Pulliam T.H. Solution Methods in CFD

7/21/2019 Pulliam T.H. Solution Methods in CFD

http://slidepdf.com/reader/full/pulliam-th-solution-methods-in-cfd 1/99

Notes on

by Thomas H. PulliamNASA Ames Research Center

Moffett Field, California

ased on notes from:

on K’arm’an Institute For Fluid Mechanics Lecture Se

umerical Techniques For Viscous Flow Computation In

anuary 20-24, 1986, Rhode-St-Genese, Belgium.

S o

l u t i o n

M e t h

o d s

I n

Co m putatio n

a l F

l u i d

D y

n a m

i c s

Preliminary notes in revision, April 1994



S o l u t i o n M e t h o d s I n C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s

T h o m a s H . P u l l i a m

R e s e a r c h S c i e n t i s t C F D B r a n c h

N A S A A m e s R e s e a r c h C e n t e r

A b s t r a c t

I m p l i c i t n i t e d i e r e n c e s c h e m e s f o r s o l v i n g t w o d i m e n s i o n a l a n d t h r e e d i -

m e n s i o n a l E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s w i l l b e a d d r e s s e d . T h e m e t h o d s a r e

d e m o n s t r a t e d i n f u l l y v e c t o r i z e d c o d e s f o r a C R A Y t y p e a r c h i t e c t u r e . W e s h a l l c o n -

c e n t r a t e o n t h e B e a m a n d W a r m i n g i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n a l g o r i t h m

i n g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s . T h e m e t h o d s a r e e i t h e r t i m e a c c u r a t e o r a c c e l e r a t e d

n o n - t i m e a c c u r a t e s t e a d y s t a t e s c h e m e s . V a r i o u s a c c e l e r a t i o n a n d e c i e n c y m o d -

i c a t i o n s s u c h a s m a t r i x r e d u c t i o n , d i a g o n a l i z a t i o n a n d u x s p l i t s c h e m e s w i l l b e

p r e s e n t e d . E x a m p l e s f o r 2 - D i n v i s c i d a n d v i s c o u s c a l c u l a t i o n s ( e . g . a i r f o i l s w i t h a

d e e c t e d s p o i l e r , c i r c u l a t i o n c o n t r o l a i r f o i l s a n d u n s t e a d y b u e t i n g ) a n d a l s o 3 - D

v i s c o u s o w a r e i n c l u d e d .

O U T L I N E

C h a p t e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P a g e

I . I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I I . T h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . 5

I I I . G e n e r a l i z e d C u r v i l i n e a r C o o r d i n a t e T r a n s f o r m a t i o n s . . . . . . . . . 6

3 . 1 M e t r i c R e l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 . 2 I n v a r i a n t s o f t h e T r a n s f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I V . T h i n - L a y e r A p p r o x i m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

4 . 1 T h i n - L a y e r E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

4 . 2 T u r b u l e n c e M o d e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

V . N u m e r i c a l A l g o r i t h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

5 . 1 I m p l i c i t T i m e D i e r e n c i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

5 . 2 L o c a l T i m e L i n e a r i z a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

5 . 3 S p a c e D i e r e n c i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

5 . 4 S t a b i l i t y A n a l y s i s o f D i e r e n c e F o r m s . . . . . . . . . . . . . . 1 8

5 . 5 M a t r i x F o r m o f U n f a c t o r e d A l g o r i t h m . . . . . . . . . . . . . 1 9

5 . 6 A p p r o x i m a t e F a c t o r i z a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

5 . 7 R e d u c e d F o r m s o f T h e I m p l i c i t A l g o r i t h m . . . . . . . . . . . . 2 1

1



5 . 7 a D i a g o n a l F o r m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

5 . 7 b P r e s s u r e { V e l o c i t y S p l i t t i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

5 . 8 M e t r i c D i e r e n c i n g a n d I n v a r i a n t s . . . . . . . . . . . . . . . 2 8

V I . A r t i c i a l D i s s i p a t i o n A d d e d t o I m p l i c i t S c h e m e s . . . . . . . . . . . 3 0

6 . 1 C o n s t a n t C o e c i e n t I m p l i c i t a n d E x p l i c i t D i s s i p a t i o n . . . . . . . 3 0

6 . 2 T h e U p w i n d C o n n e c t i o n t o A r t i c i a l D i s s i p a t i o n . . . . . . . . . 3 2

6 . 3 N o n l i n e a r A r t i c i a l D i s s i p a t i o n M o d e l . . . . . . . . . . . . . 3 5

6 . 4 T o t a l V a r i a t i o n D i m i n i s h i n g S c h e m e s , T V D . . . . . . . . . . . 3 8

V I I . T i m e A c c u r a c y , S t e a d y S t a t e s , C o n v e r g e n c e a n d S t a b i l i t y . . . . . . . 4 0

7 . 1 T i m e A c c u r a c y v r s S t e a d y - S t a t e C o m p u t a t i o n . . . . . . . . . . 4 0

7 . 2 E e c t o f D i s s i p a t i o n M o d e l o n C o n v e r g e n c e a n d S t a b i l i t y . . . . . 4 4

V I I I . A R C 2 D - A R C 3 D A l g o r i t h m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

I X . B o u n d a r y C o n d i t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

9 . 1 C h a r a c t e r i s t i c A p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

9 . 2 W e l l P o s e d n e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1

9 . 3 C o m p u t a t i o n a l M a p p i n g o f B o u n d a r i e s . . . . . . . . . . . . . 5 2

X . G e o m e t r y a n d G r i d G e n e r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

X I . E x a m p l e s a n d A p p l i c a t i o n i n 2 - D . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

1 1 . 1 C o d e V a l i d a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8

1 1 . 2 I n v i s c i d A i r f o i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

1 1 . 3 V i s c o u s A i r f o i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5

1 1 . 4 U n s t e a d y A i l e r o n B u z z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9

1 1 . 5 H i g h A n g l e o f A t t a c k A i r f o i l s . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0

X I I . T h r e e - D i m e n s i o n a l A l g o r i t h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5

1 2 . 1 F l o w E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6

1 2 . 2 N u m e r i c a l M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2

1 2 . 3 B o u n d a r y C o n d i t i o n s a n d G e o m e t r y . . . . . . . . . . . . . . 8 2

1 2 . 4 C o d e S t r u c t u r e a n d V e c t o r i z a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . 8 2

1 2 . 5 A p p l i c a t i o n i n T h r e e D i m e n s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4

S u m m a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0

R e f e r e n c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0

A p p e n d i x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5

2



C o m m e n t a r y , 1 9 9 2

T h e s e n o t e s w e r e d e v e l o p e d a n d p u t t o g e t h e r i n 1 9 8 4 - 5 f o r a l e c t u r e s e r i e s e n -

t i t l e d \ v o n K a r m a n I n s t i t u t e F o r F l u i d D y n a m i c s L e c t u r e S e r i e s : N u m e r i c a l T e c h -

n i q u e s f o r V i s c o u s F l o w C o m p u t a t i o n I n T u r b o m a c h i n e r y B l a d i n g s " , v o n K a r m a n

I n s t i t u t e , R h o d e - S t - G e n e s e , B e l g i u m , 1 9 8 5 . T h e y m a y b e a l i t t l e d a t e d t o d a y , b u t

t h e y s t i l l r e p r e s e n t c u r r e n t a l g o r i t h m s a n d c o d e s b e i n g u s e d o n a d a y t o d a y b a s i s

f o r b o t h r e s e a r c h a n d d e v e l o p m e n t . I w i l l u p d a t e a n d c o r r e c t s o m e o f t h e m a t e r i a l ,

b u t I w i l l n o t b e a t t e m p t i n g t o c o m p l e t e l y m o d e r n i z e t h e s e l e c t u r e s . N e w e r t o p i c s ,

e . g . T V D , E N O , a r e h a n d l e d b e t t e r i n o t h e r f o r u m s a n d I w i l l h a v e t o m a k e m y

a t t e m p t a t t h e m s o m e o t h e r t i m e .

F i n a l l y , I w o u l d l i k e t o r e c o g n i z e d t h e i n u e n c e o f o n e o f m y b e s t f r i e n d s a n d

m y m e n t o r , D r . J o s e p h L . S t e g e r w h o p a s s e d a w a y t h i s y e a r . I r s t m e t J o e i n

t h e e a r l y d a y s o f C F D a t N A S A A m e s ( c i r c a 1 9 7 4 ) w h e n I s t a r t e d w o r k o n m y

t h e s i s a n d J o e b e c a m e m y a d v i s o r . I c o n s i d e r m y s e l f J o e ' s r s t s t u d e n t a n d a l -

t h o u g h J o e w e n t o n t o t e a c h a t S t a n f o r d a n d U . C . D a v i s a n d p r o d u c e d m a n y n e

C F D r e s e a r c h e r s , I t h i n k m y y e a r s w i t h J o e w i l l a l w a y s b e s p e c i a l s i n c e t h e y w e r e

h i s a n d m y r s t e x p e r i e n c e s a s f r i e n d s a n d t e a c h e r / s t u d e n t . J o s e p h S t e g e r w a s a

r e a l p i o n e e r f o r C F D , h e d i d m u c h o f t h e g r o u n d b r e a k i n g w o r k i n t r a n s o n i c s a n d

E u l e r / N a v i e r - S t o k e s a l g o r i t h m s . I d o n ' t t h i n k h e g e t s m u c h c r e d i t f o r h i s t r a n s o n i c

w o r k , b u t i f i t w a s n ' t f o r J o e m a n y o f t h e i m p o r t a n t a d v a n c e s m a d e h e r e a t N A S A

A m e s w o u l d n e v e r h a v e h a p p e n e d . W e a l w a y s r e f e r t o t h e \ B e a m - W a r m i n g a l g o -

r i t h m " , b u t p o s s i b i l i t y i t s h o u l d b e c a l l e d t h e \ S t e g e r a l g o r i t h m " . A l t h o u g h , B e a m

a n d W a r m i n g c a n b e c r e d i t e d w i t h t h e i n i t i a l d e v e l o p m e n t , S t e g e r h a d m u c h t o d o

w i t h t h e n a l d e v e l o p m e n t s a n d a n a l y s i s . M o r e i m p o r t a n t l y t h o u g h , i s t h e c o n t r i -

b u t i o n J o e m a d e i n m a k i n g t h e a l g o r i t h m p r a c t i c a l a n d p o p u l a r . I n 1 9 7 6 , J o e w r o t e

w h a t w a s t h e n c a l l A I R 2 D , b a s e d o n t h e B e a m - W a r m i n g a l g o r i t h m a n d g e n e r a l i z e d

c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s . T h a t o n e e o r t h a s b l o s s o m e d i n t o t h e A R C 2 D a n d

A R C 3 D c o d e s a n d t h e i r s u b s e q u e n t i m p a c t o n C F D t o d a y . T h o s e k e r n e l s ( g e m s o f

i d e a s ) f o r m t h e b a s i s o f m o s t o f t h e p r a c t i c a l a n d u s e f u l c o d e s i n e x i s t e n c e t o d a y .

O n e o n l y h a s t o l o o k a n y w h e r e i n t h e l i t e r a t u r e t o s e e t h a t i m p a c t . J o e ' s o t h e r

d e v e l o p m e n t s w e r e e q u a l l y a s i m p o r t a n t t o t h e w h o l e p i c t u r e . H e d e v e l o p e d e l l i p -

t i c g r i d g e n e r a t o r s ( G R A P E ) a n d h y p e r b o l i c g r i d g e n e r a t i n g a l g o r i t h m s . J o e c a n

a l s o b e c r e d i t e d w i t h p r o d u c i n g t h e r s t p r a c t i c a l P a r a b o l i z e d N a v i e r - S t o k e s ( P N S )

c o d e s a n d I n c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s ( I N S ) b a s e d o n p s u e d o - c o m p r e s s i b i l i t y . H i s

w o r k o n t h e C h i m e r a a p p r o a c h f o r c o m p l i c a t e d g e o m e t r y i s c u r r e n t l y t h e w o r k h o r s e

o f c o m p u t a t i o n h e r e a t N A S A A m e s a n d h a s b e e n a s i g n i c a n t p a r t o f t h e o v e r a l l

C F D e o r t . B u t b e s i d e s a l l t h a t , w e r e a l l y h a v e s u e r e d a g r e a t l o s s i n l o s i n g J o e

S t e g e r , h e a l w a y s w i l l b e i n m y h e a r t , h i s l a u g h a n d f r i e n d s h i p a r e d e a r t o m e a n d

I ' m s u r e t o a l l w h o k n e w h i m .

3



I . I n t r o d u c t i o n

C o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s i s a g r o w i n g t e c h n o l o g y . E v e n t h o u g h t h e r e i s

s t i l l a s u b s t a n t i a l a m o u n t o f t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t n e c e s s a r y b e f o r e i t b e c o m e s

a n c o n s i s t e n t e n g i n e e r i n g t o o l , w e c a n p r o d u c e r e s e a r c h c o d e s w h i c h c a n b e a p p l i e d

t o r e l e v a n t p h y s i c a l p r o b l e m s . A t p r e s e n t f u l l p o t e n t i a l c o d e s a n d p a n e l m e t h o d s

h a v e b e e n t h e m o s t w i d e l y u s e d t o o l s i n t h e d e s i g n c y c l e . T h o s e m e t h o d s a r e

c o m p u t a t i o n a l l e s s e x p e n s i v e t h a n t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s c o d e s a n d i n g e n e r a l

m o r e r o b u s t a n d a c c u r a t e ( m a i n l y d u e t o t h e a b i l i t y t o e m p l o y a l a r g e n u m b e r o f

g r i d p o i n t s o r p a n e l s ) . E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s c o d e s r e q u i r e m o r e s t o r a g e a n d

c o m p u t a t i o n a l w o r k p e r s o l u t i o n t h a n t h e c l a s s i c a l m e t h o d s . E v e n w i t h t h e p r e s e n t

c l a s s o f s u p e r c o m p u t e r s w e s t i l l h a v e n o t r e a c h e d a s t a g e w h e r e t h e r e s t r i c t i o n s o f

c o m p u t a t i o n a l s p e e d a n d s t o r a g e c a n b e i g n o r e d . A t t h i s s t a g e t h e E u l e r a n d N a v i e r

- S t o k e s c o d e s a v a i l a b l e s h o u l d b e c o n s i d e r e d t o b e r e s e a r c h c o d e s . A t r s t w e s t r i v e

t o d e m o n s t r a t e t h e f e a s i b i l i t y o f t h e n u m e r i c a l t e c h n i q u e u s e d , t h e n w e s h o u l d g o o n

t o e s t a b l i s h t h e a c c u r a c y , e c i e n c y a n d r o b u s t n e s s o f a d e v e l o p e d c o d e . T h e s e a r e

t h e a r e a s i n c o d e d e v e l o p m e n t a n d a p p l i c a t i o n w h i c h r e q u i r e c a r e f u l c o n s i d e r a t i o n .

A w i d e v a r i e t y o f n u m e r i c a l t e c h n i q u e s a r e i n u s e t o d a y . S o m e h a v e d e v e l -

o p e d t o a h i g h e n o u g h l e v e l t o b e u s e d i n p r o d u c t i o n c o d e s ( s e e R e f s . 1 - 6 ] ) w h i l e

o t h e r t e c h n i q u e s ( f o r e x a m p l e T V D s c h e m e s , R e f . 7 - 9 ] ) a r e j u s t n o w e n t e r i n g t h e

r e s e a r c h c o d e r e a l m . I n t h i s p r e s e n t a t i o n w e s h a l l c o n c e n t r a t e o n m e t h o d s a n d t e c h -

n i q u e s w h i c h h a v e b e e n a p p l i e d t o v a r i o u s c o m p u t a t i o n a l u i d o w p r o b l e m s . T h e s e

i n c l u d e , i m p l i c i t n i t e d i e r e n c e s , c e n t r a l s p a c e d i e r e n c i n g , u p w i n d d i e r e n c i n g ,

a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n , n o n l i n e a r d i s s i p a t i o n m o d e l s , c h a r a c t e r i s t i c b o u n d a r y

p r o c e d u r e s , g r i d r e n e m e n t - r e c l u s t e r i n g a l g o r i t h m s a n d v a r i o u s a c c e l e r a t i o n t e c h -

n i q u e s f o r s t e a d y s t a t e a n d t i m e a c c u r a t e c o m p u t a t i o n s . M o s t o f t h e a p p l i c a t i o n s

a r e f o r e x t e r n a l o w s , b u t t h e m e t h o d s h a v e b e e n a n d a r e e a s i l y e x t e n d e d t o i n t e r n a l

o w s . A l o t o f t h e d e v e l o p m e n t w i l l b e i n 2 - D , w i t h t h e e x t e n s i o n t o 3 - D r e l a t i v e l y

s t r a i g h t f o r w a r d .

A s e r i e s o f c o m p u t e r c o d e s h a v e b e e n d e v e l o p e d a t N A S A A m e s R e s e a r c h C e n -

t e r b a s e d o n t h e i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n a l g o r i t h m o f B e a m a n d W a r m i n g

1 ] w i l l b e u s e d f o r d e m o n s t r a t i o n . A p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n i n t w o d i m e n s i o n s w a s

r s t p r e s e n t e d b y S t e g e r 2 ] a n d f o r t h r e e d i m e n s i o n s b y P u l l i a m a n d S t e g e r 3 ] .

C o n c u r r e n t w i t h t h i s w o r k h a s b e e n t h e p a r a l l e l e d d e v e l o p m e n t a n d a p p l i c a t i o n

o f M a c C o r m a c k s m e t h o d 4 ] . I s h a l l c o n c e n t r a t e h e r e o n t h e t h e o r e t i c a l d e v e l o p -

m e n t , a p p l i c a t i o n a n d a s s e s s m e n t o f t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m w h i c h a t t h i s s t a g e h a s

p r o d u c e d t w o c o d e s , A R C 2 D a t w o d i m e n s i o n a l v e r s i o n a n d A R C 3 D t h e t h r e e d i -

m e n s i o n a l c o d e . T h e o r i g i n a l d e v e l o p m e n t o f t h e s e c o d e s w a s m o r e i n t h e s p i r i t

o f a d e m o n s t r a t i o n e o r t , w h e r e w e w e r e m o r e c o n c e r n e d w i t h d e m o n s t r a t i n g t h e

f e a s i b i l i t y o f t h e a l g o r i t h m f o r g e n e r a l g e o m e t r i e s a n d v a r y i n g o w c a s e s . A n u m b e r

o f a p p l i c a t i o n s a p p e a r e d o v e r t h e y e a r s i n t h e l i t e r a t u r e . M o r e r e c e n t l y w e h a v e

i m p r o v e d t h e a c c u r a c y , e c i e n c y a n d r o b u s t n e s s o f t h e c o d e s . I s h a l l p r e s e n t b e l o w

4



s o m e d e t a i l s o f t h e c u r r e n t v e r s i o n s o f t h e i m p l i c i t c o d e s , A R C 2 D a n d A R C 3 D .

N o t a b l e e x c e p t i o n s w i l l b e d i s c u s s e d . I s h a l l n o t c o n c e n t r a t e o n t h e i d i o s y n c r a s i e s

o f t h e c o d i n g , I / O o r o t h e r p r o g r a m m i n g a s p e c t s e x c e p t w h e r e t h e y a e c t t h e a l -

g o r i t h m a p p l i c a t i o n .

I I . T h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s

T h e s t a r t i n g p o i n t i s t h e s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w f o r m o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l

N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s . T h e s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w

f o r m i s c h o s e n b e c a u s e w e w i s h t o a c c u r a t e l y c a p t u r e s h o c k s . T h e e q u a t i o n s i n

n o n d i m e n s i o n a l f o r m a r e

@

t

Q + @

x

E + @

y

F = R e

; 1

( @

x

E

v

+ @

y

F

v

) ( 2 1 )

w h e r e

Q =

2

6

4

u

v

e

3

7

5

E =

2

6

4

u

u

2

+ p

u v

u ( e + p )

3

7

5

F =

2

6

4

v

u v

v

2

+ p

v ( e + p )

3

7

5

E

v

=

2

6

4

0

x x

x y

f

4

3

7

5

F

v

=

2

6

4

0

x y

y y

g

4

3

7

5

( 2 2 a )

w i t h

x x

= ( 4 u

x

; 2 v

y

) = 3

x y

= ( u

y

+ v

x

)

y y

= ( ; 2 u

x

+ 4 v

y

) = 3

f

4

= u

x x

+ v

x y

+ P r

; 1

( ; 1 )

; 1

@

x

a

2

g

4

= u

x y

+ v

y y

+ P r

; 1

( ; 1 )

; 1

@

y

a

2

( 2 2 b )

P r e s s u r e i s r e l a t e d t o t h e c o n s e r v a t i v e o w v a r i a b l e s , Q , b y t h e e q u a t i o n o f

s t a t e

p = ( ; 1 )

e ;

1

2

( u

2

+ v

2

)

( 2 3 )

w h e r e i s t h e r a t i o o f s p e c i c h e a t s , g e n e r a l l y t a k e n a s 1 . 4 . T h e s p e e d o f s o u n d i s a

w h i c h f o r i d e a l u i d s , a

2

= p = . T h e d y n a m i c v i s c o s i t y i s a n d i s t y p i c a l l y m a d e

u p o f a c o n s t a n t p l u s a c o m p u t e d t u r b u l e n t e d d y v i s c o s i t y . T h e R e y n o l d s n u m b e r

i s R e a n d P r a n d t l n u m b e r P r

5



T h e c h o i c e o f n o n d i m e n s i o n a l p a r a m e t e r s i s a r b i t r a r y . H e r e w e h a v e c h o s e n

t o s c a l e t h e v a r i a b l e s ( d e n s i t y ) , u v ( t h e C a r t e s i a n v e l o c i t i e s ) , a n d e ( t h e t o t a l

e n e r g y ) a s

e =

1

e u =

u

a

1

e v =

v

a

1

e e =

e

1

a

2

1

( 2 4 a )

w h e r e 1 r e f e r s t o f r e e s t r e a m q u a n t i t i e s . A s s u m i n g a r e f e r e n c e l e n g t h , l ( u s u a l l y

t a k e n a s s o m e c h a r a c t e r i s t i c p h y s i c a l l e n g t h s u c h a s c h o r d o f a n a i r f o i l ) , t i m e t s c a l e s

a s

e

t = t a

1

= l . T h e v i s c o u s c o e c i e n t s s c a l e a s

e =

1

R e =

1

l a

1

1

( 2 4 b )

N o t e t h a t R e u s e s a

1

a n d t h e r e f o r e R e b a s e d o n u

1

( t h e u s u a l c a s e f o r e x p e r i m e n -

t a l l y g i v e n R e y n o l d s n u m b e r ) m u s t b e s c a l e d b y M

1

= u

1

= a

1

. F o r t h e r e m a i n d e r

o f t h i s d e v e l o p m e n t t h e w i l l b e d r o p p e d f o r s i m p l i c i t y .

T h e E u l e r e q u a t i o n s a r e r e c o v e r e d f r o m E q s . ( 2 . 1 ) a n d ( 2 . 2 ) b y d r o p p i n g t h e

v i s c o u s t e r m s , i . e . s e t t i n g t h e r i g h t h a n d s i d e o f E q . ( 2 . 1 ) e q u a l t o z e r o .

I I I . G e n e r a l i z e d C u r v i l i n e a r C o o r d i n a t e T r a n s f o r m a t i o n s

T h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s c a n b e t r a n s f o r m e d f r o m C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s

t o g e n e r a l c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e s w h e r e

= t

= ( x y t )

= ( x y t )

( 3 1 )

T h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n i n t r o d u c e d h e r e f o l l o w s t h e d e v e l o p m e n t o f V i v i a n d

1 0 ] a n d V i n o k u r 1 1 ] . C u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e s a r e a r e p r e s e n t a t i o n o f n - s p a c e i n

w h i c h a r b r i t a r y v e c t o r s a r e r e p r e s e n t e d b y t w o s e t s o f b a s i s v e c t o r s ( n o t n e c e s s a r i l y

o r t h o g o n a l ) . A n a r b r i t a r y v e c t o r V ( h e r e d e m o n s t r a t e d i n 2 d i m e n s i o n s ) i s d e n e d

a s

V = v

1

e

1

+ v

2

e

2

w i t h e

i

c o v a r i a n t b a s i s v e c t o r s a n d v

i

t h e c o n t r a v a r i a n t c o m p o n e n t s o f V . S i n c e w e

d o n ' t r e q u i r e t h e b a s i s v e c t o r s t o b e o r t h o g o n a l , a n o t h e r s e t o f c o m p o n e n t e x t r a c t i n g

b a s i s v e c t o r s a r e r e q u i r e d , t h e c o n t r a v a r i a n t b a s i s v e c t o r s e

i

. T h e b a s i s v e c t o r s

s a t i s f y t h e r e l a t i o n s h i p e

i

e

j

=

i j

. S o t h a t , c o n t r a v a r i a n t c o m p o n e n t v

i

= e

i

V

A n o t h e r r e p r e s e n t a t i o n o f V i s i n t e r m s o f c o v a r i a n t b a s i s v e c t o r s e

i

w i t h

V = v

1

e

1

+ v

2

e

2

6



a n d v

i

t h e c o v a r i a n t c o m p o n e n t s o f V , i . e . , v

i

= e

i

V . A n e x c e l l e n t r e f e r e n c e f o r

c u r v i l i n e a r t r a n s f o r m s i s K o r n a n d K o r n a a ] . T h i s r e p r e s e n t a t i o n a n d s e t s o f b a s i s

v e c t o r s f o r m t h e f u n d a m e n t a l f r a m e w o r k f o r t h e c u r v i l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s w h i c h

w i l l b e a p p l i e d t o t h e E u l e r a n d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .

T h e t r a n s f o r m a t i o n s a r e c h o s e n s o t h a t t h e g r i d s p a c i n g i n t h e c u r v i l i n e a r s p a c e

i s u n i f o r m a n d o f u n i t l e n g t h , s e e F i g . 1 . T h i s p r o d u c e s a c o m p u t a t i o n a l s p a c e

a n d w h i c h i s a r e c t a n g u l a r d o m a i n a n d w h i c h h a s a r e g u l a r u n i f o r m m e s h s o t h a t

s t a n d a r d u n w e i g h t e d d i e r e n c i n g s c h e m e s c a n b e u s e d i n t h e n u m e r i c a l f o r m u l a t i o n .

T h e o r i g i n a l C a r t e s i a n s p a c e w i l l b e r e f e r r e d t o a s t h e p h y s i c a l d o m a i n . T y p i c a l l y

t h e r e w i l l b e a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n a p h y s i c a l p o i n t i n s p a c e a n d a

c o m p u t a t i o n a l p o i n t , e x c e p t f o r r e g i o n s w h e r e t h e r e a r e s i n g u l a r i t i e s o r c u t s d u e t o

t h e t o p o l o g y . I n t h o s e c a s e s i t m a y b e n e c e s s a r y t o m a p o n e p h y s i c a l p o i n t t o m a n y

c o m p u t a t i o n a l p o i n t s ( t h i s u s u a l l y o c c u r s a t c o m p u t a t i o n a l b o u n d a r i e s ) . W i t h t h i s

c o n s t r u c t i o n w e c a n p r o d u c e o n e c o m p u t a t i o n a l c o d e f o r a w i d e v a r i e t y o f p h y s i c a l

g e o m e t r i e s a n d g r i d s y s t e m s .

F i g u r e 1 . G e n e r a l i z e d C u r v i l i n e a r C o o r d i n a t e T r a n s f o r m a t i o n s .

C h a i n r u l e e x p a n s i o n s a r e u s e d t o r e p r e s e n t t h e C a r t e s i a n d e r i v a t i v e s @

x

a n d

@

y

o f E q . ( 2 . 1 ) i n t e r m s o f t h e c u r v i l i n e a r d e r i v a t i v e s w h e r e i n m a t r i x f o r m

2

4

@

t

@

x

@

y

3

5

=

2

4

1

t

t

0

x

x

0

y

y

3

5

2

4

@

@

@

3

5

( 3 2 )

7



A p p l y i n g E q . ( 3 . 2 ) t o t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , E q . ( 2 . 1 ) , w e h a v e

@

Q +

t

@

Q +

t

@

Q

+

x

@

E +

x

@

E +

y

@

F +

y

@

F =

R e

; 1

(

x

@

E

v

+

x

@

E

v

+

y

@

F

v

+

y

@

F

v

)

( 3 3 )

3 . 1 M e t r i c R e l a t i o n s

I n m o s t c a s e s t h e t r a n s f o r m a t i o n f r o m p h y s i c a l s p a c e t o c o m p u t a t i o n a l s p a c e

i s n o t k n o w n a n a l y t i c a l l y , r a t h e r i t i s g e n e r a t e d n u m e r i c a l l y . T h a t i s , w e u s u a l l y a r e

p r o v i d e d w i t h j u s t t h e x y c o o r d i n a t e s o f g r i d p o i n t s a n d w e n u m e r i c a l l y g e n e r a t e

t h e m e t r i c s (

t

x

y

t

x

y

) u s i n g n i t e d i e r e n c e s .

R e v e r s i n g t h e r o l e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s i n t h e c h a i n r u l e f o r m u l a s , E q .

( 3 . 2 ) , w e h a v e ,

@

= @

t

+ x

@

x

+ y

@

y

@

= x

@

x

+ y

@

y

@

= x

@

x

+ y

@

y

( 3 4 )

w h i c h c a n b e w r i t t e n i n m a t r i x f o r m

2

4

@

@

@

3

5

=

2

4

1 x

y

0 x

y

0 x

y

3

5

2

4

@

t

@

x

@

y

3

5

( 3 5 )

S o l v i n g E q . ( 3 . 5 ) f o r t h e c u r v i l i n e a r d e r i v a t i v e s i n t e r m s o f t h e C a r t e s i a n d e r i v a t i v e s

y i e l d s

2

4

@

t

@

x

@

y

3

5

= J

2

4

( x

y

; y

x

) ( ; x

y

+ y

x

) ( x

y

; y

x

)

0 y

; y

0 ; x

x

3

5

2

4

@

@

@

3

5

( 3 6 )

w h e r e J

; 1

= ( x

y

; x

y

) . E v a l u a t i n g E q . ( 3 . 6 ) f o r t h e m e t r i c t e r m s b y c o m p a r i n g

t o t h e m a t r i x o f E q . ( 3 . 2 ) w e n d t h a t

x

= J y

y

= ; J x

t

= ; x

x

; y

y

x

= ; J y

y

= J x

t

= ; x

x

; y

y

( 3 7 )

w h e r e J i s d e n e d t o b e t h e m e t r i c J a c o b i a n .

8



3 . 2 I n v a r i a n t s o f t h e T r a n s f o r m a t i o n

A t t h i s p o i n t w e n o t i c e t h a t E q s . ( 3 . 3 ) a r e i n a w e a k c o n s e r v a t i o n l a w f o r m .

T h a t i s , e v e n t h o u g h n o n e o f t h e o w v a r i a b l e s ( o r m o r e a p p r o p r i a t e l y f u n c t i o n s

o f t h e o w v a r i a b l e s ) o c c u r a s c o e c i e n t s i n t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , t h e m e t r i c s

d o . T h e r e i s s o m e a r g u m e n t i n t h e l i t e r a t u r e , s e e f o r i n s t a n c e H i n d m a n 1 2 ] , w h i c h

a d v o c a t e s t h e u s e o f t h e s o c a l l e d \ c h a i n r u l e f o r m " s i n c e i t s h o u l d s t i l l h a v e g o o d

s h o c k c a p t u r i n g p r o p e r t i e s a n d i n s o m e w a y s i t i s a s i m p l e r f o r m . H e r e , t h o u g h , w e

s h a l l r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w f o r m w h i c h w i l l b e d e r i v e d

b e l o w .

T o p r o d u c e t h e s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w f o r m w e r s t m u l t i p l y E q s . ( 3 . 3 ) b y J

; 1

a n d u s e t h e c h a i n r u l e o n a l l t e r m s s u c h a s

J

; 1

x

@

E = @

x

J

E

; E @

x

J

( 3 8 )

F o r s i m p l i c i t y , w e e x a m i n e o n l y t h e i n v i s c i d t e r m s , t h e d e r i v a t i o n f o r t h e v i s c o u s

t e r m s i s s i m i l a r . C o l l e c t i n g a l l t h e t e r m s i n t o t w o g r o u p s ,

T e r m

1

+ T e r m

2

= 0

w h e r e

T e r m

1

= @

( Q = J ) + @

(

t

Q +

x

E +

y

F ) = J ]

+ @

(

t

Q +

x

E +

y

F ) = J ]

T e r m

2

= ; Q @

( J

; 1

) + @

(

t

= J ) + @

(

t

= J ) ]

; E @

(

x

= J ) + @

(

x

= J ) ] ; F @

(

y

= J ) + @

(

y

= J ) ]

( 3 9 )

I f T e r m

2

i s e l i m i n a t e d t h e n t h e s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w f o r m o f t h e e q u a t i o n s

r e s u l t s , T e r m

1

= 0 . A s s u m i n g s o l u t i o n s s u c h t h a t Q 6= 0 E 6= 0 , a n d F 6= 0 , t h e

e x p r e s s i o n s

@

( J

; 1

) + @

(

t

= J ) + @

(

t

= J )

@

(

x

= J ) + @

(

x

= J )

@

(

y

= J ) + @

(

y

= J )

( 3 1 0 )

a r e d e n e d a s i n v a r i a n t s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n a n d w i l l b e s h o w n t o b e a n a l y t i c a l l y

z e r o . S u b s t i t u t i n g t h e m e t r i c d e n i t i o n s , E q . ( 3 . 7 ) , i n t o t h e i n v a r i a n t s , E q . ( 3 . 1 0 )

w e h a v e

@

( x

y

; y

x

) + @

( ; x

y

+ y

x

) + @

( x

y

; y

x

)

@

( y

) + @

( ; y

) = y

; y

@

( ; x

) + @

( x

) = ; x

+ x

( 3 1 1 )

N o w a n a l y t i c a l l y d i e r e n t i a t i o n i s c o m m u t a t i v e a n d e a c h o f t h e a b o v e t e r m s

t h e n s u m s t o z e r o . T h i s e l i m i n a t e s T e r m

2

o f E q . ( 3 . 9 ) a n d t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s

a r e i n s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w f o r m .

9



T h e r e i s a n i m p o r t a n t p r o b l e m a s s o c i a t e d w i t h t h e s e i n v a r i a n t s w h i c h c a n b e

d i s c u s s e d n o w . I f T e r m

1

i s e v a l u a t e d f o r u n i f o r m o w ,

= 1 u = M

1

v = 0 a n d e =

1

( ; 1 )

+

1

2

M

2

1

t h e n t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s w h i c h m u s t s u m t o z e r o ( i f w e r e q u i r e t h a t o u r e q u a t i o n s

s a t i s f y f r e e s t r e a m ) a r e e x a c t l y c o m p o s e d o f t h e i n v a r i a n t s , E q . ( 3 . 1 0 ) . N o w w h e n

n u m e r i c a l d i e r e n c i n g i s a p p l i e d t o t h e s e e q u a t i o n s ( a s d e v e l o p e d i n t h e S e c t i o n V )

t h e n t h e n u m e r i c a l d i e r e n c e f o r m u l a s u s e d t o e v a l u a t e t h e s p a t i a l d i e r e n c e s o f

t h e u x e s a n d t h e n i t e d i e r e n c e f o r m s u s e d t o c a l c u l a t e t h e m e t r i c s m u s t s a t i s f y

t h e c o m m u t a t i v e l a w . I t i s n o t t r u e i n g e n e r a l t h a t n i t e d i e r e n c e d e r i v a t i v e s a r e

c o m m u t a t i v e , ( s e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r e n c e s a r e , b u t m i x i n g s e c o n d o r d e r a n d

f o u r t h o r d e r f o r m u l a s i s n o t ) . A s w e s h a l l s e e , t h e c e n t r a l d i e r e n c e f o r m u l a s u s e d

i n t w o - d i m e n s i o n s c a n p r o d u c e c o n s i s t e n t i n v a r i a n t s , b u t i n t h r e e - d i m e n s i o n s i t i s

n o t a s t r a i g h t f o r w a r d p r o c e d u r e .

I t s h o u l d b e a t l e a s t a m i n i m u m r e q u i r e m e n t o f a n y n i t e d i e r e n c e f o r m u l a t i o n

t h a t t h e n i t e d i e r e n c e e q u a t i o n s s a t i s f y f r e e s t r e a m o w . C a r e m u s t b e t a k e n t o

i n s u r e t h a t t h e n i t e d i e r e n c e f o r m u l a t i o n i s c o n s i s t e n t i n t h i s a r e a o r a t l e a s t w e

s h o u l d r e c o g n i z e a n d c o r r e c t a s m u c h a s p o s s i b l e a n y e r r o r s o f t h i s t y p e . H i n d m a n

1 2 ] , P u l l i a m a n d S t e g e r 3 ] a n d F l o r e s e t . a l . 1 3 ] h a v e i n v e s t i g a t e d t h i s a r e a f o r a

v a r i e t y o f n i t e d i e r e n c e f o r m u l a t i o n s .

T h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s w r i t t e n i n g e n e r a l i z e d c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e s a r e

@

b

Q + @

b

E + @

b

F = R e

; 1

@

b

E

v

+ @

b

F

v

] ( 3 1 2 )

w h e r e

b

Q = J

; 1

2

6

4

u

v

e

3

7

5

b

E = J

; 1

2

6

4

U

u U +

x

p

v U +

y

p

U ( e + p ) ;

t

p

3

7

5

b

F = J

; 1

2

6

4

V

u V +

x

p

v V +

y

p

V ( e + p ) ;

t

p

3

7

5

( 3 1 3 a )

w i t h

U =

t

+

x

u +

y

v V =

t

+

x

u +

y

v ( 3 1 3 b )

t h e C o n t r a v a r i a n t v e l o c i t i e s . T h e v i s c o u s u x t e r m s a r e

b

E

v

= J

; 1

(

x

E

v

+

y

F

v

)

a n d

b

F

v

= J

; 1

(

x

E

v

+

y

F

v

)

T h e s t r e s s t e r m s , s u c h a s

x x

a r e a l s o t r a n s f o r m e d i n t e r m s o f t h e a n d

1 0



d e r i v a t i v e s w h e r e

x x

= ( 4 (

x

u

+

x

u

) ; 2 (

y

v

+

y

v

) ) = 3

x y

= (

y

u

+

y

u

+

x

v

+

x

v

)

y y

= ( ; 2 (

x

u

+

x

u

) + 4 (

y

v

+

y

v

) ) = 3

f

4

= u

x x

+ v

x y

+ P r

; 1

( ; 1 )

; 1

(

x

@

a

2

+

x

@

a

2

)

g

4

= u

x y

+ v

y y

+ P r

; 1

( ; 1 )

; 1

(

y

@

a

2

+

y

@

a

2

)

( 3 1 4 )

w i t h t e r m s s u c h a s u

x

e x p a n d e d b y c h a i n r u l e .

I V T h i n - L a y e r A p p r o x i m a t i o n

I n h i g h R e y n o l d s n u m b e r v i s c o u s o w s t h e e e c t s o f v i s c o s i t y a r e c o n c e n t r a t e d

n e a r r i g i d b o u n d a r i e s a n d i n w a k e r e g i o n s . T y p i c a l l y i n c o m p u t a t i o n s w e o n l y h a v e

e n o u g h g r i d p o i n t s a v a i l a b l e t o u s ( d u e t o c o m p u t e r s t o r a g e l i m i t s ) t o c o n c e n t r a t e

g r i d l i n e s n e a r t h e r i g i d s u r f a c e s . T h e r e s u l t i n g g r i d s y s t e m s u s u a l l y h a v e n e g r i d

s p a c i n g i n d i r e c t i o n s n e a r l y n o r m a l t o t h e s u r f a c e s a n d c o a r s e g r i d s p a c i n g a l o n g

t h e s u r f a c e , s e e F i g . 2 .

F i g u r e 2 . T h i n V i s c o u s L a y e r N e a r B o d y S u r f a c e .

E v e n t h o u g h w e m a y p r o g r a m t h e f u l l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , t h e v i s c o u s

t e r m s a s s o c i a t e d w i t h d e r i v a t i v e s a l o n g t h e b o d y w i l l n o t b e r e s o l v e d a n d i n m o s t

c a s e s f o r a t t a c h e d a n d m i l d l y s e p a r a t e d o w s t h e s e t e r m s a r e n e g l i g i b l e . T h e t e r m s

i n t h e n e a r n o r m a l w i l l b e r e s o l v e d f o r s u c i e n t l y n e g r i d s p a c i n g a n d t h e s e a r e

s u b s t a n t i a l t e r m s .

1 1



I n b o u n d a r y l a y e r t h e o r y , a p p r o p r i a t e s c a l i n g a r g u m e n t s s h o w t h a t s t r e a m w i s e

c o m p o n e n t s o f t h e v i s c o u s t e r m s c a n b e n e g l e c t e d r e l a t i v e t o t h e n o r m a l t e r m s . W e

r e l y u p o n s i m i l a r a r g u m e n t s a s a j u s t i c a t i o n f o r t h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n .

T h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n r e q u i r e s t h a t

1 . A l l b o d y s u r f a c e s b e m a p p e d o n t o c o o r d i n a t e s u r f a c e s . S p e c i c a l l y , = c o n s t a n t

c o o r d i n a t e s u r f a c e s , s e e F i g . 1 .

2 . G r i d s p a c i n g i s c l u s t e r e d t o t h e b o d y s u r f a c e s s u c h t h a t s u c i e n t r e s o l u t i o n f o r

a p a r t i c u l a r R e y n o l d s n u m b e r i s o b t a i n e d . ( A t l e a s t o n e o r t w o g r i d p o i n t s i n

t h e s u b l a y e r ) .

3 . A l l t h e v i s c o u s d e r i v a t i v e s i n t h e d i r e c t i o n a r e n e g l e c t e d , w h i l e t h e t e r m s i n

t h e d i r e c t i o n a r e r e t a i n e d . A l l o f t h e i n v i s c i d t e r m s a r e u s e d .

T h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n i s s i m i l a r i n p h i l o s o p h y b u t n o t t h e s a m e a s t h e

b o u n d a r y l a y e r t h e o r y . T h e n o r m a l m o m e n t u m e q u a t i o n i s s o l v e d a n d p r e s s u r e c a n

v a r y t h r o u g h t h e b o u n d a r y l a y e r .

T h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n c a n b r e a k d o w n f o r l o w R e y n o l d s n u m b e r s a n d

i n r e g i o n s o f m a s s i v e o w s e p a r a t i o n . I t i s n o t a n e c e s s a r y s t e p i n t h e d e v e l o p m e n t

o f t h e e q u a t i o n s a n d n u m e r i c a l a l g o r i t h m . T h e f u l l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e

i n c o r p o r a t e d i n c a s e s w h e r e s u c i e n t r e s o l u t i o n w a s p r o v i d e d a n d t h e p h y s i c a l

s i t u a t i o n w a r r a n t e d i t . T h e t h i n l a y e r N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s h a v e b e e n w i d e l y

u s e d f o r a v a r i e t y o f a p p l i c a t i o n s .

4 . 1 T h i n - L a y e r E q u a t i o n s

A p p l y i n g t h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n t o E q s . ( 3 . 1 2 ) , ( 3 . 1 3 ) a n d E q . ( 3 . 1 4 ) ,

w h e r e a l l t h e v i s c o u s t e r m s a s s o c i a t e d w i t h d e r i v a t i v e s a r e n e g l e c t e d w e o b t a i n

@

b

Q + @

b

E + @

b

F = R e

; 1

@

b

S ( 4 1 )

w h e r e

b

S = J

; 1

2

6

4

0

x

m

1

+

y

m

2

x

m

2

+

y

m

3

x

( u m

1

+ v m

2

+ m

4

) +

y

( u m

2

+ v m

3

+ m

5

)

3

7

5

( 4 2 a )

w i t h

m

1

= ( 4

x

u

; 2

y

v

) = 3

m

2

= (

y

u

+

x

v

)

m

3

= ( ; 2

x

u

+ 4

y

v

) = 3

m

4

= P r

; 1

( ; 1 )

; 1

x

@

( a

2

)

m

5

= P r

; 1

( ; 1 )

; 1

y

@

( a

2

)

( 4 2 b )

1 2



4 . 2 T u r b u l e n c e M o d e l

T h e v e r y p o l u l a r a n d w i d e l y u s e d B a l d w i n a n d L o m a x 1 4 ] t u r b u l e n c e m o d e l

h a s b e e n t h e m a i n w o r k h o r s e f o r m o s t c o m p u t a t i o n a l e o r t s , a t l e a s t u n t i l r e c e n t l y

c i r c a 1 9 9 0 . I t i s a n a l g e b r a i c m i x i n g l e n g t h t w o - l a y e r m o d e l i n c l u d e d t o a p p r o x i m a t e

t h e e e c t o f t u r b u l e n c e . T h e i n n e r l a y e r i s g o v e r n e d b y t h e P r a n d t l m i x i n g l e n g t h

w i t h V a n D r i e s t d a m p i n g , a n d t h e o u t e r l a y e r f o l l o w s t h e C l a u s e r a p p r o x i m a t i o n .

C o m p u t e d v o r t i c i t y i s u s e d i n d e n i n g t h e r e f e r e n c e m i x i n g l e n g t h r e q u i r e d f o r t h e

o u t e r l a y e r . T h e t u r b u l e n c e m o d e l i s d e t a i l e d b y B a l d w i n a n d L o m a x 1 4 ] a n d w a s

d e s i g n e d s p e c i c a l l y f o r u s e w i t h t h e t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n . T h e m o d e l i s m o s t

a p p r o p r i a t e t o a t t a c h e d a n d m i l d l y s e p a r a t e d b o u n d a r y l a y e r s . N o a t t e m p t i s m a d e

t o m o d e l w a k e r e g i o n s a n d m a s s i v e l y s e p a r a t e d o w s . T h e m o d e l i s u s e d i n b o t h

t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n s w i t h v e r y l i t t l e m o d i c a t i o n . I t h a s b e e n v e r y s u c c e s s f u l

f o r c o m p u t i n g b o u n d a r y l a y e r g r o w t h , s h o c k - b o u n d a r y l a y e r i n t e r a c t i o n , s e p a r a t i o n

p o i n t s o r l i n e s a n d o t h e r b o u n d a r y l a y e r p r o p e r t i e s .

M o r e m o d e r n t u r b u l e n c e m o d e l s i n c l u d e t h e J o h n s o n - K i n g m o d e l x x ] , t h e o n e

e q u a t i o n s m o d e l s o f B a l d w i n a n d B a r t h x x ] a n d S p a l a r t a n d A l m a r a s x x ] . T h e s e

m o d e l s a r e m o r e c o m p l i c a t e d t h a n B a l d w i n a n d L o m a x , b u t h a v e b e e n s h o w n t o

b e m o r e a c c u a t e a n d a p p l i c a b l e t o s e p a r a t e d a n d w a k e s o w s . A w i d e v a r i e t y o f

t w o e q u a t i o n t u r b u l e n c e m o d e l s a r e a v a i l a b l e , ( e . g . x x x x x x x x ] ) a n d a s o n e q u i c k l y

n d s o u t i n t h i s a r e a , n o s i n g l e m o d e l s e e m s u n i v e r s a l o r c o m p l e t e l y a d e q u a t e .

O n e a s p e c t o f u s i n g t u r b u l e n c e m o d e l s w h i c h i s o f t e n o v e r l o o k e d i s t h a t a d e q u a t e

r e s o l u t i o n i s a l w a y s r e q u i r e d t o g e t r e a s o n a b l e r e s u l t s r e g u a r d l e s s o f t h e t u r b u l e n c e

m o d e l e m p l o y e d . T y p i c a l l y , t h e i n a c c u r a c y o r i n a d e q u a c y o f a s o l u t i o n i s n o t t h e

f a u l t o f t h e t u r b u l e n c e m o d e l , b u t r a t h e r a l a c k o f p r o p e r r e s o l u t i o n i n t h e v i s c o u s

a n d e v e n i n v i s c i d r e g i o n s o f t h e o w e l d .

1 3



V . N u m e r i c a l A l g o r i t h m

T h e r e a r e a n u m b e r o f c o n s i d e r a t i o n s t o w e i g h w h e n c h o o s i n g a n u m e r i c a l a l -

g o r i t h m t o a p p l y t o a s e t o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . I f w e r e s t r i c t o u r s e l v e s

t o n i t e d i e r e n c e s c h e m e s t h e n t h e p o s s i b i l i t i e s a r e n a r r o w e d s o m e w h a t t o t h e t w o

c l a s s i c a l a p p r o a c h e s f o r t i m e i n t e g r a t i o n , e x p l i c i t a n d i m p l i c i t t e c h n i q u e s . T h e m e r -

i t s o f e i t h e r o f t h e s e t w o h a v e b e e n e x t e n s i v e l y d i s c u s s e d i n t h e l i t e r a t u r e . E x p l i c i t

m e t h o d s t y p i c a l l y r e q u i r e l e s s c o m p u t a t i o n a l w o r k a n d a r e s i m p l e r b o t h i n d e r i v a -

t i o n a n d a p p l i c a t i o n . I m p l i c i t m e t h o d s , w h i l e c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e , h a v e l e s s

s t r i n g e n t s t a b i l i t y b o u n d s ( c l a s s i c a l s t a b i l i t y a n a l y s i s s h o w s u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y

b u t i n p r a c t i c e o n n o n l i n e a r p r o b l e m s b o u n d s a r e e n c o u n t e r e d ) .

I m p l i c i t n u m e r i c a l s c h e m e s a r e u s u a l l y c h o s e n b e c a u s e w e w i s h t o o b t a i n s o l u -

t i o n s w h i c h r e q u i r e n e g r i d s p a c i n g f o r n u m e r i c a l r e s o l u t i o n , a n d w e d o n o t w a n t

t o l i m i t t h e t i m e s t e p s b y e m p l o y i n g a c o n d i t i o n a l l y s t a b l e e x p l i c i t s c h e m e . E x p l i c i t

s c h e m e s a r e v e r y u s e f u l a n d s c h e m e s s u c h a s M a c C o r m a c k ' s e x p l i c i t a l g o r i t h m 4 ]

h a v e s e n n a l o t o f u s e a n d a r e e v e n p o p u l a r i n w i d e u s e t o d a y . T h e e x t r a w o r k

r e q u i r e d f o r a n i m p l i c i t s c h e m e i s u s u a l l y o s e t b y t h e a d v a n t a g e s o b t a i n e d b y t h e

i n c r e a s e d s t a b i l i t y l i m i t s , a n d i n g e n e r a l i m p l i c i t s c h e m e s h a v e b e e n v e r y u s e f u l a n d

s u c c e s s f u l f o r a v a r i e t y o f i n v i s c i d a n d v i s c o u s o w e l d c a l c u l a t i o n s .

W i t h t h e a d v e n t o f h i g h s p e e d v e c t o r a n d p a r a l l e l p r o c e s s o r s o n e m u s t a l s o c o n -

s i d e r t h e d e g r e e t o w h i c h a c e r t a i n a l g o r i t h m c a n b e v e c t o r i z e d / p a r a l l e l i z e d w h e n

c h o o s i n g a s c h e m e . A s a r u l e e x p l i c i t s c h e m e s a r e m o r e e a s i l y v e c t o r i z e d / p a r a l l e l i z e d

t h a n i m p l i c i t s c h e m e s . B u t i m p l i c i t s c h e m e s c a n b e f u l l y v e c t o r i z e d a n d h a v e

b e e n s u c e s s f u l l y e m p l o y e d o n p a r a l l e l m a c h i n e s . T h i s r e q u i r e s t h o u g h a s u b s t a n t i a l

a m o u n t o f t e m p o r a r y s t o r a g e a n d a c o m m i t m e n t t o t h e d e t a i l s o f d a t a m a n a g e m e n t ,

s e e f o r i n s t a n c e , L o m a x a n d P u l l i a m 1 5 ] .

A n o t h e r c o n s i d e r a t i o n i s t h e q u e s t i o n o f t i m e a c c u r a c y v e r s e s n o n - t i m e - a c c u r a t e

s t e a d y s t a t e i t e r a t i o n . F o r u n s t e a d y , t r a n s i e n t p r o b l e m s w e w i s h t o e m p l o y t i m e

a c c u r a t e m e t h o d s , i n i t i a l i z e t h e o w w i t h s o m e r e a l i z a b l e s t a t e a n d i n t e g r a t e f o r -

w a r d i n t i m e w i t h t i m e s t e p s c o m m e n s u r a t e w i t h t h e u n s t e a d y p h e n o m e n a w h i c h

i s b e i n g c a l c u l a t e d . B o t h i m p l i c i t a n d e x p l i c i t m e t h o d s a r e c a p a b l e o f c o m p u t i n g

t i m e a c c u r a t e l y . I n s t e a d y s t a t e c a l c u l a t i o n w e w i s h t o i n t e g r a t e f r o m s o m e a r b i -

t r a r y s t a t e t o t h e a s y m p t o t i c s o l u t i o n i n a n y m a n n e r w h i c h w i l l g e t u s t h e r e i n t h e

l e a s t a m o u n t o f c o m p u t a t i o n a l w o r k . N o n - t i m e - a c c u r a t e t e c h n i q u e s ( f o r i n s t a n c e

r e l a x a t i o n m e t h o d s , v a r i a b l e t i m e s t e p s , m a t r i x p r e c o n d i t i o n i n g , l a r g e t i m e s t e p s )

c a n b e e m p l o y e d a s l o n g a s t h e y a r e c o n v e r g e n t a n d d o n o t d i s t o r t t h e s t e a d y s t a t e

e q u a t i o n s s o a s t o p r o d u c e i n a c c u r a t e r e s u l t s . T h e m e t h o d s p r e s e n t e d b e l o w c a n b e

e m p l o y e d e i t h e r f o r t i m e a c c u r a t e c a l c u l a t i o n s o r f o r s t e a d y s t a t e r a p i d l y c o n v e r g e n t

s o l u t i o n s .

T h e a l g o r i t h m t o b e p r e s e n t e d i s a n i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n n i t e

d i e r e n c e s c h e m e w h i c h c a n b e e i t h e r r s t o r s e c o n d o r d e r a c c u r a t e i n t i m e . L o c a l

t i m e l i n e a r i z a t i o n s a r e a p p l i e d t o t h e n o n l i n e a r t e r m s a n d a n a p p r o x i m a t e f a c t o r -

1 4



i z a t i o n o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l i m p l i c i t o p e r a t o r i s u s e d t o p r o d u c e l o c a l l y o n e -

d i m e n s i o n a l o p e r a t o r s . T h i s r e s u l t s i n b l o c k t r i d i a g o n a l m a t r i c e s , w h i c h a r e e a s y

t o s o l v e . T h e s p a t i a l d e r i v a t i v e t e r m s a r e a p p r o x i m a t e d w i t h s e c o n d o r d e r c e n t r a l

d i e r e n c e s . E x p l i c i t a n d i m p l i c i t a r t i c i a l d i s s i p a t i o n t e r m s a r e a d d e d t o a c h i e v e

n o n l i n e a r s t a b i l i t y . A s p a t i a l l y v a r i a b l e t i m e s t e p i s u s e d t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e

f o r s t e a d y - s t a t e c a l c u l a t i o n s . A d i a g o n a l f o r m o f t h e a l g o r i t h m i s a l s o d i s c u s s e d ,

w h i c h p r o d u c e s a c o m p u t a t i o n a l l y e c i e n t m o d i c a t i o n o f t h e s t a n d a r d a l g o r i t h m

w h e r e t h e d i a g o n a l i z a t i o n r e s u l t s i n s c a l a r t r i d i a g o n a l o r p e n t a d i a g o n a l o p e r a t o r s

i n p l a c e o f t h e b l o c k o p e r a t o r s . T h i s d i a g o n a l f o r m o f t h e a l g o r i t h m p r o d u c e s a

r o b u s t , r a p i d a n d v e r s a t i l e s c h e m e f o r s t e a d y s t a t e c a l c u l a t i o n s . W e a l s o d i s c u s s

t h e d e t a i l s o f a m a t r i x r e d u c t i o n s c h e m e , d u e t o B a r t h a n d S t e g e r 1 6 ] w h e r e t h e

b l o c k m a t r i c e s o f t h e s t a n d a r d i m p l i c i t s c h e m e a r e r e d u c e d t o s e t s o f l o w e r r a n k

m a t r i c e s ( e . g . t w o s c a l a r s a n d a 2 2 i n 2 - D ) .

5 . 1 I m p l i c i t T i m e D i e r e n c i n g

C o n s i d e r E q . ( 4 . 1 ) ( t h e d e r i v a t i o n w i l l b e d o n e f o r t h e t h i n l a y e r e q u a t i o n s b u t

i s e a s i l y e x t e n d e d t o t h e f u l l N a v i e r - S t o k e s ) a n d a p p l y a n i m p l i c i t t h r e e p o i n t t i m e

d i e r e n c i n g s c h e m e o f t h e f o r m , W a r m i n g a n d B e a m 1 7 ]

b

Q

n

=

# t

1 + '

@

@ t

b

Q

n

+

t

1 + '

@

@ t

b

Q

n

+

'

1 + '

b

Q

n ; 1

+ O

( # ;

1

2

; ' ) t

2

+ t

3

( 5 1 )

w h e r e

b

Q

n

=

b

Q

n + 1

;

b

Q

n

a n d

b

Q

n

=

b

Q ( n t ) T h e p a r a m e t e r s # a n d ' c a n b e

c h o s e n t o p r o d u c e d i e r e n t s c h e m e s o f e i t h e r r s t o r s e c o n d o r d e r a c c u r a c y i n t i m e .

F o r # = 1 a n d ' = 0 , w e h a v e t h e r s t o r d e r E u l e r i m p l i c i t s c h e m e , a n d f o r

# = 1 a n d ' = 1 = 2 , t h e t h r e e p o i n t i m p l i c i t s c h e m e .

L e t u s r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e r s t o r d e r i n t i m e s c h e m e ( a l t h o u g h a l l o f t h e

s u b s e q u e n t d e v e l o p m e n t c a n e a s i l y b e e x t e n d e d t o a n y s e c o n d o r d e r s c h e m e f o r m e d

f r o m E q . ( 5 . 1 ) ) . A p p l y i n g E q . ( 5 . 1 ) t o E q . ( 4 . 1 ) , r e s u l t s i n

b

Q

n + 1

;

b

Q

n

+ h

b

E

n + 1

+

b

F

n + 1

; R e

; 1

b

S

n + 1

= 0 ( 5 2 )

w i t h h = t

1 5



5 . 2 L o c a l T i m e L i n e a r i z a t i o n s

W e w i s h t o s o l v e E q . ( 5 . 2 ) f o r

b

Q

n + 1

g i v e n

b

Q

n

. T h e u x v e c t o r s

b

E ,

b

F a n d

b

S a r e n o n l i n e a r f u n c t i o n s o f

b

Q a n d t h e r e f o r e E q . ( 5 . 2 ) i s n o n l i n e a r i n

b

Q

n + 1

. T h e

n o n l i n e a r t e r m s a r e l i n e a r i z e d i n t i m e a b o u t

b

Q

n

b y a T a y l o r s e r i e s s u c h t h a t

b

E

n + 1

=

b

E

n

+

b

A

n

b

Q

n

+ O ( h

2

)

b

F

n + 1

=

b

F

n

+

b

B

n

b

Q

n

+ O ( h

2

)

R e

; 1

b

S

n + 1

= R e

; 1

h

b

S

n

+

c

M

n

b

Q

n

)

i

+ O ( h

2

)

( 5 3 )

w h e r e

b

A = @

b

E = @

b

Q ,

b

B = @

b

F = @

b

Q a n d

c

M = @

b

S = @

b

Q a r e t h e u x J a c o b i a n s a n d

b

Q

n

i s O ( h )

N o t e t h a t t h e l i n e a r i z a t i o n s a r e s e c o n d o r d e r a c c u r a t e a n d s o i f a s e c o n d o r -

d e r t i m e s c h e m e h a d b e e n c h o s e n t h e l i n e a r i z a t i o n s w o u l d n o t d e g r a d e t h e t i m e

a c c u r a c y .

T h e J a c o b i a n m a t r i c e s a r e

b

A o r

b

B =

2

6

4

t

x

y

0

; u +

x

2

t

+ ; ( ; 2 )

x

u

y

u ; ( ; 1 )

x

v ( ; 1 )

x

; v +

y

2

x

v ; ( ; 1 )

y

u

t

+ ; ( ; 2 )

y

v ( ; 1 )

y

2

; a

1

]

x

a

1

; ( ; 1 ) u

y

a

1

; ( ; 1 ) v +

t

3

7

5

( 5 4 )

w i t h a

1

= ( e = ) ;

2

, =

x

u +

y

v

2

=

1

2

( ; 1 ) ( u

2

+ v

2

) , a n d = o r

f o r

b

A o r

b

B , r e s p e c t i v e l y .

T h e v i s c o u s u x J a c o b i a n i s

c

M = J

; 1

2

6

4

0 0 0 0

m

2 1

1

@

(

; 1

)

2

@

(

; 1

) 0

m

3 1

2

@

(

; 1

)

3

@

(

; 1

) 0

m

4 1

m

4 2

m

4 3

m

4 4

3

7

5

J ( 5 5 a )

w h e r e

m

2 1

= ;

1

@

( u = ) ;

2

@

( v = )

m

3 1

= ;

2

@

( u = ) ;

3

@

( v = )

m

4 1

=

4

@

; ( e =

2

) + ( u

2

+ v

2

) =

;

1

@

( u

2

= ) ; 2

2

@

( u v = )

;

3

@

( v

2

= )

m

4 2

= ;

4

@

( u = ) ; m

2 1

m

4 3

= ;

4

@

( v = ) ; m

3 1

m

4 4

=

4

@

(

; 1

)

1

= ( 4 = 3 )

x

2

+

y

2

]

2

= ( = 3 )

x

y

3

=

x

2

+ ( 4 = 3 )

y

2

]

4

= P r

; 1

(

x

2

+

y

2

)

( 5 5 b )

1 6



A p p l y i n g E q s . ( 5 . 3 ) t o E q . ( 5 . 2 ) a n d c o m b i n i n g t h e

b

Q

n

t e r m s p r o d u c e s t h e

\ d e l t a f o r m " o f t h e a l g o r i t h m

h

I + h @

b

A

n

+ h @

b

B

n

; R e

; 1

h @

c

M

i

b

Q

n

=

; h

@

b

E

n

+ @

b

F

n

; R e

; 1

@

b

S

n

( 5 6 )

T h i s i s t h e u n f a c t o r e d f o r m o f t h e b l o c k a l g o r i t h m . W e s h a l l c a l l t h e r i g h t h a n d

s i d e o f E q . ( 5 . 6 ) t h e \ e x p l i c i t " p a r t a n d t h e l e f t h a n d s i d e t h e \ i m p l i c i t " p a r t o f t h e

a l g o r i t h m .

5 . 3 S p a c e D i e r e n c i n g

T h e n e x t s t e p i s t o t a k e t h e c o n t i n u o u s d i e r e n t i a l o p e r a t o r s @

a n d @

a n d

a p p r o x i m a t e t h e m w i t h n i t e d i e r e n c e o p e r a t o r s o n a d i s c r e t e m e s h .

I n t r o d u c i n g a g r i d o f m e s h p o i n t s ( j k ) , v a r i a b l e s a r e d e n e d a t m e s h p o i n t s

a s

u

j k

: = u ( j k ) ( 5 7 )

T h e g r i d s p a c i n g i n t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s c h o s e n t o b e u n i t y s o t h a t

= 1 a n d = 1

S e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r e n c e o p e r a t o r s c a n b e u s e d w h e r e f o r e x a m p l e ,

u

j k

= ( u

j + 1 k

; u

j ; 1 k

) = 2 a n d

u

j k

= ( u

j k + 1

; u

j k ; 1

) = 2 ( 5 8 a )

F o r t h e v i s c o u s d e r i v a t i v e s t h e t e r m s t a k e t h e f o r m

@

(

j k

@

j k

) ( 5 8 b )

w h i c h i s d i e r e n c e d i n t h e c o m p a c t t h r e e p o i n t f o r m a s

(

j k + 1

+

j k

) (

j k + 1

;

j k

) ; (

j k

+

j k ; 1

) (

j k

;

j k ; 1

) ] = 2 ( 5 8 c )

T h e c h o i c e o f t h e t y p e a n d o r d e r o f t h e s p a t i a l d i e r e n c i n g i s i m p o r t a n t b o t h

i n t e r m s o f a c c u r a c y a n d s t a b i l i t y . I n m o s t a p p l i c a t i o n s s e c o n d o r d e r a c c u r a c y h a s

p r o v e n t o b e s u c i e n t p r o v i d e d t h e g r i d r e s o l u t i o n i s r e a s o n a b l e . T h e c h o i c e s f o r

d i e r e n c i n g t y p e i n c l u d e c e n t r a l a n d u p w i n d o p e r a t o r s . T h e s e c h o i c e s a r e d i c t a t e d

b y s t a b i l i t y , a n d i n t h e n e x t s e c t i o n w e d i s c u s s w h a t m o t i v a t e s c e r t a i n c h o i c e s .

1 7



5 . 4 S t a b i l i t y A n a l y s i s o f D i e r e n c e F o r m s

T h e c h o i c e o f t h e t y p e o f d i e r e n c e f o r m s t o u s e f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s c a n

b e j u s t i e d b y a l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s . F o r s i m p l i c i t y , l e t u s e x a m i n e a o n e

d i m e n s i o n a l c o u p l e d s y s t e m o f l i n e a r e q u a t i o n s o f t h e f o r m

Q

t

+ A Q

x

= 0 ( 5 9 )

w h e r e A i s a n a l o g o u s t o t h e u x J a c o b i a n m a t r i x . A s s u m e t h a t A h a s a c o m p l e t e

s e t o f r e a l e i g e n v a l u e s a n d e i g e n v e c t o r s ( a p r o p e r t y t h a t t h e E u l e r u x J a c o b i a n s

h a v e ) t h e n

= X

; 1

A X ( 5 1 0 )

M u l t i p l y i n g E q . ( 5 . 9 ) b y X

; 1

a n d c o m b i n i n g t e r m s u s i n g E q . ( 5 . 1 0 ) w e h a v e

X

; 1

Q

t

+ X

; 1

A X X

; 1

Q

x

= W

t

+ W

x

= 0 ( 5 1 1 )

w i t h W = X

; 1

Q . S i n c e A i s l i n e a r a n d c o n s t a n t t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x X

; 1

c a n

b e b r o u g h t t h r o u g h t h e d e r i v a t i v e s .

T h e r e s u l t i n g s y s t e m i s n o w u n c o u p l e d a n d w e c a n e x a m i n e t h e r e p r e s e n t a t i v e

m o d e l e q u a t i o n

w

t

+ w

x

= 0 ( 5 1 2 )

w h e r e r e p r e s e n t s a n e i g e n v a l u e o f A

W e s h a l l a p p l y d i e r e n t n i t e d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s f o r t h e s p a t i a l d e r i v a -

t i v e a n d u s e F o u r i e r a n a l y s i s t o d e t e r m i n e c o n d i t i o n s o n f o r s t a b i l i t y .

I f t h e s e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r e n c e o p e r a t o r i s a p p l i e d t o t h e m o d e l e q u a t i o n

o n e g e t s

( w

j

)

t

+ ( w

j + 1

; w

j ; 1

) = ( 2 x ) = 0 ( 5 1 3 )

w h e r e j i s t h e s p a t i a l i n d e x . T h i s i s t h e O D E ( o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n )

a p p r o a c h t o t h e a n a l y s i s , s i n c e n o w w e a r e d e a l i n g w i t h a s y s t e m o f O D E ' s .

C l a s s i c a l F o u r i e r a n a l y s i s c a n b e p e r f o r m e d b y a s s u m i n g p e r i o d i c b o u n d a r y

c o n d i t i o n s a n d a s o l u t i o n o f t h e f o r m

w ( x

j

t ) = e

t

e

i j x

( 5 1 4 )

w i t h i =

p

; 1 a n d x = j x

S u b s t i t u t i n g t h i s i n t o E q . ( 5 . 1 2 ) y i e l d s

e

t

e

i j x

+

e

t

e

i ( j + 1 ) x

; e

t

e

i ( j ; 1 ) x

= ( 2 x ) = 0 ( 5 1 5 )

T h e s t a b i l i t y o f t h e O D E i s d e p e n d e n t o n t h e s i g n o f < ( ) ( t h e r e a l p a r t ) .

O b v i o u s l y , i f < ( ) > 0 t h e n w ( x t ) w i l l g r o w u n b o u n d e d l y w i t h t i m e .

1 8



F o r E q . ( 5 . 1 5 )

= ;

;

e

i x

; e

; i x

= ( 2 x ) = ; i s i n ( x ) = x ( 5 1 6 )

S i n c e i s p u r e i m a g i n a r y ( < ( ) = 0 ) t h e s c h e m e i s s t a b l e i n t h e O D E s e n s e i n d e -

p e n d e n t o f t h e s i g n o f

I f o n e - s i d e d d i e r e n c e f o r m u l a s a r e e m p l o y e d , c o n d i t i o n s o n a r i s e . F o r s i m -

p l i c i t y , l e t u s c o n s i d e r r s t o r d e r o n e - s i d e d d i e r e n c e s .

A p p l y i n g f o r w a r d d i e r e n c i n g t o t h e m o d e l E q . ( 5 . 1 2 ) g i v e s

( w

j

)

t

+ ( w

j + 1

; w

j

) = x = 0 ( 5 1 7 )

F o u r i e r a n a l y s i s p r o d u c e s

+

;

e

i x

; 1

= x = 0 ( 5 1 8 )

s o t h a t ,

=

;

1 ; e

i x

= x = 1 ; c o s ( x ) + i s i n ( x ) ] = x ( 5 1 9 )

S i n c e c o s ( x ) i s b o u n d e d b y 1 , < ( ) w i l l b e l e s s t h a n z e r o i f < 0 S o

f o r f o r w a r d s p a t i a l d i e r e n c i n g m u s t b e l e s s t h a n z e r o f o r s t a b i l i t y . A s i m i l a r

a r g u m e n t f o r r s t o r d e r b a c k w a r d d i e r e n c i n g s h o w s t h a t > 0 f o r s t a b i l i t y . I t

c a n b e s h o w n t h a t f o r h i g h e r o r d e r c e n t r a l a n d o n e s i d e d d i e r e n c e s t h e s t a b i l i t y

r e q u i r e m e n t s o n r e m a i n t h e s a m e .

T h e s e r e s u l t s h a v e a d i r e c t a p p l i c a t i o n t o t h e c h o i c e o f d i e r e n c i n g f o r t h e

E u l e r e q u a t i o n s . A s w e s h a l l s e e b e l o w t h e i n v i s c i d u x J a c o b i a n s h a v e e i g e n v a l u e s

( e q u i v a l e n t t o ) w i t h b o t h p o s i t i v e a n d n e g a t i v e s i g n . I n t h e i r b a s i c f o r m t h e

o n l y s t a b l e s p a t i a l d i e r e n c i n g i s c e n t r a l d i e r e n c i n g , b u t a s w e s h a l l s e e w h e n u x

s p l i t t i n g i s u s e d o r w h e n t h e e i g e n v a l u e s c a n b e r e s t r i c t e d t o o n e s i g n t h e n u p w i n d

d i e r e n c i n g c a n b e e m p l o y e d . A c l a s s o f u p w i n d s c h e m e s s h a l l b e d i s c u s s e d i n

S e c t i o n 6 . 2 .

5 . 5 M a t r i x F o r m o f U n f a c t o r e d A l g o r i t h m

W e n o w t u r n t o e x a m i n i n g t h e m a t r i c e s w e g e t w h e n d i e r e n c e f o r m u l a s a r e

a p p l i e d t o t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m . I t i s a l w a y s i n s t r u c t i v e t o e x a m i n e t h e m a t r i x

s t r u c t u r e o f a n y n i t e d i e r e n c e e q u a t i o n . W i t h t h e a p p l i c a t i o n o f c e n t r a l d i e r e n c e s

t o E q s . ( 5 . 6 ) i t i s e a s y t o s h o w t h a t t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m p r o d u c e s a l a r g e b a n d e d

s y s t e m o f a l g e b r a i c e q u a t i o n s . L e t t h e m e s h s i z e i n b e J m a x a n d i n K m a x

1 9



T h e n t h e b a n d e d m a t r i x i s a ( J m a x K m a x 4 ) ( J m a x K m a x 4 ) s q u a r e m a t r i x

o f t h e f o r m

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

] ] ]

] ] ] ]

] ] ] ]

] ] ]

] ] ] ]

; B ; A I A B

] ] ] ]

] ] ]

] ] ] ]

] ] ] ]

] ] ]

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

( 5 2 0 )

w h e r e t h e v a r i a b l e s h a v e b e e n o r d e r e d w i t h j r u n n i n g r s t a n d t h e n k

T h e m a t r i x i s s p a r s e b u t i t w o u l d b e v e r y e x p e n s i v e ( c o m p u t a t i o n a l l y ) t o s o l v e

t h e a l g e b r a i c s y s t e m . F o r i n s t a n c e , f o r a r e a s o n a b l e t w o - d i m e n s i o n a l c a l c u l a t i o n o f

t r a n s o n i c o w p a s t a n a i r f o i l w e c o u l d u s e a p p r o x i m a t e l y 8 0 p o i n t s i n t h e d i r e c t i o n

a n d 4 0 p o i n t s i n t h e d i r e c t i o n . T h e r e s u l t i n g a l g e b r a i c s y s t e m i s a 1 2 , 8 0 0 1 2 , 8 0 0

m a t r i x p r o b l e m t o b e s o l v e d a n d a l t h o u g h w e c o u l d t a k e a d v a n t a g e o f i t s b a n d e d

s p a r s e s t r u c t u r e i t w o u l d s t i l l b e v e r y c o s t l y i n t e r m s o f b o t h C P U t i m e a n d s t o r a g e .

5 . 6 A p p r o x i m a t e F a c t o r i z a t i o n

A s w e h a v e s e e n , t h e i n t e g r a t i o n o f t h e f u l l t w o - d i m e n s i o n a l o p e r a t o r c a n b e

v e r y e x p e n s i v e . O n e w a y t o s i m p l i f y t h e s o l u t i o n p r o c e s s i s t o i n t r o d u c e a n a p -

p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n o f t h e t w o - d i m e n s i o n a l o p e r a t o r i n t o t w o o n e - d i m e n s i o n a l

o p e r a t o r s . T h e i m p l i c i t s i d e o f E q . ( 5 . 6 ) c a n b e w r i t t e n a s

h

I + h

b

A

n

+ h

b

B

n

; h R e

; 1

c

M

n

i

b

Q

n

=

h

I + h

b

A

n

i h

I + h

b

B

n

; h R e

; 1

c

M

n

i

b

Q

n

; h

2

b

A

n

b

B

n

b

Q

n

+ h

2

R e

; 1

b

A

n

c

M

n

b

Q

n

( 5 2 1 )

N o t i n g t h a t

b

Q

n

i s O ( h ) , o n e s e e s t h a t t h e c r o s s t e r m s ( h

2

t e r m s ) a r e s e c o n d

o r d e r i n t i m e a n d c a n b e n e g l e c t e d w i t h o u t l o w e r e i n g t h e t i m e a c c u r a c y b e l o w

s e c o n d o r d e r .

2 0



T h e r e s u l t i n g f a c t o r e d f o r m o f t h e a l g o r i t h m i s

h

I + h

b

A

n

i h

I + h

b

B

n

; h R e

; 1

c

M

n

i

b

Q

n

=

; h

h

b

E

n

+

b

F

n

; R e

; 1

b

S

n

i ( 5 2 2 )

W e n o w h a v e t w o i m p l i c i t o p e r a t o r s e a c h o f w h i c h i s b l o c k t r i d i a g o n a l . T h e

s t r u c t u r e o f t h e b l o c k t r i d i a g o n a l m a t r i x i s

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

] ]

] ] ]

] ] ]

; A I A

] ] ]

] ] ]

] ]

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

( 5 2 3 )

N o t e t h a t t h e t h i n l a y e r i m p l i c i t v i s c o u s t e r m

c

M i s k e p t w i t h t h e f a c t o r .

S i n c e i t i s a t h r e e p o i n t s t e n c i l , i t w i l l n o t a e c t t h e t r i d i a g o n a l s t r u c t u r e . A l s o

w h e n v e c t o r i z a t i o n a n d p a r a l l i z a t i o n i s s u e s a r e c o n s i d e r e d t h e o n e d i m e n s i o n a l f o r m

o f t h e f a c t o r e d a l g o r i t h m w i l l b e a d v a n t a g e o u s .

T h e s o l u t i o n a l g o r i t h m n o w c o n s i s t s o f t w o o n e - d i m e n s i o n a l s w e e p s , o n e i n t h e

a n d o n e i n t h e d i r e c t i o n . T h e b l o c k m a t r i x s i z e i s n o w a t m o s t ( m a x J m a x K m a x ]

4 ) ( m a x J m a x K m a x ] 4 ) . E a c h s t e p r e q u i r e s t h e s o l u t i o n o f a l i n e a r s y s t e m

i n v o l v i n g a b l o c k t r i d i a g o n a l w h i c h i s s o l v e d b y b l o c k L U D ( l o w e r - u p p e r d e c o m p o -

s i t i o n ) . T h e r e s u l t i n g s o l u t i o n p r o c e s s i s m u c h m o r e e c o n o m i c a l t h a n t h e u n f a c t o r e d

a l g o r i t h m i n t e r m s o f c o m p u t e r s t o r a g e a n d C P U t i m e .

5 . 7 R e d u c e d F o r m s o f T h e I m p l i c i t A l g o r i t h m

E v e n t h o u g h t h e f a c t o r i z a t i o n h a s i m p r o v e d t h e e c i e n c y o f t h e b l o c k i m p l i c i t

a l g o r i t h m t h e m a j o r e x p e n s e o f t h e i m p l i c i t s c h e m e s t i l l r e s i d e s i n t h e b l o c k t r i d i -

a g o n a l i n v e r s i o n s . C o m p a r e d t o s t a n d a r d e x p l i c i t a l g o r i t h m s t h e i m p l i c i t s c h e m e

i s s t i l l c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e . T h e i n c r e a s e d s t a b i l i t y b o u n d s o f t h e i m p l i c i t

s c h e m e o s e t s s o m e o f t h i s d i s a d v a n t a g e e s p e c i a l l y f o r p r o b l e m s w h e r e r e n e d g r i d s

a r e u s e d . I n g e n e r a l , t h i s h o l d s t r u e f o r t i m e a c c u r a t e a p p l i c a t i o n s w h e r e m e s h

r e n e m e n t w o u l d u n d u l y r e s t r i c t t h e t i m e s t e p s f o r e x p l i c i t s c h e m e s , b u t d e v e l o p -

m e n t s i n m u l t i g r i d t e c h n i q u e s , s e e J e s p e r s e n 1 8 ] f o r a r e v i e w , a p p l i e d t o s t e a d y

s t a t e p r o b l e m s r e q u i r e s u s t o r e e x a m i n e t h e i m p l i c i t s c h e m e s . O n e w a y t o c a p t u r e

b a c k t h e a d v a n t a g e i s t o m a k e t h e i m p l i c i t s c h e m e l e s s c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e ,

2 1



w e w i l l d i s c u s s o t h e r w a y s , s u c h a s a c c e l e r a t e d c o n v e r g e n c e a n d i m p r o v e d a c c u r a c y ,

i n l a t e r s e c t i o n s .

T o i m p r o v e t h e e c i e n c y o f a n u m e r i c a l s c h e m e w e c a n m o d i f y o r s i m p l i f y t h e

a l g o r i t h m s o t h a t t h e c o m p u t a t i o n a l w o r k i s d e c r e a s e d . M o s t o f t h e c o m p u t a t i o n a l

w o r k f o r t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m i s t i e d t o t h e b l o c k t r i d i a g o n a l s o l u t i o n p r o c e s s .

O n e w a y t o r e d u c e t h a t w o r k w o u l d b e t o r e d u c e t h e b l o c k s i z e f o r t h e t r i d i a g o -

n a l s . T h i s c a n b e a c c o m p l i s h e d b y r e d u c i n g t h e e q u a t i o n s e t f r o m f o u r v a r i a b l e s

( d e n s i t y , x - m o m e n t u m , y - m o m e n t u m , a n d e n e r g y ) t o t h r e e v a r i a b l e s ( d e n s i t y a n d

t h e t w o m o m e n t u m ) b y a s s u m i n g c o n s t a n t t o t a l e n t h a l p y , H = ( e + p ) = = H

0

o r s i m i l a r t h e r m o d y n a m i c a p p r o x i m a t i o n s . T h e e n e r g y e q u a t i o n i s t h e n r e p l a c e b y

t h e t h e r m o d y n a m i c r e l a t i o n a n d t h e s i m p l i e d s e t o f e q u a t i o n s c a n b e s o l v e d . S u c h

a p p r o x i m a t i o n s c a n b e r e s t r i c t i v e i n t e r m s o f t h e p h y s i c a l s i t u a t i o n s w h e r e t h e y c a n

b e a p p l i e d .

5 . 7 a D i a g o n a l F o r m

T h e c o m p u t a t i o n a l w o r k c a n a l s o b e d e c r e a s e d b y i n t r o d u c i n g a d i a g o n a l i z a t i o n

o f t h e b l o c k s i n t h e i m p l i c i t o p e r a t o r s a s d e v e l o p e d b y P u l l i a m a n d C h a u s s e e 1 9 ] .

T h e e i g e n s y s t e m o f t h e u x J a c o b i a n s

b

A a n d

b

B a r e u s e d i n t h i s c o n s t r u c t i o n . F o r

n o w l e t s u s a g a i n r e s t r i c t o u r s e l v e s j u s t t o t h e E u l e r e q u a t i o n s , t h e a p p l i c a t i o n t o

t h e N a v i e r - S t o k e s i s d i s c u s s e d l a t e r .

T h e u x J a c o b i a n s

b

A a n d

b

B e a c h h a v e r e a l e i g e n v a l u e s a n d a c o m p l e t e s e t o f

e i g e n v e c t o r s . T h e r e f o r e , t h e J a c o b i a n m a t r i c e s c a n b e d i a g o n a l i z e d , s e e W a r m i n g ,

B e a m a n d H y e t t 2 0 ] ,

= T

; 1

b

A T

a n d

= T

; 1

b

B T

( 5 2 4 )

w i t h T

t h e m a t r i x w h o s e c o l u m n s a r e t h e e i g e n v e c t o r s o f

b

A a n d T

t h e c o r r e s p o n d -

i n g e i g e n v e c t o r m a t r i x f o r

b

B . T h e y a r e w r i t t e n o u t i n t h e A p p e n d i x .

H e r e w e t a k e t h e f a c t o r e d a l g o r i t h m i n d e l t a f o r m , E q . ( 5 . 2 2 ) a n d r e p l a c e

b

A

a n d

b

B w i t h t h e i r e i g e n s y s t e m d e c o m p o s i t i o n s .

h

T

T

; 1

+ h

T

T

; 1

i

T

T

; 1

+ h

;

T

T

; 1

Q

n

= t h e e x p l i c i t r i g h t h a n d s i d e o f E q ( 5 2 2 ) =

b

R

n

( 5 2 5 )

A t t h i s p o i n t E q . ( 5 . 2 2 ) a n d ( 5 . 2 5 ) a r e e q u i v a l e n t . A m o d i e d f o r m o f E q .

( 5 . 2 5 ) c a n b e o b t a i n e d b y f a c t o r i n g t h e T

a n d T

e i g e n v e c t o r m a t r i c e s o u t s i d e t h e

s p a t i a l d e r i v a t i v e t e r m s

a n d

. T h e e i g e n v e c t o r m a t r i c e s a r e f u n c t i o n s o f a n d

a n d t h e r e f o r e t h i s m o d i c a t i o n r e d u c e s t h e t i m e a c c u r a c y t o a t m o s t r s t o r d e r

i n t i m e , a s s h o w n i n 1 9 ] . T h e r e s u l t i n g e q u a t i o n s a r e

T

I + h

]

b

N I + h

] T

; 1

b

Q

n

=

b

R

n

( 5 2 6 )

2 2



w h e r e

b

N = T

; 1

T

, s e e A p p e n d i x .

T h e e x p l i c i t s i d e o f t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m ( t h e s t e a d y - s t a t e n i t e d i e r e n c e

e q u a t i o n s ) i s e x a c t l y t h e s a m e a s i n t h e o r i g i n a l a l g o r i t h m , E q . ( 5 . 2 2 ) . T h e m o d i -

c a t i o n s a r e r e s t r i c t e d t o t h e i m p l i c i t s i d e a n d s o i f t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m c o n v e r g e s ,

t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n w i l l b e i d e n t i c a l t o o n e o b t a i n e d w i t h t h e u n m o d i e d a l -

g o r i t h m . I n f a c t , l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s w o u l d s h o w t h a t t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m

h a s e x a c t l y t h e s a m e u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y a s t h e o r i g i n a l a l g o r i t h m . ( T h i s i s b e -

c a u s e t h e l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s a s s u m e s c o n s t a n t c o e c i e n t s a n d d i a g o n a l i z e s t h e

b l o c k s t o s c a l a r s , t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m t h e n r e d u c e s t o t h e u n m o d i e d a l g o r i t h m . )

T h e m o d i c a t i o n ( p u l l i n g t h e e i g e n v e c t o r m a t r i c e s o u t s i d e t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e s )

o f t h e i m p l i c i t o p e r a t o r d o e s a e c t t h e t i m e a c c u r a c y o f t h e a l g o r i t h m . I t r e d u c e s

t h e s c h e m e t o a t m o s t r s t o r d e r i n t i m e a n d a l s o g i v e s t i m e a c c u r a t e s h o c k c a l c u -

l a t i o n s a n o n c o n s e r v a t i v e f e a t u r e , i . e . , e r r o r s i n s h o c k s p e e d s a n d s h o c k j u m p s , s e e

1 9 ] . T h e s t e a d y - s t a t e i s i n f u l l c o n s e r v a t i o n l a w f o r m s i n c e t h e s t e a d y - s t a t e e q u a -

t i o n s a r e u n m o d i e d . A l s o , c o m p u t a t i o n a l e x p e r i m e n t s b y P u l l i a m a n d C h a u s s e e

1 9 ] h a v e s h o w n t h a t t h e c o n v e r g e n c e a n d s t a b i l i t y l i m i t s o f t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m

a r e s i m i l a r t o t h a t o f t h e u n m o d i e d a l g o r i t h m .

T h e d i a g o n a l a l g o r i t h m r e d u c e s t h e b l o c k t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n t o 4 4 m a t r i x

m u l t i p l i e s a n d s c a l a r t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n s . T h e o p e r a t i o n c o u n t a s s o c i a t e d w i t h

t h e i m p l i c i t s i d e o f t h e f u l l b l o c k a l g o r i t h m i s 4 1 0 m u l t i p l i e s , 3 5 6 a d d s , a n d 1 0

d i v i d e s , a t o t a l o f 7 7 6 o p e r a t i o n s , w h i l e t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m r e q u i r e s 2 3 3 m u l t i -

p l i e s , 1 2 5 a d d s , a n d 2 6 d i v i d e s o r 3 8 4 o p e r a t i o n s . A d d i n g i n t h e e x p l i c i t s i d e a n d

o t h e r o v e r h e a d s u c h a s I / O ( i n p u t / o u t p u t ) a n d i n i t i a l i z a t i o n , t h e o v e r a l l s a v i n g s i n

c o m p u t a t i o n a l w o r k c a n b e a s h i g h a s 4 0 % . I n f a c t t h e c o m p u t a t i o n a l w o r k c a n b e

f u r t h e r d e c r e a s e d b y n o t i n g t h a t t h e r s t t w o e i g e n v a l u e s o f t h e s y s t e m a r e i d e n t i c a l

( s e e A p p e n d i x ) . T h i s a l l o w s u s t o c o m b i n e t h e c o e c i e n t c a l c u l a t i o n s a n d p a r t o f

t h e i n v e r s i o n w o r k f o r t h e r s t t w o s c a l a r o p e r a t o r s .

T h e d i a g o n a l a l g o r i t h m a s p r e s e n t e d a b o v e i s r e a l l y o n l y r i g o r o u s l y v a l i d f o r t h e

E u l e r e q u a t i o n s . T h i s i s b e c a u s e w e h a v e n e g l e c t e d t h e i m p l i c i t l i n e a r i z a t i o n o f t h e

v i s c o u s u x

b

S

n

i n t h e i m p l i c i t o p e r a t o r f o r t h e d i r e c t i o n . T h e v i s c o u s u x J a c o b i a n

c

M

n

i s n o t s i m u l t a n e o u s l y d i a g o n a l i z a b l e w i t h t h e u x J a c o b i a n

b

B

n

a n d t h e r e f o r e t o

r e t a i n t h e f u l l d i a g o n a l i z a t i o n w e n e g l e c t i t . F o r v i s c o u s o w s w e h a v e i n v e s t i g a t e d

f o u r o p t i o n s . O n e p o s s i b i l i t y i s t h e u s e t h e b l o c k t r i d i a g o n a l a l g o r i t h m i n t h e

d i r e c t i o n a n d i n c l u d e t h e v i s c o u s J a c o b i a n

c

M

n

. T h i s i n c r e a s e s t h e c o m p u t a t i o n a l

w o r k a n d r e s t r i c t s u s f r o m u s i n g s o m e o f t h e c o n v e r g e n c e a c c e l e r a t i o n t e c h n i q u e s

w h i c h w i l l b e d i s c u s s e d b e l o w . A n o t h e r o p t i o n i s t o i n t r o d u c e a t h i r d f a c t o r t o t h e

i m p l i c i t s i d e o f E q . ( 8 . 2 ) w h e r e w e u s e

h

I ; h R e

; 1

c

M

n

i

( 5 2 7 )

T h i s a g a i n i n c r e a s e s t h e c o m p u t a t i o n a l w o r k s i n c e w e n o w h a v e a n a d d e d b l o c k

t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n . W e t a k e t h e s e m e a s u r e s t h o u g h b e c a u s e o f t h e q u e s t i o n a b l e

2 3



s t a b i l i t y o f j u s t c o m p l e t e l y n e g l e c t i n g t h e i m p l i c i t v i s c o u s t e r m s . T h e t h i r d o p t i o n

i s t o t h r o w c a u t i o n t o t h e w i n d a n d a c t u a l l y n e g l e c t t h e v i s c o u s J a c o b i a n , t h e r e b y

g a i n i n g t h e i n c r e a s e e c i e n c y o f t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m . A s l o n g a s t h e a l g o r i t h m

r e m a i n s s t a b l e a n d c o n v e r g e n t , t h e s t e a d y s t a t e o b t a i n e d i s i d e n t i c a l f o r a l l t h r e e

o p t i o n s s i n c e t h e e x p l i c i t s i d e i s u n c h a n g e d . T h e f o u r t h o p t i o n i s t o i n c l u d e a

d i a g o n a l t e r m o n t h e i m p l i c i t s i d e w h i c h i s a n a p p r o x i m a t i o n t o t h e v i s c o u s J a c o b i a n

e i g e n v a l u e s . T h e e s t i m a t e ( t a k e n f r o m a n e x a m i n a t i o n o f t h e t e r m s o f t h e J a c o b i a n

c

M ) c u r r e n t l y u s e d i s

v

( ) = R e

; 1

J

; 1

;

2

x

+

2

y

J

; 1

v

( ) = R e

; 1

J

; 1

;

2

x

+

2

y

J

; 1

( 5 2 8 a )

w h i c h a r e a d d e d t o t h e a p p r o p r i a t e i m p l i c i t o p e r a t o r s i n E q . ( 5 . 2 6 ) w i t h a d i e r -

e n c i n g s t e n c i l t a k e n f r o m E q . ( 5 . 8 b ) . T h e n e w f o r m o f t h e d i a g o n a l a l l g o r i t h m i s

g i v e n a s

T

I + h

; h I

v

( ) ]

b

N I + h

; h I

v

( ) ] T

; 1

b

Q

n

=

b

R

n

( 5 2 8 b )

T h e t e r m s i n E q . ( 5 . 2 8 a ) w h i c h a r e c o n t a i n e d u n d e r t h e o v e r b a r a r e d i s t i n g u i s h e d

f r o m t h e J

; 1

b e c a u s e i n t h e a p p l i c a t i o n t o t h e d i e r e n c e f o r m s r e q u i r e t h o s e

t e r m s t o b e a v e r a g e d f a s h i o n a s i n E q . ( 5 . 8 c ) . T h e t e r m i s n o t a d d e d i f t h e t h i n

l a y e r a p p r o x i m a t i o n i s u s e d . I n a l l t h e a b o v e c a s e s t h e e x p l i c i t v i s c o u s o p e r a t o r i s

u n c h a n g e d f r o m t h e s t a n d a r d a l g o r i t h m .

W e h a v e c o m p a r e d t h e f o u r o p t i o n s f o r a n u m b e r o f t e s t c a s e s . F o r t h e r s t

o p t i o n , b l o c k t r i d i a g o n a l w i t h s e c o n d o r d e r i m p l i c i t d i s s i p a t i o n t h e c o n v e r g e n c e r a t e

w a s t h e s l o w e s t . F o r t h e s e c o n d o p t i o n , t h e t h i r d f a c t o r , f a s t c o n v e r g e n c e r a t e s a n d

s t a b i l i t y w e r e o b t a i n e d a t t h e e x p e n s e o f m o r e c o m p u t a t i o n . T h e t h i r d o p t i o n ,

n e g l e c t i n g t h e v i s c o u s u x J a c o b i a n , p r o d u c e d i d e n t i c a l s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e

a s t h e s e c o n d o p t i o n i n m o s t c a s e s b u t r e q u i r e d l e s s c o m p u t a t i o n a l w o r k . I n t h e

f o u r t h o p t i o n ( w h i c h i s t h e r e c o m m e n d e d f o r m ) t h e c o n v e r g e n c e r a t e s a r e t y p i c a l l y

t h e b e s t a n d t h e o v e r a l l r o b u s t n e s s o f a n u m e r i c a l c o d e i s i m p r o v e d . I n a l l c a s e s

t h e c o n v e r g e d s o l u t i o n s a r e i d e n t i c a l .

5 . 7 b P r e s s u r e { V e l o c i t y S p l i t t i n g

A n o t h e r w a y i s t o r e d u c e t h e b l o c k s i z e b y s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n s a s p r o -

p o s e d b y S t e g e r 2 1 ] . T h i s w a s o r i g i n a l l y r e s t r i c t e d t o C a r t e s i a n v a r i a b l e s . B a r t h

a n d S t e g e r 1 6 ] h a v e r e m o v e d s o m e o f t h i s r e s t r i c t i o n a n d d e v e l o p e d a n a l g o r i t h m

w h e r e t w o s c a l a r t r i d i a g o n a l s a n d o n e b l o c k t w o b y t w o t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n i s

r e q u i r e d . T h e b a s i c c o n c e p t c a n b e d e m o n s t r a t e d i n t w o - d i m e n s i o n a l C a r t e s i a n

c o o r d i n a t e s , s e e B a r t h a n d S t e g e r 1 6 ] f o r t h e e x t e n s i o n t o g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s .

2 4



T h e d e v e l o p m e n t o f t h e s o u n d s p e e d - v e l o c i t y s p l i t t i n g b e g i n s b y c o n s i d e r i n g

t h e n o n c o n s e r v a t i v e f o r m o f t h e E u l e r e q u a t i o n s

@

t

R + M @

x

R + N @

y

R = 0 ( 5 2 9 a )

w h e r e

R =

0

B

@

u

v

p

1

C

A

M =

2

6

4

u 0 0

0 u 0

; 1

0 0 u 0

0 p 0 u

3

7

5

N =

2

6

4

v 0 0

0 v 0 0

0 0 v

; 1

0 0 p v

3

7

5

( 5 2 9 b )

T h e e i g e n v a l u e s o f c o e c i e n t m a t r i c e s , M a n d N , a r e t h e u s u a l c h a r a c t e r i s t i c s p e e d s

M

= u u u + c u ; c ]

N

= v v v ; c v + c ] ( 5 3 0 )

T h e s e c o e c i e n t m a t r i c e s c a n e a c h b e s p l i t i n t o t w o s u b m a t r i c e s : o n e d e r i v e d

f r o m t h e v e l o c i t y p a r t o f t h e e i g e n v a l u e s a n d t h e o t h e r f r o m t h e s o u n d s p e e d p a r t

o f t h e e i g e n v a l u e s . A p a r t i c u l a r m a t r i x s p l i t t i n g ( t h e r e a r e m a n y p o s s i b i l i t i e s ) w a s

c h o s e n t o s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s

( M ) = ( M

u

) + ( M

c

) ( M

u

) = ( u u u u ) ( M

c

) = ( 0 0 c ; c )

( N ) = ( N

v

) + ( N

c

) ( N

v

) = ( v v v v ) ( N

c

) = ( 0 0 c ; c )

S p e c i c a l l y , M a n d N a r e s p l i t a s

M = M

u

+ M

c

=

2

6

4

u 0 0

0 u 0 0

0 0 u 0

0 0 0 u

3

7

5

+

2

6

4

0 0 0 0

0 0 0

; 1

0 0 0 0

0 p 0 0

3

7

5

N = N

v

+ N

c

=

2

6

4

v 0 0

0 v 0 0

0 0 v 0

0 0 0 v

3

7

5

+

2

6

4

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

; 1

0 0 p 0

3

7

5

( 5 3 1 )

G i v e n t h e c o e c i e n t m a t r i c e s M a n d N , a s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n e x i s t s t h a t

t r a n s f o r m s t h e s e m a t r i c e s i n t o t h e i r c o n s e r v a t i v e c o u n t e r p a r t , t h e u x J a c o b i a n s

A a n d B . A = S M S

; 1

B = S N S

; 1

w h e r e S =

@ Q

@ R

. U s i n g t h i s s i m i l a r i t y

t r a n s f o r m a t i o n , M

c

a n d N

c

t r a n s f o r m t o A

c

= S M

c

S

; 1

a n d B

c

= S N

c

S

; 1

w r i t t e n

o u t a s

A

c

= ( ; 1 )

2

6

4

0 0 0 0

( u

2

+ v

2

) = 2 ; u ; v 1

0 0 0 0

a

c

4 1

a

c

4 2

; u v u

3

7

5

B

c

= ( ; 1 )

2

6

4

0 0 0 0

0 0 0 0

( u

2

+ v

2

) = 2 ; u ; v 1

b

c

4 1

; u v b

c

4 3

v

3

7

5

( 5 3 2 )

2 5



w h e r e

a

c

4 1

= u ( u

2

+ v

2

) = 2 ] ; u p = ( ; 1 )

2

] a

c

4 2

= p = ( ; 1 )

2

] ; u

2

b

c

4 1

= v ( u

2

+ v

2

) = 2 ] ; v p = ( ; 1 )

2

] b

c

4 3

= p = ( ; 1 )

2

] ; v

2

w h i l e A

u

a n d B

v

a r e

A

u

= A ; A

c

B

v

= B ; B

c

( 5 3 3 )

T h i s s p l i t t i n g p r o d u c e s m a t r i c e s A

u

a n d B

v

t h a t a r e m o r e c o m p l e x t h a n A a n d B .

B u t i t i s f o u n d t h a t Q i s a n e i g e n v e c t o r o f A

u

a n d B

v

, i . e .

A

u

Q = u Q B

v

Q = v Q ( 5 3 4 a )

w h i c h m o t i v a t e s t h e f o l l o w i n g s u b s t i t u t i o n

A Q = ( u I + A

c

) Q B Q = ( v I + B

c

) Q ( 5 3 4 b )

I n s e r t i o n o f E q . ( 5 . 3 4 b ) i n t o t h e e q u a t i o n s f o r l o c a l l i n e a r i z a t i o n o f t h e J a c o -

b i a n s , t h e C a r t e s i a n e q u i v a l e n t o f E q s . ( 5 . 3 ) , p r o d u c e s

E

n + 1

= E

n

+ ( u I + A

c

)

n

( Q

n + 1

; Q

n

) ( 5 3 5 a )

F

n + 1

= F

n

+ ( v I + B

c

)

n

( Q

n + 1

; Q

n

) ( 5 3 5 b )

U t i l i z i n g t h e s e l i n e a r i z a t i o n s i n t h e b a s i c a l g o r i t h m e q u a t i o n ( 5 . 2 2 ) y i e l d s

L

x

L

y

Q = ; t

x

E

n

+

y

F

n

] ( 5 3 6 a )

w i t h

L

x

= I + t

x

( u I + A

c

)

n

] ( 5 3 6 b )

L

y

= I + t

y

( v I + B

c

)

n

] ( 5 3 6 c )

T h e e n d r e s u l t o f t h i s s p l i t t i n g i s t h a t t h e n e w o p e r a t o r s L

x

a n d L

y

f o r m

m a t r i c e s t h a t n o l o n g e r r e q u i r e 4 4 b l o c k t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n s . I n m a t r i x o p e r a t o r

f o r m , w e h a v e

L

x

=

2

6

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

3

7

5

+ t

x

2

6

4

u 0 0 0

a

c

2 1

u + a

c

2 2

a

c

2 3

a

c

2 4

0 0 u 0

a

c

4 1

a

c

4 2

a

c

4 3

u + a

c

4 4

3

7

5

( 5 3 7 a )

L

y

=

2

6

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

3

7

5

+ t

y

2

6

4

v 0 0 0

0 v 0 0

b

c

3 1

b

c

3 2

v + b

c

3 3

b

c

3 4

b

c

4 1

b

c

4 2

b

c

4 3

v + b

c

4 4

3

7

5

( 5 3 7 b )

2 6



w h e r e a

c

a n d b

c

a r e t h e r e s p e c t i v e e l e m e n t s o f A

c

a n d B

c

g i v e n b y E q . ( 5 . 3 2 ) .

I n t h e L

x

o p e r a t o r , f o r e x a m p l e , t h e r s t a n d t h i r d r o w s d e c o u p l e f r o m t h e

s y s t e m a n d c a n b e s o l v e d a s s c a l a r t r i d i a g o n a l m a t r i c e s w i t h t h e i r r e s p e c t i v e r i g h t -

h a n d - s i d e s . O n c e t h e s e r o w s a r e s o l v e d , t h e e l e m e n t s o f t h e r s t a n d t h i r d c o l u m n s

c a n b e m o v e d t o t h e r i g h t - h a n d - s i d e . T h e s e c o n d a n d f o u r t h e q u a t i o n s r e m a i n

c o u p l e d a n d a r e s o l v e d a s a 2 2 b l o c k t r i d i a g o n a l m a t r i x . T h e b l o c k d e c o u p l i n g

o f t h e L

y

o p e r a t o r i s e v e n m o r e c o n s p i c u o u s a n d i s i n v e r t e d ( i . e . , s o l v e d f o r ) i n a

s i m i l a r m a n n e r .

T h e u s e o f t h e p r e s s u r e { v e l o c i t y s p l i t t i n g h a s s u b s t a n t i a l l y r e d u c e d t h e c o m p u -

t a t i o n a l w o r k o v e r t h e b a s i c b l o c k i m p l i c i t s c h e m e . A t y p i c a l 2 2 b l o c k t r i d i a g o n a l

r e q u i r e s 5 5 o p e r a t i o n s p e r p o i n t , s o t h e o v e r a l l i n v e r s i o n , i n c l u d i n g t h e t w o s c a l a r

t r i d i a g o n a l s , r e q u i r e s 7 3 o p e r a t i o n s p e r e n t r y . B e c a u s e t h e t w o s c a l a r t r i d i a g o n a l s

h a v e i d e n t i c a l c o e c i e n t s , t h i s w o r k c a n b e e v e n f u r t h e r c u t b y s o l v i n g t h e m t o -

g e t h e r .

T h e m a t r i x s p l i t t i n g p r o d u c e s t h e u x v e c t o r s

E = A Q = u I Q + A

c

Q = E

u

+ E

c

F = B Q = v I Q + B

c

Q = F

v

+ F

c

( 5 3 8 )

w h e r e

E

u

=

0

B

@

u

u

2

v u

u e

1

C

A

E

c

=

0

B

@

0

p

0

u p

1

C

A

F

v

=

0

B

@

v

u v

v

2

v e

1

C

A

F

c

=

0

B

@

0

0

p

v p

1

C

A

N o t e t h a t t h e J a c o b i a n s o f E

c

a n d F

c

a r e n o t A

c

a n d B

c

a s d e n e d a b o v e .

U s u a l l y , t h e u s e o f i m p l i c i t l i n e a r i z a t i o n s w h i c h a r e n o t t h e J a c o b i a n s o f t h e e x p l i c i t

u x v e c t o r s l e a d s t o r e s t r i c t e d s t a b i l i t y b o u n d s o r u n c o n d i t i o n a l l y i n s t a b i l i t y . L i n e a r

s t a b i l i t y a n a l y s i s p r e s e n t e d b y B a r t h a n d S t e g e r , a s w e l l a s n u m e r i c a l e x p e r i m e n t

h a v e s h o w n t h o u g h t h a t t h e u s e o f A

c

a n d B

c

l e a d s t o u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y .

T h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e f o r m o f p r e s s u r e { v e l o c i t y s p l i t t i n g i s d e v e l o p e d i n

B a r t h a n d S t e g e r 1 6 ] . A r o t a t i o n t r a n s f o r m a t i o n i s u s e d t o a l i g n t h e m o m e n t u m

e q u a t i o n s w i t h g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s , e . g . i n t h e d i r e c t i o n t h e y u s e

C

=

2

6

6

4

1 0 0 0

0

x

L

1

y

L

1

0

0 ;

y

L

1

x

L

1

0

0 0 0 1

3

7

7

5

( 5 3 9 )

w i t h L

1

=

q

2

x

+

2

y

. T h i s p r o d u c e s t h e t r a n s f o r m e d s p l i t t i n g m a t r i x

2 7



e

A

c

= ( ; 1 )

2

6

4

0 0 0 0

L

1

( u

2

+ v

2

)

2

; U ;

b

V L

1

0 0 0 0

a

c

4 1

a

c

4 2

;

U

b

V

L

1

U

3

7

5

( 5 4 0 )

w h e r e

a

c

4 1

= U ( u

2

+ v

2

) = 2 ;

c

2

( ; 1 )

2

] a

c

4 2

= L

1

c

2

( ; 1 )

2

;

U

2

L

1

w i t h

b

U =

y

u ;

x

v

T h e s t r u c t u r e o f E q . ( 5 . 4 0 ) i s i d e n t i c a l t o E q . ( 5 . 3 2 ) s o t h a t t h e i m p l i c i t

o p e r a t o r s i n g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s a r e a g a i n r e d u c i b l e t o 2 s c a l a r s a n d o n e 2 2

b l o c k o p e r a t o r f o r e a c h d i r e c t i o n . B a r t h a n d S t e g e r a l s o d i s c u s s t h e a p p l i c a t i o n o f

p r e s s u r e { v e l o c i t y s p l i t t i n g t o t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .

5 . 8 M e t r i c D i e r e n c i n g a n d I n v a r i a n t s

O n c e a u i d d y n a m i c s c o d e h a s b e e n w r i t t e n , t h e r e a r e a n u m b e r o f r s t o r d e r

c h e c k s w h i c h m u s t b e p a s s e d t o a s s e s s a c c u r a c y a n d e c i e n c y . A r s t t e s t i s t h a t

t h e c o d e r e c o v e r s f r e e s t r e a m o r u n i f o r m o w . I n t h e c a s e o f a r b i t r a r y c u r v i l i n e a r

c o o r d i n a t e s a n d g e n e r a l n i t e d i e r e n c e s t h i s i s n o t a t r i v i a l e x e r c i s e . B y c o n s t r u c -

t i o n n i t e v o l u m e s c h e m e s a u t o m a t i c a l l y b a l a n c e u x e s a n d t h e r e f o r e t h e y a r e n o t

a s s u s c e p t i b l e t o t h i s t y p e o f e r r o r . T h e r e a r e a n u m b e r o f e x a m p l e s i n t h e l i t e r a t u r e

w h e r e n i t e v o l u m e s c h e m e s h a v e b e e n e m p l o y e d , s e e J a m e s o n e t . a l . 6 ] o r R i z z i

a n d E r i k s o n 5 ] . W e p r e f e r t o e m p l o y n i t e d i e r e n c e f o r m u l a t i o n s s i n c e t h e y a r e

u s u a l l y m o r e e x i b l e , e s p e c i a l l y i n t h e i m p l e m e n t a t i o n o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d

i n o b t a i n i n g h i g h e r o r d e r a c c u r a c y . I n t h i s c a s e t h e d i e r e n c i n g u s e d t o f o r m t h e

u x d e r i v a t i v e s a n d t h e d i e r e n c i n g u s e d t o f o r m t h e m e t r i c s m u s t o b e y c e r t a i n

r e l a t i o n s i f f r e e s t r e a m i s t o b e c a p t u r e d .

A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n I I I , a p p l y i n g f r e e s t r e a m o r c o n s t a n t o w r e d u c e s t h e

o w e q u a t i o n s t o t h e i n v a r i a n t s o f E q . ( 3 . 1 1 ) . E x a m i n i n g o n e o f t h e s e t e r m s @

( y

) +

@

( ; y

) w h e r e c e n t r a l d i e r e n c e s a r e u s e d t o f o r m t h e m e t r i c t e r m s , a n d u s i n g

c e n t r a l d i e r e n c i n g f o r t h e u x d e r i v a t i v e s , w e h a v e ,

c

c

y ;

c

c

y =

y

j + 1 k + 1

; y

j ; 1 k + 1

; y

j + 1 k ; 1

+ y

j ; 1 k ; 1

] = 4

+ ; y

j + 1 k + 1

+ y

j + 1 k ; 1

+ y

j ; 1 k + 1

; y

j ; 1 k ; 1

] = 4 = 0

( 5 4 1 )

W e s e e t h a t c e n t r a l d i e r e n c i n g i n t w o d i m e n s i o n d o e s s a t i s f y t h e i n v a r i a n t

r e l a t i o n s . T h i s b e c o m e s o b v i o u s w h e n o n e r e a l i z e s t h a t s e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r -

e n c i n g o p e r a t o r s c o m m u t e , i . e .

c

c

=

c

c

. T h i s i s n o t t r u e f o r g e n e r a l d i e r e n c e s ,

2 8



e . g .

b

c

6=

c

b

. T a k e t h e c a s e o f c e n t r a l d i e r e n c i n g t o f o r m m e t r i c s a n d o n e s i d e d

b a c k w a r d d i e r e n c i n g f o r t h e u x e s . T h e n w e h a v e ,

r

y ; r

y =

y

j k + 1

; y

j ; 1 k + 1

; y

j k ; 1

+ y

j ; 1 k ; 1

] = 2

+ ; y

j + 1 k

+ y

j + 1 k ; 1

+ y

j ; 1 k

; y

j ; 1 k ; 1

] = 2 6= 0

( 5 4 2 )

T h e e r r o r a s s o c i a t e d w i t h n o t s a t i s f y i n g t h e i n v a r i a n t r e l a t i o n s i s t r u n c a t i o n

e r r o r e q u a l t o o r l e s s t h a n t h e l o w e s t o r d e r a c c u r a t e o p e r a t o r u s e d . T h e e r r o r c a n

b e e l i m i n a t e d b y m o d i f y i n g t h e d i e r e n c e f o r m u l a s , f o r e x a m p l e i n t r o d u c i n g s i m p l e

a v e r a g e s . T h e e q u i v a l e n t r e l a t i o n s h i p s f o r t h r e e d i m e n s i o n s c a n b e v e r y c o m p l i c a t e d .

I n m o s t c a s e s t h e e r r o r i n t r o d u c e d i s s m a l l e x c e p t i n r e g i o n s o f l a r g e m e s h s p a c i n g

o r l a r g e d i s t o r t e d c e l l s ( h i g h a s p e c t r a t i o s ) . I t s h o u l d b e s t r e s s e d t h o u g h , t h a t t h e

s a t i s f a c t i o n o f t h e i n v a r i a n t r e l a t i o n s i s a t l e a s t a h i g h p r i o r i t y f o r a n y o w c o d e .

H i n d m a n 1 2 ] h a s i n v e s t i g a t e d t h i s a r e a f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s a n d F l o r e s e t . a l . 1 3 ]

g i v e a n i n t e r e s t i n g a c c o u n t o f s i m i l a r p r o b l e m s a n d s o l u t i o n s f o r t h e c o n s e r v a t i v e

f u l l p o t e n t i a l e q u a t i o n s .

2 9



V I . A r t i c i a l D i s s i p a t i o n A d d e d t o I m p l i c i t S c h e m e s

E v e n t h o u g h l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s s h o w s u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y f o r t h e i m -

p l i c i t a l g o r i t h m , i n p r a c t i c e s t a b i l i t y b o u n d s a r e e n c o u n t e r e d . T h i s i s e s p e c i a l l y

t r u e i n s t r o n g l y n o n l i n e a r c a s e s , s u c h a s o w s w i t h s h o c k s .

W h e n e v e r d i s c r e t e m e t h o d s a r e u s e d t o \ c a p t u r e " s h o c k s ( a s o p p o s e d t o t t i n g

t h e m ) , o r t o c o m p u t e h i g h R e y n o l d s n u m b e r v i s c o u s b e h a v i o r , s c a l e s o f m o t i o n

a p p e a r w h i c h c a n n o t b e r e s o l v e d b y t h e n u m e r i c s . T h e s e c a n b e b r o u g h t a b o u t

b y t h e n o n l i n e a r i n t e r a c t i o n s i n t h e c o n v e c t i o n t e r m s o f t h e m o m e n t u m e q u a t i o n s .

I f s c a l e i s r e p r e s e n t e d b y w a v e l e n g t h o r f r e q u e n c y , i t c a n b e e a s i l y s h o w n t h a t

t w o w a v e s i n t e r a c t a s p r o d u c t s t o f o r m a w a v e o f h i g h e r f r e q u e n c y ( t h e s u m o f t h e

o r i g i n a l t w o ) a n d o n e o f l o w e r f r e q u e n c y ( t h e d i e r e n c e ) . T h e l o w e r f r e q u e n c i e s d o

n o t c a u s e a p r o b l e m , b u t t h e c o n t i n u a l c a s c a d i n g i n t o h i g h e r a n d h i g h e r f r e q u e n c i e s

d o e s . I t i s a c c o u n t e d f o r p h y s i c a l l y b y s h o c k f o r m a t i o n ( t h e h a r m o n i c a n a l y s i s

o f a d i s c o n t i n u i t y c o n t a i n s a l l f r e q u e n c i e s ) o r b y v i s c o u s d i s s i p a t i o n o f t h e v e r y

h i g h w a v e n u m b e r s . I n n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s i t c a n n o t b e i g n o r e d a n d m u s t

b e a c c o u n t e d f o r i n t h e a l g o r i t h m c o n s t r u c t e d . I n a n y n i t e d i s c r e t e m e s h t h e

c a s c a d i n g f r e q u e n c i e s c a n e v e n t u a l l y e x c e e d t h e c a p a c i t y o f t h e m e s h r e s o l u t i o n a t

w h i c h p o i n t t h e y c a n e i t h e r , a ) a l i a s b a c k i n t o t h e l o w e r f r e q u e n c i e s o r b ) p i l e u p

a t t h e h i g h e r f r e q u e n c y s i d e . I n e i t h e r c a s e , i f u n c o n t r o l l e d , t h e s e t e r m s c a n l e a d t o

s e r i o u s i n a c c u r a c i e s a n d p o s s i b l e n u m e r i c a l i n s t a b i l i t y .

T h e m o s t c o m m o n w a y o f c o p i n g w i t h t h e h i g h - f r e q u e n c y c a s c a d e i s t o a d d t o

t h e c o m p l e t e a l g o r i t h m s o m e f o r m o f n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n w i t h a n e r r o r l e v e l t h a t

d o e s n o t i n t e r f e r e w i t h t h e a c c u r a c y o f a n y p h y s i c a l v i s c o u s e e c t s . T h i s c a n b e

d o n e i n a v a r i e t y o f w a y s .

6 . 1 C o n s t a n t C o e c i e n t I m p l i c i t a n d E x p l i c i t D i s s i p a t i o n

H i s t o r i c a l l y , i n t h e c l a s s o f i m p l i c i t n i t e d i e r e n c e c o d e s d e v e l o p e d i n t h e m i d

1 9 7 0 ' s , a c o m m o n p r o c e d u r e w a s t o a d d e x p l i c i t f o u r t h o r d e r a r t i c i a l d i s s i p a t i o n

t o t h e c e n t r a l d i e r e n c e a l g o r i t h m o f t h e f o r m

;

e

t J

; 1

( r

)

2

+ ( r

)

2

] J

b

Q

n

( 6 1 a )

w h i c h i s a d d e d t o t h e r i g h t - h a n d s i d e o f E q . ( 5 . 2 2 ) a n d i m p l i c i t s e c o n d - o r d e r s m o o t h -

i n g

;

i

t J

; 1

r

J ;

i

t J

; 1

r

J ( 6 2 b )

w h i c h w a s i n s e r t e d i n t o t h e r e s p e c t i v e i m p l i c i t b l o c k o p e r a t o r s . S e c o n d o r d e r i m -

p l i c i t d i s s i p a t i o n w a s u s e d t o k e e p t h e b l o c k i m p l i c i t o p e r a t o r s t r i d i a g o n a l . T h e

d i e r e n c e o p e r a t o r s a r e d e n e d a s

r

q

j k

= q

j k

; q

j ; 1 k

q

j k

= q

j + 1 k

; q

j k

r

q

j k

= q

j k

; q

j k ; 1

q

j k

= q

j k + 1

; q

j k

( 6 3 )

3 0



a n d a r e a p p l i e d a t a l l i n t e r i o r p o i n t s . T h e p a r a m e t e r

e

i s c h o s e n t o b e O ( 1 ) a n d

i

= 2

e

. T h e s m o o t h i n g t e r m s a r e s c a l e d w i t h t w h i c h m a k e s t h e s t e a d y s t a t e

i n d e p e n d e n t o f t h e t i m e s t e p .

I t i s i m p o r t a n t t o a s s e s s t h e e e c t o n s t a b i l i t y w h e n t h e s e t e r m s a r e a d d e d .

I n S e c t i o n 7 . 2 , w e p r o v i d e a l i n e a r a n a l y s i s o f t h e e e c t o f a d d e d d i s s i p a t i o n o n

s t a b i l i t y . W e s u m m a r i z e t h e r e s u l t s h e r e . I n t h e o r i g i n a l d e v e l o p m e n t o f t h e i m p l i c i t

a l g o r i t h m w e o n l y a d d e d i n t h e e x p l i c i t d i s s i p a t i o n , b u t t h i s l e a d t o a l i n e a r s t a b i l i t y

b o u n d w h i c h w a s d e p e n d e n t o n t h e m a g n i t u d e o f

e

t . T h e i m p l i c i t s e c o n d o r d e r

t e r m w a s a d d e d t o e l i m i n a t e t h i s s t a b i l i t y b o u n d . T h e p r o p e r a p p r o a c h w o u l d b e

t o m a k e t h e f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n i m p l i c i t . T h i s w o u l d t h e n n e c e s s i t a t e t h e u s e

o f b l o c k p e n t a d i a g o n a l s o l v e r s w h i c h i s t o o c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e . T h e s e c o n d

o r d e r i m p l i c i t d i s s i p a t i o n s t a b i l i z e s t h e a l g o r i t h m a n d a l l o w s u s t o r e t a i n b l o c k

t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n s . L i n e a r a n a l y s i s s h o w s t h a t i f

i

e

t h e n u n c o n d i t i o n a l

s t a b i l i t y i s o b t a i n e d . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t i n p r a c t i c e f o r n o n l i n e a r p r o b l e m s t h e

t o t a l a l g o r i t h m h a s l a r g e b u t c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y b o u n d s .

B e a m a n d B a i l e y 2 2 ] s u g g e s t t h a t w h i l e t h e i m p l i c i t s e c o n d o r d e r d i s s i p a t i o n

i m p r o v e s t h e p r a c t i c a l s t a b i l i t y b o u n d , t h e u s e o f f o u r t h o r d e r i m p l i c i t d i s s i p a t i o n

m a t c h i n g t h e e x p l i c i t t e r m s p r o d u c e s l a r g e r s t a b i l i t y b o u n d s a n d e n h a n c e d c o n v e r -

g e n c e . T h i s i s c o n s i s t e n t w i t h a c o n c e p t w h i c h I w i l l d i s c u s s i n m o r e d e t a i l b e l o w .

T h a t i s , m a x i m u m s t a b i l i t y b o u n d s a n d o p t i m a l c o n v e r g e n c e r a t e s a r e o n l y a c h i e v e d

i f w e p r o p e r l y l i n e a r i z e t h e e x p l i c i t s i d e o f t h e a l g o r i t h m . I n t h i s c a s e a p r o p e r l i n -

e a r i z a t i o n o f t h e e x p l i c i t d i s s i p a t i o n p r o d u c e s i m p r o v e d s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e .

B e a m a n d B a i l e y e m p l o y e d a b l o c k p e n t a s o l v e r w h i c h g r e a t l y i n c r e a s e d t h e c o m p u -

t a t i o n a l w o r k a n d s t o r a g e . W e t a k e a d v a n t a g e o f t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m t o p r o d u c e

a m u c h m o r e e c i e n t s c h e m e . W i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e d i a g o n a l s c h e m e w e

c a n r e p l a c e t h e f o u r s c a l a r t r i d i a g o n a l s w i t h s c a l a r p e n t a d i a g o n a l s w h i c h i s j u s t a

m i n o r i n c r e a s e i n c o m p u t a t i o n a l w o r k . T h e r e s u l t i n g s c h e m e h a s t h e a d v a n t a g e o f

i n c r e a s e d s t a b i l i t y b o u n d s a n d c o n v e r g e n c e r a t e s w i t h t h e t o t a l c o m p u t a t i o n w o r k

s t i l l l e s s t h a n t h e s t a n d a r d b l o c k t r i d i a g o n a l s c h e m e . C o m p u t a t i o n a l e x p e r i m e n t s

d e m o n s t r a t e t h e i n c r e a s e d e c i e n c y a n d s t a b i l i t y .

T h e a p p r o a c h o f a d d i n g a c o n s t a n t c o e c i e n t f o u r t h o r d e r e x p l i c i t d i s s i p a t i o n

c a n p r o d u c e s o m e p r o b l e m s w h i c h a r e o n l y e v i d e n t i n t h e c a s e o f r e n e d m e s h e s .

I n i t i a l l y , b e c a u s e o f c o m p u t e r l i m i t a t i o n s w e o n l y e m p l o y e d c o a r s e g r i d s a n d t h i s

t y p e o f d i s s i p a t i o n w a s s u c i e n t t o p r o d u c e s t a b i l i t y a n d l i m i t e d a c c u r a c y . W i t h

t h e a d v e n t o f m o r e p o w e r f u l c o m p u t e r s w e h a v e g o n e t o g r i d r e n e m e n t e s p e c i a l l y

t o r e s o l v e s h o c k s . T h e u s e o f t h e a b o v e t y p e o f f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n w i t h r e n e

m e s h e s p r o d u c e s w i l d o s c i l l a t i o n s n e a r s h o c k s e v e n i n c a s e s w h e r e t h e c o m p u t a t i o n

i s c o m p l e t e l y s t a b l e a n d c o n v e r g e d . I n F i g . 3 , w e s h o w a c o n v e r g e d s o l u t i o n f o r a

N A C A 0 0 1 2 a i r f o i l a t a t r a n s o n i c M a c h n u m b e r , M

1

= 0 8 a n d a n g l e o f a t t a c k ,

= 0

i s o l a t i n g t h e r e g i o n n e a r t h e s h o c k .

A s c a n b e s e e n , t h e s o l u t i o n s e e m s p e r f e c t l y n e e x c e p t i n t h e r e g i o n o f t h e

3 1



F i g u r e 3 . C o e c i e n t o f P r e s s u r e S h o w i n g O s c i l l a t i o n s a t S h o c k .

s h o c k w h e r e a l a r g e e v e r y o t h e r p o i n t o s c i l l a t i o n i s e v i d e n t . V a r y i n g t h e c o e c i e n t

o f a r t i c i a l d i s s i p a t i o n o v e r a f a i r l y w i d e r a n g e d i d n o t a l t e r t h e n a t u r e o f t h i s

o s c i l l a t i o n . T h i s i s o b v i o u s l y a n u n d e s i r a b l e r e s u l t w h i c h c a n b e e l i m i n a t e d a s

s h o w n b e l o w .

6 . 2 T h e U p w i n d C o n n e c t i o n t o A r t i c i a l D i s s i p a t i o n

I n t h e e a r l y 1 9 8 0 ' s a n u m b e r o f s c h e m e s w e r e d e v e l o p e d b a s e d o n u p w i n d

d i e r e n c i n g . T h e u x s p l i t s c h e m e s o f S t e g e r a n d W a r m i n g 2 3 ] , R o e 2 4 ] , a n d

V a n L e e r 2 5 ] e m p l o y a d e c o m p o s i t i o n o f t h e u x v e c t o r s i n s u c h a w a y t h a t e a c h

e l e m e n t c a n b e s t a b l y d i e r e n c e d i n a n u p w i n d f a s h i o n . O t h e r s c h e m e s o f a s i m i l a r

n a t u r e b u t b a s e d o n c o m p l i c a t e d t h e o r i e s a r e t h e u x d i e r e n c e s c h e m e o f O s h e r a n d

C h a k r a v a r t h y 2 6 ] a n d H a r t e n ' s T V D m e t h o d s 2 7 ] . T h e s e s c h e m e s a l l c l a i m ( w i t h

g o o d j u s t i c a t i o n ) t o b e p h y s i c a l l y c o n s i s t e n t s i n c e t h e y f o l l o w i n s o m e s e n s e t h e

c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e o w . T h e y i n g e n e r a l c a n b e s h o w n t o p r o d u c e s h a r p o s c i l l a t i o n

f r e e s h o c k s w i t h o u t a d d e d a r t i c i a l d i s s i p a t i o n . T h e y a r e , t h o u g h , c o m p l i c a t e d

s c h e m e s w h i c h a r e j u s t n o w b e i n g a p p l i e d t o c o m p l i c a t e d o w e l d s i t u a t i o n s . A l s o

t h e s e s c h e m e h a v e a n i n h e r e n t a m o u n t o f i n t e r n a l d i s s i p a t i o n , d u e t o t h e o n e s i d e d

3 2



d i e r e n c e s , w h i c h c a n n o t b e m o d i e d o r d e c r e a s e d . I t m a y b e a d v a n t a g e o u s t o h a v e

t h e e x i b i l i t y o f a s i m p l e c e n t r a l d i e r e n c e s c h e m e w i t h a c o n t r o l l a b l e a m o u n t o f

a r t i c i a l d i s s i p a t i o n .

I t c a n b e s h o w n ( a s d o n e b e l o w ) t h a t t h e u p w i n d s c h e m e s h a v e a n e q u i v a l e n c e

t o c e n t r a l d i e r e n c e s c h e m e s w i t h a d d e d d i s s i p a t i o n . T h e c e n t r a l s c h e m e s a r e m u c h

s i m p l e r a n d m o r e e x i b l e a n d a r e t h e r e f o r e d e s i r a b l e i f t h e d i s s i p a t i o n c a n b e a d d e d

i n a n a n a l o g o u s f a s h i o n t o t h e u p w i n d s c h e m e s .

T h e p l u s - m i n u s u x s p l i t m e t h o d o f S t e g e r a n d W a r m i n g 2 3 ] w i l l b e u s e d

h e r e t o d e m o n s t r a t e t h e d i s s i p a t i v e n a t u r e o f u p w i n d s c h e m e s . T h e a p p r o a c h t a k e n

i s t o s p l i t t h e e i g e n v a l u e m a t r i x o f t h e u x J a c o b i a n s i n t o t w o m a t r i c e s , o n e

w i t h a l l p o s i t i v e e i g e n v a l u e s a n d t h e o t h e r w i t h a l l n e g a t i v e e i g e n v a l u e s . T h e n t h e

s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n s X o r Y a r e u s e d t o f o r m n e w m a t r i c e s A

+

, A

;

a n d B

+

,

B

;

. F o r m a l l y ,

A = X

A

X

; 1

= X (

+

A

+

;

A

) X

; 1

= A

+

+ A

;

( 6 4 a )

w i t h

A

=

A

j

A

j

2

( 6 4 b )

H e r e , j j i m p l i e s t h a t w e t a k e t h e a b s o l u t e v a l u e s o f t h e e l e m e n t s o f . T h e t w o

m a t r i c e s , A

+

a n d A

;

h a v e b y c o n s t r u c t i o n a l l p o s i t i v e a n d a l l n e g a t i v e e i g e n v a l u e s ,

r e s p e c t i v e l y .

N e w u x v e c t o r s c a n b e c o n s t r u c t e d a s

E = A Q = ( A

+

+ A

;

) Q = E

+

+ E

;

F = B Q = ( B

+

+ B

;

) Q = F

+

+ F

;

( 6 5 )

D i e r e n t t y p e o f s p a t i a l d i e r e n c i n g c a n n o w b e u s e d f o r e a c h o f t h e n e w u x

v e c t o r s . O n e s t a b l e f o r m i s t o u s e o n e s i d e d b a c k w a r d d i e r e n c i n g f o r t h e p o s i t i v e

t e r m s a n d o n e s i d e d f o r w a r d d i e r e n c i n g f o r t h e n e g a t i v e t e r m s . T h e o n e - s i d e d

d i e r e n c e o p e r a t o r s a r e u s u a l l y e i t h e r r s t o r d e r a c c u r a t e

r

b

u

j k

=

u

j k

; u

j ; 1 k

a n d

f

u

j k

=

u

j + 1 k

; u

j k

( 6 6 a )

o r s e c o n d o r d e r a c c u r a t e

b

u

j k

=

3

2

u

j k

; 2 u

j ; 1 k

+

1

2

u

j ; 2 k

f

u

j k

=

;

3

2

u

j k

+ 2 u

j + 1 k

;

1

2

u

j + 2 k

( 6 6 b )

3 3



T h e f o r m n o w i s a s e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r e n c e t e r m p l u s f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n .

T h e d i s s i p a t i v e t e r m i s a n a t u r a l c o n s e q u e n c e o f t h e u p w i n d d i e r e n c i n g . I t i s

i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e c e n t r a l d i e r e n c e t e r m E q . ( 6 . 1 0 a ) i s n o t t h e s t a n d a r d

t h r e e p o i n t d i e r e n c e . I f r s t o r d e r f o r m u l a s a r e e m p l o y e d f o r t h e u p w i n d d i e r e n c e s

t h e n a s i m i l a r a n a l y s i s w o u l d p r o d u c e t h e s t a n d a r d s e c o n d o r d e r t h r e e p o i n t c e n t r a l

d i e r e n c i n g p l u s a s e c o n d o r d e r d i s s i p a t i v e t e r m . F o r i n s t a n c e , E q . ( 6 . 1 1 a ) i s r e p l a c e

b y

E ;

1

2

(

r

) j A j Q

( 6 1 1 b )

W e n o t e a n u m b e r o f t h i n g s f r o m t h e f o r m o f E q s . ( 6 . 1 1 ) w h i c h c a n g u i d e u s

i n d e v e l o p i n g a r t i c i a l d i s s i p a t i o n m o d e l s f o r a c e n t r a l d i e r e n c e s c h e m e . A d d i n g

f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n t o a c e n t r a l d i e r e n c e p r o d u c e s t h e e q u i v a l e n t o f s o m e

s e c o n d o r d e r u p w i n d s c h e m e . T h e u s e o f s e c o n d o r d e r d i s s i p a t i o n c a n p r o d u c e a

r s t o r d e r u p w i n d e q u i v a l e n t . R e s e a r c h h a s s h o w n t h a t a p p l y i n g u x l i m i t e r s t o

u p w i n d s c h e m e s a n d s o m e o f t h e T V D c o n c e p t s s u g g e s t t h a t t h e b e s t a p p r o a c h

f o r a n u p w i n d a l g o r i t h m i s t o u s e a l o c a l l y r s t o r d e r u p w i n d d i e r e n c e a t a s h o c k

a n d s e c o n d o r d e r e l s e w h e r e . T h i s c a n b e a c c o m p l i s h e d b y s o m e s w i t c h i n g a n d

t r a n s i t i o n i n g o f s e c o n d o r d e r a n d f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n a d d e d t o a c e n t r a l s c h e m e .

T h e c o e c i e n t s f o r t h e d i s s i p a t i o n p a r t s o f E q . ( 6 . 1 1 ) s u g g e s t s o m e s o r t o f u x

J a c o b i a n s c a l i n g w h e r e f o r i n s t a n c e a s p e c t r a l r a d i u s o f t h e J a c o b i a n s c o u l d b e

u s e d .

6 . 3 N o n l i n e a r A r t i c i a l D i s s i p a t i o n M o d e l

A s s e e n f r o m t h e p r e v i o u s a n a l y s i s a m i x e d s e c o n d a n d f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n

m o d e l w i t h a p p r o p r i a t e c o e c i e n t s s h o u l d p r o d u c e a s c h e m e w i t h g o o d s h o c k c a p -

t u r i n g c a p a b i l i t i e s . J a m e s o n e t . a l . 6 ] h a s e m p l o y e d a d i s s i p a t i v e m o d e l o f s u c h a

f o r m w h e r e s e c o n d a n d f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n a r e c o m b i n e d . T h e m o d e l r e w r i t t e n

i n o u r n o t a t i o n i s

r

j + 1 k

J

; 1

j + 1 k

+

j k

J

; 1

j k

( 2 )

j k

Q

j k

;

( 4 )

j k

r

Q

j k

( 6 1 2 )

w i t h

( 2 )

j k

=

2

t m a x (

j + 1 k

j k

j ; 1 k

)

j k

=

j p

j + 1 k

; 2 p

j k

+ p

j ; 1 k

j

j p

j + 1 k

+ 2 p

j k

+ p

j ; 1 k

j

( 4 )

j k

= m a x ( 0

4

t ;

( 2 )

j k

)

( 6 1 3 )

w h e r e t y p i c a l v a l u e s o f t h e c o n s t a n t s a r e

2

= 1 = 4 a n d

4

= 1 = 1 0 0 . S i m i l a r t e r m s

a r e u s e d i n t h e d i r e c t i o n . T h e t e r m

j k

i s a s p e c t r a l r a d i u s s c a l i n g a n d i s d e n e d

3 5



a s

j k

= j U j + a

q

2

x

+

2

y

( 6 1 4 )

w h i c h i s t h e s p e c t r a l r a d i i o f

b

A , t h e s p e c t r a l r a d i u s o f

b

B i s u s e d f o r t h e d i s s i p a t i o n .

T h e r s t t e r m o f E q . ( 6 . 1 2 ) i s a s e c o n d o r d e r d i s s i p a t i o n w i t h a n e x t r a p r e s s u r e

g r a d i e n t c o e c i e n t t o i n c r e a s e i t s v a l u e n e a r s h o c k s . T h e s e c o n d t e r m i s a f o u r t h

o r d e r t e r m w h e r e t h e l o g i c t o c o m p u t e

( 4 )

j k

s w i t c h e s i t o w h e n t h e s e c o n d o r d e r

n o n l i n e a r c o e c i e n t i s l a r g e r t h e n t h e c o n s t a n t f o u r t h o r d e r c o e c i e n t . T h i s o c c u r s

r i g h t n e a r a s h o c k . I n F i g s . 4 a n d 5 , w e s h o w s o l u t i o n s f o r t h e o w p r o b l e m o f F i g .

3 , u s i n g t h i s n o n l i n e a r a r t i c i a l d i s s i p a t i o n . F o r F i g . 4 w e e m p l o y j u s t t h e f o u r t h

o r d e r t e r m , i . e .

2

= 0

T h e o s c i l l a t i o n s a t t h e s h o c k a r e e l i m i n a t e d a n d a s h a r p s h o c k i s o b t a i n e d . I n

t h i s c a s e t h o u g h t h e r e i s a n o v e r s h o o t a n d u n d e r s h o o t a t t h e t o p a n d b o t t o m o f t h e

s h o c k w h i c h i s e l i m i n a t e d i n F i g . 5 b y a d d i n g t h e s e c o n d o r d e r t e r m ,

2

= 1 = 4

F i g u r e 4 . C o e c i e n t o f P r e s s u r e O b t a i n e d U s i n g F o u r t h O r d e r N o n l i n e a r D i s s i -

p a t i o n .

T h e r e s u l t s s h o w n a r e f u l l y c o n v e r g e d t o m a c h i n e z e r o a n d i n t h e c a s e o f F i g . 5

r e p r e s e n t t h e c u r r e n t q u a l i t y o f o u r s h o c k c a p t u r i n g c a p a b i l i t i e s . T h e c h o s e n v a l u e s

3 6



F i g u r e 5 . C o e c i e n t o f P r e s s u r e O b t a i n e d U s i n g S e c o n d + F o u r t h O r d e r N o n -

l i n e a r D i s s i p a t i o n .

o f t h e c o e c i e n t s h a v e , a t l e a s t t o d a t e , b e e n s t a t i c a n d a r e n o t c h a n g e d f r o m c a s e

t o c a s e .

T h e i m p l i c i t d i s s i p a t i o n u s e d w i t h E q . ( 6 . 1 2 ) i s t h e l i n e a r i z a t i o n o f t h e e q u a -

t i o n t r e a t i n g t h e p r e s s u r e c o e c i e n t a n d t h e s p e c t r a l r a d i u s a s s p a c e v a r y i n g

f u n c t i o n s b u t i g n o r i n g t h e i r f u n c t i o n a l d e p e n d e n c y o n Q . T h e n t h e d i s s i p a t i o n i s

l i n e a r i n Q

j k

a n d i s a d d e d t o t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m a g a i n n e c e s s i t a t i n g s c a l a r

p e n t a d i a g o n a l s o l v e r s . T h i s p r o d u c e s a v e r y e c i e n t , s t a b l e a n d c o n v e r g e n t f o r m

o f t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m .

N e a r c o m p u t a t i o n a l b o u n d a r i e s w e m o d i f y t h e f o u r t h o r d e r d i s s i p a t i o n s o a s

t o m a i n t a i n a d i s s i p a t i v e t e r m . A d e r i v a t i o n a n d a n a l y s i s o f v a r i o u s b o u n d a r y

t r e a t m e n t s i n g i v e n i n R e f . 2 8 ] . T h e m o d i c a t i o n i s n e e d e d a t t h e r s t i n t e r i o r

p o i n t ( e . g . Q

j + 1 k

) w h e r e t h e v e p o i n t f o u r t h o r d e r t e r m Q

j + 2 k

; 4 Q

j + 1 k

+

6 Q

j k

; 4 Q

j ; 1 k

+ Q

j ; 2 k

i s t o b e a p p l i e d . T h e r e t h e p o i n t Q

j + 2 k

d o e s n ' t e x i s t , t h e

f o r m u l a i s m o d i e d t o a o n e s i d e d s e c o n d o r d e r t e r m w i t h t h e d i e r e n c i n g s t e n c i l

; 2 Q

j + 1 k

+ 5 Q

j k

; 4 Q

j ; 1 k

+ Q

j ; 2 k

. S i m i l a r f o r m u l a s a r e u s e d a t o t h e r b o u n d a r i e s .

3 7



6 . 4 T o t a l V a r i a t i o n D i m i n i s h i n g S c h e m e s , T V D

T h e d e v e l o p m e n t o f m o n o t o n e , u x v e c t o r / d i e r e n c e s p l i t t i n g , T V D a n d o t h e r

n o n o s c i l l a t o r y s c h e m e s c a n b e f o u n d i n n u m e r o u s p u b l i c a t i o n s , s e e f o r e x a m p l e ,

R e f s . 7 , 8 , 9 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 7 ] . H e r e w e s h a l l j u s t b r i e y d e n e t h e c o n d i t i o n s f o r a

c l a s s o f T V D s c h e m e s i n t r o d u c e d b y H a r t e n 2 7 ] .

T h e c o n d i t i o n s f o r a s c h e m e t o b e T V D i n H a r t e n ' s s e n s e c a n b e d e v e l o p e d f o r

t h e s c a l a r h y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o n l a w

@ u

@ t

+

@ f ( u )

@ x

= 0 ( 6 1 5 )

w h e r e f ( t h e u x ) i s a n o n l i n e a r f u n c t i o n o f u . W e c a n d e n e a c h a r a c t e r i s t i c s p e e d

a ( u ) = @ f = @ u

A o n e p a r a m e t e r f a m i l y o f s c h e m e s c a n b e d e n e d

u

n + 1

j

+

h

n + 1

j +

1

2

; h

n + 1

j ;

1

2

= u

n

j

; ( 1 ; )

h

n

j +

1

2

; h

n

j ;

1

2

( 6 1 6 a )

r e w r i t t e n a s

L u

n + 1

= R u

n

( 6 1 6 b )

4 w h e r e u

n

j

= u ( j x n t ) , = t = x , p a r a m e t e r i z e s t h e e q u a t i o n s f r o m t h e

f u l l y e x p l i c i t t o f u l l y i m p l i c i t f o r m s , a n d h i s t h e n u m e r i c a l u x f u n c t i o n w i t h

h

j

1

2

= h ( u

j 1

u

j

u

j 1

u

j 2

)

T h e t o t a l v a r i a t i o n o f a m e s h f u n c t i o n u

n

i s d e n e d a s

T V ( u

n

) =

1

X

j = ; 1

j u

n

j + 1

; u

n

j

j =

1

X

j = ; 1

j

j +

1

2

u

n

j ( 6 1 7 )

w h e r e

j +

1

2

= u

j + 1

; u

j

A n u m e r i c a l s c h e m e i s T V D i s

T V

;

u

n + 1

T V ( u

n

) ( 6 1 8 )

F o r E q u a t i o n ( 6 . 1 6 ) t h e c o n d i t i o n s d u e t o H a r t e n 2 7 ] a r e

T V ( R u

n

) T V ( u

n

) ( 6 1 9 a )

a n d

T V

;

L u

n + 1

T V

;

u

n + 1

( 6 1 9 b )

R e w r i t t i n g E q . ( 6 . 1 6 ) , a s s u m i n g h i s L i p s c h i t z c o n t i n u o u s ,

3 8



u

n + 1

j

;

C

;

j +

1

2

j +

1

2

u ; C

+

j ;

1

2

j ;

1

2

u

n + 1

=

u

n

j

+ ( 1 ; )

C

;

j +

1

2

j +

1

2

u ; C

+

j ;

1

2

j ;

1

2

u

n

( 6 2 0 )

w i t h C

b o u n d e d f u n c t i o n s . S u c i e n t c o n d i t i o n s f o r E q . ( 6 . 1 9 ) a r e

f o r a l l j :

( 1 ; ) C

j +

1

2

0

( 1 ; )

C

+

j +

1

2

+ C

;

j +

1

2

1

; 1 < C ; C

j +

1

2

0

( 6 2 1 )

f o r n i t e C

T h e s e c o n d i t i o n s c a n b e u s e d t o a n a l y z e a n d c o n s t r u c t v a r i o u s T V D s c h e m e s .

R e f e r t o R e f e r e n c e s 2 7 ] , 7 ] a n d 8 ] f o r t w o f o r m s o f h i g h r e s o l u t i o n ( a t l e a s t s e c o n d

o r d e r a c c u r a t e ) T V D s c h e m e s a p p l i e d t o h y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o n l a w e q u a t i o n s .

3 9



V I I . T i m e A c c u r a c y , S t e a d y S t a t e s , C o n v e r g e n c e a n d S t a b i l i t y

7 . 1 T i m e A c c u r a c y v r s S t e a d y - S t a t e C o m p u t a t i o n

T h e i m p l i c i t a l g o r i t h m i s d e s i g n e d t o b e t i m e a c c u r a t e w h e r e s e c o n d o r d e r a c -

c u r a c y c a n b e m a i n t a i n e d a n d t h e e q u a t i o n s a r e i n t e g r a t e d t h r o u g h t i m e f r o m s o m e

m e a n i n g f u l i n i t i a l c o n d i t i o n t o t h e t h e s o l u t i o n a t t i m e T . I n t h i s c a s e t h e t i m e s t e p

i s c h o s e n t o b e c o m m e n s u r a t e w i t h s o m e t i m e s c a l e o f t h e p r o b l e m . T h e e v o l u t i o n

o f t h e s o l u t i o n t h r o u g h t i m e i s p h y s i c a l l y r e a l i s t i c a n d g o o d s o l u t i o n a c c u r a c y i s

d e p e n d e n t o n t h e m e s h s p a c i n g a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

T h e e q u a t i o n s c a n a l s o b e a p p l i e d t o s t e a d y - s t a t e p r o b l e m s . T y p i c a l l y w e

e m p l o y t h e r s t o r d e r s c h e m e i n t i m e a n d a t t e m p t t o a c c e l e r a t e t h e a l g o r i t h m

b y v a r i o u s n o n - t i m e - l i k e m a n e u v e r s . T h e e q u a t i o n s a r e t h e n i n t e g r a t e d f r o m a n

a r b i t r a r y i n i t i a l c o n d i t i o n t o a t i m e a s y m p t o t i c s t a t e . A n y p r o c e d u r e w h i c h d r i v e s

u s t o t h e s t e a d y - s t a t e f a s t e r m u s t a l s o b e s t a b l e a n d a c c u r a t e a t c o n v e r g e n c e . I t

m i g h t b e e x p e c t e d t h a t l a r g e t i m e s t e p s c o u l d b e u s e d t o d r i v e t h e s o l u t i o n t o t h e

s t e a d y - s t a t e f a s t e r . A s w e s h a l l s e e , b a s e d o n l i n e a r a n a l y s i s l a r g e t i m e s t e p s c a n

i n c r e a s e t h e c o n v e r g e n c e r a t e , b u t f o r f a c t o r e d f o r m s t h e l i m i t o f t h e a m p l i c a t i o n

f a c t o r ( a m e a s u r e o f t h e m a x i m u m c o n v e r g e n c e r a t e ) a s h = t ! 1 i s 1 .

A . E e c t o f F a c t o r i z a t i o n E r r o r s O n C o n v e r g e n c e

L e t u s d i v i d e t h e t o t a l s o l u t i o n i n t o t h e t r a n s i e n t ( t i m e - l i k e ) a n d p a r t i c u l a r

( s t e a d y - s t a t e ) p a r t s . T h e g o a l o f a n y f a s t s t e a d y - s t a t e a l g o r i t h m i s t o e l i m i n a t e t h e

t r a n s i e n t a s q u i c k l y a s p o s s i b l e . W e c a n e x a m i n e t h e a b i l i t y o f t h e i m p l i c i t s c h e m e

t o e l i m i n a t e t r a n s i e n t s b y i n v e s t i g a t i n g t h e m o d e l p r o b l e m , E q . ( 5 . 1 2 ) . I n t h i s c a s e ,

i n s t e a d o f E q . ( 5 . 1 4 ) w e t a k e

w = e w ( t ) e

i x

( 7 1 )

a n d t r e a t t h e s p a t i a l d e r i v a t i v e @

x

a n a l y t i c a l l y , t h e n e x a m i n e t h e t e m p o r a l d i e r -

e n c i n g s c h e m e s i n o n e a n d t w o d i m e n s i o n s . T h i s g i v e s u s t h e p u r e l y t r a n s i e n t o n e

d i m e n s i o n a l m o d e l p r o b l e m

e w

t

+

x

e w = 0 ( 7 2 )

w i t h

x

= i

T h e d e l t a f o r m o f t h e r s t o r d e r i m p l i c i t a l g o r i t h m i s

( 1 + h

x

) e w

n

= ; h

x

e w

n

( 7 3 )

w h i c h c a n b e r e w r i t t e n a s

e w

n + 1

=

1

( 1 + h

x

)

e w

n

o r

e w

n

=

1

( 1 + h

x

)

n

e w

0

( 7 4 )

4 0



w h e r e e w

0

i s s o m e i n i t i a l v a l u e . T h e t e r m i n t h e b r a c k e t s i s t h e a m p l i c a t i o n f a c t o r ,

F o r h ! 1 e w

n

! 0 a n d t h e t r a n s i e n t c a n a c t u a l l y b e e l i m i n a t e d d i r e c t l y f o r

l a r g e h

I n c o n t r a s t , l e t u s e x a m i n e a t w o - d i m e n s i o n a l f a c t o r e d i m p l i c i t s c h e m e f o r t h e

t w o - d i m e n s i o n a l t r a n s i e n t p r o b l e m

e w

t

+

x

e w +

y

e w = 0 ( 7 5 )

T h i s i s t h e t w o - d i m e n s i o n a l c o u n t e r p a r t t o E q . ( 7 . 2 ) . A p p l y i n g t h e r s t o r d e r

i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n d e l t a a l g o r i t h m t o E q . ( 7 . 5 ) w e h a v e

1 + h

x

] 1 + h

y

]

e w

n

= ; h (

x

+

y

)

e w

n

( 7 6 )

E x p a n d i n g e w

n

= e w

n + 1

; e w

n

a n d c o m b i n i n g t e r m s w e h a v e

e w

n

=

"

;

1 + h

2

x

y

( 1 + h

x

+ h

y

+ h

2

x

y

)

#

n

e w

0

( 7 7 )

a n d s o j j ! 1 a s h ! 1

A c l o s e e x a m i n a t i o n o f t h i s r e s u l t s h o w s t h a t t h e f a c t o r i z a t i o n h a s d e s t r o y e d

t h e g o o d c o n v e r g e n c e c h a r a c t e r i s t i c s a t l a r g e t i m e s t e p s . T h e f a c t o r i n g e r r o r t e r m

h a s i n t r o d u c e d a h

2

t e r m i n t h e n u m e r a t o r o f t h e a m p l i c a t i o n f a c t o r . T h e r e f o r e

t h e f a c t o r e d s c h e m e s d o n o t h a v e g o o d c o n v e r g e n c e c h a r a c t e r i s t i c s f o r l a r g e t i m e

s t e p s . A c t u a l l y , t h e r e i s a r a n g e o f m o d e r a t e l y l a r g e t i m e s t e p s w h e r e t h e a m p l i -

c a t i o n f a c t o r i s a m i n i m u m , s e e f o r i n s t a n c e A b a r b a n e l , D w o y e r , a n d G o t t l i e b 2 9 ] .

C o n v e r g e n c e c a n t h e r e f o r e b e a c c e l e r a t e d b y u s i n g a t i m e s t e p w h i c h m i n i m i z e s t h e

a m p l i c a t i o n f a c t o r .

N o t e t h a t f o r t h e d e l t a f o r m o f t h e a l g o r i t h m ( e i t h e r f a c t o r e d o r u n f a c t o r e d )

t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n i s i n d e p e n d e n t o f t h e t i m e s t e p , h . ( T h e r e a r e n u m e r i c a l

s c h e m e s w h e r e t h i s i s n o t t h e c a s e , s u c h a s L a x - W e n d r o . ) T h e r e f o r e , t h e t i m e s t e p

p a t h t o t h e s t e a d y - s t a t e d o e s n o t a e c t t h e n a l s o l u t i o n a n d w e c a n e n v i s i o n u s i n g

t i m e s t e p s e q u e n c e s o r s p a t i a l l y v a r i a b l e t i m e s t e p s t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e .

B . S p a c e V a r y i n g t

M a n i p u l a t i o n o f t h e t i m e s t e p c a n h a v e a s u b s t a n t i a l i n u e n c e o n c o n v e r g e n c e

e v e n w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e f a c t o r e d a l g o r i t h m s . I f o n l y a s t e a d y s t a t e s o l u t i o n

i s r e q u i r e d , o n e c a n l e t h ( o r t ) c h a n g e i n s p a c e . T h i s a p p r o a c h c a n b e v i e w a s

a w a y t o c o n d i t i o n t h e i t e r a t i o n m a t r i x o f t h e r e l a x a t i o n s c h e m e d e n e d v i a E q .

( 5 . 2 2 ) o r E q . ( 5 . 2 6 ) . U s e o f a s p a c e v a r y i n g t c a n a l s o b e i n t e r p r e t e d a s a n

a t t e m p t t o u s e a m o r e u n i f o r m C o u r a n t n u m b e r t h r o u g h o u t t h e e l d . I n a n y e v e n t ,

c h a n g i n g t c a n b e e e c t i v e f o r g r i d s p a c i n g s t h a t v a r y f r o m v e r y n e t o v e r y c o a r s e

4 1



- a s i t u a t i o n u s u a l l y e n c o u n t e r e d i n a e r o d y n a m i c s i m u l a t i o n s w h e r e g r i d s c o n t a i n a

w i d e v a r i e t y o f l e n g t h s c a l e s .

A s p a c e v a r y i n g t h a s b e e n u s e d i n b o t h e x p l i c i t a n d i m p l i c i t s c h e m e s ( e . g .

S h a n g a n d H a n k e y 3 0 ] , M c D o n a l d a n d B r i l e y 3 1 ] , S h i r n i v a s a n e t a l 3 2 ] , C o a k l e y

3 3 ] , J a m e s o n 6 ] , e t c ) . A s a r u l e o n e w i s h e s t o a d j u s t t a t e a c h p o i n t p r o p o r t i o n a l

t o t h e g r i d s p a c i n g a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c s p e e d o f t h e o w . S o m e t h i n g l i k e t h e

C o u r a n t n u m b e r r e s t r i c t i o n ( w h i c h f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s i n m u l t i - d i m e n s i o n s i s

a b i t o f a n a p p r o x i m a t i o n ) .

F o r h i g h l y s t r e t c h e d g r i d s t h e s p a c e v a r i a t i o n o f t h e g r i d i s t h e m o s t i m p o r t a n t

p a r a m e t e r t o s c a l e w i t h . I n s u b s o n i c a n d t r a n s o n i c o w t h e c h a r a c t e r i s t i c s p e e d s

h a v e m o d e r a t e v a r i a t i o n a n d w e h a v e f o u n d t h a t a p u r e l y g e o m e t r i c v a r i a t i o n o f t

i s a d e q u a t e , s p e c i c a l l y

t =

t j

r e f

1 +

p

J

( 7 8 a )

T o i l l u s t r a t e t h e a d v a n t a g e o f u s i n g a v a r i a b l e t i m e s t e p , F i g . 6 s h o w s t h e

d e g r a d a t i o n i n c o n v e r g e n c e r a t e w h e n a c o n s t a n t s t e p s i z e i s s u b s t i t u t e d f o r t h e

v a r i a b l e t i m e s t e p i n a N A C A 0 0 1 2 t e s t c a s e . F o r t h i s c o m p a r i s o n a l l o t h e r p o s s i b l e

p a r a m e t e r s w e r e h e l d c o n s t a n t a n d n o o t h e r c h a n g e s w e r e e m p l o y e d . W e s h o u l d

n o t e a t t h i s t i m e t h a t t h e a b o v e v a r i a t i o n o f t i m e s t e p h a s o f t e n w o r k e d p o o r l y

i n v i s c o u s o w u n t i l t h e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n t e r m s w e r e a l s o p u t i n i m p l i c i t l y a s

d e s c r i b e d l a t e r . A l s o o t h e r f o r m s o f t h e v a r i a b l e s t e p s i z e s o m e t i m e s p e r f o r m b e t t e r

t h a n E q . ( 7 . 8 a 1 ) , f o r e x a m p l e

t =

t j

r e f

j U j + j V j + a

q

2

x

+

2

y

+

2

x

+

2

y

( 7 8 b )

w h i c h i s a p p r o x i m a t e l y a c o n s t a n t C F L c o n d i t i o n . H o w e v e r , E q . ( 7 . 8 b ) i s m o r e

c o s t l y t o c o m p u t e t h e n E q . ( 7 . 8 a ) .

C . M e s h S e q u e n c e s

F o r i n v i s c i d a i r f o i l c a l c u l a t i o n s o n a g r i d o f O ( 2 5 0 x 5 0 ) p r a c t i c a l c o n v e r g e n c e i s

u s u a l l y o b t a i n e d i n 5 0 0 - 6 0 0 n e g r i d i t e r a t i o n s w h e n t h e o w e l d h a s b e e n s t a r t e d

f r o m a n i n i t i a l c o n d i t i o n o f u n i f o r m f r e e s t r e a m o w . T y p i c a l l y t h e r s t 1 0 0 t o 2 0 0

i t e r a t i o n s o n t h e n e m e s h a r e n e e d e d t o g e t p a s t t h e i n i t i a l t r a n s i e n t s w h i c h c a n b e

a s u b s t a n t i a l p o r t i o n o f t h e t o t a l s o l u t i o n t i m e . F o r i n s t a n c e , i n t h e a b o v e t e s t c a s e

i t t a k e s o n t h e o r d e r o f 6 0 0 n e g r i d i t e r a t i o n s f o r a t i g h t c o n v e r g e n c e c r i t e r i a ( e . g .

l i f t t o 5 d e c i m a l p l a c e s ) , 2 0 0 o f w h i c h a r e s p e n t o n c l e a r i n g o u t t h e i m p u l s i v e s t a r t .

O n e w a y t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e t o a s t e a d y s t a t e i s t o o b t a i n a g o o d i n i t i a l g u e s s

f o r a n e m e s h b y r s t i t e r a t i n g o n a s e q u e n c e o f c o a r s e g r i d s a n d t h e n i n t e r p o l a t i n g

t h e s o l u t i o n u p t o t h e n e x t r e n e d g r i d . S u c h a m e s h s e q u e n c e p r o c e d u r e c a n o f t e n

r e d u c e t h e a m o u n t o f t i m e r e q u i r e d t o o b t a i n a s o l u t i o n t o p l o t a b l e a c c u r a c y b y

4 2



F i g u r e 6 . C o n v e r g e n c e I m p r o v e m e n t D u e t o V a r i a b l e T i m e S t e p .

a f a c t o r o f t w o . A l s o , b e c a u s e a c o a r s e g r i d t e n d s t o d a m p h i g h f r e q u e n c y w a v e s ,

u s i n g a m e s h s e q u e n c e p r o c e d u r e c a n i m p r o v e t h e o v e r a l l r o b u s t n e s s o f t h e c o d e .

A m e s h s e q u e n c i n g p r o c e d u r e c a n b e i m p l e m e n t e d i n a n o p t i o n a l l y c a l l e d s t a n d

a l o n e r o u t i n e . I f a s e q u e n c e o f m g r i d s a r e u s e d , a c o a r s e n e d g r i d i s c u t f r o m e a c h

p r e v i o u s g r i d b y h a l v i n g t h e n u m b e r o f p o i n t s i n t h e - d i r e c t i o n a n d b y r e g e n e r a t i n g

a n e w - d i s t r i b u t i o n o f p o i n t s i n t h e - d i r e c t i o n u s i n g a f e w e r n u m b e r o f p o i n t s .

T h e - d i s t r i b u t i o n i s r e g e n e r a t e d b e c a u s e i n v i s c o u s o w s t h e s p a c i n g n e a r t h e w a l l

w o u l d b e t o o c o a r s e i f t h e h a l v i n g p r o c e d u r e i s u s e d . A n i t e n u m b e r o f i t e r a t i o n s

( p e r h a p s 5 0 ) a r e c a r r i e d o u t o n e a c h c o a r s e n e d g r i d a t w h i c h p o i n t t h e a p p r o x i m a t e

s o l u t i o n i s i n t e r p o l a t e d o n t o a m o r e r e n e d g r i d . T h e n e s t g r i d i s t h e n i t e r a t e d t o

c o n v e r g e n c e . T h e r e s u l t i s f a s t e r c o n v e r g e n c e t o p r a c t i c a l l e v e l s a n d a m o r e r o b u s t

s t a r t i n g p r o c e d u r e .

F o r a N A C A 0 0 1 2 t e s t c a s e a s e q u e n c e o f 3 g r i d s h a s b e e n u s e d 4 8 b y 1 8 a n d

4 3



9 6 b y 2 5 a n d t h e n a l g r i d o f 1 9 2 b y 3 3 p o i n t s . T h e c o n v e r g e n c e o f C

l

i s s h o w n i n

F i g . 7 t o i n d i c a t e t h e o v e r a l l i m p r o v e m e n t i n c o n v e r g e n c e d u e t o t h e u s e o f m e s h

s e q u e n c i n g i n c o m p a r i s o n t o t h e u s e o f a n e g r i d o n l y . B o t h c a s e s w e r e s t a r t e d

w i t h a f r e e s t r e a m i n i t i a l c o n d i t i o n .

F i g u r e 7 . I m p r o v e m e n t I n T o t a l C o n v e r g e n c e o f L i f t D u e t o M e s h S e q u e n c i n g .

7 . 2 E e c t o f D i s s i p a t i o n M o d e l o n C o n v e r g e n c e a n d S t a b i l i t y

A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n V I . , b a s e d o n l i n e a r t h e o r y t h e u s e o f e x p l i c i t d i s s i p a -

t i o n p r o d u c e s a n e x p l i c i t s t a b i l i t y b o u n d s u n l e s s i m p l i c i t d i s s i p a t i o n i s a d d e d . T h e

s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n , E q . ( 6 . 2 b ) , w i l l s t a b i l i z e t h e f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i -

p a t i o n i f t h e c o e c i e n t s a r e c h o s e n p r o p e r l y . I d e a l l y t h o u g h , i t w o u l d b e b e t t e r t o

t r e a t t h e e x p l i c i t d i s s i p a t i o n i n a f u l l y i m p l i c i t m a n n e r . T h a t i s , u s e i m p l i c i t f o u r t h -

d i e r e n c e d i s s i p a t i o n w h i c h i s a n e x a c t l i n e a r i z a t i o n o f t h e e x p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e

d i s s i p a t i o n . I n f a c t , a l t h o u g h t h e i m p l i c i t s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n s t a b i l i z e s

4 4



t h e f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n i t c a n h a v e a d e t r i m e n t a l e e c t o n t h e c o n v e r g e n c e

r a t e s o f a n i m p l i c i t a l g o r i t h m f o r s t e a d y - s t a t e c o m p u t a t i o n s .

C o n s i d e r t h e m o d e l p r o b l e m i n o n e - d i m e n s i o n ( e q u i v a l e n t t o E q . ( 5 . 1 2 ) w i t h a

c o n v e n i e n t c h a n g e i n n o t a t i o n ) ,

q

t

+ a q

x

= 0 ( 7 9 )

A p p l y i n g t h e r s t - o r d e r t i m e a c c u r a t e E u l e r i m p l i c i t s c h e m e i n d e l t a f o r m t o E q .

( 7 . 9 ) a n d a d d i n g e x p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n (

4

> 0 ) , i m p l i c i t s e c o n d -

d i e r e n c e d i s s i p a t i o n (

2

> 0 ) , a n d i m p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n (

4

> 0 )

g i v e s t h e a l g o r i t h m

1 + h a

x

; h

2

r

x

x

+ h

4

( r

x

x

)

2

( q

n + 1

; q

n

) = ; h

;

a

x

+

4

( r

x

x

)

2

q

n

( 7 1 0 )

F o u r i e r a n a l y s i s u s i n g q

n

= w

n

e

i k

j

j x

( w i t h k

j

t h e w a v e n u m b e r i n x ) p r o d u c e s

1 + h a

x

; h

2

x

+ h

4

2

x

( w

n + 1

; w

n

) = ; h

;

a

x

+

4

2

x

w

n

( 7 1 1 )

w h e r e

x

= 2 i s i n ( k

j

x ) = x r e p r e s e n t s t h e F o u r i e r s i g n a t u r e f o r t h e c e n t r a l d i e r -

e n c e

x

,

x

= ; 2 + 2 c o s ( k

j

x ) t h e s i g n a t u r e o f t h e s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n

o p e r a t o r r

x

x

, a n d

2

x

f o r t h e f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n .

T h e a m p l i c a t i o n f a c t o r f o r w

n + 1

= w

n

i s t h e n

=

1 + h

;

(

4

;

4

)

2

x

;

2

x

1 + h ( a

x

;

2

x

+

4

2

x

)

( 7 1 2 )

T h e c h o i c e s w h i c h w i l l b e i n v e s t i g a t e d a r e

1

4

6= 0 a n d

4

=

2

= 0 , e x p l i c i t d i s s i p a t i o n o n l y .

2

4

6= 0 ,

2

6= 0 , a n d

4

= 0 , e x p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n a n d i m p l i c i t

s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n , n o i m p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n .

3

4

6= 0 ,

4

6= 0 a n d

2

= 0 , e x p l i c i t a n d i m p l i c i t f o u r t h - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n

w i t h n o i m p l i c i t s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n .

F o r c a s e 1 , e x p l i c i t d i s s i p a t i o n o n l y , E q . ( 7 . 1 2 ) b e c o m e s

=

1 ; h

4

2

x

1 + h a

x

( 7 1 3 a )

N o w , s i n c e

x

i s p u r e i m a g i n a r y a n d h a s a m i n i m u m o f 0 , a n d ; 4

x

0 t h e

e x p l i c i t s t a b i l i t y b o u n d i s h

4

<

1

8

. T h i s i s a l i m i t o n t h e p r o d u c t o f h a n d

4

a n d

t h e r e f o r e o n e c a n a l w a y s n d a c o m b i n a t i o n w h i c h w i l l b e s t a b l e . B u t , f o r a r b r i t r a r y

h , e s p e c i a l l y i n t h e c a s e w h e r e l a r g e h a r e u s e d t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e , t h i s b o u n d

i s t o o r e s t r i c t i v e .

4 5



I n t h e s e c o n d c a s e , i m p l i c i t s e c o n d - d i e r e n c e d i s s i p a t i o n c a n e l i m i n a t e t h e

a b o v e s t a b i l i t y b o u n d . T h e a m p l i c a t i o n f a c t o r i s n o w

=

1 ; h

4

2

x

; h

2

x

1 + h a

x

; h

2

x

( 7 1 3 b )

T h e n u m e r a t o r t e r m

x

c a n o n l y i m p r o v e t h e s t a b i l i t y b o u n d s s i n c e i t i s p u r e

i m a g i n a r y , s o i t i s t a k e n a t i t s m i n i m u m , 0 . L e t

2

= 2

4

a n d a p p l y t h e s t a b i l i t y

c o n d i t i o n j j 1 w h i c h r e s u l t s i n t h e c o n d i t i o n ; 2 ; h

4

x

( 4 +

x

) . S i n c e

x

0 , t h e c o n d i t i o n c a n b e r e w r i t t e n a s ; 2 h

4

j

x

j ( 4 +

x

) w h i c h i s s a t i s e d

b e c a u s e ; 4

x

. T h e r e f o r e , u s i n g

2

= 2

4

l e a d s t o u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y . T h e

d i s a d v a n t a g e o f t h i s i s f o r m i s e v i d e n t f r o m t h e a m p l i c a t i o n f a c t o r , E q . ( 7 . 1 3 b ) .

E v e n t h o u g h t h e s c h e m e i s u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e , ! 1 a s h ! 1 . I n f a c t , t h e

a m p l i c a t i o n f a c t o r h a s a m i n i m u m a t a n i t e h a n d t h e n a s y m p t o t e s r a p i d l y t o 1

a s h i n c r e a s e s . F o r t h i s r e a s o n , l a r g e h c a n n o t b e u s e d t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e

e v e n i n t h i s s i m p l e o n e - d i m e n s i o n a l e x a m p l e .

I n c o n t r a s t , t h e t h i r d c a s e o f i m p l i c i t a n d e x p l i c i t d i s s i p a t i o n i s u n c o n d i t i o n a l l y

s t a b l e a n d h a s g o o d c o n v e r g e n c e c h a r a c t e r i s t i c s f o r l a r g e h . T h e a m p l i c a t i o n f a c t o r

f o r

4

=

4

a n d

2

= 0 i s

=

1

1 + h ( a

x

+

4

2

x

)

( 7 1 3 c )

w h i c h i s u n c o n d i t i o n a l l y s t a b l e a n d ! 0 a s h ! 1

T h e a n a l y s i s f o r t w o a n d t h r e e d i m e n s i o n s i s s t r a i g h t f o r w a r d a n d g i v e s s i m i l a r

r e s u l t s f o r t h e u n f a c t o r e d f o r m s . T h e o p t i m a l a l g o r i t h m i s a f u l l y i m p l i c i t o n e . I n

g e n e r a l , o p t i m a l s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e o n l y o c c u r s f o r t h e f u l l y i m p l i c i t f o r m o f

t h e a l g o r i t h m .

W e d e m o n s t r a t e t h e i m p r o v e d c o n v e r g e n c e a n d s t a b i l i t y b o u n d s i n F i g . 8 .

T h e c u r v e s i n F i g . 8 a r e c o n v e r g e n c e h i s t o r i e s f o r a t r a n s o n i c a i r f o i l c o m p u t a -

t i o n s h o w i n g t h e e e c t o f a f u l l y i m p l i c i t t r e a t m e n t o f t h e a r t i c i a l d i s s i p a t i o n . T h e

u p p e r c u r v e i s t h e r e s u l t o f s e c o n d o r d e r c o n s t a n t c o e c i e n t i m p l i c i t d i s s i p a t i o n ,

E q . ( 6 . 2 b ) , w i t h n o n l i n e a r e x p l i c i t d i s s i p a t i o n , E q . ( 6 . 1 2 ) . A m u c h f a s t e r c o n v e r -

g e n c e r a t e i s o b t a i n e d i n t h i s p r o b l e m w h e n t h e s e c o n d o r d e r i m p l i c i t d i s s i p a t i o n

i s r e p l a c e d b y a n i m p l i c i t l i n e a r i z a t i o n o f t h e n o n l i n e a r d i s s i p a t i o n o f E q . ( 6 . 1 2 ) ,

s e e R e f . 2 8 ] f o r m o r e d e t a i l s . A l s o t h e m a x i m u m a l l o w a b l e t i m e s t e p i s a t l e a s t 1 0

t i m e s l a r g e r f o r t h e f u l l y i m p l i c i t s c h e m e .

4 6



F i g u r e 8 . I m p r o v e m e n t i n C o n v e r g e n c e R a t e D u e t o I m p l i c i t T r e a t m e n t o f

A r t i c i a l D i s s i p a t i o n .

V I I I . A R C 2 D - A R C 3 D A l g o r i t h m s

G e n e r a l p u r p o s e c e n t r a l l y s p a c e d i e r e n c e d i m p l i c i t n i t e d i e r e n c e c o d e s i n

t w o 2 ] a n d t h r e e 3 ] d i m e n s i o n s h a v e b e e n d e v e l o p e d a t N A S A A m e s a n d h a v e

b e e n w i d e l y d i s t r i b u t e d s i n c e t h e i r i n t r o d u c t i o n i n 1 9 7 7 a n d 1 9 7 8 . T h e s e c o d e s ,

n o w r e f e r r e d t o A R C 2 D a n d A R C 3 D , c a n r u n e i t h e r i n i n v i s c i d o r v i s c o u s m o d e f o r

s t e a d y o r u n s t e a d y o w . T h e y u s e g e n e r a l c o o r d i n a t e s y s t e m s a n d c a n b e r u n o n a n y

s m o o t h l y v a r y i n g c u r v i l i n e a r m e s h , e v e n a m e s h t h a t i s q u i t e s k e w . B e c a u s e t h e y

u s e w e l l o r d e r e d n i t e d i e r e n c e g r i d s , t h e c o d e s c a n t a k e a d v a n t a g e o f v e c t o r i z e d

c o m p u t e r p r o c e s s o r s a n d h a v e b e e n i m p l e m e n t e d f o r t h e C o n t r o l D a t a 2 0 5 a n d t h e

C R A Y 1 - S a n d X - M P . O n a s i n g l e p r o c e s s o r o f t h e X - M P a v e c t o r i z e d v e r s i o n o f t h e

c o d e r u n s a p p r o x i m a t e l y 2 0 t i m e s f a s t e r t h a n t h e o r i g i n a l c o d e w h i c h w a s w r i t t e n

f o r t h e C o n t r o l D a t a 7 6 0 0 .

T r a d i t i o n a l l y g a i n s i n c o m p u t a t i o n a l e c i e n c y d u e t o i m p r o v e d n u m e r i c a l a l -

g o r i t h m s h a v e k e p t p a c e w i t h g a i n s d u e t o i n c r e a s e d c o m p u t e r p o w e r . S i n c e t h e

A R C 2 D a n d A R C 3 D c o d e s w e r e i n t r o d u c e d , a v a r i e t y o f a l g o r i t h m i c c h a n g e s h a v e

b e e n i n d i v i d u a l l y t e s t e d a n d h a v e b e e n s h o w n t o i m p r o v e o v e r a l l c o m p u t a t i o n a l

e c i e n c y . T h e s e i n c l u d e u s e o f a s p a t i a l l y v a r y i n g t i m e s t e p ( t ) , u s e o f a s e q u e n c e

o f m e s h r e n e m e n t s t o e s t a b l i s h a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s , i m p l e m e n t a t i o n o f v a r i o u s

w a y s t o r e d u c e i n v e r s i o n w o r k , i m p r o v e d n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n t e r m s , a n d m o r e i m -

4 7



p l i c i t t r e a t m e n t o f t e r m s . A l t h o u g h t h e v a r i o u s i n d i v i d u a l a l g o r i t h m i m p r o v e m e n t s

c a n i n t e r a c t w i t h e a c h o t h e r , s o m e t i m e s a d v e r s e l y m a k i n g o p t i m i z a t i o n d i c u l t ,

t h e i r c o m b i n e d e e c t h a s l e a d t o a n o r d e r o f m a g n i t u d e g a i n i n c o m p u t a t i o n a l e -

c i e n c y f o r s t e a d y s t a t e a p p l i c a t i o n s . T h i s i s a g a i n e q u i v a l e n t t o t h a t a c h i e v e d w i t h

c o m p u t e r h a r d w a r e . U n s t e a d y o w c a l c u l a t i o n s h a v e a l s o b e n e t e d f r o m s o m e o f

t h e a b o v e i m p r o v e m e n t s .

W e n o w s u m m a r i z e t h e t w o b a s i c a l g o r i t h m s u s e d i n t h e c o d e A R C 2 D , s e e

S e c t i o n V I I I f o r d e t a i l s o f A R C 3 D . T h e s t a n d a r d a l g o r i t h m i s u s e d m a i n l y f o r t i m e

a c c u r a t e c a l c u l a t i o n s . T h e e q u a t i o n s a r e r e p r o d u c e f r o m E q . ( 5 . 2 2 )

h

I + h

b

A

n

i h

I + h

b

B

n

; h R e

; 1

c

M

n

i

b

Q

n

=

b

R

n

b

R

n

= ; h

h

b

E

n

+

b

F

n

; R e

; 1

b

S

n

i ( 8 1 )

T h i s s c h e m e c o n s i s t s o f r s t f o r m i n g t h e r i g h t h a n d s i d e ,

b

R

n

t h e n p e r f o r m i n g t w o

b l o c k t r i d i a g o n a l i n v e r s i o n s . C e n t r a l d i e r e n c e s a r e u s e d f o r t h e u x a n d J a c o b i a n

d i e r e n c e s . T h e d i s s i p a t i o n m o d e l s u s e d a r e t h e i m p l i c i t s e c o n d o r d e r , E q s . ( 6 . 1 b ) ,

a d d e d t o t h e a p p r o p r i a t e i m p l i c i t o p e r a t o r t o k e e p t h e b a n d w i d t h t r i d i a g o n a l a n d

t h e e x p l i c i t n o n l i n e a r t e r m E q . ( 6 . 1 2 ) . S i n c e t h i s s c h e m e i s u s e d f o r t i m e a c c u r a t e

c a l c u l a t i o n t h e t y p i c a l t i m e s t e p w i l l b e s m a l l e n o u g h t o a s s u r e s t a b i l i t y e v e n t h o u g h

t h e e x p l i c i t d i s s i p a t i o n o p e r a t o r i s n o t p r o p e r l y l i n e a r i z e d . T h e a d v a n t a g e o f t h i s

s c h e m e i s t i m e a c c u r a c y w h i l e t h e d i s a d v a n t a g e i s s u b s t a n t i a l c o m p u t a t i o n a l w o r k .

I n m o s t i n s t a n c e s w e a r e i n t e r e s t e d i n s t e a d y s t a t e c o m p u t a t i o n s . I n t h a t c a s e

w e c a n t a k e a d v a n t a g e o f s i m p l i c a t i o n s s u c h a s t h e d i a g o n a l a l g o r i t h m a s l o n g

a s t h e s c h e m e c o n v e r g e s a n d w e d o n o t d i s t o r t t h e s t e a d y s t a t e e q u a t i o n s . T h e

d i a g o n a l a l g o r i t h m u s e d i n A R C 2 D i s

T

I + h

]

b

N I + h

] T

; 1

b

Q

n

=

b

R

n

( 8 2 )

I n t h i s c a s e w e a l w a y s e m p l o y t h e n o n l i n e a r d i s s i p a t i o n m o d e l s , E q . ( 6 . 1 2 ) w i t h a

l i n e a r i z a t i o n o f t h e t e r m s w h i c h n e c e s s i t a t e s t h e u s e o f s c a l a r p e n t a d i a g o n a l s o l v e r s .

( N o t e t h a t t h e i m p l i c i t a r t i c i a l d i s s i p a t i o n t e r m s a r e p l a c e d i n s i d e t h e b r a c k e t e d

t e r m s a n d a r e o p e r a t e d o n b y t h e s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n s ) . T h i s f o r m o f t h e

d i a g o n a l s c h e m e g i v e s u s a v e r y e c i e n t c o d e i n t e r m s o f c o m p u t a t i o n a l w o r k a n d

e n h a n c e d s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e d u e t o t h e p r o p e r l i n e a r i z a t i o n o f t h e e x p l i c i t

s t e a d y s t a t e e q u a t i o n s . T h e t i m e a c c u r a c y t h o u g h i s a t m o s t r s t o r d e r . W e

a l s o e m p l o y t h e v a r i a b l e t i m e s t e p E q . ( 7 . 8 ) a n d m e s h s e q u e n c i n g t o a c c e l e r a t e

c o n v e r g e n c e .

W e s h a l l e m p l o y A R C 2 D a n d A R C 3 D t o d e m o n s t r a t e v a r i o u s a s p e c t s o f a l g o -

r i t h m i m p r o v e m e n t s , a c c u r a c y , a n d a p p l i c a t i o n i n t h e r e m a i n d e r o f t h e s e n o t e s .

4 8



I X . B o u n d a r y C o n d i t i o n s

T h e i m p l e m e n t a t i o n o f a s o p h i s t i c a t e d n u m e r i c a l a l g o r i t h m a n d t h e d e v e l o p -

m e n t o f a o w c o d e u s u a l l y a r e t r i v i a l t a s k s w h e n c o m p a r e d w i t h t h e w o r k o f a c t u a l l y

s o l v i n g a p a r t i c u l a r u i d d y n a m i c s p r o b l e m . W e c a n a l w a y s a s s e s s t h e a p p l i c a b i l -

i t y o f a n u m e r i c a l a l g o r i t h m b a s e d o n s t a b i l i t y a n d a c c u r a c y c o n s i d e r a t i o n s . T h e

w r i t i n g o f s p e c i a l i z e d i n p u t a n d o u t p u t r o u t i n e s , w h i l e n o t u n i m p o r t a n t , i s u s u a l l y

m e c h a n i c a l . T h e r e a l s t u m b l i n g b l o c k c o m e s w i t h t h e s e l e c t i o n , i m p l e m e n t a t i o n

a n d a s s e s s m e n t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( B C ) .

T h e r e i s a h i e r a r c h y o f d e c i s i o n s w h i c h a r e m a d e w h e n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n

p r o b l e m i s a t t a c k e d . T h e i m p o r t a n t a s p e c t s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n d e v e l o p m e n t

a r e :

1 . T h e p h y s i c a l d e n i t i o n o f t h e o w p r o b l e m m u s t b e s a t i s e d . F o r e x a m p l e ,

i n v i s c i d o w r e q u i r e s t a n g e n c y a t s o l i d s u r f a c e s , o r w e m a y w a n t t o s p e c i f y

p r e s s u r e a t s o m e b o u n d a r y .

2 . T h e p h y s i c a l c o n d i t i o n s m u s t b e p o s e d i n t e r m s o f t h e m a t h e m a t i c s o f t h e

p r o b l e m . C h a r a c t e r i s t i c t h e o r y s u g g e s t s t h e n u m b e r o f c o n d i t i o n s r e q u i r e d a t

a b o u n d a r y . T h e c o n d i t i o n o f n o s l i p f o r v i s c o u s o w i s i m p o s e d b y s e t t i n g t h e

o w v e l o c i t i e s t o z e r o a t s o l i d s u r f a c e s .

3 . T h e m a t h e m a t i c a l c o n d i t i o n s a r e n u m e r i c a l l y a p p r o x i m a t e d .

4 . T h e n u m e r i c a l i n t e r i o r s c h e m e m a y r e q u i r e m o r e b o u n d a r y i n f o r m a t i o n t h a n

t h e p h y s i c s p r o v i d e s . F o r e x a m p l e , s t a n d a r d c e n t r a l d i e r e n c i n g a s a n i n t e r i o r

s c h e m e r e q u i r e s a l l o w q u a n t i t i e s a t b o u n d a r i e s , b u t t h i s m a y n o t b e c o n s i s t e n t

w i t h m a t h e m a t i c a l t h e o r y . A d d i t i o n a l n u m e r i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s m a y b e

a d j o i n e d .

5 . T h e c o m b i n a t i o n o f i n t e r i o r n u m e r i c a l s c h e m e a n d b o u n d a r y s c h e m e s h o u l d b e

c h e c k e d f o r s t a b i l i t y a n d a c c u r a c y .

6 . F i n a l l y , w e m u s t a s s e s s t h e e c i e n c y a n d g e n e r a l i t y o f a o w c o d e i n t e r m s o f

i t s a b i l i t y t o h a n d l e a w i d e v a r i e t y o f p r o b l e m s a n d o w c o n d i t i o n s .

T h e p h y s i c a l d e n i t i o n o f t h e o w p r o b l e m i s t h e r s t a n d f o r e m o s t c o n s i d e r -

a t i o n . O n c e a g e o m e t r y a n d t o p o l o g y h a v e b e e n c h o s e n , t h e n p h y s i c s d i c t a t e s t h e

c o n s t r a i n t s o n t h e b o u n d a r i e s .

9 . 1 C h a r a c t e r i s t i c A p p r o a c h

T h e c o n c e p t o f c h a r a c t e r i s t i c t h e o r y i s b e s t d e m o n s t r a t e d w i t h t h e o n e - d i m e n s i o n a l

E u l e r e q u a t i o n s , w h e r e

@

t

Q + @

x

( A Q ) = 0 ( 9 1 )

r e p r e s e n t s t h e m o d e l e q u a t i o n . A s s u m i n g t h a t A i s a c o n s t a n t c o e c i e n t m a t r i x w e

c a n d i a g o n a l i z e E q . ( 9 . 1 ) u s i n g t h e e i g e n v e c t o r m a t r i x X , s o t h a t

@

t

;

X

; 1

Q

+

A

@

x

;

X

; 1

Q

= 0 ( 9 2 )

4 9



D e n i n g X

; 1

Q = W , w e n o w h a v e a d i a g o n a l s y s t e m , w i t h

A

=

2

4

u 0 0

0 u + a 0

0 0 u ; a

3

5

( 9 3 )

A t t h e l e f t b o u n d a r y o f a c l o s e d p h y s i c a l d o m a i n , s e e F i g . 9 , w h e r e s a y 0 <

u < a , ( f o r e x a m p l e , s u b s o n i c i n o w f o r a c h a n n e l o w ) t h e t w o c h a r a c t e r i s t i c

s p e e d s u u + a a r e p o s i t i v e , w h i l e u ; a i s n e g a t i v e . A t i n o w t h e n , o n l y t w o p i e c e s

o f i n f o r m a t i o n e n t e r t h e d o m a i n a l o n g t h e t w o i n c o m i n g c h a r a c t e r i s t i c s a n d o n e

p i e c e l e a v e s a l o n g t h e o u t g o i n g c h a r a c t e r i s t i c . A t t h e o u t o w b o u n d a r y o n e p i e c e o f

i n f o r m a t i o n e n t e r s a n d t w o l e a v e . W e w o u l d l i k e t o s p e c i f y t h e r s t t w o c o m p o n e n t s

o f W , w h i c h a r e t h e t w o i n c o m i n g c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s a n d t h e n h a n d l e t h e t h i r d

c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s u c h t h a t i t s v a l u e i s n o t c o n s t r a i n e d , i . e . , i s d e t e r m i n e d b y

t h e i n t e r i o r o w .

F i g u r e 9 . C h a r a c t e r i s t i c s a t S u b s o n i c I n o w a n d O u t o w B o u n d a r i e s o f a C l o s e d

D o m a i n .

I t i s n o t n e c e s s a r y t o x v a l u e s o n l y i n t e r m s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c v a r i a b l e s ,

o t h e r o w q u a n t i t i e s c o u l d b e e m p l o y e d , a s l o n g a s t h e y l e a d t o w e l l p o s e d c o n d i t i o n s

( t h a t i s , c o n d i t i o n s w h i c h g u a r a n t e e t h e s t a b i l i t y o f t h e m a t h e m a t i c a l p r o b l e m ) . Y e e

3 4 ] p r o v i d e s a n e x c e l l e n t s u r v e y a n d d e v e l o p m e n t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s w i t h i n t h e

f r a m e w o r k o f a n i m p l i c i t a l g o r i t h m . T h e m a j o r c o n s t r a i n t s w h i c h o c c u r a r e t h a t t h e

c o r r e c t n u m b e r o f b o u n d a r y v a l u e s c o r r e s p o n d i n g t o i n c o m i n g c h a r a c t e r i s t i c s a r e

s p e c i e d a n d t h a t t h e a c t u a l i m p l e m e n t a t i o n i s s t a b l e a n d w e l l p o s e d . C h a k r a v a r t h y

3 5 ] p r e s e n t s a n i m p l i c i t c h a r a c t e r i s t i c b o u n d a r y p r o c e d u r e . I n t h i s t h e e i g e n v e c t o r s

o f t h e s y s t e m a r e c o u p l e d w i t h t h e c h o s e n x e d b o u n d a r y v a l u e s a n d o n e s i d e d

n i t e d i e r e n c e s t o d e v e l o p a n e q u a t i o n w h i c h i s s o l v e d f o r t h e o w v a r i a b l e s a t t h e

b o u n d a r i e s .

5 0



9 . 2 W e l l P o s e d n e s s

A s i m p l e c h e c k o n t h e w e l l p o s e d n e s s o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s o b t a i n e d a s p a r t

o f C h a k r a v a r t h y ' s d e v e l o p m e n t . A s a n e x a m p l e , l e t u s c o n s i d e r o n e - d i m e n s i o n a l o w

w i t h s u b s o n i c i n o w a n d s u b s o n i c o u t o w . T h e n t w o v a r i a b l e s c a n b e s p e c i e d a t

i n o w , a s s o c i a t e d w i t h t h e r s t t w o e i g e n v a l u e s , a n d o n e v a r i a b l e c a n b e s p e c i e d

a t o u t o w , a s s o c i a t e d w i t h t h e t h i r d e i g e n v a l u e . A s s p e c i e d v a l u e s t a k e , =

i n

,

u = ( u )

i n

a n d p = p

o u t

. T h e s e c a n b e w r i t t e n a s

B

i n

( Q ) =

2

4

q

1

q

2

0

3

5

= B

i n

( Q

i n

) ( 9 4 a )

B

o u t

( Q ) =

2

4

0

0

( ; 1 ) ( q

3

;

1

2

q

2

2

= q

1

)

3

5

= B

o u t

( Q

o u t

) ( 9 4 b )

w i t h q

1

= q

2

= u q

3

= e

F o r m i n g t h e J a c o b i a n s C

i n

= @ B

i n

= @ Q , a n d C

o u t

= @ B

o u t

= @ Q w e h a v e

C

i n

=

2

4

1 0 0

0 1 0

0 0 0

3

5

a n d C

o u t

=

2

4

0 0 0

0 0 0

( ; 1 ) = 2 ] u

2

; ( ; 1 ) u ; 1

3

5

( 9 5 )

T h e e i g e n v e c t o r m a t r i x X

; 1

i s

2

6

4

1 ;

u

2

2

( ; 1 ) a

; 2

( ; 1 ) u a

; 2

; ( ; 1 ) a

; 2

( ; 1 )

u

2

2

; u a ] a ; ( ; 1 ) u ] ( ; 1 )

( ; 1 )

u

2

2

+ u a ] ; a + ( ; 1 ) u ] ( ; 1 )

3

7

5

( 9 6 )

w i t h = 1 = (

p

2 a )

T h e c o n d i t i o n f o r w e l l p o s e d n e s s o f t h e s e e x a m p l e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s t h a t

C

; 1

i n

a n d C

; 1

o u t

e x i s t w h e r e

C

i n

=

2

4

1 0 0

0 1 0

( ; 1 )

u

2

2

+ u a ] ; a + ( ; 1 ) u ] ( ; 1 )

3

5

( 9 7 a )

a n d

C

o u t

=

2

6

4

1 ;

u

2

2

( ; 1 ) a

; 2

( ; 1 ) u a

; 2

; ( ; 1 ) a

; 2

( ; 1 )

u

2

2

; u a ] a ; ( ; 1 ) u ] ( ; 1 )

( ; 1 )

u

2

2

; ( ; 1 ) u ; 1

3

7

5

( 9 7 b )

5 1



T h e s e m a t r i c e s a r e f o r m e d b y a d j o i n i n g t h e e i g e n v e c t o r a s s o c i a t e d w i t h t h e

o u t g o i n g c h a r a c t e r i s t i c t o t h e J a c o b i a n m a t r i c e s o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e

i n v e r s e s o f t h e a b o v e m a t r i c e s w i l l e x i s t i f d e t ( C ) i s n o n z e r o . F o r t h e t w o b o u n d a r i e s

w e h a v e d e t ( C

i n

) = ( ; 1 ) 6= 0 a n d d e t ( C

o u t

) = ( ; 1 ) a 6= 0 a n d s o t h e

b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e w e l l p o s e d . O t h e r c h o i c e s f o r s p e c i e d b o u n d a r y v a l u e s

c a n b e s i m i l a r l y c h e c k e d .

R a t h e r t h a n g o i n t o a n y m o r e d e t a i l o n b o u n d a r y c o n d i t i o n t h e o r y w e r e f e r

t h e r e a d e r t o R e f s . 3 4 ] a n d 3 5 ] . F o r t h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n , w e s h a l l d i s c u s s

s o m e o f t h e c u r r e n t t y p e s o f p h y s i c a l c o n d i t i o n s w h i c h a r e u s e d i n A R C 2 D .

9 . 3 C o m p u t a t i o n a l M a p p i n g o f B o u n d a r i e s

U s u a l l y i n a o w e l d c o m p u t a t i o n , w e a r e f a c e d w i t h a v a r i e t y o f b o u n d a r y

s u r f a c e s a n d c o n d i t i o n s . O u r e x p e r i e n c e h a s b e e n m o s t l y i n e x t e r n a l o w s a n d s o

w e s h a l l o u t l i n e b e l o w s o m e o f t h e m o r e c o m m o n l y u s e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e

c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s a r e m a d e s u c h t h a t p h y s i c a l b o u n d a r i e s a r e

m a p p e d t o b o u n d a r i e s i n t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . T h i s m a k e s t h e f o r m u l a t i o n

a n d i m p l e m e n t a t i o n o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s e a s i e r .

A t t h i s s t a g e i n t h e d e v e l o p m e n t o f A R C 2 D w e h a v e k e p t t h e b o u n d a r y c o n -

d i t i o n s e x p l i c i t . T h i s g i v e s u s a m o r e e x i b l e c l e a n c o d e s i n c e a l l B C a r e h a n d l e d

i n j u s t o n e s u b r o u t i n e . W e r e a l i z e t h a t i m p l i c i t b o u n d a r y t r e a t m e n t w i l l e n h a n c e

t h e s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e r a t e s o f t h e c o d e s . O u r e x p e r i e n c e h a s b e e n t h a t t h e

b a s i c c o d e i n i t s p r e s e n t f o r m i s f a i r l y r o b u s t a n d c a n b e i m p l e m e n t e d f o r a w i d e

v a r i e t y o f c a s e s . T h e u s e r i s t h e n r e s p o n s i b l e f o r t h e i m p l e m e n t a t i o n o f b o u n d a r y

c o n d i t i o n s .

A p a r t i c u l a r s e t o f B C f o r a n a i r f o i l c a l c u l a t i o n i s u s e d b e l o w f o r d e m o n s t r a t i o n

p u r p o s e s . T h e g e o m e t r y i s m a p p e d o n t o t h e c o m p u t a t i o n a l r e c t a n g l e s u c h t h a t a l l

t h e b o u n d a r y s u r f a c e s a r e e d g e s o f t h e r e c t a n g l e , f o r e x a m p l e s e e F i g . 1 0 .

I n \ O " m e s h t o p o l o g i e s t h e w a k e c u t b o u n d a r y i s p e r i o d i c a n d c a n b e h a n d l e d

a s s u c h w h e r e p e r i o d i c s o l v e r s a r e u s e d i n t h e i m p l i c i t i n v e r s i o n s .

A . B o d y S u r f a c e s

A t a r i g i d b o d y s u r f a c e , t a n g e n c y m u s t b e s a t i s e d f o r i n v i s c i d o w a n d t h e

n o s l i p c o n d i t i o n f o r v i s c o u s o w . I n t w o - d i m e n s i o n s b o d y s u r f a c e s a r e u s u a l l y

m a p p e d t o = c o n s t a n t c o o r d i n a t e s . T h e n o r m a l c o m p o n e n t o f v e l o c i t y i n t e r m s

o f t h e c u r v i l i n e a r m e t r i c s i s g i v e n b y

V

n

=

x

u +

y

v

q

(

2

x

+

2

y

)

( 9 8 a )

5 2



F i g u r e 1 0 . T o p o l o g i c a l M a p p i n g o f a n A i r f o i l o n t o a \ C " M e s h .

a n d t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t i s

V

t

=

y

u ;

x

v

q

(

2

x

+

2

y

)

( 9 8 b )

T h e r e f o r e , t a n g e n c y i s s a t i s e d b y V

n

= 0 ( n o o w t h r o u g h t h e b o d y ) . T h e t a n -

g e n t i a l v e l o c i t y V

t

i s o b t a i n e d a t t h e b o d y s u r f a c e t h r o u g h l i n e a r e x t r a p o l a t i o n f o r

i n v i s c i d c a s e s a n d i s s e t t o z e r o f o r v i s c o u s c a s e s . T h e C a r t e s i a n v e l o c i t i e s a r e t h e n

f o r m e d f r o m t h e i n v e r s e r e l a t i o n b e t w e e n t h e m a n d E q . ( 9 . 8 ) w h e r e

u

v

=

1

q

(

2

x

+

2

y

)

y

x

;

x

y

V

t

V

n

( 9 9 )

T h e e x t r a p o l a t i o n o f V

t

p r o d u c e s l e s s e r r o r i f t h e m e s h l i n e s a r e c l u s t e r e d t o t h e b o d y

s u r f a c e . T h e v e l o c i t i e s o f E q s . ( 9 . 8 a ) , a n d ( 9 . 8 b ) a r e s c a l e d s u c h t h a t t h e m e t r i c

v a r i a t i o n s a r e r e m o v e d w h i c h d e c r e a s e s t h e e r r o r s i n t h e e x t r a p o l a t i o n s , e s p e c i a l l y

f o r n o n o r t h o g o n a l m e s h e s .

T h e p r e s s u r e o n t h e b o d y s u r f a c e i s o b t a i n e d f r o m t h e n o r m a l m o m e n t u m

e q u a t i o n

@

t

+ u @

x

+ v @

y

] ; U (

x

u

+

y

v

) =

(

x

x

+

y

y

) p

+ (

x

2

+

y

2

) p

= p

n

q

x

2

+

y

2

( 9 1 0 )

w h e r e n i s t h e l o c a l n o r m a l t o t h e b o d y s u r f a c e . E q u a t i o n ( 9 . 1 0 ) i s s o l v e d a t t h e

s u r f a c e u s i n g c e n t r a l s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e d i e r e n c e s i n a n d o n e - s i d e d r s t - o r

s e c o n d - o r d e r a c c u r a t e d i e r e n c e s i n . F o r s t e a d y u n i f o r m i n c o m i n g o w f r e e - s t r e a m

5 3



s t a g n a t i o n e n t h a l p y H

0

i s h e l d c o n s t a n t a l o n g t h e b o d y i n i n v i s c i d o w . U s i n g t h e

e q u a t i o n f o r e n t h a l p y H

0

= ( e + p ) = a n d t h e c o m p u t e d v e l o c i t i e s a n d p r e s s u r e , a

v a l u e o f d e n s i t y i s o b t a i n e d a t t h e b o d y . A d i a b a t i c o r c o n s t a n t t e m p e r a t u r e w a l l s

a r e u s e d f o r v i s c o u s a n d u n s t e a d y o w s t o o b t a i n d e n s i t y a t t h e s u r f a c e . I n e i t h e r

c a s e , t o t a l e n e r g y e i s d e c o d e d f r o m t h e e q u a t i o n o f s t a t e .

B . F r e e S u r f a c e s S t r e t c h e d g r i d s a r e u s u a l l y u s e d t o p l a c e f a r e l d b o u n d -

a r i e s f a r a w a y f r o m b o d y s u r f a c e s . W h e n b o w s h o c k s a n d a t t a c h e d s h o c k s a r e

g e n e r a t e d a t a b o d y s u r f a c e c a r e i s t a k e n t o e n s u r e t h a t t h e s h o c k s a r e s u c i e n t l y

w e a k w h e n t h e y r e a c h f a r e l d b o u n d a r i e s s o t h a t t h e y a r e n o t r e e c t e d o r a t l e a s t

t h e y r e e c t o u t s i d e t h e o w d o m a i n . A n o n r e e c t i v e c h a r a c t e r i s t i c l i k e b o u n d a r y

p r o c e d u r e i s u s e d a t f a r e l d b o u n d a r i e s .

F o r s u b s o n i c f r e e s t r e a m l o c a l l y o n e - d i m e n s i o n a l R i e m a n n i n v a r i a n t s a r e u s e d

a t t h e o u t e r f a r e l d b o u n d a r i e s . T h e l o c a l l y o n e - d i m e n s i o n a l R i e m a n n i n v a r i a n t s

a r e g i v e n i n t e r m s o f t h e n o r m a l v e l o c i t y c o m p o n e n t a s

R

1

= V

n

; 2 a = ( ; 1 ) a n d R

2

= V

n

+ 2 a = ( ; 1 ) ( 9 1 1 )

T h e R i e m a n n i n v a r i a n t s R

1

R

2

a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e t w o c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t i e s

( l o c a l l y o n e - d i m e n s i o n a l )

1

= V

n

; a a n d

2

= V

n

+ a r e s p e c t i v e l y . T w o o t h e r e q u a -

t i o n s a r e n e e d e d s o t h a t f o u r u n k n o w n s ( t h e f o u r o w v a r i a b l e s ) c a n b e c a l c u l a t e d .

W e c h o o s e V

t

a n d S = l n ( p =

) w h e r e S i s e n t r o p y . A t t h e f a r e l d b o u n d a r i e s

s h o w n i n F i g . 1 0 , t h e n o r m a l n i s d i r e c t e d a w a y f r o m t h e b o u n d a r y . F o r s u b s o n i c

i n o w V

n

< 0 a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y

2

> 0 , t h e r e f o r e t h e c h a r a c t e r i s t i c

v a r i a b l e R

2

c a n b e s p e c i e d a l o n g w i t h t w o o t h e r c o n d i t i o n s . T h e R i e m a n n i n v a r i -

a n t R

2

, V

t

a n d S a r e a l l s e t t o f r e e s t r e a m v a l u e s . T h e o t h e r c h a r a c t e r i s t i c v e l o c i t y

1

< 0 a n d R

1

i s e x t r a p o l a t e d f r o m t h e i n t e r i o r o w v a r i a b l e s . O n s u b s o n i c o u t o w

V

n

> 0 a n d

2

> 0 w h i l e

1

< 0 s o o n l y R

1

i s x e d t o f r e e s t r e a m a n d R

2

, V

t

a n d

l n ( S ) a r e e x t r a p o l a t e d . O n c e t h e s e f o u r v a r i a b l e s a r e a v a i l a b l e a t t h e b o u n d a r y t h e

f o u r o w v a r i a b l e s Q c a n b e o b t a i n e d . F o r s u p e r s o n i c i n o w b o u n d a r i e s a l l o w

v a r i a b l e s a r e s p e c i e d a n d f o r s u p e r s o n i c o u t o w a l l v a r i a b l e s a r e e x t r a p o l a t e d .

A l o n g s i n g u l a r i t i e s o r c u t s i n t h e g e o m e t r y ( s u c h a s t h e w a k e c u t i n a \ C "

m e s h ) , a v e r a g i n g i s u s e d t o p r o v i d e c o n t i n u o u s o w v a r i a b l e s . A s m e n t i o n e d a b o v e

p e r i o d i c c o n d i t i o n s a r e u s e d f o r \ O " m e s h e s .

C . F a r F i e l d C i r c u l a t i o n C o r r e c t i o n

F o r l i f t i n g a i r f o i l s i n s u b s o n i c f r e e s t r e a m , c i r c u l a t i o n a t t h e f a r e l d b o u n d -

a r y i s a c c o u n t e d f o r t o r s t - o r d e r ( f o l l o w i n g S a l a s , e t . a l . 3 6 ] ) b y i m p o s i n g a

c o m p r e s s i b l e p o t e n t i a l v o r t e x s o l u t i o n w h i c h i s a d d e d a s a p e r t u r b a t i o n t o t h e f r e e

5 4



s t r e a m q u a n t i t i e s ( u

1

= M

1

c o s ( ) a n d v

1

= M

1

s i n ( ) ) . T h e p e r t u r b e d f a r e l d

b o u n d a r y v e l o c i t i e s a r e d e n e d a s

u

f

= u

1

+

; s i n ( )

2 r

;

1 ; M

2

1

s i n

2

( ; )

( 9 1 2 a )

a n d

v

f

= v

1

;

; c o s ( )

2 r

;

1 ; M

2

1

s i n

2

( ; )

( 9 1 2 b )

w h e r e t h e c i r c u l a t i o n ; =

1

2

M

1

l C

l

, l i s t h e c h o r d l e n g t h , C

l

t h e c o e c i e n t o f l i f t a t

t h e s u r f a c e , M

1

t h e f r e e s t r e a m M a c h n u m b e r , t h e a n g l e o f a t t a c k , =

p

1 ; M

2

1

a n d r a r e p o l a r c o o r d i n a t e s t o t h e p o i n t o f a p p l i c a t i o n o n t h e o u t e r b o u n d a r y

r e l a t i v e t o a n o r i g i n a t t h e q u a r t e r c h o r d p o i n t o n t h e a i r f o i l c e n t e r l i n e . A c o r r e c t e d

s p e e d o f s o u n d i s a l s o u s e d w h i c h e n f o r c e s c o n s t a n t f r e e s t r e a m e n t h a l p y a t t h e

b o u n d a r y w h e r e

a

2

f

= ( ; 1 )

H

1

;

1

2

( u

2

f

+ v

2

f

)

( 9 1 2 c )

E q u a t i o n s ( 9 . 1 2 ) a r e u s e d i n s t e a d o f f r e e s t r e a m v a l u e s i n d e n i n g t h e x e d q u a n -

t i t i e s f o r t h e f a r e l d c h a r a c t e r i s t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s t o b e c o n s i s t e n t w i t h t h e

s u r f a c e l i f t .

F i g u r e 1 1 s h o w s t h e c o e c i e n t o f l i f t C

l

p l o t t e d a g a i n s t t h e i n v e r s e o f t h e

d i s t a n c e t o t h e o u t e r b o u n d a r y f o r a N A C A 0 0 1 2 a i r f o i l a t t h e t r a n s o n i c c o n d i t i o n

M

1

= 0 8 = 1 2 5

a n d a t s u b c r i t i c a l c o n d i t i o n s M

1

= 0 6 3 = 2 0

I n

t h e s e c a s e s t h e o u t e r b o u n d a r y v a r i e s f o r 4 . 5 c h o r d s t o 9 6 c h o r d s w h e r e o u t e r m e s h

r i n g s w e r e e l i m i n a t e d f r o m t h e 9 6 c h o r d g r i d t o p r o d u c e t h e c u t d o w n m e s h e s . T h i s

i n s u r e s t h a t t h e g r i d s p a c i n g b e t w e e n t h e b o d y a n d o u t e r b o u n d a r y i s i d e n t i c a l f o r

a l l t h e c a s e s . W i t h o u t t h e f a r e l d v o r t e x c o r r e c t i o n t h e l i f t o f t h e s u b c r i t i c a l c a s e

c a n v a r y b y a s m u c h a s 1 2 % a s s e e n i n F i g . 1 1 . W i t h t h e f a r e l d v o r t e x l o g i c t h e

s u b c r i t i c a l c a s e n o w h a s v i r t u a l l y n o v a r i a t i o n w i t h o u t e r b o u n d a r y d i s t a n c e . F o r

t h e t r a n s o n i c c a s e w e s e e r o u g h l y a 1 - 2 % c h a n g e w h i c h i s q u i t e g o o d c o n s i d e r i n g

t h e s t r e n g t h o f t h e s h o c k s . T h e t y p i c a l d i s t a n c e c h o s e n f o r m o s t c a s e s p r e s e n t e d

h e r e i s 2 5 c h o r d s .

T h e v o r t e x c o r r e c t i o n l o g i c c a n b e m o d i e d t o p r o d u c e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

w h i c h a l l o w o n e t o c o m p u t e t h e a n g l e o f a t t a c k f o r a g i v e n l i f t . T h i s i s d o n e b y

x i n g t h e c i r c u l a t i o n ; i n E q . ( 9 . 1 2 ) a t i t s v a l u e f o r t h e g i v e n l i f t . A n i t e r a t i v e

p r o c e d u r e i s u s e d w h e r e t h e l i f t c o m p u t e d a t t h e s u r f a c e i s c o m p a r e d t o t h e d e s i r e d

l i f t a n d t h e n t h e i n i t i a l a n g l e o f a t t a c k i s m o d i e d b y t h e f o r m u l a

= ;

( C

l

( i n p u t ) ; C

l

( c a l c u l a t e d ) )

w i t h

a r e l a x a t i o n p a r a m e t e r o n t h e o r d e r o f 2 . C o m p u t a t i o n s i n w h i c h a s p e c i e d

l i f t r e s u l t e d i n a n a n g l e o f a t t a c k w e r e c o m p a r e d w i t h x e d s o l u t i o n s a t t h e s a m e

5 5



F i g u r e 1 1 . E e c t o n L i f t o f V a r y i n g O u t e r B o u n d a r y D i s t a n c e s W i t h a n d

W i t h o u t V o r t e x C o r r e c t i o n .

M a c h n u m b e r a n d s h o w e d e x c e l l e n t a g r e e m e n t . T h i s p r o c e d u r e h a s b e e n v e r i e d i n

n u m e r i o u s n u m e r i c a l e x a m p l e s .

X . G e o m e t r y a n d G r i d G e n e r a t i o n

T h e g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n p r o d u c e s a s y s t e m o f e q u a t i o n s

w h i c h c a n b e a p p l i e d t o a n y r e g u l a r a n d n o n s i n g u l a r g e o m e t r y o r g r i d s y s t e m . T h e

5 6



a d v a n t a g e s o f t h i s f o r m a r e : S i n c e u n i f o r m u n i t s p a c i n g i s u s e d , t h e c o m p u t a t i o n a l

d o m a i n h a s a o n e t o o n e c o r r e s p o n d e n c e w i t h t h e p o s i t i v e i n t e g e r s a n d t h e r e f o r e

r e g u l a r u n w e i g h t e d d i e r e n c e f o r m u l a s c a n b e u s e d i n t h e n u m e r i c a l s c h e m e . T h i s

p r o d u c e s a c o m p u t e r c o d e w h i c h c a n b e a p p l i e d t o a w i d e v a r i e t y o f p r o b l e m s w i t h -

o u t m o d i c a t i o n o f t h e e q u a t i o n s a n d n u m e r i c a l s c h e m e . P h y s i c a l b o u n d a r y s u r f a c e s

c a n b e m a p p e d o n t o c o o r d i n a t e s u r f a c e s , w h i c h m a k e s a p p l i c a t i o n o f b o u n d a r y c o n -

d i t i o n s e a s i e r . T h e t r a n s f o r m a t i o n a l l o w s f o r u n s t e a d y m o t i o n o f t h e c o o r d i n a t e s ,

s o t h a t m o v i n g m e s h e s a n d d i s t o r t i n g s u r f a c e s c a n b e c o m p u t e d . G r i d l i n e s c a n b e

c o n c e n t r a t e d i n r e g i o n s o f h i g h g r a d i e n t s , f o r i n s t a n c e c l u s t e r e d t o b o d y s u r f a c e s t o

c a l c u l a t e b o u n d a r y l a y e r s , o r c l u s t e r e d n e a r s h o c k s .

T h e r e a r e a w i d e v a r i e t y o f m e t h o d s f o r g e n e r a t i n g g r i d s y s t e m s . A l g e b r a i c

m e t h o d s s u c h a s c o n f o r m a l m a p p i n g s , q u a d r a t i c f u n c t i o n s , o r t h e c o n t r o l f u n c t i o n

a p p r o a c h o f E i s e m a n 3 7 ] h a v e b e e n w i d e l y e m p l o y e d . T h e n u m e r i c a l a p p r o a c h

o f u s i n g e l l i p t i c s o l v e r s , T h o m p s o n , T h a m e s a n d M a s t i n 3 8 ] , i s a l s o w i d e l y u s e d .

T h o m p s o n 3 9 ] p r o v i d e s a g o o d r e v i e w o f t h e c u r r e n t s t a t e o f t h e a r t i n g r i d g e n e r -

a t i o n . F i g u r e s 1 2 a n d 1 3 s h o w a \ C " m e s h a n d a n \ O " m e s h t o p o l o g y f o r a n a i r f o i l

w h e r e t h e m e s h h a s b e e n g e n e r a t e d u s i n g a v a r i a n t o f E i s e m a n ' s m e t h o d 3 7 ] . T h e

t e r m i n o l o g y \ C " c o m e s f r o m t h e w r a p a r o u n d n a t u r e o f t h e g r i d . I n t h e c a s e s h o w n

g r i d l i n e s a r e c l u s t e r e d a t t h e l e a d i n g a n d t r a i l i n g e d g e , n e a r t h e b o d y i n t h e n e a r

n o r m a l d i r e c t i o n a n d o n t h e u p p e r s u r f a c e t o c a p t u r e a n e x p e c t e d s h o c k .

O n e o f t h e m a j o r d e c i e n c i e s i n c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s t o d a y l i e s i n

t h e a r e a o f s u r f a c e d e n i t i o n a n d g r i d g e n e r a t i o n . W h i l e t h e r e a r e a w i d e v a r i e t y

o f g e n e r a t i o n m e t h o d s , t h e r e i s n o e c i e n t a n d a c c u r a t e m e a n s t o a s s e s s t h e u s e -

f u l n e s s o f a p a r t i c u l a r g r i d . T h e o b v i o u s r s t c h e c k s s u c h a s n o t h a v i n g g r i d l i n e s

c r o s s , n o d i s c o n t i n u o u s c h a n g e s i n g r i d s p a c i n g a n d o t h e r c o s m e t i c q u a l i t i e s c a n

b e c h e c k e d . B u t , a s p e c t s s u c h a s h i g h s k e w n e s s , c u r v a t u r e s m o o t h n e s s , a n d o t h e r

i n t r i n s i c p r o p e r t i e s a r e h a r d t o a s s e s s . W h a t i s n e e d e d a t t h i s p o i n t i s a s e t o f w e l l

d e n e d q u a l i t a t i v e a n d q u a n t i t a t i v e c h e c k s f o r g r i d s y s t e m s w h i c h w i l l a l l o w u s t o

d i s t i n g u i s h b e t w e e n a \ b a d " g r i d a n d a \ g o o d " g r i d . A s y s t e m a t i c s t u d y o f t h i s

f o r m i s l a c k i n g a n d h o p e f u l l y w i l l b e p u r s u e d i n t h e n e a r f u t u r e .

X I . E x a m p l e s a n d A p p l i c a t i o n i n 2 - D

1 1 . 1 C o d e V a l i d a t i o n

O n c e a c o m p u t a t i o n a l c o d e h a s b e e n w r i t t e n a n d d e b u g g e d , t h e a u t h o r i s f a c e d

w i t h t h e d i c u l t c h a l l e n g e o f a s s e s s i n g t h e a c c u r a c y , e c i e n c y a n d r o b u s t n e s s o f

t h e p i e c e o f w o r k . E a c h c o d e i s o b v i o u s l y t a i l o r e d t o w a r d a c l a s s o f p r o b l e m s a n d

a t l e a s t i n i t i a l l y o n e s h o u l d r e s t r i c t a t t e n t i o n t o t h a t c l a s s . A s e r i e s o f t e s t c a s e s

s h o u l d b e e v a l u a t e d a n d t h e n d e t a i l e d g o a l s s h o u l d b e a t t a c k e d .

5 7



F i g u r e 1 2 . \ C " M e s h f o r a N A C A 0 0 1 2 A i r f o i l .

I n t h e c a s e o f A R C 2 D a n d A R C 3 D a n u m b e r o f s a m p l e c a s e s h a v e b e e n c o m -

p u t e d a n d d e t a i l s o f t h e s e c a n b e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e , s e e f o r i n s t a n c e 2 ] , 3 ] ,

4 0 - 4 7 ] , a n d n u m e r i o u s o t h e r s . H e r e I s h a l l b r i e y d i s c u s s s o m e o f t h e m o r e e x o t i c

c a s e s w i t h t h e g o a l o f d e m o n s t r a t i n g t h e v e r s a t i l i t y a n d b r e a t h o f a p p l i c a t i o n s . I

r e f e r t h e r e a d e r t o t h e o r i g i n a l p a p e r s ( w h e r e a p p r o p r i a t e ) f o r e x t e n s i v e d e t a i l s .

1 1 . 2 I n v i s c i d A i r f o i l s

T h e c o d e A R C 2 D h a s t h e o p t i o n o f c o m p u t i n g t h e i n v i s c i d e q u a t i o n s ( t h e

E u l e r e q u a t i o n s ) . T h e b a s i c v e r s i o n o f t h e c o d e i s w r i t t e n s p e c i c a l l y f o r a i r f o i l

c o m p u t a t i o n s . T h e p a r t i c u l a r s e t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s u s e d n o w t h o u g h a r e

d i r e c t e d t o w a r d t h e s o l u t i o n o f o w p a s t g e n e r a l a i r f o i l s h a p e s . T h e c o d e h a s b e e n

a p p l i e d t o a w i d e v a r i e t y o f a i r f o i l s h a p e s , o w c o n d i t i o n s , a n d o t h e r g e o m e t r i e s .

W e h a v e v a l i d a t e d t h e c o d e a g a i n s t o t h e r c o m p u t a t i o n a l m e t h o d s , 2 ] , 4 7 ] . T o

d e m o n s t r a t e t h e a c c u r a c y a n d e c i e n c y w e h a v e c h o s e n t w o t e s t c a s e s , a N A C A 0 0 1 2

a i r f o i l a t M

1

= 0 8 , = 1 2 5

o n a c o a r s e g r i d ( 1 9 2 b y 3 3 p o i n t s ) a n d a n e

g r i d ( 2 4 8 b y 4 9 p o i n t s ) . F o r c o m p a r i s o n p u r p o s e s w e u s e r e s u l t s f r o m J a m e s o n ' s

m u l t i g r i d E u l e r c o d e F L O 5 2 R 4 8 ] . F L O 5 2 R i s a n E u l e r c o d e u s i n g a m u l t i s t a g e

R u n g e - K u t t a l i k e a l g o r i t h m w i t h a m u l t i g r i d s c h e m e t o a c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e .

5 8



F i g u r e 1 3 . \ O " M e s h f o r a N A C A 0 0 1 2 A i r f o i l .

T h e c o d e e m p l o y s e n t h a l p y d a m p i n g , r e s i d u a l a v e r a g i n g a n d a n a r t i c i a l d i s s i p a t i o n

m o d e l o f t h e s a m e f o r m a s p r e s e n t e d i n S e c t i o n 6 . 3 . I n f a c t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

a n d a r t i c i a l d i s s i p a t i o n m o d e l u s e d i n A R C 2 D w e r e m o d i e d t o b e t h e s a m e a s

i n F L O 5 2 R s o t h a t q u a n t i t a t i v e a s w e l l a s q u a l i t a t i v e c o m p a r i s o n s c o u l d b e m a d e .

T h e t w o c o d e s w e r e r u n o n t h e s a m e m a c h i n e , t h e C R A Y X M P a t N A S A A m e s , o n

t h e s a m e m e s h e s a n d a t t h e s a m e o w c o n d i t i o n s .

T h e r s t c a s e i s t h e N A C A 0 0 1 2 a i r f o i l a t M

1

= 0 8 a n d = 1 2 5

. T h e g r i d

u s e d i s a n \ O " m e s h t o p o l o g y w i t h 1 9 2 p o i n t s o n t h e a i r f o i l s u r f a c e ( r u n n i n g f r o m

t h e l o w e r t r a i l i n g e d g e a r o u n d t h e n o s e t o t h e u p p e r t r a i l i n g e d g e ) a n d 3 3 p o i n t

i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n . T h e g r i d w h i c h i s c l u s t e r e d a t t h e l e a d i n g a n d t r a i l i n g

e d g e s , n e a r t h e e x p e c t e d s h o c k l o c a t i o n s o n t h e u p p e r a n d l o w e r s u r f a c e s a n d i n t h e

n o r m a l d i r e c t i o n i s s h o w n i n F i g . 1 4

R e s u l t s f r o m t h i s c a s e u s i n g A R C 2 D a r e s h o w n i n F i g . 1 5 . W e s h o w h e r e

c o e c i e n t o f p r e s s u r e , M a c h c o n t o u r s , p r e s s u r e c o n t o u r s a n d c o n t o u r s o f e n t r o p y .

I n F i g . 1 6 w e s h o w s i m i l a r r e s u l t s f o r F L O 5 2 R . C o m p u t e d l i f t f o r A R C 2 D i s C

L

=

0 3 3 9 5 7 a n d f o r F L O 5 2 R C

L

= 0 3 2 4 0 8 . T h e c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e t w o c o d e s i s

q u i t e g o o d , d e s p i t e t h e d i e r e n c e s i n s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n .

W e h a v e e s t a b l i s h e d a n u m b e r o f a c c u r a c y c h e c k s a n d c o n v e r g e n c e c r i t e r i a f o r

c o m p a r i s o n p u r p o s e s . I n t e r m s o f a c c u r a c y w e r e c o m m e n d c o m p a r i s o n o f p r e s s u r e

5 9



F i g u r e 1 4 . N A C A 0 0 1 2 G r i d U s i n g 1 9 2 b y 3 3 G r i d P o i n t s .

c o e c i e n t s , l i f t a n d o t h e r o w q u a n t i t i e s . I t i s a l s o i m p o r t a n t t o e s t a b l i s h t h e

a c c u r a c y o f c e r t a i n o w r e g i o n s . T h e s t a g n a t i o n r e g i o n n e a r t h e n o s e o f t h e a i r f o i l

i s p a r t i c u l a r l y s u s c e p t i b l e t o e r r o r s d u e t o p o o r b o u n d a r y c o n d i t i o n s , r e s o l u t i o n ,

o r p h y s i c a l a s s u m p t i o n s . T h e b e s t m e a s u r e o f t h i s e r r o r i s t h e e n t r o p y e l d . F o r

6 0



F i g u r e 1 5 . A R C 2 D R e s u l t s f o r 1 9 2 b y 3 3 G r i d .

6 1



i n v i s c i d o w t h e r e s h o u l d b e n o g e n e r a t i o n o f e n t r o p y a t t h e l e a d i n g e d g e o f a n

a i r f o i l i n t h e a b s e n c e o f a l e a d i n g e d g e s h o c k . E x a m i n a t i o n o f t h e e n t r o p y a t t h e

l e a d i n g e d g e f o r t h e a b o v e c a s e s h o w s , s e e F i g . 1 7 , t h a t b o t h c o d e s g i v e r i s e t o s o m e

e r r o r a t t h e l e a d i n g e d g e , a l t h o u g h t h e m a g n i t u d e i s r a t h e r s m a l l .

F i g u r e 1 7 . E n t r o p y E r r o r s a t L e a d i n g E d g e . a ) A R C 2 D , b ) F L O 5 2 R .

A n u m b e r o f c o n v e r g e n c e c r i t e r i a h a v e b e e n c h o s e n t o a s s e s s t h e e c i e n c y a n d

c o n v e r g e n c e r a t e s o f t h e c o d e s . W e h a v e c h o s e n t o u s e c o m p u t e r t i m e s a s o u r

m e a s u r e o f r e l a t i v e s p e e d . S i n c e t h e t w o c o d e s a r e r u n o n t h e s a m e m a c h i n e s a n d

w i t h t h e s a m e m e s h e s t h i s i s a n a d e q u a t e m e a s u r e . O t h e r m e a s u r e s s u c h a s o p e r a -

t i o n c o u n t , w o r k o r i t e r a t i o n a r e u s u a l l y p r o g r a m m i n g d e p e n d e n t o r s u s c e p t i b l e t o

m i s i n t e r p r e t a t i o n . T h e c o n v e r g e n c e c r i t e r i a u s e d h e r e a r e :

1 . C o e c i e n t o f l i f t ( C

L

) t o 1 % o f c o n v e r g e d v a l u e .


L

) t o 1 / 2 % o f c o n v e r g e d v a l u e .


L

) t o 5 d e c i m a l p l a c e s .

4 . N u m b e r o f s u p e r s o n i c p o i n t s t o c o n v e r g e d v a l u e .

5 . R e s i d u a l t o m a c h i n e z e r o . ( 1 0

; 1 3

o n t h e C r a y X M P . )

T h e r e s i d u a l i s t h e l

2

n o r m o f t h e e x p l i c i t o r r i g h t h a n d s i d e o f E q . ( 8 . 1 ) . W e

u s e j u s t t h e c o m p o n e n t f r o m t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n , t h e o t h e r c o m p o n e n t s b e h a v e

6 2



F i g u r e 1 6 . F L O 5 2 R R e s u l t s f o r 1 9 2 b y 3 3 G r i d .

6 3



C o n v e r g e n c e C o m p a r i s o n ( s e c o n d s )

C r i t e r i a A R C 2 D F L O 5 2 R

1 % o f C

L

6 8

1 / 2 % o f C

L

1 7 1 0 . 5

C

L

t o 5 p l a c e s 5 7 3 1

N o . S . S . p t s 3 6 1 7

M a c h i n e z e r o 1 2 0 9 7

T a b l e 1 . C o n v e r g e n c e D a t a f o r 1 9 2 b y 3 3 g r i d .

s i m i l a r l y . F o r t h e a b o v e c a s e o n t h e 1 9 2 b y 3 3 m e s h t h e c o m p u t e r t i m e s f o r t h e

c o n v e r g e n c e c r i t e r i a a r e g i v e n i n T a b l e 1 .

A s c a n b e s e e n f o r t h i s c a s e F L O 5 2 R i s u p t o t w i c e a s f a s t a s A R C 2 D f o r

s o m e c r i t e r i a . I n e i t h e r e v e n t t h e s e a r e f a i r l y g o o d c o n v e r g e n c e t i m e s . I n g e n e r a l ,

t h e s e n u m b e r s c a r r y o v e r f a i r l y c o n s i s t e n t l y f o r a w i d e v a r i e t y o f a i r f o i l s a n d o w

c o n d i t i o n s f o r s i m i l a r m e s h e s .

A m o r e s t r i n g e n t t e s t i s o b t a i n e d w i t h a n e r g r i d a n d m o r e g r i d p o i n t s . A

g r i d o f 2 4 8 b y 4 9 p o i n t s i s e m p l o y e d a s t h e s e c o n d s t u d y . T h e m e s h i s r e n e d m o r e

a t t h e n o s e , t a i l a n d n e a r t h e s h o c k s . A l s o t o r e d u c e t h e e n t r o p y e r r o r s a t t h e n o s e

t h e g r i d i s c l u s t e r e d m o r e t i g h t l y i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n b y r e d u c i n g t h e m i n i m u m

n o r m a l s p a c i n g b y a f a c t o r o f 2 . T h e m e s h i s s h o w n i n F i g . 1 8 .

C o m p u t a t i o n a l r e s u l t s f o r A R C 2 D a n d F L O 5 2 R a r e s h o w n i n F i g s . 1 9 a n d

2 0 . I n t h i s c a s e t h e s h o c k s a r e s h a r p e r a n d e n t r o p y e r r o r s a t t h e l e a d i n g e d g e a r e

e l i m i n a t e d .

C o n v e r g e n c e d a t a f o r t h i s c a s e i s c o n t a i n e d i n T a b l e 2 . I n F i g u r e 2 1 , w e s h o w

c o n v e r g e n c e h i s t o r y v r s i t e r a t i o n f o r t h e t w o A R C 2 D r e s u l t s . A l l t h e r e s u l t s o b -

t a i n e d w i t h A R C 2 D w e r e d o n e u s i n g t h e f u l l y i m p l i c i t p e n t a d i a g o n a l a l g o r i t h m .

A s m e n t i o n e d a b o v e , n u m e r i o u s o t h e r c a s e s a n d a i r f o i l s h a v e b e e n c o m p u t e d a n d

p e r f o r m s i m i l a r l y .


C r i t e r i a A R C 2 D F L O 5 2 R

1 % o f C

L

3 8 2 3

1 / 2 % o f C

L

5 2 . 5 2 5 . 5

C

L

t o 5 p l a c e s 1 7 4 1 6 8 . 5

N o . S . S . p t s 1 1 8 1 6 0

M a c h i n e z e r o 3 7 6 8 0 0 +

T a b l e 2 . C o n v e r g e n c e D a t a f o r 2 4 8 b y 4 9 g r i d .

6 4



F i g u r e 1 8 . N A C A 0 0 1 2 M e s h , 2 4 8 b y 4 9 .

1 1 . 3 V i s c o u s A i r f o i l s

T h e c o d e A R C 2 D h a s b e e n a p p l i e d t o a w i d e v a r i e t y o f v i s c o u s c o m p u t a t i o n s f o r

a i r f o i l s 2 ] , c a s c a d e s 4 1 ] , i n l e t s 4 2 ] , a i r f o i l s w i t h a s p o i l e r 4 3 ] , c i r c u l a t i o n c o n t r o l l e d

a i r f o i l s 4 4 ] , a n d o t h e r s . I t h a s b e e n u s e d i n a n u n s t e a d y m o d e ( s e e t h e n e x t s e c t i o n )

a n d f o r s t e a d y v i s c o u s c o m p u t a t i o n s . T h e a l g o r i t h m a s p r e s e n t e d a b o v e p e r f o r m s

v e r y w e l l f o r v i s c o u s c a s e s . I t i s c o n v e r g e n t , f a s t a n d a c c u r a t e . T w o e x a m p l e

c a s e s a r e p r e s e n t e d b e l o w . T h e c a s e s a r e t a k e n f r o m t h e s u g g e s t e d p r o b l e m s o f

t h e 1 9 8 1 S t a n f o r d O l y m p i c s 4 9 ] , a n R A E 2 8 2 2 a i r f o i l a t M

1

= 0 6 7 6 , = 1 9 3

,

R e = 5 7 1 0

6

a n d M

1

= 0 7 3 , = 2 7 9 a n d R e = 6 5 1 0

6

R e s u l t s o b t a i n e d f r o m A R C 2 D f o r t h e r s t c a s e a r e s h o w n i n F i g . 2 2 . T h e g r i d

u s e d i s a 2 4 8 b y 5 1 p o i n t \ O " m e s h . T h e t u r b u l e n c e m o d e l w a s u s e d a n d t r a n s i t i o n

w a s x e d a t 1 1 % c h o r d . E x p e r i m e n t a l d a t a d u e t o C o o k e t . a l . 5 0 ] i s u s e d f o r

c o m p a r i s o n . W e s e e a g o o d c o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t f o r p r e s s u r e c o e c i e n t ,

a n d b o u n d a r y l a y e r p r o p e r t i e s .

T h e c o m p u t e d l i f t , d r a g a n d m o m e n t a r e c o m p a r e d w i t h o t h e r c o m p u t a t i o n s

a n d t h e e x p e r i m e n t i n T a b l e 3 . D u e t o t h e u n c e r t a i n t y o f t h e a n g l e o f a t t a c k

c o r r e c t i o n a l l c o m p u t o r s m a t c h e d l i f t . W e s h o w h e r e o u r c o m p u t a t i o n f o r b o t h t h e

e x p e r i m e n t a l l y c o r r e c t e d a n g l e o f a t t a c k a n d t h e v a l u e s w h e n l i f t i s m a t c h e d . A l s o

s h o w n a r e r e s u l t s f r o m c o m p u t o r s a t t h e S t a n f o r d O l y m p i c s a n d s o m e r e s u l t s o f

M e h t a 5 1 ] . F o r t h e p r e s e n t c o m p u t a t i o n s a t t h e t w o a n g l e s o f a t t a c k t h e p r e s s u r e

6 5



F i g u r e 1 9 . A R C 2 D R e s u l t s f o r 2 4 8 b y 4 9 G r i d .

a n d b o u n d a r y l a y e r q u a n t i t i e s a r e a l m o s t i d e n t i c a l . T h e c h a n g e s i n l i f t a n d d r a g a r e

6 6



F i g u r e 2 0 . F L O 5 2 R R e s u l t s f o r 2 4 8 b y 4 9 G r i d .

n o t e d . T h e o v e r a l l c o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t a n d o t h e r c o m p u t a t i o n s i s q u i t e

6 7



F i g u r e 2 1 . C o n v e r g e n c e H i s t o r y v r s I t e r a t i o n f o r A R C 2 D R e s u l t s .

g o o d .

R e s u l t s o b t a i n e d f o r t h e s e c o n d c a s e a r e s h o w n i n F i g . 2 3 . T h e g r i d u s e d i s

a 2 4 8 b y 5 1 p o i n t \ O " m e s h . T h e t u r b u l e n c e m o d e l w a s u s e d a n d t r a n s i t i o n w a s

x e d a t 3 % c h o r d . W e a g a i n s e e a g o o d c o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t f o r p r e s s u r e

c o e c i e n t , a n d b o u n d a r y l a y e r p r o p e r t i e s .

T h e c o m p u t e d l i f t , d r a g a n d m o m e n t a r e c o m p a r e d w i t h o t h e r c o m p u t a t i o n s

a n d t h e e x p e r i m e n t i n T a b l e 4 . R e s u l t s f r o m c o m p u t o r s a t t h e S t a n f o r d O l y m p i c s

a n d s o m e r e s u l t s o f M e h t a 5 1 ] a r e s h o w n . T h e o v e r a l l c o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t

a n d o t h e r c o m p u t a t i o n s i s a g a i n q u i t e g o o d . T h e s h o c k l o c a t i o n o n t h e u p p e r

s u r f a c e c o m p a r e s w e l l . I n t h e p r e s e n t c o m p u t a t i o n s a s m a l l r e g i o n o f s e p a r a t e d o w

o c c u r s a t t h e b a s e o f t h e s h o c k a n d n e a r t h e t r a i l i n g e d g e o n t h e u p p e r s u r f a c e .

C o n v e r g e n c e h i s t o r y v r s i t e r a t i o n f o r t h e s e c a s e s a r e s h o w n i n F i g . 2 4 . T a b l e 5

s h o w s t h e c o m p u t e d c o n v e r g e n c e c r i t e r i a f o r t h e s e c a s e s . T h e c o n v e r g e n c e f o r t h e s e

c a s e s i s q u i t e g o o d .

6 8



F i g u r e 2 2 . V i s c o u s R e s u l t s f o r R A E 2 8 2 2 A i r f o i l a t R e = 5 7 1 0

6

, M

1

= 0 6 7 6 ,

= 1 9 3

1 1 . 4 U n s t e a d y A i l e r o n B u z z

A c a l c u l a t i o n o f u n s t e a d y a i l e r o n b u z z w a s p e r f o r m e d b y S t e g e r a n d B a i l e y

4 0 ] . A c o m p o s i t e o f t h e r e s u l t s f r o m t h e i r p a p e r i s s h o w n i n F i g . 2 5 .

6 9



L o a d s { R A E 2 8 2 2 A i r f o i l { M

1

= 0 6 7 6 R e = 5 7 1 0

6

C

L

C

D P

C

D f

C

D

C

M

E x p e r i m e n t 2 . 4 0 0 . 5 6 6 0 . 0 0 8 5 { 0 . 0 8 2

C o r r e c t e d E x p . 1 . 9 3 0 . 5 6 6 0 . 0 0 8 5 { 0 . 0 8 2

M e h t a ( 1 9 8 3 ) 1 . 8 0 0 . 5 6 6 0 . 0 0 3 3 0 . 0 0 6 1 0 . 0 0 9 4 { 0 . 0 8 7

M e l n i k ( 1 9 8 1 ) 1 . 8 4 0 . 5 6 6 0 . 0 0 2 7 0 . 0 0 6 0 0 . 0 0 8 7 { 0 . 0 8 2

L e B a l l e u r ( 1 9 8 1 ) 1 . 9 3 0 . 5 6 6 0 . 0 0 3 6 0 . 0 0 5 6 0 . 0 0 9 2 { 0 . 0 8 0

P r e s e n t 1 . 9 3 0 . 5 7 6 0 . 0 0 3 4 0 . 0 0 5 5 0 . 0 0 8 9 { 0 . 0 8 1

P r e s e n t C o r . 1 . 8 7 0 . 5 6 6 0 . 0 0 3 4 0 . 0 0 5 5 0 . 0 0 8 9 { 0 . 0 8 1

T a b l e 3 . F o r c e s f o r R A E 2 8 2 2 V i s c o u s C a l c u l a t i o n .

I n t h i s c a s e a t w o d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o n o f t h e i n t e r a c t i o n o f a s h o c k a n d

t h e m o v a b l e a i l e r o n ( a p ) o n a w i n g w a s p e r f o r m e d . S t e g e r a n d B a i l e y u s e d a

p r e d e c e s s o r o f A R C 2 D c o u p l e d w i t h a o n e d e g r e e o f f r e e d o m e q u a t i o n d e s c r i b i n g

t h e m o t i o n o f t h e a i l e r o n o n a n a i r f o i l . A a i r f o i l w i t h a h i n g e p o i n t a t 7 5 % c h o r d

w a s u s e d . T h e a i l e r o n w a s f r e e m o v i n g w i t h o u t d a m p i n g a n d r e s p o n d e d t o t h e

a e r o d y n a m i c f o r c e s i n b a l a n c e w i t h t h e i n e r t i a f o r c e s .

T h e o w c o n d i t i o n s w e r e i n t h e t r a n s o n i c r a n g e o f M a c h n u m b e r f r o m M

1

=

0 . 7 6 t o 0 . 8 3 a n d a n g l e s o f a t t a c k o f = ; 1 0

t o 1 0

. E x p e r i m e n t s p e r f o r m e d

b y E r i k s o n a n d S t e p h e n s o n 5 2 ] o n a P - 8 0 w i n g - a i l e r o n a r r a n g e m e n t w e r e u s e d f o r

c o m p a r i s o n . A b u z z b o u n d a r y w a s e s t a b l i s h e d i n t h e e x p e r i m e n t s ( i n t e r m s o f

M a c h n u m b e r a n d a n g l e o f a t t a c k ) w h e r e b e l o w t h e b o u n d a r y t h e a i l e r o n r e m a i n e d

s t a t i o n a r y . A b o v e t h e b u z z b o u n d a r y t h e s h o c k s y s t e m o n t h e a i r f o i l m o v e s o n t o t h e

a i l e r o n a n d e x c i t e s t h e b u z z m o t i o n o f t h e a i l e r o n . A n u n s t e a d y h a r m o n i c m o t i o n

o c c u r s w i t h t h e u p p e r a n d l o w e r s h o c k s r u n n i n g a c r o s s t h e h i n g e o n t o a n d o o f

t h e a i l e r o n .

S t e g e r a n d B a i l e y s i m u l a t e d t h i s o w u s i n g t h e t h i n l a y e r N a v i e r S t o k e s e q u a -

t i o n s f o r t h e c o n d i t i o n s s h o w n b y t h e s y m b o l s i n F i g . 2 5 b . F i g u r e 2 5 c s h o w s a c a s e

b e l o w t h e b u z z b o u n d a r y . I n t h i s c a s e t h e y g a v e t h e a i l e r o n a n i n i t i a l d e e c t i o n o f

4

a n d i n t e g r a t e d f o r w a r d i n t i m e . A s s e e n t h e a i l e r o n m o t i o n d a m p s t o t h e n e u t r a l

p o s i t i o n o f 0

d e e c t i o n . A b o v e t h e b u z z b o u n d a r y e v e n a n a i l e r o n d e e c t i o n o f

0

i s e x c i t e d t o t h e u n s t e a d y m o t i o n . I n F i g . 2 5 d t h e r e s u l t s a r e c o m p a r e d w i t h

t h e m e a s u r e d e e c t i o n a n g l e s . I n F i g . 2 5 c t h e c o m p u t e d b u z z b o u n d a r y c o m p a r e s

q u i t e w e l l w i t h t h e m e a s u r e d b o u n d a r y .

1 1 . 5 H i g h A n g l e o f A t t a c k A i r f o i l s

A p p l i c a t i o n o f t h e c o d e A R C 2 D t o t h e s t u d y o f a i r f o i l s a t h i g h a n g l e s o f a t t a c k

w a s c a r r i e d o u t b y B a r t o n a n d P u l l i a m 5 3 ] . I n t h i s s t u d y N A C A 0 0 1 2 a i r f o i l o w s a t

7 0



F i g u r e 2 3 . V i s c o u s R e s u l t s f o r R A E 2 8 2 2 A i r f o i l a t R e = 6 5 1 0

6

, M

1

= 0 7 3 ,

= 2 7 9

l o w M a c h n u m b e r , M

1

= 0 2 5 t o 0 4 0 a n d a n g l e s o f a t t a c k u p t o 1 5

w e r e e x a m i n e d .

C o m p u t a t i o n s w e r e p e r f o r m e d f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s a n d t h i n l a y e r N a v i e r - S t o k e s .

T h e c a l c u l a t i o n s p r e s e n t e d w e r e r u n t i m e a c c u r a t e l y b e c a u s e u n s t e a d y e e c t s w e r e

7 1



L o a d s { R A E 2 8 2 2 A i r f o i l { M

1

= 0 7 3 R e = 6 5 1 0

6

C

L

C

D P

C

D f

C

D

C

M

E x p e r i m e n t 3 . 1 9 0 . 8 0 3 0 . 0 1 6 8 { 0 . 0 9 9

C o r r e c t e d E x p . 2 . 7 9 0 . 8 0 3 0 . 0 1 6 8 { 0 . 0 9 9

M e h t a ( 1 9 8 3 ) 2 . 7 9 0 . 7 9 3 0 . 0 1 1 8 0 . 0 0 5 9 0 . 0 1 7 7 { 0 . 0 9 4

M e l n i k ( 1 9 8 1 ) 2 . 5 4 0 . 8 0 3 0 . 0 1 0 0 0 . 0 0 5 7 0 . 0 1 5 7 { 0 . 0 9 4

L e B a l l e u r ( 1 9 8 1 ) 2 . 7 9 0 . 7 8 7 0 . 0 1 1 1 0 . 0 0 5 5 0 . 0 1 6 6 { 0 . 0 8 6

P r e s e n t 2 . 7 9 0 . 8 2 4 0 . 0 1 2 8 0 . 0 0 5 0 0 . 0 1 7 8 { 0 . 0 9 2

P r e s e n t C o r . 2 . 6 7 0 . 8 0 3 0 . 0 1 1 3 0 . 0 0 5 1 0 . 0 1 6 4 { 0 . 0 9 2

T a b l e 4 . F o r c e s f o r R A E 2 8 2 2 V i s c o u s C a l c u l a t i o n .

a n t i c i p a t e d . I n t h a t p a p e r u n s t e a d y s e p a r a t e d b u t i n v i s c i d r e s u l t s w e r e o b t a i n e d .

C o m p a r i s o n s w e r e m a d e w i t h v i s c o u s c o m p u t a t i o n a n d e x p e r i m e n t t o d e m o n s t r a t e

t h a t i n v i s c i d o w s e p a r a t i o n c a n b e q u a l i t a t i v e l y d i e r e n t t h a n v i s c o u s o w . A

s i m i l a r s t u d y w h i c h c o n c e n t r a t e d o n c o m p a r i s o n s w i t h v i s c o u s e x p e r i m e n t a l d a t a

w a s c a r r i e d o u t b y A n d e r s o n , T h o m a s a n d R u m s e y 5 4 ] i n w h i c h g o o d q u a n t i t a t i v e

c o m p a r i s o n w e r e o b t a i n e d . W e s h a l l b r i e y d i s c u s s h e r e t h e c o m p u t a t i o n s o f B a r t o n

a n d P u l l i a m .

B a r t o n a n d P u l l i a m p r e s e n t e d t w o t y p e s o f i n v i s c i d o w s e p a r a t i o n . I n t h e

r s t c a s e a t o w c o n d i t i o n s , M

1

= 0 2 5 = 1 5

a s h o c k f r e e s o l u t i o n w i t h

i n v i s c i d o w s e p a r a t i o n w a s o b t a i n e d a n d t h e c a u s e o f t h e s e p a r a t i o n w a s t r a c e d t o

n u m e r i c a l e r r o r . A t t h e h i g h a n g l e o f a t t a c k , i n a c c u r a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d

r e s o l u t i o n a t t h e l e a d i n g e d g e p r o d u c e d v o r t i c i t y ( e n t r o p y g r a d i e n t s ) w h i c h w a s

c o n v e c t e d d o w n s t r e a m , r e s u l t i n g i n a n u n s t e a d y s e p a r a t i o n o n t h e u p p e r s u r f a c e

n e a r t h e t r a i l i n g e d g e . B y r e n i n g t h e g r i d a n d i m p r o v i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

a s t e a d y e r r o r f r e e s o l u t i o n w a s o b t a i n e d . F i g u r e 2 6 s h o w s t h e e n t r o p y c o n t o u r s a t

t h e l e a d i n g e d g e b e f o r e a n d a f t e r t h e i m p r o v e m e n t . F i g u r e 2 7 s h o w s a c o m p a r i s o n

w i t h f u l l p o t e n t i a l r e s u l t s u s i n g T A I R 5 5 ] a n d s h o w s t h a t g o o d i n v i s c i d r e s u l t s a r e

o b t a i n e d .

A t a h i g h e r M a c h n u m b e r M

1

= 0 4 a n d t h e s a m e a n g l e o f a t t a c k = 1 5

a

s h o c k f o r m s a t t h e l e a d i n g e d g e , s e e F i g . 2 8 . I n t h i s c a s e t h e s h o c k i s t h e s o u r c e

o f v o r t i c i t y w h i c h i s t h e n c o n v e c t e d d o w n s t r e a m a n d f o r m s a n u n s t e a d y s e p a r a t i o n .

G r i d r e n e m e n t a n d t h e i m p r o v e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s w e r e u s e d p r o d u c i n g a n

e r r o r f r e e l e a d i n g e d g e , b u t t h e u n s t e a d y m o t i o n w a s u n a e c t e d . T h e v o r t i c i t y

( e n t r o p y ) g e n e r a t i o n i s a r e s u l t o f t h e s t r o n g n o r m a l s h o c k s t r e n g t h g r a d i e n t a n d

h i g h c u r v a t u r e o f t h e l e a d i n g e d g e .

T h e u n s t e a d y m o t i o n o f t h e s o l u t i o n i s d e p i c t e d i n F i g . 2 9 , w h i c h s h o w s t h e

t i m e h i s t o r y o f t h e p r e s s u r e c o e c i e n t , s t r e a m f u n c t i o n c o n t o u r s a n d e n t r o p y e l d s

o v e r a c o m p l e t e c y c l e . A d e s c r i p t i o n o f t h e e v o l u t i o n o f t h i s c a s e i s a s f o l l o w s .

A s t h e o w d e v e l o p s , a s t r o n g s h o c k i s g e n e r a t e d a t t h e l e a d i n g e d g e . E n t r o p y ,

7 2



F i g u r e 2 4 . C o n v e r g e n c e H i s t o r y f o r R A E 2 8 2 2 V i s c o u s C a s e s .

v o r t i c i t y , a n d p r e s s u r e l o s s a r e c r e a t e d a t t h e s h o c k n e a r t h e l e a d i n g e d g e , a n d

c o n v e c t e d d o w n s t r e a m a l o n g t h e b o d y . A s m a l l s e p a r a t i o n r e g i o n a p p e a r s a t t h e

t r a i l i n g e d g e , w h i c h g r o w s a l o n g t h e b o d y t o w a r d s t h e l e a d i n g e d g e . A t s o m e

p o i n t t h e r e c i r c u l a t i o n r e g i o n i s c a p t u r e d b y t h e o n c o m i n g o w a n d i s s w e p t o t h e

7 3




C r i t e r i a M

1

= 0 6 7 6 M

1

= 0 7 3

1 % o f C

L

2 1 2 1 9 1

1 / 2 % o f C

L

2 6 4 2 9 5

C

L

t o 5 p l a c e s 7 1 2 7 3 8

N o . S . S . p t s 6 0 8 5 1 3

M a c h i n e z e r o 1 1 4 7 1 2 0 3

T a b l e 5 . C o n v e r g e n c e D a t a R A E 2 8 2 2 V i s c o u s C a s e s .

a i r f o i l b y c o n v e c t i o n . A s t h e r e c i r c u l a t i o n r e g i o n p a s s e s t h e t r a i l i n g e d g e , a n o t h e r

p o c k e t o f r e c i r c u l a t i o n f o r m s a t t h e t r a i l i n g e d g e , r o t a t i n g i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n .

T h i s c o u n t e r - r o t a t i o n i s c a u s e d b y t h e o w o t h e l o w e r s u r f a c e , w h o s e d i r e c t i o n i s

o p p o s i t e t o t h a t o f t h e o r i g i n a l r e g i o n o f r e c i r c u l a t i o n . T h e s h o c k t h e n c o l l a p s e s , a n d

b e g i n s t o s l o w l y g r o w i n s t r e n g t h a s t h e p a t t e r n r e p e a t s i t s e l f . T h i s o w p a t t e r n h a s

a w e l l d e n e d p e r i o d a n d a m p l i t u d e a n d h a s b e e n r e p r o d u c e d i n o t h e r c o m p u t a t i o n s

w i t h s i m i l a r g r i d s a n d d i e r e n t v a l u e s o f t i m e s t e p a n d a r t i c i a l v i s c o s i t y .

A s a n a l c a s e B a r t o n a n d P u l l i a m c o m p u t e d a v i s c o u s c a l c u l a t i o n a t s i m i l a r

c o n d i t i o n s , a M a c h n u m b e r M

1

= 0 3 0 1 a n d = 1 3 5

. T h e R e y n o l d s n u m b e r

u s e d w a s R e = 3 9 1 1 0

6

a n d t h e c a l c u l a t i o n w a s p e r f o r m e d u s i n g t h e a l g e b r a i c

e d d y - v i s c o s i t y t u r b u l e n c e m o d e l . I n t h i s c a s e e x p e r i m e n t a l d a t a d u e t o M c C r o s k e y

5 6 ] w a s a v a i l a b l e . F o r a n i n v i s c i d s i m u l a t i o n u n s t e a d y r e s u l t s s i m i l a r t o t h e a b o v e

M

1

= 0 4 c a s e w e r e o b t a i n e d , b u t f o r t h e v i s c o u s c o m p u t a t i o n a s t e a d y r e s u l t s

o c c u r r e d w h i c h c o m p a r e d w e l l w i t h t h e e x p e r i m e n t a l d a t a . T h e s t e a d y v i s c o u s

c o m p a r i s o n i s s h o w n i n F i g . 3 0 .

A s s u m i n g t h e v a l i d i t y o f t h e i n v i s c i d o s c i l l a t i o n f o r t h i s c a s e , i t w a s c o n c l u d e d

c o n c l u d e t h a t t h e E u l e r s o l u t i o n i s n o t a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o t h e N a v i e r - S t o k e s

s o l u t i o n , u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s . I r e f e r t h e r e a d e r t o t h e f u l l p a p e r f o r m o r e d e t a i l s .

7 4



F i g u r e 2 5 . U n s t e a d y A i l e r o n B u z z , S t e g e r a n d B a i l e y 1 9 8 0 .

X I I . T h r e e - D i m e n s i o n a l A l g o r i t h m

T h e 3 - D f o r m o f t h e i m p l i c i t a l g o r i t h m f o l l o w s t h e s a m e d e v e l o p m e n t a s t h e 2

- D a l g o r i t h m . T h e c u r v i l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s a r e c a r r i e d o u t i n t h e s a m e f a s h i o n .

T h e s t a n d a r d a n d d i a g o n a l a l g o r i t h m t a k e t h e s a m e f o r m a t . W e a l s o e m p l o y t h e

t h i n l a y e r a p p r o x i m a t i o n . B o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e s i m i l a r . T h e e q u a t i o n s , a l g o -

r i t h m , a n d o t h e r d e t a i l s c a n b e f o u n d i n P u l l i a m a n d S t e g e r 3 ] . W e s h a l l b r i e y

o u t l i n e t h e i m p o r t a n t a s p e c t s a n d p o i n t o u t t h e p e r t i n e n t d i e r e n c e s f r o m t h e 2 -

D d e v e l o p m e n t .

7 5



F i g u r e 2 6 . E n t r o p y C o n t o u r s a t L e a d i n g E d g e B e f o r e a n d A f t e r I m p r o v e d

A c c u r a c y .

F i g u r e 2 7 . I n v i s c i d S o l u t i o n C o m p a r e d w i t h T A I R R e s u l t .

1 2 . 1 F l o w E q u a t i o n s

T h e f u l l t h r e e d i m e n s i o n a l N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n s t r o n g c o n s e r v a t i o n l a w

f o r m a r e r e d u c e d t o t h e t h i n l a y e r f o r m u n d e r t h e s a m e r e s t r i c t i o n s a n d a s s u m p t i o n s

7 6



F i g u r e 2 8 M a c h C o n t o u r s a t L e a d i n g E d g e S h o w i n g S h o c k .

a s i n t w o d i m e n s i o n s . T h e e q u a t i o n s i n g e n e r a l i z e d c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e s a r e

@

b

Q + @

b

E + @

b

F + @

b

G = R e

; 1

@

b

S ( 1 2 1 )

w h e r e n o w

b

Q = J

; 1

2

6

6

6

4

u

v

w

e

3

7

7

7

5

b

E = J

; 1

2

6

6

6

4

U

u U +

x

p

v U +

y

p

w U +

z

p

U ( e + p ) ;

t

p

3

7

7

7

5

b

F = J

; 1

2

6

6

6

4

V

u V +

x

p

v V +

y

p

w V +

z

p

V ( e + p ) ;

t

p

3

7

7

7

5

b

G = J

; 1

2

6

6

6

4

W

u W +

x

p

v W +

y

p

w W +

z

p

W ( e + p ) ;

t

p

3

7

7

7

5

( 1 2 2 a )

w i t h

U =

t

+

x

u +

y

v +

z

w

V =

t

+

x

u +

y

v +

z

w

W =

t

+

x

u +

y

v +

z

w

( 1 2 2 b )

7 7



F i g u r e 2 9 . U n s t e a d y S o l u t i o n a t M

1

= 0 4 = 1 5

7 8



F i g u r e 2 9 . C o n t i n u e d .

7 9



F i g u r e 2 9 . C o n t i n u e d .

8 0



F i g u r e 3 0 . V i s c o u s S o l u t i o n C o m p a r e d w i t h E x p e r i m e n t a l D a t a o f M c C r o s k e y ,

e t . a l .

w i t h

b

S = J

; 1

2

6

6

6

4

0

m

1

u

+ ( = 3 ) m

2

x

m

1

v

+ ( = 3 ) m

2

y

m

1

w

+ ( = 3 ) m

2

z

m

1

m

3

+ ( = 3 ) m

2

(

x

u +

y

v +

z

w )

3

7

7

7

5

( 1 2 2 c )

h e r e m

1

=

2

x

+

2

y

+

2

z

, m

2

=

x

u

+

y

v

+

z

w

, a n d m

3

= ( u

2

+ v

2

+ w

2

)

= 2 +

P r

; 1

( ; 1 )

; 1

( a

2

)

P r e s s u r e i s a g a i n r e l a t e d t o t h e c o n s e r v a t i v e o w v a r i a b l e s , Q , b y t h e e q u a t i o n

o f s t a t e

p = ( ; 1 )

e ;

1

2

( u

2

+ v

2

+ w

2

)

( 1 2 3 )

T h e m e t r i c t e r m s a r e d e n e d a s

x

= J ( y

z

; y

z

)

x

= J ( z

y

; y

z

)

y

= J ( z

x

; z

x

)

y

= J ( x

z

; z

x

)

z

= J ( x

y

; y

x

)

z

= J ( y

x

; x

y

)

x

= J ( y

z

; z

y

)

t

= ; x

x

; y

y

; z

z

y

= J ( z

x

; x

z

)

t

= ; x

x

; y

y

; z

z

z

= J ( x

y

; y

x

)

t

= ; x

x

; y

y

; z

z

( 1 2 4 a )

w i t h

J

; 1

= x

y

z

+ x

y

z

+ x

y

z

; x

y

z

; x

y

z

; x

y

z

( 1 2 4 b )

8 1



1 2 . 2 N u m e r i c a l M e t h o d s

T h e i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n a l g o r i t h m a p p l i e d t o t h e t h r e e d i m e n -

s i o n a l e q u a t i o n s i s

h

I + h

b

A

n

i h

I + h

b

B

n

i h

I + h

b

C

n

; h R e

; 1

c

M

n

i

b

Q

n

=

; h

b

E

n

+

b

F

n

+

b

G

n

; R e

; 1

b

S

n

( 1 2 5 )

T h e i n v i s c i d t h r e e d i m e n s i o n a l u x J a c o b i a n s ,

b

A

b

B

b

C a r e d e n e d i n t h e A p -

p e n d i x a l o n g w i t h t h e v i s c o u s u x J a c o b i a n

c

M . A r t i c i a l d i s s i p a t i o n t e r m s c a n b e

a d d e d i n t h e c o n s t a n t c o e c i e n t f o r m , s t r a i g h t f o r w a r d e x t e n s i o n o f E q s . ( 6 . 1 ) , o r

i n t h e n o n l i n e a r f o r m E q . ( 6 . 1 2 ) .

T h e s c a l a r p e n t a d i a g o n a l a l g o r i t h m i n t h r e e d i m e n s i o n s h a s t h e f o r m

T

I + h

]

b

N I + h

]

b

P I + h

] T

; 1

b

Q

n

=

b

R

n

( 1 2 6 )

w i t h

b

N = T

; 1

T

a n d

b

P = T

; 1

T

. J u s t a s i n t w o d i m e n s i o n s w e u s e t h e e x p l i c i t

a n d i m p l i c i t n o n l i n e a r a r t i c i a l d i s s i p a t i o n t e r m s .

I t i s i n t e r e s t i n g ( a n d s o m e w h a t d i s t u r b i n g ) t o n o t e t h a t l i n e a r c o n s t a n t c o e -

c i e n t F o u r i e r a n a l y s i s ( p e r i o d i c B C ) f o r t h e t h r e e d i m e n s i o n a l m o d e l w a v e e q u a t i o n

s h o w s u n c o n d i t i o n a l i n s t a b i l i t y f o r t h e t h r e e d i m e n s i o n a l f a c t o r e d a l g o r i t h m . T h i s

i s d u e t o t h e c r o s s t e r m e r r o r s . I n c o n t r a s t t o t h e c a s e o f t w o d i m e n s i o n s w h e r e

t h e c r o s s t e r m s e r r o r j u s t a e c t t h e r a p i d c o n v e r g e n c e c a p a b i l i t y ( a t l a r g e t i m e

s t e p s ) o f t h e a l g o r i t h m . I n t h r e e d i m e n s i o n s w e a l s o h a v e a w e a k i n s t a b i l i t y d u e t o

t h e c r o s s t e r m s . L i n e a r a n a l y s i s s h o w s t h a t t h e i n s t a b i l i t y i s a w e a k o n e w h e r e t h e

a m p l i c a t i o n f a c t o r i s v e r y c l o s e b u t g r e a t e r t h a n o n e . I t c a n b e s h o w n t h o u g h t h a t

a s m a l l a m o u n t o f a d d e d a r t i c i a l d i s s i p a t i o n m o v e s t h e a m p l i c a t i o n f a c t o r b e l o w

o n e a n d t h e r e f o r e w e h a v e c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y . A l s o p r a c t i c a l m o d e l e q u a t i o n a n a l -

y s i s u s i n g n o n p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l s o s h o w s a s t a b i l i t y r a n g e . I n a c t u a l

p r a c t i c e o n t h r e e d i m e n s i o n a l n o n l i n e a r p r o b l e m s w e h a v e n e v e r e n c o u n t e r e d a c a s e

w h e r e w e c o u l d a t t r i b u t e a n i n s t a b i l i t y t o t h i s p r o b l e m a r e a . I n f a c t , n u m e r i c a l e x -

p e r i m e n t s s h o w t h a t i f a n y t h i n g t h e t h r e e d i m e n s i o n a l a l g o r i t h m s e e m s t o b e m o r e

s t a b l e a n d c o n v e r g e n t f o r a g i v e n p r o b l e m t h a n i n t w o d i m e n s i o n s . N u m e r o u s c a s e s

h a v e b e e n c a l c u l a t e d w h e r e t h e t h r e e d i m e n s i o n a l a l g o r i t h m c o n v e r g e s a n d r e s i d u a l s

g o t o m a c h i n e z e r o .

1 2 . 3 B o u n d a r y C o n d i t i o n s a n d G e o m e t r y

P h y s i c a l b o u n d a r i e s a r e a g a i n m a p p e d t o c o m p u t a t i o n a l b o u n d a r i e s . E x p l i c i t

n u m e r i c a l a n d p h y s i c a l c o n d i t i o n s c a n b e a p p l i e d a r e n e c e s s a r y . T h e a c t u a l c o n d i -

t i o n s u s e d a r e t h e s t r a i g h t f o r w a r d e x t e n s i o n s o f t h e m e t h o d s o u t l i n e d i n S e c t i o n I X .

8 2



O n e a s p e c t o f t h e t h r e e d i m e n s i o n a l a p p l i c a t i o n w h i c h i s m o r e c o m p l i c a t e d t h e n i n

t w o d i m e n s i o n s i s t h e d e v e l o p m e n t o f g r i d t o p o l o g y a n d m e s h s y s t e m s . S u r f a c e d e f -

i n i t i o n a n d t h e c o m p u t a t i o n a l m a p a r e c o m p l i c a t e d b y t h e m a n y s u r f a c e s i n v o l v e d ,

c o o r d i n a t e s i n g u l a r i t i e s ( u n a v o i d a b l e w h e n m a p p i n g a c l o s e d 3 - D b o d y ) , t h e l a c k o f

a n a d e q u a t e n u m b e r o f g r i d p o i n t s s i n c e 3 - D i s a b i g g e r s t r a i n o n c o m p u t e r s t o r a g e

l i m i t a t i o n s . T h i s w i l l d e n i t e l y d r i v e t h e c o m p u t a t i o n a l c o m m u n i t y t o w a r d s z o n a l

o r p a t c h m e t h o d s , i . e . t h e l a r g e 3 - D p r o b l e m i s b r o k e n i n t o m u l t i p l e s e c t i o n s a n d

e a c h s e c t i o n i s h a n d l e d s e p a r a t e l y . T h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n z o n e s c a n b e e x p l i c i t ,

s e e R a i 5 7 ] o r i m p l i c i t , H e s s e n i u s a n d P u l l i a m 5 8 ] . A l s o g r i d r e n e m e n t t e c h -

n i q u e s n e e d m o r e d e v e l o p m e n t , s e e B e r g e r 5 9 ] a n d N a k a h a s h i a n d D e i w e r t 6 0 ] f o r

e x a m p l e s o f t h e s e c o n c e p t s .

G e o m e t r y s e e m s t o b e o n e o f t h e b i g g e s t s t u m b l i n g b l o c k s i n t h r e e d i m e n s i o n s .

A n o t h e r a s p e c t o f 3 - D w h i c h c a u s e s p r o b l e m s i s t h e q u e s t i o n o f t h e m e t r i c i n v a r i a n t s .

I f c e n t r a l d i e r e n c i n g i s u s e d t o c o m p u t e t h e m e t r i c s a n d f o r t h e u x d e r i v a t i v e s t h e n

f o r 3 - D t h e m e t r i c i n v a r i a n t s a r e n o t s a t i s e d . T h i s w a s p o i n t e d o u t i n t h e o r i g i n a l

p a p e r b y P u l l i a m a n d S t e g e r 3 ] . B y m o d i f y i n g t h e c o m p u t a t i o n o f t h e m e t r i c s

w e c a n s a t i s f y t h e i n v a r i a n t s . T h i s i s d o n e b y a v e r a g i n g t h e c e n t r a l d i e r e n c e s o f

t h e g r i d v a l u e s , ( x

x

e t c . ) t o p r o d u c e m e t r i c s w h i c h a r e s i m i l a r t o t e r m s w h i c h

w o u l d b e c o m p u t e d b y a n i t e v o l u m e m e t h o d . F o r i n s t a n c e ,

x

w o u l d b e c o m p u t e d

a s

x

= J (

y ) (

z ) ; (

y ) (

z ) ] ( 1 2 7 )

w h e r e i s t h e s t a n d a r d c e n t r a l d i e r e n c e o p e r a t o r a n d i s a n a v e r a g e o p e r a t o r ,

f o r i n s t a n c e

x

k

= ( x

k + 1

+ x

k ; 1

) = 2 . I f a l l t h e m e t r i c t e r m s a r e c a l c u l a t e d i s t h i s

m a n n e r t h e n t h e m e t r i c i n v a r i a n t s a r e s a t i s e d .

1 2 . 4 C o d e S t r u c t u r e a n d V e c t o r i z a t i o n

W i t h t h e a d v e n t o f v e c t o r i z e d c o m p u t e r a r c h i t e c t u r e o n e c a n n o t j u s t p r o g r a m

i n a l i n e a r f a s h i o n w i t h o u t r e g a r d t o c o d e s t r u c t u r e a n d e x p e c t t o p r o d u c e e c i e n t

c o d e . T w o m a j o r d e c i s i o n s f a c e t h e p r o g r a m m e r w h e n w r i t i n g c o d e f o r a v e c t o r

m a c h i n e , f o r i n s t a n c e C R A Y t y p e a r c h i t e c t u r e . F i r s t y o u m u s t i d e n t i f y t h e v e c t o r

l e n g t h o r c o n s t r u c t . W h i c h i n d i c e s c a n b e c o n s i d e r e d v e c t o r s , w h a t a r e t h e v e c t o r

l e n g t h s ( s o m e m a c h i n e s r e q u i r e l o n g v e c t o r s ) a n d h o w i s a v e c t o r l o o p i m p l e m e n t e d .

S e c o n d l y , h o w d o w e m a n a g e t h e l a r g e d a t a b a s e s w h i c h n o w c a n b e p r o c e s s e d

b e c a u s e o f t h e e c i e n c y a n d s p e e d o f v e c t o r m a c h i n e s . M a n y o f t h e n e a r f u t u r e

c o m p u t e r s w i l l h a v e e i t h e r l a r g e i n - c o r e m e m o r y o r h i g h s p e e d o u t - o f - c o r e s t o r a g e .

T h e s e l a r g e a m o u n t s o f d a t a w i l l h a v e t o b e m a n a g e d e c i e n t l y . I n t h r e e d i m e n s i o n s

f o r i n s t a n c e a d a t a b a s e o f 1 m i l l i o n g r i d p o i n t s a n d 3 2 v a r i a b l e s w i l l b e c o m m o n

p l a c e r e q u i r i n g u s t o m a n a g e 3 2 m i l l i o n s w o r d s . T o e c i e n t l y h a n d l e t h i s d a t a

b a s e , m a n a g e m e n t s y s t e m s s u c h a s p l a n e s l i c e s o r p e n c i l c o n c e p t s , s e e L o m a x a n d

8 3



P u l l i a m 1 5 ] , n e e d t o b e d e v e l o p e d a n d r e n e d . T h e p r o p e r w a y t o h a n d l e t h i s i s t o

d i v i d e m e m o r y i n t o t w o p a r t s , t h e o p e r a t i n g p a r t o f m e m o r y a n d t h e s t o r a g e p a r t .

I d e n t i a b l e b l o c k s o f d a t a a r e b r o u g h t i n t o t h e w o r k i n g a r e a , p r o c e s s e d a n d t h e n

m o v e d b a c k t o s t o r a g e . T h e r e a r e a n u m b e r o f a d v a n t a g e s t o s u c h a s y s t e m . O n e

i s t h a t l a r g e b l o c k s o f d a t a c a n b e m o v e d m o r e e c i e n t l y e s p e c i a l l y f o r o u t - o f - c o r e

s t o r a g e d e v i c e s b u t e v e n f o r i n - c o r e s t o r a g e . T h e d i m e n s i o n s o f t h e b l o c k s d e n e t h e

v e c t o r l e n g t h s . F o r S I M D ( s i n g l e i n s t r u c t i o n - m u l t i p l e d a t a ) o r M I M D ( m u l t i p l e

i n s t r u c t i o n - m u l t i p l e d a t a ) a r c h i t e c t u r e t h e b l o c k s d e n e m u l t i p l e d a t a s t r i n g s t o

b e o p e r a t e d o n . I n g e n e r a l , a s m a c h i n e s b e c o m e l a r g e r a n d m o r e p o w e r f u l w e w i l l

h a v e t o t a k e m o r e c a r e i n t h e d e v e l o p m e n t o f a w e l l s t r u c t u r e e c i e n t c o d e .

1 2 . 5 A p p l i c a t i o n i n T h r e e D i m e n s i o n s

A p p l i c a t i o n s i n t h r e e d i m e n s i o n s r e q u i r e s u b s t a n t i a l c o m p u t a t i o n a l r e s o u r c e s .

M o s t o f t h e p r o b l e m s a t t e m p t e d s o f a r h a v e b e e n f o r s i m p l e g e o m e t r i e s a n d l i m i t e d

o w c o n d i t i o n s . T h e a d v e n t o f t h e h i g h s p e e d { l a r g e m e m o r y m a c h i n e s , s u c h a s

t h e C R A Y 1 S , X M P o r C Y B E R 2 0 5 , w i l l e n a b l e u s t o a t t e m p t r e a l i s t i c p r o b l e m s

b u t e v e n t h e y f a l l s h o r t o f p r o v i d i n g e n o u g h c o m p u t e r p o w e r f o r g e n e r a l p u r p o s e s .

I s h a l l p r e s e n t b e l o w a p p l i c a t i o n s o f t h e c o d e A R C 3 D f o r s i m p l e b o d y s h a p e s . T h e

o w c o n d i t i o n s u s e d , t h o u g h , p r o d u c e s o m e i n t e r e s t i n g a n d c o m p l i c a t e d o w e l d s .

T h e s e c o m p u t a t i o n s d e m o n s t r a t e t h e c a p a b i l i t i e s o f t h e c o d e a n d d e m o n s t r a t e t h e

a c c u r a c y a n d e c i e n c y .

A ) H e m i s p h e r e - C y l i n d e r A t H i g h A n g l e O f A t t a c k

T h e r s t a p p l i c a t i o n i s o w p a s t a s e m i { i n n i t e h e m i s p h e r e { c y l i n d e r a t a s u -

p e r s o n i c M a c h n u m b e r M

1

= 1 2 a n d h i g h a n g l e o f a t t a c k = 1 9

. T h e c a l c u l a t i o n

i s f o r a l a m i n a r R e y n o l d s n u m b e r R E = 2 2 2 5 0 0 0 T h i s c a l c u l a t i o n w a s o r i g i n a l l y

p r e s e n t e d b y P u l l i a m a n d S t e g e r 3 ] w h e r e i t w a s c o m p u t e d o n a g r i d w i t h 3 0 p o i n t s

i n t h e a x i a l d i r e c t i o n , 1 9 p o i n t s c i r c u m f e r e n t i a l l y a n d 3 0 p o i n t s i n t h e n o r m a l d i r e c -

t i o n , a t o t a l o f 1 7 1 0 0 g r i d p o i n t s . T h e g r i d i s a w a r p e d s p h e r i c a l t o p o l o g y , s e e F i g .

3 1 a n d i s c l u s t e r e d i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n f o r b o u n d a r y l a y e r r e s o l u t i o n . I n t h e

o r i g i n a l c o d e 3 ] t h e c o n v e r g e n c e r a t e ( r e d u c t i o n i n r e s i d u a l p e r i t e r a t i o n ) f o r t y p -

i c a l c a s e s w a s o n t h e o r d e r o f 0 . 9 9 6 , f o r t h e c u r r e n t a l g o r i t h m i t h a s b e e n r e d u c e d

t o a p p r o x i m a t e l y 0 . 9 8 6 . E m p l o y i n g t h e a l g o r i t h m a s d e s c r i b e d a b o v e a n d u s i n g

t h e f u l l y i m p l i c i t p e n t a d i a g o n a l a l g o r i t h m t h e c o m p u t a t i o n t i m e f o r t h r e e o r d e r s o f

m a g n i t u d e d r o p i n r e s i d u a l ( p l o t t i n g a c c u r a c y ) w a s r e d u c e d f r o m a b o u t 3 0 0 m i n u t e s

f o r a c o n v e r g e d c a s e o n t h e C D C 7 6 0 0 t o a b o u t 5 m i n u t e s o n a C R A Y - X M P . I n f a c t

c a s e s w h i c h c o u l d n o t b e c o n v e r g e d b e f o r e o n t h e C D C 7 6 0 0 a r e n o w c o n v e r g e n t .

T h i s i s a s u b s t a n t i a l r e d u c t i o n i n t h e c o m p u t e t i m e a n d c a n b e i m p r o v e d f u r t h e r .

A n e x a m p l e o f t h e c o m p u t a t i o n i s s h o w n i n F i g . 3 2 a n d 3 3 . A c r o s s o w s e p -

a r a t i o n o c c u r s a t t h i s a n g l e o f a t t a c k w h i c h i s i n d i c a t e d b y t h e p r e s s u r e c o n t o u r s

a n d v e l o c i t y v e c t o r s a t t h e c r o s s s e c t i o n a l p l a n e s h o w n . I n F i g . 3 3 p r e s s u r e a l o n g

8 4



F i g u r e 3 1 . W a r p e d S p h e r i c a l T o p o l o g y f o r H e m i s p h e r e { C y l i n d e r .

t h e b o d y a t t h r e e c i r c u m f e r e n t i a l l o c a t i o n s i s c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a

d u e t o H s i e h 6 1 ] a n d c o m p a r e s q u i t e w e l l . A l s o s h o w n i s t h e c o m p u t e d c r o s s o w

s e p a r a t i o n a n g l e a g a i n s t e x p e r i m e n t .

D e t a i l s o f t h e i n t e r a c t i o n o f t h e c r o s s o w a n d s y m m e t r y p l a n e a s w e l l a s o t h e r

f e a t u r e s o f t h i s o w r e q u i r e f u r t h e r s t u d y . R e s u l t s b y P a n a n d P u l l i a m 4 6 ] h a v e

e x p a n d e d A R C 3 D t o u s e t h e S S D ( s o l i d s t a t e d i s k ) o n t h e X M P . T h i s g i v e u s t h e

c a p a c i t y f o r u p t o 1 m i l l i o n g r i d p o i n t s . W i t h t h a t r e s o l u t i o n a n d t h e i n c r e a s e

e c i e n c y o f t h e c o d e w e a r e c a r r i n g o u t a d e t a i l e d s t u d y o f h i g h a n g l e o f a t t a c k

o w e l d s .

O t h e r c o m p u t a t i o n s p r e s e n t e d f o r t h i s c o n g u r a t i o n a t l o w e r M a c h n u m b e r s

a n d a n g l e s o f a t t a c k w e r e r e p o r t e d b y P u l l i a m a n d S t e g e r a n d c o m p a r e d w e l l w i t h

d a t a . T h e c o d e i s a l s o u s e d t o o b t a i n s t a r t i n g s o l u t i o n s f o r a P N S ( p a r a b o l i z e d

N a v i e r - S t o k e s ) c o d e , s e e S c h i a n d S t e g e r 6 2 ] , C h a u s s e e , e t . a l . 6 3 ] .

B ) B o a t t a i l

A s a s e c o n d a p p l i c a t i o n , D e i w e r t e m p l o y e d a v e r s i o n o f t h e c o d e t o s t u d y

b o a t t a i l s a t a n g l e s o f a t t a c k 6 4 ] a n d b o a t t a i l e x h a u s t p l u m e s 6 5 ] . A c o m p o s i t e o f

D e i w e r t s b o a t t a i l c o m p u t a t i o n i s g i v e n i n F i g . 3 4 . T h e c o m p u t a t i o n w a s p e r f o r m e d

u s i n g a b o a t t a i l c o n g u r a t i o n w i t h a i n n i t e s t i n g . T h e r e g i o n o f i n t e r e s t i s t h e

c o n v e r g i n g a r e a o f t h e b o a t t a i l . T h e o w c o n d i t i o n s a r e M

1

= 2 0 , R e = 6 5 1 0

7

a n d a n g l e s o f a t t a c k f r o m 0

t o 1 2

. C o m p u t e d p r e s s u r e s a t v a r i o u s a n g l e s o f a t t a c k

8 5



F i g u r e 3 2 . H e m i s p h e r e { C y l i n d e r a t M

1

= 1 2 = 1 9

F i g u r e 3 3 . C o m p a r i s o n w i t h E x p e r i m e n t .

8 6



a r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t i n t h e p a p e r . T h e c a s e s h o w n h e r e i s f o r = 6

a n d s h o w s c o m p a r i s o n a t t h r e e c i r c u m f e r e n t i a l s t a t i o n s . C o m p u t e d s u r f a c e o i l o w

( p a r t i c l e p a t h s r e s t r i c t e d t o t h e b o d y ) a n d s u r f a c e p r e s s u r e f o r = 6

s h o w t h e

t y p e o f r e s u l t s p r e s e n t e d . T h e r e s u l t s r e p o r t e d b y D e i w e r t 6 4 ] c o m p a r e d v e r y w e l l

w i t h t h e e x p e r i m e n t a l d a t a o f S h r e w s b u r y 6 6 ] .

F i g u r e 3 4 . B o a t t a i l S t u d y a t M

1

= 2 0 = 6

R e = 6 5 1 0

5

T h e b o a t t a i l s t u d y w a s u n d e r t a k e n a s a r s t s t e p t o w a r d t h e s i m u l a t i o n o f

b o a t t a i l e x h a u s t p l u m e s w h i c h h a s b e e n c a r r i e d o u t i n a p r e l i m i n a r y s t a g e b y D e i -

w e r t 6 5 ] . I n t h i s s i m u l a t i o n t h e b o a t t a i l s t i n g i s e l i m i n a t e d a n d a c o n i c a l e x h a u s t

j e t i s a d d e d a t t h e b a s e r e g i o n F i g u r e s 3 5 a n d 3 6 s h o w c o m p a r i s o n s o f d e n s i t y

c o n t o u r s a n d s t r e a m l i n e s w i t h S c h l i e r e n p h o t o g r a p h s f r o m A g r e l l a n d W h i t e 6 7 ] .

I n F i g . 3 5 t h e p r e s s u r e r a t i o f o r t h e j e t w a s 3 a n d w e s e e a n e x p a n d e d e x h a u s t

p l u m e a n d a c o m p l i c a t e d s h o c k s h e a r o w p a t t e r n ( d e p i c t e d b y t h e b o l d l i n e s ) .

T h e q u a l i t a t i v e c o m p a r i s o n w i t h t h e p h o t o g r a p h i s q u i t e r e m a r k a b l e . A t a h i g h e r

e x h a u s t r a t i o , F i g . 3 6 t h e j e t i s t i g h t e r a n d t h e s h o c k s h e a r s u r f a c e p a t t e r n m o r e

c o m p l i c a t e d . A g a i n t h e q u a l i t a t i v e c o m p a r i s o n w i t h t h e p h o t o g r a p h i s q u i t e g o o d .

I r e f e r t h e r e a d e r t o t h e o r i g i n a l p a p e r s a n d o n e b y N a k a h a s h i a n d D e i w e r t 6 0 ] f o r

a m o r e d e t a i l e d a n a l y s i s o f t h e s e o w e l d s .

8 7



F i g u r e 3 5 . B o a t t a i l E x h a u s t P l u m e F l o w D e t a i l s a t P r e s s u r e R a t i o = 3 .

8 8



F i g u r e 3 6 . B o a t t a i l E x h a u s t P l u m e F l o w D e t a i l s a t P r e s s u r e R a t i o = 9 .

8 9



S u m m a r y

I n s u m m a r y , t h e d e v e l o p m e n t o f s o m e c o m p u t a t i o n a l a l g o r i t h m s i n t w o - a n d

t h r e e - d i m e n s i o n s h a v e b e e n p r e s e n t e d . D e t a i l s o f t w o c o m p u t a t i o n a l c o d e s , A R C 2 D

a n d A R C 3 D h a v e b e e n p r e s e n t e d . T h e b a s i c a l g o r i t h m u s e d i s t h e B e a m a n d

W a r m i n g i m p l i c i t a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n s c h e m e o r v a r i a n t s o f t h a t s c h e m e s u c h

a s t h e d i a g o n a l i z a t i o n . T h e c o d e s e m p l o y i m p r o v e m e n t s t o e n h a n c e a c c u r a c y , ( g r i d

r e n e m e n t , b e t t e r b o u n d a r y c o n d i t i o n s , m o r e v e r s a t i l e a r t i c i a l d i s s i p a t i o n m o d e l )

a n d e c i e n c y ( d i a g o n a l a l g o r i t h m , i m p l i c i t t r e a t m e n t o f a r t i c i a l d i s s i p a t i o n t e r m s ,

v a r i a b l e t i m e s t e p s ) . R e s u l t s f o r a w i d e v a r i e t y o f c a s e s s u b s t a n t i a t e t h e a c c u r a c y

a n d e c i e n c y c l a i m s .

F u t u r e w o r k i s r e q u i r e d t o a d d r e s s i m p r o v e m e n t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s , e x -

a m i n i n g s t a b i l i t y q u e s t i o n s , e l i m i n a t i n g c r o s s t e r m e r r o r s a n d m o r e . W e a r e a l s o

i n t e r e s t e d i n d e v e l o p i n g n e w g r i d g e n e r a t i o n c o n c e p t s b o t h i n t e r m s o f g e n e r a t i o n

a n d g r i d q u a l i t y . I n t h r e e d i m e n s i o n s w e s e e t h e a r e a o f z o n a l c o n c e p t s a s t h e n e w e s t

h o r i z o n a n d e n v i s i o n s u b s t a n t i a l g a i n s i n s o l u t i o n c a p a b i l i t y a s a r e s u l t .

R e f e r e n c e s

1 B e a m , R . a n d W a r m i n g , R . F . A n I m p l i c i t F i n i t e - D i e r e n c e A l g o r i t h m f o r

H y p e r b o l i c S y s t e m s i n C o n s e r v a t i o n L a w F o r m , J . C o m p . P h y s . , V o l . 2 2 1 9 7 6 ,

p p . 8 7 - 1 1 0

2 S t e g e r , J . L . I m p l i c i t F i n i t e D i e r e n c e S i m u l a t i o n o f F l o w A b o u t A r b i t r a r y

G e o m e t r i e s w i t h A p p l i c a t i o n t o A i r f o i l s , A I A A P a p e r 7 7 - 6 6 5 , 1 9 7 7

3 P u l l i a m , T . H . a n d S t e g e r , J . L . I m p l i c i t F i n i t e - D i e r e n c e S i m u l a t i o n s o f

T h r e e D i m e n s i o n a l C o m p r e s s i b l e F l o w , A I A A J V o l . 1 8 1 9 8 0 p a g e 1 5 9

4 M a c C o r m a c k , R . W . T h e E e c t o f V i s c o s i t y i n H y p e r v e l o c i t y I m p a c t C r a t e r i n g ,

A I A A P a p e r 6 9 - 3 5 4 , 1 9 6 9 .

5 R i z z i , A . a n d E r i k s s o n , L . E x p l i c i t M u l t i s t a g e F i n i t e V o l u m e P r o c e d u r e t o S o l v e

t h e E u l e r E q u a t i o n s f o r T r a n s o n i c F l o w L e c t u r e , S e r i e s o n C o m p u t a t i o n a l

F l u i d D y n a m i c s , v o n K a r m a n I n s t i t u t e , R h o d e - S t - G e n e s e , B e l g i u m 1 9 8 3

6 J a m e s o n , A . , S c h m i d t , W . a n d T u r k e l , E . N u m e r i c a l S o l u t i o n s o f t h e E u -

l e r E q u a t i o n s b y F i n i t e V o l u m e M e t h o d s U s i n g R u n g e - K u t t a T i m e - S t e p p i n g

S c h e m e s , A I A A p a p e r 8 1 - 1 2 5 9 A I A A 1 4 t h F l u i d a n d P l a s m a D y n a m i c s C o n -

f e r e n c e , P a l o A l t o 1 9 8 1

7 Y e e , H . C . , a n d H a r t e n , A . I m p l i c i t T V D S c h e m e s f o r H y p e r b o l i c C o n s e r v a -

t i o n L a w s i n C u r v i l i n e a r C o o r d i n a t e s , A I A A - 8 5 - 1 5 1 3 A I A A 7 t h C o m p u t a t i o n a l

F l u i d D y n a m i c s C o n f e r e n c e , C i n c i n a t t i , O h . , 1 9 8 5

8 C h a k r a v a r t h y , S . , a n d O s h e r , S . A N e w C l a s s o f H i g h A c c u r a c y T V D S c h e m e s

f o r H y p e r b o l i c C o n s e r v a t i o n L a w s , A I A A - 8 5 - 0 3 6 3 A I A A 2 3 r d A e r o s p a c e S c i -

e n c e s M e e t i n g , R e n o , N e v a d a . , 1 9 8 5

9 A n d e r s o n , W . K . , T h o m a s , J . L . , a n d V a n L e e r , B . A C o m p a r i s o n o f F i n i t e

V o l u m e F l u x V e c t o r S p l i t t i n g s f o r T h e E u l e r E q u a t i o n s , A I A A - 8 5 - 0 1 2 2 , A I A A

2 3 r d A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g , R e n o , N V , 1 9 8 5

9 0



1 0 V i v i a n d , H . C o n s e r v a t i v e F o r m s o f G a s D y n a m i c s E q u a t i o n s , L a R e c h e r c h e

A e r o s p a t i a l e 1 9 7 4 p a g e 6 5

1 1 V i n o k u r , M . C o n s e r v a t i o n E q u a t i o n s o f G a s - D y n a m i c s i n C u r v i l i n e a r C o o r d i -

n a t e S y s t e m s , J . C o m p . P h y s . p p . 1 0 5 - 1 2 5 V o l . 1 4 , 1 9 7 4

a a K o r n , G . a n d K o r n , T . , M a t h e m a i c a l H a n d b o o k f o r S c i e n t i s t s a n d E n g i n e e r s ,

M c G r a w H i l l B o o k C o , N e w Y o r k , 1 9 6 1

1 2 H i n d m a n , R . G e o m e t r i c a l l y I n d u c e d E r r o r s a n d T h e i r R e l a t i o n s h i p t o t h e F o r m

o f t h e G o v e r n i n g E q u a t i o n s a n d t h e T r e a t m e n t o f G e n e r a l i z e d M a p p i n g s , A I A A

P a p e r 8 1 - 1 0 0 8 1 9 8 1

1 3 F l o r e s , J . , H o l s t , T . , K w a k , D . , a n d B a t i s t e , D . A N e w C o n s i s t e n t S p a t i a l

D i e r e n c i n g S c h e m e f o r t h e T r a n s o n i c F u l l P o t e n t i a l E q u a t i o n , A I A A P a p e r

8 3 - 0 7 3 1 9 8 3

1 4 B a l d w i n , B . S . a n d L o m a x , H . T h i n L a y e r A p p r o x i m a t i o n a n d A l g e b r a i c M o d e l

f o r S e p a r a t e d T u r b u l e n t F l o w s , , A I A A P a p e r N o . 7 8 - 2 5 7 1 9 7 8

1 5 L o m a x H . a n d P u l l i a m T . H . A F u l l y I m p l i c i t F a c t o r e d C o d e f o r C o m p u t i n g

T h r e e D i m e n s i o n a l F l o w s o n t h e I L L I A C I V , P a r a l l e l C o m p u t a t i o n s , G . R o -

d r i g u e , E d . , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k 1 9 8 2 p p . 2 1 7 - 2 5 0

1 6 B a r t h , T . J . a n d S t e g e r , J . L . A F a s t E c i e n t I m p l i c i t S c h e m e f o r t h e G a s d y -

n a m i c s E q u a t i o n s U s i n g A M a t r i x R e d u c t i o n T e c h n i q u e , A I A A - 8 5 - 0 4 3 9 , A I A A


1 7 W a r m i n g , R . F . , a n d B e a m , R . M . O n t h e C o n s t r u c t i o n a n d A p p l i c a t i o n o f I m -

p l i c i t F a c t o r e d S c h e m e s f o r C o n s e r v a t i o n L a w s , S I A M - A M S P r o c e e d i n g s V o l .

1 1 1 9 7 8 p p . 8 5 { 1 2 9

1 8 J e s p e r s e n , D . C . R e c e n t D e v e l o p m e n t s i n M u l t i g r i d M e t h o d s f o r t h e S t e a d y

E u l e r E q u a t i o n s , L e c t u r e N o t e s f o r L e c t u r e S e r i e s o n C o m p u t a t i o n a l F l u i d

D y n a m i c s 1 9 8 4 , v o n K a r m a n I n s t i t u t e , R h o d e - S t - G e n e s e , B e l g i u m

1 9 P u l l i a m , T . H . a n d C h a u s s e e , D . S . A D i a g o n a l F o r m o f a n I m p l i c i t A p p r o x i -

m a t e F a c t o r i z a t i o n A l g o r i t h m , J C P V o l . 3 9 1 9 8 1 p a g e 3 4 7

2 0 W a r m i n g , R . F . , B e a m , R . , a n d H y e t t , B . J . D i a g o n a l i z a t i o n a n d S i m u l t a n e o u s

S y m m e t r i z a t i o n o f t h e G a s - D y n a m i c M a t r i c e s , M a t h C o m p , V o l . 2 9 1 9 7 5 p a g e

1 0 3 7

2 1 S t e g e r , J . C o e c i e n t M a t r i c e s f o r I m p l i c i t F i n i t e D i e r e n c e S o l u t i o n o f t h e

I n v i s c i d F l u i d C o n s e r v a t i o n L a w E q u a t i o n s , C o m p u t e r M e t h o d s I n A p p l i e d

M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g V o l . 1 3 p p . 1 7 5 - 1 8 8 1 9 7 8

2 2 B e a m , R . a n d B a i l e y , H P r i v a t e C o m m u n i c a t i o n

2 3 S t e g e r J . L . a n d W a r m i n g , R . F . F l u x V e c t o r S p l i t t i n g o f t h e I n v i s c i d G a s

D y n a m i c E q u a t i o n s w i t h A p p l i c a t i o n s t o F i n i t e D i e r e n c e M e t h o d s , J . C o m p .

P h y s . V o l . 4 0 p p . 2 6 3 - 2 9 3 1 9 8 1

2 4 R o e , P . L . T h e U s e o f t h e R i e m a n n P r o b l e m i n F i n i t e D i e r e n c e S c h e m e s ,

p r e s e n t e d a t t h e S e v e n t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n N u m e r i c a l M e t h o d s i n

F l u i d D y n a m i c s , S t a n f o r d , C A 1 9 8 0

9 1



2 5 v a n L e e r , B . F l u x - V e c t o r S p l i t t i n g f o r t h e E u l e r E q u a t i o n s E i g h t h I n t e r n a t i o n a l

C o n f e r e n c e o n N u m e r i c a l M e t h o d s i n F l u i d D y n a m i c s , S p r i n g e r L e c t u r e N o t e s

i n P h y s i c s n o . 1 7 0 , e d . E . K r a u s e 1 9 8 3

2 6 O s h e r S . a n d C h a k r a v a r t h y , S . U p w i n d S c h e m e s a n d B o u n d a r y C o n d i t i o n s w i t h

A p p l i c a t i o n s t o E u l e r E q u a t i o n s i n G e n e r a l G e o m e t r i e s , J . C o m p . P h y s . V o l .

5 0 p p . 4 4 7 { 4 8 1 1 9 8 3

2 7 H a r t e n , A . A H i g h R e s o l u t i o n S c h e m e f o r t h e C o m p u t a t i o n o f W e a k S o l u t i o n s

o f H y p e r b o l i c C o n s e r v a t i o n L a w s , J . C o m p . P h y s . V o l . 4 9 1 9 8 3 p p . 3 5 7 - 3 9 3

2 8 P u l l i a m , T . H . A r t i c i a l D i s s i p a t i o n M o d e l s F o r t h e E u l e r E q u a t i o n s , A I A A

8 5 - 0 4 3 8 A I A A 2 3 r d A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g , R e n o , N e v a d a . , 1 9 8 5

2 9 A b a r b a n e l , S . , D w o y e r , D . a n d G o t t l i e b , D . I m p r o v i n g t h e C o n v e r g e n c e R a t e

o f P a r a b o l i c A D I M e t h o d s , I C A S E R e p o r t 8 2 - 2 8 1 9 8 2

3 0 S h a n g , J . a n d H a n k e y , W . , N u m e r i c a l S o l u t i o n o f t h e C o m p r e s s i b l e N a v i e r -

S t o k e s E q u a t i o n s f o r a T h r e e - D i m e n s i o n a l C o r n e r , A I A A p a p e r 7 7 - 1 6 9 1 9 7 7

3 1 M c D o n a l d , H . a n d B r i l e y , W . R . C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c A s p e c t s o f

I n t e r n a l F l o w s , A I A A p a p e r 7 9 - 1 4 4 5 , P r o c e e d i n g s o f A I A A C o m p u t a t i o n a l

F l u i d D y n a m i c s C o n f e r e n c e , W i l l i a m s b u r g , V a . 1 9 7 9

3 2 S r i n i v a s a n , G . , C h y u , W . , a n d S t e g e r , J . C o m p u t a t i o n o f S i m p l e T h r e e - D i -

m e n s i o n a l W i n g - V o r t e x I n t e r a c t i o n i n T r a n s o n i c F l o w , A I A A p a p e r 8 1 - 1 2 0 6

1 9 8 1

3 3 C o a k l e y , T . J . N u m e r i c a l M e t h o d f o r G a s D y n a m i c s C o m b i n i n g C h a r a c t e r i s t i c

a n d C o n s e r v a t i o n C o n c e p t s , A I A A P a p e r 8 1 - 1 2 5 7 1 9 8 1

3 4 Y e e , H . C . N u m e r i c a l A p p r o x i m a t i o n o f B o u n d a r y C o n d i t i o n s w i t h A p p l i c a t i o n s

t o I n v i s c i d E q u a t i o n s o f G a s D y n a m i c s , N A S A T M - 8 1 2 6 5 1 9 8 1

3 5 C h a k r a v a r t h y , S . E u l e r E q u a t i o n s { I m p l i c i t S c h e m e s a n d I m p l i c i t B o u n d a r y

C o n d i t i o n s , A I A A P a p e r 8 2 - 0 2 2 8 , O r l a n d o , F l a . 1 9 8 2

3 6 S a l a s , M . , J a m e s o n , A . , a n d M e l n i k , R . A C o m p a r a t i v e S t u d y o f t h e N o n u n i -

q u e n e s s P r o b l e m o f t h e P o t e n t i a l E q u a t i o n , A I A A p a p e r 8 3 - 1 8 8 8 , A I A A 6 t h

C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s C o n f e r e n c e 1 9 8 3

3 7 E i s e m a n , P . G e o m e t r i c M e t h o d s i n C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s , I C A S E

R e p o r t 8 0 - 1 1 1 9 8 0

3 8 T h o m p s o n , J . , T h a m e s , F . a n d M a s t i n , C . A u t o m a t i c N u m e r i c a l G e n e r a t i o n o f

B o d y F i t t e d C u r v i l i n e a r C o o r d i n a t e S y s t e m s f o r F i e l d C o n t a i n i n g A n y N u m b e r

o f A r b i t r a r y T w o D i m e n s i o n a l B o d i e s , J . C o m p . P h y . V o l . 1 5 p p . 2 9 9 - 3 1 9

1 9 7 4

3 9 T h o m p s o n , J . N u m e r i c a l G r i d G e n e r a t i o n , J . T h o m p s o n E d . N o r t h H o l l a n d ,

1 9 8 2

4 0 S t e g e r , J . L . a n d B a i l e y , H . E . C a l c u l a t i o n o f T r a n s o n i c A i l e r o n B u z z , A I A A

J o u r . 1 8 p p . 2 4 9 - 5 5 1 9 8 0

4 1 S t e g e r , J . L . , P u l l i a m , T . H . , a n d C h i m a , R . V . A n I m p l i c i t F i n i t e D i e r e n c e

C o d e f o r I n v i s c i d a n d V i s c o u s C a s c a d e F l o w , A I A A p a p e r 8 0 { 1 4 2 7 , A I A A

9 2



1 3 t h F l u i d a n d P l a s m a D y n a m i c s C o n f e r e n c e , S n o w m a s s , C o l o r a d o 1 9 8 0

4 2 C h a u s s e e , D . S . a n d P u l l i a m , T . H . A D i a g o n a l F o r m o f a n I m p l i c i t A p p r o x -

i m a t e F a c t o r i z a t i o n A l g o r i t h m w i t h A p p l i c a t i o n t o a T w o D i m e n s i o n a l I n l e t ,

A I A A J . V o l . 1 9 1 9 8 1 p a g e 1 5 3

4 3 B a r t h , T . J . , P u l l i a m , T . H . , a n d B u n i n g , P . G . N a v i e r - S t o k e s C o m p u t a t i o n s

F o r E x o t i c A i r f o i l s , A I A A - 8 5 - 0 1 0 9 A I A A 2 3 r d A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g ,

R e n o , N e v a d a . , 1 9 8 5

4 4 P u l l i a m , T . H . , J e s p e r s e n , D . C . , a n d B a r t h , T . J . N a v i e r - S t o k e s C o m p u t a t i o n s

F o r C i r c u l a t i o n C o n t r o l l e d A i r f o i l s , A I A A - 8 5 - 1 5 8 7 A I A A 7 t h C o m p u t a t i o n a l

F l u i d D y n a m i c s C o n f e r e n c e , C i n c i n a t t i , O h . , 1 9 8 5

4 5 K u t l e r , P . , C h a k r a v a r t h y , S . , a n d L o m b a r d , C . S u p e r s o n i c F l o w O v e r A b l a t e d

N o s e t i p s U s i n g a n U n s t e a d y I m p l i c i t N u m e r i c a l P r o c e d u r e , A I A A P a p e r 7 8 {

2 1 3 1 9 7 8

4 6 P a n , D . a n d P u l l i a m , T . H . T h e C o m p u t a t i o n o f S t e a d y 3 - D S e p a r a t e d F l o w s

O v e r A e r o d y n a m i c B o d i e s A t H i g h I n c i d e n c e a n d Y a w , A I A A 8 6 - 0 1 0 9 , A I A A


4 7 P u l l i a m , T . H . , J e s p e r s e n , D . C . , a n d C h i l d s , R . , E . A n E n h a n c e d V e r s i o n o f

a n I m p l i c i t C o d e f o r t h e E u l e r E q u a t i o n s , A I A A p a p e r 8 3 - 0 3 4 4 A I A A 2 1 s t

A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g s , R e n o , N V . 1 9 8 3

4 8 J a m e s o n , A . S o l u t i o n o f t h e E u l e r E q u a t i o n s f o r T w o - D i m e n s i o n a l T r a n s o n i c

F l o w b y a M u l t i g r i d M e t h o d , A p p l . M a t h . a n d C o m p u t a t i o n V o l . 1 3 p p . 3 2 7 {

3 5 5 1 9 8 3

4 9 T h e 1 9 8 0 - 8 1 A F O S R - H T T M - S t a n f o r d C o n f e r e n c e o n C o m p l e x T u r b u l e n t F l o w s :

C o m p a r i s o n o f C o m p u t a t i o n a n d E x p e r i m e n t , V o l . 2 , T a x o n o m i e s , R e p o r t e r s '

S u m m a r i e s , E v a l u a t i o n a n d C o n c l u s i o n s , E d s . S . J . K l i n e , B . J . C a n t w e l l a n d

G . M . L i l l e y , T h e r m o s c i e n c e D i v i s i o n , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , C a l i f o r n i a 1 9 8 2

5 0 C o o k , P . , M c D o n a l d , M . a n d F i r m i n , M . A e r o f o i l R A E 2 8 2 2 - P r e s s u r e D i s -

t r i b u t i o n s , a n d B o u n d a r y l a y e r a n d W a k e M e a s u r e m e n t s , A G A R D - A R - 1 3 8

1 9 7 9

5 1 M e h t a , U . R e y n o l d s A v e r a g e d N a v i e r { S t o k e s C o m p u t a t i o n s o f T r a n s o n i c F l o w s

A r o u n d A i r f o i l s , P r e s e n t e d a t S e c o n d S y m p o s i u m o n N u m e r i c a l a n d P h y s i c a l

A s p e c t s o f A e r o d y n a m i c F l o w s , L o n g B e a c h , C a l i f , 1 9 8 3

5 2 E r i k s o n , A . L . a n d S t e p h e n s o n , J . D . A S u g g e s t e d M e t h o d o f A n a l y z i n g f o r

T r a n s o n i c F l u t t e r o f C o n t r o l S u r f a c e s B a s e d o n A v a i l a b l e E x p e r i m e n t a l E v i -

d e n c e , N A C A R M A 7 F 3 0 1 9 4 7

5 3 B a r t o n , J . T . a n d P u l l i a m , T . H . A i r f o i l C o m p u t a t i o n a t H i g h A n g l e s o f A t -

t a c k , i n v i s c i d a n d V i s c o u s P h e n o m e n a , A I A A 8 4 { 0 5 2 4 , A I A A 2 2 n d A e r o s p a c e

S c i e n c e M e e t i n g , R e n o , N e v a d a 1 9 8 4

5 4 A n d e r s o n , W . , T h o m a s , J . , a n d R u m s e y , C . A p p l i c a t i o n o f T h i n L a y e r N a v i e r

S t o k e s E q u a t i o n s N e a r M a x i m u m L i f t , A I A A 8 4 { 0 0 4 9 , A I A A 2 2 n d A e r o s p a c e

s c i e n c e M e e t i n g , R e n o , N e v a d a 1 9 8 4

9 3



5 5 H o l s t , T . L . I m p l i c i t A l g o r i t h m f o r t h e C o n s e r v a t i v e T r a n s o n i c F u l l - P o t e n t i a l

E q u a t i o n U s i n g a n A r b i t r a r y M e s h , A I A A J . 1 7 , 1 9 7 9 p p . 1 0 3 8 { 1 0 4 5

5 6 M c C r o s k e y , W . , M c A l i s t e r , K . , C a r r , L . , a n d P u c c i , S . A n E x p e r i m e n t a l S t u d y

o f D y n a m i c S t a l l o n A d v a n c e d A i r f o i l S e c t i o n s , V o l . 1 , S u m m a r y o f E x p e r i m e n t

N A S A T M 8 4 2 4 5 1 9 8 2

5 7 R a i , M . M . A C o n s e r v a t i v e T r e a t m e n t o f Z o n a l B o u n d a r i e s f o r E u l e r E q u a t i o n s

C a l c u l a t i o n s , A I A A p a p e r 8 4 { 0 1 6 4 , A I A A 2 2 n d A e r o s p a c e S c i e n c e M e e t i n g ,

R e n o , N V 1 9 8 4

5 8 H e s s e n i u s , K . E . a n d P u l l i a m , T . H . A Z o n a l A p p r o a c h t o S o l u t i o n o f t h e E u l e r

E q u a t i o n s , A I A A p a p e r 8 2 - 0 9 6 9 1 9 8 2

5 9 B e r g e r , M . A d a p t i v e M e s h R e n e m e n t f o r H y p e r b o l i c P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a -

t i o n s , P h . D . T h e s i s , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , S t a n f o r d U n i v e r s i t y

1 9 8 2 .

6 0 N a k a h a s h i , K . a n d D e i w e r t , G . S . A P r a c t i c a l A d a p t i v e G r i d M e t h o d f o r C o m -

p l e x F l u i d F l o w P r o b l e m s , S u b m i t t e d t o N i n t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n

N u m e r i c a l M e t h o d s i n F l u i d D y n a m i c s , S a c l a y , F r a n c e 1 9 8 4

6 1 H s i e h , T . A n I n v e s t i g a t i o n o f S e p a r a t e d F l o w A b o u t a H e m i s p h e r e { C y l i n d e r a t

0 - t o 9 0 - d e g I n c i d e n c e i n t h e M a c h N u m b e r R a n g e f r o m 0 . 6 t o 1 . 5 , A E D C - T R -

7 6 - 1 1 2 1 9 7 6

6 2 S c h i , L . B . , a n d S t e g e r , J . L . N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f S t e a d y S u p e r s o n i c

V i s c o u s F l o w , A I A A p a p e r 7 9 - 0 1 3 0 , A I A A 1 7 t h A e r o s p a c e S c i e n c e s M e e t i n g ,

N e w O r l e a n s , L a . 1 9 7 9

6 3 C h a u s s e e D . S . , P a t t e r s o n J . L . , K u t l e r P . , P u l l i a m T . H . a n d S t e g e r J . L . A

N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f H y p e r s o n i c V i s c o u s F l o w s o v e r A r b i t r a r y G e o m e t r i e s

a t H i g h A n g l e o f A t t a c k , A I A A P a p e r n o . 8 1 - 0 0 5 0 1 9 8 1

6 4 D e i w e r t , G . S . N u m e r i c a l S i m u l a t i o n o f T h r e e - D i m e n s i o n a l B o a t t a i l A f t e r b o d y

F l o w e l d s , A I A A J . V o l . 1 9 1 9 8 1 p p . 5 8 2 - 5 8 8

6 5 D e i w e r t , G . S . A C o m p u t a t i o n a l I n v e s t i g a t i o n o f S u p e r s o n i c A x i s y m m e t r i c

F l o w O v e r B o a t t a i l s C o n t a i n i n g a C e n t e r e d P r o p u l s i v e J e t , A I A A P a p e r 8 3 -

0 4 6 2 1 9 8 3

6 6 S h r e w s b u r y , G . D . E e c t o f B o a t t a i l J u n c t u r e S h a p e o n P r e s s u r e D r a g C o e -

c i e n t s o f I s o l a t e d A f t e r b o d i e s , N A S A T M X - 1 5 1 7 1 9 6 8

6 7 A g r e l l , J . a n d W h i t e , R . A . A n E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f S u p e r s o n i c A x -

i s y m m e t r i c F l o w o v e r B o a t t a i l s C o n t a i n i n g a C e n t e r e d , P r o p u l s i v e J e t F F A

T e c h . N o t e A U - 9 1 3 1 9 7 4

9 4



A p p e n d i x

T h e u x J a c o b i a n m a t r i c e s o f E q . ( 5 . 4 ) h a v e r e a l e i g e n v a l u e s a n d a c o m p l e t e

s e t o f e i g e n v e c t o r s . T h e s i m i l a r i t y t r a n s f o r m s a r e

b

A = T

T

; 1

a n d

b

B = T

T

; 1

( A 1 )

w h e r e

=

2

6

6

6

4

U

U

U + a

q

2

x

+

2

y

U ; a

q

2

x

+

2

y

3

7

7

7

5

( A 2 a )

=

2

6

6

6

4

V

V

V + a

q

2

x

+

2

y

V ; a

q

2

x

+

2

y

3

7

7

7

5

( A 2 b )

w i t h

T

=

2

6

6

4

1 0

u e

y

( u + e

x

a ) ( u ; e

x

a )

v ; e

x

( v + e

y

a ) ( v ; e

y

a )

2

( ; 1 )

( e

y

u ; e

x

v )

h

2

+ a

2

( ; 1 )

+ a

e

i

h

2

+ a

2

( ; 1 )

; a

e

i

3

7

7

5

( A 3 )

T

; 1

=

2

6

6

4

( 1 ;

2

= a

2

)

; (

e

y

u ;

e

x

v ) =

(

2

; a

e

)

(

2

+ a

e

)

( ; 1 ) u = a

2

e

y

=

e

x

a ; ( ; 1 ) u ]

; e

x

a + ( ; 1 ) u ]

( ; 1 ) v = a

2

;

e

x

=

e

y

a ; ( ; 1 ) v ]

; e

y

a + ( ; 1 ) v ]

; ( ; 1 ) = a

2

0

( ; 1 )

( ; 1 )

3

7

5

( A 4 )

a n d = = (

p

2 a ) = 1 = (

p

2 a )

e

= e

x

u + e

y

v a n d f o r e x a m p l e e

x

=

x

=

q

2

x

+

2

y

R e l a t i o n s e x i s t b e t w e e n T

a n d T

o f t h e f o r m

b

N = T

; 1

T

b

N

; 1

= T

; 1

T

( A 5 )

9 5



w h e r e

b

N =

2

6

4

1 0 0 0

0 m

1

; m

2

m

2

0 m

2

2

( 1 + m

1

)

2

( 1 ; m

1

)

0 ; m

2

2

( 1 ; m

1

)

2

( 1 + m

1

)

3

7

5

( A 6 a )

a n d

b

N

; 1

=

2

6

4

1 0 0 0

0 m

1

m

2

; m

2

0 ; m

2

2

( 1 + m

1

)

2

( 1 ; m

1

)

0 m

2

2

( 1 ; m

1

)

2

( 1 + m

1

)

3

7

5

( A 6 b )

w i t h m

1

=

e

x

e

x

+

e

y

e

y

m

2

=

e

x

e

y

;

e

y

e

x

a n d = 1 =

p

2

I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e m a t r i x

b

N i s o n l y a f u n c t i o n o f t h e m e t r i c s a n d

n o t t h e o w v a r i a b l e s .

I n t h r e e d i m e n s i o n s t h e J a c o b i a n m a t r i c e s

b

A o r

b

B o r

b

C =

2

6

6

6

4

t

x

x

2

; u

t

+ ;

x

( ; 2 ) u

y

2

; v

x

v ;

y

( ; 1 ) u

z

2

; w

x

w ;

z

( ; 1 ) u

;

;

e = ; 2

2

x

;

e = ;

2

; ( ; 1 ) u

y

z

0

y

u ;

x

( ; 1 ) v

z

u ;

x

( ; 1 ) w

x

( ; 1 )

t

+ ;

y

( ; 2 ) v

z

v ;

y

( ; 1 ) w

y

( ; 1 )

y

w ;

z

( ; 1 ) v

t

+ ;

z

( ; 2 ) w

z

( ; 1 )

y

;

e

; 1

;

2

; ( ; 1 ) v

z

;

e

; 1

;

2

; ( ; 1 ) w

t

+

3

7

7

7

5

( A 7 )

w h e r e

=

x

u +

y

v +

z

w

2

= ( ; 1 ) (

u

2

+ v

2

+ w

2

2

)

w i t h = o r o r f o r

b

A

b

B o r

b

C r e s p e c t i v e l y .

T h e v i s c o u s u x J a c o b i a n i s

c

M = J

; 1

2

6

6

6

4

0 0 0 0 0

m

2 1

1

@

(

; 1

)

2

@

(

; 1

)

3

@

(

; 1

) 0

m

3 1

2

@

(

; 1

)

4

@

(

; 1

)

5

@

(

; 1

) 0

m

4 1

3

@

(

; 1

)

5

@

(

; 1

)

6

@

(

; 1

) 0

m

5 1

m

5 2

m

5 3

m

5 4

0

@

(

; 1

)

3

7

7

7

5

J ( A 8 a )

9 6



w h e r e

m

2 1

= ;

1

@

( u = ) ;

2

@

( v = ) ;

3

@

( w = )

m

3 1

= ;

2

@

( u = ) ;

4

@

( v = ) ;

5

@

( w = )

m

4 1

= ;

3

@

( u = ) ;

5

@

( v = ) ;

6

@

( w = )

m

5 1

=

0

@

; ( e =

2

) + ( u

2

+ v

2

+ w

2

) =

;

1

@

( u

2

= ) ;

4

@

( v

2

= ) ;

6

@

( w

2

= )

; 2

2

@

( u v = ) ; 2

3

@

( u w = ) ; 2

5

@

( v w = )

m

5 2

= ;

0

@

( u = ) ; m

2 1

m

5 3

= ;

0

@

( v = ) ; m

3 1

m

5 4

= ;

0

@

( w = ) ; m

4 1

m

4 4

=

4

@

(

; 1

)

0

= P r

; 1

(

x

2

+

y

2

+

z

2

)

1

= ( 4 = 3 )

x

2

+

y

2

+

z

2

]

2

= ( = 3 )

x

y

3

= ( = 3 )

x

z

4

=

x

2

+ ( 4 = 3 )

y

2

+

z

2

]

5

= ( = 3 )

y

z

6

=

x

2

+

y

2

+ ( 4 = 3 )

z

2

]

( A 8 b )

T h e e i g e n s y s t e m d e c o m p o s i t i o n o f t h e t h r e e d i m e n s i o n a l J a c o b i a n s h a v e t h e

f o r m

b

A = T

T

; 1

,

b

B = T

T

; 1

, a n d

b

C = T

T

; 1

. T h e e i g e n v a l u e s a r e

1

=

2

=

3

=

t

+

x

u +

y

v +

z

w

4

=

1

+ a

5

=

1

; a

=

q

2

x

+

2

y

+

2

z

( A 9 )

T h e m a t r i x T

, r e p r e s e n t i n g t h e l e f t e i g e n v e c t o r s , i s

T

=

2

6

6

6

4

e

x

e

y

e

x

u e

y

u ; e

z

e

x

v + e

z

e

y

v

e

x

w ; e

y

e

y

w + e

x

e

x

2

= ( ; 1 ) + ( e

z

v ; e

y

w )

e

y

2

= ( ; 1 ) + ( e

x

w ; e

z

u )

e

z

e

z

u + e

y

( u + e

x

a ) ( u ; e

x

a )

e

z

v ; e

x

( v + e

y

a ) ( v ; e

y

a )

e

z

w ( w +

e

z

a ) ( w ;

e

z

a )

e

z

2

= ( ; 1 ) + ( e

y

u ; e

x

v )

h

(

2

+ a

2

) = ( ; 1 ) +

e

a

i

h

(

2

+ a

2

) = ( ; 1 ) ;

e

a

i

3

7

7

7

7

5

( A 1 0 )

w h e r e

=

p

2 a

e

x

=

x

e

y

=

y

e

z

=

z

e

=

9 7



T h e c o r r e s p o n d i n g T

; 1

i s

T

; 1

=

2

6

6

6

6

4

e

x

;

1 ;

2

= a

2

; ( e

z

v ; e

y

w ) = e

x

( ; 1 ) u = a

2

e

y

;

1 ;

2

= a

2

; ( e

x

w ; e

z

u ) = e

y

( ; 1 ) u = a

2

; e

z

=

e

z

;

1 ;

2

= a

2

; ( e

y

u ; e

x

v ) = e

z

( ; 1 ) u = a

2

+ e

y

=

(

2

;

e

a ) ; ( ; 1 ) u ; e

x

a ]

(

2

+

e

a ) ; ( ; 1 ) u +

e

x

a ]

e

x

( ; 1 ) v = a

2

+

e

z

=

e

x

( ; 1 ) w = a

2

;

e

y

= ;

e

x

( ; 1 ) = a

2

e

y

( ; 1 ) v = a

2

e

y

( ; 1 ) w = a

2

+ e

x

= ; e

y

( ; 1 ) = a

2

e

z

( ; 1 ) v = a

2

; e

x

= e

z

( ; 1 ) w = a

2

; e

z

( ; 1 ) = a

2

; ( ; 1 ) v ;

e

y

a ] ; ( ; 1 ) w ;

e

z

a ] ( ; 1 )

; ( ; 1 ) v + e

y

a ] ; ( ; 1 ) w + e

z

a ] ( ; 1 )

3

7

7

7

5

( A 1 1 )

w h e r e

=

1

p

2 a

T h o m a s H . P u l l i a m

M a i l S t o p T 2 7 B - 1 , N A S A A m e s R e s e a r c h C e n t e r

M o e t t F i e l d , C a l i f o r n i a , 9 4 0 3 5

P h o n e : 4 1 5 - 6 0 4 - 6 4 1 7

e m a i l : p u l l i a m @ n a s . n a s a . g o v

J a n u a r y , 1 9 8 6

Pulliam T.H. Solution Methods in CFD

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