PS-02HUKUM-HUKUM PROBABILITAS

Nur Hayati, S.ST, MT

Yogyakarta, Februari 2016

Pokok Bahasan

• Ruang Sampel

• Kejadian

• Hukum Probabilitas

Ruang Sampel

PengertianRuang Sampel dan Titik Sampel

• Ruang Sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkinterjadi pada suatu percobaan statistik.

• Ruang Sampel dinyatakan dengan lambang S

• Syarat ruang sampel

– Dua hasil atau lebih tidak dapat terjadi secara bersamaan

– Harus terbagi habis

• Kemungkinan-kemungkinan yang akan muncul dalam ruang sampeldisebut dengan Titik Sampel.

• Sehingga titik sampel merupakan unsur atau anggota dari ruangsampel.

Contoh Ruang Sampel dan Titik Sampel

• Jika sebuah dadu dilempar ke atas, maka tentukan ruang sampelkemungkinan mata dadu yang muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5 atau 6.

• Sehingga ruang sampelnya dinyatakan dengan S = {1, 2, 3, 4, 5,6}

• Suatu pabrik memproduksi sejenis produk kesehatan. Kemungkinanproduk yang dihasilkan adalah produk yang “cacat” dan “tidak cacat”.

• Sehingga ruang sampel dari sebuah produk yang dihasilkan oleh pabrikdapat dinyatakan dengan S = {Cacat, Tidak Cacat}

• Sebuah koin dilempar ke atas. Setelah jatuh, maka kemungkinan sisiyang muncul paling atas adalah “Gambar” atau “Angka”.

• Sehingga ruang sampel percobaan tersebut dapat dinyatakan denganS = {Angka, Gambar}

Kejadian

Pengertian Kejadian

• Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel

• Dilambangkan dengan himpunan A ;

• Anggota-anggota dari A adalah titik sampel;

• Pada kasus pelemparan satu buah dadu

– S={1,2,3,4,5,6} dan A={2} ; sehingga

– A⊆ S ; A merupakan himpunan bagian dari S

– 2 ∈ A ; 2 disebut titik sampel

• Himpunan semesta / ruang sampel (S) adalah himpunan seluruhkejadian yang ada

• Himpunan kosong ( Ø atau {}) adalah himpunan bagian terkecil darisuatu himpunan

Pengertian Kejadian

• Komplemen suatu kejadian A terhadap ialah himpunan semua unsurS yang tidak termasuk A

• Dinyatakan dengan lambang Ā

• Misal suatu ruang sampel S = { buku, pensil, jurnal, majalah, koran}

• Jika A = { buku,pensil, jurnal }

• Maka Ā = {majalah, koran}

Diagram Venn

• Merupakan gambaran dari hubungan antara kejadian danruang sampel

• S = ruang sampel

• A = himpunan bagian dari S

• Ā = komplemen dari A

s

Ā

Irisan

• Interseksi antara dua kejadian

• Sering ditulis A ∩ B : kejadian yang unsurnya termasuk A dan B

• A ∩ B = { x : x ∈ A dan x ∈ B}

• A irisan B = x sedemikian rupa

sehingga x elemen A dan x elemen B

s

B

Gabungan

• Gabungan antara dua kejadian

• Sering ditulis A ∪ B : kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya

• A ∪ B = { x : x ∈ A, x ∈ B atau x ∈ AB}

• A gabungan B = x sedemikian rupa sehingga x elemen A, x elemen B atau x elemen AB

s

B

Hukum Probabilitas

A. Hukum Penjumlahan

• Hukum penjumlahan pada kejadian saling lepas (mutually exclusive event)

• Kejadian saling lepas adalah Kejadian dimana jika sebuah kejadianterjadi maka kejadian lain tidak akan terjadi atau Kejadian salinglepas terjadi apabila hanya satu dari dua atau lebih peristiwa yang dapat terjadi.

• Dapat digambarkan dengan diagram Venn:

Maka P(AB) = 0

• Oleh sebab itu, untuk peristiwa yang saling lepas, probabilitaskejadian A atau B yang dinyatakan P(A atau B)

A B

A. Hukum Penjumlahan

• Maka Hukum penjumlahan pada kejadian saling lepas dilambangkansebagai:

P(A atau B) = P (A) + P(B) atau P(A ∪ B) = P (A) + P(B)P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(AB) Karena P(AB) = 0 , maka

P(A atau B) = P(A) + P(B) – 0

Sehingga: P(A atau B) = P(A) + P(B)

• Untuk kejadian yang lebih banyak dilambangkan sampai n maka :

P(A atau ... n) = P(A) + P(B) + ......+P(n)

A. Hukum Penjumlahan

• Hukum penjumlahan pada kejadian tidak saling lepas (notmutually exclusive event)

• Kejadian tidak saling lepas adalah Kejadian dimana jika sebuahkejadian terjadi maka kejadian lain dapat terjadi atau kejadian yang dapat terjadi secara bersama-sama

• Peristiwa bersama Dapat digambarkan dengan diagram Venn:

Maka P(AB) ≠ 0

A BAB

A. Hukum Penjumlahan

• Maka Hukum penjumlahan pada kejadian tidak saling lepasdilambangkan sebagai:

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(AB)

P(A atau B) : probabilitas terjadinya A atau B atau A dan B bersama-samaP(A) : probabilitas terjadinya AP(B) : probabilitas terjadinya BP(AB) : probabilitas terjadinya A dan B bersama-sama

A. Hukum Penjumlahan

• Peluang Gabungan Tiga Kejadian

• P(AUBUC) = P(A) + P(B)+ P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

• Keterangan:P(A) : Peluang kejadian AP(B) : Peluang kejadian BP(C) : Peluang kejadian CP (A∩B) : Peluang kejadian A irisan BP (A∩C) : Peluang kejadian A irisan CP (B∩C) : Peluang kejadian B irisan CP (A∩B∩C) : Peluang kejadian A irisan B irisan C

B. Hukum Perkalian

• Hukum perkalian pada kejadian bebas (independent Event)

• Kejadian bebas adalah terjadinya peristiwa atau kejadian tidakmempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain.

• Dua peristiwa A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B

• Dapat dinyatakan dalam bentuk:

P(A dan B) = P(A) x P(B) atau P (A∩B) = P(A).P(B)

B. Hukum Perkalian

• Kejadian tak bebas / bersyarat (dependent event)

• Probabilitas bersyarat adalah probabilitas terjadinya kejjadian B dengan syarat bahwa kejadian A sudah terjadi/akan terjadi

• Hukum perkalian untuk probabilitas bersyarat bahwa peristiwaB terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi dinyatakansebagai berikut:

P (A∩B) = P(A) x (P(B|A) atau (P(B|A) = P (A∩B) /P(A), jika P(A) > 0

ADA PERTANYAAN?

TERIMA KASIH