Pulso de onda v x,t f(x vt) Movimiento sentido positivo de x v x,t f(x vt) Movimiento sentido...
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Pulso de onda v
x,tf(xvt)
Movimiento sentido positivo de x
v
x,tf(xvt)
Movimiento sentido negativo de x
2
2
22
2 ),(1),(
t
tx
vx
tx
Ecuación de ondas
Sin disipación
1
¿Qué sucede frente a un cambio en las condiciones de propagación?Sea una cuerda compuesta por dos sectores de distinta densidad lineal
vi = v1
1 2
2 > 1Pulso incidente
vt = v2
(v2 < v1)
vr = v1
1 2
Pulso transmitidoPulso reflejado
vi = v1
1 2
2 < 1Pulso incidente
vt = v2
(v2 > v1)
vr = v1
1 2
Pulso reflejado Pulso transmitido
Nunca se invierteCambia la amplitud
Se invierteCambia la amplitud
No se invierte Cambia la amplitud
Potinc= Pottrans+Potref
¿Vínculo entre
amplitudes?
2
Pulso de onda viajando hacia la izquierda en un resorte liviano y que es parcialmente reflejado y parcialmente transmitido al encontrarse con un resorte más denso
Pulso de onda que viaja hacia la derecha en un resorte denso y que es parcialmente reflejado y parcialmente
transmitido al encontrarse con un resorte menos denso
Las fotos están tomadas a intervalos regulares, se puede apreciar la diferencia de velocidad del pulso para distinta densidad 3
Onda circular reflejada en una frontera fija
Pulso de onda viajando, a la izquierda inicialmente, en un resorte
y reflejado en una frontera fija
Ejemplos con frontera fija
4
Casos extremos. vi = v1
vr = v1
1 2
1
2
Pulso incidente
Pulso reflejado
1
21
vi = v1
Pulso incidente
Se invierte
No se invierte
Barrera
Extremo fijo=0
El pulso ejerce una fuerza ascendente sobre el soporte
Tercera Ley de Newton
El soporte ejerce una fuerza descendente sobre el pulso
Cambia la fase en
2 0
Extremo librex=0vr = v1
Pulso reflejado
Anillo muy ligerosin fricción
Ejerce una fuerzasobre el elemento
de cuerda,éste se acelera,
como un péndulo,va mas allá del eq.,
“dispara” con demasiadapotencia y ejerce
una fuerza de reacciónen la cuerda.
El pulso regresaNo hay cambio de fase 5
¿Qué pasa si en vez de un pulso de onda es una onda
propagante arbitraria la que llega a la frontera?
¿Qué sucede cuando coincidan en el tiempo y el espacio la
onda incidente y la onda reflejada?
O, en general, ¿qué sucede cuando coinciden dos o más
ondas en el tiempo y el espacio?
Superposición de ondas
6
SistemaE1
S1Sistema
E2S2
Sistema
E1
E2
E=E1+E2
S1
S2
S=S1+S2+ +
E=c1E1+c2E2S=c1S1+c2S2
SISTEMALINEAL
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN LINEAL7
¿Qué pasa con las ondas?
21
2
221
2 ),(1),(
t
tx
vx
tx
22
2
222
2 ),(1),(
t
tx
vx
tx
),(),(),( 2211 txctxctx
2
2
22
2 ),(1),(
t
tx
vx
tx
)(
22
2
221
2
1
)(
22211
2
2
2 ),(),(),(),(),( III
x
txc
x
txc
x
txctxc
x
tx
)(
22
2
221
2
1222
2
2221
2
21
),(),(1),(1),(1 I
t
txc
t
txc
vt
tx
vc
t
tx
vc
2
2
222211
2
2
),(1),(),(1
t
tx
vt
txctxc
v
),(1 tx ),(2 tx
(I) Linealidad de la derivación; (II) Por satisfacer la ecuación de ondas
Vale el Principio de Superposición Lineal para las ondas
8
Caso de superposición de dos pulsos de onda que viajan en un mismo eje con distintos sentidos y a la misma rapidez. Observación inicial.
x 1(x, t0) 2(x, t0)
(x, t0)
+
x 1(x, t1) 2(x, t1)
(x, t1)
+
x 1(x, t2) 2(x, t2)
(x, t2)
+
x 1(x, t3) 2(x, t3)
(x, t3)
+
x 2(x, t4) 1(x, t4)
(x, t4)
+
x 2(x, t5) 1(x, t5)
(x, t5)
+
)()(),( 21 vtxfvtxftx
),(),(),( 21 txtxtx
9
Caso de superposición de dos ondas armónicas de igual frecuencia e igual amplitud que se propagan en el mismo eje x pero en distintos sentidos
)(sen),( 11 tkxAtx )(sen),( 22 tkxAtx
)(sen)(sen),(),(),( 2121 tkxAtkxAtxtxtx
)(sen)(sen),( 21 tkxtkxAtx
Principio de Superposición Lineal
sencoscossen)(sen
sencoscossen)(sen
cossen2)(sen)(sen
21 sensen)(sen)(sen
2
1
21
21
2
2
)(
2
1cos)(
2
1sen2sensen 212121
1 2
)(2
1)(
2
12121 kx
)(2
1)(
2
11221 t
)2/cos(sen2),( tkxAtx
2,1),(),();,(),(;2
;)(sen),(
iTtxtxtxtxv
kvtxkAtx iiiii
10
)2/cos(sen2),( tkxAtx=
)cos(sen2),( tkxAtx )(sen),(1 tkxAtx
)(sen),(2 tkxAtx +
Superposición lineal de dos ondas armónicas viajeras
No es un onda viajera ¿ x vt ? ¿ x + vt ?
ONDA ESTACIONARIA
Para cada x, el movimiento es armónico simple con frecuencia angular pero diferente amplitud |2Asen(kx)|
Amplitud mínima nula
sen(kx)=0
kx=0, , 2, 3,...
Znnkx
k=2/
Znnx
2
Número entero de medias longitudes de onda
n/2,t)=0 t
NODOS
Amplitud máxima 2A
kx=/2, 3/2, 5/2,...
k=2/
Número semientero de medias longitudes de onda
ANTINODOS
|sen(kx)|=1
Znnkx
2
1
Znnx
22
1
11
t = 0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T
)cos()(sen2)(sen)(sen),(),( 21 tkxAtkxAtkxAtxtx
Nodos12
t = 0
t = (1/3)T/4
t = (2/3)T/4
t = T/4
t = (4/3)T/4
t = (5/3)T/4
t = T/2
)cos()(sen2),( tkxAtx
13
22222
)()(sen-)(sen)2(
2
1),(
2
1),( tkxAdx
t
txdxtxE
dxCINÉTICA
)cos()(sen2),( tkxAtx
222222
)( )cos()cos()2(2
1),(
2
1),( tkxAkdxvdx
x
txFtxE dxPOTENCIAL
2vFF
v
kfv
222222)( )cos()cos()(sen)(sen)2(
2
1),( tkxtkxAdxtxE dx
Energía mecánica para un dx en una onda estacionaria
2222)( )(sen)(sen)2(
2
1),( tkxAdxtxK dx 2222
)( )cos()cos()2(2
1),( tkxAdxtxU dx
K(dx) = U(dx)Para un dx en un x fijo… ?
¿Se conserva la energía mecánica para dx?
En el tiempo en que K(dx) tiene su máximo, U(dx) tiene su mínimo y viceversa
Sólo se conserva si 22 )cos()(sen PP kxkx 222)( )(sen)2(
2
1),( Pdx kxAdxtxE
4824
nxnkx pP A mitad de camino entre un nodo y un antinodo
14
donde vale
222222)( )cos()cos()(sen)(sen)2(
2
1),( tkxtkxAdxtxE dx
ttnAdxtxK dx 0)(sen)(sen)2(2
1),( 2222
)(
2222222)( )cos()2(
2
1)cos()cos()2(
2
1),( tAdxtnAdxtxU dx
Para los nodos: ZnnkxZnnx
2
La energía cinética es siempre nula
La energía potencial varía de 0 a su valor máximo
Para los antinodos: ZnnkxZnnx
2
1
22
1
2222222)( )(sen)2(
2
1)(sen5.0sen)2(
2
1),( tAdxtnAdxtxK dx
0)cos()5.0cos)2(2
1),( 2222
)( tnAdxtxU dx
La energía cinética varía de 0 a su valor máximo
La energía potencial es siempre nula
(el dx sobre un antinodo está siempre estirado)15
Onda Propagante Armónica Onda Estacionaria
Movimiento armónico simple
Frecuencia angular de vibración
Idéntica amplitud A(todos los puntos pasan por las mismas posiciones a distintos tiempos)
x fijo
Movimiento armónico simple (excepto nodos)
Frecuencia angular de vibración
Amplitud dependiente de la posición 2A|sen(kx+)|
x fijo
La energía no se transporta(no puede fluir más allá de los nodos)
Transporta energía
Para cada elemento dxEnergía cinética=energía potencial(Máximo de una es máximo de la otra,mínimo de una es mínimo de la otra)
Para cada elemento dxAlternancia entre energía cinética y potencial(Máx. desplazamiento, mín. energía cinética; mín. desplazamiento, Máx. energía cinética)
)(sen),( tkxAtx )2/cos(sen2),( tkxAtx
16
)2/cos(sen2),( tkxAtx
ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS
Onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos
x = 0 x = L
ZmmttAtx 0sen0)2/cos(sen2),0(
0sen0)2/cos(sen2),( kLttkLAtLx
0sen)cos()cos(sensen kLkLkL
01
ZsskLkL 0sen
k=2/>0, L>0 sN L=n/k ...3,2,12
nnL
,...3,2,12
nn
Ln
Nnn
LLLL n
1
4321 ;;4
2;
3
2;
2
2;2
,...3,2,12
nnL
vvf
nn Nnnfffffff
L
vf
L
vf nn 1113121 ;;4;3;2
22;
2
f1 frecuencia fundamental; {fn} espectro de frecuencias de resonancia 17
)cos(sen2)cos(/2sen2),(0
tL
xnAtxAtx
n
nnn
x = 0 x = L
L
vf
Lt
L
xAtx
21;
1
2);cos(sen2),( 111
L
vf
Lt
L
xAtx
22;
2
2);cos(2sen2),( 222
L
vf
Lt
L
xAtx
23;
3
2);cos(3sen2),( 333
L
vf
Lt
L
xAtx
24;
4
2);cos(4sen2),( 444
L
vf
Lt
L
xAtx
25;
5
2);cos(5sen2),( 555
t = 0 t1 t2 t3t4 t5
n-ésimo armónico(modo de vibración)
18
)2/cos(sen2),( tkxAtx
ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS
Onda estacionaria en una cuerda fija por un extremo y libre por el otro
x = 0 x = L
ZmmttAtx 0sen0)2/cos(sen2),0(
0cos0)2/cos(cos2),(
kLttkLAkx
tLx
0sen)(sen)cos(coscos kLkLkL
01
ZsskLkL
2
)12(0cos
k=2/>0, L>0 sN ,...5,3,14
nnL
,...5,3,14
nn
Ln
,...5,3,1;;7
4;
5
4;
3
4;4 1
7531
nn
LLLL n
,...5,3,14
nnL
vvf
nn ,...5,3,1;...;5;3
43;
4 115131 nnfffffL
vf
L
vf n
f1 frecuencia fundamental; {fn} espectro de frecuencias de resonancia
,...5,3,12
nk
nL
19
,...5,3,1)cos(2
sen2)cos(/2sen2),(0
ntL
xnAtxAtx
n
nnn
x = 0 x = L
L
vf
Lt
L
xAtx
41;
1
4);cos(
2sen2),( 111
L
vf
Lt
L
xAtx
43;
3
4);cos(
23sen2),( 333
L
vf
Lt
L
xAtx
45;
5
4);cos(
25sen2),( 555
t = 0 t1 t2 t3t4 t5 20
)2/cos(sen2),( tkxAtx
ONDAS ESTACIONARIAS Y RESONANCIAS
Onda estacionaria en un tubo de aire
0),(),( ptxptx p(x,t): presión del aire dentro del tubo; p0: presión de referencia
Extremo abierto
Extremo abierto
p0=Patm p0=Patm
x = 0 x = L
0),0( tx 0),( tLx
Nodo Nodo
Extremo cerrado
Extremo abierto
p0=Patm
x = 0 x = L
0),0( tx0
),(
x
tLx
Nodo Antinodo
Nnn
L n
11 ;2
NnnffL
vf n 11 ;
2
,...5,3,1;4 11
n
nL n
,...5,3,1;4 11 nnff
L
vf n
(ondas longitudinales)
21
¿Cómo resulta la superpoción lineal de …?)(sen),( 11 tkxAtx )(sen),( 22 tkxAtx
)(sen)( 11 tAtf )(sen)( 22 tAtf cercanas pero,21
¿Cómo resulta la superpoción lineal de …?
Batidos
Interferencia
)2/cos(sen2),( tkxAtx
)(
2
1cos)(
2
1sen2sensen 212121
22