TUGAS AKHIR

KAJIAN MODEL MARKOV WAKTU DISKRIT UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT MENULAR PADA MODEL EPIDEMIK SIR

Oleh:RAFIQATUL HASANAH

NRP. 1208 100 021

Dosen Pembimbing:Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si.

Drs. Suhud Wahyudi, M.Si.

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBERSURABAYA

2012

Setiap tahun, jutaan manusia di seluruh dunia meninggal karenapenyakit menular. Memodelkan proses penyebaran penyakitmenular akan mempermudah dalam mengerti dinamikapenyebaran penyakit dalam suatu populasi. Pada Tugas Akhirini dianalisis sebuah model probabilitas transisi penyebaranpenyakit menular untuk model epidemik SIR, dengan tetapmemperhatikan keunggulan pendekatan model yang sudah ada(misalnya asal penularan dan dinamika penyebaran) danmemanfaatkan penggunaan efisiensi dari teknik programdinamik untuk membentuk model yang diinginkan. State spacedalam model ini dapat direduksi dengan agregasi state. Hasilyang didapat dari penelitian Tugas Akhir ini adalah didapatprobabilitas transisi model Markov waktu diskrit untukpenyebaran penyakit menular dan model epidemik SIR, sertaprobabilitas transisi untuk rantai markov tereduksi padapenyakit menular melalui agregasi state. Dalam Tugas Akhir inijuga didapat simulasi grafik hubungan jumlah individu tiap kelaskompartemen dan hubungan probabilitas penggerak kejadianSI(t) serta IR(t) terhadap waktu.

Kata kunci: agregasi state, model epidemik SIR, model Markovwaktu diskrit, state space, teknik program dinamik

ABSTRAK

PENDAHULUAN1

TINJAUAN PUSTAKA

METODE PENELITIAN

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

DAFTAR PUSTAKA

2

3

4

PENUTUP5

6

LATAR BELAKANG MASALAH

PENDAHULUAN

Berbagai jenis patogen manusia dan Sirkulasi penyakit menular [1]

Kebijakan kesehatan dinamik

Model stokastik penyebaran penyakit

menular

Diperoleh melalui teknik program

dinamik

Proses stokastik markov Diskrit

KontinuDiskrit

Penelitian Sebelumnya:1. Sari (2009): menganalisis tentang hubungan

kesetimbangan Model epidemik SIS baik secaradeterministik dan stokastik.

2. Hardiningsih, A.Y (2010): menganalisis tentangkestabilan titik setimbang pada modeldeterministik dan mean distribusi probabilitaspada model stokastik untuk model epidemik SIR.

LATAR BELAKANG MASALAH (LANJUTAN)

SIR merupakan model epidemik dengankarakteristik bahwa:S (susceptibles): individu rentan terinfeksisuatu penyakitI (infected): individu yang terinfeksiR (recovered): individu yang terinfeksi akansembuh

Model markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular pada

model Epidemik SIR

LATAR BELAKANG MASALAH (LANJUTAN)

Memanfaatkan penggunaan efisiensi dari teknik

program dinamik

State space dapat direduksi dengan agregasi state

Dapat dibentuk peluang kepercayaan tentang

keadaan aktual penyebaran penyakit

berdasarkan data yang diobservasi

Bagaimana membentuk model Markov waktu diskrit untuk penyebaranpenyakit menular.Bagaimana membentuk probabilitas transisi model Markov untuk modelepidemik SIR.Bagaimana mereduksi state space model Markov untuk penyakit menularmelalui agregasi state.

RUMUSAN MASALAH

1

2

3

BATASAN MASALAH

Pembangunan model Markov waktu diskrit dari penyakit menular memenuhipersyaratan teknik program dinamik.

Model epidemik yang digunakan adalah model epidemik tipe SIR waktu diskrit.

Model stokastik waktu diskrit merupakan model Rantai Markov dengan statespace berhingga.

Model epidemik SIR tidak dibahas tentang pemberian vaksinasi atausejenisnya.

Jumlah populasi suatu wilayah tertentu diasumsikan tetap (konstan).

1

2

3

4

5

1. Membentuk model Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular.

2. Membentuk probabilitas transisi model Markov untuk model epidemik SIR.

3. Mereduksi state space model Markov untuk penyakit menular melalui agregasi state.

Manfaat yang diharapkan pada Tugas Akhir adalah untukmemberikan informasi mengenai pemanfaatan penggunaanefisiensi dari teknik program dinamik dalam membentuk modelMarkov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menularsehingga diharapkan dapat diambil langkah-langkah yang tepatuntuk mencegah terjadinya epidemik yang semakin meluas.

TUJUAN

MANFAAT

Model Epidemik SIR

Adapun asumsi pada Model Epidemik SIR ini adalah :a. Jumlah populasi N berukuran tetap (konstan)b. Laju kelahiran dan kematian samac. Semua populasi yang baru lahir adalah individu yang rentan

Berdasarkan asumsi-asumsi di atas disusun diagram kompartemen model epidemikSIR sebagai berikut :

TINJAUAN PUSTAKA

Berdasarkan diagram kompartemen pada Gambar 1. model epidemik SIR analog denganmodel sebagai berikut [2].

dengan:

Program Dinamik adalah suatu teknik matematis yang digunakan untuk membuat suatukeputusan dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya.Tujuan utama model ini adalah untuk mempermudah penyelesaian persoalan optimasi yangmempunyai karakteristik tertentu [3].

Ide dasar Program Dinamik ialah membagi persoalan menjadi beberapa bagian yang lebih kecilsehingga memudahkan penyelesaiannya. Pada persoalan Program Dinamik tidak adaformulasi matematis yang standar. Karena itu persamaan-persamaan yang dipilih harusdikembangkan agar dapat memenuhi masing-masing situasi yang dihadapi. Dengan demikian,antara satu persoalan dengan persoalan yang lainnya dapat mempunyai struktur penyelesaianpersoalan yang berbeda.

Program Dinamik

Proses Stokastik

Proses stokastik adalah himpunan variabel acak dalam bentuk dengan Tadalah beberapa himpunan indeks yang disebut parameter space dan S adalah ruang sampeldari peubah acak yang disebut state space. Untuk setiap t tertentu, menyatakan suatupeubah acak yang didefinisikan pada S. Untuk setiap s tertentu, berhubungan denganfungsi yang didefinisikan pada T yang disebut lintasan sampel (sample path). Secara singkatproses stokastik adalah himpunan peubah acak yang menggambarkan dinamika dari suatuproses [4].

Rantai Markov

Proses stokastik dengan waktu diskrit dengan adalah peubah acakdiskrit yang didefinisikan pada state space yang berhingga S = {0, 1, 2, ..., s} atau takberhingga terhitung S = {0, 1, 2, ...}.Proses stokastik Markov adalah suatu proses stokastik dimana perilaku/ kelakuansistem pada waktu yang akan datang (besok) hanya bergantung pada keadaansekarang dan tidak bergantung pada keadaan yang lalu atau dapat dikatakan hanyabergantung pada keadaan satu langkah ke belakang [4].Definisi 1. Probabilitas Transisi t Langkah

Teorema 1. Persamaan Chapman-Kolmogorov [5]

Maximum Likelihood Estimators

Salah satu metode yang seringkali digunakan untuk mendapatkan estimator dari parameteradalah metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Hal ini dikarenakan metode MLEmempunyai sifat-sifat yang baik untuk sampel berukuran besar, antara lain asimtotik unbiased,asimtotik konsisten serta mempunyai sifat invarian. MLE dilakukan dengan memaksimumkanfungsi likelihood. Pada dasarnya, estimasi parameter dengan menggunakan MLE meliputi duatahap, yakni mengkonstruksi fungsi likelihood dan memperoleh nilai estimator yangmemaksimumkan fungsi likelihood tersebut.

Misalkan X variabel random dengan fungsi probabilitas f(x,λ), dimana λ merupakan parameter yang tidak diketahui dan saling independen maka pengkonstruksian fungsi likelihood dapat dinyatakan dengan [6]

Teorema 2. [7]

Peluang Bersyarat dan Distribusi Peluang

Teorema 3. Aturan Bayes [7]

Definisi 2. Distribusi Binomial [7]

Definisi 3. Distribusi Eksponensial [7]

Definisi 4. Distribusi Poisson [7]

METODE PENELITIAN

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Probabilitas Transisi Untuk Penyebaran Penyakit Menular

1. Menentukan kelas dan bentuk persamaan state dinamik.Jika diasumsikan bahwa ukuran populasi tetap dan sama dengan N, maka persamaan state dinamik untuk penyakit ini adalah:

Dengan menggunakan persamaan (4), state penyakit sepenuhnya diidentifikasi jika diketahui (M-1) variabel dari State dari perubahan sistem sebagai peristiwa yang terjadi, disebut dinamika penggerak kejadian seperti yang dapat dilihat pada Gambar 2.

2. Menentukan distribusi probabilitas bersama dari penggerak kejadian dalamstate penyakit pada waktu t.

3. Membentuk kendala dinamika penggerak dan kelayakan.

4. Membentuk probabilitas transisi untuk Rantai Markov

Estimasi Parameter Untuk Penyebaran Penyakit Menular

1. Mengkonstruksi fungsi likelihood untuk model penyebaran penyakit menular.

Dengan menggunakan prinsip probabilitas bersyarat pada persamaan (3), maka persamaan (14) menjadi

2. Memperoleh nilai estimator yang memaksimumkan fungsi likelihood

1. Menentukan kelas dan bentuk persamaan state dinamik.

Probabiltas Transisi untuk Model Epidemik SIR

2. Menentukan distribusi probabilitas bersama dari penggerak kejadianpada waktu t.

3. Membentuk kendala dinamikapenggerak dan kelayakan.

4. Membentuk probabilitas transisi untuk Rantai Markov

Contoh Kasus Model Epidemik SIR

Reduksi State Space Model Markov untuk Penyakit Menular Melalui Agregasi State

Dari hasil analisis Model Markov waktu diskrit untuk penyebaran penyakit menular, didapatkan kesimpulan sebagai berikut :Bentuk probabilitas transisi model Markov waktu diskrit untuk penyebaranpenyakit menular adalah:

KESIMPULAN

1

Bentuk probabilitas transisi model Markov untuk model epidemik SIR adalah:

Probabilitas transisi untuk rantai markov tereduksi pada penyakit menular melalui agregasi state adalah:

2

3

[1]Yaesoubi, R., Cohen, T. (2011). “Generalized Markov models of infectious disease spread: A novel framework for developing dynamic health policies”. European Journal of Operation Research Vol. 215, Hal. 679-687.

[2]Hardiningsih, A.Y. (2010). “Kajian Model Epidemik SIR Deterministikdan Stokastik pada Waktu Diskrit”. Surabaya: Jurusan MatematikaITS.

[3] Ana, N. (2009). “Penentuan Pola Release Air Waduk Gondang Berdasarkan Kondisi Musim Tahun Air Dengan Pendekatan Program Dinamik”. Surabaya: Jurusan Matematika ITS.

[4]Sari, W.A. (2009). “Perencanaan Jumlah Tenaga Perawat di RSUD Dr. Soetomo Menggunakan Rantai Markov”. Surabaya: Jurusan Matematika ITS.

[5]Langi, Y.A.R. (2011). “Penentuan Klasifikasi State pada Rantai Markov dengan Menggunakan Nilai Eigen dari Matriks Peluang Transisi”. Jurnal Ilmiah Sains Vol. 11 No. 1, April 2011, Hal. 124-130.

[6] Ekawati, R. (2009). “Kajian Estimasi Parameter Modified Weibull Distribution dengan Maximum Likelihood Estimators dan Least Square Procedure”. Surabaya: Jurusan Matematika ITS.

[7]Walpole, R.E., Myers, R.H. (1986). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung: Penerbit ITB.

DAFTAR PUSTAKA