Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow....

25
Punca Polinomial Bab 7

Transcript of Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow....

Page 1: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Punca Polinomial

Bab 7

Page 2: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Di akhir bab ini, anda sepatutnya:

Mampu menyelesaikan punca polinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow.Mampu menggunakan perisian untuk mendapatkan punca polinomial

Page 3: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Kaedah sekan vs kaedah Müller

Rajah 73

Page 4: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Kaedah Müller

Page 5: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Daripada rajah,

Di mana persamaan (7.20), f(x2) = c dan

cxxbxxaxfcxxbxxaxfcxxbxxaxf

)()()(

)()()(

)()()(

222

222

212

211

202

200 (7.18)

(7.19)

(7.20)

)()()()(

)()()()(

212

2121

202

2020

xxbxxaxfxfxxbxxaxfxf (7.21)

(7.22)

Page 6: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Untuk menyelesaikan persamaan, jadikan

Masukkan dalam persamaan (7.21) dan (7.22)

01

010

010

)()(xx

xfxfxxh

12

011

121

)()(xx

xfxfxxh

(7.23)

112

11

11002

1010

)()(

)()(

hahbhhhahhbhh

Page 7: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Selesaikan nilai a dan b menjadi

Untuk mencari punca, gunakan formula kuadratik:

)( 2

11

01

01

xfcahb

hha (7.24)

(7.25)

(7.26)

acbbcxx

42223

(7.27a)

Page 8: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

atau

acbbcxx

42223 (7.27b)

Dengan ralat, a

%1003

23

xxx

a

Page 9: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Contoh

Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x0, x1 dan x2 = 4.5, 5.5 dan 5, dapatkan punca bagi :

1213)( 3 xxxf

Page 10: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Penyelesaian contoh x x3 13x f(x) h0 d0 h1 d1 a b c x3+ Error

x0 4.5 91.125 58.5 20.625 1 62.25 -0.5 69.75 15 62.25 48 3.97649 -25.74%x1 5.5 166.375 71.5 82.875x2 5 125 65 48

x x3 13x f(x) h0 d0 h1 d1 a b c x3+ Errorx0 5.5 166.375 71.5 82.875 -1 69.75 -1 47.69 14 32.878 -1 4.00105 0.006139x1 5 125 65 48x2 3.976487 62.878 51.7 -0.816

Page 11: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Kaedah Bairstow

Page 12: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Persamaan polinomial:

Kaedah Bairstow membahagikan persamaan polinomial dengan faktor kuadratik:

Maka, persamaan polinomial yang baru menjadi:

nnn xaxaxaaxf ...)( 2

2110 (7.29)

srxx2

231322 ...)( n

nn

nn xbxbxbbxf

dengan baki: 01 )( brxbR (7.31)

Page 13: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Sepertimana pembahagian secara kuadratik,

Bairstow menggunakan pendekatan menghampiri kaedah Newton-Raphson, di mana oleh kerana b0 dan b1 adalahfungsi r dan s, ia boleh dikembangkan kepada siri Taylor seperti berikut:

0hingga2-nbagi21

11

isbrbabrbab

ab

iiii

nnn

nn (7.32a)(7.32b)(7.32c)

ssbr

rbbssrrb

ssbr

rbbssrrb

0000

1111

),(

),(

(7.33)

Page 14: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Dengan menjadikan persamaan (7.33) bersamaan dengan 0,

Jika pembezaan separa boleh ditentukan, maka kedua persamaan di atas boleh diselesaikan serentak untuk mendapatkan nilai r dan s.

000

111

bsrbr

rb

bsrbr

rb

(7.34)

(7.35)

Page 15: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Bairstow menunjukkan bahawa pembezaan separa boleh diselesaikan menggunakan :

di mana:

21

11

iiii

nnn

nn

scrcbcrcbc

bc (7.36a)

(7.36b)

(7.36c)

untuk i=n-2 hingga 1

31

210

10 dan, c

sbc

rb

sbc

rb

Page 16: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Pembezaan separa ini dimasukkan ke dalam persamaan (7.34) dan (7.35) bersama dengan nilai-nilai b untuk mendapat:

Persamaan di atas boleh diselesaikan untuk mendapatkan nilai r dan s dan seterusnyamencari nilai anggaran r dan s.

021

132

bscrcbscrc

Page 17: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Anggaran ralat :

%100

%100

,

,

ss

danrr

sa

ra (7.37)

(7.38)

Page 18: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Apabila kedua-dua ralat menjadi cukup kecil, nilai punca boleh ditentukan dengan menggunakan:

Jika persamaan merupakan polinomial peringkat satu, punca boleh dicari menggunakan:

242 srrx

(7.39)

rsx (7.40)

Page 19: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Contoh

Menggunakan kaedah Bairstow dapatkanpunca polinomial bagi persamaan berikut:

Dengan nilai awalan r = s = -1 daniterasikan sehingga s= 1%

25.1875.3125.275.25.3)( 23455 xxxxxxf

Page 20: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Penyelesaian contoh

Gunakan persamaan (7.32) dan (7.36)

Selesaikan persamaan serentak r dan s

b5 b4 b3 b2 b1 b01 -4.5 6.25 0.375 -10.5 11.375c5 c4 c3 c2 c11 -5.5 10.75 -4.875 -16.375

375.11875.4375.165.1075.10875.4

srsr

Page 21: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Penyelesaian contoh

Di mana r = 0.3558 dan s =1.1381

Dengan ralat:1381.01381.11

6442.03558.01sr

%1.824%1001381.01381.1

%23.55%1006442.0

3558.0

,

,

sa

ra

Page 22: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Penyelesaian contoh

Lelaran kedua,

Selesaikan persamaan serentak r dan s

b5 b4 b3 b2 b1 b01 -4.1442 5.5578 -2.0276 -1.8013 2.1304c5 c4 c3 c2 c11 -4.7884 8.7806 -8.3454 4.7874

1304.23454.87874.48013.17806.83454.8

srsr

Page 23: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Penyelesaian contoh

Di mana r = 0.1331 dan s =0.3316

Dengan ralat:4697.03316.01381.0

5111.01331.06442.0sr

%6.70%1004697.03316.0

%0.26%1005111.0

1331.0

,

,

sa

ra

Page 24: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Penyelesaian contoh

Selepas 4 lelaran, nilai r = 0.5 dan s = 0.5Dengan ralat:

Gunakan persamaan (7.39) untuk mencari punca x,

%040.0

%063.0

,

,

sa

ra

0.1,5.02

5.045.05.0 2

x

Page 25: Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow. ... Contoh Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x 0, x 1 dan x 2 = 4.5, 5.5

Penyelesaian contohDengan persamaan kubik adalah:

Kaedah Bairstow boleh digunakan padapolinomial diatas dengan nilai awal r = 0.5 dan s = 0.5Selepas 5 lelaran, r = 2 dan s = -1.249

Dan polinomial peringkat pertama boleh diperolehi dengan menggunkan persamaan (7.40)

5.225.54)( 23 xxxxf

ix 499.012

249.1422 2