PROPORCIONALIDAD Y

SEMEJANZA

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

5

3

AB

CD

SEGMENTO DE PUNTOS A y B = [A,B] A B

LONGITUD DEL SEGMENTO [A,B]También se utiliza la siguiente notación: d(A,B) = AB ó d(A,B) = aPROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

[A;B] y [C,D] son PROPORCIONALES a [E,F] Y [G,H], si se

cumple

d(A,B)

5

3

EF

GH

Ejemplo:

Actividad 1

• La razón entre dos segmentos es 3/5. Si

el segmento mayor mide 10 cm., ¿Cuánto

mide el segmento menor?

TEOREMA DE TALES

Si r y r’ son dos rectas secantes en el

punto O

0

Si trazamos dos nuevas rectas paralelas que cortan a r y r’

en los puntos A, B y A’, B’ respèctivamente

BA

B’

A’

[0,B]

Entonces, los segmentos [O,A] y [O,B] son

PROPORCIONALES a los segmentos [O,A’] y [O,B’]

[0,A]

[0,A’] [0,B’

]

Actividad 2

• Halla la longitud x, e y de los segmentos

desconocidos de la figura siguiente:

1 cm2 cm

4 cm

y cm3 cm

x cm

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES

Dada una triángulo ABC

A B

C

Si trazamos una recta paralela a un lado (por ejemplo al

lado BC)

M

N

Es decir: AB/AM = AC/AN = BC/MN.

Entonces el nuevo triángulo AMN, tiene los lados

proporcionales al triángulo ABC.

Actividad 3

• Calcula las longitudes x, e y desconocidas

de la figura siguiente:

1 cm

3,5 cm

y cm 3 cm

x cm

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

Trazamos un segmento de longitud a + b + c, con origen en O.

Para dividir un segmento [O,A] en partes proporcionales

a, b y c:

0 A

b

a

c

Trazamos paralelas (utilizando T. Tales), y obtenemos dicha división

a` b` c`

Actividad 4

• Dibuja en tu cuaderno un

segmento de 11 cm. y divídelo en

dos partes tales que una sea ¾ de

la otra.

Cuarto, tercero y medio proporcional

Dado 3 segmentos de longitudes a, b y c, decimos que el

segmento de longitud desconocida x es el CUARTO

PROPORCIONAL de a, b y c, si se cumple:

a c

b x

b

a

x

cSi b = c, decimos que el segmento de longitud desconocida

x es el TERCERO PROPORCIONAL de a, b si se cumple:

a b

b x

El segmento de longitud b es el MEDIO

PROPORCIONAL

b

a

x

b

FIGURAS PLANAS SEMEJANTES

Dos figuras planas son SEMEJANTES si

están relacionadas de manera que una

es una reducción o ampliación de la

otra.POLÍGONOS SEMEJANTESDos POLÍGONOS de n lados son SEMEJANTES si tiene los

mismos ángulos y los lados son proporcionales.

Longitud de lado a del primer polígono

Longitud de lado homologo a' del segundo polígono

Razón de semejanza =

Construcción de polígonos semejantes

Dado un polígono

O

Se traza un punto O cualquiera y se trazan semirrectas

que parten de O, y pasan por los vértices

Se toma la razón r, y se trazan paralelas a los

lados

Actividad 5• Dibuja en tu cuaderno un triángulo que

tenga un lado de 2,5 cm. y otro de 3,5 cm.

Y un ángulo de 80º comprendido entre

ellos. ¿Sabrías trazar ahora otro triángulo

semejante dos de cuyos lados midiesen

7,5 cm. y 10,5 cm. respectivamente?

¿Cuál es la razón de semejanzas entre

ambas figuras?

1º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si:

A

B

C

A’

B’

C’’

B = B’

C = C’

2º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si:

A

B

C

A’

B’

C’’

A = A’

bc

b’

c’

b/b’ = c/c’

3º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si:

A

B

C

A’

B’

C’’

bc

b’

c’

a/a’ = b/b’ = c/c’

a’a

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES

Dos triángulos ABC, A’B’C’ rectángulos en A y A’ son semejantes si:

A B

C

A’ B’

C’’

1.- Tiene un mismo ángulo agudo B = B’ ó C = C’2.- Dos pares de lados homólogos son proporcionales

TEOREMA DEL CATETO Y DE LA ALTURA

Dado un triángulo rectángulo ABC :A

BCa

bc

Por semejanzas de triángulos ABC y CPA, y también ABC y PBA,

Trazamos la perpendicular al segmento [B,C] que pasa por A.Denominamos P al punto de intersección, m = CP, n = PB y h = AP

m n

P

h

2b mb a m

a b 2c n

c a na c

2n hh m n

h m

De donde se deducen los siguientes teoremas:Teorema del CATETO.- Cada cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y su proyección sobre esta:

Teorema de la ALTURA.- La altura de un triángulo rectángulo es la media proporcional de los dos segmentos que dividen la hipotenusa: 2h m n

2c a n 2b a m

Actividad 6• Los catetos de un triángulo rectángulo

miden 6 cm. Y 8 cm., respectivamente:

a)¿Cuánto miden sus proyecciones sobre la

hipotenusa?

b) ¿Cuánto vale la altura del triángulo sobre

la hipotenusa?

RELACIÓN ENTRE FIGURAS SEMEJANTES

Si P y P‘ son polígonos SEMEJANTES de lados a1, a2,

….,an y de lados homologos a’1, a’2,…, a’n.

Si F y F‘ son figuras planas

semejantes:r 2 = ÁREA de F / ÁREA de F‘.

Si C C‘ son cuerpos

semejantes :r 3 = VOLUMEN de C / VOLUMEN de

c‘.

La razón de semejanza

es: PERIMETRO de Pr = a1/a’1 = a2 /a’2 = …. = an / a’n = PERIMETRO de P‘.

Ejemplo:

P

a b

d

c

e

P’b’

a’

c’

e’

d’ a’+b’+c’+d’+e’r =

a+b+c+d+

e

(1/2).(a+b+c+d+e)= a+b+c+d+e

= 1/2

Actividad 7

• La razón entre los radios de dos

esferas es 5/7. Halla el volumen

de la esfera grande, sabiendo que

el de la pequeña es 250 cm. 3 .

ESCALAS DE MAPAS Y PLANOSSe llama ESCALA a la razón de semejanza que existe

entre la representación gráfica de un objeto

cualquiera y la dimensión real del mismo.

Usamos ESCALAS de AMPLIACIÓN para

representar objetos pequeños.

Usamos ESCALAS de REDUCCIÓN para

representar objetos grandes.

Actividad 8

• Dos ciudades distan entre sí 25

km. ¿A qué distancia se hallarán

en un plano de escala 1:25.000?

¿Y en otro en el que se indica que

5 cm. Equivalen a 100 km.?

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

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