Prutové těleso, výsledné vnitřní účinky prutů

Radek VlachÚstav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky

FSI VUT BrnoTel.: 54114 2860

e-mail: vlach.r@fme.vutbr.cz, http://www.umt.fme.vutbr.cz/~rvlach/

Prut – prut je popsán střednicí a příčným průřezem => základní těleso P&P I – prutové předpoklady => P&P I – …

Prut ve statice Prut v pružnosti a pevnosti

střednicepříčný průřez

Zatížený prut

SR

ANO NE

statika dynamikaP&P I

VVÚ – zatížený prut ve statické rovnováze obecný 3D případ obecný 2D případ

633 312 0 xF

0yF 0zF

0 BxM0 ByM0 BzM

0 xF 0yF

0 BzM

21321 ,,,, FFF

Jestliže je ve statické rovnováze celý prut musí být ve statické rovnováze i jeho část !

plošné zatížení

ozoykzyV MMMTTN ,,,,,zyVzVyVxV TTNFFFF

ozoykVzVyVxV MMMMMMM

Výsledné vnitřní účinky (VVÚ) jsou složky silové a momentové výslednice vnitřních sil v těžišti příčného průřezu, které spolu se soustavou vnějších silových účinků tvoří rovnovážnou silovou soustavu působící na část prutu.

ozoykzy MMMTTNVVÚ ,,,,,

Znaménková konvence:VVÚ – N,T,Mk,Mo považujeme za kladné, když mají smysl kladných (záporných) os lokálního souřadnicového systému pro uvolněný prvek (část prutu) obsahující počáteční L (koncový P) bod střednice.

ozoykzy MMMTTNVVÚ ,,,,, ok MMTNVVÚD ,,,2 N – normálová síla (namáhání tahem/tlakem)Ty,Tz – posouvající síla (namáhání smykem-střihem)Mk – kroutící moment (namáhání krutem)Moy,Moz – ohybové momenty (namáhání ohybem)

úkolem je - vyjádřit VVÚ pro obecný bod střednice - znázornit průběh VVÚ podél střednice - určit extrémní hodnoty (namáhání)

Určování VVÚ

Příčný průřez nemusí být pro určování VVÚ zadán !!!

Prut může být zatížen obecnou silovou soustavou- osamělé síly v bodech Ai střednice- osamělé momenty (silové dvojice) v bodech Bj střednice- liniové síly dané měrným liniovým zatížením podél střednice nebo po její části- liniové momenty podél střednice nebo její části

Metody stanovení VVÚ1) Integrální přístup2) Diferenciální přístup

iF

jM

)( lq

)( lqm

a) bodem R vedeme řez w → WL (ϵ bod L), WP (ϵ bod P)b) VVÚ určujeme z podmínek SR jedné části prutu. Volíme prvek (část), pro kterou

je řešení jednodušíc) Jestliže je prut ve SR, tak jeho každá část musí být ve SR a musí splňovat

podmínky SR:

atd.1) Integrální přístup určování VVÚ

3D případ 2D případ

0 xF 0yF 0zF

0 BxM0 ByM0 BzM

0 xF 0yF

0 BzM

d) pro libovolný bod (řez) střednice můžeme určit VVÚ v závislosti na poloze bodu R → průběh VVÚ podél střednicee) kde vedeme řezi, abychom získaly průběh VVÚ?Na prut působí soustav zatěžujících silových účinků, které lze vyjádřit funkcí s konečným počtem bodů nespojitosti podél střednice. Tyto body představují hranice intervalů a v každém intervalu musí být zvolen jeden řez. VVÚ má charakter funkce ↔ na hranici intervalů může být nespojitá

f) Vyšetříme průběh VVÚ podél střednice – extrémy VVÚ (početně nebo graficky)

atd.2) Diferenciální přístup určování VVÚ

Schwendlerova věta

)()(

xNx q

dxdN

)()(

xTx q

dxdT

)()(

xxo T

dxdM

Velikost T(x) je v daném bodě střednice směrnicí tečny k průběhu Mo(x).

Pomocná pravidla pro vyšetřování VVÚ

a) Skok v průběhu T(x) může být jen tehdy, jestliže v tomto místě působí osamělá síla.T>0 – vlevo od řezu směřuje síla vzhůru

b) Kde je skok v průběhu T(x), musí být zlom v průběhu Mo(x)

c) Skok v průběhu Mo(x) může být jen tehdy, jestliže v tomto místě působí osamělá silová dvojice.

d) Jeli prut ztížen jen osamělými silami a silovými dvojicemi, jsou průběhy T(x) konstantní a Mo(x) je tvořen lomenými přímkami.

e) Kde průběh T(x) prochází nulou ma Mo(x) extrém.

f) Pro T(x) >0 je Mo(x) rostoucí Pro T(x) <0 je Mo(x) klesající

)()(

xxo T

dxdM

g) V inflexním bodě průhybové čáry je Mo(x)=0pro konvexní průhybovou čáru je Mo(x) >0 pro konkávní průhybovou čáru je Mo(x) <0

h) Na konci prutu jsou složky VVÚ nulové, jestliže zde nepůsobí odpovídající složka zatížení

ch) využití symetrie a antisymetrie na rovině symetrie je T(x)=0 a Mo(x)≠0na rovině antisymetrie je T(x)≠0 a Mo(x)=0

PříkladPozn.: Vetknutí není nutné uvolňovat pro určení VVÚ