Propositionnalisation

Propositionnalisation

• Passage d’une description structurelle à une description propositionnelle équivalente.Interêt

gain en utilisation, réutilisation,explication (création d’une ontologie)

• équivalence ?• complexité de la recherche ?

1 c7 Bf5 2 Nc6 Bh3 3 Ne7 Bd74 h7 Kg7 5 Ng6 Kxh7 6 Nf8+

Rb(f3),Rn(f7),Fn(c2),Cb(a7),Pb(c6),Pb(h6),Pn(f6),Pn(h4)

Egalité matérielleNon Opposition Fou noir 2° Grande DiagonaleCavalier blanc Coin2 Pions blancs avancés1 Pion noir avancéRectangle arrêt Roi blanc ….

Exemple Structurel / propositionnel

Irréductibles

irréductible: Elément d’un treillis ayant un seul prédécesseur irréductible : Elément d’un treillis ayant un seul successeur.

irréductibles

irréductibles

{0,1,2,3,4}

{0,1,2,3} {0,1,2,4} {0,1,3,4}

{0,1,3} {0,1,4} {0,1,2}

{0,1} {1,4} {2,4}

{0} {1} {2} {3} {4}

Concepts

∧-irreductibles

Ordre partiel

Généralisation ∨

Irréductibles et Treillis

A partir de l’ensemble des irréductibles et des irréductibles d’unTreillis T on construit la relation binaire R suivante:

A chaque élément irréductibles x on associe l’ensemble R(x) des éléments irréductibles ≥ à x

Théorème le Treillis de Galois construit à partir de la relation binaire R et isomorphe au treillis T. (Birkhoff)

Equivalence entre L-langages

Définition Deux L-Langages L1 et L2 sont dit équivalent pour un mêmeensemble d’exemples O TG(L1,O,d1) TG(L2,O,d2)

ThéorèmePour tout L-Langage L et un ensemble d’exemple O décrit par desexpression de L. Il existe un L-langage propositionnel LP minimaléquivalent à L.

Ce langage LP est construit à partir de l’ensemble des irréductiblesdu treillis de Galois TG(L,O)

E4

square

rectangles

on

circleright

Irréductibles et Treillis de Galois

E0

circle

rectangle

rectangleright

on

E1

rectangles

rectangle

circleright

on

circle

rectangle

rectangle

righton

{0,1}

rectangle

circle right

on

{1,4} rectangle on square{2,4}

{0,1,2}

rectangle

on rectangle

on circle

rectangle

on

{0,1,3}

rectangle

onrectangle

on rectangle

circle

on

rectangle

on

E2

square

square

rectangleon

on

E3

rectangle

on

circle

{0,1,2,3} {0,1,2,4} {0,1,3,4}

{0,1,2,3,4}

S1 S2

S3 S4

S5 S6 S7

rectangle

circle

righton

{0,1,4}

L-Langage propositionnel

Parcours de l’espace des descriptions

•••

Opérateur de spécialisation S:S(d)=d1 tel que d > d1

Opérateur de spécialisation complet:S(d)=d1 tel que d > d1 et d2 / d > d2 > d1-----> Base de certaines méthodes ILP:

Parcours AveugleSpécialisation infinie

Expression de LEtre plus généraleque

Espace de spécialisation et exemple

•••

Expression n’apparaissantPas sur les exemples

Expression apparaissantEn même temps

Complexité de la recherche des irréductibles

Idée 1) Construction du treillis en généralisationconstruction complète: taille du treillis importantecomplexité de l’opération -Irréductibles dans le haut du treillis

Idée 2) Parcours de l’espace en spécialisation => souvent trop précis

Principe

E1 A1 E2 A2 E2 A3 En An……

Es = E1 E2 As ≤ A1 A2 Es = E1 En As ≤ A2 An2…

Nécessite A1, A2, ……AnRetour au cas propositionnel !!

LD1

Spécialisation des langages

Langage de décomposition

Exemple Langage de description

GrapheLangage de décomposition

Chemin de longueur k

DéfinitionPour un langage de description L,Un langage de décomposition LD est

inclus dans L,il existe un opérateur permettant de trouver les

expressions de LD présentent dans une expression de L

Algorithme RechIrreEntree : un contexte (E,A,R) (relation binaire)Sortie ; l’ensemble des -irreductiblesR=ØElimination des égalités (réunion en un seul attribut des attributs tel que e(a1)= e(a2))Pour chaque attribut a

si estIrreductible(a) ajouter a à Rretourner R

Est irreductibles ?

Dans un contexte (E,A,R) (avec e(ai)≠e(aj) pour tout i,j i≠j a est un attribut ^-irreductible ssi e / (e R a) et a’ ∈ d(e(a)) (a’≠a), e R a’

Complexité polynomialeIncrémentalité sur l’ajout des attributs

Exemple chemin longueur 0

irréductibles[{0,1,4},{right}][{0,1,3,4},{Circle}][{2,4},{Square}]

Exemple chemin longueur 1

Recherche des -Irréductibles: Polynomiale ici!!

Complexité

La recherche des -irréductibles dépend de la complexité de la recherche des éléments de LDdu calcul de la relation d’ordre entre les éléments de LDdu calcul de l’appariement d’un élément de LD avec un élément de L

Pour une étape k, si ces trois calcul sont polynomiaux / nombre d’exemples et le nombre d’expressions du langage LDalors la méthode est polynomiale

Exemple L=graphe et LDk={chemins élémentaires de longueur k} Calcul polynomial à chaque étape (anytime)

Expérimentation 1

Recherche de motifs avec un algorithme de « graph mining »Ici gaston.Sélection des motifs vus sur des ensembles d’exemples différents

QuickTime™ et undécompresseur

sont requis pour visionner cette image.

Expérimentation 2

QuickTime™ et undécompresseur

sont requis pour visionner cette image.