1

PROPORCIONALIDAD

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SOMBRA PROYECTADA

Darío en un determinado momento coloca 6 estacas de diferentes alturas y luego procede a medir la sombra que proyecta cada una de ellas, todo ello lo anota en el siguiente cuadro. Veamos:

Altura de cada estaca (cm)

Sombra proyectada

(cm)

2 4

3 6

6 12

15 30

18 36

24 48

3

De acuerdo cuadro anterior:

1. ¿Cuánto es la sombra proyectada por 1 estaca de 10 cm de altura?

2. ¿Cuál sería la altura de la estaca si la sombra proyectada fue de 50cm?

3. ¿Cómo deducirías una fórmula para determinar la sombra proyectada para cualquier estaca de diferentes alturas?

4.¿Cómo interpretarías gráficamente el cuadro

anterior?

5. ¿Cómo denominarías a la

gráfica: creciente o decreciente?

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CONTENIDOS

MAGNITUD. RAZÓN. PROPORCIONES. MAGNITUDES DIRECTAMENTE

PROPORCIONALES. MAGNITUDES INVERSAMENTE

PROPORCIONALES. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA. REGLA DE TRES COMPUESTA.

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MAGNITUDES

Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente, y por ello variar o cambiar en comparación con otras.

Ejemplos:

La capacidad de una botella de agua.

El dinero obtenido por un trabajo.

El número de goles marcados por el

equipo A.

El número de trabajadores de una

empresa.

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RAZÓN

Razón o relación es el resultado de comparar dos cantidades.

Razón AritméticaComparación entre dos cantidades por

medio de la SUSTRACCIÓN

Razón GeométricaComparación entre dos cantidades por

medio de la DIVISIÓN

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PROPORCIONES

Proporción es el resultado de comparar dos razones.

Proporción AritméticaComparación entre dos razones aritméticas

Proporción GeométricaComparación entre dos razones geométricas

a – b = c – d 𝑎𝑏=

𝑐𝑑

Donde:a y d son términos extremosc y d son términos medios

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MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes A y B son, directamente proporcionales (DP), si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción.

En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes es constante. Este valor recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Se cumple : A CB

Naranjas (kg) 2 3 4 5

Precio (S./) 4 6 8 10

510

48

36

24 2

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MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes A y B son, inversamente proporcionales (IP), si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta en proporción inversa.

En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores correspondientes es constante. Este valor recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Se cumple : A . B = C

Operarios 2 3 4 8

Tiempo (h) 12 8 6 32 .12 = 3 . 8 = 4 .6 = 8 .3 = 24

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ESQUEMA

DIRECTAMENTE PROPORCIONALES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

A DP B A IP BA CB AB C

B

A A

B

MAGNITUDES

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Indique cual de estas magnitudes son directamente proporcionales (DP) e inversamente proporcionales (IP) :

• Velocidad del móvil – Tiempo de viaje ()

• Número de Personas – Tiempo de trabajo ( )• Trabajo a realizar – Costo del trabajo (

)• Trabajo a realizar – Tiempo de trabajo (

)• Trabajo a realizar – Dificultad del trabajo ( )• Trabajo a realizar – Eficiencia de las personas (

)• Eficiencia de las personas – Tiempo de trabajo (

)• Gastos mensuales – Capacidad de ahorro ( )

IP

DP

IP

IP

IPIP

DPDP

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REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Para el pintado de una habitación, un pintor cobra $100 por pintar dos habitaciones. ¿Cuánto nos cobrará por pintar cinco habitaciones?

Solución:Por regla de tres:

Nº de Habitaciones Costo

2 1005 X

250X

Por magnitudes:

º .N Hab CCosto

2 5100 x

5 100

2xx 𝑋=

5 𝑥1002

250X

13

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Si 10 obreros han hecho una obra en 90 días, ¿en cuántos días harán la misma obra 15 obreros?

Por magnitudes:

( )( )Dias Obreros C

(10)(90) (15)X

60x

Solución:Por regla de tres:Obreros Días

10 9015 X

𝑋=10 𝑥90

15

𝑋=60

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REGLA DE TRES COMPUESTA

Una ingeniera civil puede construir 600 metros de carretera con 40 hombres, en 50 días, trabajando 8 h/día. ¿Cuántos días tardará este ingeniero en construir 800 metros de carretera con 50 obreros doblemente eficientes que los anteriores en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por día?

Solución:

Se determinan todas las magnitudes encontradas en el problema:

Carretera Hombres Días h/día Eficiencia Dificultad

15

Luego ubicamos la magnitud donde se encuentra la variable y analizamos con respecto a las demás:

Carretera Hombres Días h/día Eficiencia Dificultad

DP

IP

IP IP

DP

De acuerdo al análisis anterior, obtenemos la siguiente FÓRMULA:

(𝑫 í 𝒂𝒔 )(𝐻𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 )(h /𝑑 í 𝑎)(𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎)(𝐶𝑎𝑟𝑟𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎 ) (𝐷𝑖𝑓𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑 )

=𝐶𝑡𝑒

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Colocamos los datos del problema y empleamos la fórmula para determinar lo que se nos pide:

Carretera Hombres Días h/día Eficiencia Dificultad 600 40 50 8 1 1 800 50 X 10 2 3

(𝟓𝟎)(40)(8)(1)(600 ) (1 )

=(𝑿)(5 0)(10)(2)

(8 00 ) (3 )

𝑋=64La ingeniera tardará 64 días en terminar la obra

Teniendo en cuenta la fórmula anterior, tenemos:

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PROBLEMA

El valor de una joya es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si joya que pesa 50 gramos cuesta $ 4 000. ¿Cuánto valdrá otra joya de 90 gramos de peso?

k(Pe)

Pr2

𝑥=12 960

SOLUCIÓN:

El valor de la joya de 90 gramos de peso es $ 12 960.

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PROBLEMA

El gasto de un ingeniero es directamente proporcional a su sueldo, si su sueldo equivale a s/. 4 000 y ahorra S/. 600. ¿ Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/. 4 250?

SOLUCIÓN:

kSG

El sueldo del ingeniero será S/. 5 000

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PROBLEMA

El Sr. James , repartió su dinero entre sus tres hijos: Uno de 24 años, el otro de 20 años y la ultima de 18 años . Si el reparto entre la cantidad de dinero que reciben es inversamente proporcional a sus edades. Sí el hijo mayor recibió S/. 4 200 ¿Cuánto le correspondió recibir a la ultima hija?

SOLUCIÓN:

Primer hijo : 24 años Segundo hijo : 20 año Tercer hija : 18 años

Por dato:

𝑘=4200.24 𝑘=100 800

= Dinero recibido . Edad La ultima hija del Sr.James recibirá S/.5 600.

X=5600