Projeto e Análise de Algoritmos - Universidade Federal de...
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Universidade Federal de Alfenas
Projeto e Análise de Algoritmos
Aula 07 – Notações θ, Ω, ω, ο[email protected]
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Última aula
Notação O
• Uma função f(n) domina assintoticamente outra função g(n) se existem duas constantes positivas ▫ c e n0
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Última aula
Notação O
• Uma função f(n) domina assintoticamente outra função g(n) se existem duas constantes positivas ▫ c e n0
• tais que, para qualquer ▫ n >= n0,
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Última aula
Notação O
• Uma função f(n) domina assintoticamente outra função g(n) se existem duas constantes positivas ▫ c e n0
• tais que, para qualquer ▫ n >= n0,
• temos ▫ g(n) <= c . f(n)
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Outras notações
• Assim como a notação O fornece uma maneira assintótica de dizer que uma função é “menor ou igual a”outra, existem outras notação que fornecem outras conclusões sobre a complexidade de algoritmos;
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Outras notações
• Assim como a notação O fornece uma maneira assintótica de dizer que uma função é “menor ou igual a”outra, existem outras notação que fornecem outras conclusões sobre a complexidade de algoritmos;
▫ Θ
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Outras notações
• Assim como a notação O fornece uma maneira assintótica de dizer que uma função é “menor ou igual a”outra, existem outras notação que fornecem outras conclusões sobre a complexidade de algoritmos;
▫ Θ
▫ Ω
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Outras notações
• Assim como a notação O fornece uma maneira assintótica de dizer que uma função é “menor ou igual a”outra, existem outras notação que fornecem outras conclusões sobre a complexidade de algoritmos;
▫ Θ
▫ Ω
▫ ω
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Outras notações
• Assim como a notação O fornece uma maneira assintótica de dizer que uma função é “menor ou igual a”outra, existem outras notação que fornecem outras conclusões sobre a complexidade de algoritmos;
▫ Θ
▫ Ω
▫ ω
▫ ο
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Notação Ω
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Notação Ω
• A notação Ω é bem parecida com a notação O;
▫ „O‟ define um limite assintótico superior, e;
▫ Ω define um limite assintótico inferior.
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Notação Ω
• A notação Ω é bem parecida com a notação O;
▫ „O‟ define um limite assintótico superior, e;
▫ Ω define um limite assintótico inferior.
• Exemplos: )( 34 nn
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Notação Ω
• A notação Ω é bem parecida com a notação O;
▫ „O‟ define um limite assintótico superior, e;
▫ Ω define um limite assintótico inferior.
• Exemplos: )( 34 nn
)1(n
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Notação Ω
• A notação Ω é bem parecida com a notação O;
▫ „O‟ define um limite assintótico superior, e;
▫ Ω define um limite assintótico inferior.
• Exemplos: )( 34 nn
)1(n
))(log()log(3 nn
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Notação Ω
• A notação Ω é bem parecida com a notação O;
▫ „O‟ define um limite assintótico superior, e;
▫ Ω define um limite assintótico inferior.
• Exemplos: )( 34 nn
)1(n
))(log()log(3 nn
)1(1
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Notação Ω
• A notação Ω é bem parecida com a notação O;
▫ „O‟ define um limite assintótico superior, e;
▫ Ω define um limite assintótico inferior.
• Exemplos: )( 34 nn
)1(n
))(log()log(3 nn
)1(1
)2(! nn
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Notação Ω
}nnf(n) g(n)c|
ne c{f(n):(g(n))
0
0
0
0
• Limite assintótico inferior
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Notação Ω
• Limite assintótico inferior
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Notação Ω
• Na prática a notação Ω não é vista sozinha em análises de algoritmos;
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Notação Ω
• Na prática a notação Ω não é vista sozinha em análises de algoritmos;
▫ Pelo motivo de não interessar para a análise de algoritmos;
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Notação Ω
• Na prática a notação Ω não é vista sozinha em análises de algoritmos;
▫ Pelo motivo de não interessar para a análise de algoritmos;
▫ A notação O possui sua importância, pois o programador conclui que seu algoritmo é no máximo tão complexo a uma função.
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Notação Ω
• Na prática a notação Ω não é vista sozinha em análises de algoritmos;
▫ Pelo motivo de não interessar para a análise de algoritmos;
▫ A notação O possui sua importância, pois o programador conclui que seu algoritmo é no máximo tão complexo a uma função.
▫ Mas no mínimo tão complexo, como a notação Ω descreve, não é importante para conclusões práticas sobre algoritmos.
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Notação Ω
• Na prática a notação Ω não é vista sozinha em análises de algoritmos;
▫ Pelo motivo de não interessar para a análise de algoritmos;
▫ A notação O possui sua importância, pois o programador conclui que seu algoritmo é no máximo tão complexo a uma função.
▫ Mas no mínimo tão complexo, como a notação Ω descreve, não é importante para conclusões práticas sobre algoritmos.
• Ω vem na maioria das vezes acompanhada a notação Θ;▫ Como um complemento na análise, nunca sozinha...
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Notação θ
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• Conhecida também como “limite firme” ou “limite assintoticamente restrito”.
Notação θ
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• Conhecida também como “limite firme” ou “limite assintoticamente restrito”.
• A notação O, apesar de fornecer informações sobre a complexidade do algoritmo, nem sempre nos revela algo importante;
Notação θ
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• Conhecida também como “limite firme” ou “limite assintoticamente restrito”.
• A notação O, apesar de fornecer informações sobre a complexidade do algoritmo, nem sempre nos revela algo importante;
• Não faz sentido, para algum algoritmo, dizer que suas complexidade é por exemplo O(n!).
▫ Ou faz?
Notação θ
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• Conhecida também como “limite firme” ou “limite assintoticamente restrito”.
• A notação O, apesar de fornecer informações sobre a complexidade do algoritmo, nem sempre nos revela algo importante;
• Não faz sentido, para algum algoritmo, dizer que suas complexidade é por exemplo O(n!). Ou faz?
• Exemplos da falta de precisão de O:
Notação θ
)!(
)2(
)(
)(
)(
)(
1000
5
4
3
nOn
On
nOn
nOn
nOn
nOn
n
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Notação θ
• Uma função f(n) pertence ao conjunto θ(g(n)) se existem constantes positivas n0, c1 e c2
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Notação θ
}nng(n) cf(n)g(n)c|
ne,c c{f(n):Θ(g(n))
021
021
0
0
• Uma função f(n) pertence ao conjunto θ(g(n)) se existem constantes positivas n0, c1 e c2 tais que ela possa ser “imprensada” entre c1.g(n) e c2.g(n), para um valor de n suficientemente grande.
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• Exemplo:
• Para isso, devemos definir constantes c1, c2 e n0 tais que:
• Encontre constantes que satisfaça as duas desigualdades...
Notação θ
)Θ(nnn 2
2
32
2
2
22
1 32
1ncnnnc
}nng(n) cf(n)g(n)c|
ne,c c{f(n):Θ(g(n))
021
021
0
0
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• Exemplo de constantes:
Notação θ
21
3
2
1c
nc
2
2
22
1 32
1ncnnnc Dividindo por n2 ...
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• Exemplo de constantes:
• Portanto, se existem tais constantes
Notação θ
7
2
1
14
1
0
2
1
n
c
c
)Θ(nnn 2
2
32
21
3
2
1c
nc
2
2
22
1 32
1ncnnnc Dividindo por n2 ...
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Notação θ
))(()(
))(()(
)()(
xgxf
e
xgOxf
sse
)xΘ(gxf
• Observação:
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Notação ο (o minúsculo)
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• O limite assintótico superior fornecido pela notação O (ó-zão) pode:
Notação ο
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• O limite assintótico superior fornecido pela notação O (ó-zão) pode:
▫ Ser assintoticamente restrito;
Notação ο
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• O limite assintótico superior fornecido pela notação O (ó-zão) pode:
▫ Ser assintoticamente restrito;
▫ Não ser assintoticamente restrito;
Notação ο
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• O limite assintótico superior fornecido pela notação O (ó-zão) pode:
▫ Ser assintoticamente restrito;
▫ Não ser assintoticamente restrito;
• Exemplos:
▫ Assintoticamente restrito:
▫ Não assintoticamente restrito:
Notação ο
)(2 22 nOn
)()log(
)(2 2
ncOn
nOn
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Notação ο
• Todas as funções de O (ó-zão) que não definem um limite assintoticamente restrito pertencem a „‟o” (ó-zinho)
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Notação ο
))(()(
))(()())(()(
ngnf
entaongnfengOnfse
• Todas as funções de O (ó-zão) que não definem um limite assintoticamente restrito pertencem a „‟o” (ó-zinho)
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Notação ο
)()log(
)(2 2
nn
nn
))(()(
))(()())(()(
ngnf
entaongnfengOnfse
• Todas as funções de O (ó-zão) que não definem um limite assintoticamente restrito pertencem a „‟o” (ó-zinho)
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• Comparativo com a notação O;
Notação ο
}nng(n) cnf|
nc{f(n):(g(n))
0
0
)(0
0,0
0c constantes as todaspara
válidoé )()(0 limite o )),(()(
0c constante alguma para
válidomantém se )()(0 limite o )),(()(
ncgnfngnf
ncgnfngOnf
Não é <=, é somente <
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Notação ο
0)(
)(lim
então Se
ng
nf
ο(g(n))f(n)
n
• Facilitando o entendimento...
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Notação ω (omega minúsculo)
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• O limite assintótico inferior fornecido pela notação Ω (omega-zão) pode:
▫ Ser assintoticamente restrito;
▫ Não ser assintoticamente restrito;
• Exemplos:
▫ Assintoticamente restrito:
▫ Não assintoticamente restrito:
Notação ω
)(2 22 nn
)(2 3 nn
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Notação ω
))(log(2
)1(2 2
nn
n
))(()(
))(()())(()(
ngnf
entaongnfengOnfse
• Todas as funções de Ω (omegazão) que não definem um limite assintoticamente restrito pertencem a ω
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Notação ω
}nn nfg(n)c|
nc{f(n):(g(n))
0
0
)(0
0,0
Não é <=, é somente <
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Notação ω
)(
)(lim
então Se
ng
nf
(g(n))f(n)
n
• Facilitando o entendimento...
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Exercícios
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Exercícios – V ou F
))(()())(()( nfngssengnf
))(()())(()( ngnfentaongnfse (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
))(()())(()( ngnfentaongnfse
))(()())(()( ngnfentaongnfse
))(()())(()( ngnfentaongOnfse
))(()())(()( ngnfentaongnfse
))(()())(()( ngnfentaongnfse
))(()())(()( ngnfentaongnfse
))(()())(()( ngnfentaongnfse
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Exercício para próxima aula• Descreva e implemente 3 algoritmos para a seguinte espiral:
• Eles devem ter respectivamente as seguintes complexidades:▫ Θ(n);▫ Θ(sqrt(n));▫ Θ(1).
• Eu informo n, e você informa as coordenadas x, y do n-ésino ponto.
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Leitura para próxima aula
• Livro: Algoritmos (Cormen)
▫ 4 Recorrências;
4.1 O método de substituição;
4.2 O método de árvore de recursão
4.3 O método mestre
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Bibliografia
• CORMEN, T. H.; LEISERSON, C. E.; RIVEST, R. L.; (2002). Algoritmos – Teoria e Prática. Tradução da 2ª edição americana. Rio de Janeiro. Editora Campus.
• TAMASSIA, ROBERTO; GOODRICH, MICHAEL T. (2004). Projeto de Algoritmos - Fundamentos, Análise e Exemplos da Internet.