Provas Area 2

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total

Nome: No cartao:

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Data:31/10/2006

MAT01167 – Equacoes Diferenciais II Turma:

Segunda Prova

Questao 1 (1,5 pontos)

Determine uma solucao particular da EDOLNH:

y′′ + 2y′ + y = e−x ln x


Dada a EDOL

y′′′ + 3y′′ + 7 y′ − 5y = 3 e−x cos 2x + xe−x + sen 2x

(a) Determine a solucao geral da EDOLH.(b) Indicar de que forma deve-se procurar uma solucao particular da EDLNH sem, comtudo, determinar os coeficientes.


Encontre a expansao em serie de Fourier para a funcao periodica de perıodo 2π

f(x) =

{− cos x , se − π ≤ x < 0cos x , se 0 < x ≤ π


Resolver o problema de contorno definido pela equacaout = uxx − u

u(0, t) = 0, u(π, t) = 0

u(x, 0) = cos x

.

Questao 5 (2,0 pontos)Dado o problema nao homogeneo

ut = uxx − u + 15 , em D : 0 < x < π , 0 < t

u(0, y) = 15, u(π, t) = 0

u(x, 0) = cos x + 15− 15 senh xsenh π

,

(a) Determinar a temperatura em regime estacionario, v(x), funcao que depende somentede x, que satisfaz a equacao diferencial e as condicoes de fronteira (isto e, a temperaturade regime estacionario correspondendo as condicoes de fronteira dadas).

(b) Determine o problema de contorno homogeneo que satisfaz a funcao w(x, t) = u(x, t)−v(x) e resolva utilizando o resultado da questao 4

(c) Indicar a solucao u(x, t) do problema original u(x, t) = v(x) + w(x, t).

Universidade Federal do Rio Grande do SulMAT01167 – Equacoes Diferenciais IIData: 19/05/2007Turma:.........

Q1 Q2 Q3 Q4 Total

Nome: No cartao:

SEGUNDA PROVA A


Dada a EDOLNH

y′′ − 6y′ + 9y =2e3x

x(a) Determine a solucao geral da EDOLH associada.

(b) Determine uma solucao particular da EDOLNH por variacao de parametros

(c) Qual e a solucao geral da EDOLNH?


(a) Encontre a expansao em serie de Fourier da funcao com perıodo 2π

f(x) =

{0 se − π < x < 0

x , se 0 < x < π

(b) Dando um valor conveniente a x , determine o limite da serie

1

12+

1

32+

1

52+ · · ·

Questao 3 (4,0 pontos)Resolver o problema de contorno definido pela equacao

ut = 4uxx

ux(0, t) = 0, ux(π, t) = 0

u(x, 0) = f(x)

.


ut = uxx + 2, 0 < x < 1, t > 0

u(0, t) = 2, t > 0

u(1, t) = 5, t > 0

u(x, 0) = f(x) 0 < x < 1

(a) Determine a temperatura em regime estacionario, w(x), funcao que depende somente de x,que satisfaz a equacao diferencial e as condicoes de fronteira (isto e, a temperatura de regimeestacionario correspondendo as condicoes de fronteira dadas).

(b) Determine o problema de contorno homogeneo que satisfaz a funcao v(x, t) = u(x, t)−w(x)

Universidade Federal do Rio Grande do SulMAT01167 – Equacoes Diferenciais IIData: 20/10/2007Turma:.........

Q1 Q2 Q3 Q4 Total

Nome: No cartao:

SEGUNDA PROVA A


Dada a EDOLNH

y′′ − 10y′ + 25y =2e5x

x2

(a) Determine a solucao geral da EDOLH associada.

(b) Determine uma solucao particular da EDOLNH por variacao de parametros.

(c) Qual e a solucao geral da EDOLNH?


(a) Encontre a expansao em serie de Fourier da funcao com perıodo 2π

f(x) =

{0 se − π < x < 0

6 se 0 ≤ x ≤ π

(b) Dando um valor conveniente a x , mostre que

π

4=

1

1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · ·

Questao 3 (4,0 pontos)Resolver o problema de contorno definido pela equacao

utt = 4uxx

ux(0, t) = 0, ux(π, t) = 0

u(x, 0) = f(x)

ut(x, 0) = 0


ut = uxx + x, 0 < x < 1, t > 0

ux(0, t) = 0, t > 0

u(1, t) = 3, t > 0

u(x, 0) = f(x) 0 < x < 1

(a) Determine a temperatura em regime estacionario, w(x), funcao que depende somente de x,que satisfaz a equacao diferencial e as condicoes de fronteira (isto e, a temperatura de regimeestacionario correspondendo as condicoes de fronteira dadas).

(b) Determine (SEM resolver) o problema de contorno homogeneo que satisfaz a funcaov(x, t) = u(x, t)− w(x).

UFRGS – Instituto de MatematicaDep. de Matematica Pura e AplicadaMAT 01167 – Equacoes Diferenciais IIData: 16/05/2009 – Turma:

Nome: Cartao:

Segunda Prova A

Questao 1. (2 pontos) Determine a solucao geral da seguinte EDOL nao homogenea de segunda ordem

2y ′′ − 3y ′ − 2y = 5e2x + 5sen x

Questao 2. (2 pontos) Resolva o sistema de EDOLH.{x′′ = 2 x + y

x′ + y′ = 3x + 3y

Questao 3. (2 pontos)

a) Encontre a expansao em serie de Fourier para a funcao 2π - periodica

f(x) =

{(−x− π), se− π < x < 0

(−x + π), se 0 ≤ x < π

b) Dando um valor conveniente a x , determine a soma da serie

∞∑m=1

(−1)(m+1)

(2m− 1)= 1 − 1

3+

1

5− 1

7+ ...

c) Qual e o desenvolvimento em serie de Fourier-seno da funcao f(x) = −x + π para 0 < x < π (funcao doitem a) restrita ao intervalo I = (0, π)).

Questao 4. (4 pontos)

a) Resolva o problema de contorno: utt = uxx − 1

2ut 0 < x < π, t > 0

u(0, t) = 0, u(π, t) = 0

u(x, 0) = 0

ut(x, 0) = f(x)

b) Determine u(x, t) para f(x) dada na Questao 3.

Sugestao para Questao 4 a): Faca a separacao de variaveis; aplique as condicoes de fronteira; resolva a EDOcom as condicoes de fronteira encontradas; resolva a segunda EDO; faca a superposicao das solucoes;determine os coeficientes utilizando a condicao inicial.

∫x cos(ax)dx =

x

asen (ax) +

1

a2cos(ax)

∫x sen (ax)dx = −x

acos(ax) +

1

a2sen (ax)

Provas Area 2

Documents

Transcript of Provas Area 2