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Puissances de 10 – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

1

Sont abordés dans cette fiche :

Exercice 1 : produit de deux puissances de :

Exercice 2 : inverse d’une puissance de :

et

Exercice 3 : quotient de deux puissances de :

Exercice 4 : puissance d’une puissance de :

Exercice 5 : rangement de puissances de dans l’ordre croissant

Exercice 6 : produit d’un nombre par une puissance de d’exposant positif

Exercice 7 : produit d’un nombre par une puissance de d’exposant négatif

Exercice 8 : correspondance entre l’écriture d’un nombre sous la forme d’une puissance de , son

écriture en chiffres et son écriture en lettres

Exercice 9 : calcul d’une expression avec des puissances de

Exercice 10 : notation scientifique

Exercice 11 : écriture scientifique et écriture décimale d’un nombre

Exercice 12 : ordre de grandeur

Exercice 13 : carré magique avec des puissances de

Exercice 14 : conversions de mesures (longueur, masse, aire, volume)

Rappel : Lecture du nombre

Le nombre se lit « puissance » ou bien « exposant » ou bien « élevé à la puissance ».

Puissances de 10

Exercices corrigés



2

Ecrire sous la forme .

Rappel : Produit de puissances de 10

Autrement dit, pour calculer le produit de deux puissances de 10, on additionne les exposants.

Donner les inverses des nombres suivants.

Rappel : Inverse d’une puissance de 10

► L’inverse de est .

► L’inverse de est .

Les nombres et sont des

« nombres inverses ».

Autrement dit, pour calculer l’inverse d’une puissance de , on prend l’opposé de l’exposant.

a pour inverse

a pour inverse

a pour inverse

a pour inverse

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1





3


Rappel : Quotient de puissances de 10

Autrement dit, pour calculer le quotient de deux puissances de 10, on soustrait l’exposant du dénominateur à

l’exposant du numérateur.


Rappel : Puissance d’une puissance de 10

Autrement dit, pour calculer la puissance d’une puissance de , on multiplie les exposants.







4

Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants : ; ; ; ; ;

;

.

Rappel : Ordre des puissances de 10

Les puissances de 10 sont classées dans l’ordre de leur exposant.

Si , alors (ordre croissant, du plus petit au plus grand).

Si , alors (ordre décroissant, du plus grand au plus petit).

Pour classer dans l’ordre croissant les puissances de 10 proposées, on commence par regarder leur exposant.

a pour exposant (nombre nul)

a pour exposant (nombre négatif)

a pour exposant (nombre positif)

a pour exposant (nombre positif)

a pour exposant (nombre négatif)

et a pour exposant (nombre négatif)

et a pour exposant (nombre positif)

Ensuite, on compare les exposants en se rappelant que :

Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif.

Si deux nombres relatifs sont positifs, alors le plus petit est celui qui est le plus près de zéro.

Si deux nombres relatifs sont négatifs, alors le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro.

Autrement dit, on a :

Enfin, les puissances de 10 étant classées dans l’ordre de leur exposant, on obtient :

⏟

⏟

⏟





5

Donner l’écriture décimale des nombres suivants.

Rappel : Multiplication d’un nombre par une puissance de 10 d’exposant positif

Pour multiplier un nombre par (avec positif), on décale la virgule du nombre de rangs vers la droite.

Donner l’écriture décimale des nombres suivants.

Rappel : Multiplication d’un nombre par une puissance de 10 d’exposant négatif

Pour multiplier un nombre par (avec négatif), on décale la virgule du nombre de rangs vers la gauche.





L’exposant de la puissance

de 10 est (nombre

négatif) donc on décale la

virgule de rangs vers la

gauche.


de 10 est (nombre



gauche.


de 10 est (nombre



gauche.


de 10 est (nombre positif)

donc on décale la virgule de

rangs vers la droite.











6

Compléter le tableau suivant.

Ecriture en lettres Ecriture en chiffres Ecriture sous la forme

(avec entier relatif)

dix

un centième

dix millions

Rappel : Ecriture décimale d’une puissance de 10

Soit un entier supérieur ou égal à .

1er

cas :

⏟

⏟

Autrement dit, pour écrire , on écrit zéros APRÈS le chiffre .

Exemple : ⏟

⏟

2ème

cas :

⏟

⏟

⏟

Exemple :

⏟

⏟

⏟

Autrement dit, pour écrire , on écrit zéros AVANT le chiffre .

Remarque importante : Par convention, (le chiffre n’est suivi ni précédé d’aucun zéro).

Pour bien comprendre les réponses données ci-dessous, utilisons les tableaux de numération suivants.

trillions billiards billions milliards millions mille unités ,

c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u


Exercice 8 (1 question) Niveau : moyen



7

unités , dixièmes centièmes millièmes dix-

millièmes

cent-

millièmes millionièmes

dix-

millionièmes

cent-

millionièmes

1er

cas : « dix »

On commence par placer dans le tableau de numération le nombre « dix » (qui s’écrit « 10 » en chiffres).



1 0

Ensuite, on regarde le nombre de zéros AVANT ou APRÈS le chiffre 1. On a 1 zéro APRÈS le chiffre 1 donc le

nombre « dix » s’écrit .

2ème

cas : « 1 000 »



1 0 0 0

On a 3 zéros APRÈS le chiffre 1 donc le nombre « 1 000 » (qui se lit « mille ») s’écrit .

3ème

cas : « un centième »


millièmes

cent-


dix-

millionièmes

cent-

millionièmes

0 , 0 1

On a 2 zéros AVANT le chiffre 1 donc le nombre « un centième » s’écrit .

4ème

cas : « »

Pour écrire , il faut écrire 5 zéros APRÈS le chiffre 1.



1 0 0 0 0 0

Le nombre se lit « cent mille ».

5ème

cas : « »


millièmes

cent-


dix-

millionièmes

cent-

millionièmes

0 , 0 0 1

On a 3 zéros AVANT le chiffre 1 donc le nombre « » s’écrit et se lit « un millième ».

6ème

cas : « dix millions »



1 0 0 0 0 0 0 0

On a 7 zéros APRÈS le chiffre 1 donc le nombre « dix millions » s’écrit .



8

7ème

cas : « »


millièmes

cent-


dix-

millionièmes

cent-

millionièmes

0 , 0 0 0 0 1

On a 5 zéros AVANT le chiffre 1 donc le nombre « » s’écrit : et se lit « un cent-millième ».

8ème

cas : « »

Pour écrire , il faut écrire 13 zéros APRÈS le chiffre 1.



1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Le nombre « » se lit « dix billions » et s’écrit « » .

9ème

cas : « »

Pour écrire , il faut écrire 7 zéros AVANT le chiffre 1.


millièmes

cent-


dix-

millionièmes

cent-

millionièmes

0 , 0 0 0 0 0 0 1

Le nombre « » se lit « un dix-millionième » et s’écrit « ».

En résumé, on a :

Ecriture en lettres Ecriture en chiffres Ecriture sous la forme

(avec entier relatif)

dix

mille

un centième

cent mille

un millième

dix millions

un cent-millième

dix billions

un dix-millionième

Calculer les nombres suivants et donner le résultat de et sous la forme d’une fraction irréductible et celui de

et sous leur forme décimale.

Exercice 9 (2 questions) Niveau : moyen



9

Attention aux opérations prioritaires ! Les multiplications et divisions doivent être effectuées avant les additions

et soustractions.

Parmi les nombres suivants, préciser ceux qui sont écrits en notation scientifique.

Rappel : Notation scientifique d’un nombre décimal

La notation scientifique d’un nombre relatif (différent de ) est l’écriture unique de la forme où :

désigne un nombre avec un seul chiffre autre que avant la virgule

désigne un nombre entier relatif

est bien de la forme . Cependant, n’est pas écrit avec un seul chiffre

avant la virgule. Donc le nombre n’est pas écrit en notation scientifique.






10

est bien de la forme . De plus, est bien écrit avec un seul chiffre avant la

virgule mais ce chiffre est le chiffre . Donc le nombre n’est pas écrit en notation scientifique.

n’est pas de la forme . Donc le nombre n’est pas écrit en notation scientifique.


virgule et ce chiffre est bien différent de . Donc le nombre est écrit en notation scientifique.

est bien de la forme . Cependant, n’est pas écrit avec un seul chiffre avant la

virgule. Donc le nombre n’est pas écrit en notation scientifique.


virgule (en effet, ) et ce chiffre est bien différent de . Donc le nombre est écrit en notation

scientifique.

1- Donner la notation scientifique des nombres suivants :

2- Donner l’écriture décimale des nombres suivants :

1-

Donnons la notation scientifique du nombre . On doit donc écrire sous la forme avec :

, nombre avec un seul chiffre autre que avant la virgule

, nombre entier relatif

On commence par écrire (car ce nombre comporte bien un seul chiffre autre que 0 avant la virgule).

Ensuite, on trouve l’exposant de la puissance de en comptant le nombre de déplacements de la virgule. Pour

passer de à , on décale la virgule de 3 rangs vers la droite, donc .




On commence par écrire . Ensuite, on trouve l’exposant de la puissance de en comptant le

nombre de déplacements de la virgule. Pour passer de à , on décale la virgule de 2 rangs vers

la droite, donc .





11




On commence par écrire . Ensuite, on trouve l’exposant de la puissance de en comptant le nombre

de déplacements de la virgule. Pour passer de à , on décale la virgule de 1 rang vers la gauche, donc

.

Donnons la notation scientifique du nombre . On doit donc écrire sous la forme

avec :



On commence par écrire . Ensuite, on trouve l’exposant de la puissance de en comptant le

nombre de déplacements de la virgule. Pour passer de à , on décale la virgule de 2 rangs vers

la gauche, donc .

2-

Donnons l’écriture décimale du nombre . L’exposant de la puissance de 10 est (nombre

positif) donc on décale la virgule de rangs vers la droite. Ainsi, .


positif) donc on décale la virgule de rangs vers la droite. Ainsi, .


négatif) donc on décale la virgule de rangs vers la gauche. Ainsi, .


négatif) donc on décale la virgule de rangs vers la gauche. Ainsi, .

Dans le système solaire, on peut observer plusieurs planètes (gazeuses et telluriques) dont certaines données

sont reproduites ci-dessous.

Planète Rayon moyen (km) Masse (kg)

Jupiter

Neptune Terre Mars

Mercure




12

1- Donner un ordre de grandeur de la masse de ces 5 planètes et les classer selon leur masse, de la plus

petite à la plus grande.

2- Calculer un ordre de grandeur (en kilomètres cubes) du volume de la Terre, en considérant que cette

planète peut être assimilée à une boule.

Rappel : Encadrement et ordre de grandeur d’un nombre

Soit un nombre dont l’écriture scientifique est .

Un encadrement de par deux puissances de consécutives est :

Un ordre de grandeur de est , avec l’arrondi à l’unité de .

1- Donnons un ordre de grandeur de la masse des 5 planètes proposées.

⏟

⏟

Par conséquent, un ordre de grandeur de la masse de Jupiter est ⏟

car est un arrondi à l’unité du

nombre .

⏟

⏟

Par conséquent, un ordre de grandeur de la masse de Neptune est ⏟

car est un arrondi à l’unité

de .

⏟

⏟

Par conséquent, un ordre de grandeur de la masse de la Terre est ⏟


de .

⏟

⏟

Par conséquent, un ordre de grandeur de la masse de Mars est ⏟

car est un arrondi à l’unité de

.

⏟

⏟




13

Par conséquent, un ordre de grandeur de la masse de Mercure est ⏟


de .

Désormais, classons les masses de ces planètes dans l’ordre croissant, c’est-à-dire de la plus petite à la plus

grande.

Pour ce faire, on compare les ordres de grandeur et, en particulier, on compare les puissances de 10. Plus

l’exposant est petit, plus le nombre est petit. Ainsi, les masses de Mars et de Mercure sont plus petites que la

masse de la Terre, elle-même plus petite que celle de Neptune, elle-même plus petite que celle de Jupiter. On a

donc :

⏟

⏟

⏟

Il reste à comparer les masses respectives de Mars et de Mercure, toutes deux exprimées avec la même

puissance de . Or, comme , il résulte que : ⏟

⏟

.

En conclusion : ⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

2- En assimilant la planète Terre à une boule, on peut calculer son volume grâce à la formule :

⏟

⏟

⏟

⏟

Un ordre de grandeur du volume de la Terre est .



14

Compléter par des puissances de chacune des cases des deux carrés magiques suivants, afin que les produits

des lignes, des colonnes et des diagonales soient égaux.

1- Premier carré magique

2- Deuxième carré magique

1- Premier carré magique

Complétons par des puissances de chacune des cases du carré magique suivant, afin que les produits des

lignes, des colonnes et des diagonales soient égaux.

Calculons dans un premier temps le produit de la dernière ligne :

. Ainsi, le produit des lignes,

des colonnes et des diagonales doit être égal à .

Complétons dorénavant la première colonne en appelant le

nombre de la 1ère

colonne et de la 2ème

ligne.

On doit avoir , c’est-à-dire :

Complétons dorénavant la diagonale descendante en appelant le

nombre de la case centrale.




Le produit de la ligne est égal à ◄



15

Il est désormais possible de remplir les autres cases, par exemple

celle de la 3ème

colonne et de la 2ème

ligne, d’inconnue .


Intéressons-nous maintenant à la case en 2ème

colonne et 2ème

ligne, d’inconnue .


Terminons de remplir le carré magique.


En résumé :

Sur chaque ligne, le produit est égal à :

Sur chaque colonne, le produit est égal à :

Sur chaque diagonale, le produit est égal à :



16

2- Deuxième carré magique

Complétons par des puissances de chacune des cases du carré magique suivant, afin que les produits des

lignes, des colonnes et des diagonales soient égaux.

Pour faciliter les calculs, commençons par écrire chaque nombre

sous la forme d’une puissance de .

; ; ; .

Ainsi, on a le carré magique suivant :

Le produit des facteurs de la dernière colonne est égal à :

Complétons désormais le carré magique…

a) En dernière ligne, on a : d’où :

b) Pour trouver le nombre central, on repère que le produit de

la diagonale donne : d’où :

c) On peut désormais trouver le nombre positionné en 1ère

colonne et 2ème

ligne : d’où :

d) On peut terminer de remplir le carré magique.

d’où :



17

e) Et enfin, d’où :

Compléter à l’aide d’une puissance de 10.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Rappel : Préfixes

Puissances de 10 d’exposant

négatif ou nul

Préfixe Puissance de 10 d’exposant

positif ou nul

Préfixe

(déci-) (déca-)

(centi-) (hecto-)

(milli-) (kilo-)

(micro-) (méga-)

(nano-) (giga-)

(pico-) (tera-)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) (Rappel : )

9)

10)



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