QC-Clase 7
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Ejercicio mental: Oscilador armnico
-
Escriba una funcin que al sacarle la segunda
derivada el resultado sea
a x2
-
Escriba una funcin que al sacarle la segunda
derivada el resultado sea
a x2
ax
4
)( 22
-
Escriba una funcin f(x) que al sacarle la segunda
derivada el resultado sea
xfxa )(22
Para valores pequeos de a
-
Escriba una funcin f(x) que al sacarle la segunda
derivada el resultado sea
xfxa )(22
exf
exf
ax
ax
2
2
2
1
2
1
)(
)(
-
Clase pasada: Oscilador armnico
-
Oscilador armnico [clase anterior]
Una partcula oscila peridicamente alrededor de
una posicin de equilibrio [sometida a un
potencial variable]
kxxm
H 22
22
2
1
2
)()( xExH
0)(][2
)( 22
xkxEm
x
-
La reorganizamos para visualizarla de otra forma
y as hacer un cambio de variables
0)(2
)( 222
xkx
mE
mx
Oscilador armnico [clase anterior]
-
La reorganizamos para visualizarla de otra forma
y as hacer un cambio de variables
2
2
mE
mk
0)(2
)( 222
xkx
mE
mx
0)(][)( 22 xxx
Oscilador armnico [clase anterior]
-
0)()(1 2
xxx
22 xx
0)()(1 2
xx
0)()(1 2
2
2
xx
dx
d
Oscilador armnico [clase anterior]
-
Calculando la segunda derivada de :
2
2
2
2
22
22
22
dx
d
d
d
xdd
xdxd
x
Primera derivada
Funcin
Segunda derivada
Reescribiendo la
segunda derivada
Oscilador armnico [clase anterior]
-
Calculando la segunda derivada de :
2
2
2
2
22
22
22
dx
d
d
d
xdd
xdxd
x
Primera derivada
Funcin
Segunda derivada
Reescribiendo la
segunda derivada
0)()(1 2
2
2
xx
dx
d
0)()(
1 22
2
xx
dx
d
Oscilador armnico [clase anterior]
-
Aproximacin:
0)()(1 2
2
2
2
xx
d
d
0)()(1 2
2
2
2 xx
d
d
Reescribiendo
Oscilador armnico [clase anterior]
)()( 222
2
xxd
d
-
Ese fue el problema cuya solucin fue el mago!!!
Oscilador armnico [clase anterior]
22
22
)(x
AeAex
-
Pero eso realmente fue una aproximacin que se
cumple si:
a.- k es pequeo x es grandeb.- la masa del cuerpo es pequea
c.- elongacin mxima (una elonacin mxima
para un valor de k grande es un x pequeo)
[verificar que se puede despreciar como sumando
el trmino en la ecuacin]
Oscilador armnico [clase anterior]
0)()(1 2
2
2
2
xx
d
d
-
Oscilador armnico [clase anterior]
Introducimos una funcin de correccin
2
2
)()(
eA
Se verific que la funcin de correccin
corresponde a los polinomios de Hermite y por
tanto:
0)()( 22
eAH n
Donde:22
)1()(
e
d
deH
n
nn
n
-
0)(1)(2)(2
2
d
d
d
d
n2
Oscilador armnico
Entre las tantas ecuaciones de la clase pasada
De aqu se concluye
n21
22
mE
mk2
-
Oscilador armnico
La expresin alfa/beta se puede escribir en
trminos de la frecuencia angular
E2
Por tanto
122
nE
2
)12(
nE
-
Oscilador armnico
Se concluye que
hnnE
2
1
2
1
Grado del polinomio
de Hermite
hnEn
2
1 La energa de un oscilador armnico
esta cuantizada
-
Oscilador armnico
Diagrama de energa
hnnEEE nn
2
1
2
1)1(1
hE
Para n = 0
hhE2
1
2
100
-
Oscilador armnico
Para n = 1
hhE2
3
2
111
Para n = 2
hhE2
5
2
122
El oscilador armnico posee energa del punto
cero.
-
Oscilador armnico
Paridad de la funcin:
0)()( 22
eAH n
Donde:
22
)1()(
e
d
deH
n
nn
n
Cuando n es par como es la funcin=??
Cuando n es impar como es la funcin=??
imparxfxf
parxfxf
)()(
)()(
-
Oscilador armnico
Problema de potencial simtrico
-
Valor esperado?????
Determinar la constante de
normalizacin?????
Determinar la probabilidad???