ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DEL LITORALFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMTICASPROYECTO DE CLCULO DIFERENCIAL

Tema:Rapidez con la que crece un bebe extranjero a partir de su periodo fetal

Profesora: Ing. Soraya SolsIntegrantes: ArreagaGonzabay German Ignacio Mazacon Bao Mara del Carmen Pacheco CondoYesenia Gabriela Ports Rojas Johanna Lisbeth

Paralelo: 2 -Segundo trmino 2012-2013

NDICE GENERAL1. Objetivos1.1 Objetivo general1.2 Objetivos especficos2. Introduccin 2.1 Historia3. Definicin3.1 Qu es la derivada?3.2 Aplicaciones de la derivada a la medicina3.3 Qu es Razn de cambio3.4 Utilidad de razn de cambio4. Metodologa4.1Estrategia para resolver problemas4.2 Ejemplos Prcticos

5. Desarrollo del Proyecto5.1Planteamiento del proyecto5.2 Justificacin 5.3 Desarrollo 5.4 Aplicacin5.5 Conclusiones

6. Bibliografa

1. OBJETIVOS1.1 Objetivo GeneralObservar que los conceptos aprendidos en clases (Clculo Diferencial) son aplicables a otras ciencias de manera que se los aplica para obtener un excelente resultado.1.2 Objetivos Especficos Investigar y estudiar las ramas del Clculo Diferencial tales como la derivada y sus aplicaciones. Establecer los conceptos que utilizaremos para el desarrollo de nuestro proyecto. Demostrar la aplicacin de los conceptos a casos reales en este caso a la medicina.1. INTRODUCCIN2.1 HistoriaA lo largo del tiempo la humanidad ha luchado por encontrar el porqu de las cosas. Muchos temas han sido motivo de investigacin y sin duda alguna, la matemtica no es la excepcin.El clculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales: cristaliza conceptos y mtodos que la humanidad estuvo tratando de dominar durante siglos. Hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, cientfica y matemtica que permitiera construir el clculo que utilizamos en nuestros das. A pesar de que algunas veces su ejercicio se toma difcil, pocos saben que a travs de los aos, esta eficaz rama de las matemticas encierra grandes historias que narran como surgi, quienes se encargaron de su establecimiento y de qu manera ha evolucionado con el tiempo. Este trabajo gira entorno a la aplicacin de la derivadaen el campo de la medicina, mostrando una ecuacin que indica la razn de cambio del crecimiento de un feto con respecto a las semanas de gestacin.2. DEFINICIN3.1 Qu es la derivada?Enmatemticas, laderivadade unafuncines una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha funcin segn cambie el valor de suvariable independiente. La derivada de una funcin es un concepto local, es decir, se calcula como ellmitede la rapidez de cambio media de la funcin en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez ms pequeo. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta funcinen un punto dado. La derivada geomtricamente est representada por la recta tangente y fsicamente por la razn del cambio.El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales delclculo infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada ointegral; ambos estn relacionados por elteorema fundamental del clculo. A su vez, los dos conceptos centrales del clculo estn basados en el concepto delmite, el cual separa lasmatemticasprevias, como ellgebra, laTrigonometrao laGeometra Analtica, delClculo. Quiz la derivada es el concepto ms importante delClculo Infinitesimal.La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de unamagnitudo situacin. Es una herramienta de clculo fundamental en los estudios deFsica,QumicayBiologa, o en ciencias sociales como laEconomay laSociologa. Por ejemplo, cuando se refiere a lagrficade dos dimensiones de, se considera la derivada como la pendiente de la rectatangentedel grfico en el punto. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como ellmitecuando la distancia entre los dos puntos que determinan una rectasecantetiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretacin, pueden determinarse muchas propiedades geomtricas de los grficos de funciones, tales comoconcavidadoconvexidad.Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una funcin no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, unadiscontinuidado unpunto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su grfica es unacurva suave, por lo que es susceptible de derivacin.3.2 Aplicaciones de la derivada a la medicinaEn definitiva las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta.Derivadas En MedicinaVariedad de funciones biolgicas Anlisis FOT Con estas consideraciones y tras varios aos de estudios de las funciones cardiovasculares de presin y velocidad de la sangre, proponemos que el estudio de la variabilidad de la presin arterial, bajo diferentes condiciones hemodinmicas, se realice grficamente.

En efecto, una marcada tendencia actual en el estudio del estado o condicin cardiovascular de los pacientes, es la observacin de las formas de las ondas de presin arterial (p (t)) y su anlisis mediante mtodos matemticos. El clculo ms utilizado es la obtencin de la derivada (dp/dt) mxima, y existen numerosas publicaciones que correlacionan este parmetro con otras mediciones ms complejas como el ndice cardiaco y otros cuadros patolgicos [2, 3,4,]. Su demostrada utilidad clnica ha llevado a la elaboracin de software comercial, que permiten un clculo automtico de dicho parmetro a partir de seales de pulso arterial.

Nosotros hemos desarrollado y aplicado otro mtodo matemtico elemental, utilizando el plano de fase de la dinmica no lineal (funcin biolgica p (t) versus su primera derivada dp/dt), al estudio de las ondas pulstiles de origen cardiovascular, y que hemos denominado Fast Orbital Transform (FOT). 3.3 Qu es Razn de cambio?El cambio se matematiza mediante el clculo, que se considera como la rama de las matemticas que realiza las operaciones necesarias para prever un resultado de una accin previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.La razn de cambio se define como un cociente incremental o deDiferencias.El cociente es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, recociendo que el cambio se establece hallando la diferencia entre una magnitud final con una inicial. Usando la notacin moderna puede escribirse como:Es importante resaltar que en muchas ocasiones la razn de cambio est dotada de un significado contextual, pues plantea relaciones significantes entre las magnitudes que intervienen. Este cociente en algunos casos siempre dara el mismo resultado, definindose como constante y en caso contrario como razn de cambio variable.3.4 Utilidad de razn de cambioSegn lo dicho anteriormente, el concepto de razn de cambio est presente en la vida diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre especfico o sin reflexionar sobre las acciones realizadas. Ya que vivimos en un mundo fsico, social, poltico, econmico, biolgico, resulta importante poder describir y medir estos cambios a travs de modelos matemticos.Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre, puede detener su crecimiento en algn instante, para luego volver a crecer, o permanecer estacionaria. Tambin la poblacin de un pas vara con el correr del tiempo y la variacin depende bsicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes.Es importante medir estas variaciones y expresarlas en nmeros pues estos nos permitirn extraer conclusiones. Esto nos permite saber, por ejemplo, en el caso de consumo de energa elctrica como funcin del tiempo, cundo se produce un aumento repentino, lo que indica la necesidad de aumentar la capacidad elctrica; si estamos analizando la evolucin de una enfermedad a travs del tiempo podremos saber cundo se est propagando con mayor rapidez y as reforzar las medidas sanitarias necesarias.

3. METODOLOGA

4.1 Estrategia para resolver problemas de razn de cambioi. Si es posible realice un bosquejo del problema con la ayuda de grficos y letras.ii. Identificar las variables y las constantes de preferencia usar letra mayscula para constantes o valores numricos y letras minsculas para las variables.iii. Determinar la o las ecuaciones que relacionan las variables con las constantes.iv. Derivar la ecuacin obtenida en el paso anterior respecto a la variable independiente en este paso tenga en cuenta lo observado en el paso 2.v. Despeje la derivada de la variable de inters y reemplace datos numricos.

4.2 Ejemplos Prcticos1. A un depsito cilndrico de base circular y 5 m de radio, le est entrando agua a razn de 25 litros por segundo. Calcular la rapidez a la que sube la supercie del agua.

Que se pide en el problema? Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que est aumentando la altura deun cilindro circular de radio jo, cuando su volumen aumenta a razn de 25 litros por segundo (25 dm3/s).Es decir, si consideramos un cilindro circular que tiene un radio jo r=5m, altura h y volumen V, entonces lo que se desea es calcular la rapidez con que cambia (razn de cambio de) la altura h, cuando la razn de cambio del volumen V es de 25 . Esto es, se pide calcular a la derivada cuando r=50dm y = 25 .El volumen V de un cilindro circular de radio r y altura h es V = h. Entonces cuando r=50 dm el volumen del cilindro es V = h = 2500 h .

Sabiendo que tanto la altura como el volumen son funcin del tiempo t, derivamos respecto a t y obtenemos

Por lo tanto, la rapidez con que sube la supercie del agua es

2. Una infeccin viral se propaga en cierta poblacin de manera tal que personas contraen el virus en t semanas. A qu velocidad se propaga el contagio al final de 4 semanas?Necesitamos calcular. Dado que

Tenemos

Como implicacin puede afirmarse que en el transcurso del siguiente da una sptima parte de la semana 1/7(210) = 30 personas se habrn contagiado, aproximadamente.

5. DESARROLLO DEL PROYECTO:

5.1 Planteamiento del proyecto El planteamiento del proyecto surgi para conocer las aplicaciones que tiene el clculo de las derivadas en el campo de la medicina con la resolucin de una ecuacin polinmica. Nuestra idea se enfoca especficamente en calcular la rapidez de crecimiento de un beb con respecto a las semanas que transcurre desde el momento de gestacin hasta el momento en el cual nace.Para esto se tom en cuenta a partir de la octava semana, ya que en las primeras semanas se desarrolla en el vientre de la madre, por lo que no crece de forma notoria.Sin embargo nos centraremos tan solo en el periodo fetal del bebe.5.2Justificacin del proyecto:En definitiva las derivadas se suelen usar para relacionar dos magnitudes, en la vida cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta.El proyecto es elaborado para la materia de Clculo Diferencial que se est cursando. Este proyecto adems nos muestra la importancia de las derivadas en la vida cotidiana y sus diversas aplicaciones en las distintas ciencias,

Se trata de calcular la rapidez con la que crece un bebe en las distintas semanas. Para esto es necesario conocer los cambios que desarrolla el beb en los distintos meses.

Mes unoT beb es un embrin que consiste en dos capas de clulas, a partir de las cuales se desarrollarn todos sus rganos y las partes de su cuerpo. Tu beb es apenas una bolita microscpica que se llama "embrin", y la verdad es que todava no se parece mucho a un bebMes dosTu beb tiene el tamao de un frijolito y se est moviendo constantemente. Ya se pueden distinguir sus deditos. Mes tresAhora tu beb mide alrededor de 7 a 8 centmetros de largo (3 pulgadas) y pesa aproximadamente lo mismo que medio pltano. En sus deditos ya se pueden ver sus pequeas huellas digitales.

Mes cuatroTu beb mide ms o menos 13 centmetros de largo (5,5 pulgadas) y pesa 140 gramos (5 onzas). Sus huesos estn empezando a endurecerse. Y es posible que ya sientas los movimientos de tu beb.

Mes cincoLas cejas y prpados de tu beb ya se han formado. Ahora, con las piernas extendidas, ya mide ms de 27 centmetros de largo (10,5 pulgadas).

Mes seisTu beb pesa alrededor de 660 gramos (1,5 libras). A medida que vaya engordando, su piel tendr menos arrugas y se ver ms suave.

Mes sieteAhora tu beb mide ms de 40 centmetros (15 pulgadas) de largo. Puede abrir y cerrar sus ojos y probablemente puede ver lo que est a su alrededor.

Mes ochoTu beb ahora pesa alrededor de 2,2 kilos (4,7 libras). Est empezando a aumentar de peso, y ya se ve ms llenito, adems sus pulmones estn bien desarrollados.

Mes nueveTu beb est a punto de nacer. El beb promedio pesa un poco ms de 3,2 kilos esta semana (7 libras) y mide cerca de 51 centmetros (unas 20 pulgadas).

EL proyecto ser desarrollado aplicando los conceptos de derivacin revisados en el semestre.A partir de la siguiente ecuacin se realizarn clculos para determinar cmo crece el feto al transcurrir xsemanas.

Donde x se mide en semanas, y f(x), en centmetros.La cual la hallamos paso a paso en el programa de Matlab teniendo las semanas y los tamaos del feto siendo estos valores x y f(x).Se pudo notar que la grficaest dada en funciones de tramos ya que el periodo embrionario y el periodo fetal son muy diferentes.Se ilustra la funcin obtenida en graphy en Excel dando los puntos respectivos de la tabla

Grfica obtenida en Excel

5.4 Aplicacin

Se conoce la funcin mediante la cual determinaremos la rapidez con la que se desarrolla l bebe a medida que pasan las semanas lo haremos a partir del periodo fetal ya que en ese tiempo l bebe tiene un tamao considerable siendo la funcin dada en los intervalos de (15,40) donde empieza el periodo a calcular.Funcinderivada:

ClculosLos clculos se llevaran a cabo en base a la tabla ilustrada.

Semana 16

17.05596cm

1.1785 cm/semanaSemana 20

cm

1.6437cm/semanaSemana 24

30.2092cm

Cm/semanaSemana 30

cm

Cm/semanaSemana 34

Cm/semanaSemana 40

1.2197 cm/semana

5.5 Conclusiones La ecuacin satisface la relacin del crecimiento de un feto a partir de la semana 15 (excepto en el sptimo mes que es donde el feto presenta una mayor variacin de tamao), donde x es semanas y f(x) representa el crecimiento del mismo en centmetros. Aplicando la primera derivada se obtiene la rapidez con la que crece el feto dentro del vientre de la madre, verificando que a medida que pasan las semanas la velocidad es menor, con lo cual la grfica de la ecuacin es decreciente. Se logr demostrar la importancia que tiene las aplicaciones de la derivada, incluso en el campo de la medicina, ya que permite conocer cmo va creciendo un feto al transcurrir las semanas y el nuevo cambio que implica cada semana.Nota:El crecimiento fetal es un proceso complejo en el que se combinan y se integran modificaciones a nivel molecular y celular para permitir el desarrollo del organismo completo. Si existe alguna influencia adversa sobre este proceso como deficiente alimentacin de la madre puede haber consecuencias negativas en el desarrollo.

6. BLIBLIOGRAFIA

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