Pye-clase 3u2 Va Industrial 2011

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    FACULTAD DE CIENCIAS EXACT. FS. Y NATURALES. UNC.

    CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Tres mquinas fresadoras funcionande manera independiente.La probabilidad de que una mquinacualquiera no funcione es de 0,30.Cul es la probabilidad de que en uninstante cualquiera al menos dosmquinas no funcionen?.

    ?SITUACIN

    FACULTAD DE CIENCIAS EXACT. FS. Y NATURALES. UNC.

    CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    VARIABLES

    ALEATORIAS

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    CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    El resultado de un experimento aleatorio puede serdescrito en ocasiones como una cantidad numrica.

    Experimento Variable aleatoria Valores posibles

    Inspeccionar un

    embarque de 40 chips

    Cantidad de chips

    defectuosos

    0,1,2,.,40

    Funcionamiento de un

    restaurante durante un

    da

    Cantidad de clientes 0,1,2,3.

    Funcionamiento de un

    banco

    Tiempo en minutos, entre

    llegadas de clientes

    x>=0

    Llenar una lata de

    bebida

    (mx =300ml)

    Cantidad de ml 0

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Conforme a Rx, elrecorrido, las

    variables aleatoriasse clasifican en:

    Variables aleatoriasDISCRETAS, si Rx es unconjunto finito o infinito

    numerable

    Variables aleatorias

    CONTINUAS, si Rx es unconjunto infinito NO

    numerable

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    VARIABLES

    ALEATORIASDISCRETAS

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Una vez definida una variable aleatoria discreta X, esposible definir otra funcin que indica laprobabilidad de cada valor posible.

    ( )iii

    xxx ==

    XP)(p

    ]1,0[:p

    La funcin debe cumplir:

    =

    ix

    i

    ii

    x

    xx

    1)(p)ii(

    1)(p0)i(

    Se denomina F u n c i nd e P r o b a b i l i d a d

    Grficamente

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Experimento: La n z a r u n a m o n e d a a l a i r e t r e s v e c e s

    = { CCC , CXX , XCX , XXC , CCX , CXC , XCC , XXX }

    S e d e f i n e l a v a r i a b l e X : Cantidad de caras obtenidas

    Qu valores puede adoptar la variable aleatoria X?

    Qu probabilidades tienen estos valores?

    EJEMPLO

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    X

    Valores

    0

    1

    2

    3

    XXXCXXXCXXXCCCXCXCXCCCCC

    0,00

    0,05

    0,10

    0,15

    0,20

    0,25

    0,30

    0,35

    0,40

    1 2 3 40 1 2 3

    Probabilidad

    p(0)=P(X=0)=1/8p(1)=P(X=1)=3/8p(2)=P(X=2)=3/8p(3)=P(X=3)=1/8

    Funcin de Distribucin deProbabilidad

    Comportamiento de laVariable Aleatoria

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    Funcin de Distribucin Acumulada

    Grficamente resulta en la funcin escalera:

    )()(

    ]1,0[:

    xXPxFx

    F

    =

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    F(xi) representa la probabilidad deencontrar un valor menor o igual que xi

    F(xi) = P( X xi)

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    CUL ES LA FUNCIN DEDISTRIBUCIN ACUMULADA PARA LA

    VARIABLE X ASOCIADA ALEXPERIMENTO ALEATORIO

    LAZAR UNA MONEDA AL AIRETRES VECES ?

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Tres mquinas fresadoras funcionan demanera independiente.La probabilidad de que una mquinacualquiera no funcione es de 0,30. Cules la probabilidad de que en un instantecualquiera al menos dos mquinas nofuncionen?.

    ?SITUACIN

    Se considera definir la variable aleatoriaX: N de mquinas detenidas en un instante dadoDeterminar la distribucin de probabilidades de dichavariable, resolver el problema y calcular la probabilidadde que a lo sumo dos mquinas no funcionen.

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    VARIABLESALEATORIASCONTINUAS

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    LA FUNCIN ES POSITIVA

    EL REA ENCERRADA BAJO LA CURVA ESIGUAL A 1

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    DISTRIBUCINUNIFORME

    Funcin deDensidad deProbabilidad

    X ~ U [a, b]

    Ejemplo:

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Funcin de densidad acumulada:

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    X ~ U [a, b]

    Funcin Distribucin deProbabilidad o DENSIDAD

    ACUMULADA

    Ejemplo:

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Sea X ~ U [5,10]Determinar la funcin dedistribucin o densidad

    acumulada.

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Cmo se calculaprobabilidad?

    Dada la funcin de densidad deprobabilidad de una variablealeatoria continua

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    La probabilidad de que X tomevalores en [a,b] es igual a ladiferencia entre las probabilidadesacumuladas en los extremos delintervalo.

    Siempre por intervalos de nmeros

    Por ejemplo si se quiere:

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Sea X ~ U [5,10]Calcular:a) P(4< x< 8)=

    b) P(x>7)=c) P(X< 10)=d) P(X>10)=e) P(X < 5) =

    EJERCICIO

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    MEDIDASDE UNA

    DISTRIBUCIN

    DE PROBABILIDAD(TERICAS)

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    VALOR ESPERADO O

    ESPERANZA

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

    =

    =n

    1i

    ii )p(E(X) xx

    E(X) es un valor fijo que depende de ladistribucin de probabilidad de X.

    Est medida en las mismas unidades que X.

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    CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

    E(X) es un valor fijo que depende de f(X) lafuncin de densidad de probabilidad de X.

    Est medida en las mismas unidades que X.

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Si C es una constante, entonces E(C) = C.

    Linealidad: E ( aX + b) = a E(X) + b, a, b

    Si g(X) es una funcin de X, entonces:

    Si g(X), h(X) son funciones de X, entonces

    E[g(X)+h(X)]=E[g(X)]+E[h(X)]

    PROPIEDADES DE LA ESPERANZA

    [ ] RE g(x) = g(x).f(x)dx[ ] RE g(x) = g(x).p(x)

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    VARIANZA

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    [ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) ( ) )p()p(XEXEXEXVar i2

    i

    ii

    2

    i

    i

    2xxxx ===

    La raz cuadrada positiva de la varianza se

    llama desviacin tpica y se denota con .

    Tanto la varianza como la desviacin tpicamiden la dispersin de la variable aleatoriarespecto a su media.

    2

    VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

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    CTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    2

    VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

    La raz cuadrada positiva de la varianza sellama desviacin tpica y se denota con

    .

    Tanto la varianza como la desviacin tpicamiden la dispersin de la variable aleatoriarespecto a su media.

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Si C es una constante, V(C)=0

    V(X) = E(X2)- E2(X)

    Si a y b son constantes: V(aX+b) = a2 V(X)

    Si X e Y son independientes, V(X Y) = V(X) + V(Y)

    PROPIEDADES DE LA VARIANZA

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    x p(x)

    1 0.05

    2 0.075

    3 0.2

    4 0.3755 0.15

    6 0.1

    7 0.05

    Distribucin de probabilidad de la variable X

    X= E(X)=x . p ( x ) = ?

    2X= V(X)=(x- )2. p ( x ) = ?

    EJEMPLO

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Qu puede decir de la distribucin delas Variables aleatorias X e Y?

    x p(x)

    1 0.05

    2 0.075

    3 0.2

    4 0.3755 0.15

    6 0.1

    7 0.05

    y p(y)

    1 0.2

    2 0.15

    3 0.1

    4 0.15

    5 0.05

    6 0.1

    7 0.25

    EJERCICIO

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    4X= E(X)=x.p(x) = Y= E(Y)=y.p(y)= 4

    Distribuciones de probabilidad de las variables X e Y

    2X= V(X)=(x-)2.p(x)= 1.95

    2Y= V(Y)=(y-)

    2.p(y)= 5.20

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    CALCULAR LA ESPERANZAy LA VARIANZA DE LA

    VARIABLE ALEATORIA:

    X ~ U [5,10]

    EJERCICIO

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    OTRAS MEDIDAS TERICASCOEFICIENTE DE ASIMETRA:

    COEFICIENTE DE KURTOSIS:

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    TEOREMA DE SHEBYSHEV

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    U2: Probabilidad y Variables aleatorias

    Por ejemplo, para k=2 y para k=3 se tiene:

    Al menos 3/4 75% de todos los valores dela variable estn dentro de dos desviacionesestndar de la media.

    Al menos 8/9 89% de todos los valores dela variable estn dentro de tres desviacionesestndar de la media.