Čvrstoća Čvrstoća je sposobnost suprotstavljanja pojavi nedopuštenih oštećenja koja mogu nastati zbog opterećenja. Ta, granična opterećenja, zbog naprezanja i deformacija koja proizvode, uzrokuju dvije osnovne vrste nedopuštenih oštećenja: lom (ili nastanak pukotine, koja vodi k lomu) i plastičnu deformaciju. Kroz povijest strojarstva, sve do novijeg vremena, smatralo se da obje vrste nedopuštenih oštećenja uzrokuje nedopušteni, granični nivo naprezanja. Iako je poznato da i pri plastičnim deformacijama u različitim pogonskim uvjetima, uvijek postoji neka veza između opterećenja, naprezanja i deformacija, danas se točno zna, da npr. lom uslijed zamora materijala u području visokih vremenski promjenjivih opterećenja ne ovisi o visini naprezanja, nego samo o nivou deformacija. O tome će biti govora u poglavlju 1.8.1.2.4, no ipak, u većini slučajeva pojava nedopuštenog oštećenja je uzrokovana pojavom graničnih naprezanja. Zbog toga, uvjet da na određenom, kritičnom mjestu opterećenog strojnog dijela ili konstrukcije ne dođe do nedopuštenog oštećenja, najčešće jest da na tom mjestu naprezanja σ budu manja od onih (graničnih) naprezanja σgr, koja bi uzrokovala ta nedopuštena oštećenja. Dakle

σ < grσ * (1.68)

Naravno, granična naprezanja su mjerodavne karakteristike čvrstoće materijala, koje se označavaju sa R. To znači da ih treba odabrati prema onoj (karakterističnoj) vrijednosti čvrstoće, koja se ne smije dostići. Ako su naprezanja npr. statička (mirna), a važno je npr. samo da ne dođe do loma, mjerodavna karakteristika čvrstoće će biti statička čvrstoća materijala Rm. Ako pri statičkim naprezanjima nisu dopuštene plastične deformacije, mjerodavna karakteristika čvrstoće će biti granica tečenja Re. Ako su naprezanja vremenski promjenjiva (dinamička), mjerodavna karakteristika čvrstoće će biti dinamička čvrstoća RD (granica zamora materijala). U slučaju dugotrajnih statičkih opterećenja, posebno pri povišenim temperaturama, mjerodavna karakteristika čvrstoće će biti granica puzanja ili dugotrajna statička čvrstoća, itd. Jasno je da su vrijednosti ovih graničnih naprezanja različite za različite vrste opterećenja (vlak, tlak, savijanje, smik, torzija). 1.1.1.1 Stupanj sigurnosti i dopušteno naprezanje Omjer mjerodavne karakteristike čvrstoće i radnog naprezanja, koji pokazuje koliko je puta mjerodavna karakteristika čvrstoće R veća od radnog naprezanja σ naziva se stupnjem sigurnosti:

Rνσ

= >1 . (1.69) Stupanj sigurnosti ν mora biti veći, ili barem jednak, vrlo pažljivo i vrlo odgovorno odabranoj vrijednosti tzv. potrebnog stupnja sigurnosti νpotr

potrν ν≥ . (1.70)

Po ovom izrazu se kontrolira čvrstoća na kritičnom mjestu strojnog dijela, pa stoga on predstavlja uvjet čvrstoće. Pri tome se potrebni stupanj sigurnosti određuje na osnovi iskustva i znanja, a granice su mu određene procjenom visine štete, koja bi nastala nedopuštenim oštećenjem (gornja granica), te što manjim utroškom materijala, tj. cijenom proizvoda (donja granica). Vrijednost mu naročito raste, ako bi oštećenjem bili ugroženi ljudski životi.

* Istovjetni izrazi važe i za tangencijalna naprezanja τ

Projektant treba biti sposoban procijeniti pouzdanost metoda, teorija i podataka kojima se služi, te vrstu i razinu tehnologije koja će se primijeniti pri izradi strojnog dijela. Nije svejedno npr. odrediti naprezanje metodom Nauke o čvrstoći, metodama Teorije elastičnosti, ili pak nekom od numeričkih metoda uz kvalitetan, pouzdan i provjeren softver. U prvom slučaju, budući da Nauka o čvrstoći daje približne rezultate, projektant treba biti svjestan moguće greške, i zbog toga mora povećati potrebni stupanj sigurnosti. Pored toga, u svim spomenutim metodama, uključivši i numeričku, pretpostavlja se da su strojni dijelovi izrađeni iz idealnog materijala: homogenog- koji ima jednaku strukturu u svim točkama, i izotropnog- koji se ponaša jednako u svim smjerovima i svim točkama. U stvarnosti materijali koji se upotrebljavaju za izradu strojnih dijelova, nisu ni homogeni niti izotropni, pa vrijednosti izračunatih naprezanja i deformacija nisu pouzdane. Dalje, Teorija elastičnosti i Mehanika materijala vrijede samo za elastične materijale, što konstrukcijski materijali opterećeni iznad granice elastičnosti nisu. Neki materijali uopće nemaju područje elastičnosti, tj. proporcionalnosti opterećenja i deformacije. Niti proračuni ili podaci o opterećenjima nisu sasvim pouzdani, budući da su najčešće dobiveni za apsolutno kruta tijela, što konstrukcijski elementi zapravo nisu. Budući da projektant ne može biti siguran da li je greška "na strani sigurnosti" ili ne, on uvijek mora povećati stupanj sigurnosti! Zato se potrebni stupanj sigurnosti ponekad naziva i "koeficijent neznanja". Uz pomoć suvremene mjerne tehnike, te primjenom prikladnog kvalitetnog softvera, moguće je danas - kada je to potrebno, vrlo precizno odrediti veličine opterećenja i naprezanja. No, svako povećanje pouzdanosti proračuna lako može biti porušeno nekvalitetnom tehnologijom izrade (kavernama nakon lijevanja, zaostalim naprezanjima ili koncentracijom naprezanja nakon lošeg zavarivanja itd). Sve ovo, a najviše vlastito i tuđe iskustvo, projektant mora imati u vidu prilikom određivanja vrijednosti potrebnog stupnja sigurnosti. Izrazi (1.69) i (1.70) mogu se sažeti u jedan izraz:

potr

Rσν

≤ . (1.71)

Omjer čvrstoće R i stupnja sigurnosti νpotr na desnoj strani ovog izraza predstavlja granicu koju pogonsko naprezanje σ ne smije nikada preći, i naziva se dopušteno naprezanje:

doppotr

Rσν

= . (1.72)

Sada se uvjet čvrstoće može pisati, i najčešće se piše kao dopσ σ≤ . (1.73) Kod složenog stanja naprezanja ekvivalentno naprezanje σekv mora biti manje ili jednako dopuštenom normalnom naprezanju:

ekv dopσ σ≤ (1.74)

Uvrštenjem u izraz 1.74 izraza 1.72 i 1.73, proizlazi novi izraz za uvjet čvrstoće u slučaju ekvivalentnih naprezanja:

potrekv

Rν νσ

= ≥ (1.75)

Ako se za izračun ekvivalentnog naprezanja odabere izraz 1.52, odavde proizlazi još jedan izraz za računanje stupnja sigurnosti:

potr2 2σ τ

σ τ

ν νν νν ν

⋅= ≥

+ (1.76)

gdje je

Rσ

σνσ

= (1.77)

νσ parcijalni stupanj sigurnosti za samo normalna naprezanja Rσ [N/mm2] mjerodavna karakteristika čvrstoće za normalna naprezanja σ [N/mm2] normalno naprezanje na mjestu na kojem se kontrolira čvrstoća

Rτ

τντ

= (1.78)

ντ parcijalni stupanj sigurnosti za samo tangencijalna naprezanja. Rτ [N/mm2] mjerodavna karakteristika čvrstoće za tangencijalna naprezanja τ [N/mm2] tangencijalno naprezanje na mjestu na kojem se kontrolira čvrstoća.

1.1.1.2 Čvrstoća u slučaju statičkih naprezanja Kada su strojni elementi izloženi statičkim, vremenski nepromjenjivim opterećenjima, naprezanja u njihovim najnapregnutijim točkama ne smiju preći mjerodavnu karakteristiku statičke čvrstoće. Osnovne karakteristike statičke čvrstoće dobivaju se iz tzv. dijagrama rastezanja koji predstavljaju vezu između naprezanja i deformacija za određeni materijal. Ovisnost naprezanja i uzdužne relativne deformacije je ovisna o vrsti materijala. Za različite vrste materijala ta veza se određuje jednostavnim statičkim testiranjima standardnih epruveta. Pri određivanju statičke čvrstoće materijala epruvete se opterećuju mirnim opterećenjem, koje se povećava sve dok ne dođe do njihovog loma. Karakteristični dijagram, snimljen pri vlačnom opterećenju mekog čelika, prikazan je na slici 1.22. Analizom dijagrama je uočljivo da poslije početnog proporcionalnog (linearog) rasta naprezanja s deformacijom, dolazi do nelinearnog rasta, tj. deformacija raste brže od naprezanja. Pri deformaciji εm doseže se najveće naprezanje koje materijal može podnijeti, i naziva se (statička) vlačna čvrstoća Rm. Nakon dosegnute vlačne čvrstoće, deformacija raste uz smanjenje naprezanja, do najveće deformacije εu, pri kojoj dolazi do loma, slika 1.22. Najveće naprezanje pri kojem još postoji linearna ovisnost deformacije i naprezanja naziva se granicom proporcionalnosti Rp. Do granice proporcionalnosti materijal se ponaša linearno-elastično i u tom području veza između deformacija ε i naprezanja σ dana je Hookovim zakonom, izraz (1.28). Do određene razine naprezanja ponašanje materijala je elastično, što znači, da se pri rasterećenju epruveta vraća u svoj prvobitni položaj tj. na prvobitnu dimenziju. Zbog toga se to područje naziva elastično područje, deformacije su elastične tj. povratne. Granica elastičnih deformacija je granica proporcionalnosti, ali je nju teško odrediti iz dijagrama. Zato se definira tehnička granica elastičnosti Rp0,01, koja je definirana kao ono naprezanje, nakon prestanka dijelovanja kojeg, na epruveti ostaju trajne (zaostale) deformacije veličine ε = 0,01%.

σ

ε εu εm εupl εmpl

Rm

Rp

E = tanα

α

lom

Rp0,01

Slika 1.22: Dijagram rastezanja za meki čelik

Naprezanje pri kojem dolazi do znatnih plastičnih deformacija naziva se granica plastičnosti ili granica tečenja (jer se na toj razini naprezanja materijal ponaša kao tekućina- teče bez povećanja opterećenja) Re. Granica tečenja je izrazita kod mekih čelika, gdje se razlikuje gornja granica tečenja ReH, pri kojoj se javlja prva plastična deformacija, i donja granica tečenja ReL, pri kojoj se odvija daljnje deformiranje, slika 1.23a. Iz praktičnih razloga kod tih materijala određuje se samo gornja granica plastičnosti, na koju se može bitno utjecati brzinom opterećenja. Kod materijala kod kojih nije jasno vidljiva granica tečenja (npr. tvrdi čelik), dogovorno se (tehničkom) granicom tečenja naziva ono naprezanje, pri kojemu nakon rasterećenja ostane trajna deformacija ε = 0,2%, a označava se s Rp0,2, slika 1.23b. Plastične deformacije većine metalnih materijala vode do njihovog otvrdnuća, te je za daljne deformiranje potrebno veće opterećenje. Po obliku njihovih dijagrama rastezanja, razlikuju se sljedeći materijali:

• krti materijali, koji se nakon početnih elastičnih deformacija lome bez izrazitijeg plastičnog deformiranja (npr. čelici visoke čvrstoće, sivi ljev, titan, keramika);

• rastezljivi materijali (materijali s viskoznim lomom), kod kojih se nakon početne (linearne) deformacije javlja izrazita plastična (trajna) deformacija, slika 1.23a,

• plastični materijali, koji se samo neznatno elastično deformiraju, a cijela je deformacija praktički plastična, npr. bakar, slika 1.23c.

Dijagram ovisnosti deformacije o tlačnim, savojnim i torzijskim naprezanjima kvalitativno je jednak dijagramu rastezanja, slika 1.23. Odgovarajuće karakteristike statičke čvrstoće za neke važnije konstrukcijske materijale dane su u tabeli 1.7.

Tabela 1.7: Osnovna svojstva važna za čvrstoću materijala za opću strojarsku praksu Oznaka materijala

Temperaturni koeficijent rastezanja α [K-1]

Vrs

ta m

ater

ijala

HRN DIN

Vlačna čvrstoća

Rm [N/mm2]

Granica tečenja Re, Rp0,2 [N/mm2]

Modul elastičnosti

E [N/mm2]

Poissonov koeficijent

ν grijanje hlađenje

Č 0000 St 33 310 185 Č 0361 RSt 37-2 340 225 Č 0460 St 44 430 275 Č 0560 St 52 490 345 Č 0545 St 50-2 480 285 Č 0645 St 60-2 570 325

Kon

stru

kcijs

ki

čelic

i

Č 0745 St 70-2 670 355 Č 1480 Cm 35 600 370 Č 1580 Cm 45 650 430 Č 1780 Cm 60 800 520 Č 3130 28Mn6 800 590 Č 4730 25CrMo4 900 600 Č 4731 34CrMo4 1000 800 Č 4732 42CrMo4 1100 900 Č 4733 50CrMo4 1100 900 Č 5430 36CrNiMo4 1200 1000

Čel

ici z

a po

boljš

anje

- 30CrNiMo8 1250 1050 Č 1220 C15 590 355 Č 7420 20MoCr4 780 590 Č 4320 16MnCr5 780 590 Č 4321 20MnCr5 980 650

Čel

ici

za

cem

entir

anje

Č 4520 17CrNiMo6 1080 785 ČL 0300 GS-38 380 200 ČL 0400 GS-45 450 230 ČL 0500 GS-52 520 260

Čel

ični

lje

v

ČL 0600 GS-60 600 300

2,1·10-5 0,3 11·10-6 -8,5·10-6

SL 10 GG-10 100 0,88·10-5 0,29 SL 15 GG-15 150 0,95·10-5 0,28 SL 20 GG-20 200 1,05·10-5 0,31 SL 25 GG-25 250 1,15·10-5 0,31 SL 30 GG-30 300 1,25·10-5 0,30

Sivi

ljev

SL 35 GG-35 350

−

1,35·10-5 0,30

11·10-6 -8·10-6

NL 380 GGG-40 400 250 1,67·10-5 0,28 NL 500 GGG-50 500 320 1,70·10-5 0,29 NL 600 GGG-60 600 380 1,77·10-5 0,32 NL 700 GGG-70 700 440 1,80·10-5 0,34

Nod

ular

ni

ljev

NL 800 GGG-80 800 500 1,80·10-5 0,34

10·10-6 -8·10-6

BTel 35 GTW-35 350 − BTel 40 GTW-40 400 220 BTel 45 GTW-45 450 260 CTel 35 GTS-35 350 200 PTel 45 GTS-45 450 290 PTel 55 GTS-55 550 340

Tem

per l

jev

PTel 65 GTS-65 650 430

1,75·10-5 0,3 10·10-6 -8·10-6

Tabela 1.7: (nastavak)

Oznaka materijala Temperaturni

koeficijent rastezanja α [K-1]

Vrs

ta m

ater

ijala

HRN DIN

Vlačna čvrstoća

Rm [N/mm2]

Granica tečenja Re, Rp0,2 [N/mm2]

Modul elastičnost

i E

[N/mm2]

Poissonov koeficijen

t

ν grijanje hlađenje

AlMg3 AlMg3 250 180 AlMg3Si1 AlMg3Si1 310 260 AlCu5PbBi AlCu5PbBi 380 250 AlSi6Cu4 G-AlSi6Cu4 180 120 AlSi12(Fe) G-AlSi12 180 85

Alu

min

ijske

le

gure

AlSi10Mg G-AlSi10Mg 200 100

0,7⋅105 0,33 23⋅10-6 -18⋅10-6

MgMn2 MgMn2 200 150 MgAl6Zn MgAl6Zn 270 200 MgAl8Zn MgAl8Zn 290 210 MgAl8Zn1 G-MgAl8Zn1 160 90

Mag

nezi

jeve

le

gure

MgAl9Zn1 G-MgAl9Zn1 240 110

0,12⋅105 0,34 26⋅10-6 -21⋅10-6

CuSn2 CuSn2 260 150 CuSn6 CuSn6 400 200 CuSn10 G-CuSn10 270 130

Kos

itren

e B

z

CuSn12 G-CuSn12 260 140 CuPb5Sn G-CuPb5Sn 240 130 CuPb10Sn G-CuPb10Sn 180 80 CuPb15Sn G-CuPb15Sn 180 90

Olo

vne

bron

ze

CuPb20Sn G-CuPb20Sn 160 90

0,9⋅105 0,35

CuAl5 CuAl5 340 100 CuAl8 CuAl8 370 120 CuAl10Fe G-CuAl10Fe 500 180

Alu

min

ijska

B

z

CuAl9Ni G-CuAl9Ni 500 200

1,23⋅105 0,33

16⋅10-6 -14⋅10-6

CuZn28F36 CuZn28F36 370 200 CuZn33F37 CuZn33F37 380 210 CuZn36F38 CuZn36F38 390 220 CuZn15 G-CuZn15 170 70 CuZn33Pb G-CuZn33Pb 170 70

Mje

d

CuZn40Fe G-CuZn40Fe 300 130

18⋅10-6 -16⋅10-6

CuSn10Zn G-CuSn10Zn 260 130

CuSn7ZnPb G-CuSn7ZnPb 240 120

CuSn5ZnPb G-CuSn5ZnPb 240 90

Crv

eni

met

al

CuSn6ZnNi G-CuSn6ZnNi 270 140

0,9⋅105 0,35

17⋅10-6 -15⋅10-6

TiAl6V4 TiAl6V4 890 820

Tita

nove

le

gure

TiAl5Sn2 TiAl5Sn2 790 760 1,05⋅105 0,33 8,35⋅10-6 −

Karbidi > 2000 > 2000 58⋅105 − 5,5⋅10-6 − Staklo-kremen < 90 − − − 0,6⋅10-6 − Drvo < 200 < 80 0,10⋅105 − − − Napomena: Karakteristike čvrstoće materijala (Rm, Re ili Rp0,2) su općenito ovisne o debljini elementa. U

tabeli su navedene orijentacijske vrijednosti za srednje debljine epruveta (između 16 i 40 mm). Točne vrijednosti u ovisnosti o toplinskoj obradi i debljini mogu se naći u odgovarajućim priručnicima ili katalozima proizvođača.

a) b) c)

σ σ

ε ε 0,2%

Rp0,2 ReL

ReH

σ

ε

tvrdi čelik

meki čelik

sivi lijev bakar

Slika 1.23: Karakteristični dijagrami rastezanja materijala

a) granica tečenja za meki čelik b) dogovorna (tehnička) granica tečenja c) naprezanje-deformacija krivulje za različite vrste materijala

1.1.1.2.1 Karakteristike čvrstoće strojnih dijelova pri statičkim opterećenjima Tabela 1.7 navodi neke osnovne karakteristike čvrstoće strojarskih materijala. Navedene vrijednosti vrijede za vlačna opterećenja, a za metale i za tlačna opterećenja. Podaci za vlačnu čvrstoću Rm i granicu tečenja Re, tj. Rp0,2, su navedeni za srednje debljine strojnih dijelova i propisanu toplinsku obradu. Pri manjim debljinama strojnih dijelova su vrijednosti za vlačnu čvrstoću i granicu tečenja veće, a pri većim debljinama manje. Čvrstoća materijala opada s povećanjem dimenzija strojnih dijelova, jer je na većem prostoru veća vjerojatnost za nehomogenost, anizotropnost i ostale greške u materijalu, te za narušeni integritet površina zbog grešaka u obradi. Ovo smanjenje čvrstoće strojnih dijelova zbog njihovih dimenzija, većih negoli dimenzije epruvete na kojoj je ispitivana čvrstoća, obuhvaćeno je odgovarajućim faktorom dimenzija:

1 1ref

RbR

= ≤ (1.79)

R [N/mm2] statička karakteristika čvrstoće za određenu proizvoljnu dimenziju Rref [N/mm2] statička karakteristika čvrstoće za referentnu dimenziju, najčešće 10 mm. Faktor dimenzija b1 nije jednak za statičku čvrstoću (slika 1.24a) i za granicu tečenja (slika 1.24b). Za referentne dimenzije veće od 10 mm (kao što su u tabeli 1.7), faktor dimenzija se može odrediti iz slike 1.24 kao omjer vrijednosti b1 za proizvoljnu i novu referentnu dimenziju. Statička čvrstoća strojnog dijela manja je od statičke čvrstoće probne epruvete i zbog koncentracije naprezanja, koja je prisutna u njemu zbog promjenjivog oblika. Doduše, efekat koncentracije naprezanja se za materijale s viskoznim lomom sasvim poništi zbog očvršćenja strojnog dijela nakon lokalnog razvlačenja, ali kod materijala sa krtim lomom i visokom osjetljivošću na koncentraciju naprezanja, ovaj efekat se ne smije uvijek zanemariti. Općenito je dakle statička čvrstoća strojnog dijela Rm,d dana izrazom:

1m,d m

k,m

bRβ

= R (1.80)

b1 faktor dimenzija za statičku čvrstoću, slika 1.24a

βk,m efektivni faktor koncentracije naprezanja za statičku čvrstoću. βk,m≈ 1 za sve materijale osim za izrazito krte (staklo, keramika, berilij, titan i sl.). Obično se za statički opterećene dijelove iz krtih materijala za mjerodavnu karakteristiku čvrstoće uzima statička čvrstoća, dok se za rastezljive materijale uzima granica tečenja korigirana faktorom dimenzija (slika 1.24b).

10 20 50 100 200 500

0,4

0,6

0,8

11

2

3

40,4

10 20

0,6

[mm]

20050 100 500

0,8

1

[mm] Slika 1.24: Faktori utjecaja dimenzija na statičke karakteristike čvrstoće

a) za vlačnu čvrstoću: 1- ugljični čelici, 2- legirani čelici, 3- nodularni lijev, 4- sivi lijev b) za granicu tečenja pri vlačnom naprezanju za ugljične konstrukcione čelike

Radi povećanja nosivosti elemenata od materijala s viskoznim lomom tj. sa izraženom granicom tečenja, ponekad su dijelovima strojeva ili konstrukcija dopuštene male plastične deformacije. Veća nosivost postiže se zahvaljujući osobini očvršćavanja, koju pokazuju ovi materijali nakon prelaza u plastično tj. elastično-plastično stanje. U tom slučaju, stupanj sigurnosti ν se može zapisati kao

gr gr Tε T

T

Q Q Q kQ Q Q

ν ν= = = ⋅ (1.81)

Qgr [N] ili [Nm] opterećenje pri kojem naprezanje u najopterećenijim točkama strojnog dijela premašuje granicu tečenja Q [N] ili [Nm] opterećenje QT [N] ili [Nm] opterećenje na granici tečenja kε koeficijent otpornosti u plastičnom području, koji pokazuje povećanje graničnog opterećenja prema opterećenju na granici tečenja νT stupanj sigurnosti prema prema granici tečenja. Dakle, stupanj sigurnosti po kriteriju dopuštenih malih plastičnih deformacija je za kε puta veći od stupnja sigurnosti po kriteriju (ne) dosezanja granice tečenja. Isto toliko puta veća je i nosivost strojnog dijela. Koeficijent otpornosti u plastičnom području (tj. u području elastično-plastičnih deformacija) kε ovisi o rasporedu naprezanja iznad granice elastičnosti, te o parametrima dijagrama σ - ε, koji se shematski obično daje u obliku dva pravca (slika 1.25), kako bi se lakše mogao provesti proračun izvan granica elastičnosti. Lijevi, linearni dio dijagrama odgovara elastičnim, a desni elastično-plastičnim deformacijama.

Prema dijagramu 1.25 omjer naprezanja Rε, koje odgovara ukupnoj deformaciji ε, i granice tečenja Re, zadan je jednadžbom

e

e e

1R E ER E E

ε εε

= − −

e (1.82)

Rε [N/mm2] naprezanje koje odgovara ukupnoj deformaciji ε Re [N/mm2] granica tečenja ε ukupna deformacija u području elastično- plastičnih deformacija εe ukupna deformacija na granici tečenja E [N/mm2] modul elastičnosti Ee [N/mm2] modul očvršćavanja

Slika 1.25: Shematski dijagram naprezanje - deformacija

Vrijednost λ = 1-Ee/E naziva se koeficijent oslabljenja, a karakterizira smanjenje naprezanja iznad granice elastičnosti u odnosu na njegovu vrijednost prema Hookovom zakonu. Njegova vrijednost za čelike kreće se u granicama od 0,75 do 1,0 ovisno o sastavu čelika i njegovoj toplinskoj obradi. Najčešća vrijednost je λ = 0,9 tj. Ee/E = Ge/G = 0,1, gdje je G modul smika. Za računanje koeficijenta otpornosti kε u elastično - plastičnom području potrebno je izračunati opterećenje QT, pri kojem naprezanje u najopterećenijim točkama strojnog dijela dostiže granicu tečenja, i granično opterećenje Qgr za dopuštenu elastično - plastičnu deformaciju ε. Opterećenje QT lako se računa prema Hookeovom zakonu. Tako je npr. za ravno savijanje

T e,sM W R= ⋅ (1.83)

MT [Nmm] moment savijanja pri kojem naprezanje u pojedinim točkama dostiže granicu tečenja za savijanje W [mm3] aksijalni moment otpora poprečnog presjeka strojnog dijela Re,s [N/mm2] granica tečenja za savijanje. Granična opterećenja ili koeficijenti otpornosti se pak računaju na osnovi izraza Teorije plastičnosti, koji će biti prezentirani samo za neke slučajeve opterećenja, koji se češće javljaju u

praksi. Tako se npr. pri vlačnom opterećenju granična sila Fgr za dopuštenu elastično-plastičnu deformaciju ε, tj. za dopušteni omjer deformacija ε/εe dobije iz izraza 1.79:

egr T T

e

1E EF F FE E

εε

= ⋅ ⋅ − −

e (1.84)

FT [N] vlačna sila na granici tečenja Ee [N/mm2] modul očvršćenja E [N/mm2] modul elastičnosti εe elastična deformacija na granici tečenja tj. na granici elastičnog i elastično- plastičnog područja Koeficijenti otpornosti kε = Mgr/MT za slučaj savijanja greda pravokutnog i okruglog presjeka prikazani su na slici 1.26 za očvršćenje Ee/E=0,1 u ovisnosti o omjeru granično dopuštenog progiba fgr i progiba na granici tečenja fT u istom presjeku.

1 2 3 4 5 6

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0,1

b a c

Slika 1.26: Koeficijenti otpornosti u elastično- plastičnom području pri savijanju jednostavne

grede opterećene silom na sredini i konzole opterećene silom na kraju a) za pravokutni presjek b) za okrugli presjek c) za konzolu

okruglog presjeka opterećenu momentom na kraju

U slučaju uvijanja štapa okruglog presjeka, koeficijent otpornosti dan je izrazom

3

1 3 1 43

gr gre e e

T e g

T G GkT G Gε

r

Θ Θ = = + − − Θ Θ (1.85)

Tgr [Nmm] moment torzije pri kojem naprezanje u najopterećenijim točkama presjeka premašuje granicu tečenja TT [Nmm] moment torzije na granici tečenja Ge [N/mm2] modul očvršćavanja za tangencijalna naprezanja G [N/mm2] modul smika Θgr rad kut torzije pri kojem naprezanje u najopterećenijim točkama presjeka premašuje granicu tečenja Θe rad kut uvijanja u trenutku pojave plastičnih deformacija Ako je greda kružnog presjeka opterećena istovremeno na savijanje s momentom M i na uvijanje s momentom T, nosivost se određuje iz uvjeta

2 2

T T

3 3 116 4

M TM T

π + =

(1.86)

MT [Nmm] moment savijanja pri kojem naprezanje u pojedinim točkama premašuje granicu tečenja za savijanje TT [Nmm] moment uvijanja pri kojem naprezanje u pojedinim točkama premašuje granicu tečenja za uvijanje.

1.1.1.2.2 Dugotrajna statička čvrstoća Kod statičkih opterećenja iznad određene temperature, dio deformacija se pojavljuje naknadno. Ta pojava vremenskog zaostajanja deformacija za opterećenjem naziva se puzanje materijala. Temperatura pri kojoj se javlja puzanje ovisna je o vrsti materijala. Za čelik ona je iznad 400°C, a npr. za olovo i većinu polimernih materijala je kod sobne temperature. Oštećenje materijala u procesu puzanja pri dugotrajnom dijelovanju statičkih naprezanja na određenoj temperaturi vodi lomu, otpornost prema kojem se naziva dugotrajna ili vremenska statička čvrstoća. Ona se određuje na osnovi eksperimentalno dobivenih dijagrama dugotrajne statičke čvrstoće za određenu temperaturu, slika 1.27.

vrijeme ( )log Slika 1.27: Shematski prikaz krivulja dugotrajne statičke čvrstoće

Jednadžba ove krivulje je

(1.87) d dm mdug grR t t constσ⋅ = ⋅ =

Rdug [N/mm2] dugotrajna statička čvrstoća za t sati dijelovanja statičkog opterećenja t [h] vrijeme dijelovanja statičkog naprezanja σ, obično σ [N/mm2] dugotrajno statičko naprezanje tgr [h] vrijeme nakon kojeg dolazi do loma pri dugotrajnom statičkom naprezanju σ md eksponent (nagib) krivulje dugotrajne statičke čvrstoće. Za čelike md = 4...10

Iz poznate krivulje krivulja dugotrajne statičke čvrstoće lako se može odrediti vijek trajanja strojnog dijela za poznati nivo dugotrajnog statičkog naprezanja, ili dugotrajna statička čvrstoća za predviđeni vijek trajanja. Tada je stupanj sigurnosti

dugpotr

Rν ν

σ= ≥ (1.88)

Međutim, u literaturi se najčešće može nači samo podatak za dugotrajnu statičku čvrstoću za normnu trajnost od najčešće 100000 sati Iz tog podatka se onda može iz izraza 1.84 odrediti dugotrajna statička čvrstoća strojnog dijela za predviđeni vijek trajanja,

1

* dmgr

dug dug

tR R

t

= ⋅

(1.89)

Rdug [N/mm2] dugotrajna statička čvrstoća za predviđeni vijek trajanja t strojnog dijela R*

dug [N/mm2] dugotrajna statička čvrstoća za normnu trajnost tgr tgr [h] normna trajnost, tj. baza ispitivanja dugotrajne statičke čvrstoće, obično 100000 sati t [h] predviđeni vijek trajanja strojnog dijela md eksponent (nagib) krivulje dugotrajne statičke čvrstoće. Za čelike md = 4...10. Također, moguće je odrediti vijek trajanja za poznatu vrijednost dugotrajnog statičkog naprezanja

dm

duggr

Rt t

σ

=

(1.90)

t [h] predviđeni vijek trajanja strojnog dijela tgr [h] normna trajnost, tj. baza ispitivanja dugotrajne statičke čvrstoće, obično 100.000 sati Rdug [N/mm2] dugotrajna statička čvrstoća za tgr σ [N/mm2] dugotrajno statičko naprezanje md eksponent (nagib) krivulje dugotrajne statičke čvrstoće. Kod nestacionarnog statičkog opterećenja (promjenjivi režimi dugotrajnog statičkog opterećenja, slika 1.28) pri konstantnoj temperaturi vrijedi zakon gomilanja statičkih oštećenja:

,,

1ii st st

i ii gr

t D Dt

= = ≅∑ ∑ (1.91)

ti [h] vrijeme dijelovanja dugotrajnog statičkog naprezanja σi ti,gr [h] vrijeme do loma na nivou dugotrajnog statičkog naprezanja σi Di,st statičko oštećenje od dijelovanja σi Dst ukupno statičko oštećenje.

Iz ovog zakona, uz pomoć jednadžbe krivulje dugotrajne statičke čvrstoće, izvodi se izraz za ekvivalentno dugotrajno statičko naprezanje koje ima isti učinak, tj. rezultira istom trajnošću, kao dijelovanje svih naprezanja σi kroz njihova vremena ti:

log Slika 1.28: Nestacionarno dugotrajno statičko naprezanje

1

dd

mm

e i ii

σ α σ = ∑ (1.92)

σe [N/mm2] ekvivalentno stacionarno dugotrajno statičko naprezanje

ii

ii

tt

α =∑

(1.93)

αi udio vremena ti dijelovanja naprezanja σi prema ukupnom vremenu dijelovanja svih naprezanja, relativno trajanje naprezanja σi ti [h] vrijeme dijelovanja naprezanja σi σi [N/mm2] i- to dugotrajno statičko naprezanje. Sada se, zamjenjujući σ sa σe, može odrediti trajnost prema izrazu 1.90, dugotrajna statička čvrstoća prema 1.89, ili stupanj sigurnosti prema izrazu 1.88.

1.1.1.3 Čvrstoća u slučaju promjenjivih naprezanja Strojni dio koji je dulje vremena podvrgnut naprezanjima promjenjivim u vremenu, lomi se pri naprezanjima koja su znatno manja od statičke čvrstoće i granice tečenja. Ovo je posljedica tzv. zamora materijala. Za razliku od lomova pri statičkom opterećenju, lomovi zbog zamora materijala redovito nastaju bez prethodnog razvlačenja materijala (dakle bez trajne deformacije i kontrakcije presjeka), bez obzira na vrstu i osobine materijala i na vrstu naprezanja. Razlog ovome je to što su naprezanja koja uzrokuju zamorni lom, znatno ispod granice tečenja. Proces zamaranja uvijek počinje začećem inicijalne (mikro)pukotine duljine reda veličine kristalnog zrna (oko 0,05 mm), a proces začeća pukotine započinje cikličkim gomilanjem plastičnih deformacija na mjestima mikrokoncentracije naprezanja. Izvori mikrokoncentracije naprezanja su najčešće na površini napregnutog elementa, i to pri dnu udubina površinskih neravnina, u okolini oksida koji djeluju kao strano tijelo (uključina), te na mjestima svih ostalih nehomogenosti izazvanih okolišem i obradom (npr. gubitak ugljika pri kovanju ili uključine pri ljevanju). Važan uzrok začeća pukotine na površini jest i činjenica da su nominalna naprezanja uvijek najveća na površini. Ustvari, pukotina se uvijek začinje na mjestu najvećih stvarnih naprezanja. Oko kristalnih zrna s ovako nagomilanim plastičnim deformacijama formiraju se

klizne ravnine, najčešće na granici sa nedeformiranim zrnima. Daljnja ciklička opterećenja uzrokuju i samo klizanje - početak rasta kratkih mikropukotina. Ovo se lijepo vidi na slici 1.29, gdje je lijevo-gore od mikropukotine zrno niskougljičnog čelika s plastičnim deformacijama tj. dislokacijama, a desno-dolje zrno praktički bez dislokacija. Gore desno se vidi ishodište buduće pukotine na dnu površinske neravnine. Inicijalna pukotina se dakle najčešće začinje transgranularno (između dvaju kristalnih zrna), ali se može začeti i intergranularno (kroz jedno kristalno zrno). U zoni visokih naprezanja začinje se više pukotina, ali se počinje širiti samo jedna od njih, i to ona, čiji faktor intenziteta naprezanja (vidi poglavlje 1.8.1.3.7.3) premaši svoju graničnu vrijednost, tzv. prag širenja pukotine. Tada se pukotina počinje širiti, intergranularno ili transgranularno, ali makroskopski uvijek u smjeru maksimalne vrijednosti faktora intenziteta naprezanja.

Slika 1.29: Formirana klizna ravnina na granici plastično i elastično deformiranog zrna

Kada je izvor pukotine pod površinom, onda je to isključivo na mjestima kaverni ili uključina, slika 1.30. Kod sivog lijeva začeće pukotine je redovito na kraju grafitnog listića, koji je dio njegove strukture i predstavlja koncentrator naprezanja.

Slika 1.30: Tvrda uključina kao izvor ispodpovršinskog začeća pukotine kod Cr-Mo čelika

Izvor pukotine može biti i mekana intergranularna zona u kojoj se formira tzv. trostruka točka od koje se iniciraju tri mikropukotine- svaka u svome smjeru, slika 1.31.

Slika 1.31 - Tri primjera trostrukog začeća mikropukotina na jednom izvoru kod Cr-Mo čelika

ASTM A295 Proces širenja pukotine traje sve dok se ostatak presjeka ne smanji toliko da naprezanja u njemu dostignu vrijednost statičke čvrstoće materijala, pa se on odjednom nasilno prelomi. Tako površina loma uslijed zamora materijala ima dvije jasno izražene zone: zonu širenja pukotine, koja je glatka (hrapavost na nivou kristalnih zrna), i zonu statičkog loma vrlo grube i nepravilne površine, karakteristične za statički lom, slika 1.32. Shematski izgledi površina zamornog loma za različite vrste opterećenja prikazani su na slici 1.33.

mjesto začeća pukotine

linija odmoraglatka i sjajna površinanepravilna i hrapavapovršina statičkog loma

Slika 1.32: Opći izgled površine loma uslijed zamora materijala

°

a b c d e Slika 1.33: Prikaz lomova uslijed zamora materijala

a) aksijalno opterećenje, b) istosmjerno savijanje, c) izmjenično savijanje, d) kružno savijanje, e) torzija

Statistička analiza lomova strojnih dijelova pokazuje da preko 80 % svih lomova nastaje kao posljedica zamora materijala. Pokretni dijelovi strojeva redovito su izloženi promjenjivim naprezanjima bez obzira na karakter vanjskog opterećenja. Tako npr. rotirajuća osovina opterećena u određenom presjeku konstantnim momentom savijanja oko osi x-x bit će izložena naizmjenično promjenjivim normalnim naprezanjima, slika 1.34. Naime, svaka točka konture presjeka u jednom okretaju osovine trpi naprezanja od nule (u položaju a) do - σmax (u položaju b), te preko nule (u položaju c) i +σmax (u položaju d) , te ponovno do nule u položaju a. Mjerodavna karakteristika čvrstoće pri promjenjivim naprezanjima strojnih dijelova jest dinamička čvrstoća (ili granica zamora) strojnog dijela, koja se dobije ispitivanjem na zamor samog strojnog dijela, ili češće, izračuna se na temelju ispitivanja na zamor probne epruvete, izrađene od materijala jednakog materijalu strojnog dijela. Epruvete su definirane odgovarujućim standardom, ali ako su okrugle, promjer im je najčešće 7 mm, a površina polirana.

Epruvete su izložene periodično promjenjivim opterećenjima određenog inteziteta, sve do pojave loma. Ispitivanja se provode za određeni koeficijent asimetrije ciklusa naprezanja:

min

max

r σσ

= (1.94)

r koeficijent asimetrije ciklusa naprezanja σmin [N/mm2] minimalno naprezanje ciklusa naprezanja

σmax [N/mm2] maksimalno naprezanje ciklusa naprezanja

t

σ

+σm

ax

- σm

ax

b

a

d

x

x c

a

b

c

d

c

Slika 1.34: Naizmjenično promjenjivi ciklus normalnog naprezanja pri statičkom savijanju

rotirajuće osovine najčešće r = -1 i r = 0, ali za nekoliko različitih nivoa maksimalnih naprezanja. Za svaki od ovih nivoa naprezanja bilježi se broj ciklusa naprezanja N, nakon kojeg je došlo do loma epruvete. Rezultati ispitivanja unose se u σ−N dijagram, a dobivena krivulja odgovara eksponencijalnoj krivulji poznatoj pod imenom Wöhlerova krivulja (po njemačkom inženjeru, koji je prvi izveo opisane eksperimente), ili krivulja dinamičke čvrstoće materijala (krivulja zamaranja), slika 1.35a. Wöhlerova krivulja se asimptotski približava pravcu σ = Rr, pri čemu se Rr naziva trajnom dinamičkom čvrstoćom materijala izloženog ciklički promjenjivim naprezanjima s koeficijentom asimetrije ciklusa r. Očito, trajna dinamička čvrstoća materijala je ono maksimalno naprezanje ciklusa asimetrije r pri kojem epruveta doživi beskonačno mnogo ciklusa, tj. neograničenu trajnost. Wöhlerova krivulja se obično crta u logaritamskim kordinatama, gdje postaje karakteristični pravac s "koljenom" u točki Ngr, slika 1.35b. Jednadžba Wöhlerove krivulje se obično piše u obliku

(1.95) grm mrN rR N R N const⋅ = ⋅ =

RrN [N/mm2] vremenska dinamička čvrstoća za trajnost u ciklusima N N broj ciklusa do loma pri maksimalnom naprezanju ciklusa RrN Ngr broj ciklusa na prelazu između vremenske i trajne dinamičke čvrstoće. Za čelike obično oko 107 ciklusa, za obojene metale oko 108 ciklusa, a varira s asimetrijom ciklusa i vrstom naprezanja. m eksponent Wöhlerove krivulje tj. nagib Wöhlerove krivulje u logaritamskim koordinatama, m = 3...13 ovisno o materijalu, obliku strojnog dijela ili vrsti spoja, te vrsti naprezanja.

a) b)

mak

sim

alno

nap

reza

nje

din

amič

ka č

vrst

oća

broj ciklusa broj ciklusa

din

amič

ka č

vrst

oća

mak

sim

alno

nap

reza

nje

log

log

log

Slika Pogreška! U dokumentu nema teksta navedenog stila..35: Wöhlerova krivulja

Izvorišno, Smithov dijagram se dobiva unošenjem u njegove koordinate (σmax = Rr, σm) vrijednosti maksimalnog σmax = Rr i minimalnog naprezanja σmin na nivou trajne dinamičke čvrstoće za pripadajuću srednju vrijednost naprezanja σm, za nekoliko ciklusa različitih asimetrija r, slika 1.36. Simetrala dijagrama ucrtava se pod kutem od 450 i predstavlja pravac, čije su ordinate jednake apcisama tj. srednjim naprezanjima ciklusa. Očito je da konture Smithovog dijagrama omeđuju polje trajne dinamičke čvrstoće. Prijelaz maksimalnog ili minimalnog naprezanja izvan konture dijagrama znači zamorni lom! Razumljivo je također, da su Smithovi dijagrami različiti za različite vrste naprezanja, slika 1.37a. Najveću površinu zauzima Smithov dijagram za savijanje, a najmanju za torziju. To znači da su dinamičke čvrstoće na savijanje najveće, a na torziju najmanje. Pri tome gornja krivulja (maksimalnih naprezanja ciklusa) Smithovog dijagrama predstavlja liniju trajne dinamičke čvrstoće, pa se najčešće crta sama ta linija. Na taj način se Smithov dijagram aproksimira kao linija koja povezuje obično samo jednu (najčešće R-1) karakteristiku dinamičke čvrstoće i jednu (Rm ili Re) karakteristiku statičke čvrstoće, slika 1.37. Najsličnija izvorišnom Smithovom Tabela 1.8: Karakteristike čvrstoće važnijih konstrukcijskih materijala

Oznaka materijala Trajna dinamička čvrstoća Granica tečenja

Vlak/tlak Savijanje Torzija

Vrs

ta m

at.

HRN DIN Re Res Ret R-1 R0 R-1s R0s R-1t R0t

Č 0361 RSt 37-2 225 300 150 175 240 200 340 140 170 Č 0460 St 44 260 360 180 190 260 220 360 150 180 Č 0560 St 52 340 450 230 250 310 270 450 190 220 Č 0545 St 50-2 300 420 210 230 300 260 420 180 210 Č 0645 St 60-2 340 470 230 270 340 300 470 210 230

Kon

stru

kcijs

ki

čelic

i

Č 0745 St 70-2 370 520 260 320 370 340 520 240 260 Č 1331 C 25 360 500 250 250 360 280 480 190 250 Č 1531 Ck 45 490 670 340 340 490 370 650 260 340

Čel

ici z

a po

boljš

anj

e*

Č 1733 C 67 1050 1200 630 300 490 360 600 240 390

Č 3130 28Mn6 650 900 450 400 650 440 750 300 450 Č 4830 50CrV4 1200 1390 710 350 560 400 650 260 440 Č 4733 50CrMo4 900 1250 630 500 860 540 940 370 630

Č 5432 30CrNiMo8 1050 1450 730 570 980 600 1040 420 730

Č 1221 Ck 15 300 420 210 270 300 300 420 180 210 Č 4120 15Cr3 400 560 280 320 400 350 560 210 280 Č 4320 16MnCr5 600 840 430 400 600 450 770 270 430 Č 4321 20MnCr5 700 980 490 540 700 600 980 340 490 Č 5420 15CrNi6 650 900 450 500 650 550 900 300 450 Č

elic

i za

ce

men

tiran

je**

Č 5421 18CrNi8 800 1060 550 580 800 650 1060 410 550 ČL 0300 GS-38 200 250 110 150 190 150 250 85 110 ČL 0400 GS-45 230 300 130 180 230 180 300 100 130 ČL 0500 GS-52 260 350 160 210 260 210 350 120 160

Čel

ični

lij

ev

ČL 0600 GS-60 300 400 180 240 300 240 400 140 180 SL 20 GG-20 - - - 50 80 90 140 80 110 SL 30 GG-30 - - - 70 110 130 210 100 150

Sivi

lij

ev

SL 40 GG-40 - - - 100 160 200 320 170 240 NL 380 GGG-40 250 350 140 110 180 150 260 95 140 NL 420 GGG-42 280 400 160 130 220 180 320 100 160 NL 500 GGG-50 320 500 200 150 250 210 370 130 200 NL 600 GGG-60 380 600 250 180 300 250 440 150 250

Nod

ular

ni

lijev

NL 700 GGG-70 440 700 290 210 360 300 530 170 290 Napomene: Vrijednosti granica tečenja su za srednje debljine epruveta od 16...40 mm * Vrijednosti čvrstoća su za poboljšano stanje ** Vrijednosti čvrstoća su za kaljeno stanje nakon cementiranja Indeks s označava savijanje, indeks t torziju

dijagramu jest aproksimacija u obliku (Gerberove) parabole između točaka (0, R-1) i (Rm, Rm) (slika1.38a), ali se on ipak najčešće aproksimira pravcem između istih točaka (slika 1.38b), u kojem slučaju se taj pravac naziva Goodmanovom linijom. Kod rastezljivih materijala se ova linija trajne dinamičke čvrstoće obično ograničava granicom tečenja, jer plastične deformacije najčešće nisu dopuštene niti kod dinamičkih naprezanja. Shematizacija Smithovog dijagrama se tada najpreciznije provodi prema slici 1.37b, a može se provesti i prema slikama 1.38a do 1.38d.

broj ciklusa

Slika 1.36: Nastanak Smithovog dijagrama trajne dinamičke čvrstoće

Treba zapaziti da svaka točka T u koordinatama (σm, σmax) Smithovog dijagrama definira određeno cikličko naprezanje, slika 1.39a. Naime, uz poznato srednje i maksimalno naprezanje, koje definira točka T, poznato je i amplitudno naprezanje σa = σmax - σm, te minimalno naprezanje σmin= σm - σa, pa je ciklus sasvim definiran. Također, svaki pravac povučen kroz ishodište je geometrijsko mjesto maksimalnih naprezanja različitih ciklusa jednakog koeficijenta asimetrije r. Naime, koeficijent smjera k tog pravca je

max max

max min

2 21m

kr

σ σσ σ σ

= = =+ +

, (1.96)

σmax [N/mm2] maksimalno naprezanje ciklusa σm [N/mm2] srednje naprezanje ciklusa σmin [N/mm2] minimalno naprezanje ciklusa r koeficijent asimetrije ciklusa radnih naprezanja, r = σmin/σmax Odatle slijedi da svaka točka pravca predstavlja ciklus naprezanja jednakog koeficijenta asimetrije. Zato se taj pravac označuje s r = const, slika 1.39b. Budući da porastom radnih opterećenja strojnih dijelova koeficijent asimetrije ciklusa opterećenja ostaje sačuvan, a ako odziv strojnog dijela na ta opterećenja ne sadrži značajnije vibracije, onda i koeficijent asimetrije ciklusa naprezanja ostaje sačuvan. Na temelju toga može se ustvrditi da maksimalne vrijednosti naprezanja rastu po pravcu r = const. Zbog toga se taj pravac naziva pravcem opterećenja. Granično naprezanje tj. dinamička čvrstoća za taj r se također nalazi na tom pravcu. Kako se ona nalazi i na gornjoj konturi Smithovog dijagrama, očito je da se trajna dinamička čvrstoća za određeni koeficijent asimetrije ciklusa naprezanja određuje kao presjecište pravca opterećenja r = const i linije trajne dinamičke čvrstoće Rr = f(σm), slika 1.39c.

0,2

za vlak i tlakza savijanjeza torziju

=

0,2

a)na

izm

jeničn

o o p

tereće

n je

pulz

irajuće

op t

ereć

enje

( =

0)

Slika 1.37: Smithov dijagram trajne dinamičke čvrstoće

a) za različite vrste naprezanja b) konstrukcija Smithovog dijagrama za poznate tri karakteristike čvrstoće: R-1, R0 i Re

a) b)

c) d)

Slika 1.38: Neki od načina aproksimacije linije trajne dinamičke čvrstoće

a) Gerberova parabola b) Goodmanova linija c) Goodmanova linija presječena granicom tečenja d) pravac pod definiranim kutem ograničen granicom tečenja

Ako je strojni dio prije početka eksploatacije stroja prednapregnut statičkim naprezanjem σpr (npr. pritezanjem vijčanog spoja, navlačenjem glavine na vratilo, ugradnjom predopružene

opruge, od zaostalih naprezanja od zavarivanja itd.), onda proces njegovog opterećenja ne počinje od ishodišta

T

m

m

max

r

2

m

t r1

m

max

max

r rr

rR

arctg

m

pr

Rpr

rm

r

R =R (R )r

rm max

rR r

R -1

R m

=

cons

t

=1

=

cons

t

=

-1R -1

R m

k

=

-1 =

cons

t =1

R r

45°45° 45°

a) b)

c) d) Slika 1.39: Osnovni principi Smithovog dijagrama

a) jedna točka - jedno cikličko naprezanje b) pravac kroz ishodište - pravac opterećenja - niz različitih cikličkih naprezanja iste asimetrije ciklusa c) dinamička čvrstoća za ciklička naprezanja s koeficijentom

asimetrije ciklusa r jednaka je ordinati presjecišta pravca opterećenja i linije odgovarajuće dinamičke čvrstoće d) u prisustvu statičkog prednaprezanja σpr ishodište pravca opterećenja je pomaknuto u točku

(σpr, σpr), dok mu nagib ostaje isti dijagrama, već od točke (σpr, σpr) dalje pravcem r= const (Slika 1.39d), koji je pod istim kutem

( )( )arctan 2 (1 )r+ kao prije. Trajna dinamička čvrstoća za ovaj r je naravno, opet presjecište

pravca opterećenja i iste linije trajne dinamičke čvrstoće Rr = f(σm) Smithovog dijagrama. Iz izraza 1.91 slijedi također da je os ordinata pravac opterećenja za r = -1, pravac pod kutem arctan2 je pravac opterećenja za r = 0, a simetrala dijagrama (pod kutem od 450) je pravac po kojem rastu statička opterećenja, tj. r = 1 (u svakoj njegovoj točki je maksimalno naprezanje jednako srednjem i minimalnom, tj. σa = 0). Budući da je za ovaj opći slučaj opterećenja (uz prisustvo statičkog prednaprezanja) jednadžba pravca opterećenja u Smithovom dijagramu

(max2

1pr m prrσ σ σ σ= + −

+)

m

, (1.97)

a jednadžba linije trajne dinamičke čvrstoće za shematizirani Smithov dijagram (tj. za pravac)

1rR R kσ σ−= + ⋅ (1.98) Rr [N/mm2] ordinata linije trajne dinamičke čvrstoća materijala u Smithovom dijagramu (trajna dinamička čvrstoća za srednje naprezanje ciklusa σm) R-1 [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća materijala za koeficijent asimetrije ciklusa r = -1 σm [N/mm2] srednje naprezanje ciklusa kσ koeficijent smjera linije trajne dinamičke čvrstoće u Smithovom dijagramu kσ = 1 - R-1/Rm za Goodmanovu liniju, slika 1.40b i 1.40c kσ = (Rm - R0)/(Rm - R0/2) za liniju trajne dinamičke čvrstoće definiranu trajnom dinamičkom čvrstoćom R0 i statičkom čvrstoćom Rm R0 [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća materijala za koeficijent asimetrije ciklusa r = 0, onda ordinata presjecišta ovih dvaju pravaca daje vrijednost trajne dinamičke čvrstoće materijala za proizvoljni koeficijent asimetrije ciklusa radnih naprezanja i statičko prednaprezanje σpr:

( ) ( )1

2 12 1 2 1r p

rR Rk r k r σ

σ σrk σ−

−= +

− + − + (1.99)

Ipak, u najvećem broju slučajeva strojni dijelovi nisu statički prednapregnuti, pa se izraz 1.99 znatno pojednostavnjuje, jer nestaje drugi član. Na isti način kako se formirao Smithov dijagram za neograničenu trajnost tj. za trajnu dinamičku čvrstoću, formira se i za proizvoljnu ograničenu trajnost N. Pri tome najveća vrijednost srednjeg i maksimalnog naprezanja ostaje statička čvrstoća, dok se vremenska dinamička čvrstoća za trajnost od N ciklusa asimetrije r određuje prema jednadžbi Wöhlerove krivulje

( )1 m

rN r grR R N N= (1.100)

RrN [N/mm2] dinamička čvrstoća materijala za koeficijent asimetrije ciklusa r i za trajnost od N ciklusa

Ngr broj ciklusa na prelazu između vremenske i trajne dinamičke čvrstoće N trajnost u brojevima ciklusa. Obično je poznata trajna dinamička čvrstoća R-1, pa izraz 1.100 prelazi u

( )1

1 1

m

N grR R N N− −= (1.101) R-1N [N/mm2] dinamička čvrstoća materijala za koeficijent asimetrije ciklusa r = -1 i za trajnost od N ciklusa. Linije vremenskih dinamičkih čvrstoća dakle povezuju točke (0, R-1N) i (Rm, Rm) i u stvarnosti tim manje odstupaju od pravca što je trajnost manja. Za teoretski najmanju trajnost od N = 1/4 ciklusa (statičko opterećenje), ova linija je horizontalni pravac, tj. mjerodavna karakteristika čvrstoće postaje statička čvrstoća, slika 1.40. Za proizvoljnu trajnost N, dinamička čvrstoća se dobije na

isti način kao i za neograničenu trajnost: to je ordinata presjecišta istog pravca opterećenja i linije vremenske dinamičke čvrstoće

( ) ( )1

2 12 1 2 1rN N pr

rR Rk r k r σ

σ σ

k σ−−

= +− + − +

(1.102)

r

R

45°

0

N

N

max

N

r

r

N

m

rR m

R-1,N

R-1

R m

Rr

=

-1

=

cons

t

=

0 =

1

=1/4

=const45°

R

0 m

r

max

r

r

N

r

N

pr Rm

R m

R -1,N

R -1

R r

N

N =1/4

=const

=

-1

=

cons

t

=0

=1

Slika 1.40: Određivanje dinamičke čvrstoće za ograničenu trajnost N materijala izloženog

cikličkim naprezanjima s koeficijentom asimetrije ciklusa r a) u odsustvu statičkog prednaprezanja b) uz statičko prednaprezanje σpr

1.1.1.3.1 Dinamička čvrstoća strojnog dijela

Dinamička čvrstoća strojnog dijela manja je od dinamičke čvrstoće materijala (tj. standardne probne epruvete od istog materijala) zbog čitavog niza utjecaja, od kojih su najvažniji oblik strojnog dijela, njegove apsolutne dimenzije i kvaliteta njegove površinske obrade.

1.1.1.3.1.1 Utjecaj oblika - koncentracija naprezanja

Utjecaj oblika strojnog dijela na njegovu dinamičku čvrstoću svodi se na (ne)ravnomjernost rasporeda naprezanja po presjeku. Naime, presjeci strojnih dijelova se mijenjaju, pa se mijenjaju i naprezanja u njima. No, ne samo promjena presjeka, nego i svaka druga promjena oblika izaziva skok naprezanja na mjestu promjene, tj. prijelaza. U takvim slučajevima, raspodjela naprezanja po presjeku bitno se razlikuje od od slučaja tijela konstantnog presjeka, slika 1.41a. Dijagram rasporeda naprezanja po presjeku pokazuje nagli porast naprezanja na mjestu prijelaza, utoliko izrazitiji, ukoliko je prijelaz nagliji. Ovakva pojava naglih skokova naprezanja na mjestima promjene oblika, naziva se koncentracija naprezanja. Koncentracija naprezanja se može pojednostavnjeno opisati iskrivljavanjem strujnica sile (silnica - zamišljenih linija po kojima djeluje sila) do koje dolazi na mjestu skokovite promjene oblika, tj. na mjestu na kojem postoji koncentrator naprezanja - tzv. zarez, slika 1.41b. Zbog toga broj silnica u određenom dijelu presjeka kvalitativno ukazuje na veličinu naprezanja. U takvim točkama naprezanja su znatno veća od nominalnih naprezanja, izračunatih prema Nauci o čvrstoći.

Faktor koji pokazuje koliko puta je maksimalno naprezanje u određenoj točki tijela iz idealnog (elastičnog, izotropnog i homogenog) materijala, veće od nominalnog naprezanja u toj točki, naziva se teoretski (geometrijski) faktor koncentracije naprezanja i definira se kao:

max 1kn

σασ

= ≥ (1.103)

σmax [N/mm2] najveće naprezanje zbog učinka koncentracije, slika 1.41 σn [N/mm2] nominalno naprezanje

σn

σm

ax

σn

σm

ax

a) b)

max

σnσ

Slika 1.41: Koncentracija naprezanja

a) raspodjela naprezanja po presjeku b) tok silnica Pri statičkom opterećenju dijelova iz razvlačivih materijala, prilikom dostizanja granice tečenja na mjestima koncentracije naprezanja, materijal se na tim mjestima plastično deformira (razvlači) bez povećanja opterećenja. To uzrokuje ravnomjerniji raspored naprezanja, tj. efekat koncentracije naprezanja se poništi. Običaj je da se koncentracija naprezanja pri statičkim opterećenjima uzima u obzir samo kod izrazito krtih materijala, vidi poglavlje 1.8.1.2.1. Kod dinamičkih opterećenja, koncentracija naprezanja vodi do smanjenja dinamičke čvrstoće strojnih dijelova izrađenih kako od krtih, tako i od razvlačivih materijala. Ovo je uzrokovano činjenicom da pri promjenjivom naprezanju efekat poravnanja naprezanja ne može sasvim doći do izražaja kao pri statičkom naprezanju. Naime, materijal nema vremena za veće poravnanje naprezanja, jer je već u idućem trenutku napregnut mnogo manje, često i naprezanjem suprotnog predznaka. Svojstvo materijala da pri promjenjivom naprezanju, lokalnim plastičnim deformacijama ipak donekle smanji koncentraciju naprezanja, procjenjuje se faktorom osjetljivosti materijala na koncentraciju naprezanja. Očito je da su razvlačivi materijali manje osjetljivi na koncentraciju naprezanja negoli krti materijali. U izrazito nehomogenih materijala, kao što je sivi lijev, unutrašnji izvori koncentracije (zbog nehomogenosti) u velikoj mjeri poništavaju efekte vanjske koncentracije naprezanja (zbog oblika), tako da se dinamička čvrstoća dijelova izrađenih od ovakvih materijala malo razlikuje od dinamičke čvrstoće polirane probne epruvete iz istog materijala. Kaže se da su takvi materijali malo osjetljivi, ili neosjetljivi na koncentraciju naprezanja. Faktor osjetljivosti materijala na koncentraciju naprezanja ηk definira se omjerom stvarnog lokalnog povećanja naprezanja poslije lokalnog razvlačenja, prema lokalnom povećanju naprezanja za homogen, izotropan i elastičan materijal, u odnosu na nominalno naprezanje. Ako

je najveće lokalno naprezanje za slučaj idealnog materijala αk·σn, a za slučaj stvarnog materijala βk·σn, onda je faktor osjetljivosti materijala na koncentraciju naprezanja dan izrazom

11

kk

k

βηα

−=

− (1.104)

αk teoretski (geometrijski) faktor koncentracije naprezanja

efk

n

σβ

σ= (1.105)

βk efektivni (stvarni) faktor koncentracije naprezanja σef [N/mm2] stvarno (efektivno) naprezanje na mjestu koncentracije naprezanja σn [N/mm2] nominalno naprezanje na mjestu koncentracije naprezanja Izraz 1.102 u praksi služi za određivanje stvarne vrijednosti naprezanja na mjestu koncentracije, pri čemu se efektivni faktor koncentracije naprezanja procjenjuje prema izrazu izvedenom iz izraza 1.101

( )1k k k 1β η α= + − (1.106)

Ako je materijal neosjetljiv na koncentraciju naprezanja, bit će ηk = 0, pa je βk = 1 bez obzira na veličinu αk. Za materijale čije su osobine slične osobinama idealnog materijala, je ηk = 1, pa je βk = αk. U tom slučaju kaže se da je materijal apsolutno osjetljiv na koncentraciju naprezanja. Osjetljivost ugljičnih konstrukcijskih čelika na koncentraciju naprezanja kreće se u granicama od 0,40 do 0,85, legiranih čelika od 0,65 do 0,95, dok je u čelika za opruge od 0,95 do 1,0. U lakih metala osjetljivost je od 0,40 do 0,80, u čeličnom lijevu 0,30 do 0,40, dok je kod sivog lijeva, zbog opisanih uzroka, ona vrlo mala, i kreće se u granicama od 0,01 do 0,20. Za sve materijale važi pravilo da osjetljivost prema koncentraciji naprezanja raste s povećanjem statičke čvrstoće.

Običaj je da se koncentracija naprezanja ne uzima u obzir kod proračuna naprezanja, već se čvrstoća umanji za vrijednost efektivnog faktora koncentracije naprezanja. Zbog toga se kod promjenjivih naprezanja efektivni faktor koncentracije naprezanja definira omjerom trajne dinamičke čvrstoće materijala i trajne dinamičke čvrstoće modela strojnog dijela, koji ima iste dimenzije i istu kvalitetu površinske obrade kao ispitivana probna epruveta. Budući da koncentracija naprezanja uglavnom ne utiče na statičku komponentu naprezanja, već samo na amplitudu naprezanja, onda se efektivni faktor koncentracije naprezanja najčešće ispituje za čisto dinamičko naprezanje, tj. za r = -1. Dakle

1'1

1kD

RR

β −

−

= ≥ (1.107)

R-1 [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća probne epruvete R'-1D [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća modela strojnog dijela. U području vremenske dinamičke čvrstoće, u kojem su deformacije pretežno elastično - plastične, efektivni faktor koncentracije naprezanja βkN je, slično kao gore, jednak omjeru vremenskih dinamičkih čvrstoća epruvete i strojnog dijela. One su ovisne o broju ciklusa, pa je i βkN ovisan o broju ciklusa, slika 1.42. Temeljem ove definicije izveden je izraz za njegovo određivanje:

Nq N (log)

R-1N

Rm

R (log)

N Ngr

αt = 1α

t > 1

Rq'

R-1DN

1/4 Slika 1.42: K određivanju efektivnog faktora koncentracije naprezanja

u području vremenske čvrstoće

1 1

'( / )β β−

= m mkN k grN N (1.108)

N vijek trajanja strojnog dijela u brojevima ciklusa Ngr granica između vremenske i trajne dinamičke čvrstoće, u brojevima ciklusa m nagib Wöhlerove krivulje za standardnu probnu epruvetu m' nagib Wöhlerove krivulje strojnog dijela Omjer nagiba Wöhlerovih krivulja je približno

' 3

3 log( / )β β=

+ k q

mm m

, (1.109)

dok se efektivni faktor koncentracije naprezanja βq na granici kvazistatičkog loma Nq za čelike određuje prema empiričkoj formuli

m1 (0,00038 0,1)( 1)β β= + − −q R k . (1.110)

Rm [N/mm2] statička čvrstoća materijala βk efektivni faktor koncentracije naprezanja u elastičnom području (za trajnu dinamičku čvrstoću) Za približne proračune u fazi projektiranja može se upotrijebiti i jednostavna, ali približna formula, dobivena na aproksimaciji da je βq = 1, a Nq = 103 :

log

3kN

1 k

k

Nβ

ββ

= (1.108a)

1.1.1.3.1.2 Utjecaj apsolutnih dimenzija

S povećanjem apsolutnih dimenzija strojnih dijelova njihova čvrstoća se smanjuje. Uzrok tome jest što je u većem volumenu veća vjerojatnost nehomogenosti, te grešaka u materijalu i obradi, a time je i veća vjerojatnost nastanka i širenja pukotine. Ovo se naročito odnosi na dinamička opterećenja, kod kojih se negativan utjecaj povećanih dimenzija na čvrstoću strojnog dijela procjenjuje faktorom dimenzija b1. Ovaj je stvarno jednak omjeru dinamičkih čvrstoća strojnog dijela i modela strojnog dijela s dimenzijom u kritičnom presjeku jednakoj dimenziji standardne probne epruvete, ali ga se redovito aproksimira kao omjer dinamičkih čvrstoća epruvete s dimenzijom jednakoj dimenziji strojnog dijela, i standardne probne epruvete:

11

1

1−

−

= ≤dRbR

(1.111)

R-1d [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća za r = -1 probne epruvete promjera d R-1 [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća za r = -1 standardne probne epruvete promjera 7 mm. Razumljivo, i faktor dimenzija je različit za različite vrste naprezanja, kao i za različite materijale. Ipak, za približne proračune, njegova vrijednost se može orijentacijski odrediti prema tabeli 1.9 za čelične strojne djelove proizvoljno opterećene.

Tabela 1.9: Ovisnost faktora dimenzija o promjeru strojnih dijelova Promjer

[mm] Faktor apsolutnih dimenzija

b1

7 1,0 10 0,95…0,98 15 0,90…0,95 25 0,80…0,90 50 0,70…0,80

100 0,63…0,70 300 i više 0,55…0,61

Napomena: Manje vrijednosti vrijede za legirane čelike, veće za ugljične konstrukcijske čelike.

Utjecaj dužine na dinamičku čvrstoću još nije dovoljno proučen, iako su uzroci jednaki kao i kod povećanja promjera. Neka ispitivanja su pokazala da se povećanjem dužine strojnih elemenata nijhova dinamička čvrstoća smanjuje za najviše 15...20%, ovisno o vrsti čelika i načinu njegove mehaničke i termičke obrade.

1.1.1.3.1.3 Utjecaj kvalitete površine Utjecaj stanja površine strojnog dijela na njegovu dinamičku čvrstoću vrlo je značajan, jer inicijalna pukotina redovito nastaje na površini i to zbog slijedećih razloga:

Koncentracija naprezanja je redovito na površini • •

• •

Površinske mikroneravnine i lokalne plastične deformacije nastale u procesu obrade uzrokuju lokalne koncentracije naprezanja Utjecaj vanjske sredine je najveći na površinske slojeve Nominalna naprezanja su najveća na površinama strojnih dijelova.

Smanjenje dinamičke čvrstoće strojnih dijelova zbog navedenih upliva obuhvaćeno je faktorom kvalitete površine strojnog dijela b2, koji je definiran omjerom trajne dinamičke čvrstoće izvjesnog strojnog dijela i trajne dinamičke čvrstoće istog strojnog dijela, ali polirane površine.

Slično kao ranije, ovaj se faktor aproksimira omjerom dinamičkih čvrstoća epruvete obrađene kao predmetni strojni dio i polirane probne epruvete:

'1

21

RbR

−

−

= (1.112)

b2 faktor kvalitete površine, tabela 1.10 R-1' [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća epruvete proizvoljne površinske obrade pri r = -1 R-1 [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća materijala pri r = -1 Vrijednosti faktora kvalitete površine date su u tabeli 1.10. Tabela 1.10: Orijentacijske vrijednosti faktora kvalitete površine

Hrapavost površine b2

Vlačna čvrstoća materijala osovine ili vratila Rm u [N/mm2] Rz [µm]

Ra [µm] 300 400 500 600 800 1000 1200 1500

0,8 0,2 1 1 1 1 1 1 1 1 1,6 0,4 0,99 0,98 0,97 0,97 0,96 0,96 0,96 0,96 3,2 0,8 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,94 0,94 0,94 6,3 1,6 0,97 0,96 0,95 0,93 0,91 0,89 0,88 0,88 10 2,5 0,95 0,93 0,90 0,88 0,84 0,81 0,79 0,78 40 10 0,94 0,90 0,85 0,82 0,75 0,70 0,67 0,65

160 40 0,91 0,86 0,80 0,76 0,69 0,63 0,57 0,50 Ra srednje aritmetičko odstupanje profila Rz srednja visina neravnina

Znatno povećanje vrijednosti ovog faktora, a time i dinamičke čvrstoće strojnog dijela, postiže se naknadnom posebnom mehaničkom obradom tj. površinskim očvršćenjem tlačnim plastičnim deformacijama (kugličenje, pjeskarenje, valjanje kotačićem i sl.). Sličan efekat očvršćavanja dobiva se svakom vrstom plastičnog oblikovanja (valjanje, kovanje, provlačenje itd.), nakon koje uvijek ostaju tlačna naprezanja na površini. Toplinskom i toplinsko-kemijskom obradom (kaljenje, cementiranje, nitriranje, cijaniranje itd.) moguće je postići i 100% povećanje dinamičke čvrstoće (b2 = 2).

1.1.1.3.1.4 Određivanje dinamičke čvrstoće strojnog dijela i stupnja sigurnosti

Opisana tri osnovna utjecaja na dinamičku čvrstoću strojnog dijela kvantificiraju smanjenje trajne dinamičke čvrstoće strojnog dijela u odnosu prema trajnoj dinamičkoj čvrstoći materijala. Svi ovi utjecaji računaju se za čisto dinamičko naprezanje (bez statičke komponente), tj. za r = -1. To znači da je trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela napregnutog cikličkim naprezanjem s koeficijentom asimetrije r = -1, jednaka

1 21D 1 1

kβ− − −⋅

= ⋅ =Db bR b R R (1.113)

R-1D [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća epruvete proizvoljne površinske obrade, pri r = -1 R-1 [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća materijala pri r = -1, tabela 1.9

1 2

kβ⋅

=Db bb (1.114)

bD zbirni faktor dinamičkih utjecaja b1 faktor dimenzija b2 faktor kvalitete površine βk efektivni faktor koncentracije naprezanja u elastičnom području (za trajnu dinamičku čvrstoću). Smatra se da od početne točke σm = 0, pa do krajnje točke σm = Rm Smithovog dijagrama, tj. od čisto dinamičkog do čisto statičkog naprezanja, zbirni faktor dinamičkih utjecaja raste linearno od vrijednosti bD do vrijednosti 1. Zbog toga se za liniju trajne dinamičke čvrstoće u Smithovom dijagramu može uzeti Goodmanova linija definirana svojim krajnjim točkama (0, R-1D) i (Rm, Rm), slika 1.38. Njezina jednadžba je

D D 1DrR b R kσ mσ−= + (1.115)

RrD [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela za proizvoljnu asimetriju ciklusa r R-1D [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela za asimetriju ciklusa r = -1, izraz 1.113 kσ koeficijent smjera linije dinamičke čvrstoće strojnog dijela za trajnost N kσ = 1 - R-1D/Rm za Goodmanovu liniju prema slikama 1.38b i 1.38c σm [N/mm2] srednje naprezanje ciklusa trajne dinamičke čvrstoće Ordinata presjecišta ove linije trajne dinamičke čvrstoće s pravcem opterećenja (izraz 1.98) za opći slučaj prednapregnutog strojnog dijela je trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela napregnutog ciklički promjenjivim naprezanjima s koeficijentom asimetrije ciklusa r :

( ) ( )D D 1

2 12 1 2 1r p

rR b Rk r k r σ

σ σrk σ−

−= +

− + − + (1.116)

RrD [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela za proizvoljnu asimetriju ciklusa r dijagramu, kσ = 1 - R-1D/Rm za Goodmanovu liniju, slika 1.38b i 1.38c σpr [N/mm2] statičko prednaprezanje Za čvrstoću strojnog dijela važna je i amplituda graničnog naprezanja na nivou dinamičke čvrstoće - tzv. amplituda dinamičke čvrstoće RA. Ona je jednaka razlici dinamičke čvrstoće i srednjeg naprezanja. Lako se dobije izraz

( ) ( )D 1

1 12 1A pr

rR b Rk r σ

σ

σ− k− = − − − + (1.117)

Na sličan način se dobije i izraz za dinamičku čvrstoću pri asimetriji ciklusa r za vijek trajanja N ciklusa:

( ) ( )1D2 1

2 1 2 1rDN N prrR R

k r k r σσ σ

k σ−−

= +− + − +

(1.116a)

RrDN [N/mm2] dinamička čvrstoća strojnog dijela pri asimetriji ciklusa r za vijek trajanja N ciklusa kσ koeficijent smjera linije trajne dinamičke čvrstoće strojnog dijela u Smithovom dijagramu, kσ = 1 - R-1DN/Rm za Goodmanovu liniju, slika 1.38b i 1.38c

1D D 1NR b R− N−= ⋅ (1.118) R-1DN [N/mm2] dinamička čvrstoća strojnog dijela pri asimetriji ciklusa r = -1 za vijek trajanja N ciklusa R-1N [N/mm2] dinamička čvrstoća materijala pri r = -1 za vijek trajanja N ciklusa

1 2D

kN

b bbβ

⋅= (1.114a)

bD zbirni faktor dinamičkih utjecaja u području vremenske čvrstoće b1 faktor dimenzija, tabela 1.9 b2 faktor kvalitete površine, tabela 1.10 βkN efektivni faktor koncentracije naprezanja u području vremenske čvrstoće, izraz 1.105. Za poznato maksimalno naprezanje ciklusa σmax pri određenom faktoru asimetrije ciklusa r naprezanja proizišlih iz pogonskog opterećenja, a uz statičko prednaprezanje σpr, odgovarajuća dinamička čvrstoća R-1DN strojnog dijela dobije se uvrštenjem srednjeg naprezanja σm = 0 u jednadžbu (Goodmanove) linije dinamičke čvrstoće strojnog dijela za trajnost N. Ova je pak

definirana dvjema točkama kroz koje prolazi: točkom max max1 1 ,

2 2 prr rσ σ σ+ − +

, dobivenoj

određivanjem srednjeg naprezanja σm graničnog ciklusa (na nivou dinamičke čvrstoće) iz jednadžbu pravca opterećenja (izraz 1.111), te točkom (Rm, Rm):

( ) ( ) ( )max

1D mm max

12 1 1

prN

pr

R rR r r

Rσ σ

σ σ−

−= −

− + − − (1.119)

Sada se iz jednadžbe Wöhlerove krivulje strojnog dijela

' '1D 1D

m mNR N R N− − gr⋅ = ⋅ (1.120)

R-1D [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela pri asimetriji ciklusa r = -1 N vijek trajanja strojnog dijela, u ciklusima Ngr broj ciklusa na granici vremenske i trajne dinamičke čvrstoće strojnog dijela,, Ngr @ 107 za čelike m' nagib Wöhlerove krivulje strojnog dijela, izraz 1.115. uz uvrštenje izraza 1.119, lako nalazi izraz za određivanje vijeka njegovog trajanja za poznate vrijednosti naprezanja σmax i σpr i asimetrije ciklusa r :

( ) ( )

( )( )

'

m max D 1

mmax

2 1 11

m

prgr

pr

R r r b RN NRr

σ σσ σ

− − + − − ⋅

= − −

(1.121)

N vijek trajanja strojnog dijela napregnutog cikličkim naprezanjima s koeficijentom asimetrije r i prednapregnutog statičkim prednprezanjem σpr

Ngr broj ciklusa na granici vremenske i trajne dinamičke čvrstoće strojnog dijela, Ngr @ 107 za čelike m' nagib Wöhlerove krivulje strojnog dijela, izraz 1.115. Najveći dio strojnih dijelova nije statički prednapregnut, pa se izraz 1.121 pojednostavnjuje:

( )

( )

'

m max D 1

max m

2 11

m

gr

R r b RN Nr R

σσ

− − + ⋅

= − (1.21a)

Stupanj sigurnosti ν strojnog dijela izloženog dijelovanju vremenski promjenjivih naprezanja jednak je, shodno izrazu (1.69) ili (1.75), omjeru njihove dinamičke čvrstoće i maksimalnog (ekvivalentnog) naprezanja ciklusa:

max

rDpotr

Rν νσ

= ≥ (1.122)

RrD [N/mm2] dinamička čvrstoća strojnog dijela za proizvoljnu asimetriju ciklusa r σmax [N/mm2] maksimalno naprezanje ciklusa npotr potrebni stupanj sigurnosti. No, ako plastična deformacija strojnog dijela nije dopuštena, onda uvjet čvrstoće (1.122) može biti ispunjen, ali do neželjene plastične deformacije će ipak doći, ako je naprezanje veće od granice tečenja. Zato je uvjet čvrstoće strojnih dijelova kod vremenski promjenjivih naprezanja

( )D

max

min ,r epotr

R Rν ν

σ= ≥ (1.123)

min funkcija minimuma, označava najmanju od vrijednosti navedenih u zagradi

RrD [N/mm2] dinamička čvrstoća strojnog dijela za proizvoljnu asimetriju ciklusa r Re [N/mm2] granica tečenja. Ponekad se čvrstoća dinamički napregnutih strojnih dijelova kontrolira računanjem stupnja sigurnosti prema amplitudi naprezanja. Naime, do loma zbog zamora materijala će doći i kada amplituda naprezanja σa postane veća od amplitude dinamičke čvrstoće RA. Dakle, amplitudni stupanj sigurnosti treba biti

,A

aa

Ra potrν ν

σ= ≥ (1.124)

na,potr potrebni amplitudni stupanj sigurnosti. Ovdje treba napomenuti da je u uvjet čvrstoće (1.124) potrebno uvrstiti vrijednost amplitude dinamičke čvrstoće izračunate isključivo prema izrazu (1.117), tj. za stvarni koeficijent asimetrije ciklusa. Računanje s amplitudom RA dobivenoj ispitivanjima s nekom drugom asimetrijom ciklusa (najčešće r = -1, ili npr. kod vijaka r = 0) vodi do ozbiljne pogreške, koja može imati katastrofalne posljedice.

Niti ispravna primjena izraza (1.124) nije dovoljna s gledišta čvrstoće. Naime, ako nisu dopuštene plastične deformacije, potrebno je provjeriti još i stupanj sigurnsti prema granici tečenja:

max

eT

RTpotrν ν

σ= ≥ (1.125)

Najnovija ispitivanja u području pogonske čvrstoće srušila su jedan od stupova temeljaca na kojemu su ležali proračuni čvrstoće u posljednjih stotinjak godina: trajna dinamička čvrstoća ne postoji ni za jedan materijal, uključivši čelike! Pri tome, izgled Wöhlerove krivulje u logaritamskim koordinatama ostaje nepromijenjen sve do blizu 10 ciklusa (za čelike), ali tada ponovno počinje padati pod nešto manjim nagibom nego što je u području "a" (primarne) vremenske čvrstoće, slika 1.43.

8

Ipak, rijetki su dijelovi strojeva i konstrukcija, koji u konačnom vijeku trajanja mogu dostići npr. 108 ciklusa. Zbog toga, znanstvena činjenica da trajna dinamička čvrstoća ne postoji, ne utjeće bitno na dosadašnje, ovdje prikazane metode proračuna čvrstoće i vijeka trajanja strojnih dijelova. Naravno, ovo se ne odnosi na djelove visokofrekventnih (ultra brzohodnih) strojeva, kao što su plinske turbine, čija frekvencija vrtnje iznosi i preko 105 okretaja u minuti, pa se 108 ciklusa može dostići za pedesetak sati pogona.

a

bc

Broj ciklusa do loma

Am

plitu

d a n

apr e

zanj

a

104 5

106

107

108

1010

10

Slika 1.43: Shematski izgled Wöhlerove krivulje za čelik Č 4732 u visokocikličkom i gigacikličkom području (iznad 108 ciklusa)

cikličkim naprezanjima promjenjive amplitude, koja ostaje konstantna kroz ni ciklusa, slika 1.45, doći će do loma uslijed zamora kada se ispuni uvjet

1ii

i i i

nDN

D= ≥ ≅∑ ∑ (1.126)

Di zamorno oštećenje od ni ciklusa na nivou maksimalnog naprezanja σi ni broj ciklusa na nivou maksimalnog naprezanja σi Ni broj ciklusa do loma na nivou maksimalnog naprezanja σi, jednadžba Wöhlerove krivulje, izraz 1.96. D ukupno oštećenje uslijed zamora materijala, empirička konstanta. D = 0,3...3,0; izvorno prema Mineru D = 1,0.

Ako se jednadžbu (1.126) podijeli s vijekom trajanja N strojnog dijela u ciklusima, dobije se jednostavan izraz za računanje vijeka trajanja:

i

i i

DN

Nα=

∑ (1.127)

D ukupno oštećenje uslijed zamora materijala, izraz 1.126 αi udio broja ciklusa na i-tom nivou naprezanja prema ukupnom broju ciklusa, frekvencija pojavljivanja i-tog naprezanja, αi = ni/Σni. U trenutku loma je αi= ni/ΣNi=ni/N.

( ) 'mi gr D iN N R σ= (1.95a)

Ni broj ciklusa do loma na i-tom nivou maksimalnog naprezanja Ngr broj ciklusa na granici vremenske i trajne dinamičke čvrstoće RD [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela σi [N/mm2] maksimalno naprezanje i-tog nivoa m' nagib Wöhlerove krivulje strojnog dijela, izraz 1.108. Uvrštavajući izraz 1.92a u izraz 1.124, dobije se poznati izraz za procjenu vijeka trajanja strojnog dijela izloženog dijelovanju cikličkih naprezanja diskretno promjenjive amplitude:

a)

b)

c)

d)

vrijeme Slika 1.44: Neke karakteristične povijesti naprezanja (opterećenja) a) normalna naprezanja automobilskog točka b) pritisak u naftnom cjevovodu

c) moment savijanja u vratilu točka automobila (poluosovina) d) vertikalna akceleracija transportnog zrakoplova

Slika 1.45: Definiranje parametara čvrstoće kod cikličkih naprezanja promjenjive amplitude

( ) 'm

gr D eN D N R σ= ⋅ ⋅ (1.128)

Ngr broj ciklusa na granici vremenske i trajne dinamičke čvrstoće RD [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća strojnog dijela

1'

'm

me i i

i

σ α σ = ⋅ ∑ (1.129)

σe [N/mm2] ekvivalentno naprezanje konstantne amplitude, koje uzrokuje isti nivo oštećenja tj. isti vijek trajanja strojnog dijela, kao sva djelujuća naprezanja σi zajedno αi udio broja ciklusa na i-tom nivou naprezanja prema ukupnom broju ciklusa, frekvencija pojavljivanja i-tog naprezanja σi [N/mm2] maksimalno naprezanje i-tog nivoa m' nagib Wöhlerove krivulje strojnog dijela, izraz 1.108. Stupanj sigurnosti protiv loma strojnog dijela zbog zamora pri vijeku trajanja N se računa prema izrazu:

DNpotr

e

Rν νσ

= ≥ (1.130)

RDN [N/mm2] dinamička čvrstoća strojnog dijela za vijek trajanja N, izraz 1.95 σe [N/mm2] ekvivalentno naprezanje konstantne amplitude νpotr potrebni stupanj sigurnosti Za neograničenu trajnost je stupanj sigurnosti:

Dpotr

e

Rν νσ

= ≥ (1.131)

pri čemu treba biti ispunjen i uvjet max(σi) ≤ RD. Kod cikličkih naprezanja s kontinuirano promjenjivim amplitudama, kao što su slučajna naprezanja (slika 1.44), pomoću razrađenih metoda (kao što je npr. tzv. metoda kišnih kapi), formiraju se spektri naprezanja. To su krivulje koje prikazuju relativne vrijednosti naprezanja, ili češće, relativne vrijednosti amplitude naprezanja poredane po veličini, u ovisnosti o broju doživljenih ciklusa. Ako se na apcisi nanesu relativne vrijednosti broja ciklusa, one predstavljaju kumulativnu frekvenciju pojavljivanja amplitude naprezanja određene veličine. Uočeno je da svakoj vrsti slučajnih opterećenja pripada sličan, karakterističan spektar. DIN 15018 i ISO 4301/1 su standardizirali neke karakteristične spektre naprezanja, slika 1.46. Za te i druge karakteristične spektre naprezanja provode se ispitivanja na zamor, metodologijom istom kao za Wöhlerovu krivulju. Dobivena krivulja naziva se krivuljom zamaranja ili krivuljom vijeka trajanja, a za isti strojni dio paralelna je Wöhlerovoj krivulji, tj. nagib m im je isti. Na slici 1.47 shematski su prikazana tri karakteristična spektra naprezanja sa pripadajućim povijestima naprezanja, te krivulje vijeka trajanja za svakog od njih. Može se uočiti da strojni dio izložen cikličkim opterećenjima s amplitudom koja se mijenja po stacionarno slučajnoj raspodjeli (Gaussovoj) ima vijek trajanja oko 250 puta veći od vijeka trajanja istog strojnog dijela izloženog opterećenju konstantne amplitude, a deset puta manji od vijeka trajanja pri kvazi-stacionarnoj (log-normalnoj) raspodjeli opterećenja.

ss

s

s

a

b

c

d

0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/60/3

1/3

2/3

3/3

log /log 106

Slika 1.46: Standardni spektri naprezanja prema DIN 15018 i ISO 4301/1

Am

plitu

da n

apre

zanj

aa

1

104

105

106

107

108

Broj ciklusa N0

N0m

a

mN0

a

mN0

a

a b cSpektrinaprezanja

Povijestnaprezanja

cba

Slika 1.47: Krivulje vijeka trajanja za tri karakteristična spektra naprezanja

a) puni spektar (konstantna amplituda) b) spektar za raspodjelu naprezanja prema Gaussovom slučajnom procesu c) spektar za kvazi-stacionarnu (log-normalnu) raspodjelu naprezanja

Kod proračuna čvrstoće ili procjene vijeka trajanja, projektantu preostaje formirati (na osnovi mjerenja ili pretpostavke temeljene na iskustvu) spektar naprezanja za dio stroja ili konstrukcije koju projektira, svesti ga na bezdimenzionalni oblik standardnog spektra, te ga svrstati u područje nekog od spektara za kojeg ima krivulju vijeka trajanja. Drugi način je spektar diskretizirati na određeni broj područja s ni ciklusa određenog konstantnog nivoa naprezanja (ili amplitude) σi, pa računati prema izrazima za diskretno promjenjivu amplitudu. Vijek trajanja NA strojnog dijela za poznati spektar naprezanja A može se dobro ocijeniti, ako se poznaje vijek trajanja NS istog strojnog dijela izloženog spektru S:

( )

( )S

A SA

/

/

i ii

i ii

n NN N

n N=

∑∑

(1.132)

ni broj ciklusa na nivou maksimalnog naprezanja σi Ni broj ciklusa do loma na nivou maksimalnog naprezanja σi. Konačno, preostaje naravno, još jedan način za određivanje ili procjenu vijeka trajanja ili dinamičke čvrstoće spektralno opterećenih strojnih dijelova: složena, skupa i dugotrajna provedba testiranja na zamor modela strojnog dijela, ili barem epruvete iz istog materijala.

1.8.1.3.4. Čvrstoća i trajnost strojnih dijelova u niskocikličkom području U području niskocikličkog zamora (N < 104 ciklusa), promjenjive elastično-plastične deformacije, a ne naprezanja, su one koje određuju integritet (nenarušenu funkcionalnost) strojnih dijelova. Zbog toga se glede čvrstoće provode dva tipa testiranja: testiranje za dobivanje dijagrama ovisnosti cikličkog naprezanja o cikličkoj deformaciji, te testiranje na zamor istih standardnih epruveta kao za dobivanje Wöhlerove krivulje, ali se sada pored broja ciklusa i naprezanja, mjeri i deformacija. Potrebno je napomenuti da u prisustvu plastičnih deformacija samo računanje sa stvarnim vrijednostima naprezanja i deformacija σ* i ε* može dati vjerodostojnost proračunima u kojima su oni sadržani, naročito u području u kojem su plastične deformacije veće od elastičnih (otprilike N < 102 do 105 ciklusa):

( )* 1σ σ= + ε ( )* ln 1ε ε= + (1.133)

ε konvencionalna vrijednost relativne deformacije σ [N/mm2] konvencionalna vrijednost naprezanja. U oba spomenuta slučaja testiranja, epruvete se izlažu cikličkom opterećenju (s kontroliranim deformacijama ili naprezanjima), koje u nekoliko desetaka (ili stotina) prvih ciklusa izaziva gomilanje plastičnih deformacija (slika 1.48a). Nakon toga se petlja histereze stabilizira i poprimi izgled kao na slici 1.48b. Maksimalne vrijednosti amplitude naprezanja i amplitude ukupne deformacije stabilizirane petlje histereze predstavljaju jednu točku cikličke krivulje deformacija - naprezanje, slika 1.49, iz kojeg je vidljivo da nju ustvari tvori skup vrhova petlji histereze pri različitim nivoima opterećenja. Jednadžba ove krivulje je

1'* **

'n

a aa E K

σ σε = +

(1.134)

ε*a amplituda ukupne stvarne deformacije σ*a [N/mm2] amplituda stvarnog naprezanja E [N/mm2] modul elastičnosti K' [N/mm2] koeficijent dinamičke čvrstoće, konstanta materijala n' eksponent cikličkog očvršćavanja, konstanta materijala.

b)a)

Slika 1.48: Petlja histereze kod cikličkog opterećenja

a) gomilanje plastičnih deformacija u prvim ciklusima b) stabilizirana petlja histereze

Slika 1.49: Nastanak dijagrama cikličkih deformacija

cab

arctan

*

* Slika 1.50: Krivulja cikličkih deformacija

a) krivulja (statičkih) rastezanja b) krivulja deformacija za ciklički oslabljen materijal c) krivulja deformacija za ciklički očvršćen materijal

U većem dijelu elastičnog područja krivulja cikličkih deformacija se podudara s krivuljom rastezanja (statičkom), dok je u elastično - plastičnom području smještena ispod ili iznad statičke krivulje ε*a - σ*a, slika 1.50. U prvom slučaju kaže se da je materijal ciklički oslabljen, a u drugom, da je materijal ciklički očvršćen.

1.8.1.3.4.1 Veza između cikličkih deformacija i vijeka trajanja

Kod ispitivanja na zamor opterećivanje epruvete se nastavlja sve do njezinog loma, pri čemu se izmjeri broj ciklusa, dok se veličine elastičnih i plastičnih deformacija iščitaju iz iste, prije spomenute stabilizirane petlje histereze. Rezultati se prikazuju, slično kao kod Wöhlerove krivulje, u logaritamskim koordinatama deformacija i broja ciklusa do loma, slika 1.51. Kao što se vidi na slici, obično se krivulje za elastičnu i plastičnu deformaciju ucrtavaju posebno, a rezultantna krivulja je zbroj ovih dviju, poznata pod imenom Manson-Coffinova jednadžba:

* * *, ,

''f b

a a el a pl fcN N

Eσ

ε ε ε ε= + = + ⋅ (1.135)

ε*a amplituda ukupne stvarne deformacije ε*a,el amplituda stvarne elastične deformacije ε*a,pl amplituda stvarne plastične deformacije

σ'f [N/mm2] koeficijent dinamičke čvrstoće: ona vrijednost stvarnog naprezanja, koja odgovara statičkom lomu (N = 1/4), konstanta materijala. Treba primijetiti da krivulja elastičnih deformacija počinje s tom vrijednošću E [N/mm2] modul elastičnosti N broj ciklusa do loma ε'f koeficijent deformabilnosti pri zamaranju: ona stvarna deformacija, koja odgovara statičkom lomu, konstanta materijala b nagib krivulje elastičnih deformacija, konstanta materijala c nagib krivulje plastičnih deformacija, konstanta materijala. Ovaj izraz je osnova deformacijskog pristupa problemu zamora materijala, potvrđen je mnogim eksperimentima, a vrijedi za čitav raspon vijeka trajanja tj. za 1/4 ≤ N ≤ Ngr. On omogućava izračun granične deformacije za određeni vijek trajanja strojnog dijela, ili vijek trajanja za određenu razinu deformacije pri koeficijentu asimetrije ciklusa r = -1. U području broja ciklusa za kojega je εa,el < εa,pl, dovoljno je za približne proračune računati samo s njegovim drugim članom, dok je za εa,pl < εa,el dovoljno računati samo sa prvim članom i sa konvencionalnim naprezanjima i deformacijama. Granica između ova dva područja (prelazna točka T na slici 1.51) ovisi o materijalu strojnog dijela, linearno opada s tvrdoćom i za čelike se kreće u granicama NT = 102...105. Sličan izraz za računanje granične amplitude deformacije ili vijeka trajanja pri različitim vrijednostima srednjeg naprezanja, tj. za različite asimetrije ciklusa naprezanja, izveden je u novije doba i potvrđen eksperimentalno:

1'' ' ' '

* ''

nf m f mb

a ff

k k cN NE

σ σ σ σε ε

σ − −

= + ⋅

⋅ (1.136)

k koeficijent osjetljivosti na srednje naprezanje, k = 1,0...1,5 σ'm [N/mm2] korigirana vrijednost od σ'f , tj. ona vrijednost stvarnog naprezanja, koja u Smithovom dijagramu za stvarna naprezanja zamjenjuje statičku čvrstoću, σ'm =σ'f/ k n' eksponent cikličkog očvršćavanja, konstanta materijala.

1/4 10 10 10 10 10 10 110

10

10

10

10

2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

0

broj ciklusa

ampl

ituda

def

orm

acije

07

T

Slika 1.51: Dijagram graničnih deformacija kod ispitivanja na zamor čelika ...

Iz izraza 1.135 i 1.136 moguće je odrediti vijek trajanja izražen u brojevima ciklusa N za poznatu, graničnu vrijednost ukupne deformacije ε*a. Važno je znati da nije potrebno poznavati vrijednost svih šest konstanti materijala (σ'f, ε'f, b, c, n' i K'), koje se javljaju u izrazima 1.134 do 1.136, već samo četiri, jer su one međusobno vezane relacijama:

( ) '

''

'f

n

f

Kσ

ε= (1.137)

'

bcn

= (1.138)

1.8.1.3.4.2 Faktor koncentracije deformacija

Izrazi 1.135 i 1.136 za proračun čvrstoće i vijeka trajanja u niskocikličnom području vrijede samo za standardnu probnu epruvetu. Da bi vrijedili i za strojne djelove, potrebno je računati sa vrijednostima maksimalnih amplituda stvarnih deformacija na mjestima skokovite promjene oblika, koje se računaju slično kao i amplitude maksimalnih naprezanja, tj. množenjem nominalnih vrijednosti deformacija s faktorom koncentracije cikličkih deformacija βε:

*

,max

n

1a

aε

εβ

ε= ≥ (1.139)

ε*

a,max maksimalna vrijednost amplitude stvarne deformacije na mjestu koncentracije εa,n nominalna vrijednost amplitude deformacije Budući da je prema Neuberovom pravilu

2kε kβ β α⋅ = (1.140)

βε ciklički faktor koncentracije deformacija

,max

,

*1a

ka n

σβ

σ= ≥ (1.141)

βk efektivni faktor koncentracije naprezanja αk teoretski faktor koncentracije naprezanja σ*

a,max [N/mm2] maksimalna vrijednost amplitude stvarnih naprezanja σa,,n [N/mm2] nominalna vrijednost amplitude naprezanja, ono se može napisati i kao

2 2

,* *,max ,max

k aa a

Enα σ

σ ε⋅

⋅ = . (1.142)

Desna strana ovog izraza je konstanta, pa je očito da izraz predstavlja hiperbolu u dijagramu rastezanja ε - σ. Sjecište ove hiperbole i krivulje cikličke deformacije, izraz (1.134), daje

maksimalne vrijednosti stvarnih amplituda naprezanja σ*a,max i deformacije ε*

a,max, s kojom se onda ulazi u formulu (1.135) ili (1.136).

1.8.1.3.4.3 Naprezanjski pristup proračunu čvrstoće i trajnosti u niskocikličkom području

Nažalost, opisanim pristupom problemu čvrstoće kod vremenski promjenjivih naprezanja nije moguće na ispravan način obuhvatiti utjecaj statičkog prednaprezanja (ili prethodnog deformiranja) na čvrstoću i vijek trajanja strojnih dijelova. Na sreću, to nije niti potrebno. Naime, proračune čvrstoće i trajnosti strojnih dijelova u niskocikličnom području moguće je također voditi metodologijom pokazanoj u poglavljima 1.8.1.2.1 i 1.8.1.2.2, čiju osnovu čine Wöhlerova krivulja i Smithov dijagram. Potrebno je samo umjesto s konvencionalnim, računati sa stvarnim vrijednostima naprezanja i čvrstoće, a umjesto sa statičkom granicom čvrstoće Rm, računati s koeficijentom dinamičke čvrstoće , umanjenom za faktor osjetljivosti na srednje naprezanje k = 1,1…1,5. Na taj način Smithov dijagram se transformira prema slici 1.52, a izrazi za dinamičku čvrstoću i vijek trajanja postaju:

,fσ

( ) ( )

* *1D

2 12 1 2 1rDN N pr

rR Rk r k r σ

σ σ

*k σ−−

= +− + − +

(1.143)

R*

rDN [N/mm2] stvarna vrijednost dinamičke čvrstoće strojnog dijela pri asimetriji ciklusa r za vijek trajanja N ciklusa kσ koeficijent smjera linije trajne dinamičke čvrstoće strojnog dijela u Smithovom dijagramu, kσ = 1 - R*

-1DN/σ'm za Goodmanovu liniju, slika 1.52 σ*

pr [N/mm2] stvarna vrijednost statičkog prednaprezanja r koeficijent asimetrije ciklusa radnih naprezanja

=1/4

= const

8r =

cons

t

Slika 1.52: Smithov dijagram za niskocikličko područje

(1.144) *1 DDN NR b R− = ⋅ *

1−

R*-1DN [N/mm2] stvarna vrijednost dinamičke čvrstoće strojnog dijela pri asimetriji ciklusa r = -1 za vijek trajanja N ciklusa R-1N [N/mm2] dinamička čvrstoća materijala pri r = -1 za vijek trajanja N ciklusa σ'm [N/mm2] stvarna vrijednost stvarnog naprezanja pri statičkom lomu, σ'm = σ'

f/k k faktor osjetljivosti na srednje naprezanje k = 1,1…1,5

1 2D

k

b bbβ⋅

= (1.114a)

bD zbirni faktor dinamičkih utjecaja u području vremenske čvrstoće b1 faktor dimenzija, tabela 1.9 b2 faktor kvalitete površine, tabela 1.10 βk efektivni faktor koncentracije naprezanja u području vremenske čvrstoće, izraz 1.141. Trajnost do loma izračunava se analogno izrazu (1.121):

( ) ( )

( )( )

'* * * *

max D 1'* *

max

2 1 11

m

m pgr

mpr

R r r b RN Nr

σ σσσ σ

− − + − − ⋅

= − −

r (1.145)

N vijek trajanja strojnog dijela napregnutog cikličkim naprezanjima s koeficijentom asimetrije r i prednapregnutog statičkim prednprezanjem σ*

pr bD zbirni faktor dinamičkih utjecaja u području vremenske čvrstoće Ngr broj ciklusa na granici vremenske i trajne dinamičke čvrstoće strojnog dijela, Ngr @ 107 za čelike r koeficijent asimetrije ciklusa radnih naprezanja m' nagib Wöhlerove krivulje strojnog dijela, izraz 1.98 σ*

max [N/mm2] maksimalna vrijednost stvarnog naprezanja ciklusa σ*

pr [N/mm2] statičko prednaprezanje R-1 [N/mm2] trajna dinamička čvrstoća materijala za r = -1. σ'm [N/mm2] stvarna vrijednost stvarnog naprezanja pri statičkom lomu, σ'm = σ'

f/k k faktor osjetljivosti na srednje naprezanje k = 1,1…1,5 .

1.8.1.3.5. Višeosno stanje naprezanja Za višeosno stanje naprezanja potrebno je odrediti povijest svih komponenti naprezanja, odvojiti statičke i dinamičke (promjenjive) komponente naprezanja i deformacija, zamijeniti ih s odgovarajućim ekvivalentnim jednoosnim naprezanjima i deformacijama, i konačno, odrediti dinamičku čvrstoću ili vijek trajanja na način opisan za jednoosno stanje naprezanja. Pri tome se pretpostavlja da sve komponente naprezanja i deformacija potiču iz istog izvora, te da su sinhrona i sinfazna. Postoje dva načina za određivanje promjenjivih trodimenzionalnih komponenti naprezanja i deformacija u funkciji vremena. Koji će se od njih odabrati ovisi o uvjetima koji vladaju za vrijeme onog dijela ciklusa opterećenja u kojem opterećenja rastu. Naime, u tom dijelu ciklusa komponente naprezanja rastu ili u jednakim omjerima - proporcionalno opterećenje, ili u nejednakim omjerima - neproporcionalno opterećenje. U prvom slučaju pravci glavnih naprezanja ostaju konstantni, a u drugom se mijenjaju. Neproporcionalno opterećenje zahtjeva dodatnu analizu, koja prelazi obim ove knjige. Ovdje će se samo kazati da se za neproporcionalno opterećenje komponente oštećenja za normalna i

tangencijalna naprezanja procjenjuju odvojeno. Prema Eurocodeu 3, ugovornom pravilniku za projektiranje Evropske unije, maksimalno tangencijalno naprezanje može biti upotrijebljeno kao ekvivalentno naprezanje za neproporcionalna opterećenja. Može se primijeniti i bilo koji drugi način određivanja ekvivalentnih naprezanja, samo ako je određen takav pravac glavnog naprezanja, koji rezultira s najmanjim stupnjem sigurnosti.

Za proporcionalno opterećenje, preporuča se ekvivalentno srednje naprezanje odrediti kao zbroj srednjih vrijednosti glavnih naprezanja

321, mmmem σσσσ ++= , (1.146)

σm,e [N/mm2] ekvivalentno srednje naprezanje σm1 [N/mm2] srednja vrijednost glavnog naprezanja 1 σm2 [N/mm2] srednja vrijednost glavnog naprezanja 2 σm3 [N/mm2] srednja vrijednost glavnog naprezanja 3 iako taj izraz ne proizlazi ni iz jedne hipoteze čvrstoće. On je i jednostavniji od izraza po bilo kojoj hipotezi čvrstoće, a daje rezultate koji se bolje slažu s eksperimentalnim ispitivanjima. Posebna mu je prednost što uzima u obzir različit uticaj vlačnih i tlačnih statičkih naprezanja na dinamičku čvrstoću i vijek trajanja. Na isti način treba odrediti ekvivalentno naprezanje od statičkog predopterećenja. Ekvivalentno amplitudno naprezanje poželjno je računati prema hipotezi najvećih tangencijalnih naprezanja. Za poznata glavna naprezanja dobije se:

[ ]213

232

221, )()()(

21

aaaaaaea σσσσσσσ −+−+−= , (1.147)

σa,e [N/mm2] ekvivalentno amplitudno naprezanje σa1 [N/mm2] amplituda glavnog naprezanja 1 σa2 [N/mm2] amplituda glavnog naprezanja 2 σa3 [N/mm2] amplituda glavnog naprezanja 3 Ekvivalentno amplitudno naprezanje može se izračunati i poznavanjem amplitudnih naprezanja u bilo koje tri ravnine:

[ ]2,

2,

2,

2,,

2,,

2,,, (6)()()(

21

zxayzaxyaxazazayayaxaea τττσσσσσσσ +++−+−+−= (1.148)

σa,e [N/mm2] ekvivalentno amplitudno naprezanje σa,x [N/mm2] amplituda normalnog naprezanja u smjeru osi x σa,y [N/mm2] amplituda normalnog naprezanja u smjeru osi y σa,z [N/mm2] amplituda normalnog naprezanja u smjeru osi z σa,z [N/mm2] amplituda normalnog naprezanja u smjeru osi z τa,xy [N/mm2] amplituda tangencijalnog naprezanja okomitog na os x, u smjeru osi y τa,yz [N/mm2] amplituda tangencijalnog naprezanja okomitog na os y, u smjeru osi z τa,zx [N/mm2] amplituda tangencijalnog naprezanja okomitog na os z, u smjeru osi x. U slučaju niskocikličkog zamora, potrebno je izračunati i ekvivalentnu jednoosnu amplitudnu deformaciju. Prema Henckyju je

* * * 2 * * 2 *, 1 2 2 3 3

2 ( ) ( ) (3a e a a a a a aε ε ε ε ε ε= − + − + − * 2

1)ε (1.149)

ε*a,e ekvivalentna amplituda stvarnih deformacija

ε*a,1 amplituda glavnih stvarnih deformacija 1

ε*a,2 amplituda glavnih stvarnih deformacija 2

ε*a,3 amplituda glavnih stvarnih deformacija 3.

Sada se dinamička čvrstoća, granična naprezanja i vijek trajanja računaju prema izrazima za jednoosno stanje naprezanja, poglavlje 1.8.1.2.3.4, i za jednoosno stanje deformacija, poglavlje 1.8.1.2.4.

1.8.1.3.6. Čvrstoća pri povišenim temperaturama Osnovna značajka dinamičke čvrstoće pri povišenim temperaturama jest da Wöhlerova krivulja nema horizontalni dio - dakle trajna dinamička čvrstoća ne postoji. U tom slučaju proračuni čvrstoće se provode na isti način kao za vremensku dinamičku čvrstoću pri normalnoj temperaturi. Jedini uvjet jest da je potrebno imati Wöhlerovu krivulju i karakteristike statičke čvrstoće za tu, određenu temperaturu. Međutim, povišene temperature pogoduju i procesu puzanja, kojega ciklička promjena naprezanja dodatno ubrzava. Dakle, u kritičnim točkama strojnog dijela istovremeno djeluju dva procesa, koji neovisno jedan od drugome, vode zajedničkom cilju: lomu. Pri tome nije presudno da li je ciklička promjena naprezanja i deformacija uzrokovana promjenom opterećenja (klasični zamor), ili promjenom temperature (toplinski zamor, npr. kod hlađenih lopatica plinskih turbina). Naime, u oba slučaja osnovu proračuna čvrstoće čini pravilo o linearnom gomilanju oštećenja od različitih mehanizama oštećenja:

u stgr

n tD D DN t

= + = + (1.150)

Du ukupno oštećenje strojnog dijela u kritičnom presjeku, u trenutku loma Du≈ 1 D oštećenje strojnog dijela zbog zamora materijala Dst oštećenje strojnog dijela zbog cikličkog puzanja n ukupni broj ciklusa naprezanja N broj ciklusa do loma t [h] ukupno vrijeme puzanja, t = n/f f [h-1] frekvencija ciklusa, broj ciklusa u jedinici vremena u kojoj se mjeri t tgr [h] vrijeme do kvazistatičkog loma zbog puzanja na nivou amplitude cikličkog naprezanja. Kod diskretno promjenjivih režima opterećenja, koji rezultiraju s promjenjivim amplitudama naprezanja, čvrstoća se računa prema izrazu

,

jiu

i ji j gr

tn DN t

+ =∑ ∑ (1.151)

tj [h] vrijeme cikličkog puzanja na nivou j-og nivoa naprezanja tj,gr [h] vrijeme do kvazistatičkog loma zbog puzanja na nivou j-og nivoa cikličkog naprezanja ni, Ni, Du kao gore.

Kod kontinuirano promjenjivih naprezanja sume prelaze u integrale, pa se za uvjet čvrstoće uzima izraz

0 0

1N t

gr

dn dtN t

+ =∫ ∫ . (1.152)

Za rješenje ovog integrala potrebni je imati krivulje zamaranja i puzanja za spektar naprezanja koji djeluje u kritičnoj točki elementa stroja ili konstrukcije.