Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ...

16
Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint programming. In: 9th International Workshop on Constraint Modelling and Reformulation (ModRef 2010), St. Andrews. U.K, 06 - 10 Sep 2010, pp. 88-102. Copyright © 2010 The Author. A copy can be downloaded for personal non-commercial research or study, without prior permission or charge The content must not be changed in any way or reproduced in any format or medium without the formal permission of the copyright holder(s) When referring to this work, full bibliographic details must be given http://eprints.gla.ac.uk/43754/ Deposited on: 10 th March 2015 Enlighten – Research publications by members of the University of Glasgow http://eprints.gla.ac.uk

Transcript of Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ...

Page 1: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint programming. In: 9th International Workshop on Constraint Modelling and Reformulation (ModRef 2010), St. Andrews. U.K, 06 - 10 Sep 2010, pp. 88-102.

Copyright © 2010 The Author.

A copy can be downloaded for personal non-commercial research or study, without prior permission or charge The content must not be changed in any way or reproduced in any format or medium without the formal permission of the copyright holder(s) When referring to this work, full bibliographic details must be given http://eprints.gla.ac.uk/43754/ Deposited on: 10th March 2015

Enlighten – Research publications by members of the University of Glasgow http://eprints.gla.ac.uk

Page 2: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

������������ ����������������������! "�#$�%�������"�&�'�� �(����)*)����

+�,.-0/2143�56+�/0798080:�/

;=<?>�@BABCEDGF9HJILK�DGM�FBK�M?NOQPSRUTVHU<�WYXQFBDSZ?M2[ETVD\C^]_N9OQPSRUTVH?<`WaNbI.K�<UCEPSR�Fdc

eLfUg_hUiLjlknmpo_qlfrmsf_jtmvu?w

x�y{z�|�}�~d�U|?�J� F�ZlM2[VCEM2��cBDGT��s<UDGF.CnCV[ED�R�F9HUPSM�@dR�K0�.DGF9H�W=M=R�[EM�HUDSZ?M�F�R%TVDS>�@BPGM�ABFdcBD\�[EM�K0CEM`c�H�[�RU@9���YRUF9c(W=M��dR`ZlM�CE<�TVM�PGM�K2C�CE�BM�>�R��LDG>�AB>�FLAB>���M2[=<U�tCV[ED�R�F9HUPSM2TTVABK0��CE�9R�C�M`RUK���CV[ED�R�F9HUPSM�DGTQK�<U>�@�<?TVM`c�<���CE�L[EM�M�R?c��sRUK�M2F.CQZlM2[VCEDGK�M�T�RUF9c�M`RUK��@9RUD\[�<U�{CV[EDSRUFBH?PGM�T�TVM�PGM�K2CEM`c��9RUT�F9<JZ?M2[VCEM2�(DGF"K�<U>�>�<?Ft�B�%�BMa@B[E<?�BPGM�>�DGT��Q�$��9R�[�c�RUF9c����� ��pK2<?>�@9PGM2CEMU�n¡M(@B[EM2TVM�F_C�CE�B[EM2M"K�<UF9TsCV[�RUDGF_C�>�<.cLM�PGTJRUF9c�RU@B�@BPG]�CE�BM�>¢CE<�CE�BMa<?@BCEDG>�DGTER�CEDG<UF�RUF9c"cBM2K�DGTVDS<UF�@B[E<U�9PGM�>¤£¥R�CVCEM2>�@BCEDGF9H¦CE<J@dR�K0�§�¨t©�ªU« CV[EDSRUFBH?PGM�T�DGF�R�HU[�R�@9��W�D\CE� ¨ Z?M2[VCEDGK�M�T�¬0� � F6CE�BM�cBM�K�DGTVDG<?F�@B[E<U�9PGM�>­W%M<U�9TVM2[EZlM(R�@B�dRUTVM�CV[�R�F9TVD\CEDG<?F®�4[E<U>¯TER�CEDGTs°�RU�BDGPSD\Cp]CE<�A9FBTER�CEDGTs°�R��9DGPGDGCp]_NnW�D\CE��RK�<U>�@9PGM2�LD\C^]±@�M`RU�²R�C"CE�BM³@�<UDSF_C�W��9M2[EM´Uµl¶·<U��DGF9TsC�R�F9K�M�T�R�[EM¸TER�CEDGTs°�RU�BPGM?NR�Fdc�CE�BDST�DGT�M0�B@�M2K2CEM`cb�B¡MaK��dR�[�RUK2CEM2[EDGTVM¦CE�9DGT�@9�9RUTVMaCV[�RUFBTVDGCEDG<UF6CE�BM�<U[EM0CEDSK�RUPGP\]W�D\CE�®[EM�TV@�M�K2C�CE<6K�<?FBTsCV[�RUDGF9M`cLF9M�TVT��$¹�<`W%M�ZlM0[`NrW��9M�F®W=M"R�@9@9P\]�R�>�D\�LM`c¸DGFB�CEM�HUM2[a@L[E<?HU[�R�>�>�DGF9H�>�<.cBM2PtCE<�CE�9M�cBM2K�DGTVDS<UF³@L[E<?�BPSM2>'CE�BM�K2<?>�@9PGM2�LD\C^]"@�M`RU�cLDSTER�@9@�M`R�[ET��

º"».¼¾½�¿ }�Àrz?Á �t[EDSRUFBH?PGM(�{RUK��LDGFBHBNrK2<?F9TsCV[�R�DGF.C�@B[E<UHU[�R�>�>�DSFBHBNt@9�9RUTVM�CV[�RUFBTVDG�CEDG<?FbN9>�D\�LM`c(DSF_CEM�HUM2[�@B[E<UHU[�RU>�>�DGFBHBNLK�<?FBTsCV[�RUDGF9M�cBF9M2TVT

 Ã9Ä�Å�ÆÈÇaÉ�Ê�ËnÅÈÌEÇ�Ä

Í 1�ÎB:�Ï®,�8�14Ð�ÑÈÒ4:�ÓÈÏbÔ�14/0:?3`-2:UÔ¸ÕL/�,.ÑÈÖ×­Ø­Ù^Ú�Û2Ü(Ýa,"-2/01�,.ÏÈÕBÒ�:J1�8¦,�8�:�-¦7.Þ=-0ÖÈ/2:�:�ÎB:�/0-01�3�:?8ßUà Û�ánÛ�â�ãåäæÚæ8�Ót3�Öå-0Öb,.- ßLß?à Û0ábã9Û ß?à Û0â�ãBÛ ß ánÛ�â�ãBã¾äçÜ6è�1^é :BéQ,²-0/214,LÏÈÕLÒ4:�1�8�-0Öb/0:U:,LÔlê�,B3�:�Ï9-�ÎB:�/0-01�3�:?8$14ÏJ-0ÖÈ:�ÕL/�,.ÑÈÖ$é?ë�ÖÈ:�Ñb/07BìÈÒ�:UÐ�1�8{-2ÖÈ:�Ï�-07�80:�Ò4:U3�-�Ù�íbîLï�ðÈÝ$-0Öb:�Ð�,_ñ�14Ð(ÓÈÐÏ9ÓbÐ(ìn:�/"7.Þ¦-2/01�,.ÏÈÕBÒ�:?8�14Ïò-2ÖÈ:³ÕB/2,LÑÈÖ�80Ób3�Ö²-2Öb,_-�ÏÈ7�-EóQ7�-2/01�,.ÏbÕLÒ4:U8"8�Öb,L/0:³,�3�7LÐ�Ð�7LÏÎL:�/0-0:�ñ{èb,.ÏbÔ¸1�8¦807LÐ�:�-21�Ð�:U8�3�,.Ò4Ò4:UÔ®,�ÎL:U/�-2:�ñdôVÔ�148vêE7L14Ï9-�-0/214,LÏÈÕLÒ4:JÑb,L3�5d14ÏÈÕ�õ ö_÷^étë�ÖÈ:�/2:�,./2:Ï9ÓbÐ":U/07BÓb8�1�Ïb8�-2,LÏb3�:?8"7.Þ¦-2ÖÈ148"ÑÈ/27LìbÒ�:UÐæóaÖÈ:�/2:³óQ:�Ð�Ób8�-�ÕB/07BÓÈÑ�3�7LÐ�Ñb,_-21�ìbÒ�:³7Lì�êE:?3`-281�Ï9-07�80:�-�8�7LÞt-2ÖÈ/0:U:Lø_-2ÖÈ:U80:¦7Bì�êE:U3�-28�Ð�14ÕLÖ9-�ìt:�Ñt:U7LÑÈÒ4:�,.ÏtÔ(-2ÖÈ:¦ÕB/07BÓÈÑb8=-0:?,.Ð�8Uè.7L/�Ñn:�7BÑÈÒ4:óa1�Ò4Ò�14ÏÈÕ¸-07�80Öb,L/0:�,¸/07d7LÐù7L/Jó�7B/05®7Bϲ,³Ñb/07LêE:U3`-�-07BÕL:�-0ÖÈ:U/Ué$ú¤8�-0/21�5d14ÏÈÕLÒ4û®14Ð"Ñn7L/0-2,LÏ9-Îl,L/01�,.Ï9-�7LÞ{-0ÖÈ1�8�ÑÈ/27LìbÒ�:UÐü1�8�-2ÖÈ:�5d1�Ô�ÏÈ:�û":�ñÈ3�Öb,LÏÈÕL:aÑb/07BÕL/�,.Ð�8%1�Ï�-2ÖÈ:�ý�ÏÈ1�-0:UÔ�þJ1�ÏÈÕ9Ô�7LÐõ ÿL÷�,.ÏbÔ�-0ÖÈ:®ý�ÏÈ1S-2:UÔ��9-�,_-0:?8�7.Þ�ú¦Ð�:�/21�3�,Yõ �_÷¦óaÖÈ:�/2:®Ô�7LÏÈ7B/��_/0:?3�14ÑÈ14:�Ï9-�Ñb,L1�/�8":�Ï9-0:U/�,ÑÈ/07BÕL/�,.Ðç-0Öb,.-�,LÒ�Ò47_ó¦8�Ñt,.14/�ôsóa1480:6:�ñ�3�Öt,.ÏÈÕB:U8(,LÏbÔ�3�û�3�Ò4:�ôs:�ñÈ3�Öb,.ÏbÕL:U8�7.Þ¦Ò4:�ÏÈÕL-0Öò-2ÖÈ/2:�:LèìÈÓ�-a-0Öb:�ÓÈÏbÔ�:U/0Ò4ûd1�ÏÈÕ�ÕB/2,LÑÈÖ¸8�-0/2Ób3�-0ÓÈ/2:J148aÔ�14/2:U3`-2:UÔ¸óa1�-0Öó�:U1�ÕBÖ9-0:UÔ³:UÔÈÕL:U8Ué

ë�/214,LÏÈÕLÒ4:�Ñb,L3�5d14ÏÈÕ�1�8���+�ôsÖb,./�Ô õ���_÷�,.ÏbÔ¸ú�+�¦ôV3�7LÐ�ÑÈÒ4:�-2:6õ��� ?÷sé�ë�ÖÈ:�/2:J148¦,"Î_,./21�,.Ï9-7.Þ�-2ÖÈ:JÑÈ/27LìÈÒ4:�ФóaÖÈ:U/0:�-0/21�,.ÏÈÕBÒ�:?8�3U,.Ï8�Öb,L/0:�ÎL:U/�-2143�:U8QìÈÓ�-aÐ(Ót8E-aìn:�:?Ô�ÕL:�ôsÔÈ148vêE7L14Ï9-Uèd1pé :Lé:UÔ�ÕB:�ôVÔ�148vêE7L14Ï9-�-2/01�,.ÏbÕLÒ4:�Ñt,L3�5d1�ÏbÕbé��¦7_óQ:�ÎB:�/?èB14Ï�-2ÖÈ1�8aÑb,.Ñn:�/�óQ:�Ô�:U,LÒ{7LÏÈÒ4û6óa1�-0Ö¸ÎL:�/0-0:�ñdôÔ�148vêE7L14Ï9-6-0/21�,.ÏÈÕBÒ�:®Ñb,B3�5d1�ÏÈÕò,LÏbÔ /2:�Þ¥:�/6-07ò1�-³801�Ð�ÑÈÒ4ûY,B8�-0/21�,.ÏÈÕBÒ�:®Ñb,B3�5d1�ÏÈÕté��=1�ÕBÓÈ/2:��8�ÖÈ7_ó¦8�,68�14Ð�ÑÈÒ4:(ÕL/�,.ÑbÖ¸óa1�-0Ö 1S-�8a-0/21�,.ÏÈÕBÒ�:?8a-2,LìÈÓÈÒ�,_-2:UÔ{è�����-07����.érë�Öb,.-�148UèÈ-2ÖÈ:(ÕB/2,LÑÈÖ

Page 3: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

� ������ "!$#&%�')(� "*,+-�.!$#

/1032�46574�8:9 �.;=<$%.'>#"�? &<A@B &!$CD�FE 9 EG���� "!$#&%�' 9IH

J�KMLONQPSRUTMV&W?XZY3["V&L&\A]^PS_UX,WZY3KM`baMc3V&L&\$KM`�dBXZJbVec3KMW,aAV&L?X�XZW,YfK-`baAc�Vhg�KA[Ii$Y3`baDY3L>jMklL?Y3m"V=n�\K-`�dojM`bVUL,p�[IJqg�KM[Ii7Y3`barY3Lestvuw?tyx-z${

| `}X,JbYfL�g�KMg�V&W)~OVUV���gbc3jMWZVeX,J�V=X,WZY3KM`baMc3VUg�KA[Ii7Y�`baBg�W,jA�bc�V&��p�L,Y3`ba�[�jA`�L?X,WIK-Y3`AX�g�W,jM�aMWIK-����Y�`ba�{��>J�W,V&V���j�d�V"cfLeK-WZV�gbWZjMg�jAL,V&d�\yK-c3jM`�a�~�Y�X,J�T�KMW,YfK-�bc3VDKM`�dQT�KMc�pbVrjMWId�V&W,Y3`baJbV"pbWZYfL�XZY3[&L"\�KM`�dqX,J�V"�oKMW,VU["jM��g�KMW,Vd�V&�rg�Y�WZY3[&K-c3c��A{b��V=X,JbV&`�gbWZj7["V"Vd�XZjBX,J�V�d�V&["Y3L,Y3jM`gbW,jA�bc3V"�}��k�jMWeK�aAWZKMgbJQ~�Y�X,J�N�TMV&W?XZY3["V&Lh["K-`�~�Vrg�KA[Ii���Nl���-��X,WZYfK-`baAc�VLZ�D��VrjA��L,V"WZTMVX,JbV�k�K-��Y3c�YfK-WOgbJ�KAL?V)X,WIK-`�L,Y�XZY�jA`���V"J�K6T7Y3jMpbW\A~�Y�X,JqK�["jM��gbc3V���Y�X���g�V&KMi�K-X�XZJbV=_-�$��LZK�X,�Y3L?��K-��Y�c3Y�X���g�jAY�`$Xo FR¡¢{v�>JbV�gbJ�KML,V�X,WIK-`�L?Y�X,Y3jM`�Y3LUX,JbV&`�[IJ�K-WIKM[�X,V&W,YfL?VdQ~�Y�X,J�WZV&L,g�V[�X=XZj[�jM`�L�XZWZKMY�`bVd�`bVL,L)£¤ �¥&¦-¡lKM`�d}YfL)V"�7g�c�jAW,Vdo~�Y�X,J�[�jM`�L�XZWZKMY�`$X�gbWZjMaAWZKM�r��Y3`ba�\bK�g�L?V&p�d�jM���j7jMc3V&KM`:§�¨©�ªL?jAc�TAV"WDKM`�d���Y���V&d�Y3`$X,V&aMV"WrgbWZjMaAWZKM�r��Y3`ba�{l�>JbVq["jM��gbc3V���Y�X���g�VK-i«Y3LjM��L,V"WZTMVd�K�X>XZJbVU[�WZjALZL?j�TAV"W�g�jAY�`$X>k�jMW>XZJbVU[�jA`�L�XZWZKMY�`$X>gbWZjMaMWIK-�¬KM`�d}§�¨©�SL,jMc3TMV&W&\$�bp�X~�JbV"`�p�L,Y�`�ah��Y���V&dDY�`$X,V&aMV&W©gbW,jAaMWIK-����Y�`�a�X,J�V>["jM��gbc3V���Y�X��Ug�VK-i�dbY3LZK-gbg�V&KMWZL­V&`AXZY�WZV"c3�M\L?pbaAaMVL�XZY�`baqXZJ�K�XUXZJbVBV���YfL�XZV"`�["VBj-k>X,J�V�[�jM��gbc3V���Y�X���g�V&KMi�Y3`«X,WZY3KM`baMc3V�g�KM[Ii7Y3`ba}Y3LUKM`K-c3aMjMWZY�X,Jb��Yf[)gbJ�V"`bjA�rV&`bjM`v{

® ¯�°�±)²A³�´bµ©¶?±�³:·¸°�¹�ºl»?²�¼I°1´�½r´�¶�µ©±)¾�»�ºS¿qµ©À�Á>¶,±�¾

��VrgbWZV&L,V"`$X�X,J�W,V&VD[�jA`�L?X,WIK-Y3`AX��rj�d�V&c3L)k�jMW�X,J�VUX,WZYfK-`baAc�VUg�KM[Ii7Y�`�a�gbWZjM�bc3V"�}{y�>JbVU��WIL?X�rj�d�V&cÂXZKMiMV&LeKoTMV&W?XZV��QT7Y�V&~ÃjMk�X,J�Vrg�W,jA�bc�V&�ÄK-`�d�YfLe��KML,V&d�jM`�X,JbVBL,Y�`baAc�V"�¢L,p�[&[�V&LZL,jMW�rj�d�V&c>j-k�K�aMWIK-gbJv{­�>JbV}L,V&[�jA`�d���j�d�V&c�XIK-iAV&LrKQXZW,YfK-`baApbcfK-W�T7Y3V"~¬jMk�X,J�VogbWZjM��c�V&�q\K-`�d�XZJbV�XZJbY3WZdoK-`�d���`�K-c���j7dbV"c�Y3L���KML,V&d�jA`BX,J�V)Y3`AXZV"aAV"WOc�Y3`bV&KMW�gbWZjMaAWZKM���rY3`ba=��j�d�V"cgbW,jAg�j$L?Vd�Y�`�  n�¡Å{ | `BX,J�V�L,pb��L,V&Æ$pbV"`$X>d�V&LZ[�WZY�gbX,Y3jM`�L�~�V)KAL,L,pb��V�XZJ�K�XO~�V)J�K6TMV)KAL1Y3`bgbp�XKBaMWIK-gbJ�ÇÃPÉÈÅÊ1wZË�Ì�~�JbV&W,V�Í Ê�Í�PSN�K-`�d}TMV"W,X,V"�oÎ>Ï�ÊB{�¨�c3cvXZJbV�["jM`�L?X,WIK-Y3`$X��rj�d�V&c3L~�V&W,V�Y3��gbc�V&��V"`$X,VdBp�L,Y�`baUX,JbV)[IJ�j7["j=X,j7jAc�i7Y�X� �¥"¡Å{$ÐbpbW,X,J�V"W�~OV�KMLZL,pb��V�X,J�K-X�K=T�K-WZYfK-�bc3VÑ J�KML�K�d�jA��KMY�`}jMklT�K-c3pbV&L�Ò$Ó6]«È Ñ Ì�{

Page 4: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

Ô�Õ�Ö�×&ØAÙÚ.Û)Ü�×&Ý?Þ-Ö�ØAÙ ß

à�áãâ äæå�ç$è6é&ç$ê:å�ë�ç$ìí>îbïBð�ñIò�óUô�õ�ö�ï&÷1ø3ò�ù�úMò,ï&ö�õAû�óZîbï�ò,ø�ûbüA÷�ï�ò,ý�þ&þ�ï&òZò,õMñ=ô�õ�ö�ï"÷�õ-ÿ�ú}üMñIú��bî�����ï�î�ú��AïBúþ�õMû�ò�óZñZúMø�ûbïö�ø3û$ó,ï"üAï"ñ���ú-ñZøfú-ùb÷3ïhÿ�õMñ�ï&úAþIî�Aï"ñ,ó,ï��ø�ûqó,î�ï=üMñIú��bî�� ����ú-ñZøfú-ùb÷3ï����Âî�úMò�úAò�úö�õMôBú-ø3ûBõ-ÿ���ú-÷3ýbïò©ï��$ý�úM÷bó,õUó,îbï)ò,ï�ó�õ-ÿ��Mï&ñ?óZø3þ"ï&ò1úAö��?úMþ"ï"û$ó©ó,õ��Aï"ñ,ó,ï���­ø�û�� úM÷�õAûbü���ø�óZîó,îbï=ûbõAû �¢ï��ø3ò?ó,ï&û$ó��Aï"ñ,ó,ï���! #"%$7óZî�ú�ó�øfò

& �('*),+*-�.0/(���21436587:9;5��=<27?>�@BAC>EDF5��! G"%>H¢ÿ�ú!��ú-ñZø3úMùb÷�ïI���J36� K"=óZîbï"ûQó,î�ú-óL�Mï&ñ?óZï�}ø3ò)ûbõ-óhø�û�þ"÷�ý�ö�ï&ö�ø3ûQú-ûNMqõ-ÿÂó,î�ïUó,ñZøfú-ûbüA÷�ïòò?ï&÷�ïþ�ó,ïö�����ï>ó,îbï&ûBî�ú��Mï�þ"õMû�ò?ó,ñIú-ø3û$óZò­ù�ï"óO��ï&ï"ûC�Mï&ñ?óZø3þ"ï&ò­óZõeÿ�õMñIþ�ïOó,ñZø3úMûbüM÷3ï&ò�$-úMò­ÿ�õA÷�÷3õP��ò�Q

& �(R STR UV'*)6W ���X3Y7[Z��VS\3#]!^_�%U�3G�a`�Sòb��ïþ�øfú-÷3ø3ò,ï&ö�þ�õMû�ò�óZñZúMø�û$óE�>úMò�ø3ôc��÷�ï&ôrï&û$ó,ï&ö�ø�ûqþIîbõ�þ�õ�ó,õrï"û�ÿ�õAñZþ"ï�ó,ñZøfú-ûbüA÷�ïò�$Aø�û�òb�bø3ñ,ïöù*MeóZîbï>ò?ýbùbó,õMý�ñd�¢ï"÷3ø�ô�ø3û�ú�óZø�õAû�þ�õAû�ò?ó,ñIú-ø3ûAó�W e�`a��í>îbøfò­ñ,ïò?ý�÷�óZï&ö=ø3ûrú)ô�õMñZï�þ�õAôC��úMþ�ó­ô�õ�ö�ï"÷��ø�óZî«ú}÷3ø3ûbï&úMñ=ùbýbø3÷3ö�óZø�ô�ï%�lí>îbï�ò?ôBúM÷�÷3ï&ò?ó�ö�õMôBúMø�û�ð�ñIò�óUîbï&ýbñZø3ò?ó,øfþBWf"�g�`J�>úMòeý�ò,ï&ö�ÿ�õAñö M7û�ú-ô�øfþB��ú-ñZø3úMùb÷�ïQò,ï"÷3ï&þ�ó,ø3õMû�$Oþ�õAñ,ñZï&òb��õAû�ö�ø3ûbü�ó,õ¤ú¤ò?ï&÷�ïþ�ó,ø3õMû�õMÿeó,îbï�ôrõ$ò�óoø3ò,õM÷fú�óZï&ö�Mï"ñ,ó,ï���lílõQõ%��óZø�ô�øfò?ï��ï�ô�ú��ø�ô�øfò?ïBóZîbï�û7ýbôDù�ï&ñDõMÿ��6úMñ,øfú-ù�÷�ïò�úMòZò,ø�üAûbï&öh��ú-÷3ýbï&ò�÷�ïò,òó,î�úMûi�� #"%�

à�á à äæé"è�ëkj?lnm:oXpqj�è�å�ëãç$ì��ï�ï"û7ýbô�ï"ñIú�óZï>ó,îbï)ò,ï�óOõ-ÿ�.¬óZñ,øfú-û�üM÷3ï&òsr ø3û�� ú-û�ö�÷fú-ù�ï"÷�ó,îbï)ó,ñZø3úMûbüM÷3ï&òÂø3ûBó,ý�ñ,û!rut�óZõrwv�����ï>î�ú��AïOúhþ�õAû�ò?ó,ñIú-ø3ûbï&ö�ø�û$ó,ï&üMï&ñX��úMñ,øfú-ùb÷3ï4� � ÿ�õAñÂï&úMþIî��Mï&ñ?óZï���J@yxC�-í>îbï���ú-ñZøfú-ùb÷3ï� � î�úAò)úAò�ú�öbõMôBú-ø3ûQõ-ÿJ��úM÷�ýbïò�óZîbïrò,ï�óhõ-ÿÂó,ñZøfú-ûbüA÷�ïò�ø3ûy��îbøfþIîy�Mï&ñ?óZï�z�{��ú-ñ,ó,øfþ�ø|��ú�óZï&ò�$��ø�óZîoóZîbïUö�øfò�óZø�û�üMýbøfò?î�ï&öoó,ñZø3úMûbüM÷3ï[rwv�}nt\��î�ø3þIîqø�ûN�AõM÷|�Mï&ò>úMû*M��Mï"ñ,ó,øfþ�ïò���í>î�ú-ó�ø3ò

& �('*) +*-�.h/q� � 1J3�5V~X9 rw�c@zr�Z��E@r��N>EDF5V.� G"%>H¢ÿ�úz��úMñ,øfú-ùb÷3ï!� � 3�.� �"�óZîbøfò�þ�õAñ,ñZï&òb��õMû�öbòhóZõB�Mï&ñ?óZï����ûbõ-ó���ú-ñ,ó,øfþ�ø|��ú�óZø�û�ü�ø�û�úMû*Mò?ï&÷�ïþ�ó,ïö�óZñ,øfú-ûbüA÷�ï��:�Éò,ï&þ�õAû�öQò,ï�óhõ-ÿ4�&ï"ñZõN�6õAûbï���ú-ñZøfú-ùb÷3ï&ò�$��bt=ó,õi�Ov�$yøfòhø�û$ó,ñZõ�ö�ý�þ"ï&ö}óZõï"û�ò,ýbñZï�ó,îbï�þ"õMû�ò,øfò�óZï"û�þ�MQõ-ÿOó,ñZø3úMûbüM÷3ï�ò,ï"÷3ï&þ�óZø�õAû��ví>îbï!��úMñ,øfú-ùb÷3ï!� S 3�"�ø�ÿ�úMû�ö«õMûb÷|MQø�ÿó,ñZø3úMûbüM÷3ï�r�S©î�úAò�ù�ï&ï"ûUò,ï"÷3ï&þ�ó,ï&ö��"í>îbøfò�øfòyó,îbï&û=ôBú-ø3ûAóIú-ø3ûbï&ö[��ø�ó,îUþIî�úMûbûbï&÷�ø3ûbü�þ�õAû�ò�óZñZúMø�û$óIòúMòOÿ�õM÷3÷3õP��ò

& �q'*) & S�'��8� v\���T��� W ���n3�7��_�aS\3�"�`í>îbï�Aï"ñ,ó,ï�0��úMñ,øfú-ùb÷3ï&ò���t�ó,õh���¤úMñ,ï�ó,îbï�ö�ïþ�øfò?ø3õMûY��úMñ,øfú-ùb÷3ï&ò��X��ï}ý�ò,ï�óZîbï}ò?ôBú-÷3÷3ï&ò?óö�õMôBú-ø3û�ð�ñZò?óE��ú-ñZøfú-ùb÷3ï)õAñZö�ï&ñ,ø3ûbü�$$ò,ï"÷3ï&þ�ó,ø3ûbüUóZîbï��Mï"ñ,ó,ï��ó,î�ú-ó{��úMñ?óZø3þ"ø���ú�ó,ïò�ø3û�óZîbïh÷�ïúMò?óû$ý�ô�ù�ï"ñBõ-ÿ)ó,ñZø3úMûbüM÷3ï&ò����1ú-÷3ýbï}õMñIö�ï"ñZø�û�ü�þ�õAñ,ñZï&òb��õMû�öbò�ó,õ�óZîbï}ôrõ$ò�óC�bñZõMô�øfò?ø3ûbüh�6úM÷�ý�ïð�ñZò?óBWf"V�P`2�Âí>î�ú�óBø3òrÿ�õAñBúQóZñ,øfú-ûbüA÷�ïir�S�Oïqþ"õMýbû$ó�ó,îbï}û7ýbôDù�ï&ñrõMÿ)óZñ,øfú-ûbüA÷�ïòUóZî�ú�ó!r�Sò?î�úMñ,ïò=úz�Mï&ñ?óZï����ø�ó,îu$lú-û�ö�þ&ú-÷3÷©ó,î�ø3òDú�þ�õM÷3÷3ø3ò,ø�õAû�þ"õMýbû$óV�vívñZøfú-ûbüA÷�ïò=ú-ñZï�ó,îbï&û�ò?õAñ?óZï&öø�û}ûbõAû �¢öbï&þ�ñZï&úAò?ø3ûbürõMñIö�ï"ñ�õMÿÂþ"õM÷3÷�øfò,ø�õAûqþ"õMýbû$ó�����õAû�ò,ï��$ýbï"û$óZ÷�M���î�ï"ûQúc�Mï&ñ?óZï����ú-ñZøfú-ùb÷3ïø3òqúMòZò?ø3üMû�ï&ö�ú�óZñ,øfú-û�üM÷3ï�ø�ó��ø3÷�÷hó,ï&û�ö�óZõ¤î�ú��Aï�ú¤ò,ôBú-÷3÷�ø3ôC��úMþ�óoõAû�ó,îbï«ö�õAô�úMø�û õ-ÿýbûbø3û�ò�óIú-û$ó,øfú�óZï&öz�Aï"ñ,ó,ï�i��ú-ñZø3úMùb÷�ïò����lø3û�úM÷�÷|M%$�ó,õBõ%�bó,ø3ôrøfò,ï���ï�ô�ú��ø�ô�øfò?ï�� Sb� vSb� t �aS%$bó,î�ïû$ý�ô�ù�ï"ñ�õ-ÿ­ó,ñZøfú-ûbüA÷�ïòOò,ï"÷3ï&þ�ó,ïö��

Page 5: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

  ¡�¢O£�¤�¥*¦�§f¨L©�¤�ªb«�£;¥*¦

¬�­¯® °±G²�³4´�µq±X¶�·�µ(¸P¹Nº¼»Y½�ºX¹*¾¿\À?Á�Â�Ã�Ä%Å ÆcÇ È É�Å Ê|Ë�Ê|Ã�ËbÌ?Ê|ÁbÉVÈ�ÍNÎIÏTÐ?É�Ê�Ã*ÏTÉ�Ñ%É�Á�Å�Ê|Ã?É�Ä%ÁsÌ?ÁTÇ%Ñ%Á=Ä�ÆCÆCÊ|Ã?ÑLÆCÇ È É�Å�Ì?ÁbÇ�Ì�Ç*ËdÉVÈ�Ê|ÃÒ ÓPÔaÕPÖ Ñ*Ä�Ê|Ã�×VÏbÐ?É�Ø�ÏbÁTʯÄ�Ã?Ñ�Å�ÉVËnÊ|Ã�ÙÚÄ�ÁTÉEÉ�ÃNÀ?ÆCÉ�Á=ÄPÏbÉVÈ�Ä�Ã�È�Ä%Ã�Û�ÍNÎIØ�Ä�ÁTÁ=Ä�Î[Ü�Ê|ËsÝ�ÁbÉVÄPÏTÉ�ÈÞ Ð?É�ÁTÉcÜ\ß(à áCâ�ãcÊfä�Ä�Ã�ÈFÇ%Ã?Å|ÎBÊfä{å%É�ÁdÏTÉ�æBç�Ì�Ä�ÁbÏbʯÝ�Ê|Ì�Ä�ÏbÉ�Ë[Ê|ÃyÏTÁbʯÄ�Ã?Ñ�Å�ÉIè Õ�é Ê|Ñ%À�ÁbÉ Ó ËbÐ?Ç ÞÏbÐ?É�Ä%ÁbÁ=Ä�Î�Ü6ä(Ç%Á�Ç�À?ÁLËbÆCÄ%Å�Å�ËTÄ�ÆCÌ?Å|ÉIÑ%Á=Ä�Ì�Ð Õ ê Ð?ÉLè�ëqì!Ý�Ç�Å�À?ÆCÃzÇ�äsÜ�Ñ%Ê|å%ÉVË{ÏbÐ?ÉIå�É�ÁbÏbʯÝ�ÉVËÇ�äEÙ�ÏbÐ�Ä�Ï[Ì�Ä%ÁdÏTÊ|Ý�Ê�Ì�ÄPÏbÉ�Ê�Ã�ÏbÁTʯÄ�Ã?Ñ�Å�É�í á Ä�Ã�ÈyÏbÐ?Écç2ëqì�ÁTÇ Þ Ç�ä{ÜîÑ�Ê�å�É�ËLÏbÐ?ÉcÏbÁTʯÄ�Ã?Ñ�Å�ÉVËLÊ|ÃÞ Ð?Ê|Ý=ÐFå%É�ÁbÏbÉ�æBç{Ì�Ä�ÁbÏbʯÝ�Ê|Ì�ÄPÏTÉ�Ë Õ�ï É�ÏTÐ?É�ÃyÊ|Ã*ÏbÁTÇ È À�Ý�É�Øñð�É�ÁTÇNòPÇ%Ã?É�Ý�Ç%Ã�ËdÏbÁ=Ä�Ê|Ã?ÉVÈzÊ�Ã*ÏbÉ�Ñ%É�Á

ó4ô�õ:ö�÷�ö�¡�ø*¨�ùaú:©y£;¥*ûýü*£þ¢O¨8ÿ�����ÿ�¨=§��

å�Ä%ÁbʯÄ�Í�Å�ÉVË���EÏTÇ��� Þ Ð?É�ÁbÉ��?áLâ ã�Ê�äwÄ%Ã�ÈcÇ%Ã?Å|Î�Ê�äwÏbÁTÊ|Ä%Ã?Ñ%Å|É�í�á�Ê|Ë4ËdÉ�Å�ÉVÝ8ÏbÉVÈ Õ� Ç�Ã�ËOÏTÁTÄ%Ê�Ã*Ï=ËÄ�ÁTÉyÁbÉ��*À?Ê�ÁTÉ�È,ÏTÇ É�Ã�ËdÀ�ÁbÉFÏbÐ�Ä�ÏÉ�Ä�Ý=Ð#å%É�ÁdÏTÉ�æ¼Ì�Ä�ÁbÏbʯÝ�Ê|Ì�Ä�ÏbÉ�Ë�Ê�ÃÚÄPÏÆCÇ*ËOÏiÇ%Ã?ÉhËdÉ�Å�ÉVÝ8ÏbÉVÈÏbÁTÊ|Ä%Ã?Ñ%Å|É%×?Ä�Ë{ä(Ç%Å|Å�Ç Þ Ë��

� ß����á����á�����?á�� Ü\ß(à á��Kã

ê Ð?ÉyÈ É�Ý�Ê|ËbÊ|Ç%Ã,å�Ä%ÁbʯÄ�Í�Å�ÉVËcÄ%ÁbÉ �!��ÏbÇ"���×4Ä%Ã�ȼËdÊ|Ã�Ý�ÉiÏTÐ?É�ËbÉBåPÄ�ÁTÊ|Ä%Í?Å�ÉVËCÝ�Ç%ÁTÁTÉ�ËbÌ�Ç�Ã�È�ÏTÇÏbÁTÊ|Ä%Ã?Ñ%Å|É�Ë�ÏbÐ?É�Î0Ä%ÁbÉ!Ç�ÁTÈ?É�ÁTÉ�È�ËdÏTÄPÏTÊ|Ý�Ä�Å|Å�ÎhÊ|ÃYÃ?Ç%Ã$#2È ÉVÝ�ÁTÉ�Ä�ËdÊ|Ã?ÑzÏbÁTʯÄ�Ã?Ñ�Å�É�Ý�Ç%Å|Å�ʯËdÊ|Ç%Ã�Ç�ÁTÈ?É�Á Õ% Ä�Å|À?É�Ç%Á=È É�ÁTÊ�Ã�Ñ�ʯË{ÏbÐ?ÉIåPÄ%Å�À?ÉCã[ä(Ç%Å|Å|Ç Þ ÉVÈ�ÍNÎ!ÏTÐ?É�å�Ä%Å�À�É�&?× Ì?ÁTÉ�ä(É�ÁbÁTÊ�Ã�Ñ�ÏTÇCËbÉ�Å|É�Ý�Ï�ÁTÄ�ÏbÐ?É�ÁÏbÐ�Ä%ÃiÁTÉ('OÉVÝ8Ï Ä�ÏbÁTÊ|Ä%Ã?Ñ%Å|É Õ ¿\Ì?ÏbÊ|ÆcʯËTÄPÏbÊ|Ç%ÃiʯË�åNÊ|ÄcÆ!ÄPæ Ê|ÆcʯËbÊ�Ã?ÑcÏTÐ?É�ËdÀ�Æ*) á��+á��,� � á Õ

- .0/21436527$8:9;8�<>=,7$8(?A@CBEDF?HGJI:1+9Ö Å|Å[É�æ Ì�É�ÁbÊ|ÆCÉ�Ã*ÏTË Þ É�ÁbÉ�ÁbÀ�Ã#Ç%ÃKÄ Æ!Ä%Ý=Ð?Ê|Ã?É Þ Ê�ÏbÐLK6MýÃ*ÏbÉ�ÅON:É�Ç�ÃQPARTS Ó &0Ì?ÁTÇ Ý�ÉVËbËbÇ%Á=ËÁbÀ?Ã�Ã?Ê�Ã�ÑYÄPÏ Ó Õ RU&"VXWLð%×AY Ó V[Í,Ç�ä�Z ÖJ[ × Þ Ê�ÏbÐGå%É�ÁTËbÊ|Ç%Ã\R ÕþÓ Ç%ä[Å|Ê|Ã*À?æ Õ Psæ Ì:É�ÁTÊ�ÆCÉ�Ã*Ï=Ë

Page 6: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

]�^(_a`�b>c�dfehg!`�i:jU_ab>c k

lAm�n�m�opmqn�rts�nvuwm�xysTz�m�n2{Hn|x}s>~:���2mq�����pn|�U��x}s�u���n|�Uo$�F~��F����� �}�Fl��Fmqnvm��0��~��v�$m����$uO�pmqnsUr!z�m�n:�v���qm�~H���Fx�����~H���$mhm�x}�>m2o$nvs��F���$�������(�������$mho$n�s>�$��mqu�l���~���s�oF�>�| ��v�$m2u¡�T¢}��uO�$u���FuO�pmqn�sUr���nv�����$����m�~A���£���Fm����$o$�$���>nv��o$��������z�m��£�¤�¥s���~(�vnv�������¦�v�F�T���v�$mXuw�U¢}��u��$u§��~��m�~�~¦���F����s�nAm�¨��F���$��sª©���«U¬T­>�>�®� m��>���FmJ�U��~:s>���}�vm2�$o$opmqn¯�ps��$�Fx°s��w�v�$mJs>o}����uw��~v�T�v��s>�¡��~ ��FsTl��°��� �>x}zT�U�F�qm���±²�$�������U��mq¢}o�m�n���uwmq���v~�~��$sTlAm�x¡�v�F�T���v�$mXz�mqn���mq¢�uws�x$mq�!opmqn�rts�nvu¤m�xs�n|x}mqn|~+s�r�u¡�U�>�$�����Fx}m¯l¯s�n|~:m¦���F����s>�$n�sU���Fmqn,�(lAsJuws�x$mq��~��U�FxOl¯�>~�mq¢$�¥���Fx}m�xOrtnvs�u³s��Fn~(�v�Fx}��m�~��!´J�$mOsUr����FmOnvm���~�s���~¯rts�nJ���$��~2��~2�v�$mO���Unv��m����$u���m�nJs�r����$�Fmqnvmq����~���u¤uwmq��nv��m�~l��a�v�$���6���$m�uws}x}m��®�,{¦���|�0�vn����U�$�>��m¡�>mq�$m�nv�U��m�x0���U�ª�pm���n|�µz�m�nv~�m�xE���ª�(l¯sEx}��nvm��¶�v��s>�F~���U�Fx"l��Fmq�6l¯m��F�µz>m�·¸�vn����U�F����m�~�l¯m°�F�µz>m�opsU��m��������U�����"¹Uº»~:��uwuwm¥�vn���m�~������$m�n�mqrts�nvms��$nA¼Fn|~(�¯m¥¢}o�m�n���uwmq�����¥s�uwoF��n�m�~��v�$mh�vn����U�F���$���UnHuws}x}m���½®�+nv��¾Hl������°���$m������vmq��m�nA�����$m���no$n�s>��n|�Uuwuw���F�¯���F~�o$��n�m�x�uws�x$mq��½�±(¿+À¯¾¶�µ�2�U�Fx$s�uL��n|�Uo$�F~�lAm�n�mH�>mq�$m�nv�U��m�xJl������O�ÂÁQÃ>ÄF�Ä$Å�Æ£ÇÈ�ÉÇÊÄ$Å ÃF�!l������ �"zT�Unv�����$� ���"Ä$� Ä$Æw�����¥nvmquwmq���v~��+���Fx0¹�Ä ��n|�Uo$��~J�>mq�$m�nv�U��m�xË�U�m����|�wzT�U���$mJsUr}�+��Ì������Fn�mh¬�~��$sTl2~�s>�w���$mJ��mqr��¦�v�$mhuwm�x$�����¡���FuO�pmqn¦s�r!�$s}x}m�~¦m¥¢}o$��s�nvm�x�U�Fx£s��y���Fm�n������������$m�uwm�x}�����£nv�$�y����uwm���� uw��������~�m��qs��FxF~q�´J�$n�¼Fn|~(�2s>�F~:m�n�zT�U����s��y��~��v�F�T���v�$m��vn����U�$�>�$���Un�uws�x$mq�Í����n��Í�$m¥¢}o$��s�nvm�~¯rtm�lAm�n��$s}x}m�~

�$�}���v�� �m�~¯uws�nvm�n��$�£����uwm��U�Fx°���$��~�l���~A���$m�����~�mJ���y�����s>�$n�m¥¢}o�m�n���uwmq���v~��$Î2sTl¯mqz>mqn�����$m£u¤s�~(�¤~(�vn��� ����$� rtm��T�v�$n�m�~�s�r¯�v�$m��>nv��o$�F~���~��v�F�T�����$m�n�m���~O�E�¥s�uwo$��m¥¢}���(�Eopm��� 0�U��£ÁQÄFÅ ¹>¹X�U�Fx¤�v�$��~A��~A�qs�uwuws��w��s���s�����uws}x}m���~��>Ï\���w~:�Fs��$��xw���Fmqnvm2��m��O�qs�uwo$��m¥¢}�a�(�o�m��U $аѯ�¤��sTl;zT�U���$m�~�sUr��ÒrtmqlÊ��nv�����$����m�~Om¥¢}��~(�����Fxª������~�m��>~:�Ë��sÓ¼F�Fx6���"s�o}�v��u¡�U�~:s>���}�v��s>���!ѯ���$���>�EzT�U���$m�~Js�r+�Ë���$m�n�mw�Unvm�u¡����� �vn����U�F����m�~��U�FxE�a����~Js�r���m��Ó��nv��z����U�,�vs¼F�Fx"�v�$m ����n��>m�~:�O���$uO�pmqn6©t��«T¬T­ �U�Fx6��m�n�uw���F�T�vm£~�m��Un|�|����ѯ���ÔÁÕÄ$ÅÖ¹�¹ s>�×�µz�m�nv����m���$m�n�m¤�Unvm°Æ�Ä>Ĥ��nv�����$����m�~h��sy�|�$s�s>~�m�rtnvs�u*���0�XØ�Ù�� Ù�Ú Û�Û��U�FxÓ���$m¤~:��Üqm�sUrH�v�$mOuw���$��u��$u���FuO�pmqn�oF�>�| �m�xÓl���~wÆ�Æ>�!u¡�T¢}��u��$u¸Æ�¬ �U�Fx0�µz�m�nv����m°Æµ¹y�U�Fx0���O�Uo$opm���nv~��v�F�T��������~�F�Un|x��vs¡o$nvsTz�m�s�o}�v��u¡�U�����(�°���£�v�$��~�n�m�����s�����±²�ÂÌ,���>�$nvm�äl¯m�~:m�mX���$m��qs�uwo$��m¥¢}���(��o�m��U 

10

100

1000

10000

100000

1e+06

1e+07

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

med

ian

node

s

edge probability

Tri n=40ILP n=40

1

10

100

1000

10000

100000

1e+06

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

med

ian

cpu

time

(ms)

edge probability

Tri n=40ILP n=40

ÝHÞ�ß�à�áFàUâUe¶`q^(i:ã2evä$å�^²æç�å�^æ(ã>e�å�è>æ(_fé�_fê(`qæ(_få�bhè>^(å�ë�dfe|éÒå�b�ì�í²îvï ð¦ñ�ê²_fb>c¦æ®ò�å¦i|å�b>ê�æ²^:`�_fbTæ!é�åUó>e|dfê|ôb>åUó>e|êHå�b¤æ(ã�e�dfevç�æ¶õ�i|è>ñ�æ(_fé�e�å�b�æ(ã�e�^(_fc�ãUæ¶ö

���w�v�$m2s�o$����u¤��~v�T����s��wo$nvs��F��m�uÊ�>~�lAm�zT��n�������Ï0mh~:�FsTlÒ�v�$n�m�m�zT�U���$m�~¦sUr�ª½Í¹}Æ>��¬�Ä����FxÃ>Ä>¾¥��l��a�v� �¤~v�Uuwo$��mX~���Üqm�sUr�nvm�~�opm��¶�v��z>mq���°¹UÄF�pÆ�Ä�Ä��U�Fx ¹UÄOrts�n�m��>�|�°zT�U���$mXsUrp�+�}Ñ2���U���

Page 7: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

÷ øFù(ú�ûqü�ý�þaÿ��!û����Uúfü�ý

���������� �������������������� �!�#"%$&�#')(*��,+-��') �.��!����/0��1����2�/��"43 �! ������!5�*�6.��7��.8��'��69�') ��/(�#')(:�� � �9).8�#�;�<�&�7��.�=&�#��9��/���>0�!(�?��4��.8��3 �#3����<�<���4@BA

1

10

100

1000

10000

100000

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

med

ian

cpu

time

(ms)

edge probability

n=40n=30n=21

CED�F G�H2GEI7J�K ú�L�úNM(û K ú�O�ü PRQ�ûqùTS�úfü�ýVURW0X�M�U"úaü6�vù(ÿ¶û�M²ÿYM K�Z ÿ[�YO!L J þfÿ8\�ú K S J ÿ¶û��^]}ÿY�YO/L�ÿYM_L4Oqù(ÿJ ù�O�ü6O!`�ü6�|ÿba�û�üca�O&�Y�Y`�ù�M¯û K þNObd�ÿ�ù�Q�û�þN`>ÿYMEO/e�ÿba�ý�ÿ J ù�O/]�û�]�úfþfú K S&W

f gih;jlkmjBnRo�pco�qsrutwv�qsx�y�j0z

{ ��<'�?:��1)��8�#����|���4�#>s?6.8����1)_��_�<'}��1)�*�).��/=~����9 �|��9)(���$��#' (��81��*8�#���*���� Y1���'���$����'��&����(�(�.��!�E��1���(��/ ��������'V��.8��3)�<�/���~��s�81���.8�����)�� Y"c��'�?���>R��1��_��'���9���?�.Y�#��1V��1)�#��<'c=��6�<=6�/���+0�&�&�=6��.�������(�������6�<'~�E�8.����#'�?6�<�!8����'��&���'�?_��1)�#�E��1��������8�<������#������'���.8��3������������E��1 �#.Y(R$ ����� �/.�����') ��[�9�?�?6�/|�8;��1)�#�_�81���(��/ �����<�6'���.8��3�������������,����1��<3)���4�-�)1)������.Y�#')����8�<�6'��&��|�6�*��� �6�<'~���<'��<�8_ ��6'~��.8�����)��.8���������/./$ �<'���1���� /������/(�?����).��63)�#3����������6$�1���.8�E��')��Y�#') ��/0�#3�.89����8�<�� Y1)�#')?��5>�.8����3 �/�<'�?�9�')8�&����|� �#3������8����#������2�#3�����$!�#')(��1��/'��1������ � �9�.Y��� ��6�*�)�<���c�<���w�2�/��"w����<��������.8?������c$/���#��A� T'¢¡,�<?69�.8�-£����-������1 �&���7������ �! b�!A�¤�'V��1��_�<��>¥����.��� ���'~�8��9�.Y�>��6.��2��.Y ��/'6�Y�#?6����#������2�#3����<�<�����#?6���<' ��7�/(�?6�;��.8��3)�#�3��<���<���V>���.;>���9�.;(��<¦%��.8��'~�;=&�#��9��/��>,+¨§�+i�/©~9)���%���-ª�«�$���«)$��6«)$)�#')(^£#«*��<��1���8�#�������|��¬��;��>��/«�«_���� ������s>���.E+�­®£�«��1���.8�;��8�#�������;|��¬����#>B£#«������9 |�!(�(�9���8�4���� ��!���<=6�.�9�'��8�<���!8¯�Ac¤�'���1)��.8�<?616�E�7�1)�°=6��*�!(����#'�.89�'���������§���'V���<��������/ ���')(�Y¯���?6�#��')|���/(�?6���.��63)�#3)�<��������>���.�>��69�.E=&�#��9��!��#>R+�A#±i�;��3 |�/.�=6�����)1)�������.Y�#')��<������'*>�.��6�²9)')��#������2�#3�������[8�&�8��|� ��3��<����E�7����') �.��!����E@-�#' (���1������.Y�#')��<������'�32�/ ��6���/s�1)��.��2��.7�#')(��� / �9�.Ys�#��<�&�7��.�=°���<9)�/_�#>�@³������*��') �.8�/�6|��+�´%��A �6A<$%�7�[����[��1��[>µ�#�����<���#._�/�6|�~��1)�#.Y(c���/�6|�V� �&�|�����.8'�AR¶_ ��������6.|�81^'��#�8�<'�?V��1)�#��|�6���4�#>,��1��!|���).��63��<�/�����/.��4���� �����������')���<���-1)��.8(�A·E¸ O K ÿ K�Z û K d,ÿJù(ÿ J Oqù K ù�`>ü K úNL�ÿ�ù:û K�Z ÿvù K�Z û�ü�ü~O#a�ÿYM7QUúNM²ú K ÿba)WFø Z úNM�úNM�]}ÿY�¶û�`~M²ÿ K�Z ÿ�� Z O&�YOK O&O�þN�Uú K ù(ÿY�YO�ù|a�M!ü~O#a�ÿYMúfüXûqüJúfü K ÿ|ý�ÿ�ù�Q�û¥ù(ú�û�]�þfÿ�ûqüca2úfü�MTO/L�ÿ,O/e~O!`�ù�U�¹»º/¼¦ý�ù:û J~Z M!ü#`6L�ÿvù(úN�O�QµÿvùT½cObd¾O&�Y�Y`�ù²ù(ÿba)W

Page 8: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

¿ À�Á�Â/Ã6Ä!ÅNÆ�ÇRÂ/È|É#Á�Ã6Ä Ê

0

20

40

60

80

100

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

% s

atis

fiab

le

edge probability

n=50n=40n=30n=20

1

10

100

1000

10000

100000

1e+06

1e+07

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

cpu

time

(ms)

edge probability

n=50n=40n=30n=20

ËEÌ�Í Î/Ï)Î ¿5Ð~Æ�Ñ6ÆYÈ8Á�ÒTÁNÓ/Ã-Ô�À�Ó!Õ6Å�Æ8Ö�×~Ø/Â�ÀTÙ�ÁNÃ~Ä�ÚRÛ)Ü7Ã[Ý�Ð~ÆÅNÆ8Þ�Ý7Ô�Æ8À�ÈYÆYÃ&Ý|Â�Ä!Æ;ÒTÓ!ÅNß~Õ6ÁNÅ�Á�ÝàÙ�Â/Ã~Ñ�Ó!Ã*Ý�Ð6ÆÀ�ÁNÄ/Ð#Ý,ÒTÆbÂ�À�È|Ð4Æ8á�Ó�ÀTÝ5ÁNÃ4Ö4ÁNÅ�ÅNÁNÒTÆYÈYÓ/ÃcÑ�ÒYÛ&â^ÆEÒTÆYÆ�Â/Ã�Â/Õ�À�ß~Ô�Ý,Ô6ÐcÂ/ÒTÆsÈ|ÐcÂ/Ã6Ä!ÆsÂ/Ã~Ñ4ÂÈYÓ/ÀTÀ�ÆYÒTÔ�Ó/ÃcÑ�Á�Ã6ÄÈ8Ó!Ö4Ô~ÅNÆ8ã�Á�Ý�Ù�Ô�ÆYÂ/É�Û

ä�å�æ�ç<å)è|é8ê�å)ë�æ�ì�í8î�ïñð�ò�ó/ô ó�õ ö8÷*é�îcî6ø�ç<å³æ�ù�ë�æ/è8è_î#ì7é�ú�í8æ�æ�ê#å ûiê�ú)ê�ü�ìû�ê°ý�è�þ7ÿ��²é�ç�ï�æ��� ú�æ�í8æ/ê6è�ç�å)è|é8ê�å)ë�æ!èû�í8ê � å:ì�í8î�ï ð���ó�ô ó/õ �|÷_é�îcî�øVî6å�ê��æ�íYê�6æ ����ï�ç�å���é�æ/è;æ/ê�ëYú��� ú�æ���ú)ê�è�æ_é�íYê#å)è�ç<é�ç�î�å�ú)ê�è��2æ�æ/å^ëYú ê#íYê�ëbé8æ�í8ç�è�æ/û-ç<å��������Rê6è7ì�î�ü�ü<î � è�� "! �$#&%('*),+.-/'0%21%('*)43 -53� ú�æ�í8æ +6-/'0%�1 ç�è�é�ú�æ:æ�ù7�2æ/ëbé8æ/û³å8��ï9� æ/í[î�ìè�î�ü:��é8ç<î6å)è�ê#å û 3 -53 ç�è4é�ú)æ-è|ç:;�æ-î#ìé�ú)æ

è�éYê&é�æ�è<�)ê6ë�æ=��>mú�æ�åVê�ü<ü è�éYê&é�æ!èsê�í�æè�î�ü:��é�ç�î�å)è "!@? ê�å)ûA��í8î���ü�æ�ï�èEê�í�æè8ê&é8ç�è<B ê��)ü<æ;ê�å)ûæ/ê�è�ý�� � ú�æ�å�å�î�è|é8ê#é�æç�èEê�è�î�ü:��é�ç�î�å "!DC ê�å)ûE��í�î=��ü�æ�ï�èEê#í8æ$��å)è8ê&é8ç�è<B ê���ü<æê�å)û�æ/ê6è|ý=�ê#å)û � ú�æ/å³é�ú�æ/í�æ-ç�è�î�å»ê��æ/í8ê��æ�ê�è�ç<åF6ü<æ:è|î6ü���é8ç<î6å G! �-ê#å ûH��í�î=��ü�æ�ï�è�ê#í8æVú)ê�í8ûI�J î�í�é8í�ç�ê#åK�ü�æL� ê�ëYøcç<åK � æ4ë�ê�å^ë�î�ïA�F��é8æ 3 - 3 ê�è�ì�î6ü<ü�î � è�� J ç�í8è|é � æ4ï9�)è|é�ë�î�ïA�F��é�æ�é�ú)ææ�ù7� æ!ëbé8æ/û�å8��ïM�2æ�íî�ì0é8í�ç�ê#åF6ü<æ!è7ç<å�ð�Ncô O*ê�å)û:é�ú�ç�èç�è

P !RQFS T8UWVYX� ú�æ�í8æ[Z N X\ ç�è*é8ú�æ�å8��ï9� æ/í�î#ì � ê°ý�è � æ^ë/ê#åmëYú�îcî6è�æ:é�ú�í8æ�æ]�6æ�í�é�ç�ë�æ/è�ê�å)û V X ç�è�é�ú)æ��í�î=�)ê��)ç<ü�ç�é�ý}é�ú ê&é*é�ú�í8æ�æ^��æ�í�é�ç�ë�æ!è�ê�í�æ-ê6û_|ê�ë�æ�å~é�é8îwæ!ê�ëYú¢î#é8ú�æ�í*�5ê#å)û � æ:ë/ê#ü�üsé8ú�ç�è P �� ú�æ�í8æ�ì�î6í�æ4é8ú�æ�è|ç:;�æ[î#ìEé8ú�æ*è|é8ê#é�æ*è<�)ê6ë�æ[ç�è�é�ú�æ*å8��ïM�2æ�í_î#ì � ê°ý�è � æ[ë/ê#åwëYú)î~î~è|æM` !a Scb T�d é8í�ç�ê#åK�ü�æ/è7ì�í8î�ï é8ú�æ�è|æ�é;î#ì0é�í8ç�ê�åF�ü�æ/è�î�ì,è�ç�;/æ P

3 -53 ! Q P ` U� î�ë�î�ïA�F��é8æ +e-/'0%f1 � æï9�)è|ésë�ê#ü�ëg�)ü�ê#é�æ7é�ú�æ ��í�î=�)ê��)ç<ü�ç�é�ý�é�ú)ê#ésê4è�éYê&é�æç�èEê�è�î�ü:��é�ç�î�åI�ç(� æ��&é8ú)ê&éEú ê�~ç�åF4ëYú�î~è|æ/å9`[é�í8ç�ê�åF�ü�æ/è5ê�ü<ü�é8í�ç�ê#åK�ü�æ/è�ë�î6å~é8ê#ç�å�û�çih%æ�í8æ�å~éW�6æ�í�é�ç�ë�æ/è���j�è8èk��ï�æê¾è�ç<åF6ü<æ�é�í8ç�ê�åF�ü�æ�ú)ê6è"�2æ�æ/å®è|æ/ü<æ!ëbé8æ/û4� � ú�æl��í�î=�)ê��)ç<ü�ç�é�ý é�ú ê&é-é8ú�æ}è�æ/ë�î�å)ûmé�í8ç�ê�åF�ü�æ

Page 9: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

m nKoqp�r�s�t�uiv w4r�xky�pzs�t{<|�}�|*~��k|*���:{$~����A�K�0�����K}�|��$���k���k�F|��Y��{<�5�:{����F|�����8��������� � ����K�l���F|,�F�����K���F�:}����q�����K�0�M�k�F|����F�:���H���k�����K��}:|,{<|�}�|*~��k|*���7�8|�{M�F���9~����7�Y�:~g�M�$�i�����k�K|�K��{<�5���K��{k|�~����K�^�:{����F|�� ���8���� ���� ������K�e{k�l�=�I /�:�e�l����¡{k���A�:}:���A�k�l�k�K���,¢K{k|��.���.���F|¤£����k�k�K�K��¡¥/���¦���7�§H�$�F|��k|���|~g���A�F¢F�k|,���F|��F�k�=�K���K��}:�i�q�¨�k�Y�0�9�:�¡���k�8���©�$���k�¡ª[��|��=�F}:|^�0�E}�|*��{<�«�q���¨{k�K����|��k�K|{k���E|��F�:�k�k�K�F��=¬F­��F|���|g®¯�=�k|°�k�K|��F�k�=�K���K��}:�i�q�,�k�K��� �E{<�����k|���{$�A{<�=}�¢7�����=�^��{����F|��

±�²q³<´�µ·¶ ��¸��k¹¦�4º»¼�½ º�(�8�¾�g¿ ¼�À���� � ����K�"�k�F|�|�§7�Y|*~��k|*����¢K�M��|��5��®f{k��}:¢7�k�:���K{���{����F|��

Á[Â/Ã0ÄfÅ µÇÆ Â ÆzÈ ±�²<³q´É �GÊf���=¢F��|^˨�Ì|��K�Í�|^���¡�k�F|�}�|�®Î���Y|���~�|���������|^{��0���:{<�Y���F��}:���q���F}����<��|��¡���=�����K{<�AÏ®¯���$ªlÍ���k�8�:�F�9®¯�k�=�ÑÐ�Ò9����Ó�ÒF F���K�����^�k�F|������=�����A|*�7�:����Ô�¥�ÕD�k�:�A|������A��}:}:�:{k|�~����K�F{���=�����Y{q��Ï�¬=ÊK�k�=�·�k�F|*{<|°|g§7�Y|��k�:�A|�����{��i�����F��|�����{W�k�K�������F|5���F|��=�k�E��®�~����K{<�k�¦���:�F|��F�F|�{�{

0

20

40

60

80

100

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

% s

atis

fiab

le

kappa

n=50n=40n=30n=20

1

10

100

1000

10000

100000

1e+06

1e+07

0.5 1 1.5 2 2.5 3

med

ian

cpu

time

(ms)

kappa

n=50n=40n=30n=20

ÖW×:ØYÙ�ÚKÙ w¾v�oqx¦v¦s0Û<r�t�v,ÜÞÝ*uzß�à=piuzpáÛ�â.ãÎuzv�ä:Ûkå«r�s�æHx¦Ý*ç�è=ß=Û<r�ÛqpzÝ�s8r�u�v�éFÝ�oÞÛ�ã�oqpzt*ê0Ûkå�è�uzÝ�ÛÞÛqv�æ�r�t*r�pzs�ÜëÛx�Ý*s�ÜëÛÞo<r�pzs�v�æ�s�v¦ÜÞÜÌìYí8î�ïð&ÜqrgÛqpzÜëñ7r�à=pzuipáÛ(âAÝ0x¦x¦ß�oqÜ�r�ÛÌï�ò m�ó¨ìEólï�ò mô|g§8�k|��K�F{����A�k�F|����k�����F�=}�|��K�=~¦õ8���F���7|*~g��{<�:�����F�����K}�|��� 7�K�k|*�7�:~g�k�:�F�A�k�K|�}��7~����k�:������®f�k�K|�F�K��{k|L�k�¦���K{k���k�:�����$�i�����=�8�8����~�~g¢F�¦��~���¬

Page 10: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

öY÷qøiù�ú=û*üzý þ4ù�ÿ���øiú=û �

������� ��������������������������������� ���!��"���!�#��$�&%(')�� *���� �!��������+���+�,�-'.�/� �0%1������ �2�43657��� ���8��9!+:;#<!�!+�$�����>=9?@�A �!���B��&DC�E+E�FHG������D �� �8���� ���I�.%1!9�9�&�J�� .B��& KL ��$%1�������� !M�����*NPO7Q%M!9�9���RG@?TS&���!9UV!+���WB2�� �$�+#����X�$ 1�� � �!9�����2���,�Y'.�/� �Z�,�+���"� ��������+�$�+57�������M�� M[�\^](EL��_�����L!+���$K�/_`�����baHcedD� ��������+�$�f�� � ������,�4���,�gG�hi���&�L�� �$�+���+�$�� jak���l�6m1 ����� �nB��&��������� o�������!+�l P� �+���I�7[ \ 3M[,pDqAEj�� r�l!I P� ���gG2st�$�����$��K*��������)�$ r�u��!��� P� �+���I�t��!f_v!+����j������ ��&�$���4� ��!��!�_1wvx7y2z�{^�� �����������, &5<�RG �+G7| \�}`~\�}J� [�\�]�wvx7y2z�{�Ggst����8���W�L ���!2'� u�X����!+�D!�_o%1�����$�+�-�&��8���$%M���+���+���� ��k�JG��>!I P�@!�#IB��$!+8� ��$K+5,������%1�$���$ �2��3i �!+�$B+��t�� r!+��9�� 7!�_�%���+���/� 8��9�)_e�+ ����������+�L� ���D��!+�l P� �+���I�j���!��+���%1%1�����M �!���B��&,GIs�!+�x�]����6%1�����$ �2��3A�$ )�������$���M ����&!+���� ��!D �!���B���'.���& ���� `� ������!��� �������$���@ �!+�$B+�&t�����+�, 7����!�8� ��+���� r!+_< �����!����� �G���!2')�&B��&,5,#<!�� � �!���B��&� o�&������#������1��!+%1��8�� �2� ��!������g�&!+%1���$���9�/�PK�<���+�L�2�)�����^���I�� �2� �$ ��l�+#����$���PK�l!����I��G?��Z����� �&%1�9�')�� ^%���9�W� !- �!+�$B+�X���� �� �+�����, 6���Mx�]��+��'.�/� ���� ��+%M������ ��$S&�X!�_u�+�� B2���$8��� n!�_@xY���, � ������+�������� f���VB+�*�W ��%1���$�^ ���S��D!�_�E,�+���)#�89�n� ���*���9�<�& ��%1������ �')�& ���#<!+������>��_�����6EV�1���VK9 n����8>���$%1�+5<'.���&���,�9�+�^���!�#���#����$�/�PK� ���+�������>�B2���$8��6!�_k���$E���5 ������� P�l�+#��$�����PK��+���� !V�9��%�2� �&�$K��+�I�L5j�+���i 8��I���$%M�, �PK������&�+���$K��������$����E,�"��!+8�� W�<�&���� �� �+������G

1

10

100

1000

10000

100000

1e+06

0.5 1 1.5 2 2.5 3

med

ian

cpu

time

(ms)

constrainedness (kappa)

n=60n=50n=40n=30

�k�$�l�, ��<¡Eý4¢=øiù�ú£2þ`¤¦¥qø¨§�ý�©=ü/ª&¥«¥qý4¢Aù�ûù�øzú�¬H¥�ÿ�ª�úI¬H¥Þ÷<ù�øiú=ý4¢=ú=ý�¬«¬j­l®�¯&°V±�¬qù&¥qø¨¬H²7ù&³�øzüzø´¥;µ1ª0ÿ�ÿ�¶=÷P¬ù�¥j°+· ¸b¹Y­1¹-°+· ¸Vº2®�»�ý�¬Þý�ý ú�ªbª,³�¼�ø¨ª,¶�¬�ÿ ª,§D©�üzý ½�ø´¥;µ^©7ý�ù&�9ý §�ý�÷qû*øzú�ûu¶�ú2¥qøzü�¾¿�¯&°�ù�úI¢6¥PÀ�ø¨¬ø¨¬�ü¨ª0ÿ�ù&¥qý4¢,ù�¥j¥PÀ=ýn¯�°V±�©9ª�øiú2¥Ìøzú1¬«ª*ü¨¶I³=øzüiø´¥Rµ2®9Ág½�©7ýk÷qø/§�ý�ú�¥P¬�ù�¥j¾L¿0Â,°�Ã9¬qù�§D©=üzý.¬Þø/Ä�ýb¯&°+ÃIÅfý�÷qýù&³9ª�÷«¥qý4¢Eù&Æ$¥qýk÷nÇ4Èb¢�ù�µ+¬�®

É ÊÌËnÍJÎ�ÍÏË�ÐJÑoÍAÒ9ËnÍÓÎ�ÍJÐ@Ô�Ô«ÕÖËnÐrÎ�×ÙØnÎ�ÚoÛfÔPÍ7Ü�Ý0ÞkÚoß�Í@à

N«�áE�����Euâj���&�� ��&%�+�J5IãD�+����_e ���K�����W�t�VK���!�o8� ����W�����u�� !2B+!9�&�����$B+��� �/� ����ä�åWæ�ç&è�çbévæ�çè�ç�ê2ë�ë¨ì*æ�ê�è�ífî<è ï+ð&ë�ç�ñ6òbê�è�ç,óD_v!�o� ���&�$j�l���<�&o!��L ���8��9�$�� j!�_J�����+ ��.������l ������$!+������&��!�%6:�&���6������!�%^#��$������!+ �����<���!�#��$�&% &G9������KL��!��2ôP������8� ���W�����������$��õfQ@:«��!�%M�����&���D�9���&�$ ��$!+�

Page 11: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

ö�÷ ø�ùPú�û&üIý�þ/ÿ��gû�����ú¨üIý

�������� �������������� ����������� �"!#�"��$�����%���&���' (���)�"!*�'������+!-,.����/���"���0�213�"��� 4�$5��!&�$�6���0�'71*�"��� 8�+�4�'��( 89�+!:���$+�;�&�"�)�"�< ��$ ��=�>�+�%?6�"�$�� @�#�"!&�A�"�=���� B���&�+�� �3+��!&�&�"�$CD���& ��$ ���������3 <�59�+�<���� ����E�2C-�* F�"GIHJ�"!&�-���*�6�=���%�K�& ��$ L�$�� <�&�"�)���������� ����%�"�$ +MJNO��&�� �7P��& �!:���'���&���� F��9�+!�1*���< @�Q�����0�LR�S@T"UVHI�"!*�D�"�0�'W�'�&X+X+ F�2�$ @�W�$�&�6������ (9���(�&�� ��O���2C5�* F�"G�Y���Y�L,. F�6���&�� %",Z���� =�&������ @�[�"!*�B!�+�K",\���� =�"��X+��������&�WHO�VM �M����& 9�+�<���� ������2C��* F�"G���L�"��X++�$�������]��!&�� ��3 �!&�� @!:�@M^NO�����3+������!�XD @?:�0�� @!&9� ��>�+�=X���?� �!#,.��=�����0�L��!_R `6UY�K�� ��$ ���9��+�a�' F�"�)9)���>�+�%�*�' F�bMdce!*���"���0�21*�+��� ���!&�'�$�+!&9� F�%�� @�� (1&���� @�� F�f+��� +,��$�� 8���$+��� �����6�)���� ����'�*9)�A���&�"�8�D�>�"��G�7V���&�����X+�g9�+���0�g3 h������ h+,e���& W�&�&�+�� 8�$�$�+!&�'������+!i�&�27��!�XB���9��+�d�� @�"�)9)�JM�jdO9@�"�d�� @�+�$9)�5 @!&9����!:�� ��$ @�5��9�+�<���� ����E�2Ch�* F�"G5�6�e�$�� ���9��6�$���!5",���� h���&�+�� 89)�&�+!�X+ <,.�$+�k���"���0�213�"��� <��D�&!&���"���0�213�"��� +M\l^���* @�����< �!:�$� �� @�� 8�+����Q�* @�'7,.+�$�( F�W�� F9� �!:�$��C8�*�'��!�X��+��CO!&9)���$+!���&�>����X��E�)�"�J9����)9������$�e�K�E�$�h,. @ @��*�+9)GB��O+�&�K�+�������� F���%*O��� F�"!<���"���0�21*�+��������2C ���$+��� ����KR�S@m"UVM6ce!*���"���0�21*�+��� Y��!&�'�$�+!&9� F�n�� @�� K�"X:�"��! 1&���� @�� F�+����",^���& (���"�$�8�� ��%�"!&�-�"X��+��!D�h9���(�&�� ��O���2CW�* F�"G5�Y���e @!&9����!:�� ��$ @�Q�"���$�� L�&�&�+�� *���!&���+��C�Mo ��"��,p�� ��>�"�ZR q6U3�* @�',.����< F�L ����* @�����< �!:�$�;+!��)�"!&����sr"7tN�u^vw�&����!�X4�4N�u^vx��+��?+ @�y{z%| u�N�}�~�HJ�<�E�� @�-��!:�$ �X+ @�%�����X+�)�"�<�<��!&X y o }�jdl;��~�Hb�+!&��� |e���>��� 7V*�+�� @�-��+��?+ @�y o c ��� ~�M o c ��� ��O F�K!�"���&�' �� @�+�$9)�dH������9�+!&�'���$�&9��)�e����C:�L*����09%�$ ����$ @�� �!:�$�"����+!

",b���& ��' ���+,b��+�����$���!&��M:u��Y9��0�"�&�� @�a�� @�� ������� F�bH+��!&9��$ @���'��!�X%�$�� ��� @!&���E�2C<",b��!&�'�$�"!*9� +Hz%| u�N�}��"!&� o };jZla�����0�W ��������������9���(�&�� ��O���2CB�3 @�+GB�����!�"���6�K���& 4���+�< =�*���!:�@Mv>����� �� F�f��Q�$�� 89��!&9����&�����!��$�&�6�4���� B9�+!�!& @9��$���!#* ��2�� @ �!f���� h9��$��$�'6?� ����*���!:�4��!�'�����&�����E�2CD�+!&�5�$�� �9�+�<�����$�6�$���!&�"�n9���<���� ����E�2C5�3 @�"GQ�>�+��!�+�%���e�$��X����=�+��9��0�"���< @�bH�"!&�i���&�"�<���� 5�3 @�"G�9�+�&������ @���K3 Q�'���?� ��<�� ��3 �!*�� �!:�@M � ����9�+���0�i���� D9�+�<���� ����E�2C�* F�"GB���0�$�"���3 @�+�e�"����+X� ��$�� ����v>�� ����$���+!�X+�� ��*�+9)GO��!&X(�� F9��0�'��+!W���$+��� ��[�Y�����<��� @�� F�h�*�'��!�X(���� %���6�$�� ����"���09��"�

��!:�� @X+ @� ���$+X+�)�"�<�<��!�X y �<���3~%��O���GO���4�K�E�$����! � CO!&���� @9+� � o ��� l;v%Hd�K����9)�A�0�LN o�� }R r"UVH+�+!&�<�>�+�^�"�&������ @�(�$%���� ����+�( e�&�6�$�4�' ��$�a���^* �,.+�$ +M+v>�& e�<O�� ��&�0�^ F���� �!:���0�"����C ���& � jd}w9�+!*�2�$�$�+��!:���<��� @�I�� @�$9��$��3 @�h @�+������ @�@H:�"!&�B���& �X���"�3�0�Y��(�<�"�����<�0�' ����� �!O���43 ��",a�$���0�"!�X��� F�e�&��9)G+ F�bM � ,�+!Q�$ ��$�(��!&�"����+!��.�Z�6r"� ���$���+!�X+�� @���&��?+ L* @ �!��&�+9)G� @�5�$���� L����� �����?� ��$ @�bH�+���� @���K�0�� �,p�+���� +M�v>�& =�� F�'�����$�>+,d�$�� @�� = ����3 ��$���< �!:�)�K�"�$ %����6�K!W��!Q�\��X+���$ `�MIv>�� (�+m:�����"���0�213�"��������2CW�*���!:���9@9����)�e��!D�$�� 4�)�"!�X� 4m�� `W���f��m�� `:�OM3v>�� ��$ �0��!&+&�� ��$?6�"��� Y9�+�<���� ������2C �* F�"GIM6v>�� ��$ >���^�%�'�� F�+��C=,p�+������!(����!L�����< e�+�^9�+!&�'���)�"��!� @��!� @�$�,p�"�����@H"�$�$��9)G:��!�X%�$�� ��� F9��$ @���' K��!<���� ��'���� �",b���& e�<O�� ��I�+�a F��X+ K�&���&�"������E�2CL,p�"�����@M�v>�& !:�&�43 ��a+,*?+ @�'�$��9� @�n�W�Y���n��!*9��$ @�+�� @� ,.����sT�m��$�S@m�m��+!&�L���� @!(�!:�� �"m�m���!(���� K�&+�3 ���&�"���(9�+�<���� ������2C8�* F�"G8�Y+�&���W ��< @��X� +M��e89�+�<���� ����E�2CB�* F�"G8 @�( @��X� @�bMue�����$ @�������$�=,.��4���[�+m5�� @�� B9�+�<�&�+�� F�A�"X��+��!*�2�=�$�� h�$ @�������$�4��������*9� @�#OCf���&

9�+!*�2�$�$�+��!:���&���X+�)�"�<�<��!�XB�(��� @���=�+!&�Q�$�� ��$ (�Y����9�+�<���� ��� <�"X��� @ ��< �!:�FH*�$������!�XW+������� <�3��$�'����������2C5���&�"���$�� ��$ (�Y������+�< L ��$�������!D�$�� < ����* @�����< �!:�$�%�"���$�� @�� L?6�+���� F��",�^MOuY�K����X+�& ��Y?��+���& @�Y",d���� ��&��?+ �!�(�Y��C<",\?+ @����,.CO��!�X4���� ��$ @�����E�)��HO�K�� @!h��!&�'�$�+!&9� F��"�$ ���!*���"���0�21*�+��� +H��+�Y�Y ��&��?� �!�����"�$�4��<9���(�*�"�$ ��+X��"��!&�'�@MO�e6�Y �?� ��FH+,.��Y�D� SFm+m&H�B�_m&� `:�Y�6�J�$�� ;T"¡��x��+������������2C��3+��!:�Z�"!*�=�6�J�D���+m+m�H��h�_m&� `O�;�"�d¡:�:�x�$�6�$���'1*�"&�����E�2CX+��?:��!�X��&�a��+�< >9�+!�1*�� �!*9� Y���&�"�^���� K�� F9��0�'��+!(���$+��� ��¢���n3 ���!�X�,p�"������,.�&����CL�+!&�'�Y ��$ @�JMv>�� K�<���<�<��� ��*�Y���^�"�0�'%�"���&���� @�L��%�$�� e�&�+�$�L��!&�2�)�"!&9� K��!�£%¤$¥�¦ ¥@§ ¨$©"H+�+!&�L�� ��$�<��!*�6�� F��6,ª�� @�LS��+�<�<�������0�' F9�+!*����H3�&��?O��!�XB�&��9)G+ F�Q�8���6�����4���«",�SF�(�$���0�"!�X��� F��H3���$6?O��!�X8���&�"����� (��!*�2�)�"!&9� L�>�+����!&�$�6���0�'1*�"��� +Mbv>���0��9�+�<�&�+�� F���K�����-�����$ � <�"!*�D�B�*�"��,;����C�� o }�c�����( <�K�����#+�&��3 @�'�49��!&�'���)�"��!����<O�� ��VM � !#������������+!JH3�$�� � ����3 ��$���< �!:�)��,.��=���¬�"m&H

Page 12: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

­*®2¯E°@±�²F³µ´�¶b°@·'¸"¯E±�² ¹@¹

10

100

1000

10000

100000

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

med

ian

cpu

time

(ms)

constrainedness (kappa)

n=200n=100

n=60n=50n=40n=30

ºa»�¼*½@¾&½K¿(´)À�¯E°@±�Án¶J¬Ã2¯EÄ=´8Å�³EÆ�ÃtÃ2´�ÀA°@²F°@¯µ±:ÇÈÃ<·)ÆF±�ÇÈÃt®'°@¯µ±:´�À+±:´)ÇtÇ(ÉgÊ�Æ@®LÃ2Ë:´8Ä=¯ÍÌ�´)Àf¯µ±"Ã2´$²F´$®Å+®2ÆF²�®'°@Ä=Ä=¯µ±:²�ÇtÆF³µÎ�Ã2¯µÆF±&Ï:ÐW´>Çt´)´K±:Æ�·)ÆFÄ=Å�³E´�Ì�¯ÍÃ{Ñ Å�´�°@¸�Ï

Ò&Ó'Ô�Õ�ÖW×hÓ$×"Ø<Ù�Ú�ÛLÓ�Ô�Ü@Û4Ý+ÞYß"à&á&âKÔ�ã�ä#à�å�æ(ç�èAç�à&å éBÔ�Õfà�ê à�æ Ô�Õ&ë�ì�Û@Ø(Û@Õ:ã$Ó�ã�Û�ì$Ø<Ô�Õ*×6ã�ÛFíDÔ�ÕÚ�ÛFÓ�Ó�ã$ä&×"Õ#×"Õfä�Ý+Ò&ì=âKä�Ô�Ú0Ó'ã�ã$ä�Û8ë�Ý�Õ&Ó'ã�ì)×"Ô�Õ�ã%Ù�ì$Ý+Ö�ì$×+Ø(Ø<Ô�Õ�ÖBØ<Ý�í�Û@Ú^ã�ÝOÝ+î-Ø(Ý�ì�ÛLã�ä*×"Õ#×â�Û@Û�î8Ò&Ó�Ô�Õ�Ö<ï(Ù&ì�Ý�ë�ÛFÓ�Ó�Ý+ì)Ó@á:ÔVê Û+ê�Ø<Ý+ì$Û�ã�ä&×+Õ5×(Ø<Ý+Õ:ã$äWÝ+Þ^ðYñ�ò�ã�Ô�Ø(Û�êó Õ�Û<Ù*Ý:Ó�Ó�Ô�ô&Ú�Û�ë�ì$Ô�ã�Ô0ë�Ô0Ó'ØõÔ0Ó�ã�ä*×6ã=ã�ä&Û�Ù�ì�Ý�ô�Ú�Û�Ø�Ó�Ô�ÕOö+ÛFÓ2ã$Ô�Ö:×6ã$Û@íf×"ì$Û4ã$Ý:ÝQÓ�Ø�×"Ú�Ú{áJ×+Õ&í

ã�ä&×"ãZÔ�ÞOÚ0×"ì$Ö+Û@ìJÔ�Õ&Ó2ã)×"Õ&ë�Û@Ódâ�Û@ì�Û^Û�÷OÙ&Ú�Ý�ì�ÛFí�×�ë�Ý+Ø<Ù�Ú�Û�÷�Ô�ã2ø�Ù3Û@×+î�âYÝ+Ò&Ú�í%Û@Ø(Û@ì�Ö�Û+ê ó ôOöOÔ�Ý+Ò&Ó�Ú�øã�ä�Ô0Ó;Ø�×�ø(ô*Û�ã�ì$Ò�Û+ù�ú2Ò&Ó'ãYô3Û@ë@×"Ò&Ó�Û�× ë�Ý+Ø<Ù�Ú�Û�÷�ÔEã2ø(Ù3Û@×"î(ä&×�ÓaÕ�Ý+ã�ô3Û�Û�Õ8Þ.Ý+Ò�Õ&í8Ô�Ó;Õ�Ý4Ù�ì$ÝOÝ"Þã�ä&×"ã Ý+Õ�Û8í�ÝOÛFÓ%Õ�Ý"ã Û�÷OÔ0Ó'ã@êdû�Û�ö+Û@ì'ã$ä�Û�Ú�Û@Ó$Ó@á3Ô�ã4Ô0Ó=Ó2ã$Ô�Ú�ÚaÔ�Õ:ã�Û�ì$Û@Ó'ã�Ô�Õ�Ö5ã$Ý5Ó�Û�Û%ú2Ò*Ó2ã ä�Ý6âsô�Ô�Öã�ä�ÛLÙ�ì�Ý�ô�Ú�Û�Ø�Ó�×+ì�Û=ã$ä&×6ã�ä&×�ö+Û4ô*Û@Û�ÕDÛ�÷OÙ&Ú�Ý�ì�ÛFíbê ó Õ�ÛLØ<Û@×+Ó�Ò�ì$Û Ò&Ó�Û@í5Ô0Ó�ü^á*ã�ä&Û4ÕOÒ�Ø4ô3Û�ìÝ"Þbö+Û@ì'ã$Ô�ë�Û@ÓnÔ�Õ<ã�ä�ÛeÖ�ì$×+Ù�äJá"×+Õ&í<â�ÛKä*×�ö+ÛKÛ�÷�Ù�Ú�Ý+ì$Û@íLÒ�Ù<ã$Ý ü5ýÿþ"à�à�ê��>ä�ÛKã$ì�Ò&ÛeÓ'Ô�Ü�ÛeÝ+ÞI×+ÕÔ�Õ&Ó'ã$×+Õ&ë�Û4Ô�Óeã�ä�ÛLÕ:Ò&Ø4ô3Û�ì�Ý+Þ^Ù*Ý:Ó�Ó�Ô�ô&Ú�Û=ã$ì�Ô0×"Õ&Ö+Ú�Û@ÓKÔ�ÕQã�ä&Û4Ö+ì)×"Ù&ä5×+Õ&íWã�ä&Ô�Ó�Ô�Ó��Wý���� �'è � ê�>ä�Ô�Ó;Ô�Ó;Ù�Ú�Ý"ã'ã$Û@í�Ô�Õ��\Ô�Ö+Ò�ì$Û� ×+Óaã�ä�Û�Ú�Ý�Ö Ý"ÞIã�ä&Û�ÕOÒ�Ø4ô3Û�ì�Ý"ÞbÙ3Ý�Ó$Ó'Ô�ô�Ú�ÛKã�ì$Ô�×+Õ�Ö+Ú�Û@Ó��.Ú�Ý+Ö��������×"Ö�×+Ô�Õ*Ó2ãBë�Ý+Õ&Ó'ã�ì)×"Ô�Õ�Û@í�Õ�Û@Ó$Ó�������ê��YãBÚ�Ý6â«ö�×+Ú�Ò&Û@Ó8Ý+Þ��xâYÛDä&×�ö+ÛQä&Ô�Ö�äxö�×+Ú�Ò&Û@Ó8Ý+Þ=Û@í�Ö�ÛÙ�ì�Ý�ô&×"ô&Ô�Ú�ÔEã2ø��µè���ádÖ�ì$×+Ù�ä&Ó=×"ì$Û�í�Û�Õ*Ó'Û�áZ×"Õ*í��#Ô0Ó=Ú0×"ì$Ö+Û+êZð�Ý�Õ&Ó'ã�ì)×"Ô�Õ�Û@í�Õ&Û@Ó$Ó%Ô�Õ&ë�ì�ÛF×+Ó�Û@Ó=×�Óâ�ÛQí�ÛFë�ì$Û@×+Ó�ÛWÛ@í�Ö�ÛWÙ&ì�Ý�ô&×"ô�Ô�Ú�ÔEã2øg×+Õ&í��wÞp×+Ú�Ú0Ó�×+ë@ë�Ý+ì)í�Ô�Õ�Ö+Ú�ø+ê �Yã�ã�ä&ÛQÙ�ä&×+Ó�ÛWã�ì)×"Õ&Ó�Ô�ã�Ô�Ý+ÕÙ*Ý�Ô�Õ:ã!�#"]æ8âYÛ8Û�÷�Ù3Û@ë�ãLã�Ý%$&Õ&íAä&×+ì$í#Ô�Õ&Ó'ã$×+Õ&ë�ÛB×+Õ&í#âKä�Û@Õgüÿý þ"à+àWã$ä�Û�ì$Ûh×+ì�Û�Ý�Õ×�ö+Û�ì)×"Ö�Û�&'&+àLÙ*Ý:Ó�Ó�Ô�ô&Ú�Û�ã�ì$Ô0×"Õ�Ö�Ú�ÛFÓ�Ô�ÕWã�ä�Û=Ö�ì$×+Ù�äJá�×"Õ*í8ã$ä�Ô�ÓeÔ�Ó>ì$Û@×+Ú�Ú�ø�(:Ò�Ô�ã�Û%Ú�×+ì�Ö�Û+ê*)xä�Û@Õ�#" à&å ßQ×+Õ&í#üÿý«þ"à�à5Ô�Õ*Ó2ã)×"Õ&ë�Û@ÓLä&×�ö+Û+�#",&+ï�à�à�ád×+Õ&íg×6ãLüÿý«þ"à+à-×"Õ&í-�." à�å ïÔ�Õ&Ó'ã$×+Õ&ë�ÛFÓ>ä&×�ö+Û=×+ÕW×�ö�Û�ì)×"Ö+Û���ýÿþ6ï�ï�à�à�ê*�eì$Ö+Ò&×+ô�Ú�ø�áOã�ä�ÛFÓ'Û ×+ì�Û�ô�Ô�Ö�Ô�Õ*Ó2ã)×"Õ&ë�Û@Ó@ê

�>ä�Ûgí�×6ã)×wâY×�ÓQ×"Õ&×+Ú�ø�Ó�Û@í�ã�Ý_í�Û�ã�Û�ì$Ø<Ô�Õ&ÛAä�Ý6â]Ó�Û@×+ì$ë)ä ë�Ý:Ó2ãDÓ$ë�×"Ú�Û@ÓQ×"ãQã�ä�Ûwß"à0/ë�ì$Ý�Ó$Ó'Ý6ö�Û�ì=Ù3Ý+Ô�Õ�ãFê21QÛ@í�Ô0×"ÕwÓ'ÛF×"ì)ë)äAÛ43IÝ+ì�ã(×"ã4ã�ä&Û5ß+à0//Ù*Ý�Ô�Õ:ã<âY×�Ó4Ù&Ú�Ý+ã'ã�ÛFíi×+Ö�×"Ô�Õ&Ó'ã4üÝ+Õ#×hÚ�Ý+Ö65VÚ�Ý+ÖWÓ�ë@×"Ú�Û+ê7�>ä�Û<ì$Û@Ó�Ò�Ú�ã$×"Õ:ã=ë�Ý�Õ�ã$Ý+Ò�ì%ä&×�Ó=×Wì�ÛF×+Ó�Ý+Õ&×+ô�Ú�øQÓ'ã�ì)×"Ô�Ö+ä:ã%Ú�Ô�Õ�Û�âKÔ�ã�ä#×Ù*Ý:Ó'Ô�ã�Ô�ö+ÛLÖ+ì)×+í�Ô�Û�Õ:ã�Ó�Ò�Ö�Ö+Û@Ó'ã�Ô�Õ�Ö�ã$ä&×6ã=Ó�Û@×"ì)ë)äDë�Ý:Ó2ã%Ó�ë@×"Ú�Û@Ó�Ù*Ý�Ú�øOÕ�Ý�Ø<Ô�×+Ú�Ú�øhâKÔ�ã�äfüg×6ã�ã�ä&Ûë�ì$Ý�Ó$Ó'Ý6ö�Û�ì>Ù*Ý�Ô�Õ:ãFê��>ä�Û@ì�Û�Þ.Ý+ì$Û âYÛ4×"ì$Û Ú�Û�Þªã%âKÔEã$äQã�ä�Û(×�âKîOâY×+ì$í8(:Ò�Û@Ó'ã�Ô�Ý+Õ:9;)xä�Û�ì$Û ä&×�ö�Ûã�ä�Û=ì$Û@×+Ú�Ú�ø8ä&×+ì$íhÙ�ì$Ý+ô�Ú�Û�Ø�ÓYÖ+Ý�Õ�Û=<=>

Page 13: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

?A@ B�CEDGFIH0JKML�NOFIP;Q�DRH0J

10

100

1000

10000

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

poss

ible

num

ber o

f tri

angl

es

constrainedness (kappa)

n = 30 n = 40 n = 50 n = 60

n = 100 n = 200

SUTWV�XY�X B Z0L[H�\0]_^`L;C�aIb*c`adELeH�dEDMFIK�dfCEDMFIH0J=KRLhgOiUDjdEZ0DRH_FkJIC�Fc0Z�iUDjdEZ_H�lmLeCfdEDRPhLhg�c0KRadfdELAn�FJ=FDRH0godPea=H0godfC�FIDRH0LAn6H0Lhgfg�p�q�B Z'DMgrJ=DRlmLhg�Fs]taCEL�CELAFKRDRgodEDRPt]tLAFgf\6CEL�aIbudEZ0L�gfDRvhLwabuFxc6CEa=^'KMLe]yiUZ0LeHgfaKRlmLAnz\'gfDMH'J_dEZ0Lr]tDR{6LAnsDRH|dELhJ=LeCkc6CEa=JC�FI]t]tDRH0J_]ta�n6LhK}q

~ �������O�����*�E�k�

���+���m�'�x���;�=����'�e��������I�����;�'���G����;���e���+�4�6���E�e�e�6�G�0�w���;�'�6�h���!�!�G�����4�'�!�� ����G�E¡6¢�6�I�;�;�I£x�`�¤�¦¥E�'�G�0�2�e�;�¤�����'�G�����'�h§*�G����¢|�����z���m�'�r���;�'���0���=�t�;���;����4�6���E�e�e�6�G�0�2�!�*���I�¤� �¨�M�e��m�6�;�¤�����G�_�������m�6�G ��_�'�e���I�e�G�������I ��e�¤�E�e�W��I©*ªf�«�e���w�6�`�e�G�!�¤�;���;�W�6�����;�'���W�I�¬�r���'������;�'���«�4�'�z���G�I£*�G�E¡�����6§­¢���© �'©��!�e�I�'�G�'���r�I�e�s�G�����6�¨���6�e���e���`�I�;�I�e�!�G���s�6�`�e�G�+�6�G�G�E¡6©�®����W����=��§����6�¯�����6�;�=���*¡��;���k���M°­�I�e�I�0�¯�4�'�����;�h���W�'�7����4�`�`�W���0�7�����_�`�I�I ��e�;�=�����¯���W�6���e�6���W�I����W±I�=���G�*�6�=�E�e�G�0�|�e��O©

² �`��I�W�;�G�'�����;�'���G��³���6�z�;���I�:���e��;�I�0�;�=�O´2���'�h§yµ}¶[·�¸|¹8�6�I�;�;�¤�4�=�!��º_�;���»�'�e�6����G�0�;�z�6����e�4£+�`�¤�¦¥E�'�G�0�r�;�e�W�6���6�W��©'�¼�w�;�m�½�z�������e�+�����6�;���;�h�����;�M�e�G�'�«�W���;�6�W ����W�G�G�E¡!�¨�M�e����I�6�e�;�=�����6���`�G�����I�6�!���W�4£`�M�E¡%���=��§��¨����¾ ����W���»�8�4�'���E�e�e�6�G�0�w���e�6�6�h���!�!�W�����;�6�W�6�������½�����;�I ��`�6¿����*�6�W��6�ÁÀ ² ®Â�;�6�W�6�I�=©�®����W���r�'�+�e���I�Ã�h�����h�6�4�;�I�e�W±I��#�¨�G�;�Ä�;�=������4��;���I�6�����;�h���W���������e��ů©�®����¼�`��I�W�;�G�'�:���e�6���W�I�Æ�r�'�+�;���I�Á�'���`�e��e���=�� ����W���-�!�G£*�=��G�0�;��6��t���;�'�6�h���!�!�G�������������8�I�6�!���W�4£`�G�E¡%�����§%�I�!�I�e�6�=�O©7®����¤�t�W�t�; ��e���e�W�;�G����©O�¼��4£`���=�A�x�»�I�6�!���W�4£`�G�E¡%�����§%�;�»�`�I�I ������s�6�s���=���w�e���«�����'���+���6 ��������e¡%�¨���I�e��Ç�È0É��ºk�W�����e�����4��w�6�;�z���'�G ����G�'© ² �M�e���6 ��6���e���!�G�`��|�;�W�6����ºU�e���!�4�6�!���W�4£`�G�E¡»���=��§»�+�m¡»������Ê���W�6�'�;�G�;���!�¤�z�����I���6�!�I���'�7¢7�¨����-�8���6�h§0�e�e�'�h§0�W�������=���h�h���¤�t ��;��Ê�»�I�6�!���W�4£`�M�E¡���=��§s�`�I�I ��h�[���6���I�;����G�=�;� �����s�e�I�����2�;�_���¨�W�`�I�|�e��x����6�u�;���¨�4�e�'�e�;�|�6�I�[���'�G�0��Ë Ì|Ío©�Î� ������������������I�W�6�G�,�;���|���¨���I�� ��;�W����À�Ï�ªEÐ.�e���I�e���¤�������4�'�!���G�I£`�M�E¡����=��§��G���;�e�W�6���6�W����6�h§*�W����©'�:���|�r��������«�I�W�6�G�Ñ�¤�2�;���|���W�«�h�������6�Ò�6�h�������k�¨�M�e��Ó�È'Èw�6�kº¦�I�r�I�k�'�I�;�;�¤�4�=����t�4�6�!���W�4£`�G�E¡s�����§��I�!�I�e�6�=�I©�Ô_�6�W���t�����|�6�r¶�Õ½Ó�È'È��¤�2�4 ��;�e�I�0�;�W¡s���I¡'�6�����;���¨�W�W�z�G�e���ºu�;���s�I�6�!�� `�h�|�;�W�6�����­�;�=���' ��h�4����m�|���W�¤�����W���e�!�;���s�6 `�;���6�=©

² �«¡'�4�«�r�����m�'�»���-�4£`���¤�����|�;�W�6�.�¨�*¡#À�Ï�ªEЬ������m�6�=�«�6�«�M�8�`�*��+�'�.�;�e�W�6���6�W����6�h§*�W����©'Ö����¨���'�e�;�G���W���G�W���¨�6º��W�*�6����;�W�'���;�W�6�z�W�2�;�s�������G¡zÀ�Ï�ªEм�;�t�r�I�W�����; ��`�W��z���e�6��¿

Page 14: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

×�ØEÙMÚÛ'Ü=ÝRÞ�ßOÚà�á�ÙMÛ'Ü âhãäGåæ!ç�è¨éMêeë�ì4ä¤í6çeç�é¤ì_î�ë�í6ç;åwê;ïhí�ð�ç�éGê;éWñ6ð�ò�åë�ímó*éGñ'ô�ï�ç;ô�ìhë»í6ç�ð*ô�æ�ò�åIï�î�í�ï;ê;éGê;éWñ6ð�éWð�õ«ötí6ð�÷ò�ñ*ñ6äWåí6ð¼çeí|êeéWç�ø�í6ò�éGäWéGêEù6ú7ûoürê;ë�å�ì4ñ6æ!î�äWå4ý`éGêEù�î�åí�þ�éGð¼êeë�ñ'ç;å+î�ïeñ6ò�äWåIæ+çwé¤çtåIð�ìIñ6ô�ð0êeåIïeå÷è¨ë�åIð:ô�ç;éWð�õ�ÿ���û��Òê;ë�åIð.è�å»æ!éWõ6ë0ê�ìIñ6ð��Eå=ìAê;ô�ï;å8êeë�í|ê+êeë�åIïeå»éWç�ç�ñ'æ!å4ê;ë�éGð�õ¾î�åìIô�äGé¤í�ïí�ò�ñ6ô`êxê;ïeéWí6ð�õ6äWå«î�í'ìhþ0éWð�õ�ú���ñ|èråIó'åIï�¯éGü¨ê;ë�å8ì4ñ'æ!î�äGåIý`éMêEù¼î�å=í�þ¾éWð#ÿ� �¬ç;ô�ìIìIô�æ�ò�çsêeñÿ���û��Ãê;ë�åð¾ê;ë�é¤çtèrñ6ô�ä¤÷¼éGð�÷`åIå=÷�ò�å«éWð0ê;åIïeåç�ê;éWð�õ»í�ð�÷�æ!éWõ6ë0ê�ç;ô�õ6õ'åç�ê_êeë�í|ê�ê;ë�å«î�ë�í6ç;åê;ïhí�ð�ç;éMêeéGñ'ðséWð������oìIñ6æ!î�äWå4êeåkî�ïeñ6ò�äWåIæ+ç[éWçuéWðsü�í'ìAê éGäWäGô�ç�ñ'ï;ù'úûfð�������*éMê éWç í6ï;õ'ô�å÷wêeë�í|êuê;ë�åî�ë�í6ç;å¨êeïeí6ð�ç�éGê;éWñ6ð+éWð�ìIñ6æ�ò�éGð�í�ê;ñ'ï;é¤í�ä�î�ï;ñ'ò�äGåæ+çUé¤çkéWð+ü�í6ì4êríxì4ñ6ð0êeéGð*ô�ñ'ô�ç2î�ïeñ`ì4åçeçkìIñ6ïeï;å��ç�î�ñ6ð�÷�éGð�õ«ê;ñ+êeë�åtü�í�äWäWéGð�õ�ð0ô�æ�ò�åIï�ñ6üUç�ñ'äGô`êeéGñ'ð�ç�í'ç�í�ð»ñ'ïe÷�åIï¨î�í6ïeí6æzåIê;åï�éWç�éGð�ì4ïeåí6ç;å÷��í�ð�÷xê;ë�í|êkéGêeç�í�ò�ïeô�î`êeð�åçeç2é¤çUítì4ñ'ð�ç�å�0ô�åIð�ìIå¨ñ�ü­î�ñ0ç�éWð�õwêeë�å�÷`å=ì4é¤ç�éWñ6ð!î�ïeñ6ò�äWåIæ��¦éWð!ê;ë�åéGïè�ñ'ïe÷�ç���! #"%$'&)(+*,"- /.0"213�!4%��56"-*,"�487:9�ïeí�ê;ë�åï�êeë�í�ð�í�ô�ð�éGó'åIïhç;í6ä�î�í�ïhí�æ!å4êeåIï�ê;ë�í�ê¨ìIñ6ô�ð0êhçç�ñ'äGô`êeéGñ'ð�çú;��ë�é¤ç_éWç_ð�ñ6êwí�ð�åè éW÷�åí�ú­ûfð<���=��Uÿ*æ!éMêeë¼í6ð�÷#>�ù6åï�æ!åí'ç�ô�ï;å=÷8ê;ë�å+ç;åí6ïeìhëå-?­ñ6ï;êtê;ñ»ø�ð�÷Êí�äWäkç�ñ'äGô�ê;éWñ6ð�çwêeñ�ïhí�ð�÷`ñ'æ ìIñ6ð�ç�ê;ïhí�éWð0êtçeí|êeéWç�ü�í6ì4ê;éWñ6ð¾î�ïeñ6ò�äWåIæ+ç@�A��ÿ��kçB9Aú��ë�å_ìIñ6ð0ê;ñ'ô�ïrñ�ü¯æ!å÷�éWí6ð�ç�å=í�ïhìhë«å-?­ñ6ï;êkêeñ�ø�ð�÷�í6äGäOç;ñ6äWô`ê;éWñ6ð�ç�ò�äWåIð�÷�ç�éWð0ê;ñxê;ë�åwì4ñ'ð0ê;ñ6ô�ïü¦ñ6ï�ê;ë�å!÷`åìIéWç;éWñ6ð�î�ïeñ6ò�äGåæ�í�ê�êeë�å6C!D:E ìIï;ñ0ç;ç;ñ|ó6åï¨î�ñ'éGð0êF�­è¨éGê;ë�ð�ñ�ìIñ6æ!î�äWå4ý`éMêEù8î�åí6þ�ú�¯ñ6�0ô�ñ�êeåwü¦ï;ñ'æ¬ê;ë�åIéWï¨î�í�î�åIïG�%���=��7î�í6õ6åH�FI'J'9+K

LNM�O "P4%"BQ-R�&S4%"T*,UWVW ;XY��ZSZ[(�U�Z\R�*]&^U� �(�*,U��`_ba�ced U�4�1;4%U!f8"g*Nh3�!*i*Sh�"-4%"j�!4%"T ;U! ;"-d*Sh�"k56"BX�&^�� �.0U�(+*�Xl"B.�4%"B�8(�"+(2(+5YUU�*NhmZ�nj��(;o öYp .0U! 3(+*]4%��&S [*�*q&�r8hm*] ;"-(B(AsT&S ;.�4%"B�8(�"-(Bd�� /X� ;U�*Nhm&S mr� ;U!*A" O U�4+*Nhmn@h3�B1l1�"- �(6��(G*Sh�"T1;40Ult�Zu"-5�(YtB"B.BU�56"H&S 3(�U�Z�R�t-Zu"vjw/h3"13h��8(�"x*]4%�� �(B&S*]&^U� <&)(`U� [Z\ny�! z&S [*A"�4%"-(+*q&S mry"�f�"- [*P& M|{ Rm(B*}U! ;"~(�U�Z\R�*]&^U� �&)(@4%"��Q-R�&S40"0X'��&S*P.B�! �*Nh3"� <��Z\(-UytB"6f&^" O "BX��8(~��*q4%�! 3(+&S*]&^U� M 40U�5��H1���4+*]&^��Z�(�"B��40.0hU M *Sh�"~&S /X�R�.B"BX�(�"B��40.0h�(]13�'.0" p O hm&^.Bh�.B�� �t0"`*,"-4+5H&S ;�!*A"BXy�8(6(�UU� ��8(`��(-U!�Z\R�*]&^U� �&)( M U�R� /XBs�*,U��#.BU�5�1;Z�"-*,"6(�"B��40.0h p O h�&^.0h�&)(Y4%"BQ-R�&S4%"BX�& M *Sh�"-4%"`��4%"~ ;U(�U�Z\R�*]&^U� �(]slv��ë�årê;ïeéWí6ð�õ6äWå�î�í6ìhþ*éWð�õwî�ï;ñ'ò�äWåIæ é¤ç2ç�éWæ!éGä¤í�ï êeñtéGð�÷`åIî�åIð�÷�åIð0êkç�åIêUéGð+íwç;éGæ!î�äWå¨õ6ïhí�î�ë¯ú

ûfðxêeë�å¨ø�ïhç�êUî�ë�í6ç;å¨ñ�üOç;ñ6äWó0éWð�õwèrå�í�î�î�äWùxíwìIô�ò�é¤ì�í�äWõ6ñ'ï;éGê;ë�æ ê;ñtåIð*ô�æ!åïeí�ê;å¨í�äWä�î�ñ'çeç�éWò�äWåê;ïeéWí6ð�õ6äWåçúm��åwêeë�åIð»ç;åIäWåìAê¨êeï;é¤í�ð�õ6äWåç�ê;ë�í�ê�÷`ñ!ð�ñ�ê¨éWð0ê;åIïhç;åìAê=ú3��ë�é¤ç�ì4ñ'ô�äW÷�ò�åtæzñ`÷`åäGå=÷ô�ç�éWð�õ�í�ð�ñ6ê;ë�åï�õ'ïeí6î�ë��j�uè¨ë�åIïeåsêeë�åxó'åIï;ê;é¤ì4å=ç�éWð��j� ì4ñ'ï;ïeåç;î�ñ'ð�÷�ê;ñ�ê;ë�åsê;ïeé¤í�ð�õ'äGå=ç�éWð� í�ð�÷�í�ð«å=÷`õ6å�éGð~�j��åIý*é¤ç�êeç�éMü7êeë�åIïeå�é¤ç�í�ð«éWð0ê;åïeç;åì4ê;éWñ6ð+éWð«ê;ë�å�ó'åIï;ê;é¤ì4åçkñ�üOêeë�å_ìIñ6ïeï;å��ç�î�ñ6ð�÷�éGð�õwêeï;é¤í�ð�õ6äWåç éWðY�!ú:��ë�åIïeå4ü¦ñ'ï;årø�ð�÷`éGð�õsí�ð!éGð�÷`åIî�åIð�÷�åIð0ê�ç;å4êUéWðY�j��éWçUåF�0ô�éWómí6äGåð0êê;ñwø�ð�÷�éGð�õ�ó6åIï;ê;åIýx÷`é¤çN�Eñ'éGð0ê2êeï;é¤í�ð�õ'äGå=ç2éWðY�Y�0í�ð�÷xêeë�éWçkéWçUè¨ë�í|êUñ'ô�ïUû�������éWð�ç;î�éWï;å=÷�æ!ñ`÷`åIä÷`ñ*åçF�Uí6ç+÷`ñ*åç!ñ'ô�ï6�»û��Ñç�ñ'äGó'åIï=ú ��ë�åIïeå4ü¦ñ'ï;å�ü�í�éWäGô�ï;å�ê;ñ¼ø�ð�÷#í¾ìIñ6æ!î�äWå4ý`éMêEù�î�å=í�þ-éWðê;ïeéWí6ð�õ6äWåxî�í6ìhþ*éGð�õ�è¨ë�åIð¼ô�ç�éWð�õ�ÿ���û��Ãé¤çwåF�0ô�éWómí6äGåð0ê_êeñ8ü�í�éWäGéWð�õ�ê;ñ�ø�ð�÷¼í8ìIñ6æ!î�äWå4ý`éMêEùî�å=í�þ-éWð#ê;ë�å%ìIñ6ïeï;å=ç�î�ñ6ð�÷`éGð�õ%éWð�÷`åIî�åIð�÷`åIð0ê�ç;å4ê«î�ïeñ6ò�äGåæ�ú���ë�åIïeå4ü¦ñ6ïeå8í�ð.éGð0êeåIïeåç�ê;éWð�õð�å4ý*ê�ç�ê;åIî8é¤ç�ê;ñ!åIý*î�äGñ'ï;å_ê;ë�åtï;åäWí�ê;éWñ6ð�ç;ë�éWî�ò�å4êEèråIåð�êeë�åtî�ë�í'ç�åwêeïeí6ð�ç;éMêeéGñ'ð�éWð�ê;ïeéWí6ð�õ6äWåî�í6ìhþ*éWð�õÊí�ð�÷�ê;ë�í|ê«éWð#éWð�÷`åî�åð�÷`åð'ê�ç�åIê�í�ð�÷�ê;ñÊéWð*ó6å=çEêeéGõ0í|ê;å�êeë�å»ò�åë�ímó*éGñ'ô�ï+ñ�ü_ê;ë�åî�ë�í6ç;å�êeïeí6ð�ç;éMêeéGñ'ð�éWð�éWð�÷`åIî�åIð�÷`åIð0ê�ç�åIêrí'ç�èrå�ìhë�í�ð�õ'å�ç;ñ6äWó0éWð�õ�ê;åìhë�ð�é��0ô�å=ç��*í6çrèrå�ë�ímó'å÷`ñ6ð�åwë�åï;å'ú

���3�k�|���z�����|�W�����e�3 ûzèrñ6ô�äW÷.äWéGþ'å8ê;ñÊêeë�í�ð�þ;K�� å4êeåIï@¡réWï;ñ�í6ð�÷�>�ímó*é¤÷���í�ð�äGñ|ó'å8ü¦ñ6ï«éWð0ê;ïeñ*÷�ô�ì4éWð�õ-æ!å»êeñê;ïeéWí6ð�õ6äWå�î�í'ìhþ*éGð�õ�í�ð�÷�ê;ë�åzû����Äæ!ñ`÷`åIä]¢¤£¨ñ6ò�ûfï;ó*éWð�õ���ûEí�ð�¥_åIð0êwí6ð�÷#��åIéWä��»ñ*ñ6ïeåsü¦ñ'ï¦ ß7ØEÞeÝMÙ\§tÙRÛ*Ú4Ø,¨tÞ0©lª`ÞeØEÙ\§tÞhÛ�«�¬�­=ÛtÛ!®:§T¯`ÞeØ�ª*ÚIØ,«EÙ°«EÙ\­=Û'ÙRÛ0Ü�±*Ú+²mÞ ³}ÚIÙMÝRÞ+´G´'®'ÞW«�­k«EÞh൱0Û'ÙRàAÚÝ*ÝRÙ\§tÙ°«�Ú�¶«EÙ\­=ÛY­Û!Û!®:§tÞeØEÙRà�ÚIàhàB®6Ø�Úà0¨�·

Page 15: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

¸0¹ º�»�¼u½�¾:¿FÀ�Á�¤½�Ã%Ä!¼\¾:¿Å3Æ�Ç�ÈYÉkÊ�Ë0ÅYË%Å3ÆkÌ6Í�Ë0Å3Æ�Ì6Í!Ë%Ê)Î�ÏFÐ!Ñ�Í!Ò6ÓPÆ�Ò:Ë ÔNÕlÖWÈ[Õ'ÊuÒ:Ë%Ê�Ò3×jÌYÆ�Ë%Õ�É�Í!ÖBØ3Ï�Ù Ú�ÛAÐ!Ü|Æ�Ê�Ç[Ý�Õ:Õ'Ö%Æ2ÔNÕ'ÖÏ�ËBÍ!Ö%Ë%Ê�Ò3×YÌHÆGÕ!Þ#Õ'Ò�ÌYÊ�Ò3Ê)Ï%Í!Ë+ß�à;áeÅ3Ö0Ê)Ï|â|Ò�Ï%É2ÕlÖ%Ë%Å�ÔNÕlÖkË0Å3Ægã�ÖBÏ�Ë�Î�ÕlÒ�ϵË%ÖBÍ!Ê�Ò:Ë|ÌYÕmØ3Æ�Ç�ÍlÒ�ØÒ:ä�ÌHÆFÖ%Õ'ä�Ï�Î�ÕlÒmålÆFÖ0Ï0Í�Ë0ÊuÕ'Ò�Ï�Ð�æWÊuÆFÖ%Ö0Æ|ç�ÎBÅ�Í!ä[ÏiÔNÕlÖ�Å�Ê�ÏWÅ3Æ�Ç�È6ÉkÊ�Ë0Å~ç�áeÑ�æ�ÍlÒ�Ø@ákèPÝ�éWêgÐ!Ñ�ÍlÒÓPÆ�Ò:Ë�ÍlÒ�Ø@ëPÍ8åmÊ�Ø@Ý#Í!Ò3Ç�Õ�ålÆkÔNÕ'ÖeÖ0ÆFÍ'Ø�Ê�Ò3×GÍ!Ò[Ø~Î-Õ'ÌYÌHÆFÒ:Ë%Ê�Ò3×GÕ'Ò@ÆFÍlÖ%Ç�ÊuÆFÖWå'Æ�ÖBϵÊ�ÕlÒ�Ï�Õ!Ô�Ë0Å3Ê�ÏÈ�Í!È;Æ�ÖÐ/Ë%Å3Æ~á2ìgèjákèíË%ÆÍ!ÌîÔNÕ'ÖjÅ3Æ�Ç�È�ÉkÊuË%Å�Ë%Å�Æ@Î-ÕlÒ[Ï�Ë0Ö0ÍlÊuÒ:ËgÌHÕ�Ø�ÆFÇ�ÏFÐ�ï|Ç�Ê)Î-Æ6Ý�Ê�ÇuÇ�Æ�ÖgÔNÕ'ÖØ�ÕlÒ�Í!Ë%Ê�Ò3×6Î-Õ'ä3Ò:Ë%Ç�ÆFÏ0Ï�á2æWâðÎ-ñ�Î-Ç�ÆFÏFò

ó<ô�õ0ô�ö3ô�÷�ø/ô�ù¸ú�ûbü�ýkû ý�þlÿFÀ��Á0»+ú�������� ���� � � kú Á��j¾�ú ��»������^¼\¾���ÿ���Ã��:ÿ�Ã0ÿ����,ÿÀ��8Á0»���ú�!ú��Tú lú"!$#l»µ½��m½%�'&�!|ú"(bÀ�)*�'&�½F¾,+ º2ú�þl½F¾*+��:ÿFÀ��Yú ûbÀ\Á+½-»�¼\¾:¿z½FÀ\¿ÿ�»�¼������-�.�)ÿ�»/#:½�»���Á0»��Á��'Ã��m½�¾:¿FÁ0�}½�»�Ä8Á�����3ÁB¾m½%#:À\¼\¾:¿Y¾:½%��¼\ÿ¾� �¼�+'ÁjÄ!¼�+'¾'Á21@Á2�lÃ��:½F¾'¿Á��Bú-3q¾5476�8:9�;=<?>A@ B�C�D?EGF*H<7I�J�F�KLFNMO>QPR>�8�S:T�H�6�H�SU9�HV8%S'<�W�H�92KX6�8�S�IY9N>�8%ZVZ[H�6\9�H�]=MO>QP^&��m½�¿Á��_��`�a:b�c�dF¹e&��d�dgf�ú

clú|º[ÿ�#:¼�½%�7!eÃ�����Á0»�#�Á0»�¿e&!ºi¼��jÿ"(bÁ0»����:ÿFÀ�+&lº7�:ÿ�»��\��ÁB¾[hkÿ�Ã��&�½�¾,+-h|½%��¼eixÿÀj��Á0»+ú;ûbÿF¾*�\�,»µ½F¼\¾'Á:+¼\¾���ÁB¿FÁ0»"�'»�ÿF¿F»µ½��-�j¼\¾'¿�[½�¾'Á2 ½��*�l»�ÿ8½�Ã��k��ÿH¼\¾���ÁB¿F»µ½���ÁGûiÂ<½F¾*+.lm3]Â�ú03]¾5476�8:9�H�H�n�IoS�J�p8qT^KLF*Hsr�KLFtIoS�KuH�6�S,v�KXIY8�S,v�W�9�8�S�T:H�6�H�S,9�H/8%Sxw�S�KuH�J�6\v�KXIY8�Sy8\TmM$wzv�SUnx{}|~KuH�9�F�S�IY�2�*H�pkILS9�8�S�p�KX6�v�IoS�K"�,6�8�J�6\v�ZVZ�IoS�J'T�8%6/9�8�Z0�2IoSUv�K�8%6�IYv�W"8��,KXIoZ�I��:v�KXIY8�S��,6�8���W�H�ZVp���>G4M�w%{}|m@ B����:&�:½F¿FÁ�����be�%de&�%d�d��lú

¹'ú|Â/Á���Á0»�(b¼°»�ÿe&��k½:�l¼�+-�búelY½�¾:À\ÿ��8Á�&l½�¾,+0�Wÿ��jÁBÿ��W¼����B¼SúQlY½%�l¼��V)*��i�ÁB¼\¿���� û}1lÃBÀ\Áe¤½FõÄ!¼�¾'¿¼\¾���¼°»�ÁBÃ2��Á:+��e»µ½��*����&= �¼�����!$�*�'À\¼�ÃB½%��¼\ÿ¾���ÿ.hk¼�+'¾'Á21��=�lÃ��m½�¾:¿ÁYÂ�»�ÿF¿F»µ½��-�Bú���Iop�926�H�KuHPkv�KLF*H�Z-v%KXIY92p�]=M$W Jg8�6�IoKLF�Z�p"v�S,n0M��g�UW IY9�v�KXIX8�S*p�&;¸� ¹g`�`:bea�¸�f�&Q�%d�d�`!ú

a!ú"!WÀ�#�Á0»���ÿYûi½%�'»µ½-»µ½Y½F¾*+k�Wÿ��jÁBÿN�W¼��2�B¼Súg¤½�Ã%Ä!¼\¾:¿N�,»�¼u½�¾:¿FÀ�Á2��¼\¾k#�ÿ�)'¾,+'Á�+k+lÁB¿F»�Á0Ág¿F»µ½%�*�*�Búw�S�T�8�6�Z[;U476�8:9�;��H�KXKu;�&,�F¹�\¸:f�a:b:¸:��de&Q��d�dg�!ú

�lú?�_�8Á��}ûi½%�,Á+½�)�½F¾,+��'»µ½F¾'ÃBÿ¼��N�;½%#*)l»����:Áú�þlÿFÀ��!¼\¾:¿s���}½FÀ\ÀWº�þ'Â=�- �¼�����ÃBÿ¾��\�,»µ½F¼\¾����Bút3]¾476�8:9�H�H�n�IoS�J�p_w�S*KuH�6�SUv�KXIY8%SUv�W�>�8%S:T:H�6�H�SU9�HV8�Sm�Q8�J�IY9_4�6\8�J�6�v�Z�ZVIoS�J�&,�:½F¿Á2�|¸�bm¸:a�&/¸�`�`gf�ú

f!ú|Â/Á���Á0»|û��'ÁBÁ��,Á��}½�¾G&�(bÿ�#sh|½�¾:Á2�L�,Ä�1�&�½F¾*+'i�¼\À�À\¼�½���l`ú�º/½�1'À\ÿ�»+ú_it�'Á0»�ÁO���'Ák»�Á+½FÀ\Àj1^�m½-»�+�l»�ÿ�#'À�Á2�-��½�»�Áú�3]¾'4�6\8:9�H�H�n�ILS�J�p?w��,>QM$w�@ �� %&e�m½�¿Á���c�c!¸�b�c�cgf�&¤¸:`�`l¸ú

�lú���½��!¼�+m!|ú:ûbÀu½-»�ÄU&U Á0»�Á2��1N�'»µ½�¾:ÄU&e3A½F¾Y¤ú*�2ÁB¾��:&*�= i½F¾^lY½�Ã�3]¾��u1l»�Á�&*¡eÁ��8ÁB¾�º;ÿ��jÿ��U&'½F¾*+º[ÿ�#�1?i�½�À����[úe�[ÿ�ÃB½FÀe�,Á+½�»�Ã��g½�¾,+����:Áb¾�)��V#�Á0»[ÿ��*�,ÿÀ�)���¼\ÿ¾��Búe3]¾�4�6\8:9�H�H�n�ILS�J�p�8\T�476�IoS,92I �UW�H�pv%SUn�4�6\vg92KXIop2HV8\T0>�8�S�p�KX6\v�IoS�K�4�6\8�J�6�v�Z�ZVIoS�Jk>G4-@ ��¢%&e�m½�¿Á��|¸¸�`�b:¸:c�c�&¤¸:`�`��lú

`lú�ûeú3ûbÿ8½�»��)½e&�Pú �Pú*��Á��jÿ���ÿ�):À\ÿ���&U!�ú þ3ú l`úU!W¿�)'¼\»,»�Á�&U�Pú�þ�)*#'»µ½%�}½F¾'¼u½�¾G&:½F¾*+^l`ú �TúU£�½�»�+'¼Sú�e½F¾*+'ÿ��¤c%�]þ�!�º_'º7�:Á|Â�À\ÿ��eº7�:¼\õÄ8ÁB¾*�Bú">�8�S�p�KX6�v�IoS�KXp�&��e ��¹�c�b����l¸�&G��d�d�clú

¸�dlú?i<ú Â/ú:ûbÿ�õÄe���'ÿ����:&*!�úehkÿÀj��Á���&, 'ú º2ú�ý�¥ ��ÿF¾:¾'ÁBÀ\ÀY&:Â/úm¤»�ÿ����,Á%»:&m½�¾,+Ni<ú*£�½F¾*+'Á0»�#:½�)� ¦�:Á:+lÁú! ü�½-»�+e i½�»�Á-�WÁBÀ�½%�'½%��¼\ÿ¾�¤½�»µ½�+'¼\¿��§��ÿF»PþlÿFÀ��!¼\¾:¿¨¡�©�^ü�½�»�+~¤»�ÿ�#:À\Á��-�BúV3]¾«ªGIop�IY8%S*pV8\T>�8%Z_�,��KuH�6�¬U92I�H�S,9�H�]­">©¬[w�S�KuH�6�S,v�KXIY8�S,v�W*M�9�vgn�H�Z�IY9�|¦H�p�H�v�6\9�Fk>�8�S:T�H�6�H�SU9�H�&��:½F¿Á2�e¸�b:¸���&�%d�d��lú¸F¸ú�¡e¼\ÄlÀ�½%�0��ÁB¾#½F¾,+/¡e¼\ÄlÀ�½%�jþlÿ�»�ÁB¾*���,ÿF¾[ú�º[»µ½F¾��,À�½%��¼\¾:¿`Â��,Á2),+'ÿ%�u(bÿ�ÿÀ\Á+½�¾�ûbÿ¾��\�,»µ½F¼\¾����g¼\¾���ÿþe!�º2ú7��8���6�S,v�W©8\T?¬Uv%KXIop¯®�vg�2IXW ILKX°�]©­$8:8�W�H�v�S'Ps8:n�H2W ILS�J[v�SUnz>�8�Z_�*�eK�v%KXIY8�S*&U��\¸�b�����&G��d�d��lú¸:�!úOl`ú �|úU��½-»�Á21H½F¾,+¨�Pú þ3ú* ÿ��'¾*�,ÿ¾�ú�>�8%Z_�,��KuH�6�pOv�SUnVw�S*KX6\vg92K�vg�2IXW IoKX°�ú�i<ú ü�ú,�l»�ÁBÁ��}½F¾H½F¾*+ûbÿe&[¸�`gf%`lú

¸�clú|Â/ú%!|ú��2ÁBÁBÀ\ÁB¾[úe�?):½FÀ��!¼\Á2 ¦��ÿ¼\¾��©�:Á2)'»�¼��\��¼\Ã����)ÿ�»}#'¼\¾m½�»�1|Ã0ÿ¾*�\�,»µ½�¼\¾�����½%��¼��\�S½�Ã2��¼\ÿ¾-�'»�ÿ�#:À\Á��-�Bú3q¾z476�8:9�H�H�n�IoS�J�p$<?>QM�w�@ ��±g&�¸:`�`g�!ú

¸0¹'ú�3]½F¾ Â/ú��2ÁB¾��:&O�= i½F¾²lY½FÃ�3q¾��u1!»�Á�&�¤½%�,»�¼\ÃµÄ Â�»�ÿ����,Á0»:&g½�¾,+ º;ÿ�#�1�ix½FÀ����[ú º7�'ÁyÃBÿF¾���\�,»µ½�¼\¾:Á:+l¾*����ÿ��©�,ÁB½�»�Ã��[ú�3]¾'4�6\8:9�H�H�n�IoS�J�p?M$M�M$w�@ ��¢%&��m½F¿FÁ��$��¹���be��a���&¤¸:`�`��lú

¸:a!ú��|ú�l`ú¤ü�½-»µ½FÀ\¼\Ã%Ä�½�¾,+5�Tú©��ú©��À\À\¼�ÿ%�+úk3]¾:Ã%»�Á+½��,¼\¾:¿z�,»�ÁBÁ[�,Á+½-»�Ã���Á2³gÃB¼\ÁB¾:Ã21s�)ÿ�»PÃBÿF¾*�\�,»µ½�¼�¾����½���¼��\�S½FÃ���¼�ÿF¾^�'»�ÿ�#'À\Á��-�Bú�M�6�KXI ®�92IYv�W,w�S*KuH2WLW I�J�H�SU9�H�&;¸0¹� ����c�b�cl¸B¹e&¤¸:`���dlú

¸��lú"(�»�¼u½�¾Yü�½�1�Á2�Bú�ûi½F¾G¥ �W¿Á��2¾'ÿV��½%��¼��\�)½FÃ2��¼\ÿ¾�ú�M�Z-H�6�IY9�v�S^¬,92I�H�S*KXIop�KX&,�ga�\¸�d���b:¸¸:��&�¸:`�`gf!ú¸:f!ú�£�ú�h|½�¾:¾�ú«lY½%�l¼��V)��´#�ÿ�):¾*+'Á:+�c%�u+'¼��jÁB¾��,¼�ÿF¾m½�À_�}½%��Ã��:¼\¾'¿x¼��'l'!�µ þe¡�©�^ÃBÿ��-�'À\Á2��Áúw�S�T�8�6�Z[;U476�8:9�;��H�KXKu;�&,cgf� ��f:b�c�a�&¤¸�`�`l¸Fú

Page 16: Prosser, P. (2010) Triangle packing with constraint ...eprints.gla.ac.uk/43754/1/43754.pdf · Ô Õ Ö ×&ØaÙ Ú.Û)Ü ×&Ý?Þ-Ö ØaÙ ß à áãâ äæå ç$è6é&ç$ê:å ë

¶G·�¸�¹�º�»�¼�½O¾©¹�¿�À�¸�º�» Á:Â

Á�ÃeÄ"Å�¹%·�Æ,¹�·�¹zÇsÄQÈeÉ-¸jÊ�Ëk¹�º*Ì/Ç'¹%·�Ê�¸�º.ͦÄÎ_Ï�½�·:Ä0ÐÑ�¿:¹%Ê�¸�º*»¨Ê�Ë*½VÒ�Ë,¹%Ó�½VÊ�·�¹�º�Ó�¸�Ê�¸�Ñ�º/¸�ºsÆ�¸�º*¹%·�Ï¿2Ñ�º*Ó\Ê�·�¹%¸�º�Ê�Ó�¹�Ê�¸�Ó\Ôo¹�¿2Ê�¸�Ñ�ºkÒe·�Ñ�Æ�¼�½2É-Ó�Ä�Õ�Ö�×XØ Ù}Ú2ØYÛ�Ü,Ý�Þ*×uß2ÜoÜ Ø�à�ß�ÞUÚ�ß�áUÃ�Á�â�Á�Â�Â:ã,Á�ÃeÁ�á�Á�ä�ä�åeÄ

Á�äeÄ�æ0Ä ç"ÄUè,é7½�¸�»eá�ê뾩¹�¼�¼�¹eá�¹%º,Ì'¶_Ä�ì_¸�¿�Ó�½�ÀUÄ�ítË,¹�Ê�É[¹�Àg½�Ó�¹VÒ�Ë,¹%Ó�½?Ê�·�¹�º*Ó�¸jÊ�¸�Ñ�º,îVç$º*¹�¼jÏeÓ�¸�Ó�Ñ%ÔÊ�Ë�½_·�¹�º*Ì�Ñ�ɤÓ�¹%Ê�¸�Ó\ïU¹%Æ*¸�¼�¸�ÊuÏmÒe·�Ñ�Æ�¼�½2É'Ä}ð�ñ�ò%ó�ØYÚ�Û0Õ_á*ô�Ã�ä�â�Á�Â�õ�Á�ã*Á�Â�Á�Á�á�ö�õ�Á:õeÄ