Projeto através do lugar das raízes
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IntroduçãoProjeto de controladores
Projeto através do lugar das raízes
Guilherme Luiz Moritz1
1 DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
04 de 2013
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
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IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Objetivos
Observar como o gráfico do root locus pode ajudar noprojeto de compensadoresEntender os métodos de cálculo de compensadoresSaber quando utilizar cada um dos compensadores
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IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Objetivos
Observar como o gráfico do root locus pode ajudar noprojeto de compensadoresEntender os métodos de cálculo de compensadoresSaber quando utilizar cada um dos compensadores
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IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Objetivos
Observar como o gráfico do root locus pode ajudar noprojeto de compensadoresEntender os métodos de cálculo de compensadoresSaber quando utilizar cada um dos compensadores
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IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Revisão do Plano S
H(S) =ω2
n
s2 + 2ζωns + ω2n(1)
Tp =π
ωn√
1− ζ2=
π
ωd(2)
Ts =4ζωn
=4σd
(3)
cos(θ) = ζ (4)
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IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Revisão do Plano S
H(S) =ω2
n
s2 + 2ζωns + ω2n(1)
Tp =π
ωn√
1− ζ2=
π
ωd(2)
Ts =4ζωn
=4σd
(3)
cos(θ) = ζ (4)
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IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Revisão do Plano S
H(S) =ω2
n
s2 + 2ζωns + ω2n(1)
Tp =π
ωn√
1− ζ2=
π
ωd(2)
Ts =4ζωn
=4σd
(3)
cos(θ) = ζ (4)
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IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
Revisão do Plano S
H(S) =ω2
n
s2 + 2ζωns + ω2n(1)
Tp =π
ωn√
1− ζ2=
π
ωd(2)
Ts =4ζωn
=4σd
(3)
cos(θ) = ζ (4)
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IntroduçãoProjeto de controladores
Introdução
E para sistemas de ordem superior?
Aproximação de segunda ordemPólos 5x mais afastados dos pólos dominantesZeros próximos a pólos
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto de controlador P
Com o ajuste do ganhopodemos alterar Ts, Tp eζ
Por consequênciaalteramos o erro deestado estacionárioPodemos chegar em A,mas não em BComo chegar em B?
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto de controlador P
Com o ajuste do ganhopodemos alterar Ts, Tp eζ
Por consequênciaalteramos o erro deestado estacionárioPodemos chegar em A,mas não em BComo chegar em B?
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto de controlador P
Com o ajuste do ganhopodemos alterar Ts, Tp eζ
Por consequênciaalteramos o erro deestado estacionárioPodemos chegar em A,mas não em BComo chegar em B?
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto de controlador P
Com o ajuste do ganhopodemos alterar Ts, Tp eζ
Por consequênciaalteramos o erro deestado estacionárioPodemos chegar em A,mas não em BComo chegar em B?
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Uso de compensadores
Adicionam pólos e zeros ao sistemaPodem ser ativos ou passivosPodem ser instalados em cascata ou na malha derealimentaçãoQuais as vantagens de cada um?
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Uso de compensadores
Os controladores adicionam pólos e zeros ao sistema,alterando o lugar das raízes para passar por pontosespecificados no projeto.
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo
Considere o sistema abaixo, com K = 841
pole(T)ans =-10 + 27.22i-10 - 27.22i
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo controlador P
P.O. = 31.5% (5)
Ts = 0.4s (6)
Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ud
e
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Requisitos
Reduzir o percentual de overshoot para 6% sem alterar otempo de estabilização
Ts =4ζωn
=4σd
(7)
cos(θ) = ζ (8)
ζ =−ln(P.O./100)√π2 + ln2(P.O./100)
(9)
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo
Ts =4ζωn
= 0,4→ ζωn = 10 (10)
P.O. = 6%→ ζ = 0,667→ ωn√
1− ζ2 = 11,17 (11)
s1,2 = −10± 11,17j (12)
O ponto encontrado pertence ao lugar das raízes?
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo
Ts =4ζωn
= 0,4→ ζωn = 10 (10)
P.O. = 6%→ ζ = 0,667→ ωn√
1− ζ2 = 11,17 (11)
s1,2 = −10± 11,17j (12)
O ponto encontrado pertence ao lugar das raízes?
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto P
θ = 180o(2k − 1),−θ1 − θ2 = 180o(2k − 1),θ1 = arctg(11,17
10 ) = 48,16o,
θ2 = 180o − arctg(11,1710 ) =
131,84o.
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto P
Determinando o ganho:
|KG(S)H(S)|s=−10+11j = 1→ K = 224,77 (13)
Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 System: sys_fbPeak amplitude: 1.06Overshoot (%): 6At time (seconds): 0.283
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto P por faixa
P.O. < 16% e Ts < 8s → OK
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto P por faixa
P.O. < 10% e Ts < 0,19s → Impossível!
O que fazer quando somente uma alteração de ganho não forsuficiente para atender as especificações?
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto P por faixa
P.O. < 10% e Ts < 0,19s → Impossível!
O que fazer quando somente uma alteração de ganho não forsuficiente para atender as especificações?
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI
O compensador PI pode eliminar o erro de estadoestacionárioTécnica: Incluir um pólo na origem do plano SO pólo altera o lugar das raízes: adiciona-se um zero paracancelá-lo
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI - Exemplo
Corrigir de estado estacionário do sistema, com mínimaintervenção na resposta transitória. ζ = 0,174
Incluir um compensador PI conforme figura:
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI - Exemplo
Determinar os pólos de malha fechada para o sistema semcompensação
K = 164,6S1,2 =−0,694± j3,926Kp = 8,23e(∞) = 0,108
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI - Exemplo
Determinar os pólos de malha fechada para o sistema semcompensação
K = 158,2S1,2 =−0,678± j3,837Kp =∞e(∞) = 0
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador por atraso de fase
Integradores e diferenciadores são implementados comamplificadoresSistemas ativos→ Caros e complexosÉ possível simular seu comportamento comcompensadores ativos, de atraso (P) ou avanço de fase(D)
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensador PI
Gc(S) = K1 +K2
S=
K1
(S + K2
K1
)S
(14)
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensação PD
Possível controlar o P.O. da resposta e diminuir o Ts
Técnica: Inclusão de um zero na função de transferênciade malha abertaOnde?
Projetar um compensador PD para o sistema abaixo, sendoP.O. = 16% e com redução de 3 vezes no tempo deassentamento (Ts).
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Compensação PD
Possível controlar o P.O. da resposta e diminuir o Ts
Técnica: Inclusão de um zero na função de transferênciade malha abertaOnde?
Projetar um compensador PD para o sistema abaixo, sendoP.O. = 16% e com redução de 3 vezes no tempo deassentamento (Ts).
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 1: P.O. = 16%→ ζ = 0,504Passo 2: Observar o lugar das raízes e encontrar o pontode interseção entre a reta de ζ = 0,504 e o lugar dasraízes→ S1,2 = −1,205± j2,064, quando K = 43,35
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 1: P.O. = 16%→ ζ = 0,504Passo 2: Observar o lugar das raízes e encontrar o pontode interseção entre a reta de ζ = 0,504 e o lugar dasraízes→ S1,2 = −1,205± j2,064, quando K = 43,35
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 3: Calcular o settling time:Ts = 4
ζωn= 4
1,205 = 3,320
S1,2 = −1,205︸ ︷︷ ︸ζωn
±j 2,064︸ ︷︷ ︸ωn√
1−ζ2
(15)
Passo 4: O settling time deve ser reduzido para 13 :
Ts′ =3,320
3 = 1,107s
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 3: Calcular o settling time:Ts = 4
ζωn= 4
1,205 = 3,320
S1,2 = −1,205︸ ︷︷ ︸ζωn
±j 2,064︸ ︷︷ ︸ωn√
1−ζ2
(15)
Passo 4: O settling time deve ser reduzido para 13 :
Ts′ =3,320
3 = 1,107s
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 5: Calcular a posição dos novos pólos para atendero settling time
σd = ζωn =4Ts
=4
1,107= 3,613 (16)
ζ = 0,504→ ωn = 7,16rad/s → ωd = ωn√
1− ζ2 = 6,19(17)
S1,2 = −3,613︸ ︷︷ ︸ζωn
±j 6,19︸ ︷︷ ︸ωn√
1−ζ2
(18)
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PD
Passo 7: Como fazer para o root locus passar pelo pontoespecificado??Adicionar o pólo, a nova contribuição angular deve fazer oponto fazer parte do lugar das raízes!∑
θi = (2k + 1)180o (19)
−θpolos + θzeros = 180o, k = 0 (20)
−275,6o + θzeros = 180o (21)
θzero = 95,6o (22)
σ = −3,006 (23)
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PD
Moritz, G.L. Projeto através do lugar das raízes
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PD
Gc(s) = K1s + K2 = K1
(s +
K2
K1
)(24)
No exemplo, K1 = 1 e K2 = 3,006
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
Gc(s) = K1s+K2
s+K3s =
K1s + K2 + K3s2
s=
K3
(s2 + K1
K3s + K2
K3
)s
(25)
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Exemplo PID
Etapas do projeto:Determinar desempenho do sistema não compensado;Projetar o PD (localização do zero e determinação doganho) para obtenção das especificações do projeto;Simular sistema;Reprojetar, se necessário;Projetar o PI para correção do erro de estado estacionário;Determinar os ganhos K1, K2 e K3;Simular sistema e;Reprojetar, se necessário.
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
Dado o sistema abaixo, projetar um controlador PID para que osistema opere com 2
3 do tempo de pico do sistema nãocompensado, com P.O. = 20% e erro de estado estacionárionulo para entrada em degrau.
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
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IntroduçãoProjeto de controladores
Controlador PCompensação integralCompensação derivativaCompensação PID
Projeto PID
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