UNIVERSIDAD AUTONOMA DE GUERRERO

UNIDAD ACADEMICA DE MATEMATICAS

X JORNADA CIENTIFICO ESTUDIANTIL 2015

CONSTRUCCION ALTERNATIVA DE LA CURVA

DE SIERPINSKI

EQUIPO:

ELIZABETH SANTOS CASILDO.

LILIANA IVETH REYES HERNANDEZ.

Chilpancingo Gro. 03 de junio del 2015

INTRODUCCIÓN

Waclaw Franciszek Sierpinski (1882-1969), autor de más de 724

trabajos y 50 libros, introdujo en 1915 una curva continua que, como la Curva de Koch, tienen longitud infinita y no tiene tangente en ninguno de sus puntos, [1]; fue construida con la finalidad de dar contra ejemplos en la formalización del Cálculo; tal curva se conoce, en la literatura matemática, por Curva de Sierpinski.

En este trabajo daremos una definición alternativa de la Curva de Sierpinski construida también mediante poligonales.

DESARROLLO

Desde nuestra perspectiva, utilizaremos las ideas de la teoría de las poligonales para construir la curva de Sierpinski mediante las siguientes definiciones: Se entiende por poligonal o curva poligonal de n puntos o vértices

La unión de los segmentos

Llamados lados de la poligonal, de tal modo que el vértice final

Del lado es el vértice inicial del lado

Con i=1,2,3,…..,n; de manera que dos segmentos con un vértice común no pueden pertenecer a la misma recta.

Representaremos una poligonal de n puntos por

Una poligonal es cerrada si el vértice final de su último lado coincide con el vértice

inicial del primer lado, es decir, de lo contrario es abierta.

Llamamos longitud de la poligonal a la suma de las longitudes de

cada uno de sus lados, denotada por:

CONSTRUCCIÓN CLASICA DE LA CURVA DE SIERPINSKIEs común la curva de Sierpinski utilizando la idea del triángulo de Sierpinski.

Pensemos en una Región Triangular equilátera ABC, con AB=1.

Llamamos a este triángulo el iniciador o luego restamos de la región

triangular abierta formada por los puntos medios de los lados de

Asi se obtiene el triángulo ABC desprovisto de su triangulo central, que es la unión de tres

regiones triangulares de tamaño ½ del (ABC) y que designamos cómo

es decir,

Este proceso de extracción de regiones triangulares abiertas se repite una y otra vez.

B

A C

CONSTRUCCIÓN ALTERNATIVA DE LA CURVA DE SIERPINSKI

q1, q2 ,q3 ,. . . .. , qnq1 q2 , q2 q3 ,

. . .. . ,qn−1 qn ,

q i−1q i−1q iq i−2 q i−1

p(q i)=q1 q2q3. . . .. qn−1qn

q1=qn

p(q i)n

L( p(q i)n )=∑k=1

n−1

qk qk+1 .

T 0T 0

T 0 .T0A

T 1 ,T 2 , T 3 , T S 1 ,

T S 1=T0−T 0A=T 1∪T2∪T 3 .

T S 3T S 2T S 1T S0 T 1

A

T 0A T 0

A

T 2AT 3

A

T 0A

Para construir la Curva de Sierpinski considérese la Región Triangular R ( (ABC)), donde

AB=BC=CA=1. La Curva de Sierpinski es la situación límite de un proceso infinito que consiste

en una sucesión, de etapas de construcción.

Para una construcción alternativa de la Curva de Sierpinski comencemos por esclarecer quéentendemos por el interior de una poligonal abierta, lo haremos para ciertas poligonales quenos interesan específicamente en la construcción de la Curva de Sierpinski.

Definición 1.- Una región triangular R ( (ABC)), es la unión del c (ABC) con su interior; [4].Definiremos el interior de una poligonal que cumple con los siguientes puntos:

1.- La poligonal debe estar contenida en la R ( (ABC)).

2.- La poligonal debe ser abierta.

3.- La poligonal debe ser simple.

4.- El punto inicial de la poligonal es el punto y su punto final es

Las poligonales que cumplen con estos cuatro puntos las llamamos poligonales triangulares de

tamaño AB, que simplemente se denotará por: Definición 2.- (Punto interior a una poligonal ). Diremos que un punto w R

( (ABC))

un punto interior a la poligonal , si puede ser unido mediante una poligonal simple y

abierta , al segmento AB sin intersecar a la poligonal y w

Definición 3.- El interior de la poligonal es el conjunto de todos los puntos interiores a

la poligonal y se denota como int

En la primera etapa de construcción se consideran los puntos medios y de AC y

BC respectivamente. Obteniendo de esta manera la poligonal , llamada, por Mandelbrot,

Terágono; , en donde los puntos y

representa la poligonal determinada por los puntos

Sk

P (q i )nP (q i )n

P (q i )n

A=qn .A=q1P (q i )n

PABΔ

PABΔ

PABΔ

∈

PABΔPAB

Δ ∉P (a i )m

PABΔ

( PABΔ )PAB

Δ

q3q2

SkP (q2i2 )4

q1q2 q3 q4 .B=q4

A=q1S1=P(q i)4=q1 q2 q3 q4=q1 q2∪q2 q3∪q3 q4

S1

S1P (q1i

2 )4 P (q2i2 )4

De manera general, la etapa k-ésima , se obtiene al sustituir cada uno de los lados de la

poligonal , por , donde , es

el número de vértices, y contiene lados de longitud , de la siguiente

manera:

donde y ; el subíndice 4 indica el número de

vértices del terágono, los cuales son los puntos de construcción de y cada

R ( (ABC)).

(1/2)k−13k−1Sk−1

Sk−1=P (q j )n , n=3k−1+1(1/2)k−1 S1Sk−1

Sk

q1=q11k , q2=q14

k =q21k , q3=q44

k =q31k , q4=q34

k =q41k , q5=q44

k =q51k , q6=q54

k =q61k , .. .. , qn=qn−14

k

(qn−1 ik )4∈(1/2)k−1 S1=(qn−1i

k )4qn∈Sk−1

P(qn−1 ik )4⊂

Sk

CONCLUSIÓN

El Triángulo de Sierpinski y la Curva de Sierpinski son la situación límite de procesos infinitos y determinan, en este caso, el mismo objeto geométrico. Por ello tienen las mismas propiedades como situación límite; no obstante, el área que se ha asociado en este trabajo a la de Curva de Sierpinski es distinta al área asociada al Triángulo de Sierpinski, que es cero, esto es debido a la forma en que se ha asociado el área a las poligonales abiertas.

La Curva de Sierpinski está constituida por terágonos cada uno de los cuales está contenido en los triángulos que determinan la etapa k-ésima del Triángulo de Sierpinski, es decir:

Como se puede notar, los vértices que se van obteniendo en el proceso infinito del

Triángulo y la Curva de Sierpinski, pertenecen a la situación límite de estos conjuntos. A

medida que , cada uno de los vértices de la Curva de Sierpinski converge hacia los

vértices del Triángulo de Sierpinski; es decir, la Curva de Sierpinski converge hacia al

Triángulo de Sierpinski. Para el caso de la Curva de Sierpinski, tampoco se tiene tangente

para todos sus puntos.

S1⊂T S0, S2⊂T S1

, S3⊂T S 2, . .. , Sk⊂T Sk−1

.

k →∞

REFERENCIAS

[1] Boltianski, V. G. (1981): Figuras equivalentes y equicompuestas. Mir, Moscú.

[2] Mendieta, J. G. y Morales, A. & Sigarreta, J. M. (2013): Concepciones sobre el infinito: Un estudio a nivel universitario. Matemática, Educación e Internet. 13, 1-12.

[3] Mandelbrot, B. B. (2012): La Geometría Fractal de la Naturaleza. Turquets Editores, Barcelona.

[4] Moise, E. E. (1990): Elementary Geometry from an Advanced Standpoint, (3rd Edition). Pearson. Florida.

[5] Peitgen, H. O., Jürgens H. & Saupe, D. (2004): Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, (2nd Edition). Springer, New York.

[6] Sagan, H. (1994): Space-Filling Curves. Springer-Verlag, New York.

[7] Sierpinski, W. (1916): Sur une curve dont tout point est un point de ramification. Ed. Prace

Mat. Pag. 77–86.