Propiedades de Divisibilidad
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PARTICULAR UNIVERSIDAD Propiedades de divisibilidad Para todo , , ∈ se tiene que 1) | 2) | ∧ | ⇒ | 3) |0 ∀ ∈ 4) Si | ⇒ | ∀ ∈ 5) Si | ∧ | ⇒ | ∀ , ∈ En particular si 1, 1 tenemos que si | ∧ | ⇒ | En particular si 1, 1 tenemos que si | ∧ | ⇒ | 6) Si | ⇒ | ; | ; y – | 7) Si | ⇒ | ∀ ∈ 8) Si | y 0 ⇒ || || 9) Si | ∧ | ⇒ || || ∀0,0∈ 10) Si | ∧ | ⇒ |. 11) Si | ∧ | ⟹ | Teorema (consecuencia inmediata del algoritmo de Euclides) Dados , ∈ , con 0, existen enteros , tales que , Observación IMPORTANTE!!! 1- Si , ⇒ .!"# ∃ , ∈ : es verdadero Si & ⇒ & . es falso 2- Si , ⇒ , ∈ : y , no son únicos Propiedad Sean , ∈ , no simultáneamente nulos, si ’| ∧ ’|, es decir ’ es común divisor de y , entonces ’|, . Conclusión Si sabemos que , podemos decir con seguridad que:. | ∧ | Si ∃( ∈ :(| ∧ (| ⇒) *( (| ∃ , ∈ :
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PARTICULAR UNIVERSIDAD
Propiedades de d ivis ib i l idad
Para todo �, �, � ∈ � se t iene que
1) �|�
2) �|� ∧ �|� ⇒ �|� 3) �|0∀� ∈ �
4) Si �|� ⇒ �|� ∀ ∈ �
5) Si �|� ∧ �|� ⇒ �| � � �� ∀ , � ∈ �
En part icular si � 1, � � 1tenemos que si �|� ∧ �|� ⇒ �|� � � En part icular si � �1, � � �1tenemos que si �|� ∧ �|� ⇒ �|� � �
6) Si �|� ⇒ �| � �;��| � �;y – �|�
7) Si �|� ⇒ ��|�� ∀� ∈ �
8) Si �|� y � � 0 ⇒ |�| � |�| 9) Si �|� ∧ �|� ⇒ |�| � |�| ∀� � 0, � � 0 ∈ �
10) Si �|� ∧ �|� ⇒ ��|�. � 11) Si �|� � � ∧ �|� ⟹ �|�
Teorema (consecuencia inmediata del algoritmo de Euclides)
Dados �, � ∈ �, con � � 0, ex isten enteros , � tales que ��, �� � � � � ��
Observación IMPORTANTE!!!
1- Si � � ��, �� ⇒��� .!"#�
∃ , � ∈ �:� � � � �� es verdadero
Si & � � � �� ⇒ & � ��. �� es falso
2- Si � � ��, �� ⇒ , � ∈ �:� � � � �� y , �no son únicos
Propiedad
Sean �, � ∈ �, no simul táneamente nulos, s i '|� ∧ '|�, es deci r ' es común
divisor de � y �, entonces '|��, ��.
Conclusión
Si sabemos que � � ��, �� podemos decir con seguridad que: .
� �|� ∧ �|�
� Si ∃( ∈ �:(|� ∧ (|� ⇒ )� * ((|�
� ∃ , � ∈ �:� � � � ��
PARTICULAR UNIVERSIDAD
Propiedades de d ivis ib i l idad
Definición
Dos enteros �, � ∈ �, se d icen coprimos si ��, �� � 1
Proposición ( la proposición de Euclides)
Sean �, � y � ∈ � s i �|�. � y ��, �� � 1 ⇒ �|�
Sean �, � y � ∈ � s i �|�. � y ��, �� � 1 ⇒ �|�
Proposición
Si �|+ ∧ �|+ y ��, �� � 1 entonces �. �|+
Observación
Si ��, �� � 1 entonces la proposic ión no vale.
Estos es, decir que: �|+ ∧ �|+ y ��, �� � 1 entonces �. �|+ es falso
Proposición (solución de una ecuación diofántica)
Sean ,, -, . ∈ �, , y - no simultáneamente nulos, entonces existen /, 0 ∈ � tal que ,/ � -0 � . ⇔�,, -�|.. Corolario
Sean �, � ∈ �, � y � no s imultáneamente nulos, entonces ex isten , � ∈ � tal
que � � �� � 1 ⇔ ��, ��|1. Sólo con 2 vale la ida y la vuelta!!!!
NUMEROS PRIMOS
Teorema
Si � ∈ �, y � � 1,� � �1 y � � 0, ⇒∃( pr imo posi t ivo que lo div ide (|�
Corolario
Si + ∈ �, y 3 4 1 entonces existe ( pr imo posi t ivo tal que 1 5 ( 5 3
Teorema de Eucl ides
Existen inf ini tos números primos.
Teorema
Sea �,, -� � 6 ∧ 6 � 2 ⇒ ∃7 primo posit ivo tal que 7|6
Proposición
Sea ( pr imo s i ( ∤ � ⇒ ��, (� � 1
Teorema
Sea ( pr imo, si (|�. � ⇒ (|� ∨ (|�
PARTICULAR UNIVERSIDAD
Propiedades de d ivis ib i l idad
OTRAS PROPIEDADES
1. ��, (� � 1 ⇔ ( ∤ �, ( es pr imo posi t ivo
2. ��, �� � 1 ⇔ ∃( pr imo tal que (|� y (|�
3. (|�:. ��… . . �< ⇒ (|�: ∨ (|�� ∨ …… .∨ (|�<
4. ��, �� � 1 ⇒ ��< , �=� � 1∀3, + ∈ >
