PS curs 6 - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/f/f-sym/4ps/6 Relatii de...
Click here to load reader
Transcript of PS curs 6 - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/f/f-sym/4ps/6 Relatii de...
Curs 6 – Relatii de cointegrare
Intuitie: Doua serii de timp sunt in relatie de cointegrare daca nu sunt neaparat corelate, dar o combinatie liniara a lor este de medie si varianta constante: mai devreme sau mai tarziu se va intoarce la medie (mean reversion). Intuitiv inseamna ca cele doua serii de timp sunt intr-o relatie de echilibru relativ pe termen lung.
1. Integrare si cointegrare
Notiunile de integrare si cointegrare sunt folosite
indeosebi in finantele cantitative dar si in cosmologie sau in
biologie (exemplu: echilibrul pe termen lung intre anumite
elemente climatice si dinamica populatiei unei specii dintr-o
regiune geografica). Tehnicile de detectie a acestor relatii de
echilibru insa se pot aplica oricarei perechi de semnale, atata
timp cat existenta unei astfel de proprietati de tip “long term
equillibrium” merita investigata.
Tipul de intrebari la care putem raspunde cautand
aceste relatii sunt:
• In perioada 1780 – 1850, ce a cauzat revolutia
industriala in Marea Britanie ? a) Exporturile; b)
Demografia; c) Progresul tehnologic sau d) alti factori.
• Exista vreo legatura intre temperatura apei si
concentratia de plancton dintr-o anumita regiune a
oceanelor ?
• Exista o relatie de cointegrare intre pretul aurului si
pretul argintului ? Dar intre pretul aurului si pretul
diamantelor ?
Raspundem acestor intrebari legate de existenta unui
echilibru pe termen lung intre doua semnale (serii de timp)
dar si de perspectiva unei relatii de cauzalitate in acest curs,
urmand ca problema cauzalitatii sa fie detaliata in cursul
urmator.
Integrare
Spunem ca o serie de timp x[n] este integrata de ordin 0
daca:
(1)
In general spunem ca o serie este integrata de ordin p
daca seria de timp
(1-L)Px[n] (2)
este integrata de ordin 0, unde L este operatorul lag
(intarziere):
(1-L) x[n] = x[n]-x[n-1] (3)
Cum se creaza o serie integrata de ordin p ?
Fie aceasta serie z[n]. Ca sa fie integrata de ordin p,
trebuie ca z[n]-z[n-1] sa fie integrata de ordin p-1. Cea mai
simpla varianta de a satisface aceasta conditie este ca z[n] sa
fie o suma de n termeni ai unei serii de timp integrate de
ordin p-1, astfel incat z[n]-z[n-1] =x[n].
Asadar ca sa construim o serie integrata de ordin p,
intuitiv este necesar ca pornind de la o serie integrata de
ordin 0 sa construim iterativ serii integrate de ordin 1,2…p.
Sa luam un exemplu:
Fie x[n] o serie integrata de ordin 0 (stationara) si dorim
sa construim o serie integrata de ordin 2.
1) Construim
2) Aratam ca z[n] este integrata de ordin 0. Intr-adevar,
seria
(1-L)z[n] = z[n]-z[n-1] = x[n] este integrata de ordin 0.
3) Construim
Aratam ca (1-L)y[n] este integrata de ordin 1:
(1-L)y[n] = y[n]-y[n-1] = z[n] este integrata de ordin 1.
Am obtinut astfel y[n] integrata de ordin 2.
Care este utilitatea unei astfel de constructii in aplicatiile
practice ?
Daca gasim ca doua serii de timp sunt integrate I(1),
atunci intre ele poate exista o relatie de echilibru pe termen
lung (cointegrare).
Cointegrare
Conceptul de cointegrare a fost introdus de Granger
(1983), Granger and Weiss (1983), Engle si Granger (1987).
Notiunea a fost larg acceptata si este o unealta de actualitate
folosita in finantele cantitative.
Cointegrarea este o proprietate a seriilor de timp non-
stationare (care nu sunt integrate de ordin 0, intuitiv: care au
trend). Spunem ca doua serii de timp integrate de ordin 1
sunt cointegrate daca o combinatie liniara a celor doua este
stationara (integrata de ordin 0), desi fiecare din ele nu este
stationara. Fie x[n]si y[n] doua serii de timp non-stationare
integrate de ordin 1.
Cele doua serii sunt cointegrate daca
z[n]= a x[n] + b y[n] (4)
are medie C si deviatie standard σ. De obicei in aplicatii se
aleg a si b astfel incat C sa aiba medie 0.
In sensul general, extindem definitia pentru serii de timp
integrate de ordin p:
Definitie: Doua serii de timp x[n] si y[n] integrate de
ordin p sunt cointegrate daca exista o combinatie liniara
z[n] = a x[n] + b y[n] integrata de ordin mai mic decat p.
Intuitiv, daca doua serii de timp sunt cointegrate, atunci
exista factori fundamentali care le afecteaza componenta
non-stationara (trend) pe termen lung in mod egal, si atunci
cele doua serii de timp sub influenta aceluiasi factor
fundamental se vor ajusta la un echilibru relativ (combinatia
lor liniara se va intoarce la 0).
Care este utilitatea unei astfel de constructii in aplicatiile
practice ?
Fie pretul aurului : x[n] si pretul argintului: y[n].
De obicei pretul acestor metale se exprima in dolari:
x[n] = 98
y[n]= 105
Daca exista o combinatie liniara care ‘scaleaza’ x[n] in
raport cu y[n] astfel incat diferenta (mai este numita si
spread) este stationara:
Spread[n] = x[n]*a - y[n]
sa aiba medie 0 si deviatie standard constanta, atunci
aceasta relatie va exprima supra-evaluarea sau sub-evaluarea
pretului argintului relativ la pretul aurului. Spre exemplu: sa
presupunem ca in 2014 se vor demara operatiuni de
extragere a argintului de pe fundul oceanelor din globuli
metalici. Cu o viteza destul de mare piata va reactiona si
pretul argintului x[n] va scadea brusc fata de pretul aurului, la
un minim de diferenta relativa astfel incat
Spread[n] la un moment dat sa fie -100$, fata de
deviatia standard istorica σ=50$.
Acest eveniment este destul de rar sa se intample, dar
se poate intampla. Probabilitatea ca Spread[n] sa depaseasca
(in modul) valoarea 2σ este:
P(|spread[n]|>2σ)= 1 - 0.9544997 = 0.0455, adica sub
4.55%.
(v. http://mathworld.wolfram.com/ConfidenceInterval.html)
Ulterior acestei scaderi dramatice a pretului argintului,
urmeaza o perioada de disipare a informatiei la nivel global.
Participantii la piata realizeaza ca s-ar putea ca sa se gaseasca
intr-o buna masura si zacaminte de aur, deci pretul aurului
incepe sa scada si el, si Spread[n] creste inapoi spre 0. Este
doar o chestiune de timp pana cand cererea si oferta vor face
ca pretul celor doua metale sa se ajusteze astfel incat
Spread[n] sa se apropie de 0.
De notat ca pretul in general este integrat de ordin 1,
deci Spread[n] va fi stationar cu medie 0 (daca constantele
din expresia sa se aleg corect) si deviatie standard σ.
Cointegrare si cauzalitate
Engle si Granger (1987) demonstreaza ca daca doua serii
de timp sunt I(1) integrate si intre ele exista o relatie de
cointegrare de ordin 1, atunci variatia unei serii de timp intr-
o anumita directie va cauza o variatie in cealalta serie de timp
in aceeasi directie. Engle si Granger insa nu specifica directia
cauzalitatii : x[n] cauzeaza y[n] sau invers.
Daca insa cele doua serii de timp x[n] si y[n] sunt I(1) dar
intre ele nu exista relatie de cointegrare, atunci relatiile de
cauzalitate se pot determina daca:
1) Aplicam (1-L)x[n] si (1-L) y[n] astfel incat sa
transformam seriile de timp in serii cu diferente, adica
serii stationare
2) Testam ipoteze de tip daca X=a atunci Y=b, unde X si Y
sunt vectorii de stare in phase space-ul reconstruit al
seriilor (1-L)x[n] si (1-L)y[n].
Acest tip de cauzalitate (in lipsa relatiei de cointegrare)
poate fi determinata doar pentru un numar finit de situatii si
se numeste cauzalitate “intamplatoare” (spurious causality).
Existenta relatiei de cointegrare poate stabili relatia de
cauzalitate peste intreg domeniul de variatie al celor doua
serii de timp.