RADICALES 4º ESO

DEFINICIÓN DE RAÍZ n-ÉSIMA DE UN NÚMERO REAL

Sea “a” un número real, y “n” un número natural, diremos que donde

“n” es el índice de la raíz y “a” es el radicando de la raíz.

Ejemplo:

Ejemplo:

CARACTERÍSTICAS DE UNA RAÍZ SEGÚN SU ÍNDICEa) Si el índice de la raíz es par:

1. No se puede calcular una raíz de índice par de un número negativo

Ejemplo: no hay ningún número real que elevado al cuadrado sea -4

2. La raíz de índice par de un número siempre tiene dos soluciones, una positiva y una

negativa:

Ejemplo: e porque e

b) Si el índice de la raíz es impar:

1. Siempre se puede calcular la raíz de índice impar de un número, tanto si es negativo

como positivo.

Ejemplo:

2. Una raíz de índice impar de un número siempre tiene solución única.

Ejemplo: y no hay ningún otro número que elevado al

cubo sea –64.

EXPRESIÓN DE UNA RAÍZ EN FORMA DE POTENCIA

Una raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

Ejemplo:

Ejercicios: Expresa en forma de raíz las siguientes expresiones:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

1

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Ejercicios: Expresa en forma de potencia las siguientes raíces:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

1) 1) Ej:

2) 2) Ej:

3) (¡ojo!, raíces de mismo índice) 3) Ej:

4) 4) Ej:

5) 5) Ej:

6) 6) Ej:

7) 7) Ej:

Nota: Recuerda que una raíz se puede expresar en forma de potencia de la siguiente forma:

y por lo tanto , de forma que todas las propiedades de las raíces vistas en la

lista anterior, se pueden considerar una consecuencia de las propiedades de las operaciones con

potencias.

Ejercicios: Calcula, si es posible, las siguientes raíces:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

2

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9) 10)

11) 12)

13) 14)

EXTRAER FACTORES DE UN RADICALEn un radical podemos extraer un factor siempre que el exponente del factor sea mayor o igual que el

índice de la raíz.

Método para extraer un factor de una raíz: Para extraer un factor se divide el exponente del factor

entre el índice de la raíz; el cociente de la división es el exponente con que sale el factor fuera de la

raíz y el resto de la división es el exponente con que queda el factor dentro de la raíz.

Ejemplo:

No puede salir ningún 5 porque está elevado a 2 y 2 es menor que 3

x está elevada a 4; dividiendo 4 entre 3 obtenemos 1 de cociente y 1 de resto: ; es

decir, saldrá una x y se queda otra dentro

7 está elevado a 5; dividiendo 5 entre 3 obtenemos 1 de cociente y 2 de resto: ; es

decir, sale un 7 y se quedan 2 dentro

Nota: Sólo se pueden sacar factores (elementos de un producto) de un radical, NUNCA se pueden

sacar valores afectados por una suma o una resta; por ejemplo:

NO SE PUEDE RESOLVER COMO: sería una tremenda BURRADA (calcula

las dos expresiones en la calculadora y verás que no son iguales).

Ejercicios: Extrae los factores de la raíz:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

3

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7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

INTRODUCIR UN FACTOR DENTRO DE UNA RAÍZ.Para introducir un factor en una raíz habrá que elevarlo al índice de la raíz:

Ejemplo:

Nota: Recuerda que estamos hablando de factores, nunca de sumandos.

Ejercicios: Introduce los factores dentro del radicando:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

REDUCIR RADICALES A ÍNDICE COMÚN(Se utiliza para poder multiplicar/dividir radicales que tienen diferente índice: primero se escriben con

índice común y después se multiplican/dividen los radicandos (propiedad 3)).

1º Calculamos el m.c.m de los índices y ese será el índice común.

2º Elevamos cada radicando al cociente de dividir el m.c.m calculado en 1º entre el índice de su

raíz.

Ejemplo: Sean e

1º El m.c.m (2, 3) = 6

2º

Ejercicios: Expresa con índice común los siguientes radicales:

4

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1) ; ;

2) ; ; ;

3) ; ;

4) ; ;

5) ; ;

OPERACIONES CON RAÍCESProducto/Cociente de raíces: 1. Raíces con el mismo índice : Para multiplicar/dividir raíces del mismo índice, se aplica

directamente la propiedad 3, (4 para el caso de la división), de las raíces, es decir, el producto de

dos o más raíces del mismo índice es igual a una raíz que tiene el mismo índice que las otras y

como radicando el producto de los radicandos.

Ejemplo:

2. Raíces con distinto índice: Para multiplicar/dividir raíces con distinto índice primero se reducen a

índice común y después se aplica el caso 1.

Ejemplo:

Ejercicios: Realiza los siguientes productos y cocientes de raíces:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

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g)

h)

i)

j)

Suma/Resta de raíces:Sólo podemos sumar raíces de índices iguales, es decir, con el mismo índice y el mismo radicando.

Ejercicios: Realiza las siguientes sumas/restas de raíces.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

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h)

i)

RACIONALIZACIÓNRacionalizar una fracción es transformarla en otra equivalente pero sin raíces en el denominador. Vamos a estudiar 3 casos diferentes:

Caso 1: En el denominador hay una raíz cuadrada.

Para “eliminar” la raíz del denominador, multiplicamos el numerador y el denominador por la raíz del

denominador.

Ejemplo:

Ejercicios: Racionaliza:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

7

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Caso 2: En el denominador hay una raíz de índice mayor que 2.

En este caso se multiplica el numerador y el denominador por una raíz del mismo índice que la del

denominador y con un radicando de exponente la diferencia entre el índice de la raíz y el exponente

inicial.

Ejemplo:

Ejercicios: Racionaliza:

a)

b)

c)

d)

Caso 3: El denominador es una suma o una diferencia en la que uno o ambos sumandos son una

raíz cuadrada.

Para “eliminar” la raíz o raíces cuadradas del denominador, multiplicamos el numerador y el

denominador por el conjugado del denominador; es decir, el mismo denominador cambiado de signo

en el medio.

Ejemplo:

Ejercicios: Racionaliza

a)

b)

c)

8

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d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

9

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EJERCICIOS:

1. Calcula las siguientes raíces por el método más sencillo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2. Realiza las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

3. Introduce los factores en la raíz y simplifica:

a)

b)

c)

d)

4. Realiza las siguientes operaciones indicadas:

a)

b)

10

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c)

d)

e)

e)

f)

5. Realiza las siguientes sumas y restas:

a)

b)

c)

d)

e)

e)

f)

6. Racionaliza simplificando el resultado:

a)

b)

c)

11

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d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

7. Pon bajo radical único y simplifica los resultados:

a)

b)

c)

d)

12