11 Οκτωβρίου 2015 Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο

Προχωρηµένες Σπουδές στη Φυσική

Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής (ΠΣΦ51)

Συντονιστής: Κωνσταντίνος Σφέτσος, Καθηγητής

ΕΡΓΑΣΙΑ 1

Οδηγίες

• Απαντήστε σε όλες τις ασκήσεις.

• Παρακαλώ ϕροντείστε ώστε το γραπτό σας να είναι ευανάγνωστο και η ανάλυσή σαςνα διακρίνεται από σαφήνεια και λεπτοµέρεια.

• Είναι προφανές ότι η προσπάθειά σας πρέπει να είναι καθαρά προσωπική.

• Υπενθυµίζεται ότι οι Γραπτές Εργασίες (Γ.Ε.) ϑα πρέπει να υποβάλλονται υποχρεωτικάµόνο ηλεκτρονικά στη σχετική πλατφόρµα του ΕΑΠ µε τήρηση των σχετικών χρονοδια-γραµµάτων.

Κ. Σφέτσος Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής: ΄Ετος 2015-16

1 ΄Ασκηση [15 Βαθµοί]

α) Να ϐρεθεί µια προσεγγιστική λύση της εξίσωσης :

y′′ − 3

xy′ +

(15

4x2+√x

)y = 0 , (1)

για µεγάλες ϑετικές τιµές του x.

Υπόδειξη: Απαλείψτε τον όρο µε την πρώτη παράγωγο και χρησιµοποιήστε την προσέγ-

γιση WKB.

ϐ) Κατόπιν ϑεωρείστε της συνθήκες y(10) = 0 και y′(10) = 1. ∆ώστε προσεγγιστικά την

τιµή του x στο πρώτο µηδενικό και στο πρώτο µέγιστο της y(x) µετά το 10, καθώς και την

τιµή της σε αυτό.

2 ΄Ασκηση [25 Βαθµοί]

΄Ενας αγρότης ϐρίσκεται στην αρχή των αξόνων και ϑέλει να πιάσει ένα γουρούνι που

ϐρίσκεται σε απόσταση y0 επί του ϑετικού άξονα των y. Το γουρούνι αρχίζει να τρέχει

κατά µήκος ευθείας που σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα των x και µε σταθερή ταχύτητα

v0. Η τροχιά του αγρότη είναι y(x) και διαγράφεται µε τέτοιο τρόπο ώστε να κοιτάει πάντα

το γουρούνι, έχει δε µέτρο ταχύτητας v. Βρείτε την την ∆Ε για την τροχιά y(x). Για την

περίπτωση µε θ = 0 επιλύστε την εξίσωση και ϐρείτε τη συνθήκη για να µπορεί ο αγρότης

να πιάσει το γουρούνι, το συνολικό µήκος που διήνυσε καθώς και τον αντίστοιχο χρόνο.

3 ΄Ασκηση [20 Βαθµοί]

Θεωρείστε τις συναρτήσεις T (u), f(u), q(u) και A(u), όπου u ∈ R η εξαρτηµένη µεταβλη-

τή. Αυτές υπακούουν το σύστηµα διαφορικών εξισώσεων

dT

du= −Pe4(f−q) ,

df

du= −3

5e4(f−q)(1− e−10f ) ,

dq

du=

2

15e4(f−q)(3 + 2e−10f )− 1

6(Q− PT )e−10q , (2)

dA

du=

1

6e−10q

(4e6(q−f) + 6e4f+6q −Q+ PT

),

όπου P και Q σταθερές. Βρείτε µια λύση του παραπάνω συστήµατος.

1

Κ. Σφέτσος Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής: ΄Ετος 2015-16

Υπόδειξη:

α) Γράψτε την A(u) ως γραµµικό συνδιασµό των υπόλοιπων συναρτήσεων και προσδιορί-

στε τους συντελεστές έτσι ώστε στο σύστηµα να ικανοιπείται η αντίστοιχη εξίσωση.

ϐ) ∆είξτε ότι f = 0 αποτελεί λύση.

γ) Κάνετε την αλλαγή ανεξάρτητης µεταβλητής που οριζεται από du = e4q

rdr και ξανα-

γράψτε το παραπάνω σύστηµα.

Η τελική απάντηση µπορεί να είναι µέσω της νέας µεταβλητής r αντί για την u.

4 ΄Ασκηση [15 Βαθµοί]

Βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης

x2d2y

dx2− x(x+ 2)

dy

dx+ (x+ 2)y = x3ex , y = y(x) . (3)

Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι µία λύση της οµογενούς είναι η y = x.

5 ΄Ασκηση [25 Βαθµοί]

Θεωρείστε τη ∆Ε

η̈ +2

c2 − c21t η̇

f1(t)f2(t)+ c21

f 21 (t)

f 22 (t)

η = 0 ,

f1(t) = t2 +c2

(c2 − c21)2, f2(t) = t2 +

c21(c2 − c21)2

, (4)

όπου c1 και c2 είναι σταθερές. ∆οκιµάστε να την επιλύσετε µε λύσεις της µορφής

η(t) = cosφ(t) ή η(t) = sinφ(t) . (5)

∆είξτε ότι αν ικανοποιήσετε µια 1ης τάξης ∆Ε για το φ(t) της µορφής φ′(t)2 =µια συνάρ-

τηση του t, τότε ικανοποιείται και η (;;) η οποία είναι 2ης τάξης ∆Ε. Γράψτε τη λύση για

την φ(t). ∆είξτε ότι για→ 0 έχουµε κίνηση αρµονικού ταλαντωτή µε συχνότητα c2/c1, ενώ

για t→∞ η συχνότητα είναι c1.

2