Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow....
Transcript of Punca Polinomial - ukm.my Polinomial.pdfpolinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow....
Punca Polinomial
Bab 7
Di akhir bab ini, anda sepatutnya:
Mampu menyelesaikan punca polinomial menggunakan kaedah Müller dan kaedah Bairstow.Mampu menggunakan perisian untuk mendapatkan punca polinomial
Kaedah sekan vs kaedah Müller
Rajah 73
Kaedah Müller
Daripada rajah,
Di mana persamaan (7.20), f(x2) = c dan
cxxbxxaxfcxxbxxaxfcxxbxxaxf
)()()(
)()()(
)()()(
222
222
212
211
202
200 (7.18)
(7.19)
(7.20)
)()()()(
)()()()(
212
2121
202
2020
xxbxxaxfxfxxbxxaxfxf (7.21)
(7.22)
Untuk menyelesaikan persamaan, jadikan
Masukkan dalam persamaan (7.21) dan (7.22)
01
010
010
)()(xx
xfxfxxh
12
011
121
)()(xx
xfxfxxh
(7.23)
112
11
11002
1010
)()(
)()(
hahbhhhahhbhh
Selesaikan nilai a dan b menjadi
Untuk mencari punca, gunakan formula kuadratik:
)( 2
11
01
01
xfcahb
hha (7.24)
(7.25)
(7.26)
acbbcxx
42223
(7.27a)
atau
acbbcxx
42223 (7.27b)
Dengan ralat, a
%1003
23
xxx
a
Contoh
Menggunakan kaedah Müller dengan nilai awal x0, x1 dan x2 = 4.5, 5.5 dan 5, dapatkan punca bagi :
1213)( 3 xxxf
Penyelesaian contoh x x3 13x f(x) h0 d0 h1 d1 a b c x3+ Error
x0 4.5 91.125 58.5 20.625 1 62.25 -0.5 69.75 15 62.25 48 3.97649 -25.74%x1 5.5 166.375 71.5 82.875x2 5 125 65 48
x x3 13x f(x) h0 d0 h1 d1 a b c x3+ Errorx0 5.5 166.375 71.5 82.875 -1 69.75 -1 47.69 14 32.878 -1 4.00105 0.006139x1 5 125 65 48x2 3.976487 62.878 51.7 -0.816
Kaedah Bairstow
Persamaan polinomial:
Kaedah Bairstow membahagikan persamaan polinomial dengan faktor kuadratik:
Maka, persamaan polinomial yang baru menjadi:
nnn xaxaxaaxf ...)( 2
2110 (7.29)
srxx2
231322 ...)( n
nn
nn xbxbxbbxf
dengan baki: 01 )( brxbR (7.31)
Sepertimana pembahagian secara kuadratik,
Bairstow menggunakan pendekatan menghampiri kaedah Newton-Raphson, di mana oleh kerana b0 dan b1 adalahfungsi r dan s, ia boleh dikembangkan kepada siri Taylor seperti berikut:
0hingga2-nbagi21
11
isbrbabrbab
ab
iiii
nnn
nn (7.32a)(7.32b)(7.32c)
ssbr
rbbssrrb
ssbr
rbbssrrb
0000
1111
),(
),(
(7.33)
Dengan menjadikan persamaan (7.33) bersamaan dengan 0,
Jika pembezaan separa boleh ditentukan, maka kedua persamaan di atas boleh diselesaikan serentak untuk mendapatkan nilai r dan s.
000
111
bsrbr
rb
bsrbr
rb
(7.34)
(7.35)
Bairstow menunjukkan bahawa pembezaan separa boleh diselesaikan menggunakan :
di mana:
21
11
iiii
nnn
nn
scrcbcrcbc
bc (7.36a)
(7.36b)
(7.36c)
untuk i=n-2 hingga 1
31
210
10 dan, c
sbc
rb
sbc
rb
Pembezaan separa ini dimasukkan ke dalam persamaan (7.34) dan (7.35) bersama dengan nilai-nilai b untuk mendapat:
Persamaan di atas boleh diselesaikan untuk mendapatkan nilai r dan s dan seterusnyamencari nilai anggaran r dan s.
021
132
bscrcbscrc
Anggaran ralat :
%100
%100
,
,
ss
danrr
sa
ra (7.37)
(7.38)
Apabila kedua-dua ralat menjadi cukup kecil, nilai punca boleh ditentukan dengan menggunakan:
Jika persamaan merupakan polinomial peringkat satu, punca boleh dicari menggunakan:
242 srrx
(7.39)
rsx (7.40)
Contoh
Menggunakan kaedah Bairstow dapatkanpunca polinomial bagi persamaan berikut:
Dengan nilai awalan r = s = -1 daniterasikan sehingga s= 1%
25.1875.3125.275.25.3)( 23455 xxxxxxf
Penyelesaian contoh
Gunakan persamaan (7.32) dan (7.36)
Selesaikan persamaan serentak r dan s
b5 b4 b3 b2 b1 b01 -4.5 6.25 0.375 -10.5 11.375c5 c4 c3 c2 c11 -5.5 10.75 -4.875 -16.375
375.11875.4375.165.1075.10875.4
srsr
Penyelesaian contoh
Di mana r = 0.3558 dan s =1.1381
Dengan ralat:1381.01381.11
6442.03558.01sr
%1.824%1001381.01381.1
%23.55%1006442.0
3558.0
,
,
sa
ra
Penyelesaian contoh
Lelaran kedua,
Selesaikan persamaan serentak r dan s
b5 b4 b3 b2 b1 b01 -4.1442 5.5578 -2.0276 -1.8013 2.1304c5 c4 c3 c2 c11 -4.7884 8.7806 -8.3454 4.7874
1304.23454.87874.48013.17806.83454.8
srsr
Penyelesaian contoh
Di mana r = 0.1331 dan s =0.3316
Dengan ralat:4697.03316.01381.0
5111.01331.06442.0sr
%6.70%1004697.03316.0
%0.26%1005111.0
1331.0
,
,
sa
ra
Penyelesaian contoh
Selepas 4 lelaran, nilai r = 0.5 dan s = 0.5Dengan ralat:
Gunakan persamaan (7.39) untuk mencari punca x,
%040.0
%063.0
,
,
sa
ra
0.1,5.02
5.045.05.0 2
x
Penyelesaian contohDengan persamaan kubik adalah:
Kaedah Bairstow boleh digunakan padapolinomial diatas dengan nilai awal r = 0.5 dan s = 0.5Selepas 5 lelaran, r = 2 dan s = -1.249
Dan polinomial peringkat pertama boleh diperolehi dengan menggunkan persamaan (7.40)
5.225.54)( 23 xxxxf
ix 499.012
249.1422 2