Psikometri Bab a19

Bab 19

Karakteristik Butir Model Ojaif Normal

------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Ojaif Normal

------------------------------------------------------------------------------

Bab 19

KARAKTERISTIK BUTIR MODEL OJAIF NORMAL

A. Distribusi Probabilitas Normal

1. Pendahuluan

Karakteristik butir model ojaif normal didasarkan kepada distribusi probabilitas normal

Dalam banyak hal, model ini menggunakan distribusi probabilitas normal baku


------------------------------------------------------------------------------

2. Asumsi Distribusi Probabilitas Normal

Banyak data tentang manusia dan gejala sosial menunjukkan bentuk distribusi probabilitas normal (distribusi Gauss atau distribusi kekeliruan), seperti

• Ciri fisik, misalnya, tinggi badan• Ciri fisiologis, misalnya, temperatur badan

• Ciri hasil belajar• Ciri unjuk kerja (performance)

Karena itu salah satu model karakteristik butir mengasumsikan bahwa bentuknya berdistribusi probabilitas normal

Kumulasi ciri menjadi berbentuk ojaif normal

-----------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir Model Ojaif Normal

-----------------------------------------------------------------------------

3. Distribusi Probabilitas Normal

Distribusi probabilitas normal berbentuk bel yang simetri dan bentuknya ditentikan oleh rerata µ dan simpangan baku σ

• Dalam bentuk histogram

• Dalam bentuk rumus

2

2

1

2

1

−−

= σµ

πσσµ

X

eXn ),;(

X

n (X; µ, σ)


------------------------------------------------------------------------------

4. Distribusi Probabilitas Normal Baku

Semua distribusi probabilitas normal dapat ditransformasikan ke distribusi probabilitas normal baku

Pada distribusi probabilitas normal baku

µ = 0 σ = 1

sehingga rumus distribusi probabilitas normal baku menjadi

Ada tabel nilai n (z; 0, 1) untuk berbagai nilai z

σµ−= Xz

2

2

1

2

110

zezn

−=

π),;(


------------------------------------------------------------------------------

Nilai n (z; 0, 1) untuk beberapa nilai z

z n (z; 0, 1) z n (z; 0, 1)

– 4,0 0,0001 0,0 0,3989

– 3,5 0,0009 0,5 0,3521

– 3,0 0,0044 1,0 0,2420

– 2,5 0,0175 1,5 0,1295

– 2,0 0,0540 2,0 0,0540

– 1,5 0,1295 2,5 0,0175

– 1,0 0,2420 3,0 0,0044

– 0,5 0,3521 3,5 0,0009

0,0 0,3989 4,0 0,0001


------------------------------------------------------------------------------

5. Model Ojaif Normal

Responden dengan kemampuan θ memiliki juga kemampuan yang dimiliki oleh responden dengan kemampuan di bawah θ

Karena itu probabilitas jawaban betul adalah kumulatif atau berbentuk ojaif normal

P(θ) = ∫ n(θ; µ, σ) dθ

1,0

0,5

θθ

P(θ)n (θ; µ, σ)

dθ


------------------------------------------------------------------------------

• Dengan demikian pada distribusi probabilitas normal baku, ojaif normal menjadi

P(θ) = ∫ n (z; 0, 1) dz

Nilai ini dapat dilihat pada tabel fungsi distribusi (bawah) pada distribusi probabilitas normal baku

• Fungsi distribusi (bawah) pada distribusi normal baku merupakan kumulasi distribusi (luas histogram pada distribusi probabilitas normal baku) dari – ∞ sampai suatu nilai z

∫∞−

=1

10z

z dzzn ),;(φ

z1

φz

n (z; 0, 1)

z


------------------------------------------------------------------------------

• Fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal baku

Rumus pendekatan dari C. Hasting (teliti sampai

7,5 x 10-8)

p = 0,2316419 b1 = 0,319381530

b2 = – 0,356563782 b3 = 1,781477937

b4 = – 1,821255978 b5 = 1,330274429

+−+−+=

+−+−=

∫

∫

∞−

−

...))(!)(())(!)(())(!)((

...))(!)(())(!)(())(!)((

7325223121

2

2

1

2

1

2

1

7325223121

2

2

1

3

6

2

422

1

3

6

2

422

1

2

2

xxxxdze

xxxxdze

zx

zx

x

ππ

ππ

( )[ ]{ }( )

pXt

tbbtbtbtbteXPX

+=

++++−=−−

1

12

1

2

1

2

1)( 54321

2

2

π


------------------------------------------------------------------------------

Distribusi Probabilitas t-Student

Dari Cornish dan Fisher

+≤=≤

−2

12

21

νφνφu

uzPutP )())(( )(

2

353

96

3165

4 ννφφφφφ

φνφ

zzzzzzt

+++

++≈))((


------------------------------------------------------------------------------

Distribusi Probabilitas khi-kuadrat rumus pendekatan dari Wilson dan Hilferty

Pendekatan lebih kasar

νννχ

φνφ

9

2

9

21

3

12

z+−=

))((

( ) 2

1

2

12 )12(2 −+≈ nzχ

------------------------------------------------------------------------------Karakteritik Butir Model Ojaif Normal

------------------------------------------------------------------------------

FUNGSI DISTRIBUSI BAWAH DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL BAKU

Z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09 –3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 –3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 –3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 –3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 –3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 –3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 –3,3 0,0006 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 –3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 –3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 –3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 –2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 –2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 –2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 –2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 –2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 –2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 –2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 –2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 –2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 –2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 –1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 –1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 –1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 –1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 –1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 –1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 –1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 –1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 –1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 –1,0 0,1597 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 –0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 –0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 –0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 –0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 –0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 –0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 –0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 –0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 –0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 0,0 0,50000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641


------------------------------------------------------------------------------

FUNGSI DISTRIBUSI BAWAH DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL BAKU

Z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09 0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586 0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 055962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535 0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409 0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173 0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793 0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240 0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490 0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524 0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327 0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891 1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84850 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214 1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298 1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147 1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774 1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92786 0,92922 0,93056 0,93189 1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169 2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574 2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899 2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158 2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361 2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520 2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643 2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736 2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807 2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99897 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992 3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 1

Contoh 2

∫−

∞−− ==

131

131 1292010,

, ,),;( dzznφ

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−

∞−−

∞−

∞−

∞−

∞−

−

∞−−

==

==

==

==

==

==

961

961

120

120

961

961

272

272

461

461

050

050

10

10

10

10

10

10

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

),;(

),;(

),;(

),;(

),;(

),;(

dzzn

dzzn

dzzn

dzzn

dzzn

dzzn

φ

φ

φ

φ

φ

φ


------------------------------------------------------------------------------

B. Karateristik Butir pada Model Ojaif Normal

1. Pendahuluan

• Karakteristik butir yang digunakan di sini adalah ojaif normal

• Ojaif normal yang digunakan berasal dari distribusi probabilitas normal baku

• Probabilitas pada hasil ukur dapat ditentukan melalui tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal baku

• Model ojaif normal ini juga terbagi atas tiga macam mencakup model 1P, model 2P, dan model 3P

• Parameter kemampuan responden adalah θ dan parameter butir adalah a, b, dan c

• Indeks responden adalah g dan h serta indeks butir adalah i dan j


------------------------------------------------------------------------------

2. Model Satu Parameter (1P)

• Model umum karakteristik butir model 1P untuk sukses atau jawsaban betul adalah

Pi(θ) = f(θ – bi)

• Pada model 1P ojaif normal probbilitas ini adalah

• Nilai probabilitas dapat dicari pada tabel fungsi distribusi dari distribusi probabilitas normal baku

)(

),;()(

i

i

i

b

b

b

i

de

dnP

−

−−

∞−

−

∞−

=

=

=

∫

∫

θ

θθ

θ

φ

θπ

θθθ

2

2

1

2

1

10


------------------------------------------------------------------------------

• Probabilitas untuk gagal atau jawaban salah adalah

Qi(θ) = 1 – Pi(θ)

Pada model 1P Ojaif Normal probabilitas ini adalah

Nilai probabilitas ini dapat dihitung dari nilai Pi(θ) atau dari tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal baku

)(

)(

)(

),;(

)()(

i

i

i

b

b

b

ii

de

dn

PQ

−

−∞

−

∞

−

−=

=

=

−=

∫

∫

θ

θ

θ

θ

φ

θπ

θθ

θθ

1

2

1

10

1

2

2

1


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 3

Karakteristik butir untuk bi = 0,5 pada rentangan θ dari – 2,5 sampai 3,0 dengan interval 0,5

θ θ – bi Pi(θ) θ θ – bi Pi(θ)

– 2,5 – 3,0 0,0013 0,5 0,0 0,5000

– 2,0 – 2,5 0,0062 1,0 0,5 0,6915

– 1,5 – 2,0 0,0228 1,5 1,0 0,8413

– 1,0 – 1,5 0,0668 2,0 1,5 0,9332

– 0,5 – 1,0 0,1597 2,5 2,0 0,9772

0,0 – 0,5 0,3085 3,0 2,5 0,9938

-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0θ

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

Pi(θ)


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 4

Karakteristik butir untuk bi = – 1,0 pada rentangan θ dari – 2,5 sampai 3,0 dengan interval 0,5

Contoh 5

Karakteristik butir untuk bi = – 0,5 pada rentangan θ dari – 2,5 sampai 3,0 dengan interval 0,5

Contoh 6


Contoh 7



------------------------------------------------------------------------------

3. Model Dua Parameter (2P)

• Bentuk umum karakteristik butir model 2P adalah

Pi(θ) = f[ai(θ – bi)]

• Pada model 2P ojaif normal probabilitas ini adalah


)(

)(

)(

),;()(

ii

ii

ii

i

ba

ba

ba

de

dnP

−

−−

∞−

−

∞−

=

=

=

∫

∫

θ

θθ

θ

φ

θπ

θθθ

2

2

1

2

1

10


------------------------------------------------------------------------------


Qi(θ) = 1 – Pi(θ)



)(

)(

)(

),;(

)()(

ii

ii

ii

ba

ba

ba

ii

de

dn

PQ

−

−∞

−

∞

−

−=

=

=

−=

∫

∫

θ

θ

θ

θ

φ

θπ

θθ

θθ

1

2

1

10

1

2

2

1


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 8

Karakteristik butir untuk ai = 0,5, bi = – 0,5 pada rentangan θ dari – 3,0 sampai 3,5 dengan interval 0,5

θ ai( θ – bi) Pi(θ) θ ai(θ – bi) Pi(θ)

– 3,0 – 1,25 0,1056 0,5 0,50 0,6915

– 2,5 – 1,00 0,1597 1,0 0,75 0,7734

– 2,0 – 0,75 0,2266 1,5 1,00 0,8413

– 1,5 – 0,50 0,3085 2,0 1,25 0,8944

– 1,0 – 0,25 0,4013 2,5 1,50 0,9332

– 0,5 – 0,00 0,5000 3,0 1,75 0,9599

0,0 0,25 0,5987 3,5 2,00 0,9772


------------------------------------------------------------------------------

Grafik karakteristik butir

-3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 θ

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Pi(θ)


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 9

Untuk rentang θ dari – 3,0 sampai 3,0 dengan lompatan 0,5, hitunglah P(θ) pada karakteristik butir model ojaif normal 2P, masing-masing dengan

(a) a = 0,25 b = – 0,5

(b) a = 0,25 b = 0,5

dan lukiskan mereka dalam satu grafik yang sama

Contoh 10

Untuk rentang θ dari – 3,0 sampai 3,0 dengan lompatan 0,5, hitunglah P(θ) pada karakteristik butir model ojaif normal 2P, masing-masing dengan

(a) a = 0,25 b = 1,0

(b) a = 0,75 b = 1,0

dan lukiskan mereka dalam satu grafik yang sama


------------------------------------------------------------------------------

4. Model Tiga Parameter (3P)

• Bentuk umum karakteristik butir model 3P adalah

Pi(θ) = ci + (1 – ci) f[ai(θ – bi)]

• Pada model 3P ojaif normal probabilitas ini adalah


)(

)(

)(

)(

)(

),;()()(

ii

ii

ii

i

baii

ba

ii

ba

ii

cc

decc

dnccP

−

−−

∞−

−

∞−

−+=

−+=

−+=

∫

∫

θ

θθ

θ

φ

θπ

θθθ

1

2

11

101

2

2

1


------------------------------------------------------------------------------


Qi(θ) = 1 – Pi(θ)



)(

)(

)(

)()(

)()(

]),;()([

)()(

ii

ii

ii

baii

ba

ii

ba

ii

ii

cc

decc

dncc

PQ

−

−−

∞−

−

∞−

−−−=

−−−=

−+−=

−=

∫

∫

θ

θθ

θ

φ

θπ

θθ

θθ

11

2

111

1011

1

2

2

1


------------------------------------------------------------------------------

• Contoh 11

Karakteristik butir untuk ai = 0,5, bi = 1,0, dan ci = 0,2 pada rentangan θ dari – 3,0 sampai 4,5 dengan interval 0,5

θ ai( θ – bi) Pi(θ) θ ai(θ – bi) Pi(θ)

– 3,0 – 2,00 0,2182 1,0 0,00 0,6000

– 2,5 – 1,75 0,2321 1,5 0,25 0,6790

– 2,0 – 1,50 0,2534 2,0 0,50 0,7532

– 1,5 – 1,25 0,2845 2,5 0,75 0,8187

– 1,0 – 1,00 0,3576 3,0 1,00 0,8730

– 0,5 – 0,75 0,3813 3,5 1,25 0,9155

0,0 – 0,50 0,4468 4,0 1,50 0,9466

0,5 –0,25 0,5211 4,5 1,75 0,9679


------------------------------------------------------------------------------

• Grafik karakteristik butir

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

–3,0 –2,0 –1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4θ

P(θ)


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 12

Parameter ai, bi, dan ci diketahui sehingga dengan bantuan tabel fungsi distribusi bawah dari distribusi probabilitas normal baku, hitung dan lukis grafik dari Pi(θ)

Parameter butir adalah

Butir ai bi ci

1 0,5 –1,0 0,0

2 2,0 –1,0 0,0

3 2,0 1,0 0,0

4 2,0 1,0 0,2


------------------------------------------------------------------------------

• Dengan parameter butir, probabilitas P(θ) menjadi

∫

∫

∫

∫

∫

−

∞−

−

∞−

−

∞−

+

∞−

+

∞−

+=

−+=

=

=

=

)0,1(0,2

)0,1(0,2

4

)0,1(0,2

3

)0,1(0,2

2

)0,1(5,0

1

)1,0;(8,02,0

)1,0;()2,01(2,0)(

)1,0;()(

)1,0;()(

)1,0:()(

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

dzzn

dzznP

dzznP

dzznP

dzznP


------------------------------------------------------------------------------

• Untuk berbagai θ

θ 0,5(θ+1,0) 2,0(θ+1,0) 2,0(θ-1,0)

–5,0 –2,00 -- --

–4,5 –1,75 -- --

–4,0 –1,50 -- --

–3,5 –1,25 -- --

–3,0 –1,00 -- --

–2,5 –0,75 –3,00 --

–2,0 –0,50 –2,00 --

–1,5 –0,25 –1,00 --

–1,0 0,00 0,00 --

–0,5 0,25 1,00 –3,00

0,0 0,50 2,00 –2,00

0,5 0,75 3,00 –1,00

1,5 1,00 -- 0,00

2,0 1,25 -- 1,00

2,5 1,50 -- 2,00

3,0 1,75 -- 3,00

3,5 2,00 -- --

4,0 2,25 -- --


-----------------------------------------------------------------------------

• Dengan bantuan tabel fungsi distribusi bawah distribusi probabilitas normal baku

θ P1(θ) P2(θ) P3(θ) P4(θ)

–5,0 0,0228 -- -- 0,2000

–4,5 0,0401 -- -- 0,2000

–4,0 0,0688 -- -- 0,2000

–3,5 0,1056 -- -- 0,2000

–3,0 0,1587 -- -- 0,2000

–2,5 0,2266 0,0013 --- 0,2000

–2,0 0,3085 0,0228 --- 0,2000

–1,5 0,4013 0,1957 --- 0,2000

–1,0 0,5000 0,5000 --- 0,2000

–0,5 0,5987 0,8413 0,0013 0,2010

0,0 0,6915 0,9773 0,0228 0,2182

0,5 0,7734 0,9987 0,1597 0,3278

1,5 0,8413 -- 0,5000 0,6000

2,0 0,8944 -- 0,8413 0,8730

2,5 0,9332 -- 0,9773 0,9818

3,0 0,9599 -- 0,9987 0,9990

3,5 0,9773 -- -- --

4,0 0,9878 -- -- --


------------------------------------------------------------------------------

• Grafik dari 4 butir adalah

–5,0 –3,0 –1,0 0,0 1,0 3,0 4,02,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0P(θ)

θ


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 13

Enam butir masing-masing memiliki karakteristik butir

Butir ai bi ci

1 1,80 1,00 0,00

2 0,80 1,00 0,00

3 1,80 1,00 0,25

4 1,80 −1,50 0,00

5 1,20 −0,50 0,10

6 0,40 0,50 0,15

Karakteristik butir ini menggunakan model ojaif normal. Pada θ dari − 4,00 sampai 4,00 dengan lompatan 0,5, hitung Pi(θ) dari setiap butir serta lukiskan merekan dalam satu grafik


------------------------------------------------------------------------------

C. Batas pada Model Ojaif Normal

1. Butir

• Pembahasan pada karakteristik butir model ojaif normal ini dilakukan secara butir demi butir

• Setiap butir dapat dijawab atau ditanggap oleh satu atau lebih responden

• Biasanya setiap butir adalah independen dari butir lainnya

• Setiap butir memiliki karakteristik butir sendiri yang dapat berbeda dari karakteristik butir lainnya

• Alat ukur merupakan gabungan dari butir-butir yang independen (sasarannya dapat saja sama)


------------------------------------------------------------------------------

2. Sekor Butir

• Sekor butir adalah hasil ukur yang diperoleh dari jawaban responden terhadap butir

• Di sini kita batasi sekor butir pada skala dikotomi dengan nilai 0 dan 1

• Biasanya 0 diberikan kepada jawaban salah atau gagal dan 1 diberikan kepada jawaban betul atau sukses

• Sekor responden terhadap sejumlah butir merupakan gabungan dari semua sekor butir yang dijawab oleh responden

• Sekor 0 dan 1 ini dapat juga diberikan kepada tanggapan terhadap butir seperti tanggapan tidak setuju dan setuju (dengan menyesuaikan arti dari semua parameter)


------------------------------------------------------------------------------

3. Jawaban atau Tanggapan

• Jawaban atau tanggapan terhadap butir bergantung kepada parameter kemampuan dan parameter butir

• Jawaban atau tanggapan berbentuk probabilitas sehingga nilanya terletak di antara 0 dan 1

0 ≤ Pi(θ) ≤ 1

• Karena sering terjadi bahwa 0 diberikan kepada jawaban salah serta 1 diberikan kepada jawaban betul maka probabilitas ini dikenal juga sebagai probabilitas jawaban betul

• Jika probabilitas jawaban betul dapat terjadi karena terkaan responden dan probabilitas itu adalah ci maka

ci ≤ Pi(θ) ≤ 1


------------------------------------------------------------------------------

4. Parameter Kemampuan (Responden)

• Setiap responden yang menjawab butir memiliki ciri atau kemampuan yang di sini dinyatakan dengan θ

• Ciri ini sering disebut juga sebagai ciri laten (latent trait) dari responden

• Pada karakteristik butir model ojaif normal, ciri atau kemampuan ini dibakukan dengan rerata sama dengan 0 dan simpangan baku sama dengan 1

µθ = 0 dan σθ = 1

• Secara teoretik, nilai θ terletak di antara − ∞ sampai + ∞

• Untuk keperluan praktis, bentangan nilai θ terletak di sekiar − 4 sampai +4

− 4 ≤ θ + 4


------------------------------------------------------------------------------

5. Parameter Daya Beda Butir

• Daya beda butir di sini dinyatakan dengan ai untuk butir ke-i

• Daya beda butir terdapat pada model 2P dan 3P

• Secara teoretik nilai daya beda butir dapat negatif, nol, atau positif

ai < 0 ai = 0 ai > 0

• Kasus ai < 0

Jika ai < 0 maka pada saat makin besar θ makin kecil Pi(θ)

Ini tidak sesuai dengan konsep bahwa θ adalah kemampuan responden sehingga makin besar θ makin besar pula Pi(θ)


------------------------------------------------------------------------------

• Dalam hal ini

• Karena itu nilai ai dibatasi sehingga tidak terjadi ai < 0

θ

Pi(θ)


------------------------------------------------------------------------------

• Kasus ai = 0

Jika ai = 0 maka tidak ada daya beda yakni nilai Pi(θ) adalah sama untuk semua θ

Nilai Pi(θ) pada model 3P menjadi

)1(5,0

)5,0)(1(

)1,0;()1()(0

i

ii

iii

c

cc

dnccP

+=−+=

−+= ∫∞−

θθθ

ci

1,0 Pi(θ)

θ


------------------------------------------------------------------------------

• Kasus ai > 0

Makin besar ai makin besar daya beda dan makin curam karakteristik butir

Butir 1 paling curam dan butir 3 paling landai

• Batas nilai daya beda butir ai hendaknya

ai > 0 dalam praktek ai ≤ 2,0

Pi(θ)

θ

12

3


------------------------------------------------------------------------------

6. Parameter Kebetulan Jawab Betul

• Parameter kebetulan jawab betul di sini dinyatakan dengan ci untuk butir ke-i

• Parameter kebetulan jawab betul hanya terdapat model 3P

• Jika kebetulan jawab betul ini terjadi karena terkaan pada pilihan ganda maka nilainya bergantung kepada banyaknya pilihan

ci = 1 / n n = banyaknya pilihan

• Pada 2 pilihan betul-salah ci = 0,5

• Pada umumnya batas nilai ci terletak di antara 0 dan 1 dengan 0 tiada kebetulan dan 1 pasti betul

0 ≤ ci ≤ 0,5


------------------------------------------------------------------------------

7. Parameter Taraf Sukar Butir

• Taraf sukar butir di sini dinyatakan dengan bi untuk butir ke-i dan terdapat pada model 1P, 2P, dan 3P

• Skala taraf sukar butir sama dengan skala θ pada kemampuan responden

• Secara teoretik, taraf sukar butir membentang dari − ∞ sampai + ∞

− ∞ ≤ bi ≤ + ∞

• Namun secara praktis taraf sukar butir memiliki nilai yang membentang dari sekitar − 2 sampai + 2

− 2 ≤ bi ≤ + 2

• Sering terjadi bahwa taraf sukar butir juga dibakukan sehingga

µb = 0 dan σb = 1


------------------------------------------------------------------------------

• Nilai taraf sukar butir ditentukan pada saat Pi(θ) berada di tengah di antara nilai minimum dan maksimum

• Pada model 1P dan model 2P,

PI(θ) minimum = 0

Pi(θ) maksimum = 1

Pi(θ) untuk bi = 0,5

• Pada saat bi = θ maka (θ - bi) = 0

5,0

)1,0;()(0

=

= ∫∞−

θθθ dnPi


------------------------------------------------------------------------------

• Pada model 3P

Pi(θ) minimum = ci

Pi(θ) maksimum = 1

Pi(θ) untuk bi = 0,5(1 + ci)

• Pada saat bi = θ maka ai(θ - bi) = 0

)1(5,0

)5,0)(1(

)1,0;()1()(0

i

ii

iii

c

cc

dnccP

+=−+=

−+= ∫∞−

θθθ


------------------------------------------------------------------------------

• Taraf sukar butir dapat memiliki nilai bi < 0, bi = 0, dan bi > 0

• Makin besar nilai taraf sukar butir makin sukar butir itu

• Butir 1 termudah dan butir 4 tersukar

P(θ)

θ

1 2 3 4

bb1 b2 b3 b4

1,0

0,5


-----------------------------------------------------------------------------

8. Batas Praktis pada Nilai Parameter

• Dari pengalaman, batas praktis nilai parameter adalah di sekitar

– 4 ≤ θ ≤ 4

0 ≤ ai ≤ 2,0

– 2,0 ≤ bi ≤ 2,0

0 ≤ ci ≤ 0,5

• Nilai ini tidak mutlak sehingga dapat saja terdapat nilai sedikit di luar batas ini


-----------------------------------------------------------------------------

9. Kecuraman Lengkungan Karakteristik Butir

• Kecuraman ditentukan oleh sudut garis singgung pada suatu titik di Karakteristik butir

• Kecuraman ini diperoleh melalui hasilbagi diferensial

• Sudut kecuraman berbeda pada θ yang berbeda

[ ][ ]

)(2

1

)(

)(

|2

1

|)1,0;(

)(

)(

)1,0;()(

2

ii

ii

i

bai

bai

ii

ii

ba

i

ea

na

d

bad

bad

dnd

d

dP

−∞−

−

−−

−

∞−

=

=

−−

=∫

θθ

θθ

θ

π

θθ

θθ

θθ

θθ


------------------------------------------------------------------------------

• Kecuraman pada titik θ = bi

Pada titik θ = bi yakni pada (θ - bi) = 0

Terletak pada e0 berarti terletak pada puncak distribusi probabilitas normal baku

Tinggi pucak distribusi probabilitas normal baku adalah 0,3989 …

Makin besar ai makin curam garis singgung dan makin curam lengkungan sehingga makin besar daya beda

i

i

ii

a

a

ead

dP

3989,02

2

1)( 0

=

=

=

π

πθθ


------------------------------------------------------------------------------

• Garis singgung ini terletak di titik θ = bi yakni pada saat Pi(θ) = 0,5 atau Pi(θ) = 0,5 (1 + ci)

Pi(θ)

θ

1,0

0,5

bi


------------------------------------------------------------------------------

D. Kesempatan (Odds) dan Probit

1. Kesempatan (Odds) Sukses Karena Kemampuan Responden

• Kesempatan sukses atau menjawab betul (odds of success) oleh responden adalah

• Makin besar kemampuan responden makin besar kesempatan sukses

• Kesempatan sukses berkenaan dengan responden (kemampuan responden)

)(

)(

)(

)(

θθ

θθ

i

i

i

is P

P

Q

PO

−==1


-----------------------------------------------------------------------------

2. Probit Sukses pada Responden

• Logaritma naturalis kesempatan sukses dikenal sebagai probit sukses

• Probit(s) = ln Os

• Probit menjadi satuan yang dapat digunakan pada karakteristik butir model ojaif normal

)(

)(ln

)(

)(ln

θθ

θθ

i

i

i

i

P

P

Q

P

−=

=

1


------------------------------------------------------------------------------

3. Kesempatan (Odds) Gagal Karena Taraf Sukar Butir

• Kesempatan gagal atau jawab salah pada butir (odds of failure) adalah

• Makin besar taraf sukar butir makin besar kesempatan gagal

• Kesempatan gagal berkenaan dengan butir (taraf sukar butir)

)(

)(

)(

)(

θθ

θθ

i

i

i

ig P

P

P

QO

−== 1


-----------------------------------------------------------------------------

4. Probit Gagal pada Butir

• Logaritma naturalis kesempatan gagal dikenal sebagai probit gagal

Probit(g) = ln Og

• Probit menjadi satuan yang dapat digunakan pada karakteristik butir model ojaif normal

)(

)(ln

)(

)(ln

θθ

θθ

i

i

i

i

P

P

P

Q

−=

=

1


-----------------------------------------------------------------------------

E. Keterampilan Matematika dan Statistika

1. Fungsi Eksponensial

• Karanteristik butir menunjukkan fungsi ekponensial sehingga diperlukan sejumlah perhitungan pada fungsi eksponensial

• Salah satu fungsi eksponensial yang kelak banyak digunakan adalah

• Bentuk yang sama dapat juga ditulis (dengan membagi eX pada pembilang dan penyebut) sebagai

• Dapat disusun ke dalam tabel

X

X

e

eXf

+=1

)(

XeXf −+

=1

1)(


------------------------------------------------------------------------------

2. Kebolehjadian

• Misalkan variabel θ menghasilkan X

θ = f (X)

maka fungsi probabilitas adalah

P(θ) = P[f (X)]

• Di sini θ yang boleh jadi menghasilkan X1, X2, X3 disebut kebolehjadian L(θ) dengan

L(θ) = P[f (X1)].P[f (X2)].P[f (X3)]

• Pada umumnya

)]([)( i

n

i

XfPL ∏=

=1

θ

------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir pada Model Ojaif Normal

------------------------------------------------------------------------------

• Kebolehjadian ini berbentuk perkalian dan dapat dipermudah menjadi penjumlahan

• Perkalian ini dapat diubah menjadi penjumlahan melalui logaritma

• Kebolehjadian dalam bentuk logaritma

• Nilai kebolehjadian ini bergantung kepada nilai probabilitas masing-masing

• Dalam banyak hal, kita dapat mencari nilai kebolehjadian maksimum

∑=

=n

iiXfPL

1

)]([ln)(ln θ


------------------------------------------------------------------------------

3. Kebolehjadian Maksimum

• Di statistika, nilai θ dapat diestimasi melalui kebolehjadian maksimum yakni θ yang paling boleh jadi untuk menghasilkan X1, X2, X3, . . .

• Kebolehjadian maksimum diperoleh dari

• Selanjutnya dari persamaan yang dihasilkan, nilai θ dapat dihitung

• Ada kalanya perhitungan ini dapat langsung dilakukan

• Ada kalanya pula perhitungan ini memerlukan metoda tersendiri

00 ==θ

θθθ

d

Ldatau

d

dL )(ln)(


------------------------------------------------------------------------------

• Apabilan terdapat lebih dari satu jenis θ, misalkan terdapat θ1, θ2, dan θ3, maka kebolehjadian maksimum dilakukan terhadap masing-masing jenis θ

• Dalam bentuk logaritma, kebolehjadian maksimum itu adalah

∀ ∂ adalah notasi diferensial parsial yakni pada saat

parsial ke θ1, maka θ2 dan θ3 konstan



0

0

0

3

2

1

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

θθ

θθ

θθ

)(ln

)(ln

)(ln

L

L

L


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 14

• Pada distribusi probabilitas binomial

ada probabilitas p terjadi peristiwa A

ada probabilitas (1 – p) tidak terjadi A

dan pada 100 cobaan terjadi 63 kali peristiwa A

• Estimasi nilai p

• Dalam hal ini, misalkan X = 1 terjadi peristiwa A dan X = 0 tidak terjadi peristiwa A sehingga

P (X = 1) = p

P (X = 0) = 1 – p

• Kebolehjadian

3763

3763

1

11

)(

))...(.(...)(

pp

pppppLkalikali

−=

−−=


------------------------------------------------------------------------------

• Dalam bentuk logaritma

ln L(p) = 63 ln p + 37 ln (1 – p)

• Kebolehjadian maksimum

• Jadi, p = 0,63 adalah paling boleh jadi untuk menghasilkan 63 kali peristiwa A pada 100 cobaan

• Hasil ini sesuai dengan hasil melalui rumus probabilitas

630

63100

636337

01

3763

0

,

)(ln

==

−=

=−

−

=

p

p

pp

pp

dp

pLd


------------------------------------------------------------------------------

Contoh 15

Waktu tunggu panggilan telepon di switchboard berdistribusi probabilitas geometrik

Sampel waktu tunggu untuk lima panggilan adalah masing-masing

1,2 7,5 1,8 3,7 1,1

Estimasi θ melalui kebolehjadian maksimum

XeP θθθ −=)(


------------------------------------------------------------------------------

4. Jenis Probabilitas

Pada distribusi probabilitas dikenal probabilitas bersama (joint probability), probabilitas marjinal (marginal probability), dan probabilitas kondisional (conditional probability)

Untuk melihat ciri dari setiap jenis probabilitas, digunakan suatu contoh

Peserta Mar-

A (X1) B(X2) jin

Lulus(Y1) 0,30 0,15 0,45

Hasil

Gagal(Y2) 0,22 0,33 0,55

Marjin 0,52 0,48 1,00


------------------------------------------------------------------------------

• Probabilitas Bersama (Joint Probability)

Probabilitas yang ditentukan bersama di antara X dan Y

P(X1,Y1) = 0,30 P(X1,Y2) = 0,22

P(X2,Y1) = 0,15 P(X2,Y2) = 0,33

• Probabilitas Marjinal (Marginal Probability)

Probabilitas yang ditentukan oleh marjin pada X dan Y

P(X1) = 0,52 P(X2) = 0,48

P(Y1) = 0,45 P(Y2) = 0,55

• Probabilitas Kondisional (Conditional Probability)

Probabilitas yang ditentukan secara bersyarat di antara X dan Y


-----------------------------------------------------------------------------

A bersyarat lulus

Dari 0,45 lulus, A mencakup 0,30

P(X1|Y1) = 0,30 / 0,45 = 0,67

A bersyarat gagal

Dari 0,55 gagal, A mencakup 0,22

P(X1|Y2) = 0,22 / 0,55 = 0,40

B bersyarat lulus

Dari 0,45 lulus, B mencakup 0,15

P(X2|Y1) = 0,15 / 0,45 = 0,33

B bersyarat gagal

Dari 0,55 gagal, B mencakup 0,33

P(X2|Y2) = 0,33 / 0,55 = 0,60

Psikometri Bab a19

Education

Transcript of Psikometri Bab a19