioni delle tre m i 3! anagrammi della parola mdr . A loro volta gli anagrammi di mamme sono il doppio (2 = 2!) di quelli di mamma ( ogni anagramma di mamma ci dà due anagrammi di mamme sostituendo al posto delle due a i due anagrammi di ae ) . Osservazione 2.2.4 Si chiama permutazione con ripetizione di n oggetti a1, a2 ,…, an di cui a1 preso r1 volte , a2 preso r2 volte , … , an preso rn volte ogni (r1 + r2 +…+ rn ) – upla in cui a1 compare r1 volte , a2 compare r2 volte , …, an compare rn volte . Il numero totale di questi allineamenti è

!r!...r!r)!r...rr(

n21

n21 ++

Osserviamo che tale numero ci dà il numero delle funzioni suriettive di un insieme di ordine r1 + r2 +…+ rn nell’ insieme di ordine n {a1, a2 ,…, an } aventi la proprietà che r1 elementi hanno immagine a1, r2 elementi hanno immagine a2 , … , rn elementi hanno immagine an . Da qui si ottiene che l'ordine dell'insieme J delle suriezioni di Im (m = r1 + r2 +…+rn) in In è dato da

∑ !r!...r!r)!r...rr(

n21

n21 ++

dove la somma è fatta su tutte le n-ple di interi non negativi (r1 , r2 ,…,rn) con r1 + r2 +…+rn = m . Il numero

!r!...r!r)!r...rr(

n21

n21 ++

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13

viene anche indicato con il simbolo

n21 r...rrm

e viene detto coefficiente multinomiale . Osserviamo che, per n = 2 , si trovano i coefficienti binomiali :

21 rrm

=

1rm

=

2rm

Quindi

J = ∑

n21 r...rrm

.

I coefficienti multinomiali sono legati ai numeri di Stirling di secondo tipo, indicati generalmente con il simbolo S(n,k) e definiti ricorsivamente nel modo seguente :

S(n,1) =1 , S(n,n) = 1

S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k) (2≤ k ≤ n-1) .

Si prova infatti che , con le notazioni precedenti,

J = ∑

n21 r...rrm

= n!S(m,n) .

I numeri di Stirling si possono rappresentare mediante una tabella infinita detta triangolo di Stirling avente come riga n-esima

S(n,1) S(n,2) … S(n-1,n) S(n,n) .

Tutti i numeri che appartengono alla prima o all'n-esima colonna valgono 1, mentre l'elemento dell'n-esima riga e della k-esima colonna , 2≤ k ≤ n-1, è dato dalla formula

S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k). Indichiamo le prime 7 righe del triangolo di Stirling

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14 Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni

1 1 1

1 3 1 1 7 6 1

1 15 25 10 1 1 31 90 65 15 1

1 63 301 350 140 21 1 .

Osservazione 2.2.5 A partire dai numeri di Stirling si definiscono altri numeri famosi : i numeri di Bell. Definizione 2.2.1 Si definisce n-esimo numero di Bell il numero

B(n) = ∑=

n

1k

)k,n(S

L'n-esimo numero di Bell è quindi la somma di tutti gli elementi della riga n-esima del triangolo di Stirling. Ecco i primi 7 numeri di Bell (basta sommare i numeri delle 7 righe del triangolo riportato sopra)

B(1) = 1 B(2) = 2 B(3) = 5 B(4) = 15 B(5) = 52 B(6) = 203 B(7) = 877 . Osservazione 2.2.6 Il numero di Stirling S(n,k) è , per definizione, il numero delle partizioni di un insieme di ordine n in k blocchi . Partendo dalla definizione , non è difficile provarne la formula ricorsiva e il legame con il numero di suriezioni da un insieme di ordine n in un insieme di ordine k (cfr [3]) . Quindi l'n-esimo numero di Bell B(n) dà il numero di tutte le possibili partizioni di un insieme di ordine n . Daremo la formula ricorsiva di questi numeri nel paragrafo 4.4 del quarto capitolo . Proposizione 2.2.6 Sia A un insieme di ordine k e B un insieme di ordine n . Vi sono

Dn,k = n(n-1)…(n-k+1) =

)!kn(!n−

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funzioni iniettive di A in B . 1° dimostrazione . Per induzione su k . Base dell’induzione . Sia k = 1. Se l’insieme A ha un solo elemento , si hanno evidentemente n funzioni iniettive di A in B e Dn,1 = n . Ipotesi induttiva . Supponiamo di sapere che se A ha k elementi vi sono Dn,k funzioni iniettive di A in B . Sia ora A di ordine k+1 . Abbiamo aggiunto ad A un elemento : per ognuna delle funzioni iniettive già considerate ne otteniamo n-k di A in B perché k elementi di B sono già immagini di elementi di A (per l’iniettività elementi distinti devono avere immagini distinte) , quindi abbiamo la relazione

Dn,k+1 = Dn,k . (n-k) = n.(n-1).….(n-k+1)(n-k) = )!1kn(

!n−−

2° dimostrazione. Con il metodo delle scelte.

Sia A = {a1, … , ak }. Contiamo in quanti modi si può costruire una funzione iniettiva

f : A → B .

Per f(a1) si hanno n scelte (f(a1) può essere uno qualunque degli elementi di B), per f(a2) si hanno n-1 scelte (f(a2) deve essere diversa da f(a1) per l’iniettività) , … , per f(ak) si hanno n-k+1 scelte . Si hanno quindi n(n-1) … (n-k+1) = n!/(n-k)! modi di costruire una funzione iniettiva di A in B e , quindi ci sono Dn,k funzioni iniettive di A in B . Osservazione 2.2.7 Se A = B ( e quindi n = k) ogni funzione iniettiva di A in A è una biiezione e Dn,n = n!/0! = n! = Pn diventa il numero delle permutazioni di n oggetti distinti . Osservazione 2.2.8 Il numero Dn,k può essere visto come il numero di modi in cui si possono allineare (ordinare,disporre) k oggetti presi in un insieme di n : possiamo pensare al dominio A come a un insieme di k caselle e far corrispondere a ciascuna di esse l’oggetto che la occupa , oggetto preso dall’insieme B . Così , per esempio, se B è l’insieme formato da tre palline di colore verde (V), rosso (R), nero (N) le disposizioni di queste tre palline a due a due sono D3,2 = 3!/1!=6 , e precisamente, sono gli allineamenti

VR,RV,VN,NV,RN,NR che corrispondono alle sei funzioni iniettive di A = {a1, a2 } in B = {V, R, N } seguenti :

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16 Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni

f(a1) = V, f(a2) = R f(a1) = R, f(a2) = V f(a1) = V, f(a2) = N f(a1) = N, f(a2) = V f(a1) = R, f(a2) = N

f(a1) = N, f(a2) = R .

Definizione 2.2.2 Si dice disposizione ( di n oggetti a k a k ) una funzione iniettiva di un insieme di ordine k in un insieme di ordine n . Abbiamo provato che il numero totale delle disposizioni di n oggetti a k a k è

Dn,k = )!kn(

!n−

Terminiamo ricordando un altro argomento importante del calcolo combinatorio , quello relativo alle combinazioni di n oggetti a k a k , e il suo legame con le disposizioni . Definizione 2.2.3 Sia A un insieme di ordine n . Si dice combinazione di n oggetti a k a k ( o di classe k ) ogni sottoinsieme di ordine k di A . Il numero delle combinazioni di n oggetti a k a k si indica con la notazione Cn,k . Dato un insieme di ordine n , esso possiede Cn,k sottoinsiemi con k elementi . Osservazione 2.2.9 Il numero Cn,k si ottiene dal numero Dn,k delle disposizioni semplici di n oggetti a k a k e dal numero Pk delle permutazioni di k elementi mediante le seguenti considerazioni : il numero delle disposizioni semplici di n oggetti a k a k ci dà il numero di tutte le k-ple (ordinate) di tali oggetti , mentre Pk ci dà il numero degli ordinamenti degli oggetti di ciascuna di esse . Un sottoinsieme di ordine k si ottiene quindi da k ! k-ple di oggetti , per cui vale la relazione :

C k,n = k

k,n

PD

= !k)!kn(!n

− =

kn

Esempio 2.2.6 Se B è l’insieme formato da tre palline di colore verde (V), rosso (R), nero (N) le disposizioni di queste tre palline a due a due sono D3,2 = 3!/1!= 6 ,e, precisamente, sono gli allineamenti

VR,RV,VN,NV,RN,NR

Le combinazioni di queste tre palline a due a due sono tre : corrispondono ai tre sottoinsiemi seguenti ( che scriviamo senza parentesi e virgola )

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VR,VN,RN . Usando la definizione di combinazione e l’uguaglianza

Cn,k =

kn

si dimostrano senza calcoli le proprietà dei coefficienti binomiali .

Così la proprietà

0n

=

nn

= 1 può essere motivata osservando che ci sono

solo un sottoinsieme con 0 elementi (l’insieme vuoto ) e uno con n (tutto l’insieme) .

Per dimostrare che

kn

=

− knn

basta osservare che quando scegliamo k elementi

tra n, isoliamo automaticamente i restanti n-k . La formula di Stifel

kn

=

−k

1n+

−−

1k1n

1 ≤ k ≤ n-1

si ottiene osservando che , fissato un elemento tra gli n , vi sono

−k

1n sottoinsiemi

di ordine k che non lo contengono e

−−

1k1n

che lo contengono ( quest’ultimo

numero si calcola escludendo l’elemento fissato e contando il numero dei sottoinsiemi di k-1 elementi che si possono formare con gli n-1 elementi rimasti ) . Su tale formula è basato lo schema che permette di calcolare ricorsivamente i coefficienti binomiali , il triangolo di Tartaglia :

1

1 1 1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 … ... … … … ...

1=

0n

1n

kn

nn

=1

… ... … … … ... … … …

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18 Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni

Sempre per il significato combinatorico dei coefficienti binomiali , nel triangolo di Tartaglia la somma dei numeri della riga n-sima ci dà l’ordine dell’insieme delle parti di un insieme di ordine n , 2n (proposizione 1.2) . Anche la formula del binomio di Newton

(a+b)n = ∑n

o

kn

an-kbk

può essere ottenuta con considerazioni di tipo combinatorico : svolgendo i conti in

(a+b)n = (a+b)(a+b)…(a+b)

si ottiene una somma di n+1 addendi , ognuno dei quali è un prodotto di n copie di a o di b in cui se a compare n- k volte , b compare k volte . Il coefficiente di an-kbk è dato dal numero dei fattori in cui ci sono n-k a , e quindi k b (ricordiamo che vale la

proprietà commutativa del prodotto) : questo numero è

kn

, in quanto è il numero di

modi in cui possiamo scegliere k binomi (a+b) tra gli n totali .

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CAPITOLO 3 Successioni e relazioni ricorsive 3.1 Definizioni ed esempi

3.2 Successioni aritmetiche e geometriche

3.3 La successione di Fibonacci 3.4 Relazioni ricorsive lineari 3.1 Definizioni ed esempi Definizione 3.1.1 Si dice successione a valori in un insieme C una funzione a avente come dominio l’insieme N (o N - {0}) Si scrive :

a(0), a(1), …, a(n), … o, come è più abituale,

a0, a1, …, an, …

Negli esempi più usati il codominio C è l'insieme R dei numeri reali . Esempi 3.1.1 1) La successione

1,2,22,23,…,2n,… è il modo usuale per rappresentare la funzione f : N → R , f(n) = 2n . f è iniettiva e non suriettiva .

2) La funzione f : N → R , f(n) = 2n individua la successione dei numeri pari

0,2,4,6,…

Una successione a0 ,a1,…,an,… può essere individuata anche mediante una relazione che lega an ad alcuni suoi predecessori a0 ,a1,…,an-1( detta relazione ricorsiva ) e da una o più condizioni iniziali .

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Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive

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Esempi 3.1.2 1) La successione 1) degli esempi 3.1.1 è data ricorsivamente dalla relazione an = 2an-1 e dalla condizione iniziale a0 = 1 . La successione 2) è invece individuata dalla relazione ricorsiva an = an-1+2 e dalla condizione iniziale a0 = 0 .

2) La relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 , n>2, unitamente alle condizioni iniziali F1 = F2 = 1 individua la nota successione 1,1,2,3,5,8,13,… di Fibonacci , su cui torneremo.

3) La successione di numeri 1,3,7,15,31,63,… ci dà le immmagini della funzione f(n) = 2n - 1, di dominio N - {0} . La stessa successione è individuata ricorsivamente dalla relazione mn = 2mn-1 + 1 e dalla condizione iniziale m1 = 1 ed è la risposta del problema della torre di Hanoi :

il gioco della torre di Hanoi fu inventato dal matematico francese E.Lucas nel 1883 e da allora è venduto come giocattolo . Il gioco consiste in un supporto piano dotato di tre pioli A,B,C e di n dischi ( 8 nella versione " classica " in figura) di diverso diametro infilati in uno di questi pioli e aventi diametro decrescente dal basso verso l'alto . Si chiede di trasferire gli n dischi , nello stesso ordine , ad uno qualunque dei due pioli liberi secondo le seguenti regole : a) i dischi devono essere mossi uno per volta , usando uno dei due pioli liberi come

"intermediario" b) un disco non può mai trovarsi su uno di diametro minore . Ci chiediamo qual è il numero minimo mn di mosse necessarie per terminare il gioco E' ovvio che nel caso di un unico disco occorra una sola mossa , cioè m1= 1 . Per capire il meccanismo ricorsivo , osserviamo che se abbiamo due dischi sul piolo A possiamo risolvere il gioco spostando il disco piccolo sul piolo B , il disco grande sul piolo C e infine il disco piccolo sul piolo C , cioè m2 = 3 = 2m1 + 1 .

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Se abbiamo n dischi , con mn-1 mosse muoviamo n-1 dischi su un piolo libero , con una mossa spostiamo il disco base sull'altro piolo, e con mn-1 mosse riposizioniamo su di esso la torre degli n-1 dischi , ottenendo così la relazione ricorsiva

mn = 2mn-1 + 1 .

Per ottenere una formula esplicita per mn , procediamo per iterazione : mn = 2mn-1 + 1 = = 2 ( 2mn-2 + 1) + 1 = = 22mn-2 + 2 + 1 = = 22 ( 2mn-3 + 1) + 2 + 1 = = 23 mn-3 + 22 + 2 + 1 = ……………………………. = 2n-1 mn-(n-1) + 2n-2 + … + 22 + 2 + 1 = = 2n-1

+ 2n-2 + … + 22 + 2 + 1 = = 2n - 1 . L'ultima uguaglianza segue dalla formula della somma dei primi n termini di una successione geometrica (vedi l' esempio 1.1 del Capitolo 1 ) . Al gioco della torre di Hanoi è associata la leggenda seguente : nella città indiana di Benares i sacerdoti del tempio di Brahma devono spostare con le regole dette i 64 dischi d'oro della torre di Brahma . Il mondo terminerà alla fine del lavoro dei sacerdoti . Dai conti fatti occorrono m64 = 264 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615 mosse e , calcolando una mossa per microsecondo ( 10-6secondo) , oltre 5000 secoli per spostare la torre! 4) Ricordiamo che, dato un insieme I di ordine n, abbiamo indicato con B(n) il numero di tutte le sue possibili partizioni (cap 2. Osservazione 2.2.6 ). B(n) è detto l'n-esimo numero di Bell dell'insieme I . Partendo da questa definizione dei numeri di Bell, proviamo la relazione ricorsiva che li lega . Proposizione 3.1.1 Siano B(n-i) e B(n) l'(n-i)-esimo e l'n-esimo numero di Bell dell'insieme I di ordine n ≥ 1 . Si ha

B(n) = ∑

−−n

1 1i1n

B(n-i) .

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Dimostrazione . Sia I di ordine n . Data una sua partizione P , l'elemento a di I appartiene ad uno e uno solo dei sottoinsiemi A di P . Ciò significa che ogni partizione di I è determinata univocamente dal sottoinsieme A che contiene a e da una partizione di I - A . Notiamo che l'ordine i dell'insieme A è compreso tra 1 e n (i

≠ 0 perché A ≠ ∅) . A può essere scelto in

−−

1i1n

modi (tanti sono infatti i

sottoinsiemi di I che contengono a ) , mentre le partizioni di I - A , che ha ordine n - i sono B(n-i) . Dunque , per ogni i , 1≤ i ≤ n , vi sono esattamente

−−

1i1n

B(n-i)

partizioni di I nelle quali a appartiene ad un elemento A di ordine i . Ne segue che le partizioni distinte di I sono

B(n) = ∑

−−n

1 1i1n

B(n-i) .

Calcoliamo, per esempio, B(3) . B(3) =

02

B(0) +

12

B(1) +

22

B(2) = 1 + 2 + 2

= 5 (osserviamo che B(0) vale 1, in quanto l'insieme vuoto ha una partizione, quella avente come insieme se stesso). Osserviamo che negli esempi 1 e 3 è possibile calcolare il termine n-simo usando soltanto il termine precedente , mentre nell'esempio 2 il termine n-simo si calcola a partire dai due termini che lo precedono : le relazioni ricorsive del primo tipo sono dette del primo ordine, quella dell'esempio 2 è detta del secondo ordine . Per calcolare invece B(n) (esempio 4) occorre conoscere gli n numeri di Bell B(0),B(1),…,B(n-1) .In tal caso si dice che la relazione non ha ordine finito . Osservazione 3.1.1 Si prova che una relazione ricorsiva di ordine r è univocamente determinata da r condizioni iniziali per r valori consecutivi , oltre che dalla formula di ricorrenza .La sola relazione ricorsiva non è sufficiente a determinare l'unicità della soluzione . Infatti , per esempio, la relazione di grado due

an = 5an-1 + 6an-2

ha soluzione

an = C12n + C23n , ∀ C1, C2 .

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Così sono insufficienti le sole condizioni iniziali : per esempio le condizioni

a0 = a1 = 0

sono verificate dalle due successioni

an = n(n-1) e an = n2(n-1) .

Ancora, sono insufficienti per l'unicità meno condizioni iniziali del grado : per esempio le ipotesi

a0 = 0 an = 5an-1 + 6an-2

sono soddisfatte da

an = 2n e da an = 3n .

Infine , non sono sufficienti r condizioni iniziali non consecutive : la successione

an = 4an-2 a0 = 0 , a2 = 8

ha le soluzioni

an = 2n+1 e an = 2n + (-2)n . 3. 2 Successioni aritmetiche e geometriche

Definizione 3.2.1 . Si dice successione (o progressione) aritmetica di termine iniziale a0 e ragione d ( d ∈ R ) la funzione a : N → R così definita :

a(n) = an = a0 + nd .

Esplicitandone le immagini , si ha :

a0 , a0 + d , a0 + 2d ,…, a0 + nd , …

Esempio 3.2.1 La successione dei numeri pari 0,2,4,6,… è la successione aritmetica di termine iniziale 0 e ragione 2 , definita dalla legge a(n) = 2n . Ne abbiamo già data la definizione in forma ricorsiva an = an-1 + 2 (n≥1) , a0 = 0 .

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La successione aritmetica della definizione 3.2.1 si esprime facilmente in forma ricorsiva ponendo an = an-1 + d (n≥1) e assegnando a0 come termine iniziale . Può essere utile ricordare la formula che dà la somma dei primi n termini di una tale successione (dimostrata negli esempi 1.1 del capitolo 1) :

∑−1n

0ia = na0 +

2)1n(n − d

Definizione 3.2.2 Si dice successione (o progressione) geometrica di termine iniziale a0 e ragione q ( q ∈ R ) la funzione a : N → R così definita :

a(n) = an = a0qn . Esplicitandone le immagini , si ha :

a0 , a0q , a0q2 ,…, a0qn, …

Esempio 3.2.2 La successione delle potenze di 2 : 1,2,4,8,16,… è la successione geometrica di termine iniziale 1 e ragione 2 , definita dalla legge a(n) = 2n . Ne abbiamo già data la definizione in forma ricorsiva an = 2an-1 (n≥1) , a0 = 1 . La successione geometrica della definizione 3.2.2 si esprime facilmente in forma ricorsiva ponendo an = an-1q , (n≥1) e assegnando a0 come termine iniziale . La formula che dà la somma dei primi n termini di una tale successione (vedi gli esempi 1.1 del capitolo 1) è :

∑−1n

0ia = a0 .

q1q1 n

−− .

Le successioni aritmetiche e geometriche intervengono nello studio di numerosi problemi di tipo economico,biologico,medico . Esempi 3.2.3 1) Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipendio di un lavoratore dopo n anni, sapendone il valore iniziale s0 e supponendone un aumento annuale pari al 2% di s0.

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Procedendo ricorsivamente, abbiamo

s(0) = s0

s(1) = s0 + 100

2 s0

s(n) = s0 + n100

2 s0 .

Il problema è descritto da una successione aritmetica di termine iniziale s0 e ragione

1002 s0

2) Si vuole schematizzare in modo ricorsivo il processo di decadimento radioattivo . Alcune sostanze decadono nel tempo , trasformandosi in altre sostanze ; si dice tempo di dimezzamento il periodo T in cui decade la metà degli atomi . Assumendo come unità di misura dei tempi T e indicando con Q il numero degli atomi presenti inizialmente si ha : Q(0) = Q

Q(1) = 21 Q

Q(2) = 221 Q

Q(n) = n21 Q

Il processo è descritto da una successione geometrica di termine iniziale Q e ragione

21 .

3.3 La successione di Fibonacci La relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 , n ≥ 3, unitamente alle condizioni iniziali F1 = F2 = 1 individua la nota successione di Fibonacci :

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1,1,2,3,5,8,13,… Si tratta del primo esempio conosciuto di relazione ricorsiva : i primi dodici termini di essa si trovano nel Liber Abbaci (1202) di Leonardo Pisano detto Fibonacci (1170 - 1250) come risposta al seguente problema : quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur . Si suppone che una coppia di conigli adulti generi ogni mese una coppia di piccoli e che questi si riproducano , generando anch'essi una coppia di conigli, a partire dal secondo mese di vita . Partendo da una coppia di coniglietti, quante coppie ci saranno nel mese n ? Indichiamo questo numero con F(n) o Fn . Dunque, per le ipotesi fatte F(1) = 1 ( inizialmente abbiamo una coppia non adulta) F(2) = 1 (dopo un mese abbiamo ancora una sola coppia) F(3) = 1 + 1 = F(1) + F(2) (nel 3° mese abbiamo la coppia di partenza, che è diventata adulta, e la coppia di coniglietti da essa generata) F(4) = 2 + 1 = F(3) + F(2) (si hanno 2 coppie, quella iniziale e la loro progenie mensile più la coppia del mese precedente diventata adulta) . . . F(n) = F(n-1) + F(n-2) ( nel mese n-simo, n >2 , vi sono tutte le coppie del mese precedente, cioè F(n-1), più le coppie dei piccoli, che sono esattamente tante quante erano le coppie due mesi prima ,cioè F(n-2)) . I numeri di Fibonacci sono i valori della successione descritta : i primi dodici sono

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… .

Si pone generalmente F0 = 0, affinchè la relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 sia valida anche per n = 2 . Nel disegno che segue è illustrata la situazione fino al quinto mese :

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I numeri di Fibonacci si ritrovano in molte situazioni e compaiono spesso in natura. Per esempio in molte piante il numero di rami in cui il fusto si ramifica segue uno schema del tipo seguente

Così i numeri delle spirali dei semi del girasole, dei petali della margherita, delle foglie del cavolfiore, delle scaglie dell'ananas sono spesso numeri di Fibonacci .

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Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive

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La letteratura matematica sulle proprietà dei numeri di Fibonacci è molto vasta . Ci limitiamo ad indicarne alcune proprietà e a darne la formula generale, che ricaveremo nel prossimo paragrafo . Proposizione 3.3.1 Per ogni n ≥ 1 , vale l'identità (di Cassini)

Fn+1Fn-1 - Fn2 = (-1)n

Dimostrazione . Per induzione su n . Per n = 1 , si ha F2F0 - F1

2 = -1 . Supponiamo che Fn+1Fn-1 - Fn

2 = (-1)n e proviamo che Fn+2Fn - F 21n+ = (-1)n+1 (*).

Da Fn+1 = Fn + Fn-1 , ricaviamo Fn-1 = Fn+1 - Fn e , sostituendo in Fn+1Fn-1 - Fn2 = (-1)n,

troviamo Fn+1( Fn+1 - Fn ) - Fn2 = (-1)n , cioè F 2

1n+ - Fn+1Fn - Fn2 = (-1)n =

= F 21n+ - Fn (Fn+1 + Fn) = F 2

1n+ - Fn Fn+2 , che è la (*) cambiata di segno . Sempre usando l'induzione si possono dimostrare le seguenti formule : i) F1 + F2 + F3 + … + Fn = Fn+2 - 1 ii) F1 + F3 + F5 + … + F2n-1 = F2n iii) F2 + F4 + F6 + … + F2n = F2n+1 - 1 .

iv) Fn = ∑≥

−−

0k k1kn

(cioè, disponendo i coefficienti binomiali del triangolo di

Tartaglia nel modo seguente

n

0n

1n

2n

3n

4n

5n

0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

si ottengono i numeri di Fibonacci sommando "in diagonale" ). Proviamo una interessante proprietà combinatorica dei numeri di Fibonacci , che da taluni autori viene data come definizione (cfr [ ]4 ) .

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Proposizione 3.3.2 Sia In = {1,2,3,…,n}⊂ N . Il numero dei sottoinsiemi di In che non contengono due suoi numeri consecutivi è dato da Fn+2 . Dimostrazione . Identifichiamo un sottoinsieme A di In con una stringa di lunghezza n formata con le due cifre 1 e 0 . La cifra 1 indica l'appartenenza di un elemento di In ad A , la cifra 0 la non appartenenza . Per esempio, per n = 4, la stringa 1010 indica il sottoinsieme {1,3} dell' insieme I4 = {1,2,3,4} . I sottoinsiemi di In che non contengono due suoi numeri consecutivi sono dati dalle stringhe che non hanno mai due cifre 1 consecutive . Consideriamo tra questi quelli di ordine k : la stringa che li rappresenta contiene k volte la cifra 1 . Per contarli tutti , partiamo da n-k cifre tutte uguali a 0

44 344 21kn

0...000−

e contiamo in quanti modi possiamo inserire k cifre 1 in modo che due di esse non siano mai adiacenti . Essendo i posti vuoti disponibili n - k + 1 , le k cifre 1 si possono inserire in

Cn-k+1,k =

+−k

1kn

modi . Quindi i sottoinsiemi cercati sono

∑≥0k

+−k

1kn .

Per la proprietà iv) , Fn = ∑≥

−−

0k k1kn

, il numero cercato è proprio l'(n+2)-simo

numero di Fibonacci . La formula generale , che ci permette di determinare il termine n-simo di una successione in funzione di n , è , nel caso della successione di Fibonacci (vedi paragrafo 3.4) ,

Fn =

−−

+nn

251

251

51

Ricordiamo che il numero 2

51+ è dettorapporto aureo(o sezione aurea) e indicato

con la lettera Φ .

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Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive

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Il numeroΦ è un numero molto famoso e molto usato in architettura (prende il nome dalla lettera iniziale dello scultore greco Fidia), pittura, anatomia e botanica . Fu introdotto dai pitagorici come rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare ( o come rapporto tra il lato del pentagono stellato o pentagramma ,simbolo dei pitagorici, e il lato del pentagono regolare con gli stessi vertici ) :

Il rapporto aureo è definito come il rapporto tra due lunghezze a e b tale che

aba

ba += .

Risolvendo la proporzione, si hanno le due radici ba = Φ =

251+ e

ba = -

Φ1 =

251− .

Nella figura che segue riportiamo la costruzione geometrica del rapporto aureo :

Si costruisca un quadrato il cui lato AB ha lunghezza a e punto medio M . La

circonferenza disegnata,di centro M e raggio 2

a5 , interseca la retta AB nel punto C.

Il segmento BC ha lunghezza b e ba = Φ =

aba + .

Anche le diagonali del pentagono di lato a + b si intersecano in segmenti che danno luogo alla sezione aurea e generano un pentagono regolare di lato b e diagonali di lunghezza a (ancora il rapporto aureo) e così all'infinito :

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Dalla forma generale dei numeri di Fibonacci , osservando che quando n è grande Fn

si avvicina molto a 5

nΦ perché -Φ1 =

251− < 1 e quindi ( -

Φ1 =

251− )n diventa esponenzialmente piccolo , si ha che il rapporto

1n

n

FF

ha come

limite (per n → ∞) proprio il numero Φ .

3.4 Relazioni ricorsive lineari Abbiamo visto nel paragrafo 3.1 che una successione di termine generale an può essere individuata anche mediante una relazione ricorsiva che lega an ad alcuni suoi predecessori a0 ,a1,…,an-1 e da una o più condizioni iniziali . Definizione 3.4.1 Una relazione ricorsiva si dice lineare se esistono funzioni bi(n) ( i = 0, 1,…, n-1 ) e c(n) tali che

an = bn-1(n)an-1 + bn-2(n)an-2 + … + b0(n)a0 + c(n) . Osservazione 3.4.1 L'aggettivo lineare (di primo grado) si riferisce agli elementi ai della successione e non ai loro coefficienti . Definizione 3.4.2 Una relazione ricorsiva lineare an = bn-1(n)an-1 + bn-2(n)an-2 + … + b0(n)a0 + c(n) si dice omogenea se c(n) = 0 . Definizione 3.4.3 Una relazione ricorsiva lineare an = bn-1(n)an-1 + bn-2(n)an-2 + … + b0(n)a0 + c(n) si dice a coefficienti costanti se tutti i coefficienti bi(n) ( i = 0, 1,…,n-1) sono costanti . Esempio 3.4.1 1) La relazione ricorsiva an = 2an-1 è lineare , del primo ordine, omogenea e a

coefficienti costanti .

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2) La relazione ricorsiva an = an-1 + 2 è lineare , del primo ordine, non omogenea e a coefficienti costanti .

3) La relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 è lineare , del secondo ordine, omogenea e a

coefficienti costanti . 4) La relazione ricorsiva an = 1na − + 2 non è lineare , è del primo ordine , non è

omogenea ed è a coefficienti costanti . 5) Un importante esempio di relazione ricorsiva non lineare è quella che definisce i

numeri di Catalan . Questi numeri, indicati con la notazione C(i) (o Ci), furono introdotti dallo stesso Catalan nel 1838, per risolvere il seguente problema (già affrontato da Eulero): in quanti modi diversi si può suddividere in triangoli un poligono convesso di n +1 lati tracciandone diagonali che non si intersecano? In figura abbiamo le 5 triangolazioni diverse di un pentagono convesso.Il quesito posto è equivalente al "problema delle parentesi di Catalan" : in quanti modi è possibile eseguire un'operazione non associativa su n fattori ai di un insieme A ? Osserviamo che in presenza di un'operazione non associativa non possiamo scrivere il prodotto a1a2…an , ma dobbiamo inserire le parentesi . In quanti modi possiamo farlo ? Per esempio , se moltiplichiamo tre elementi abbiamo le due possibilità (e quindi al massimo due risultati ) seguenti : (a1a2)a3 e a1(a2a3) , se ne moltiplichiamo quattro i possibili prodotti sono i seguenti cinque :

(a1a2)(a3a4) , (a1 (a2a3 )a4) , ( (a1a2)a3 )a4 , a1 ((a2a3 )a4) , a1 (a2(a3a4) ) . Sempre in figura è rappresentata la corrispondenza tra questi due problemi per n =

4 . (a1a2)(a3a4) ((a1a2)a3)a4 (a1(a2a3))a4 a1((a2a3)a4) a1(a2(a3a4)) a3 a2 a4 a1 Dunque C3 = 2 , C4 = 5 e ovviamente C1 = C2 = 1 . Per calcolare l'n-simo numero di Catalan, cioè il numero di modi in cui è possibile

scrivere il prodotto non associativo a1a2…an , osserviamo che esso si scrive in modo unico nella forma pp', dove p è uno dei possibili prodotti a1a2…ai e q è uno dei possibili prodotti ai+1ai+2…an ( pp' = (a1a2…ai )( ai+1ai+2…an) , 1 ≤ i ≤ n-1 ). Per ogni i , esistono Ci differenti p e Cn-i differenti p' , quindi Ci Cn-i differenti prodotti pp' . Abbiamo dunque trovato la relazione ricorsiva non lineare seguente :

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Cn = ∑−1n

1

Ci Cn-i , n ≥ 2 .

Risolvere una relazione (o equazione) ricorsiva significa trovare una formula che esprima il termine generale an in funzione di n .

Non esiste un unico metodo per risolvere le equazioni ricorsive (vedi gli esempi 3.4.4). In molti casi si tratta di un problema ancora aperto . Ci limiteremo ad enunciare i Teoremi generali relativi alle relazioni ricorsive lineari di grado finito viste negli esempi . Teorema 3.4.1 La relazione ricorsiva lineare, del primo ordine, omogenea e a coefficienti costanti

an = bn-1an-1 , n>m am = k

ha come soluzione an = kb mn

1n−−

, n≥m

Esempio 3.4.2 La relazione ricorsiva an = an-1q , a0 = k ha come soluzione a(n) = an = kqn , n≥0 ed è la successione geometrica di ragione q e termine iniziale k . Teorema 3.4.2 La relazione ricorsiva lineare, del primo ordine, non omogenea e a coefficienti costanti

an = bn-1an-1 + c(n) , n>m am = k

ha come soluzione

an = mn1nb −−

++∑ −

n

1

i1nb)mi(ck , n≥m

Esempio 3.4.3 La relazione ricorsiva an = an-1 + d, a0 = k ha bn-1 = 1, c(i) = d per ogni i Come già sappiamo ha soluzione a(n) = an = k + d +…+ d = k + nd, n≥0 ed è la successione aritmetica di ragione d e termine iniziale k . Esempi 3.4.4 1) Nel problema della torre di Hanoi, abbiamo risolto direttamente la relazione ricorsiva an = 2an-1 + 1 ( lineare , del primo ordine , non omogenea e a coefficienti costanti) , trovando la formula generale

an = 2n - 1 .

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Tale formula si ritrova ponendo bn-1 = 2 , m = 1, k = 1 , c(i +1) = 1 per ogni i : infatti

an =2n-1

+∑ −

n

1

i21 = 2n-1 ( 1 + n21...

41

21

+++ ) = 2n-1 + 2n-2 + … + 1 = 2n - 1 .

2) Vogliamo risolvere la ricorrenza an = an-1 + n , n ≥ 1 , a0 = 1. Esplicitando i valori abbiamo : a0 = 1 a1 = a0 + 1 = 1 + 1 a2 = a1 + 2 = 1 + 1 + 2 a3 = a2 + 3 = 1 + 1 + 2 + 3 . . . an = an-1 + n = 1 + 1 + 2 + 3 + … + n .

e , ricordando la formula di Gauss , an = 1 + 2

)1n(n + .

Allo stesso risultato si arriva ponendo, nella formula risolutiva del Teorema 3.4.2, m = 0 , bn-1 = 1, k = 1, c(i) = i , i = 1, … , n . 3) Consideriamo la relazione ricorsiva

an = 2an-1 + 2n , n≥1

a0 = 1. Essa dà luogo alla successione

1, 4, 12, 32, 80,…

In questo esempio abbiamo bn-1 = 2 , c(i) = 2i, k = 1 . Sostituendo in

an = n1nb −

+∑ −

n

1

i1nb)i(ck ,

troviamo come soluzione

an = 2n

+∑ −

n

1

ii221 = 2n (1 + n) .

Questa è la formula generale della successione 1, 4, 12, 32, 80,…, 2n (1 + n),…

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Consideriamo ora la relazione ricorsiva che genera i numeri di Fibonacci . In base alle definizioni precedenti notiamo che si tratta di una relazione ricorsiva lineare, del secondo ordine, omogenea e a coefficienti costanti. Per questo tipo di relazioni valgono i seguenti teoremi : Teorema 3.4.3 Sia an = bn-1an-1+ bn-2an-2 una relazione ricorsiva lineare,del secondo ordine, omogenea e a coefficienti costanti .

an = rn , r ∈R ne è una soluzione non identicamente nulla se e solo r è una radice del polinomio

x2 - bn-1x - bn-2 Dimostrazione . Se an = rn è una soluzione non nulla , allora r ≠0, e per ogni n si ha rn = bn-1rn-1+ bn-2 rn-2 . Dividendo per rn-2 , si trova r2 = bn-1r+ bn-2 . Viceversa, se r2 = bn-1r + bn-2 , moltiplicando per rn-2 si ha che rn = bn-1rn-1+ bn-2 rn-2 , cioè che rn è una soluzione Definizione 3.4.4 Il polinomio x2 - bn-1x - bn-2 è detto polinomio caratteristico della relazione ricorsiva an = bn-1an-1+ bn-2an-2 . Per risolvere la relazione an = bn-1an-1+ bn-2an-2 occorre dunque trovare le radici del suo polinomio caratteristico . Non abbiamo però menzionato le condizioni iniziali della relazione ricorsiva . Può succedere che esse non vengano verificate dalle soluzioni indicate nel teorema , come vediamo nell'esempio che segue . Esempio 3.4.5 Consideriamo la relazione di ricorrenza

an = 6an-1 - 8an-2 , n ≥ 3 a1 = 14 a2 = 52

Il suo polinomio caratteristico è x2 - 6x + 8 . Le sue radici sono x = 2 e x = 4 , ma le soluzioni an = 2n e an = 4n non soddisfano le condizioni iniziali . Dobbiamo trovare allora altre soluzioni che soddisfino le condizioni iniziali . Vale il Teorema 3.4.4 Sia an = bn-1an-1+ bn-2an-2 una relazione ricorsiva lineare,del secondo ordine,omogenea e a coefficienti costanti e ne siano an e a'n due soluzioni . Allora , per ogni scelta di numeri C1 e C2 la successione

a"n = C1 an + C2 a'n

ne è una soluzione .

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Dimostrazione . Basta sostituire l'espressione data nella relazione e verificare che si ottiene un'identità . Si ha : a"n - bn-1a"n-1- bn-2a"n-2 = (C1 an + C2 a'n) - bn-1(C1 an-1 + C2 a'n-1) - bn-2(C1 an-2 + C2 a'n-2) = C1(an - bn-1an-1- bn-2an-2) + C2(a'n - bn-1a'n-1- bn-2a'n-2) = 0 . Osservazione 3.4.2 Il teorema precedente si generalizza ad equazioni lineari , omogenee, a coefficienti costanti di ordine qualunque . Riprendiamo allora l' esempio 3) degli esempi 3.4.4 : an = 2n e a'n = 4n sono due soluzioni della relazione ricorsiva an = 6an-1 - 8an-2 , n ≥ 3 . Il teorema 3.4.4 ci dice che per ogni scelta di C1 e C2 anche

a"n = C12n + C2 4n

è una soluzione . Abbiamo dunque infinite soluzioni della relazione iniziale e tra queste cerchiamo l'unica che soddisfi le condizioni iniziali a"1 = 14 a"2 = 52 . Si ottiene il sistema C1 + 2C2 = 7

C1 + 4C2 = 13

che ha soluzione C1 = 1,C2 = 3 . Dunque l'unica soluzione della relazione di ricorrenza

an = 6an-1 - 8an-2 , n ≥ 3 a1 = 14 a2 = 52

è an = 2n + 3 . 4n .

Esempio 3.4.6 Consideriamo la relazione di ricorrenza

an = 4an-1 - 4an-2 , n ≥ 3 a1 = a2 = 1

Il suo polinomio caratteristico , x2 - 4x + 4 = (x - 2)2 , ha la sola radice x = 2 . Il teorema 3.4.4 ci dice che a"n = C2n è una soluzione per ogni scelta di C , ma non possiamo scegliere C in modo che sia a1 = 2C = a2 = 4C = 1 . Dobbiamo trovare un'altra soluzione , indipendente da 2n, per poter avere due costanti C1 e C2 . Teorema 3.4.5 Sia an = bn-1an-1+ bn-2an-2 una relazione ricorsiva lineare, del secondo ordine ,omogenea, a coefficienti costanti e tale che il suo polinomio caratteristico abbia una sola radice r , di molteplicità due . Allora

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an = rn e

a'n = nrn ne sono due soluzioni . Dimostrazione . Il teorema 3.4.3 ci assicura che an = rn è una soluzione . Per provare che anche a'n = nrn è una soluzione , si effettua una semplice verifica , basata sul fatto che x2 - bn-1x - bn-2 = 0 ha una radice doppia r se e solo se x2 - bn-1x -bn-2 =(x - r )2 , da cui bn-1 = 2r e bn-2 = - r2 . Abbiamo infatti

nrn - bn-1(n -1) rn-1- bn-2(n -2) rn-2 = nrn - 2r(n -1) rn-1 + r2(n -2) rn-2 =

= nrn - 2nrn + 2rn + nrn - 2rn = 0 .

In base a questo teorema , la successione dell' esempio 3.4.6 ha le infinite soluzioni

an = C12n + C2n2n .

Per trovare l'unica che soddisfa le condizioni iniziali , risolviamo il sistema

2C1 + 2C2 = 1

4C1 + 8C2 = 1

trovando C1 = 43 e C2 =

41

− e quindi la formula generale , valida per n ≥ 1,

an = 43 2n

41

− n2n = (3 - n)2n-2 .

Abbiamo così trovato un metodo generale per risolvere tutte le relazioni ricorsive di ordine due, lineari, omogenee e a coefficienti costanti , che si riduce a trovare le radici del suo polinomio caratteristico, distinguendo il caso in cui vi siano due radici distinte (reali o complesse) oppure due radici coincidenti, e ad applicare i teoremi precedenti . Applichiamo tale metodo per scrivere in forma generale la relazione ricorsiva di Fibonacci :

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

F(0) = 0 F(1) = 1 .

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Il suo polinomio caratteristico è

x2 - x - 1

le cui radici sono 2

51+ e 2

51− .

Dobbiamo dunque determinare C1 e C2 affinchè

F(n) = C1

n

251

+ + C2

n

251

soddisfi le condizioni iniziali. Otteniamo il sistema C1 + C2 = 0

C1

+2

51 + C2

−2

51 = 1

avente soluzione C1 = 5

1 e C2 = - 5

1 .

Dunque la formula generale dei numeri di Fibonacci è la seguente :

F(n) = 5

1

−−

+nn

251

251 .

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CAPITOLO 4 Funzioni aritmetiche e funzioni intere 4.1 Funzioni aritmetiche moltiplicative

4.2 La funzione di Eulero e la funzione di Moebius 4.3 Funzioni intere 4.1 Funzioni aritmetiche moltiplicative Definizione 4.1.1 Si dice funzione aritmetica una funzione f : N - {0} → Z . Definizione 4.1.2 Si dice che una funzione aritmetica f è moltiplicativa se :

M.C.D(n,m) = 1 ⇒ f(nm) = f(n)f(m).

Proposizione 4.1.1 Sia f una funzione aritmetica moltiplicativa e sia n = 1e

1p p 2e2 …p he

h la decomposizione di n in fattori primi . Si ha

f(n) = f( 1e1p )f(p 2e

2 )…f(p heh ) .

Dimostrazione . Immediata dalla definizione , usando il principio di induzione . Esempio 4.1.1 La funzione costante di valore 1 (f(n) = 1 , ∀n∈ N - {0} ) e l'identità di N (f(n) = n , ∀n∈ N - {0}) sono funzioni aritmetiche moltiplicative . Esempio 4.1.2 Sia n∈ N - {0} . Indichiamo con )n(τ , σ (n) , π (n) il numero totale , la somma e il prodotto di tutti i divisori d di n ( compresi 1 e n ) . In simboli :

)n(τ = ∑n/d1 = |{d | d/n }|

σ (n) = ∑

n/dd

π (n) =

n/dΠ d .

τ , σ e π sono funzioni aritmetiche .

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Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere

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Si ha , per esempio )1(τ = σ (1) = π (1) = 1 , 2)2( =τ , σ (2) = 3 , π (2) = 2 ,

2)3( =τ , σ (3)= 4 ,π (3) = 3 , …, ,4)6( =τ σ (6) = 12 , π (6) = 36 ( da qui concludiamo che la funzione aritmetica π non è moltiplicativa ) . Proveremo che τ e σ sono entrambe moltiplicative . A tal fine proviamo la Proposizione 4.1.2 Sia f una funzione aritmetica e sia F così definita : F(n) = ∑

n/d)d(f . Se f è moltiplicativa , anche F è una funzione moltiplicativa (detta la

trasformata di Moebius di f) . Dimostrazione . La nostra tesi è che F(nm) = F(n)F(m) , se n ed m sono coprimi . Proviamo prima che, poiché M.C.D(n,m) = 1, ogni divisore d di nm si fattorizza in modo unico nel prodotto ab , con a divisore di n e b di m e con a e b coprimi . Se, infatti, n = 1e

1p p 2e2 …p he

h e m = 1l1q q 2l

2 …q klk si ha nm = 1e

1p p 2e2 …p he

h1l

1q q 2l2 …q kl

k e d = 1a

1p p 2a2 …p ha

h1b

1q q 2b2 …q kb

k , 0<ai≤ei , 0<bi≤ li . Ponendo a = 1a1p p 2a

2 …p hah e b =

1b1q q 2b

2 …q kbk , si ha d = ab , con a e b unici .

Si ha allora :

F(nm) = ∑nm/d

)d(f = ∑m/b,n/a

)ab(f = )b(f)a(fm/b,n/a

∑ = ∑n/a

)a(f ∑m/b

)b(f = F(n)F(m) .

La proposizione precedente permette di provare che le funzioni τ e σ sono moltiplicative , in quanto trasformate di Moebius della funzione costante 1 e dell'identità rispettivamente . Queste funzioni hanno interessanti proprietà : ricordiamo solo che τ (n) = 2 se e solo se n è un numero primo, che, se n>1,σ (n) ≥n+1 e cheσ (n) = n+1 se e solo se n è primo . La funzione σ caratterizza i numeri perfetti : un numero n non nullo si dice perfetto se e solo se σ (n) = 2n . I primi cinque numeri perfetti sono 6 , 28 , 496 , 8128 , 33550336 . Non ne sono conosciuti di dispari e non è noto se i numeri perfetti siano infiniti . 4.2 La funzione di Eulero e la funzione di Moebius Definizione 4.2.1 Si dice funzione di Eulero ( o indicatore di Eulero ) la funzione aritmetica ϕ che associa ad ogni naturale non nullo n il numero di interi positivi minori di n e coprimi con n . In simboli , se C(n) = {1 ≤ a ≤ n / M.C.D(a,n) = 1 } , si pone

ϕ(n) = |C(n)| . Per esempio : ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(4) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2, …

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Poiché un numero p è primo se e solo se è relativamente primo con tutti i numeri che lo precedono , abbiamo la Proposizione 4.2.1 ϕ(p) = p - 1 ⇔ p è un numero primo La funzione di Eulero ha molte proprietà. Le più importanti sono enunciate nella proposizione seguente, per la cui dimostrazione rimandiamo a un qualunque testo di matematica discreta . Proposizione 4.2.2 i) M.C.D(n,m) = 1 ⇒ ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m) (ϕ è moltiplicativa ) ii) se p è un numero primo, allora ϕ(p h ) = p h - p 1h− = p 1h− (p - 1 )

iii) ϕ (n) = nn/p

Π ( 1 - p1 ) .

iv) se M.C.D (n,m) = d , allora ϕ(nm) = ϕ(n) ϕ(m))d(

Osservazione 4.2.1 La i) e la ii) della proposizione ci permette il calcolo di ϕ(n) quando sia nota la decomposizione di n . Infatti , se n = 1e

1p p 2e2 …p he

h , si ha ϕ (n) = ϕ ( 1e

1p )ϕ (p 2e2 )…ϕ (p he

h ) = p 1e1

1− p 1e2

2 − … p 1eh

h − ( p1 - 1)( p 2 - 1)… (ph- 1) . Così , ϕ (600) = ϕ (23 .3 .52) = 22 . 30 . 5 . 2 . 4 = 160 . Ci sono 160 numeri interi tra 1 e 600 coprimi con 600 .

La iii) (che si ottiene da i) e ii) osservando che ϕ(p h ) = p h (1 - p1 ) ) ci dà

un'espressione di ϕ(n) che dipende solo dai divisori primi di n e non dalle potenze con cui essi compaiono nella fattorizzazione di n . Per esempio , se i divisori primi di

n sono 2, 3 e 5 ( come per 600) , abbiamo ϕ (n) = n (1 - 21 )(1 -

31 )(1 -

51 ) =

308 n

( per ogni n = 2a . 3b . 5c) .

Così, ϕ (600) = 308 600 = 8 . 20 = 160 , ϕ (60) =

308 60 = 16 , ϕ (30) =

308 30 = 8 ,

ϕ (150) = 308 150 = 40 …

Usando la moltiplicatività di ϕ e la sua trasformata di Moebius , possiamo provare il seguente

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Teorema 4.2.1 (Gauss) . La somma dei valori ϕ (d) , per tutti i divisori d di n , è uguale a n :

∑ϕn/d

)d( = n = ∑ϕn/d

)dn(

Dimostrazione . La tesi è ovvia per n =1 . Sia dunque n >1 e sia F(n) = ∑ϕ

n/d)d( la

trasformata di Moebius di ϕ . F è moltiplicativa ( proposizione 4.1.2 ), quindi , se n = 1e

1p p 2e2 …p he

h , F(n) = F( 1e1p )F(p 2e

2 )…F(p heh ) . Poiché F(p ie

i ) = ∑ϕie

ip/d

)d( = ϕ (1) +

ϕ (pi) + ϕ (p 2i ) + … +ϕ (p ie

i ) = = 1 + (pi - 1) + ( p 2i - pi ) + … + ( p ie

i - p 1ei

i − ) = p iei , si

ha F(n) = 1e1p p 2e

2 …p heh = n . La seconda uguaglianza segue dal fatto che, quando d

percorre l'insieme dei divisori di n , lo stesso fa dn .

Osservazione 4.2.2 Le funzioni ϕστ ,, ci permettono di enunciare un criterio di primalità : condizione necessaria e sufficiente affinchè n sia un numero primo è che :

)n(n)n()n( τ=σ+ϕ

La condizione necessaria è immediata ( )2)p(,1p)p(,1p)p( =τ+=σ−=ϕ , per la condizione sufficiente si veda [14] ). Innumerevoli sono le applicazioni della funzione di Eulero , in particolare in aritmetica modulare e in crittografia . Di importanza fondamentale per tali applicazioni è il teorema di Eulero, che estende il piccolo teorema di Fermat . Prima di enunciare e dimostrare il teorema di Eulero dobbiamo fare qualche richiamo sulla relazione di congruenza modulo n , così definita in Z

a ≡ b (mod n) ⇔ a - b = kn per qualche k Z∈ . La congruenza mod n è una relazione di equivalenza con quoziente l'insieme delle classi di resto modulo n ( ogni intero è congruo al suo resto nella divisione per n e i resti possibili sono 0, 1, … , n-1)

Zn = {0 , 1 , … , 1n − } . In Zn si definiscono le operazioni di somma e di prodotto seguenti , rispetto alle quali si ottiene un anello commutativo con unità e, se n è primo, un campo :

ba + = ba + ba = ab .

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Definizione 4.2.2 a Z∈ è detto invertibile modulo n se esiste b Z∈ tale che

ab ≡ 1 (mod n) . b è detto inverso di a modulo n . Proposizione 4.2.3 Tra i numeri 0, 1, … , n-1 vi sono esattamente ϕ(n) interi invertibili modulo n . Dimostrazione . Abbiamo posto, per definizione, ϕ(n) = |C(n)| ,con C(n) = {1 ≤ a ≤ n / M.C.D(a,n) = 1 } . Quindi la nostra tesi è equivalente a :

a ∈{0,1,…,n-1} è invertibile modulo n ⇔ MCD(a,n) = 1

Supponiamo dunque a invertibile mod n : esiste b tale che ab ≡ 1 (mod n) . Questo significa che esiste k tale che ab - 1 = kn , cioè 1 = ab - kn , che ci dice che MCD(a,n) = 1 . Se, viceversa, MCD(a,n) = 1 allora, per l'algoritmo euclideo delle divisioni successive, esistono due interi b e c tali che ab + cn = 1 (identità di Bézout) , da cui ab = 1 - cn , cioè ab ≡ 1 (mod n) . Proposizione 4.2.4 Sia b inverso di a mod n . Allora

c ≡ b (mod n) ⇔ c è inverso di a mod n

Dimostrazione . c ≡ b (mod n) ⇒ c = b + hn ⇒ ac = ab + ahn = 1 + kn + ahn ≡ 1 (mod n) . Viceversa, ac ≡ 1 (mod n) ⇒ c ≡ 1c ≡ (ba)c ≡ b(ac) ≡ b1 ≡ b(mod n) . Abbiamo provato dunque che gli interi invertibili mod n si ripartiscono in ϕ(n) classi di resto aventi come rappresentanti i ϕ (n) interi compresi tra 1 e n e coprimi con n . Si dice anche classe invertibile mod n una classe di resto rappresentata da un elemento invertibile mod n . L'insieme C(n) è detto un sistema completo di rappresentanti degli invertibili mod n . Esempio 4.2.1 n = 5 , ϕ(5) = 4 = C(5) = {1,2,3,4}. Gli elementi di C(5) sono i rappresentanti delle classi invertibili di Z5 . Notiamo che, se p è un numero primo , Zp ha p-1 classi invertibili . Esempio 4.2.2 n = 30 , ϕ (30) = 8 = C(30) = {1,7,11,13,17,19,23,29}. Le classi invertibili di Z30 sono quelle rappresentate dai numeri di C(30) e sono quelle rappresentate rispettivamente dai numeri 1,13,11,7,23,19,27,29 . Per trovare l'inversa di una classe occorre scrivere l'identità di Bézout relativa al rappresentante e a 30 e ridurre mod n . Così ,

1 = 4.30 - 17.7

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e, passando alle classi , poiché 30 = 0 e 17− = 13 , si ha 1 = 13 . 7 . Proposizione 4.2.5 Sia a invertibile mod n . Allora vale la legge di semplificazione :

ab ≡ ac (mod n) ⇒ b ≡ c (mod n) , ∈∀ c,b Z .

Dimostrazione . E' sufficiente moltiplicare per l'inverso di a . Teorema 4.2.2 (Eulero) . Se (a,n) = 1 , allora

a )n(ϕ ≡ 1 (mod n) .

Dimostrazione. Sia C(n) = {b1, b2, … , )n(bϕ } il sistema completo dei rappresentanti degli invertibili modulo n . Osserviamo che l'insieme {ab1, ab2, … ,a )n(bϕ }, ridotto modulo n , coincide con C(n) . Infatti ogni abi (mod n) appartiene a C(n) , in quanto il prodotto di due elementi invertibili è a sua volta invertibile, e la moltiplicazione per a è biiettiva ( bi ≠ bj ⇒ abi (mod n) ≠ abj (mod n) per la proposizione 4.2.5). Questo prova l'iniettività della moltiplicazione per a , ma è sufficiente per provare che si tratta di una biiezione perché C(n) è finito ). Dunque

ab1(mod n), ab2(mod n), … ,a )n(bϕ (mod n)

è una permutazione di b1, b2, … , )n(bϕ

e quindi si ha la seguente relazione tra i loro prodotti :

b1 b2 … )n(bϕ ≡ ab1(mod n)ab2(mod n) … a )n(bϕ (mod n) .

Ne segue che b1 b2 … )n(bϕ ≡ )n(a ϕ b1b2 … )n(bϕ .

L'elemento b = b1 b2 … )n(bϕ è invertibile e quindi , semplificando si ottiene la tesi . Dal teorema di Eulero segue come corollario il Teorema 4.2.3 (piccolo teorema di Fermat) . Sia p un numero primo e a un numero intero. Allora , se p non divide a ,

ap-1≡ 1 (mod p) .

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Dimostrazione . Poiché p non divide a ed è primo , MCD(a,p) = 1 . Inoltre ϕ (p) = p-1 . La tesi segue allora direttamente dal teorema di Eulero . Corollario 4.2.1 Sia p un numero primo e a un intero qualunque. Allora

ap ≡ a (mod p) .

Dimostrazione . Se p non divide a , a è invertibile mod p , e ap ≡ a (mod p) è equivalente a ap-1≡ 1 (mod p) per la proposizione 4.2.5. Se invece p è un divisore di a , a ≡ 0 (mod p) e anche ap ≡ 0 (mod p) . Osservazione 4.2.3 Il piccolo teorema di Fermat dà una condizione necessaria ma non sufficiente per la primalità : per esempio 414≡ 1 (mod 15) , poiché 414 = 167 ≡ 17 (mod 15) , ma 15 non è primo . Si può dimostrare che, fissato un intero a ≥ 2, esistono infiniti numeri composti m tali che am-1≡ 1 (mod m) . Questi numeri m sono detti pseudoprimi in base a . Vi sono anche interi k che non sono primi ma per i quali ak-1≡ 1 (mod k) per ogni a

Z∈ tale che (a,k) = 1 . Questi k sono detti numeri di Carmichael ed è stato recentemente dimostrato che sono infiniti . I primi numeri di Carmichael sono 561, 1105, 1729 . Negli esempi che seguono vedremo qualche applicazione della funzione di Eulero e dei teoremi di Eulero e di Fermat . Esempio 4.2.3 Vogliamo calcolare il resto della divisione per 28 del numero 131232 . Abbiamo ϕ (28) = ϕ (4).ϕ (7) = 2 . 6 = 12 e 1232 = 102.12 + 8 . Usiamo le proprietà delle potenze e il teorema di Eulero . 131232 = (1312)102 . 138 ≡ 1102 . 138 (mod 28) ≡ 138 (mod 28) . 138 = (132)4 = (169)4 . Ora , 169 = 6 . 28 +1 ≡ 1 (mod 28) , quindi 131232 ≡ 138 (mod 28) ≡ 1 (mod 28) . Osserviamo che il teorema di Eulero consente di semplificare il calcolo delle potenze modulo n soltanto se la base è un numero primo con n . Vi sono altri metodi che valgono anche se la base non è un numero primo con n (vedi [5] ) . Esempio 4.2.4 Osserviamo il seguente disegno :

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E' una stella a cinque punte ottenuta collegando cinque punti equidistanti tra loro, posti su una circonferenza, mediante cinque segmenti che collegano ogni punto con uno dei due punti ad esso non adiacente . Se generalizziamo la costruzione e immaginiamo di disegnare con le stesse regole una stella a n punte 1, 2, …, n , troviamo che il numero di stelle diverse che si ottengono per ogni n è dato dal

numero 2

2)n( −ϕ ( vedi [21] ) .

Esempio 4.2.5 Supponiamo di avere delle perline di n colori diversi e di voler formare delle collane circolari di lunghezza m . Sia N(m,n) il loro numero: osserviamo che le rotazioni non danno collane diverse, mentre sono considerate diverse due collane che sono l'una il riflesso dell'altra. Così, nel caso di collane di lunghezza 6 formate con perline di due colori differenti le collane seguenti sono diverse : Nel disegno che segue elenchiamo tutte le collane differenti di lunghezza 4 costruite avendo a disposizione perline di due colori diversi :

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Quindi N(4,2) = 6 . E' stato dimostrato da A.MacMahon, nel 1892, che

N(m,n) = m1

dm(n

m/d

dϕ∑ )

(per la dimostrazione si veda [13] ) .

Naturalmente, si ritrova N(4,2) = 41 ( )1(ϕ 24 + )2(ϕ 22 + )4(ϕ 2 ) =

41 (16 + 4 + 4 ) = 6,

mentre

N(6,2) = 61 ( )1(ϕ .26 + )2(ϕ .23 + )3(ϕ .22 + ϕ (6).2 ) =

61 (64 + 8 + 8 + 4) = 14 .

Definiamo ora un'altra importante funzione moltiplicativa , introdotta dal matematico tedesco A.F.Moebius nel 1832 per studiare la distribuzione dei numeri primi . Definizione 4.2.3 Si dice funzione di Moebius la funzione aritmetica µ così definita :

1 se n = 1 µ (n) = (-1)r se n è il prodotto di r primi distinti 0 se pe/ n , per un primo p ed e > 1 . Quindi , per ogni n positivo , µ (n) vale 0 , 1 oppure -1 . Per esempio . µ (2) = -1 = µ (3) , µ (4) = 0 = µ (8) , µ (6) = µ (2.3) = ( -1)2 = 1 = µ (10) … Proposizione 4.2.6 M.C.D(n,m) = 1 ⇒ µ (nm) = µ (n) µ (m) (µ è moltiplicativa) . Dimostrazione . Se n oppure m valgono 1 , la tesi vale poiché µ (1) = 1 . Se n oppure m hanno almeno un fattore al quadrato , anche nm ha un fattore al quadrato, e daµ (n) = 0 oppure µ (m) = 0 segue che µ (nm) = 0 . Se n ed m hanno rispettivamente r ed s

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Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere

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fattori primi non ripetuti , nm ne ha r + s non ripetuti (n ed m sono coprimi) , quindi

µ (nm) = (-1)r+s = (-1)r(-1)s = µ (n) µ (m) .

Osservazione 4.2.5 Per la proposizione 4.1.2 anche la funzione F(n) = ∑µn/d

)d( è

moltiplicativa . Proposizione 4.2.7 F(1) = 1 e, se n > 1 , F(n) = ∑µ

n/d)d( = 0 .

Dimostrazione. Poiché F è moltiplicativa, basta calcolare F(pe) , p primo ed e∈ N . Si ha :

F(pe) = µ (1) + µ (p) + µ (p2) + … + µ (pe) = 1 - 1 = 0 . Proposizione 4.2.8 (Formula di inversione di Moebius) . Sia f una funzione aritmetica. Posto

F(n) = ∑n/d

)d(f , per ogni n ≥1

si ha

f(n) = ∑µn/d

)d( F(dn ) = ∑µ

n/e)

en( F(e) .

Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che, ponendo d = en ( e =

dn ), se d esaurisce

i divisori di n , altrettanto fa e , per cui le due somme coincidono . Ora, data una funzione aritmetica f , si ha :

∑µn/d

)d( F(dn ) = ∑µ

n/d)d( ( ∑

)d/n/(e)e(f ) = ∑ ∑µ

n/d )d/n/(e)e(f)d(( ) = (cambiando l'ordine della

somma e osservando che se e/(n/d) , allora ed/n e quindi d/(n/e) ) = ∑ ∑µn/e )e/n/(d

)e(f)d(( )

= ∑ ∑µ

n/e )e/n/(d)e(f))d(( .

Ora , ∑µ)e/n/(d

)d( = 0 tranne per en = 1 , cioè per n = e , quindi l'ultimo termine si riduce

a f(n) .

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Osservazione 4.2.6 In modo analogo si dimostra che se F è una funzione aritmetica e f

è tale che per ogni n ≥ 1, f(n) = ∑µn/d

)d( F(dn ) , allora F è la trasformata di Moebius di

f , cioè F(n) = ∑n/d

)d(f , per ogni n ≥1 .

Esempio 4.2.6 Come applicazione della funzione di Moebius e della proposizione 4.2.8 riportiamo la formula che ci fornisce il numero dei polinomi irriducibili di grado d a coefficienti nel campo Zp delle classi di resto mod p (p primo) , numero che indichiamo con N p

n (per la dimostrazione si veda [7] )

N pn =

n1 )

dn(

n/d∑µ pd .

Per esempio , se p = 3 e n = 2 , i polinomi irriducibili di Z3[x] sono N 32 =

21 3)2(µ +

21 23)1(µ = -

23 +

29 = 3 . Infatti , essi sono : x2 + 1 , 2x2 + 2 , 2x2 + x + 1 ( ricordiamo

che nel caso di grado 2 l'irriducibilità equivale al non avere radici) . Terminiamo il capitolo dimostrando una relazione tra la funzione di Eulero e quella di Moebius . Proposizione 4.2.9 Per ogni intero positivo n si ha :

=ϕ ∑n/d d

)d(n)n( d)dn(

n/d∑µ .

Dimostrazione . Per il Teorema di Gauss , ∑ϕ

n/d)d( = n , e , detta F(n) = ∑ϕ

n/d)d( la

trasformata di Moebius di ϕ , la formula di inversione di Moebius ci dà :

ϕ (n) = ∑µn/d

)d( F(dn ) = ∑µ

n/d)d(

dn = n ∑µ

n/d d)d( .

Sostituendo poi d con dn otteniamo la seconda uguaglianza .

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Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere

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4.3 Funzioni intere Indichiamo con questo nome le funzioni di dominio l'insieme R e codominio l'insieme Z . Esempio 4.3.1 . Sia f : R → Z la funzione che associa al numero reale x il minimo intero maggiore o uguale a x . Si scrive anche f(x) = x . Così , per esempio,

f(2) = 2 = 2 , f(2,5) = 2,5 = 3 , f(e) = e = 3 , f(-e) = -e = -2 ) . Tale funzione è anche chiamata funzione soffitto . Il suo grafico forma un cammino a scala sopra la bisettrice y = x ( dalla definizione si ha x ≥ x , x = x se e solo se x è un intero e x = n se e solo se n - 1 < x ≤ n (n intero). Definizione 4.3.1 Sia x un numero reale e sia x ( oppure [x] ) il massimo intero minore o uguale a x . La funzione f : R→ Z , f(x) = x è detta funzione di Gauss , o funzione parte intera o funzione pavimento . Naturalmente tale funzione è una funzione intera , più nota della funzione soffitto con la quale ha molte analogie . Ci limitiamo a descriverne alcune proprietà e applicazioni in questioni di divisibilità . Per ulteriori applicazioni rimandiamo a [13] e [14] . Il grafico della funzione pavimento è un cammino a scala sotto la bisettrice y = x ( dalla definizione si ha x ≤ x , x = x se e solo se x è un intero e x = n se e solo se n ≤ x < n +1 ( n intero ) ) . Le funzioni pavimento e soffitto coincidono applicate a numeri interi , per i numeri non interi differiscono di 1 ( e = 2 , e = 3 , -e = -3 , -e = -2 , …), e sono legate dalle relazione

-x = - x e -x = - x .

Valgono in modo evidente le relazioni x = x + r, 0 ≤ r < 1 e x ≤ x < x + 1 , da cui segue la Proposizione 4.3.1. x + y ≤ x +y ≤ x + y +1 Dimostrazione . Da x = x + r, 0 ≤ r < 1 e y = y + s, 0 ≤ s < 1 si ha

x + y = x + y + r + s .

Poiché 0 ≤ r + s < 2 , r + s = 0 oppure r + s = 1 , da cui

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x +y = x + y oppure x +y ≤ x + y +1 .

Altre proprietà di non difficile dimostrazione sono le seguenti :

Proposizione 4.3.2. Se x è un numero reale e n un intero positivo , allora

nx

=

nx .

Proposizione 4.3.3. (Identità di Hermite) Se x è un numero reale e n un intero positivo , allora

x + x + n1 + x +

n2 + … + x +

n1n − = nx .

Dimostriamo invece i seguenti teoremi : Teorema 4.3.1. Siano x un numero reale ed n un intero positivo . Il numero dei

multipli di n compresi tra gli interi da 1 a x è pari a

nx .

Dimostrazione . Da

nx

≤ nx≤

nx + 1

si ha

nx n ≤

nx n = x ≤ (

nx + 1)n .

Perciò tra gli interi da 1 a x i multipli di n sono

nx , precisamente n, 2n, …,

nx n .

Teorema 4.3.2 . La massima potenza di p (p primo) che compare in n! è

p(n!) =

pn +

2p

n + … +

mp

n , con pm ≤ n < pm+1 .

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Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere

Università di Torino

52

Dimostrazione. Se p divide n!, p divide uno dei suoi fattori . Tra gli interi da 1 a n , i

multipli di p sono

pn e sono, precisamente, p, 2p, …, p

pn

.

In n! la più alta potenza di p sarà quindi p(n!) = p . 2p . …. ppn

= !

pn

. p

pn

! .

Analogamente ,

p( )!pn

=

ppn

+ p (

ppn

!) =

2p

n + p (

2p

n !) .

Sostituendo ,

p(n!) =

pn +

2p

n + p (

2p

n !) .

Iterando il procedimento , poiché pm+1 > n , si ha

+1mp

n = 0 , da cui

p(n!) =

pn +

2p

n + … +

mp

n .

Esempio 4.3.2 Sia p = 2 e n = 8 = 23 . La più alta potenza di 2 che compare in 8! è

2(8!) =

28 +

228 +

328 = 4 + 2 + 1 = 1 + 2 + 2 2 = 7 . In questo caso è

immediato da 8! = 1 .2.3.22.5.2.3.7.23 .

In generale , se n = pr , si ha p(n!) = pr-1 + pr-2 + … + 1 = 1p1pr

−− .

Esempio 4.3.3 Vogliamo il numero dei multipli di 7 positivi e compresi tra 300 e 500 .

Il Teorema 4.3.1 ci dice che ci sono

7500 = 71 multipli di 7 tra 1 e 500 e

7299 =

42 multipli di 7 tra 1 e 299 . Il numero cercato è dunque 71 - 42 = 29 .

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