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15 Duodécima Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias y Tecnología

. PRUEBAS Y SOLUCIONES

4.1 MATEMÁTICA

DUODÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de ocho problemas, resuélvalos correctamente

en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.

Problema 1: (30 puntos)

a. Encuentre la solución de la ecuación:

cos2 3cos 1 0 2

b. Resuelva la desigualdad:

4 3 23 3 0x x x x

c. Evalúe el límite:

lim ln ln 2 4x

x x


Una pareja tiene Q50,000.00 para invertir. Si invierte Q24,000.00 al 10% al año y

Q16,000.00 a 9% al año. ¿A que porcentaje al año debe invertir el resto para tener un

ingreso de Q4,800.00 al año proveniente de sus inversiones?


El radio y la altura de un cilindro circular recto son iguales. El volumen debe calcularse

a partir de la medida de la altura y con un error no mayor al 1% del valor real. Utilizando

diferenciales encuentre aproximadamente el error más grande que puede ser tolerado

en la medición de la altura, expresando como un porcentaje de este valor.



Los puntos A , B y C, se encuentran sobre la parábola 2 4y x . El punto A está fijo

y tiene coordenadas 0,2 . Los puntos B y C se encuentran ubicados de tal manera que

AB BC . Determine el rango de los valores que puede tomar la coordenada y del

punto C .


En la siguiente figura, la región delimitada por el semiperímetro de tres circunferencias

tiene unárea de 18 unidades cuadradas y un perímetro 18 unidades lineales,

determinar el radio decada una de las semicircunferencias.


La figura muestra laregión limitada por la parábola 2 4x py y la recta x y p , en

donde p es una constante. Dentro de la región se encuentra inscrito el trapecio ABCD,

con el lado AB paralelo al eje x. Determine las dimensiones del trapecio de tal forma

que su área sea máxima.

x

y

A B

C

D



El perímetro de un hexágono aumenta a razón constante de 2 unidades por minuto. ¿A

queritmo cambiará el área entre el hexágono y la circunferencia que lo circunscribe,

cuando el radio de esta es de 2 unidades?


a. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de 3 f x x x que pasan por el

punto 2 2,3 3

b. Hallar el punto de intersección de las rectas normales a las rectas tangentes del inciso anterior.


SOLUCIÓN DE LA PRUEBA


a. Encuentre la solución de la ecuación:

cos2 3cos 1 0 2


4 3 23 3 0x x x x


lim ln ln 2 4x

x x

Solución

a. Solución de la ecuación

cos2 3cos 1 0 2

Usando la identidad 2cos2 2cos 1

2

2

cos2 3cos 1

2cos 1 3cos 1

2cos 3cos 2 0

2cos 1 (cos 2) 0

De donde se obtiene

1cos & cos 2

2

Para 1 1cos2

las soluciones son 2

3

&

4

3

Para 1cos (2) no tiene solución.

Entonces la solución de la ecuación para el intervalo indicado es

2

3

&

4

3


4 3 2

3 2

2

3 3 0

3 3 0

( 3) 1 0

x x x x

x x x x

x x x

( 3) 1 1 0x x x x


INTERVALO 1x x 1x 3x ( 3) 1 1x x x x CONCLUSIÓN

, 1 ( )( )( )( ) N0 CUMPLE

1,0 ( )( )( )( ) SI CUMPLE

0,1 ( )( )( )( ) NO CUMPLE

1,3 ( )( )( )( ) SI CUMPLE

3, ( )( )( )( ) NO CUMPLE

Para

1, 0, 1 & 3x x x x SI CUMPLE

Entonces la solución de la desigualdad anterior es

1,0 1,3


lim ln ln 2 4x

x x

lim ln ln 2 4x

x x

Forma indeterminada

Aplicando propiedades del logaritmo

lim ln ln 2 4 lim ln2 4x x

xx x

x

Aplicando la regla de L’Hôpital

1 1ln lim ln lim ln

2 4 2 2x x

x

x

Entonces

1lim ln ln 2 4 ln2x

x x


Una pareja tiene Q50,000.00 para invertir. Si invierte Q24,000.00 al 10% al año y

Q16,000.00 a 9% al año. ¿A que porcentaje al año debe invertir el resto para tener un

ingreso de Q4,800.00 al año proveniente de sus inversiones?


Solución

Definiendo la incógnita

x porcentaje a invertir el resto del dinero

Planteando la ecuación

24,000(0.10) 16,000(0.09) (50,000 24,000 16,000) 4,800x

Despejando x

2,400 1,440 10,000 4,800

10,000 960

0.096

x

x

x

El resto del dinero lo debe invertir al 9.6 %.



El radio y la altura de un cilindro circular recto son iguales. El volumen debe calcularse

a partir de la medida de la altura y con un error no mayor al 1% del valor real. Utilizando

diferenciales encuentre aproximadamente el error más grande que puede ser tolerado

en la medición de la altura, expresando como un porcentaje de este valor.

Solución

Se definen las siguientes variables

altura del cilindroh

radio del cilindror

volumen del cilindroV

3

2V

h

r

V

h

r

h

Calculando el diferencial de volumen en términos de h

23dV h dh

Como

0.01dV

V

y

2

3

3

3

dV h dh

V h

dh

h

30.01

0.01

3

dh

h

dh

h

El mayor error que puede ser tolerado como un porcentaje de ese valor es

1%

3



Los puntos A , B y C, se encuentran sobre la parábola 2 4y x . El punto A está fijo

y tiene coordenadas 0,2 . Los puntos B y C se encuentran ubicados de tal manera que

AB BC . Determine el rango de los valores que puede tomar la coordenada y del

punto C .

Solución

En la figura se muestra la gráfica de la parábola y la distribución de los puntos

A, B, y C.

x

y

Sea 2 ) ( 4,w w las coordenadas del punto B y 2 ) ( 4,y y las coordenadas del

punto C .

La pendiente del segmento ABestá dada por

2 2

2 1

4AB

wm

ww

Ya que el segmento BCes perpendicular al segmento AB la pendiente de BCes

) ( 2BCm w

Sin embargo, la pendiente del segmento BC puede ser calculada utilizando las

coordenadas de los respectivos puntos


2 2 2 2

1

4 ( 4)BC

w y w ym

w yw y w y

Igualando las pendientes

) 1

( 2ww y

La ecuación anterior se puede escribir como

0 2 1w w y

Operando se obtiene

2 0 2 2 1w y w y

Esta ecuación cuadrática, al resolverla para w, muestra la relación entre las

coordenadas y de los puntos B y C . Los valores que puede tomar w son valores

reales, esto significa que el discriminante de la ecuación cuadrática anterior

deber ser mayor o igual a cero.

Por lo tanto, si Δ representa el discriminante

2Δ (2 ) 4(1)(2 1) 0 y y

Operando se llega la siguiente desigualdad

2 4 0y y

Al resolver esta desigualdad se obtiene el siguiente conjunto solución

) ,0 [4,

Estos intervalos corresponden a los valores que puede tomar la coordenaday

del punto C .


En la siguiente figura, la región delimitada por el semiperímetro de tres circunferencias

tiene unárea de 18 unidades cuadradas y un perímetro 18 unidades lineales,

determinar el radio decada una de las semicircunferencias.


Solución

Comencemos escribiendo las respectivas incógnitas del problema, en este caso

bastará únicamente con utilizar dos etiquetas para el radio de dos de las tres

semicircunferencias, ya que una de ellas se puede escribir en términos de las

otras dos.

Ahora representemos el área total encerrada como la diferencia de las áreas de

dos semicircunferencias, la primera de radio R y la segunda de radio R − r, más

el área de una tercera semicircunferencia de radio r

22 2

2 22

2 2 2 2

2

2 218

2 2 2 2

182 2 2

182 2 2

R R r r

R rR r

R R r rrR

) 18 (1rR

Ahora utilicemos la información del perímetro de la región sombreada para

escribir una ecuación que relaciones las incógnitas Ryr.

2 218

2

18

R r

R r

R R r r


Simplificando esta última expresión tenemos:

18

9

R R r r

R

Al sustituir 9R en la ecuación (1) da para obtener r

18

18 182

9

rR

rR

Respuestas: Radio de la circunferencia mayor 9 unidades, radio de la

circunferencia mediana 7 unidades, y el radio de la circunferencia pequeña 2

unidades.


La figura muestra la gráfica de región limitada por la parábola 2 4x py y la recta

x y p , en donde p es una constante. Dentro de la región se encuentra inscrito el

trapecio ABCD, con el lado AB paralelo al eje x. Determine las dimensiones del trapecio

de tal forma que su área sea máxima.


x

y

A B

C

D

Solución

Si las coordenadas del punto están dadas por

2

( , ) ,4

tB x y B t

p

Entonces las coordenadas de los puntos B, C, y D se pueden expresar en

términos de t como se muestra a continuación

2 2( ) ( , ) , ,

4 4

( , ) ,

( , ) , ( ) ( , )

t tA x y t t

p p

C x y t p t

D x y t p t t p t

Ahora podemos calcular las longitudes de los lados del trapecio

2

1

2

2

4

4

2

tb AD p t

p

tb BC p t

p

h AB t

El área del trapecio expresada en términos de t es

2 2

1 2

2

2 3

1 1 ( ) (2 )

2 2 4 4

22

1( ) 4

2

t tA t h b b t p t p t

p p

tt p

p

A t p t tp

El dominio de esta función es el intervalo 0, 2 ( 2 1)p


Calculando la primera derivada e igualando a cero para encontrar los valores

críticos

2 3 2 21 1( ) 4 4 3 02 2

dA t p t t p t

dt p p

2 2

2

3 4

4 2 2 3

3 33

t p

p p pt

Como el valor crítico se encuentra fuera del intervalo, el área máxima debe

estar en uno de los extremos del intervalo

2 3

2 2

1(0) 4 (0) (0) 0

2

12 ( 2 1) 4 ( 2 1) 8 3 2 2

2

A pp

A p p p

Por lo tanto, el área es máxima se obtiene cuando 2 ( 2 1)t p

Para este valor de t las dimensiones son

1

2

4 ( 2 1)

0

4 ( 2 1)

b p

b

h p

Es decir que el área máxima se obtiene cuando el trapecio degenera en un

triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden 4 ( 2 1)p



El perímetro de un hexágono aumenta a razón constante de 2 unidades por minuto. ¿A

que ritmo cambiará el área entre el hexágono y la circunferencia que lo circunscribe,

cuando el radio de esta es de 2 unidades?

Solución

La siguiente figura describe en forma gráfica el problema.

Rh

R/2

Ahora, se procede a expresar el área sombreada en términos del radio R del

círculo

sombreada circulo hexágono A A A

2 2 2 2 3 3 3 3 3

62 2 2 2

s RR

A R R R R

Ahora se deriva esta última expresión respecto del tiempo.

) 2 3 3 (1sdA dR

Rdt dt

Para resolver la ecuación (1) es necesario conocer el ritmo al cual cambia R,

esto se obtiene de laecuación del perímetro.

hexágono 6P R

Derivando esta ecuación respecto del tiempo

6hdP dR

dt dt

sustituyendo el valor de hdP

dtdado en el problema se tiene:

1

3

dR

dt

resultado que se puede sustituir en la ecuación (1)

3

4 6 3sdA

dt



a. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de 3 f x x x que

pasan por el punto 2 2,3 3

b. Hallar el punto de intersección de las rectas normales a las rectas tangentes del

inciso anterior.

Solución

a. Sea ( , )a b el punto de tangencia en la gráfica de 3 f x x x

Cálculo de la pendientem de rectas tangentes por derivación:

derivando respecto de x : 23 1m f x x

evaluando en el punto de tangencia: 23 1f a a

Cálculo de la pendientemde rectas tangentes por definición de pendiente

2 2

3 322

33

b b

m

aa

Igualando, es decir:m m

2

2

33 12

3

ba

a

ecuación (i)

Siendo ( , )a b , el punto de tangencia, satisface la ecuación 3 f x x x es decir:

3b a a ecuación (ii)

Solución del sistema de ecuaciones mediante la sustitución de b de la ecuación

(ii) en la ecuación (i), es decir:

3

2

2

33 12

3

a aa

a

por álgebra elemental:

2 32 2(3 1)3 3

a a a a

3 2 32 23 23 3

a a a a a

3 22 2 0a a

es decir: 1 0a y a


ahora, las ecuaciones de las dos rectas tangentes son:

21 0 3( 1) 1 2a b m

0 2( ( 1))y x

2 2y x

20 0 3(0) 1 1a b m

0 1( 0)y x

y x

b. Para el inciso (b) las ecuaciones de las rectas normales correspondientes son:

1 0 0.5a b m

0 0.5( ( 1))y x

0.5 0.5y x

0 0 1a b m

0 0y x

y x

Igualando:

0.5 0.5

1

3

x x

x

Como y x , se obtiene que1

3y

El punto de intersección es 1 1,3 3


DUODÉCIMAOLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

Acontinuación se le presenta una serie de diez problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo

de trabajo. El tiempo de la prueba es de 120 minutos.


El radio y la altura de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de 4% y

2%respectivamente. Utilizando diferenciales aproximar el máximo error porcentual

posibleal calcular el volumen.


Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección

de las superficies

2 2 2 8x y z

2 2 2x y z

en el punto (0,2,2).


Plantee las integrales para calcular la fuerza hidrostática sobre la placa que se

encuentra sumergida verticalmente en el agua, que se muestra sombreada en la figura.

El nivel del agua está a una altura sobre el punto (0,0) de 4a. Exprese su respuesta en

términos de a. Las distancias están en metros.



Resuelva una de las siguientes ecuaciones diferenciales indicando claramente el método

que utilizó.

a. 2ln 0x y y dx xdy b.

3

422

sen cot

dy xx y

dx x x

Problema5: (10 puntos)

Considere los dos tanques mostrados en la figura. Suponga que el tanque A contiene 100

galones de agua pura en la cual se han disuelto 50 libras de sal y que el tanque B

contiene 100 galones de agua pura. Un líquido se bombea hacia dentro y fuera de los

tanques como se indica en la figura. Se supone que el líquido que se intercambia entre

los dos tanques y el líquido bombeado hacia afuera del tanque B está mezclado

perfectamente.

a. Construya un modelo

matemático para describir la cantidad de libras de sal presente en los tanques A

yB, respectivamente, en el tiempo t.

b. Resuelva el modelo matemático del inciso (a) para determinar la cantidad de libras

de sal presente en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t.


Evaluar la integral cambiando el orden de integración:

21 1/2

0 /2

x

y

e dx dy


Plantee la integral para calcular el volumen de la región de 3R acotada por 0z ,

5 cosz r , 1 cosr y fuera de 1r .



Compruebe el Teorema de Stokes, donde ( , , ) 3 3x y z x x y F i j k , y C es la curva de

intersección del plano 3z y & el cilindro 2 2 9x y . Orientada en sentido contrario

a las manecillas del reloj, vista desde arriba.


Resuelva uno de los siguientes incisos

a. Si ( )

30

1

1

g x

f x dtt

donde cos

2

0

1 sen( )x

g x t dt encuentre ´ 2f

b. Existe una recta que pasa por el origen (con pendiente positiva) que divide la región

definida por la parábola 2y x x & el eje x en dos regiones de igual área.

Encuentre el valor de dicha pendiente.


Encuentre el área interior a la región acotada por 2 4sen2r .




El radio y la altura de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de 4% y

2% respectivamente. Utilizando diferenciales aproximar el valor máximo error

porcentual posible al calcular el volumen.

Solución

Se definen las siguientes variables

altura del cilindroh

radio del cilindror

volumen del cilindroV

2

22

V r h

dV rhdr r dh

Como

0.04dr

r

0.02dh

h

y

2

2

2

2

2 0.04 (0.02)

0.10

dV rhdr r dh

V r h

dV dr dh

V r h

dV

V

dV

V

El valor máximo error porcentual posible al calcular el volumen es10%



Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección

de las superficies

2 2 2 8x y z 2 2 2x y z

en el punto(0, 2, 2) .

Solución

Se calculan los gradientes de las superficies en el punto dado

2 2 2( , , ) 8F x y z x y z

( , , ) 2 2 2F x y z x y zi j k

(0,2,2) 0 4 4F i j k

2 2 2( , , )G x y z x y z

( , , ) 2 2 2G x y z x y zi j k

(0,2,2) 0 4 4G i j k

El producto vectorial de los dos gradientes es un vector tangente a las

superficies en el punto dado

(0,2,2) (0,2,2) 0 4 4 32

0 4 4

F G

i j k

i

Las ecuaciones paramétricas de la recta son

0 32

2

2

x t

y

z

z z



Plantee las integrales para calcular la fuerza hidrostática sobre la placa que se

encuentra sumergida verticalmente en el agua, que se muestra sombreada en la figura.

El nivel del agua está a una altura sobre el punto (0,0) de 4a. Exprese su respuesta en

términos de a. Las distancias están en metros.

Solución

Tomando en cuenta la forma de la placa, sobre el primer cuadrante, se puede

hacer el análisis del diferencial de la siguiente manera.

Calculo del diferencial de Fuerza: dF PdA

Si la presión sobre el diferencial es: P gh y y la columna de agua

4h y a y

El diferencial de área es: ( )dA f y g y dy

Para calcular ( )f y que es la curva más a la derecha, de acuerdo a los puntos en

la elipse se tiene:


22

2 2

22

2 2

2 22 2

2

2 2 2

2 2

2 2

14

14

4

4

2

( ) 2

yx

a a

yx

a a

a yx a

a

x a y

x a y

f y a y

Para calcular ( )g y arriba del ejex, se tienen los puntos: 0,a y, ( ,0)a que tiene

la recta con pendiente:

01

0

y am

x a

y a x

x a y

g y a y

Para calcular ( )g y abajo del ejex, se tienen los puntos: 0, a y, ( ,0)a que tiene

la recta con pendiente:

01

0

y am

x a

La ecuación de la recta: y a x

x y a

g y y a

Si el diferencial de área es:

2dA f y g y dy El diferencial de área para la parte superior es:

2 22 2dA a y a y dy

El diferencial de área para la parte inferior es:

2 22 2dA a y a y dy


Formando el diferencial de fuerza hidrostática, se tiene:

dF PdA

Para la parte superior es:

2 29800(4 ) 4 2 2dF a y a y a y dy Para la parte inferior es:

2 29800(4 ) 4 2 2dF a y a y a y dy Fuerza hidrostática es la suma de la fuerza en la parte superior y en la parte

inferior del eje x :

s iF F F

02 2 2 2

0

9800 (4 ) 4 2 2 9800 (4 ) 4 2 2a

a

F a y a y a y dy a y a y a y dy



Resuelva una de las siguientes ecuaciones diferenciales indicando claramente el método

que utilizó.

a. 2ln 0x y y dx xdy b.

3

422

sen cot

dy xx y

dx x x

Solución

a. Solución de la ecuación

2ln 0x y y dx xdy

Puede reescribirse y llevarse a la siguiente forma:

2lny xy yx x

Al llevarla a esta forma se tiene la estructura:

ny P x y Q x y

que corresponde a una ecuación de Bernoulli con respecto a la variable " "y .

Por medio de la siguiente sustitución puede llevarse la ecuación de Bernoulli a

una ecuación lineal:

1 1 2 1

2

nV y y y

V y y

Posteriormente la ecuación llevada a la forma estándar de Bernoulli se divide

dentro del términony para que seguidamente se pueda realizar la sustitución

que llevara la ecuación diferencial a la forma lineal:

2 2

12

ln

ln

y xy y y

x x

y xy y

x x

Por lo tanto, al realizar la sustitución se tiene que:

lnV xV

x x

Para llevar la ecuación diferencial a la forma lineal el coeficiente que acompaña

a la primer derivada debe ser 1, por lo que debe multiplicarse por 1 la

ecuación:

lnV xV

x x

* 1

lnV xV

x x


Obteniendo una ecuación lineal en términos de la variable " "V cuya forma

estándar es:

V P x V Q x

Y para resolver esta ecuación lineal se necesita determinar el factor de

integración:

ln 1

dxP x dx

xxFI e e e x

Resolviendo la ecuación lineal en términos de " "V :

FI V FI Q x dx 1

1

1

2

(ln )

ln

x xx V dx

x

xx V dx

x

Se debe resolver la integral del lado derecho que resulta ser una integral por

partes y posterior a esto se despeja la ecuación para la variable " "V :

1 ln 1

ln 1

xx V c

x x

V x cx

Y por último se regresa a la sustitución que se realizó cuando se llevo a la forma

estándar de una ecuación de Bernoulli y se despeja la ecuación para la variable

" "y dejando la solución de forma explícita:

1 ln 1

1ln 1

1

ln 1

y x cx

x cxy

yx cx

b. Solución de la ecuación

3

422

sen cot

dy xx y

dx x x


Puede reescribirse y llevarse a la siguiente estructura

y P x y Q x

que corresponde a una ecuación lineal con respecto a la variable " "y

2

42

2

sen cot

y xy

x x x

Obteniendo una ecuación lineal en términos de la variable " "y cuya forma

estándar es

y P x y Q x

Y para resolver esta ecuación lineal se necesita determinar el factor de

integración

22ln 2

dxP x dx

xxFI e e e x

Resolviendo la ecuación lineal en términos de " "y

2 22

42

22

4

(sen ) cot

csc

cot

FI y FI Q x dx

x xx y dx

x x

xx y dx

x

Se debe resolver la integral del lado derecho la cual resulta ser una integral de

las más sencillas al realizar una sustitución

cotu x

2c cdu s x dx

2 1/4 3/44

2 3/4

4

3

4cot

3

dux y u du u c

u

x y x c

Y por último se despeja la ecuación para la variable " "y dejando la solución de

forma explícita.

42 34 cot3

y x x c


Considere los dos tanques mostrados en la figura. Suponga que el tanque A contiene 100

galones de agua pura en la cual se han disuelto 50 libras de sal y que el tanque B

contiene 100 galones de agua pura. Un líquido se bombea hacia dentro y fuera de los

tanques como se indica en la figura. Se supone que el líquido que se intercambia entre


los dos tanques y el líquido bombeado hacia afuera del tanque B está mezclado

perfectamente.

a. Construya un modelo

matemático para describir la cantidad de libras de sal presente en los tanques A

yB, respectivamente, en el tiempo t.

b. Resuelva el modelo matemático del inciso (a) para determinar la cantidad de libras

de sal presente en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t.

Solución

a.

Definición de variables:

1( )x t cantidad de libras de sal en el tanque A en el tiempo t (minutos)

2( )x t cantidad de libras de sal en el tanque B en el tiempo t (minutos)

ED para el tanque A:

1dx

dt razón de entrada de la salrazón de salida de la sal

1 2 1gal gal gallbsal lbsal lbsal4 0 2 6min gal min 100 gal min 100 galdx x x

dt

11 2 1 2

6 2 3 1

100 100 50 50

dxx x x x

dt

Ecuación diferencial para el tanque B:

2dx

dt razón de entrada de la salrazón de salida de la sal

2 1 2 2gal gal gallbsal lbsal lbsal6 4 2min 100 gal min 100 gal min 100 galdx x x x

dt


21 2 2 1 2 1 2

6 4 2 6 6 3 3

100 100 100 100 100 50 50

dxx x x x x x x

dt

Modelo matemático

Sistema de ecuaciones diferenciales con valores iniciales

11 2

3 1

50 50

dxx x

dt

21 2

3 3

50 50

dxx x

dt

Con valores iniciales:

1 0 50x

2 0 0x

b. Escribiendo el sistema de ecuaciones diferenciales en términos de operadores

diferenciales:

1 23 1 050 50

D x x ecuación I

1 23 3 050 50

x D x

ecuación II

Resolviendo para 1x se multiplica la ecuación I por 350

D y la ecuación II

por1

50, luego se suman ambas ecuaciones y se simplifica:

1 2

2

1 2

3 3 10

50 50 50

3 1 30 Ecuación I

50 50 50

D D x x

D x D x

1 2

1 2

1 3 30

50 50 50

3 1 30 Ecuación II

2500 50 50

x D x

x D x

Al sumar la ecuación I y la ecuación II se obtiene:

2

1 13 3

050 2500

D x x

Desarrollando y simplificando:


21 1

21

6 9 30

50 2500 2500

6 60

50 2500

D D x x

D D x

Simplificando

2 12500 300 6 0D D x

Escribiendo la ecuación auxiliar:

22500 300 6 0m m

Las soluciones de la ecuación auxiliar son:

13 1

350 50

m

y 23 1

350 50

m

La solución para 1x es:

3 1 3 13 350 50 50 50

1 1 2

t t

x t C e C e

Resolviendo para 2x se multiplica la ecuación I por3

50 y la ecuación II por

350

D , luego se suman ambas ecuaciones y se simplifica:

1 23 3 1 050 50 50

D x x

1 23 3 3 050 50 2500

D x x Ecuación I

1 23 3 3 050 50 50

D x D x

2

1 23 3 3

050 50 50

D x D x

Ecuación II

Al sumar la ecuación I y la ecuación II se obtiene:

2

2 23 3

050 2500

D x x

Desarrollando y simplificando:

22 2

22

6 9 30

50 2500 2500

6 60

50 2500

D D x x

D D x

Simplificando

2 22500 300 6 0D D x

Escribiendo la ecuación auxiliar:


2(2500 300 6) 0m m

Las soluciones de la ecuación auxiliar son:

13 1

350 50

m

y 23 1

35

0

0 5

m

,

La solución para 2x es:

3 1 3 13 350 50 50 50

2 3 4

t t

x t C e C e

Para dejar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales en términos de

las constantes 1C y 2C , se sustituye 1x t y 2x t 𝑦 en la primera ecuación del

sistema de ED:

11 2

3 1

50 50

dxx x

dt

3 1 3 1

3 350 50 50 50

1 23 1 3 1

3 350 50 50 50

t t

C e C e

3 1 3 1 3 1 3 13 3 3 350 50 50 50 50 50 50 50

1 2 3 43 1

50 50

t t t t

C e C e C e C e

Simplificando

3 1 3 1

3 350 50 50 50

1 1 3 2 2 43 1 3 1 3 1 3 1

3 3 050 50 50 50 50 50 50 50

t t

C C C e C C C e

1 3

3 1

3 1

1 13 0

50 50

1 13

50 50

3

C C

C C

C C

y

2 4

4 2

4 2

1 13 0

50 50

1 13

50 50

3

C C

C C

C C

Escribiendo la solución del sistema de ED en términos de 1C y 2C :


3 1 3 13 3

50 50 50 501 1 2

3 1 3 13 3

50 50 50 502 1 23 3

t t

t t

x t C e C e

x t C e C e

Evaluando las condiciones iniciales 1 0 50x y 2 0 0x , en la solución del

sistema de ED:

2

1

1

25

0 3

0

3

C

C

C

C

Resolviendo el sistema:

1

1

1 2

2

1

1

2

3

5

0

2

3

5

25

C C

C

C

C

C

C

C

Solución del modelo matemático para determinar la cantidad de libras de sal

presente en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t :

3 1 3 13 3

50 50 50 501

3 1 3 13 3

50 50 50 502

25 25

25 3 25 3

t t

t t

x t e e

x t e e



Evaluar la integral cambiando el orden de integración:

21 1/2

0 /2

x

y

e dx dy

Solución

x

y

12

x

2y x

2 2

2

2

2

1 1/2 1/2 2

0 /2 0 0

1/2 2

00

1/2

0

1/2

0

1/4

2

1

xx x

y

xx

x

x

e dx dy e dy dx

e y dx

xe dx

e

e



Plantee la integral para calcular el volumen de la región de 3R acotada por 0z ,

5 cosz r , 1 cosr y fuera de 1r .

Solución

En la figura se muestra la representación gráfica de la región acotada en la

parte inferior por el plano 0z , en la parte superior por el plano 5 cosz r , fuera del cilindro circular 1r y dentro del cilindro con forma de cardioide

1 cosr .

y

x

z

Utilizando integrales triples y coordenadas cilíndricas, el volumen está dado

por

1 cos 5 cos2

1 02

1 cos22

12

2 32

2

5 cos

5 1 cos 1 cos cos 5 cos

2 3 2 3

r

V rdzdrd

r r drd

d



Compruebe el Teorema de Stokes, donde ( , , ) 3 3x y z x x y F i j k , y C es la curva de

intersección del plano 3z y &el cilindro 2 2 9x y . Orientada en sentido contrario

a las manecillas del reloj, vista desde arriba.

Solución

x

z

y

C

Verificar que

cS

dd d F rF r F S

Por integral de línea

Curva

2

0

9cos 3cos 9 3sen 3cos 3cosd t t sent tdt tdt tdt

F r i j k i j k

22

0

22 22

0 0 0

27sen cos 9cos 27sen cos

9 9 9 99cos cos2 sen2 9

2 2 2 4

t t t t t dt

tdt t dt t

Entonces

9c

d F r

Por integral de superficie.

3 0 1

3 3

x dy z

x x y

i j k

F i j k

Curva 3cos ; 3sen

3sen ; 3cos

3 3sen ; 3cos

x t dx t dt

y t dy t dt

z t dz t dt


2 2

0 1 1

0 (1) (1)

i j kη

1

2 F η

2 3

0 0

32 2

0 0

2

0

2

0

1

12

2

2

9

2

99

2

S R

R

Rxy

dydxd

dydx

dydx

rdrd

rd

d

F S F ηη k

De donde

. 9c

S

d d F r F S



Resuelva uno de los siguientes incisos

a. Si ( )

30

1

1

g x

f x dtt

donde cos

2

0

1 sen( )x

g x t dt encuentre ´ 2f

b. Existe una recta que pasa por el origen (con pendiente positiva) que divide la región

definida por la parábola 2y x x & el eje x en dos regiones de igual área.

Encuentre el valor de dicha pendiente.

Solución

a.

3

1´ ´

1f x g x

g x

Entonces

3

1´ ´

2 21

2

f g

g

(1)

Se calcula 2

g

y luego ´2

g

para sustituir en (1):

cos 02 22

0 0

1 sen( ) 1 sen( ) 02

g t dt t dt

2´ 1 sen cos ( sen )g x x x Ahora

2

´ 1 sen cos sen2 2 2

(1) 1

1

g

De manera que:

3

1´ 1 1

2 1 0f

b. Existe una recta que pasa por el origen (con pendiente positiva) que divide la

región definida por la parábola 2y x x & el eje x en dos regiones de igual

área.Encuentre el valor de dicha pendiente.


x

y

2y x x y mx

Q1R

2R

Sea Q el punto de intersección de la recta con la parábola:

2

2

0

0 & 1

y y

mx x x

mx x x

x x m

Entonces las coordenadas del punto Q son

2 1 ,m m m

Área de la región 1 = Área de la región 2

1 1 12 2 2

0 0 0

1 12 2

0 0

1 12 3 2 2 3

0 0

2 3 2

3 2

2

22 3 2 2 3

1 1 1 12

2 3 2 6

2 6 6 1 0

m m

m

m

x x mx dx x x dx x x mx dx

x x mx dx x x dx

x x mx x x

m m m m

m m m

Al resolver la ecuación anterior se obtiene que el valor aproximado de la

pendiente es

0.21m



Encuentre el área interior a la región acotada por 2 4sen2r .

Solución

2

3

4

7

4

3

4

2

3

4

2

1

2

3

4

2

4 4sen2

8 sen2

cos28

2

34cos 4cos

2

4

A d

d


4.2 FÍSICA

DUODÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de cinco problemas, resuélvalos correctamente



Dos objetos con masas 1 5 kgm y 2 2 kgm ,cuelgan a 60.0 cm sobre el piso, atados a

los extremos de una cuerda de 5.00 m de longitud que pasa por una polea de radio10 cm

e inercia rotacional 4 23.8 10 kg m respecto a un eje que pasa por su centro. La polea

gira sin fricción, la cuerda no resbala en la polea y los objetos parten del reposo. Calcule:

a. La magnitud de las tensiones y la aceleración del sistema

b. La altura máxima que alcanza el objeto de 2.00 kg medida desde el piso, después de

que el bloque de 5 kg choca con el piso.


Una bolita de masa 5.00 g comprime 4.00 cm a un resorte de constante 14.8 N/mk

colocado sobre una mesa horizontal sin fricción de altura 1.20 m. La bolita abandona el

resorte justo en la orilla de la mesa y luego cae al suelo sin resistencia del aire. La bolita

debe caer sobre un carrito que viaja sobre el suelo hacia la mesa a razón constante de

9.00 km/h. ¿En qué posición debe encontrarse el carrito cuando se lanza la esfera para

que caiga justo dentro de él?


El movimiento de un avión en el aire depende de cuatro fuerzas fundamentales, siendo

estas: lafuerza de sustentación, el peso (actúan verticalmente sobre el avión), la tracción

y la resistencia (actúan horizontalmente sobre el avión). Si el viento sopla con una

rapidez de 42.0 m/s en la parte superior del ala y de 20.0 m/s en la parte inferior del ala,

la masa de la avioneta es de 1500 kg, el área de cada ala es de 9.00m2, determine el

espesor del ala del avión y la diferencia de presiones entre la parte superior e inferior

del ala.(Considere la densidad del aire 1.20 Kg/m3, 29.80 m/sg ).



En la misión Red Bull Stratos el paracaidista FelixBaumgartner se lanzó desde un globo

especial desde una altura de 39,000 m sobre la superficie de la Tierra. Suponga que el

globo estaba estático respecto la superficie terrestre y desprecie los efectos resistivos de

la atmósfera.Si Baumgartner no hubiera usado paracaídas ¿con qué rapidez hubiera

llegado a la superficie terrestre? (Haga uso de la Ley de la gravitación universal).


Unexploradorque se encuentra en un planeta desconocido decide realizar un

experimento con el cual pueda determinar el valor de la gravedad, para dicho

propósito toma una varilla de longitud 1.00m y masa de 0.250kg la desplaza un

pequeño ángulo, colocando el eje de rotación en la marca de 20.0cm, y establece que el

período de oscilación tiene un valor de 3.74s. Determine:

a. El valor de la gravedad en el planeta

b. ¿Cuálseríael valor de la fuerza de empuje que actuaría si se sumergiera

completamente una esfera de 2.00cm de radio en agua ( 31000 kg/m ) en ese

planeta?

c. Experimentalmente, ¿de qué forma podría determinar dicha fuerza?




Dos objetos con masas 1 5 kgm y 2 2 kgm , cuelgan a 60.0 cm sobre el piso, atados a

los extremos de una cuerda de 5.00 m de longitud que pasa por una polea de radio10 cm

e inercia rotacional 4 23.8 10 kg m respecto a un eje que pasa por su centro. La polea

gira sin fricción, la cuerda no resbala en la polea y los objetos parten del reposo. Calcule:

a. La magnitud de las tensiones y la aceleración del sistema

b. La altura máxima que alcanza el objeto de 2.00 kg medida desde el piso, después de

que el bloque de 5 kg choca con el piso.

Solución

En este problema aplicaran las leyes de Newton para la rotación y traslación,

así como la conservación de la energía o cinemática traslación

h

2h

H

1m 2m

V

V

a. Diagrama de cuerpo libre 1m

1T

1W

1.

1

1 1 1

Σ

yF m a

W T m a

1 1 1 m g m a T Ec. 1

Diagrama de cuerpo libre 2m


2T

2W

2

2 2 2

Σ

yF m a

W T m a

2 2 2 m g m a T Ec. 2

Diagrama de cuerpo libre de la polea

N

1T 2T pW

1 2

1 2

Σ

cm I

T R T R I

aT R T R I

R

2 21 2 T R T R Ia Ec. 3

Sustituir Ec. 1 y Ec.2 en Ec.3 y determinar la aceleración

2 21 1 2 2

2

m4.18 seg

m g m a R m a m g R Ia

a

Sustituir la aceleración en Ec.1 y en Ec. 2

1 28.1 NT

2 27.9 NT

b. Para calcular la velocidad de la masa 2, cuando la masa 1 llega al suelo


2 2 21 2 2 1 21 1 1

2 2 2 2 2

m v m v m g h I m gh m gh

Sustituyendo v

R

1 2

1 2 2

2

2.24 m/s

gh m mv

Im m

R

v

Y analizando lo que sube la masa 2, como

2 2

2 2

0

0

2

2

V V a S

V VS

a

2

2

m2.24

s 0.257mm

2 9.75s

H

La máxima altura que alcanza sobre el suelo es 2(0.6 m) + 0.257 m = 1.46 m



Una bolita de masa 5.00 g comprime 4.00 cm a un resorte de constante 14.8 N/mk

colocado sobre una mesa horizontal sin fricción de altura 1.20 m. La bolita abandona el

resorte justo en la orilla de la mesa y luego cae al suelo sin resistencia del aire. La bolita

debe caer sobre un carrito que viaja sobre el suelo hacia la mesa a razón constante de

9.00 km/h. ¿En qué posición debe encontrarse el carrito cuando se lanza la esfera para

que caiga justo dentro de él?

Solución

En este problema aplicaran conservación de la energía mecánica, movimiento

parabólico y movimiento en línea recta.

x

y

(0,0)

1.20 mH

V

v

ocX

Para la bolita:

2 2

2

1 1

2 2

N14.8 (0.04 m)

m 2.18 m/s0.005 kg

kx mv

v

Como:

2

2

2

1

2

1

2

2 1.20 m 0.495 s

9.8 m/s

oy yY V t a t

H gt

t

En x

0

fb bb

f o

b fb

X XV

t t

V t X


Para el carrito

0

0

fc cc

f o

fc c c

X XV

t t

X V t X

Al final el carrito y la bolita se encuentran en la misma posición.

fc fbX X

0

0

0

0

0

m m0.495s 2.18 2.50

s s

2.32m

b

b

c c

c c

c c

c

b

c

V t V t X

V t V t X

X t V V

X

X



El movimiento de un avión en el aire depende de cuatro fuerzas fundamentales, siendo

estas: la uerza de sustentación, el peso (actúan verticalmente sobre el avión), la tracción

y la resistencia (actúan horizontalmente sobre el avión). Si el viento sopla con una

rapidez de 42.0 m/s en la parte superior del ala y de 20.0 m/s en la parte inferior del ala,

la masa de la avioneta es de 1500 kg, el área de cada ala es de 9.00m2, determine el

espesor del ala del avión y la diferencia de presiones entre la parte superior e inferior

del ala.(Considere la densidad del aire 1.20 Kg/m3, 29.80 m/sg ).

Solución

Sustentación

ResistenciaTracción

Peso

A

B

sustentación

2sustentación

0

1,500 kg 9.80 m/s 14,700 N

yF F mg

F mg

Pero también se sabe que en el caso de los aviones:

sustentación

sustentación

2

2

14,700 N817 Pa

2 2 9 m

F P A

FP

A

Por la ecuación de Bernoulli

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

3

3 2

1 1 2 2

1

2

1

2

1

2

kg1 m m1.2 42.0 20.0 817 Pa

2 s sm0.120m

kg m1.2 9.80

m s

A A A B B B

A B B A B A

A B

A B

P gY V P gY V

V V P P g Y Y

V V P gh

V V P

hg

h



En la misión Red Bull Stratos el paracaidista FelixBaumgartner se lanzó desde un globo

especial desde una altura de 39,000 m sobre la superficie de la Tierra. Suponga que el

globo estaba estático respecto la superficie terrestre y desprecie los efectos resistivos de

la atmósfera.Si Baumgartner no hubiera usado paracaídas ¿con qué rapidez hubiera

llegado a la superficie terrestre? (Haga uso de la Ley de la gravitación universal).

Solución

Se utilizarán las siguientes variables

tm = masa de la tierra

pm = masa del paracaidista

TR = Radio de la tierra

H = Altura sobre la superficie de la tierra

2

2

2

2

1 12

o f

p t p t p

T H T

p t p t p

T T

tT T

E E

G m m G m m m v

R R R

G m m G m m m v

R H R

v GmR R H

211 24

2 6 6

Nm 1 12 6.67 10 5.98 10 kg

kg 6.37 1 0 m 6.37 10 m 39000m

m873

s

v

v



Un exploradorq ue se encuentra en un planeta desconocido decide realizar un

experimento con el cual pueda determinar el valor de la gravedad, para dicho

propósito toma una varilla de longitud 1.00m y masa de 0.250kg la desplaza un

pequeño ángulo, colocando el eje de rotación en la marca de 20.0cm, y establece que el

período de oscilación tiene un valor de 3.74s. Determine:

a. El valor de la gravedad en el planeta

b. ¿Cuálseríael valor de la fuerza de empuje que actuaría si se sumergiera

completamente una esfera de 2.00cm de radio en agua ( 31000 kg/m ) en ese

planeta?

c. Experimentalmente, ¿de qué forma podría determinar dicha fuerza?

Solución

Como se trata de un péndulo físico, se debe calcular el momento de inercia de

la varilla, en este caso en relación a un eje paralelo.

a.

2.

2 2

2 2

2

1 12

1 0.250kg 1.00m 0.250kg (0.300m)12

0.0433 kg m

p

p

p

I mL md

I

I

El período al ser un péndulo físico se calculará como.

2 pI

Tmgd

despejando g

2 22

2 2

2

4 0.0433 kg m4

0.250kg 0.300m (3.74s)

1.63m/s

pIg

mdT

g

b.

3.

3 2 3

2

41,000 kg/m 1.63 m/s

3

5.46 1 0 N

e

e

F gVol R

F

c. Entre las propuestas experimentales que podría dársele al explorador para

determinar la fuerza de empuje estarían.

Medir con dinamómetro el peso en aire y el peso en agua de la esfera.

Medir el volumen desalojado en un recipiente graduado.


DUODÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II

INSTRUCCIONES:

A continuación se le presenta una serie de cuatro problemas, resuélvalos correctamente



La figura adjunta muestre tres arcos circulares, no conductores, de radio 8.50R cm.

Las cargas en los arcos son 1 4 nCq , 2 1 3 12.00 , 2.00q q q q . Con 0V en el

infinito.

a. ¿Cuál es el campo eléctrico neto de los arcos en el centro común de la curvatura?

b. Si se coloca un electrón en el centro de la curvatura y se desea que escape del

sistema, ¿qué energía deberá imprimirle al electrón?


Un grupo de científicos especializados en ciencia de los materiales desea estudiar el

comportamiento de un nuevo material que acaban de sintetizar en el laboratorio. Se

monta un experimento para analizar la carga eléctrica que éste sustrae de los metales

con los que entra en contacto. Se crea un pequeño cubo con el material de masa61.0 10 kgm que es liberado dentro de un tubo aislante (rectangular) donde cabe

holgado. Al ser un experimento en el laboratorio no es posible eliminar la fricción por

completo, pero logran determinar que el coeficiente de fricción cinético entre el cubo y

la superficie interna donde roza es 0.275ku . Cuando se activa un campo eléctrico


externo constante con magnitud 500 kV/m en dirección (+ )E i se observa que el cubo

que parte del reposo se desplaza hacia la izquierda, resbalando (sin despreciar la

fricción) sobre una de las superficies del tubo rectangular y luego de recorrer 10 cm, su

rapidez llega a 2,700 m/s . El ángulo que se forma entre el campo eléctrico y el tubo por

donde se desplaza el objeto es 6

rad .Determine el signo y magnitud de la carga

eléctrica del cubo bajo estudio.Ignore los efectos de la gravedad.

L

E


El circuito mostrado en la figura, posee un capacitor experimental, el cual está

constituido por una varilla semicircular que actúa como polo negativo y el centro a una

distancia 90 mmR que funciona como polo positivo, ambos comparten una constante

dieléctrica 100K y se encuentra inicialmente descargado(descarte efecto de borde).

Con los datos anteriormente descritos calcule:

a. El valor del capacitor experimental ennF.

b. Si el interruptor conmuta de la posición 1 a la posición 2, ¿en cuánto tiempo

expresado en ms el capacitor experimental alcanza un voltaje de 10.0V?

c. Si después que el capacitor alcanza los 10.0V, el interruptor conmuta a la posición

1, ¿en cuánto tiempo expresado en ms la resistencia R3 disipará una potencia de

500nW?



La figura adjunta muestra un conductor cilíndrico largo de radio a , que posee un orficio

cilíndrico largo de radio b , los ejes de los cilindros son paralelos y están separados una

distancia d . Una corriente I , se distribuye uniformemente sobre la sección conductora

del cilindro (área sombreada en la Fig. 1).

a. Pruebe que el campo en el agujero es uniforme y que posee una magnitud:

4.

02 2

2

IdB

a b

b. Cuál es la dirección del campo magnético en el interior del agujero. Dibuje las líneas

de campo en el agujero.




La figura adjunta muestre tres arcos circulares, no conductores, de radio 8.50R cm.

Las cargas en los arcos son 1 4 nCq , 2 1 3 12.00 , 2.00q q q q . Con 0V en el

infinito.

a. ¿Cuál es el campo eléctrico neto de los arcos en el centro común de la curvatura?

b. Si se coloca un electrón en el centro de la curvatura y se desea que escape del

sistema, ¿qué energía deberá imprimirle al electrón?

Solución

a. Para el segmento de arco 1

x

y

1q

dE

5.

1 11

4

4

q q

RR

11 12 2; ; ;

kdq kdE dq ds Rd r R dE d

r

R

R


/4/4

11 1

0 0

( cos )sen= 1 cos

4x x

kk kE dE d

R R Ri

/4/411 1

0 0

(sen )cos= sen

4yy

kk kE dE d

R R Rj

Para segmentos de arco 2 y 3

x

y

dE

dE

2 3[ ]

[ ]

2 3

6.

1 13

2 8

3 3

4

q q

RR

Por simetría se cancela la componente en “y”

/2/2 /2

3 3 3

0 0 0

cos 2 (sen ) 22 cos 2 ( )x x

k k kE dE dE d

R R Ri

x

y

dE

dE

[ ]

32 [ ]

También se cancela “y”

/4/43 3 3

0 0

cos 2 (sen ) 22 sen ( )

4x

k k kE d

R R Ri

Por lo que el campo de estos dos segmentos, está dado por:

32 1 sen ( )

4

k

RE i

El campo total en el centro de curvatura, está dado por:


31 121 cos 1 sen sen

4 4 4

kk k

R R RE i j

Sustituyendo

1 13 18 4

y 3

q q

R R

1 1 1

1 1 12 2 2

1 12 2

4 8 42 1 cos 1 sen sen

4 3 4 4

4 16 41 cos 1 sen sen

4 4 43

4 44 41 cos sen sen

4 3 3 4 4

12,

q q qk k k

R R R R R R

kq kq kq

R R R

kq kq

R R

E i j

E i j

E i j

E N N

582.06 4,486.00C C

i j

b.

7. 0 0 f fU K U K

Donde fU y fK son igual a 0

8.

0 0

0 0

0

e V K

K eV

El potencial en el centro de la curvatura solamente se debe al segmento 1

x

y

dS Rd

[ ]

1

O

9.

/4

1 11 1

0

4

4 4

q kqVo dVo k d k k

R R

Por lo que

10. 171 6.776 10 Joulesekq

RK



Un grupo de científicos especializados en ciencia de los materiales desea estudiar el

comportamiento de un nuevo material que acaban de sintetizar en el laboratorio. Se

monta un experimento para analizar la carga eléctrica que éste sustrae de los metales

con los que entra en contacto. Se crea un pequeño cubo con el material de masa61.0 10 kgm que es liberado dentro de un tubo aislante (rectangular) donde cabe

holgado. Al ser un experimento en el laboratorio no es posible eliminar la fricción por

completo, pero logran determinar que el coeficiente de fricción cinético entre el cubo y

la superficie interna donde roza es 0.275k . Cuando se activa un campo eléctrico

externo constante con magnitud 500 kV/m en dirección (+ )E i se observa que el cubo

que parte del reposo se desplaza hacia la izquierda, resbalando (sin despreciar la

fricción) sobre una de las superficies del tubo rectangular y luego de recorrer 10 cm, su

rapidez llega a 2,700 m/s . El ángulo que se forma entre el campo eléctrico y el tubo por

donde se desplaza el objeto es 6

rad .Determine el signo y magnitud de la carga

eléctrica del cubo bajo estudio.Ignore los efectos de la gravedad.

L

E

Solución

Se tienen los siguientes datos

61.0 10 kgm

0.1 mL

6 rad

0.275k

0 0 m/sv

32.7 10 m/sfv

500 kV/m en dirección (+ )E i

Diagrama de cuerpo libre

L

E


xy

N

EF

kf

11. Σ 0seny EF N F

12. sen senEN F qE

13. senk k kf N qE

De la definición de trabajo, se calcula el trabajo de la fricción:

14. 0

cos

L

f k kW fk dl f dl f L

Dado que se puede determinar el trabajo realizado por la fricción, y la fuerza

eléctrica es conservativa, se puede utilizar conservación de la energía para

completar la solución del problema:

15. 0Δ f fE E E W

16. 0 0( )f f fK U K U W

Se sabe que el bloque parte del reposo, por lo que 0 0 JK , y que el cambio de

la energía potencial está dada por:

0Δ ΔfU U U q V

Por lo que finalmente:

Δf fK q V W

La diferencia de potencial se calcula con la integral:

0

cos

L

V E dl EL


Obviamente 7 / 6 , por lo que la conservación de la energía nos lleva a:

17. 21

cos sen2

f kmv qEL qEL

Por lo que la carga que ha adquirido el bloque está dada por:

18.

2

6

2 cos

72.64 10 C 72.64 C

sen

f

k

mvq

EL

q



El circuito mostrado en la figura, posee un capacitor experimental, el cual está

constituido por una varilla semicircular que actúa como polo negativo y el centro a una

distancia 90 mmR que funciona como polo positivo, ambos comparten una constante

dieléctrica 100K y se encuentra inicialmente descargado(descarte efecto de borde).

Con los datos anteriormente descritos calcule:

a. El valor del capacitor experimental ennF.

b. Si el interruptor conmuta de la posición 1 a la posición 2, ¿en cuánto tiempo

expresado en ms el capacitor experimental alcanza un voltaje de 10.0V?

c. Si después que el capacitor alcanza los 10.0V, el interruptor conmuta a la posición

1, ¿en cuánto tiempo expresado en ms la resistencia R3 disipará una potencia de

500nW?

Solución

a. Cálculo dela capacitancia

100RK

100RK

Q

R

dq ds

ds Rd

KdqdV

R

K Rd

R

K d

a

B

K

R


Integrando

/2

0

= 2 V K d k d

Entonces

2

2p

KV K

Sustituyendo

Q

R

= p

KQ KQV

R R

Como oQ C V , entonces

o

o

C KQQ

R

RC

K

Calculando la capacitancia con dieléctrico.

K R o

R

C C

R

K

Por lo que el valor de la capacitancia está dado por:

3

29

2

100 90.0 10 m 1.00nF

N m9.00 10

C

kC

b.

1

t

RCt fV V e

RC

6 910.0 10 1.00 10 10.0msF

3

3

10 10

10 10

10.0 V 24.0 V 1

10.0 V 1

24.0 V

t

t

e

e

3 101 0.0 10 1 24

5.39 ms

lnt

t


c.

6 9 23.0 10 Ω 1.00 10 F

23. ms

500 nWP

2 P i R

Pi

R

9

3 6

93

500 10

8.00 10 Ω

250 10 A

R

R

Wi

i

Calculo por medio de la corriente en serie para determinar el tiempo.

3

3

9 23.0 10 s6

23.0 10 s

3

10.0 250 10 A

23.0 10 Ω

0.575

23.0 1 0 s ln 0.575

12.7 ms

t

c RCt

t

t

t

Vi e

R

ve

e

t

t



La figura adjunta muestra un conductor cilíndrico largo de radio a , que posee un orificio

cilíndrico largo de radio b , los ejes de los cilindros son paralelos y están separados una

distancia d . Una corriente I , se distribuye uniformemente sobre la sección conductora

del cilindro (área sombreada en la Fig. 1).

a. Pruebe que el campo en el agujero es uniforme y que posee una magnitud:

19.

02 2

2

IdB

a b

b. Cuál es la dirección del campo magnético en el interior del agujero. Dibuje las líneas

de campo en el agujero.

Solución

a. La densidad de corriente en el conductor está dada por:

20.

2 2IJ

a b

El resultado se obtiene aplicando superposición, se calcula el campo magnético

en un punto cualquiera del interior del agujero producido por un conductor de

radio r a con densidad de corriente J en toda su sección y luego se resta el

campo producido en el mismo punto producido por un conductor de radio menor

que r b situado en la posición del agujero, que transporta la misma densidad

de corriente y obtenemos el resultado, dicha superposición debe considerarse

vectorialmente.

Aplicando la ley de Ampere, en el interior de un conductor de radio r a , con

densidad de corrienteJ

21.

2

0

20

0

2

2

B dl J r

B r J r

JrB

22.


El campo magnético B es proporcional a r r y perpendicular a r̂ , por lo que

se puede escribir vectorialmente:

23. 0 ˆ/ 2B Jr r

El campo magnético que habrá que restar debido al agujero quedará

representado de la misma manera:

24.

** *0 ˆ

2

JrB r

Por lo tanto el campo resultante está dado por:

25.

** *0 0

2 2ˆ ˆR

Jr JrB B B r r

26.

* *0

2ˆ ˆR

JB rr r r

Como se puede observar del diagrama vectorial, el triángulo formado por los

vectores * * ˆ ˆˆdu rr r r , y los vectores * *ˆ ˆˆcu rr r r , son congruentes.


Por lo que c d y el campo se puede escribir finalmente:

27.

0 0

2 22ˆ

2ˆR

J IdB du u

a b

b. Como se observa del resultado final, y dado que es para cualquier punto en el

interior del agujero, el campo es uniforme y en la dirección de û


4.3 QUÍMICA

DUODÉCIMA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I

INSTRUCCIONES:

A continuación, se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y

valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, tabla de factores de conversión,

ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular. El tiempo de la prueba

es de 120 minutos.

PRIMERA SERIE: Selección múltiple (50 pts.)

Consta de 20 preguntas de selección múltiple todas corresponde a la parte teórica.

Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte de

atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.

1. Un rollo de papel aluminio mide 66.7 yardas de largo, 12 pulgadas de ancho y 0.00030

pulgadas de grueso. ¿Cuál es la masa en gramos, del papel aluminio?

a. 380.62

b. 0.02

c. 32.4

d. 0.006

e. 52.21

2. Es un propiedad extrínseca o general de la materia EXCEPTO:

a. Masa

b. Volumen

c. Temperatura

d. Calor específico

3. ¿Con que elemento de los descritos, el Potasio tendrá más similitud en sus

propiedades periódicas?

a. Elemento del 4to periodo columna VIIA.

b. Elemento que posee 19 electrones.

c. Elemento que posee la siguiente configuración electrónica:1s2 2s2 2p6 3s1.

d. Elemento que se halla al final del cuarto período.

e. Elemento que posee 18 electrones.


4. De la capacidad relativa de un elemento para atraer electrones en un enlace

afirmamos:

a. Se conoce como Afinidad electrónica

b. En un periodo aumenta de derecha a izquierda

c. En un grupo disminuye al aumentar el radio atómico.

d. Dos elementos con capacidad de atraer electrones muy similares formaran

enlaces iónicos.

e. Los elementos más electronegativos están en la esquina inferior izquierda

de la tabla periódica.

5. Dado los elementos A(z=9), B(z=17) y C(z=11) de los compuestos AB y AC, se puede

afirmar que:

a. Ambos son iónicos

b. Ambos son covalentes

c. AC es covalente y AB es iónico

d. AC es iónico y AB es covalente

e. Ninguna es correcta

6. El carbono y el oxígeno se mantienen unidos para formar dióxido de carbono

mediante el enlace del tipo:

a. Covalente simple

b. Covalente doble

c. Covalente triple

d. Covalente coordinado

e. Iónico

7. Cuál de los siguientes es un hidrácido

a. CaO

b. H2S

c. PH3

d. KCl

e. NaCs

8. Cuál es el nombre del Anhídrido Sulfúrico en el sistema Stock.

a. Dióxido de Azufre

b. Trióxido de Azufre

c. Óxido de Azufre IV

d. Óxido de Azufre VI

e. Óxido de Sulfúrico III


9. Cuál de los siguientes no es anhídrido en el sistema clásico.

a. CO2

b. B2O3

c. PO2

d. TeO

e. Cl2O5

10. La fórmula del Ácido Mangánico es:

a. H3MnO3

b. H2MnO3

c. HMnO3

d. H2MnO4

e. HMnO4

11. Según su mecanismo las reacciones pueden ser

a. Exotérmicas

b. Redox

c. Rápidas

d. Descomposición

e. Reversibles

12. Cuál de las siguientes proposiciones es falsa para el Hidróxido de Calcio

a. El nombre común es cal apagada

b. El nombre común es cal hidratada

c. Es una reacción metátesis

d. Es una reacción exotérmica

e. Es una reacción de síntesis

13. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta para las propiedades periódicas de los

elementos?

a. La combustión es una de ellas.

b. El potencial de ionización mide lo inverso de lo que mide la afinidad

electrónica.

c. Los elementos que poseen alta electronegatividad poseen baja afinidad

electrónica.

d. Los radios atómicos aumentan en un periodo de izquierda a derecha.

e. Dentro de un grupo el carácter metálico aumenta de arriba a abajo.


14. En una tabla periódica, los elementos que forman parte del mismo grupo poseen

igual:

a. energía de ionización

b. Radio iónico

c. Número de electrones de valencia

d. Radio atómico

e. Número de protones

15. Los elementos del grupo 8A se conocen como:

a. Calcógenos

b. Metales alcalinotérreos

c. Metales alcalinos

d. Halógenos

e. Gases nobles.

16. En referencia al tamaño los aniones son:

a. Más grandes que los átomos de los que se originan

b. Más pequeños que los átomos de los que se originan

c. Del mismo tamaño que los átomos de los que se originan

d. Levemente menores que los átomos de los que se originan

e. No ha sido determinado

17. En el isótopo 197Au hay _____ protones, _____ neutrones, y _____ electrones.

a. 197, 79, 118

b. 118, 79, 39

c. 79, 197, 197

d. 79, 118, 118

e. 79, 118, 79

18. La plata tiene 2 isótopos:

107

47 Ar 107

47 Ar

106.90509 108.9047

La masa atómica promedio de la plata es 107.8682 umas, por lo tanto la abundancia

relativa del isótopo menos pesado es:

a. 0.24221

b. 0.48168

c. 0.51835

d. 0.75783

e. 0.90474


19. Indique el enunciado incorrecto

a. Los gases son altamente compresibles.

b. Las distancias entre moléculas de gas son bastante grandes comparadas

con las distancias entre moléculas de líquidos.

c. Las mezclas de gases inertes son homogéneas.

d. Los gases se expanden de manera espontánea para llenar el recipiente en

el que están confinados.

e. Todos los gases son incoloros e inodoros a temperatura ambiente.

20. Las mezclas de gases:

a. Solamente pueden contener moléculas

b. Son heterogéneas

c. Solamente pueden contener átomos aislados

d. Son homogéneas

e. Deben contener moléculas, átomos e iones

SEGUNDA SERIE: (50 puntos):

A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de

trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada de todo

su procedimiento y todas sus suposiciones. Resalte sus resultados y ecuaciones más

importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.

Problema 1 (Análisis Dimensional)

Para conservar el agua, los químicos aplican una delgada película de un cierto material

inerte sobre la superficie del agua para disminuir su velocidad de evaporación. Esta

técnica fue introducida por Benjamín Franklin, quien encontró que 0.10 mL de aceite

podría extenderse cubriendo una superficie de 40 metros cuadrados de agua.

Suponiendo que el aceite forma una monocapa, es decir, una capa cuyo grosor es de una

molécula, determine la longitud en nanómetros de cada molécula de aceite.

Problema 2 (Teoría Atómica)

El átomo de hidrógeno es ionizado generando una corriente. El potencial de frenado es

de 15 V. ¿Cuál es la longitud de onda (µm) de la radiación que genera este fenómeno?


Problema 3 (Enlace)

El compuesto KXO4 es utilizado en desinfectantes y desodorantes, también para tratar

algunas enfermedades parasitarias de los peces, o en el tratamiento de algunas

infecciones de la piel como hongos o dermatosis.

a. Dibuje la estructura de Lewis del compuesto, sabiendo que el elemento X posee el

siguiente conjunto de números cuánticos (3, 2, 2, ½).

b. Determine la carga formal para el átomo central.

c. Describa los tipos de enlace en la estructura

Problema 4 (Estequiometria)

Para el lanzamiento de un coheteespacialse

utilizaaluminiometálicoypercloratodeamonio,NH4ClO4,comocombustiblesólidode

cohetesreutilizables. La ecuación delareacción es:

g4 3s 4 s 2 s 3 s) g

( 2A Cl Ol NH O Al AlCl NO H O

Para el lanzamiento de un prototipo se utilizan 7.75g deAl y9.32gde NH4ClO4.¿Si el

rendimiento de la reacción es del 73%, ¿Cuántas moléculas de cloruro de aluminio

3 (AlCl ) se formaron en el despegue de la nave?

Problema 5 (Gases)

En un recipiente rígido a 25 °C, hay una mezcla formada por 0.35 molar de un gasA y

un gas B a una presión de 0.84 atm, cuya densidad es de 1.1768 g/L. Se agrega más gas

A, a la mezcla y la densidad es ahora 1.5436 g/L con una compresión a 1.2 atm en un

proceso isotérmico. Determine la fracción de cada componente en la nueva mezcla y la

masa molar de A y B.



PRIMERA SERIE

1. a 6. b 11. d 16. a

2. d 7. b 12. c 17. e

3. c 8. d 13. b 18. c

4. c 9. c 14. c 19. e

5. d 10. d 15. e 20. d

SEGUNDA SERIE

Problema 1 (Análisis Dimensional)

Para conservar el agua, los químicos aplican una delgada película de un cierto material

inerte sobre la superficie del agua para disminuir su velocidad de evaporación. Esta

técnica fue introducida por Benjamín Franklin, quien encontró que 0.10 mL de aceite

podría extenderse cubriendo una superficie de 40 metros cuadrados de agua.

Suponiendo que el aceite forma una monocapa, es decir, una capa cuyo grosor es de una

molécula, determine la longitud en nanómetros de cada molécula de aceite.

Solución

30.10 mL 0.10 cmV

2 5 240 m 4 10 cmA

37

5 2

0.10 cm espesor 2.5 10 cm

4 10 cm

2.5 nm

H

H

Respuesta:

2.5 nm


Problema 2 (Teoría Atómica)

El átomo de hidrógeno es ionizado generando una corriente. El potencial de frenado es

de 15 V. ¿Cuál es la longitud de onda (µm) de la radiación que genera este fenómeno?

Solución

E

q

19 18(15 V) 1.6 10 C 2.4 10 JE q

Utilizando el valor de la energía potencial para el hidrógeno, tomado de la tabla

periódica

19 18(13.598 V) 1.6 10 C 2.1756 10 JE q

Determinando el valor de la longitud de onda:

ck p

hE E

18 182.4 10 J 2.1756 10 J ch

34 8

18 18

6

6.626 10 J s 3 10 m/s

2.4 10 J 2.1756 10 J

4.34 10

4.34 m


Problema 3 (Enlace)

El compuesto KXO4 es utilizado en desinfectantes y desodorantes, también para tratar

algunas enfermedades parasitarias de los peces, o en el tratamiento de algunas

infecciones de la piel como hongos o dermatosis.

a. Dibuje la estructura de Lewis del compuesto, sabiendo que el elemento X posee el

siguiente conjunto de números cuánticos (3, 2, 2, ½).

b. Determine la carga formal para el átomo central.


Solución

a. Dibuje la estructura de Lewis del compuesto, sabiendo que el elemento X posee

el siguiente conjunto de números cuánticos (3, 2, 2, ½).

1. El electrón diferencial en la posición (3, 2, 2, ½) se encuentra en 3d5, por lo

tanto, el elemento corresponde al Manganeso (Mn).

2. El compuesto queda de la siguiente forma: KMnO4 (Permanganato de Potasio)

3. Realizar el diagrama de los puntos de Lewis para cada elemento presente en el

compuesto utilizando los electrones de valencia.

4. Determinar el número de oxidación del átomo central.

KMnO4

1(1) 1( ) 4( 2) 0

7

x

x

El número de oxidación del manganeso es de 7, por lo cual debe de dar sus 7

electrones de valencia para formar la estructura.

5. Realizar la estructura de Lewis


b. Determine la carga formal del átomo central

carga formal de valencia # de enlaces librese e

carga formal Mn 7 6 0

carga formal Mn 1


2 enlaces covalentes dobles

1 enlace covalente simple

1 enlace covalente coordinado

1 enlace iónico


Problema 4 (Estequiometria)

Para el lanzamiento de un coheteespacialse

utilizaaluminiometálicoypercloratodeamonio,NH4ClO4,comocombustiblesólidode

cohetesreutilizables. La ecuación delareacción es:

g4 3s 4 s 2 s 3 s) g

( 2A Cl Ol NH O Al AlCl NO H O

Para el lanzamiento de un prototipo se utilizan 7.75g deAl y9.32gde NH4ClO4.¿Si el

rendimiento de la reacción es del 73%, ¿Cuántas moléculas de cloruro de aluminio

3 (AlCl ) se formaron en el despegue de la nave?

Solución

¿Cuántas moléculas de cloruro de aluminio ( 3 AlCl ) se formaron en el despegue

de la nave?

1. Antes realizar los cálculos estequiométricos se debe de balancear la reacción

química por tanteo o el método algebraico, quedando de la siguiente forma:

s 4 4 s 2 3 s 3 s g 2 g3Al 3NH ClO Al O AlCl 3NO 6H O

2. Determinar los moles de cada reactivo involucrado en la reacción química.

1 mol Al

7.75 g Al 0.2872 mol Al26.98 g Al

4 4 4 4 4 4 4 4

1 mol NH ClO9.32 g NH ClO 0.0793 mol NH ClO

117.49 g NH ClO

3. Determinar el reactivo limitante, utilizando la reacción química balanceada

correctamente.

0.2872 mol Al

Aluminio : 0.0957 3 mol Al

4 4

4 4

0.0793 mol NH ClOPerclorato : 0.0264

3 mol NH ClO

El perclorato de amonio ( 4 4 NH ClO ) es el reactivo limitante de la reacción ya

que 0.0264 0.0957

4. Calcular la cantidad de moléculas de 3 sAlCl que se formaron en el despegue

a partir del reactivo limitante y la reacción química balanceada.

233 3

4 4 4 4 3

223

1 mol AlCl 6.022 10 moléculas de AlCl0.0793 mol NH ClO

3 mol NH ClO 1 mol AlCl

1.5918 10 moléculas de AlCl


5. El problema indica que el rendimiento de la reacción es de 73%, por lo tanto,

se debe de determinar la cantidad de moléculas producidas a este rendimiento

R. Experimental

%R 100R. Teórico

%R R.TeóricoR. Experimental

100

223

223

73 1.5918 10 moléculas de AlClR. Experimental

100

1.1620 10 moléculas de AlCl

Respuesta:

Se formaron 221.1620 10 moléculas de cloruro de aluminio ( 3 AlCl ) en el

despegue de la nave

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