Maestría en Ingeniería Química

MateriaMatemáticas

Monografía 1

Tema

“Propiedades de los Determinantes”

Alumno

I.B.Q. Leonardo Alejandro Medina Rodríguez

Mtra. Norma A. Vallejo Cantú Catedrático

Fecha de entrega 03 septiembre de 2014

Propiedad de los Determinantes

1. Introducción

Existen algunos problemas en matemáticas que, en teoría, son sencillos pero en la práctica son imposibles. Piense por ejemplo en el determinante de una matriz 50 x 50. Se puede calcular expandiendo por cofactores. Esto implica 50 determinantes de 49 x 49 que implican 50∙49 determinantes de 48 x 48 que implican…que implican 50∙49∙ 48 ∙47∙ … ∙3 determinantes de 2 x 2. Ahora bien, 50∙49∙…∙3=50!/2 ≈ 1.5 x 1064 determinantes de 2 x 2. Suponga que se cuenta con una computadora que puede calcular 1 millón=106 determinantes 2 x 2 por segundo. Entonces tomaría alrededor de 1.5 x 1058 segundos ≈ 4.8 x 1050años terminar el cálculo. (El universo tiene alrededor de 15 mil millones de años = 1.5 x 1010 años según la versión teórica más reciente). Es obvio que, si bien el cálculo de un determinante de 50 x 50 siguiendo la definición es teóricamente directo, en la práctica es imposible.

Por otro lado, una matriz de 50 x 50 no es rara. Pensemos en 50 tiendas en las que se ofrecen 50 productos diferentes. De hecho, las matrices de n x n con n > 100 surgen con frecuencia en la práctica. Por fortuna, existen maneras de reducir significativamente la cantidad de trabajo necesaria para calcular un determinante.

Enseguida se dan y se demuestran algunas propiedades adicionales de los determinantes. En cada caso se supone que A es una matriz de n x n. Se verá que estas propiedades se pueden usar para reducir mucho el trabajo necesario para evaluar una determinante.

2. Fundamentos Teóricos

2.1 Propiedad 1

Si cualquier renglón o columna de A es un vector cero, entonces det A = 0

Demostración Suponga que el renglón i de A contiene solo ceros. Entonces es, a ij=0 para j=1,2 ,…n . Entonces, det A=ai 1 A i 1+ai 2 Ai 2+…+a¿ A¿=0+0+…+0=0. La misma prueba funciona si la columna j es el vector cero

Ejemplo:

|1 2 340

50

60|=0 |−1 3 0 1

4−12

261

0 500

41|=0

2.2 Propiedad 2

Si el renglón i o la columna j de A se multiplica por un escalar c, entonces det A se multiplica por c. Es decir, si se denota por B esta nueva matriz, entonces

Ejemplo:

Sea A=[13 −1 21 4

0 −2 5]. Entonces det A=16. Si se multiplica el segundo renglón por 4, se tiene

B=[ 112

−1 24 16

0 −2 5 ] y det B=64=4 det A.

Si se multiplica la tercera columna por -3, se obtiene C=[13 −1 61 −12

0 −2 −15] y det C=−48=−3det A.

2.3 Propiedad 3

Sea

Entonces

det C=det A+det B

En otras palabras, suponga que A, B, y C son idénticas excepto por la columna j y que la columna j de C es la suma de las j−esimas columnas de A y B. Entonces, det C=det A+ det B. La misma afirmación es cierta para renglones.

Ejemplo:

|B|=|a11 a12 ⋯ a1n

a21

⋮ca i1

⋮an1

a22

⋮cai 2

⋮an 2

⋯ a2 n

⋯⋯

⋮ca¿

⋮ann

|=c |a11 a12 ⋯ a1n

a21

⋮cai 1

⋮an 1

a22

⋮ca i2

⋮an 2

⋯ a2n

⋯⋯

⋮ca¿

⋮ann

|=c|A|

A=[ a11 a12 ⋯ a1 j ⋯ a1n

a21

⋮an1

a22

⋮an 2

⋯ a2 j ⋯ a2n

⋯ ⋮ ⋮anj ⋯ ann

] , B=[ a11 a12 ⋯ α 1 j ⋯ a1n

a21

⋮an1

a22

⋮an 2

⋯ α 2 j ⋯ a2n

⋯ ⋮ ⋮αnj ⋯ ann

] y

C=[ a11 a12 ⋯ a1 j+α 1 j ⋯ a1 n

a21

⋮an 1

a22

⋮an 2

⋯ a2 j+α 2 j ⋯ a2 n

⋯ ⋮ ⋮anj+αnj ⋯ ann

]

Sea A=[13 −1 21 4

0 −2 5], B=[13 −6 22 4

0 4 5 ] y C=[1 −1 −6 230

1 +2 4−2 +4 5 ]=[1 −7 2

30

32

45 ].

Entonces det A=16, det B=108 y det C =124 = det A + det B.

2.4 Propiedad 4

El intercambio de cualesquiera dos renglones (o columnas) distintos de A tiene el efecto de multiplicar det A por -1.

Ejemplo:

Sea A=[13 −1 21 4

0 −2 5]. Al intercambiar los renglones 1 y 3 se obtiene B=[03 −2 51 4

1 −1 2]. Al

intercambiar las columnas 1 y 2 de A se obtiene C=[ 11

−1 23 4

−2 0 5 ]. Entonces, haciendo los cálculos

directos, se encuentra que det A = 16 y det B = det C = -16.

2.5 Propiedad 5

Si A tiene dos renglones o columnas iguales, entonces det A = 0.

Ejemplo:

Mediante el cálculo directo, se puede verificar que para A=[15 −1 27 3

1 −1 2] [dos renglones iguales] y

B=[ 53

2 2−1 −1

−2 4 4 ] [dos columnas iguales], det A = det B = 0.

2.6 Propiedad 6

Si un renglón (columna) de A es un múltiplo escalar de otro renglón (columna), entonces det A = 0.

Ejemplo:

B=[ 1 −1 23+4 (0) 1+4(−2) 4+5(4 )

0 −2 5 ]=[1 −1 23 −7 240 −2 5 ]

|2 −3 51

−476

2−10|=0, ya que el tercer renglón es igual a -2 veces el primero.

| 2 4 1 1 2−107

1−13

0 396

−39

|=0 porque la cuarta columna es igual a tres veces la segunda.

2.7 Propiedad 7

Si se suma un múltiplo escalar de un renglón (columna) de A a otro renglón (columna) de A, entonces el determinante no cambia.

Ejemplo:

Sea A=[13 −1 21 4

0 −2 5]. Entonces det A = 16. Si se multiplica el tercer renglón por 4 y se suma al

segundo renglón, se obtiene una nueva matriz B dada por

y det B = 16 = det A.

3. Conclusiones

Las propiedades que se acaban de presentar hacen mucho más sencilla la evaluación de determinantes de alto orden. Simplemente se “reduce por renglones” el determinante, usando la propiedad 7, hasta que tenga una forma en la que se pueda evaluar fácilmente. La meta más común será usar la propiedad 7 de manera repetida hasta que 1) el nuevo determinante tenga un renglón (columna) de ceros o un renglón (columna) que sea múltiplo de otro (en cuyo caso el determinante es cero o 2) la nueva matriz sea triangular, con lo que su determinante es el producto de sus elementos en la diagonal.

4. Bibliografía

Grossman I. S. (1996). Algebra Lineal. Editorial McGraw-Hill/Interamericana de México S.A. de C.V., México.

Howard A. (1994). Introducción al Algebra Lineal. Editorial Limusa, México.