XV OLIMPIADA CHILENA DE FISICA 2007

PRUEBA TEORICA

Problema 1. (12 puntos) Dos bloques de masas mmA = y mmB 2= , están unidos por una cuerda ideal “floja” (no tensa). El contacto de los cuerpos con la superficie horizontal es rugoso y los coeficientes de roce estático y cinético son eµ y dµ respectivamente, con de µµ > . En el momento en que ambos bloques están en reposo, se comienza a aplicar una fuerza de módulo F constante, y que forma un ángulo ϕ con la horizontal.

a) (4 puntos) Calcular el valor máximo de F de manera que el bloque A no se mueva. b) (4 puntos) Suponga que F es suficiente para que el cuerpo A se mueva, pero

cuando la cuerda se pone tensa no logra mover al bloque B. Entonces, A se detiene y ahora el conjunto se encuentra en reposo, con la cuerda tensa, y con la misma fuerza F aplicada sobre el cuerpo A. ¿Cuál es la tensión de la cuerda en función del valor de F ?

c) (4 puntos) Suponga que, con la cuerda tensa, se aumenta la fuerza F hasta que es suficiente para que ambos bloques A y B se muevan. Calcular la tensión en la cuerda en función del valor de F y otros parámetros del problema.

B A

2mm

ϕF

SOLUCION. (a) Máximo de F de modo que A no se mueva.

)sin(cos , ϕµϕ MAXeMAXeMAX FmgfF −== ,

y

mgFe

eMAX ϕµϕ

µsincos +

= .

(b) Si MAXFF > ,1

ϕµϕϕµϕϕsincos

sin1sinsine

eMIN mgFmgFmgN

+−

=−<−= ,

1 Nótese que F no puede tener cualquier valor superior a

MAXF . Esto, porque si mgF >ϕsin , el bloque “se despega”. Efectivamente, debe satisfacerse

ϕϕϕµϕϕµ

sinsinsincossin mgFmg

e

e <<+

fe

El máximo de F para que B no se mueva es cuando se alcanza la tensión mínima que produce el movimiento, esto es

mgfT eBMAXeMIN 2, µ== .

Pero, si B no se mueve, A no se mueve; luego en ese caso el equilibro de A nos da

0)sin(cos =−−− TFmgF e ϕµϕ Entonces, B no se mueve si

ϕµϕµ

ϕµϕµ

sincos3

sincos)2(

e

e

e

e mgmgmgF

+=

++

< .

Si esta es la situación, entonces2

mgFT ee µϕµϕ −+= )sin(cos . (c) El conjunto se mueve solidariamente. La tensión ahora sobrepasa mgT eMIN µ2= , porque F es suficiente para ello. Las ecuaciones dinámicas son:

TmgFTFmgFma ddd −−+=−−−= µϕµϕϕµϕ )sin(cos)sin(cos , mgTma d 22 µ−= .

de donde, eliminando a entre ambas ecuaciones,

TmgFmgT ddd 22)sin(cos22 −−+=− µϕµϕµ , queda

)sin(cos32 ϕµϕ dFT += .

2 Evidentemente, este resultado no está aegurado por el límite para F discutido en la nota anterior, pues se tendría que

ϕµϕµϕϕ

µϕµϕ cot)sin(cossin

)sin(cos mgmgmgmgFT eeee =−+<−+= ,

y no está asegurado que eµϕ 2cot < , para que mgT eµ2< .

B A

2m m

ϕ F

Problema 2. (12 puntos) Un platillo de masa M descansa sobre un resorte de constante k, dentro de un recipiente, y comprimiendo el resorte una longitud a desconocida. Un objeto pegajoso, de masa m, se deja caer hacia el platillo, desde una altura h respecto de la base del platillo. El choque contra el platillo es inelástico puesto que el objeto queda adherido al platillo, después de lo cual el conjunto comienza oscilar. No considere efectos de roce en los bordes del recipiente ni de ningún otro tipo, y use los principios de conservación que sean aplicables.

a) (6 puntos) Determine la velocidad del conjunto platillo-objeto, inmediatamente después del choque. Suponga que la fuerza que ejerce el resorte no tiene un efecto importante durante el brevísimo tiempo que dura el choque.

b) (3 puntos) Determine la distancia vertical que baja el conjunto platillo-objeto, una vez producido el choque y desde la posición inicial del platillo.

c) (3 puntos) Determine la amplitud de oscilación del conjunto platillo-objeto, esto es, la distancia máxima que se aleja el conjunto del punto de equilibrio de la oscilación.

a

k

M

m

h

k

SOLUCION.

Problema 3. (12 puntos)

El modelo de isostasia en geología considera que las montañas flotan en un sustrato más denso, el manto de la Tierra, y las montañas más altas penetran también más profundamente en el manto. Para analizar este modelo, suponga que un cubo de arista L y densidad ρ flota en un líquido de densidad ρ0, con una altura L1 sobre la superficie y una altura L2 dentro del líquido (L1 + L2 = L).

a) (6 puntos) Deduzca fórmulas para L1 y L2 en función de L y los demás parámetros. b) (3 puntos) Muestre que L1 y L2, aumentan cuando L aumenta, demostrando así el

efecto de isostasia. c) (3 puntos) Por mediciones de la sismicidad, se estima que el manto superior tiene

una densidad media de 3.4 g/cm3 (peridotita), mientras que la corteza continenal (donde abunda el granito) tiene una densidad media de 2.7 g/cm3. Estime el grosor de la corteza en las zonas más altas de la cordillera de Los Andes.

SOLUCION: (a) La flotación de la corteza en el manto superior, 1L y 2L . Supongamos que el cubo tiene área horizontal A (cuyo valor es irrelevante, como se verá). La ecuación de equilibrio para el cubo flotando en el líquido es:

0=−EMg , donde Mg es el peso del cubo y E es el empuje. La expresión para el empuje es

gALE 20ρ= , y como ALM ρ= , entonces

20ALAL ρρ = , de donde

LL0

2 ρρ= .

Por consiguiente, 1L en términos de L :

LL )1(0

1 ρρ−= .

(b) Puesto que 1/ 0 <ρρ , vemos que tanto 1L como 2L son proporcionales a L .

L1

L2 ρ

ρ0

(c) El grosor de la corteza. Las zonas más altas de Los Andes, en el monte Aconcagua, tienen un 71 ≈L km. Vemos que el coeficiente

8.04.37.2

0

≈=ρρ ,

entonces

352.07

10

1 ==−

=

ρρ

LL km.

Ese es el valor medio que se estima actualmente para la corteza continental.

Problema 4. (14 puntos) La Estación Espacial Internacional (EEI) depende del continuo envío de combustible, provisiones y equipamiento, el cual es realizado mediante vehículos espaciales de EEUU y Rusia. A fines de este año 2007, la Agencia Espacial Europea tiene previsto utilizar un vehículo ATV (Automated Transfer Vehicle), cuyo nombre es Julio Verne. Desde el puerto espacial de Kourou, Guayana francesa (ubicada en Sudamérica), el ATV será puesto en una órbita circular a 300 km de altura, y en el mismo plano de la órbita circular que describe la EEI, la cual se encuentra a una altura de 350 km. Una vez que el ATV esté en su órbita se pasará a una órbita elíptica de transferencia para lograr el encuentro con la EEI, como se muestra en la figura.

El propósito de este problema es evaluar los

cambios de energía gravitacional y cinética involucrados, para las consideraciones de combustible en la operación.

Las siguientes ecuaciones serán útiles: (1) La energía potencial gravitacional

de un satélite de masa m, en órbita en torno a la Tierra, a una distancia R del centro de la Tierra, es

RmMGE T

g −= ,

La energía cinética del satélite usted sabe evaluarla.

Tabla I. Datos

Radio de la Tierra mT61037,6 ⋅=R

Radio de la órbita circular del EEI mISS

61072,6 ⋅=R

Radio de la órbita circular de la ATV mATV

61067,6 ⋅=R

Constante de Gravitación Universal

22kgNm −−⋅= 111067,6G

Masa de la Tierra gMT k241098,5 ⋅=

Masa del ATV gm k41008,2 ⋅=

Orbita EEI

XV OLIMPIADA CHILENA DE FÍSICA UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA

7, 8 y 9 Noviembre 2007

(2) El momento angular de un satélite en órbita gravitacional se conserva. Esto significa

lo siguiente: si la órbita es elíptica entonces las velocidades 1v y 2v en dos puntos cualesquiera de la órbita de un satélite de masa m satisfacen:

222111 sinsin θθ RmvRmv = ,

donde 1θ ( 2θ ) es el ángulo entre el radio 1R ( 2R ) que une el satélite con la Tierra y la dirección de la velocidad 1v ( 2v ) del satélite.

Con la información anterior y los datos de la Tabla calcule:

a) (3 puntos) Las velocidades orbitales EEIv y ATVv y los periodos EEIT y ATVT de la EEI y del vehículo ATV en sus correspondientes órbitas circulares.

b) (3 puntos) Mediante el encendido de su motor, el ATV inicia su paso a la órbita elíptica de transferencia en el punto A (ver figura). ¿A qué valor Av debe aumentar la velocidad del ATV en ese punto?

c) (3 puntos)¿Cuánta energía consume el motor en la maniobra anterior (aparte de lo que se pierde y que usted no debe evaluar aquí)?

d) (3 puntos) En el punto de encuentro B el ATV alcanza la órbita circular de la EEI (solo coincide con ella, porque el ATV se encuentra en órbita elítica. ¿Cuál es la velocidad Bv del ATV en dicho punto?

e) (2 puntos) Para realizar el acoplamiento, el ATV debe modificar su velocidad para entrar en la órbita circular de la EEI, mediante el encendido de su motor. ¿Cuánta energía consume el motor en esta maniobra?

SOLUCION.

Problema 5. (10 puntos)

Un reloj funciona en base a un rayo láser que va y vuelve entre dos puntos A y B separados una distancia conocida D. Una fotocelda registra los “tics” y” tacs” en los puntos A y B.

Un experimentador decide comprobar la predicción de Einstein de que si la velocidad de la luz en el vacío es una constante universal c, entonces la marcha del tiempo es relativa al observador. Para ello, ubica el reloj mencionado en un vehículo que se desplaza a una velocidad v relativa al laboratorio, alta comparada con c. El reloj está dispuesto de tal forma que el haz de luz viaja perpendicularmente al movimiento del vehículo (ver figura). Aplicando la constancia de la velocidad de la luz a lo largo de su camino, determine la predicción relativista para:

a) (4 puntos) El tiempo del viaje de ida y vuelta de la luz para un observador en el vehículo.

b) (4 puntos) El tiempo de viaje de ida y vuelta de la luz para un observador en el laboratorio. Este caso requiere un análisis más cuidadoso, y le conviene dibujar la posición del reloj, relativa al laboratorio, en los instantes en que la luz sale de A, cuando llega a B y cuando vuelve a A. es este tiempo menor o mayor que el anterior.

c) (2 punto) Diga cuál de los dos tiempos es menor.

SOLUCION. (a) Tiempo para el observador que viaja con el reloj.

En el vehículo, la luz va y vuelve una distancia total L2 . Luego,

cLTP2= .

(b) Tiempo para el observador en el laboratorio.

D

A

B

v

Desde el laboratorio, tanto en el viaje de ida como el de vuelta la luz recorre en cada caso

una distancia 22 )2

( TvD + . Como la luz recorre esa distancia a la misma velocidad c,

entonces

2

22222

412)2/(2

DTv

cD

cTvD

T +=+

= ,

de donde, 2

2

2

22 4)1(

cD

cvT =− , lo que implica

2

2

1

2

cvcD

TLAB−

= .

(c) Como 1/1 22 <− cv ,

LABP TT < .

D

A

B

v

D

A

B

v

D

A

B

v

vT/2 vT/2