PROJEKTOVANJE GEODETSKIH RADOVA U INŽENJERSTVU...Zakon o javnim putevima (Službeni glasnik RS, br....

UNIVERZITET U BEOGRADU GRAĐEVINSKI FAKULTET

KATEDRA ZA GEODEZIJU I GEOINFORMATIKU

PROJEKTOVANJE GEODETSKIH RADOVA U INŽENJERSTVU

-Beleške sa predavanja-

Jelena Cvetinović

Beograd, April 2012

PROJEKTOVANJE GEODETSKIH RADOVA U INŽENJERSTVU 2012

1 Jelena Cvetinović

Uvodne napomene U okviru ovog kursa govoriće se o izradi projekata u geodeziji i to prvenstveno o projektu osnovne mreže i projektu obeležavanja. Mreže u geodeziji dele se na:

• visinske (vertikalne) 1D mreže • položajne (horizontalne) 2D mreže • GPS (3D) mreže

Što se tiče GPS merenja u inženjerskoj geodeziji najčešće se koriste merenja dužina (GPS vektora) na velikim rastojanjima kako bi se učvrstila mreža (linijski objekti). Kod brana i visokih objekata mreže se projektuju iz pojaseva. Prilikom projektovanje nema merenja! Prilikom projektovanja imamo unapred definisane kriterijume mreže (pouzdanost i preciznost) i od njih krećemo sa projektovanjem (praktično idemo unazad u odnosu na postupak izrade elaborata). Pogušćavanje mreže predstavlja prenošenje mreže sa sprata na sprat kod visokih objekata, ili prilikom klizišta kad je deo mreže uništen postavljaju se nove tačke na okolnom stabilnom terenu. DEFINICIJA GEODETSKE MREŽE: Geodetska mreža predstavlja skup n geodetskih merenja, u nepoznatih parametara i c konstanti, gde se iz skupa merenja može izdvojiti q merenih veličina, pri čemu je q<n i sve merene veličine se mogu izraziti u funkciji tih q merenih veličina. Primer: Dat je trougao u kom su mereni sve tri strane i sva tri ugla. Napisati jednačine veze u funkciji nepoznatih parametara.

q=3 ; n=6 Funkcije veze = ? X=a Y=β Z=α

𝑎𝑎′ = 𝑀𝑀(𝑎𝑎) F-je veze glase: 𝑎𝑎′ = 𝑋𝑋 𝛼𝛼′ = 𝑌𝑌 𝛽𝛽′ = 𝑍𝑍

𝑏𝑏′ =𝑋𝑋

sin 𝑌𝑌sin 𝑍𝑍

𝑐𝑐′ =𝑋𝑋

sin 𝑌𝑌sin(𝑌𝑌 + 𝑍𝑍)

𝛾𝛾′ = 180𝑜𝑜 − (𝑌𝑌 + 𝑍𝑍)

Kao što se vidi svi nepoznati parametri izraženi su u funkiciji q merenih veličina. U svakoj geodetskoj mreži mora postojati veza između merenja, kako bi se jedna merenja mogla izraziti u funkciji drugih.



Slika levo predstavlja geodetsku mrežu jer se sve merene veličine u mreži mogu izraziti preko merenih veličina (merene sve dužine). Na slici desno predstavljena figura nije geodetska mreža iako može na prvi pogled da liči jer postoji jedna dužina koja se ne može izraziti u funkciji ostalih merenih dužina (slepi vlak). Zakonska regulativa u oblasti projektovanja geodetskih radova u inženjerstvu:

1. Zakon o planiranju i izgradnji (Službeni glasnik RS, br. 72/09) 2. Zakon o državnom premeru i katastru (Službeni glasnik RS, br. 72/09) 3. Zakon o eksproprijaciji (Službeni glasnik RS, br. 20/2009) 4. Zakon o rudarstvu (Službeni glasnik RS, br. 44/95, 34/06, 104/2009) 5. Zakon o energetici (Službeni glasnik RS, br. 84/2004) 6. Zakon o poljoprivrednom zemljištu (Službeni glasnik RS, br. 62/06 i 65/08 ) 7. Zakon o šumama (Službeni glasnik RS, br. 30/10) 8. Zakon o vodama (Službeni glasnik RS, br. 30/10) 9. Zakon o zaštiti životne sredine(Službeni glasnik RS, br. 36/09) 10. Zakon o zaštiti na radu (Službeni glasnik RS, br. 101/05) 11. Zakon o standardizaciji (Službeni glasnik RS, br. 36/09) 12. Zakon o javnim putevima (Službeni glasnik RS, br. 101/05) 13. PRAVILNICI U INŽENJERSKOJ GEODEZIJI

• Pravilnik o načinu i uslovima za sticanje ovlašćenja za projektovanje i izvođenje geodetskih radova u inženjersko tehničkim oblastima (Službeni glasnik RS, br.59/2002)

• Pravilnik o uslovima, programu i načinu polaganja stučnog ispita u oblasti prostornog i urbanističkog planiranja, izrade tehničke dokumentacije i građenja (Službeni glasnik RS, br. 4/2010 i 21/2010)

• Pravilnik o sadržini, načinu, uslovima, nadzoru i kontroli vršenja geodetskih radova u inženjersko tehničkim oblastima (Službeni glasnik RS, br.59/2002)

• Pravilnik o tehničkim normativima, načinu rada kod izrade tehničke dokumentacije i kontrole izrade tehničke dokumentacije za izvođenje geodetsko tehničkih radova u inženjersko tehničkim oblastima (Službeni glasnik RS, br.59/2002)

• Pravilnik o sadržini i načinu osmatranja tla i objekata u toku građenja i upotrebe (Službeni glasnik RS, br.13/98)

• Pravilnik o katastru vodova (Službeni glasnik RS, br. 63/10) • Pravilnik za osnovne geodetske radove (Službeni glasnik RS, br. 46/99) • Pravilnik o sadržini i načinu vođenja knjige inspekcije i dnevnika

geodetskih radova (Službeni glasnik RS, br. 58/97)



• Pravilnik o načinu vršenja rudarskih merenja (Službeni glasnik RS, br. 40/97)

• Pravilnik o sadržini rudarskih projekata (Službeni glasnik RS, br. 27/97) • Pravilnik o uslovima i načinu vršenja tehničkog pregleda rudarskih

objekata (Službeni glasnik RS, br. 40/97) • Pravilnik o tehničkom osmatranju visokih brana (Službeni list SFRJ, br.

7/66) • Pravilnik o tehničkim merama i uslovima za montažu čeličnih

konstrukcija (Službeni list SFRJ, br. 29/70) • Pravilnik o zaštiti na radu pri izvođenju građevinskih objekata (Službeni

glasnik RS, br. 53/97) • Pravilnik o sadržini i načinu vršenja stručnog nadzora (Službeni glasnik

RS, br. 3/10) • Pravilnik o sadržini i načinu vršenja tehničke kontrole glavnih projekata

(Službeni glasnik RS, br. 13/98) • Pravilnik o sadržini i načinu vršenja tehničkog pregleda objekata i

izdavanje upotrebne dozvole (Službeni glasnik RS, br. 58/97)



TENDER I TENDERSKA DOKUMENTACIJA Zakonom o javnim nabavkama uređuju se uslovi, način i postupak pribavljanj dobara i usluga i ustupanja radova u slučajevima kada je naručilac tih nabavki državni organ, organizacija ili drugo pravno lice određeno ovim zakonom. Zakonu o javnim nabavkama podležu naručioci koji se finansiraju iz budžeta Republike Srbije (državni organi, organizacije i ustanove). Javna nabavka je pribavljanje dobara i usluga ili ustupanje izvođenja radova od strane državnog organa, organizacije, ustanove ili drugih pravnih lica koji se, u smislu Zakona o javnim nabavkama, smatraju naručiocima, na način i pod uslovima propisanim ovim zakonom. Načela javnih nabavki:

1. Načelo ekonomičnosti i efikasnosti upotrebe javnih sredstava Naručilac je dužan da obezbedi da se postupak javne nabavke sprovodi i izbor najpovoljnije ponude vrši u rokovima i na način propisan zakonom i sa što manje troškova vezanih za realizaciju javne nabavke.

2. Načelo obezbeđenja konkurencije među ponuđačima Naručilac ne može da ograniči konkurenciju među ponuđačima, a posebno ne može da onemogućiti bilo kojeg ponuđača da učestvuje u postupku javne nabavke neopravdanom upotrebom pregovaračkog postupka, niti korišćenjem diskriminatornih uslova i kriterijuma.

3. Načelo transparentnosti postupka javne nabavke Oglasi o javnim nabavkama objavljuju se u „Službenom glasniku Republike Srbije“ i na Portalu javnih nabavki na način propisan zakonom. Lice (ovlašćeno lice) koje učestvuje u postupku javne nabavke ima pravo da prilikom otvaranja ponuda izvrši uvid u podatke iz ponude koji se unose u zapisnik o otvaranju ponuda. Lice koje je učestvovalo u postupku javne nabavke ima oravo da izvrši uvid u podatke o sprovedenom postupku javnih nabavki nakon donošenja odluke naručioca, podnošenjem pismenog zahteva u roku od dva dana od dana dostavljanja odluke. Naručilac je dužan da licu koje je podnelo zahtev da izvrši uvid u podatke o sprovedenom postupku javne nabavke omogući uvid u dokumentaciju u roku od dva dana od dana prijema zahteva za uvid.

4. Načelo jednakosti ponuđača Naručilac je dužan da u svim fazama postupka javne nabavke obezbedi jednak položaj svim ponuđačima. Vrste postupaka javnih nabavki:

1. otvoreni postupak 2. restriktivni postupak 3. pregovarački postupak sa objavljivanjem javnog poziva (direktno pogađanje) 4. pregovarački postupak bez objavljivanja javnog poziva (direktno pogađanje) 5. konkurs za nacrte 6. postupak javne nabavke male vrednosti.

Otvoreni postupak je postupak u kojem sva zainteresovana lica mogu da podneti ponude u skladu sa uslovima utvrđenim konkursnom dokumentacijom.



Restriktivni postupak je postupak u kojem u prvoj fazi naručilac priznaje kvalifikaciju podnosiocima prijava na osnovu prethodno određenih uslova, a u drugoj fazi poziva sve podnosioce prijava kojima je priznao kvalifikaciju (kandidati) da podnesu ponudu. Prva faza restriktivnog postupka jednostavno rečeno, predstavlja otvoreni postupak gde se mogu prijaviti svi zainteresovani ponuđači. U drugoj fazi tenderska komisija vrši selekciju onih koji ispunjavaju postavljene uslove (npr. određeni godišnji obrt sredstava, firma mora da ima određeni broj licenciranih inženjera, razne bankarske garancije itd.), nakon čega sledi podnošenje ponuda. Direktno pogađanje nastaje u slučajevima kada je u drugoj fazi restriktivnog pogađanja prispela neispravna konkursna dokumentacija, neprihvatljive ponude, ili uopšte nije bilo ponuda. Takođe, kada priroda radova zahteva pribegava se direktnom pogađanju, hitni poslovi (npr. pukne vodovodna cev, nema vremena za ceo postupak raspisivanja tendera). Konkurs za nacrte predstavlja javnu nabavku usluga koju naručilac sprovodi u oblastima urbanističkog planiranja, arhitekture, građevinarstva, inženjerstva, dizajna i informatika. Nacrt, plan ili dizajn bira nezavisni žiri. Konkurs je anoniman i može se sprovoditi samostalno ili kao sastavni deo drugog postupka javne nabavke. Javna nabavka male vrednosti jeste nabavka dobara, usluga ili radova čija je procenjena vrednost, na godišnjem nivou, niža od vrednosti određene u zakonu kojim se uređuje godišnji budžet Republike Srbije. Ministar nadležan za poslove finansija uređuje postupak javne nabavke male vrednosti. Poslovi iz oblasti geodezije najčešće podležu javnim nabavkama malih vrednosti. Naručilac može da pokrene postupak javne nabavke ako je nabavka predviđena u godišnjem planu nabavki i ako su za tu nabavku predviđena sredstva u budžetu Republike Srbije, teritorijalne autonomije, lokalne samouprave ili u finansijskom planu naručioca. Nakon ispunjenja uslova za raspisivanje javne nabavke (tendera) formira se tenderska komisija koja se sastoji od najmanje 3 člana. Jedan od članova je obavezno pravne struke zbog poznavanja zakona i propisa, a dvojica su stručnjaci iz oblasti za koju se raspisuje tender. Zadatak tenderske komisije je da sastaviti tendersku dokumentaciju, navede obavezne elemente ponude, uslove koje ponuđač mora da ispuni (dozvola za rad, godišnji obrt sredstava itd.), način popunjavanja dokumentacije, način bodovanja. U „Službenom glasniku“ mora biti objavljen ugovor o javnim nabavkama, kao i odustajanje od javne nabavke. Tenderski postupak: Tenderska komisija prilikom sastavljanja tenderske dokumentacije definiše datum, odnosno rok za podizanje tenderske dokumentacije. Takođe, definiše se i datum za predavanje ponuda. Nakon prijema svih ponuda pristiglih do naznačenog datuma, tenderska komisija pristupa javnom otvaranju ponuda.. Otvaranju ponuda može da prisustvuje samo ovlašćeno lice ponuđača (direktor mora da donese potvrdu, a ostali ovlašćenja da zastupaju firmu). Direktno na licu mesta komisija proverava validnost dokumentacije. Prilikom otvaranja ponude pravo da komentariše ima samo ovlašćeno lice ponuđača čija se ponuda otvara u tom trenutku. Minimalan broj ponuda je tri. Nakon otvaranja i provere validnosti podnete tenderske dokumentacije, komisija se povlači i vrši bodovanje. Komisija u roku od tri dana mora da donese odluku i obavesti ponuđače. Ukoliko ponuđači smatraju da su im narušena prava imaju rok od 8 dana od objavljivanja odluke komisije da podnesu zahtev za zaštitu prava. Prilikom bodovanja ponuda dva faktora su odlučujuća, i to:



• cena (70 pondera) • rok (30 pondera)

Postoje i neki drugi kriterijumi kao što je na primer, kvalitet ali su retkost što se tiče poslova iz oblasti geodezije. Način računanja bodova je sledeći:

• kriterijum cena 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ž𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝đ𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎∙ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝 𝑧𝑧𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑝𝑝

• kriterijum rok 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑎𝑎ć𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝đ𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛

∙ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝 𝑧𝑧𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛

Zavisno od vrste radova nekad će rok biti presudni faktor pri bodovanju, a nekad ne. Na primer, prilikom remonta turbina rok će predstavljati primarni faktor pri izboru optimalne ponude, dok prilikom izgradnje stambene zgrade rok neće igrati presudnu ulogu. Primer: Izvršiti bodovanje dve ponude, pri čemu cena nosi 70 pondera a rok 30. Podaci vezani za ponude dati su u sledećoj tabeli:

Ponuđač Cena [RSD] Rok [mesec] 1 1 000 000,00 6 2 1 500 000,00 2

Ponuđač Računanje bodova za cenu Računanje bodova za rok Ukupan broj bodova

1 1 000 000,001 000 000,00

∙ 70 = 70

26

∙ 30 = 10

80

2 1 000 000,001 500 000,00

∙ 70 = 46,7

22

∙ 30 = 30

76,7

S obzirom da je cena presudni faktor kod ove konkretne javne nabavke, pri ponuđač je „pobedio“ na tenderu. Napomena: Privatna preduzeća ne podležu zakonu o javnim nabavkama.



PROJEKTOVANJE GEODETSKIH RADOVA U INŽENJERSTVU Ukupan rad oko kompletiranja potrebne dokumentacije za gradnju nekog objekta naziva se projektovanje, a sva potrebna dokumentacija čini jednu celinu koja se naziva projekat tog objekta. Dijagram toka projektovanja i zakonom definisane vrste projekata u inženjerstvu prikazane su na sledećoj slici:

Generalni projekat sadrži podatke o:

• studiji opravdanosti i prethodnoj studiji opravdanosti • makrolokaciji objekta • opštoj dispoziciji objekta • tehničko-tehnološkoj koncepciji objekta • načinu obezbeđenja infrastrukture • mogućim varijantama prostornih i tehničkih rešenja sa stanovišta uklapanja u

prostor • prirodnim uslovima • proceni uticaja na životnu sredinu • istražnim radovima za izradu idejnog projekta • zaštituti prirodnih i nepokretnih kulturnih dobara • funkcionalnosti i racionalnosti rešenja.

Zadatak geodezije u ovoj fazi projektovanja je priprema topografkih podloga za generalno izučavanje područja planiranog za izgradnju. Idejni projekat sadrži:

• opšte podatke o projektu sa pratećom dokumentacijom • projektni zadatak • tehnički izveštaj o prethodnim radovima • idejno rešenje geodetskih radova • kompletna rešenja i osnove svih tehničkih rešenja • određenost objekta u prostoru

osnova



karakteristične preseke konstrukcije građevina obim radova namena objekta tehnički opis i planiranu investicionu vrednost objekta

• podaci o uporednoj analizi varijantnih tehničkih rešenja sa stanovišta svojstva tla, funkcionalnosti, stabilnosti, proceni uticaja na životnu sredinu, prirodnim i nepokretnim kulturnim dobrima, racionalnosti izgradnje i eksploatacije, visini troškova izgradnje, transporta, održavanja, obezbeđenja energije i drugih troškova.

Takođe, u ovoj fazi projektovanja geodezija obezbeđuje i karte krupnih razmera (1:5000 i 1:10 000) i situacione planove (1:2500 i 1:1000). U fazi idejnog projekta projektuje se i geodetska mreža koja se koristi prilikom eksproprijacije u pojasu izgradnje planiranog objekta, ako je to predviđeno projektom. Idejni projekat ide na usvajanje organu koji je raspisao tender. Glavni projekat izrađuje se za potrebe građenja objekta i pribavljanja građevinske dozvole. Glavni projekat je skup međusobno usklađenih projekata, kojima se daje tehničko rešenje objekta, lokacija u prostoru i dokazuje ispunjenost scih bitnih zahteva i tehničkih specifikacija za objekat. U zavisnosti od namene i tehničke strukture i složenosti objekta, glavni projekat ima više projekata:

• građevinsko-arhitektonski • elektrotehnički • mašinski • geodetski • i druge.

Uopšteno, glavni projekat sadrži: • definisan projektni zadatak • razradu tehničko-tehnoloških karakteristika objekta sa opremom i instalacijama • proračun građevinskih konstrukcija, stabilnosti i sigurnosti objekta – statika

objekta • geotehnički, mašinski i drugi radovi • rešenja temelja objekta i postrojenja • tehnička rešenja infrastrukture sa načinom priključenja i uređenja okolnog

prostora • uslovi zaštite susednih objekata i zaštita životne sredine • svi geodetski radovi – Projekat geodetskih radova (mreža, obeležavanje i

kontrola) Glavni geodetski projekat sadrži:

• opštu dokumentaciju • projektni zadatak • osnove za izradu projekta • tehnički izveštaj • podatke o organizaciji geodetskih radova • dinamiku izvođenja radova • predmer i predračun • priloge

o grafički deo



o numerički deo Projekat izvedenog stanja izrađuje se za potrebe pribavljanja upotrebne dozvole, korišćenja i održavanja objekta. Izrađuje se za sve objekte za koje se pribavlja građevinska dozvola u skladu sa zakonom o planiranju i izgradnji. Projekat izvedenog stanja je glavni projekat sa izmenama nastalim u toku građenja objekta. Ovaj projekat ne podleže tehničkoj kontroli, osim u slučajevima kada se izrađuje za potrebe legalizacije objekta. Uslučaju da u toku građenja objekta nije odstupljeno od glavnog projekta, investitor, lice koje vrši stručni nadzor i i izvođač radova potvrđuju i overavaju na glavnom projektu da je izvedeno stanje jednako projektovanom stanju. Uz projekat izvedenog stanja prilažu se:

• tehnički izveštaj o realizaciji radova iz glavnog projekta • elaborat originalnih geodetskih merenja

Lokacijska, građevinska i upotrebna dozvola predstavljaju upravne akte koji se izdaju investitoru u različitim fazama izgradnje objekta od strane državnog organa nadležnog za poslove urbanizma.

Geodetski radovi u toku izgradnje objekta

1. Obezbeđenje podloga za različite nivoe projektovanja (postojeće karte i situacioni planovi, snimanje za posebne potrebe)

2. Rešavanje imovinsko-pravnih odnosa – projekat eksproprijacije 3. Projekat osnovne mreže 4. Realizacija projekta osnovne mreže 5. Povezivanje objekta i osnovne mreže 6. Analitička razrada projekta 7. Projekat obeležavanja 8. Obeležavanje i kontrola geometrije 9. Deformaciona analiza (monitoring objekta u toku eksploatacije)

Cilj geodetskih radova u inženjerstvu:

• prostorno lociranje objekta • obezbeđivanje geometrije objekta u granicama tolerancije date projektom

DELOVI PROJEKTA: 1. Opšta dokumentacija 2. Projektni zadatak 3. Osnove za izradu projekta 4. Tehnički izveštaj 5. Prilozi

Opšta dokumentacija sadrži:

• Izvod iz upisa geodetske organizacije u sudski registar • Odluku o imenovanju odgovornog projektanta (u skladu sa zakonskim

normativima, Službeni glasnik 59/2002) • Izjavu odgovornog projektanta da će po zakonu vršiti svoje dužnosti



• Potvrda da odgovorni projektant i vršilac unutrašnje kontrole mogu da vrše poslove u oblasti projektovanja geodetskih radova u inženjerstvu (licence Inženjerske komore)

• Izveštaj o izvršenoj unutrašnjoj kontroli (potpisuje vršilac unutrašnje kontrole) Projektni zadatak predstavlja pisani dokument koji definiše investitor, i ujedno je polazna osnova za izradu projekta. Sadržaj projektnog zadatka zavisi od konkretnog objekta, ali svaki projektni zadatak trebalo bi da sadrži sledeće celine:

• Uvod (uopšteno o karakteristikama objekta, povod za realizaciju geodetskih radova, predmet i cilj geodetskih radova, građevinska tolerancija, namena mreže, obuhvat projekta, šta je od dokumentacije dostupno projektantu)

• Zahtevi i ograničenja (zahtevana tačnost, ograničenja u pogledu organizacije, dinamike i tehnologije izvođenja radova, zahtevi u pogledu standarda, zahtevi u pogledu načina prezentacije rezultata)

• Pravni osnov (zakoni, uredbe i pravilnici; odluke, programi radova i druga obavezujuća akta)

• Rokovi (rok za izradu projektne dokumentacije, rok za realizaciju geodetskih radova)

U praksi često ne dobijamo projektni zadatak od investitora, već moramo sami da ga napišemo. Osnove za izradu projekta. U ovom delu projektne dokumentacije navodi se šta je dobijeno od investitora. Za izradu projekta neophodno je da projektant ima na raspolaganju:

• podlogu sa osnovom objekta • raspored tačaka postojeće mreže (lociranje nove mreže, početna tačka nove

mreže je neka od tačaka postojeće mreže) • projekat objekta • podatke o organizaciji gradilišta.

Tehnički izveštaj sadrži: osnove podatke o objektu, postojećoj i novoprojektovanoj mreži sa načinom stabilizacije tačaka, planom opažanja, proračunom mera kvaliteta osnovne mreže i proračunom tačnosti položaja tačaka. O elementima tehničkog izveštaja biće više reči u narednim poglavljima o projektovanju osnovne 2D i 1D mreže. Prilozi se sastoje od grafičkog i numeričkog dela. TOLERANCIJA Tolerancija je veličina za koju može bit poremećena geometrija objekta a da nije ugrožena njegova stabilnost i funkcionalnost.



Tolerancija T nema veze sa verovatnoćom. Polovina tolerancije predstavlja dozvoljeno odstupanje ∆. Toleranciju definišu građevinski stručnjaci i investitor je daje u projektnom zadatku. Tolerancija sadrži dva izvora grešaka:

• građevinski deo greške • geodetski deo greške • greška izvođenja elementa ako se montira gotov deo konstrukcije (opciono)

𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝑇𝑇𝑔𝑔𝑔𝑔𝑜𝑜𝑔𝑔

Dozvoljena odstupanja 𝚫𝚫 = 𝑻𝑻𝟐𝟐 Vrsta radova ∆ [cm]

Zemljani radovi 5-6 Beton 2 Čelik 0,5-1

Staklo 0,1-0,3 Prilikom proračuna tačnosti izvođenja geodetskih radova (obeležavanja objekta) uvek koristimo princip zanemarljivosti. U projektnom zadatku najčešće je dato upravo dozvoljeno odstupanje. GEODETSKA MREŽA OBJEKTA U inženjerstvu se često koriste različiti nazivi za geodetsku mrežu objekta, i to:

• mreža posebne (specijalne) namene • kontrolna mreža ( termin iz deformacione analize) • geodetska mreža objekta • mikrotrigonometrijska mreža (termin je ostao iz vremena kada su u mreži

mereni samo pravci) Geodetska mreža objekta se sastoji od:

• tačaka osnovne mreže • tačaka na objektu.

Zajedno tačke osnovne mreže i tačke na objektu čine celinu koja predstavlja kontrolnu mrežu i koristi se u deformacionoj analizi i kontroli geometrije. Razlika između deformacione analize i kontole geometrije ogleda se u činjenici da se prilikom deformacione analize ocene koordinata iz tekuće epohe upoređuju sa stanjem nulte epohe, a kod kontrole geometrije upoređivanje se vrši sa projektovanim stanjem. DEFINICIJA GEODETSKE MREŽE: Geodetska mreža predstavlja skup n geodetskih merenja, u nepoznatih parametara i c konstanti, gde se iz skupa merenja može izdvojiti q merenih veličina, pri čemu je q<n i sve merene veličine se mogu izraziti u funkciji tih q merenih veličina. Namena osnovne mreže:

• definiše matematičku osnovu za prostorno lociranje objekta • obeležavanje objekta • kontrola geometrije (osnovna mreža se dopunjuje tačkama na objektu)



• monitoring objekta / deformaciona analiza (osnovna mreža se dopunjuje tačkama na objektu)

Podela osnovne mreže:

• osnovna 1D mreža • osnovna 2D mreža

Podela na osnovnu 1D i 2D mrežu vrši se iz praktičnih razloga. Jedan od njih se ogleda u činjenici da se zahteva veća preciznost osnovne 1D mreže, a drugi je nemogućnost zajedničkog izravnanja (𝜎𝜎𝑜𝑜 prilikom izravnanja 2D mreža je bezdimenziona veličina, a kod 1D mreža nije). Defekt mreže je broj koji pokazuje koliko parametara definiše koordinatni sistem u kome se mreža nalazi. Defekt mreže zavisi od vrste merenih veličina u mreži.

TIP MREŽE MERENI ELEMENTI U MREŽI DEFEKT

MREŽE ELEMENTI KOJI ČINE

DEFEKT MREŽE 1D visinske razlike 1 visina 1 tačke (translacija)

2D

a) uglovi 4 koordinate 1 tačke, razmera i orijentacija

b) dužine (ili dužine i uglovi) 3 koordinate 1 tačke i orijentacija

c) dužine (ili dužine i uglovi) i azimuti (orijentacije) 2 koordinate 1 tačke

d) koordinatne razlike (GPS) 2 koordinate 1 tačke

3D

e) dužine (ili dužine i uglovi) 6 koordinate 1 tačke i orijenatcija u trima

ravnima

f) uglovi 7 koordinate 1 tačke,

razmera i orijenatcija u trima ravnima

X koordinata definiše rotaciju sistema, a Y koordinata razmeru sistema.

Rang mreže je razlika broja nepoznatih veličina i defekta mreže. Rang mreže je ustvari rang matrice dizajna, tj. matrice A.

𝑝𝑝 = 𝑝𝑝(𝐴𝐴) = 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 gde je:



u – broj nepoznatih d – defekt mreže (nedostajući parametri kojima se mreža definiše po obliku, veličini i položaju). Ako je 𝑝𝑝 < 𝑝𝑝 (postoji defekt mreže) matrica A je sa nepotpunim rangom kolona. Datum mreže su nedostajući parametri za definisanje mreže po obliku, veličini i položaju. Ako se parametri datuma definišu proizvoljno reč je o slobodnim mrežama. Ako se parametri datuma dobijaju merenjem tada je reč o neslobodnim mrežama. Oblik mreže, plan opažanja i tačnost merenja zavise od:

• karakteristika objekta • konfiguracije terena • zahtevane tačnosti.

Prilikom projektovanja geodetskih mreža treba uvek težiti pravilnim figurama. U slučajevima kada je mreža atipična, trebalo bi ubaciti i neku dodatnu tačku i dodatna merenja radi kontrole i učvršćenja mreže.

Takođe, prilikom merenja u mreži uvek je potrebno uglovnu grešku preračunati u linearnu kako bi imali bolju predstavu o tome koliku grešku pravimo. Npr. uglovna greška od 1“ na 200 m proizvodi linearnu grešku od 1 mm. Ista veličina linearne greške se dobija i ako na 20 m napravimo uglovnu grešku od 10“.

sin 1" =𝑥𝑥𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙.𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔š𝑘𝑘𝑘𝑘

200 𝑚𝑚⟹

𝑥𝑥𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙.𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔š𝑘𝑘𝑘𝑘 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚

Po obliku mreže mogu biti:

• geodetski četvorougao • dvostruki cetvorougao • lanac četvorouglova (mostovi) • lanac trouglova • mreža trouglova • centralni sistem (visoki objekti)



Prilikom projektovanja mreža za visoke objekte mora se voditi računa da se mreža isprojektuje tako da se mogu obeležiti i tačke iskopa i tačke na objektu. Često se ovakve mreže projektuju iz prstenova. Minimalno udaljenje od objekta bi trebalo da bude jednako polovini visine objekta ( Z=45o ).



PROJEKAT OSNOVNE 2D MREŽE

Osnovni algoritam prilikom izrade projekta osnovne 2D mreže: • Definisanje kriterijuma • Definisanje broja i rasporeda tačaka mreže (geometrija mreže) • Definisanje broja i vrste merenih veličina • Definisanje tačnosti merenja (merenih veličina) • Proračun tačnosti • Validacija projekta (upoređenje vrednosti dobijenih proračunom tačnosti sa

zadatim kriterijumima) • Usvajanje plana opažanja i rasporeda tačaka • Razrada tehničkih uslova za realizaciju merenja koji podrazumevaju kriterijume za

praćenje i kontrolu merenja, izbor instrumenata i pribora, definisanje uslova pri merenju, sastav ekipe itd.

Definisanje kriterijuma Na osnovu tolerancije T koja se sastoji iz dva dela (dve greške) Tgr i Tgeod dolazimo do veličine dozvoljenog odstupanja ∆ (polovina vrednosti tolerancije). Greška geodetskog obeležavanja tačke treba da bude zanemarljiva u odnosu na dozvoljeno odstupanje (1/3 ∆). Greška obeležavanja se sastoji od:

• greške datih veličina • greške odmeranja • greške fiksiranja (materijalizacije tačke)

Izbacivanje greške datih veličina umnogome olakšava rad, i da bi se to postiglo onda i ova greška mora biti zanemarljiva u odnosu na grešku obeležavanja (1/3 greške obeležavanja), odnosno dozvoljeno odstupanje ∆ (1/9 ∆). U kontrolnim mrežama u deformacionoj analizi zadatak geodete je da otkrije 1/5 veličine odstupanja. Na primer, ukoliko se zahteva da se otkriju vektori pomeranja preko 2 mm potrebno je otkriti veličinu od 0,4 mm. Mere preciznosti Prilikom projektovanja mreža teži se homogeno-izotropnim mrežama. Homogenost podrazumeva da sve tačke imaju istu položajnu tačnost što se ostvaruje tačnošću merenih veličina, planom opažanja i izborom datuma mreže. Izotropnost mreže podrazumeva da su elipse grešaka što bliže krugovima. Uslov izotropnosti glasi : 𝑎𝑎 ∶ 𝑏𝑏 = 2 ∶ 1 , (𝑎𝑎 = 2𝑏𝑏), gde je a velika poluosa elipse, b mala poluosa elipse. Kriterijum izotropnosti moguće je zadovoljiti pažljivim izborom plana opažanja i dizajnom mreže. Mere pouzdanosti Minimalna vrednost lokalne mere unutrašnje pouzdanosti kod 2D mreža treba da iznosi 0,3 (𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙 ≥ 0,3). Lokalna mera unutrašnje pouzdanosti predstavlja uticaj greške i-tog merenja na i-tu popravku. U slučaju da je 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙 = 0,3 zaključujemo da se 30 % greške zadržalo u popravci merenja ii, dok je 70 % zagadilo popravke ostalih merenih veličina. Povećanjem tačnosti merenja povećava se unutrašnja poudanost.



Globalna mera unutrašnje pouzdanosti definiše se na osnovu broja merenih i nepoznatih veličina u mreži, i defekta mreže.

𝑛𝑛 − 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝𝑛𝑛

≥ 0,3 Vrednost marginalne grube greške, odnosno donja granica grube greške koja se može otkriti data snooping testom treba da bude manja od 5σi ili 7 σi (σi predstavlja standard merenja). ************************ZANIMLJIVA GEODEZIJA ********************************** *********************************************************************************** Pri p = 95 % izvor grešaka se može zanemariti ako na ukupnu grešku utiče manje od 5 %. Princip zanemarljivosti I izvor grešaka II izvor grešaka 10 mm 3 mm Ukupna greška = 10, 44 mm Razlika između ukupne greške i greške prvog izvora (dominantnog) je 0,44 mm što je manje od 5% I izvora grešaka, iz čega proizilazi da je uticaj II izvora grešaka zanemarljiv u odnosu na prvi. **********************************************************************************************



********************************************************************************** Standardno odstupanje razlike

𝑝𝑝𝑙𝑙 = 𝑋𝑋𝑙𝑙 − 𝑋𝑋𝑜𝑜 𝜎𝜎𝑔𝑔𝑖𝑖

2 = 𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖2 + 𝜎𝜎𝑋𝑋0

2 Primenom principa jednakih uticaja 𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖

2 = 𝜎𝜎𝑋𝑋02 dobija se

𝜎𝜎𝑔𝑔𝑖𝑖 = 𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖 ∙ √2 **************************************************************************************** Standardno odstupanje aritmetičke sredine

𝑋𝑋� =1𝑛𝑛

� 𝑋𝑋𝑙𝑙

𝑋𝑋� =𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋3 + ⋯ + 𝑋𝑋𝑙𝑙

𝑛𝑛

Princip jednakih uticaja

𝜎𝜎𝑋𝑋�2 =

𝑛𝑛 ∙ 𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖2

𝑛𝑛2 =𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖

2

𝑛𝑛

𝜎𝜎𝑋𝑋� =𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖

√𝑛𝑛

**************************************************************************************** Zašto standardizovana studentova raspodela ima parametre raspodele 0 i 1?

𝑋𝑋𝑙𝑙 − 𝐴𝐴𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖

~𝑁𝑁(0,1)

A – istinita vrednost Dokaz:

𝑀𝑀 �𝑋𝑋𝑙𝑙 − 𝑀𝑀(𝑋𝑋𝑙𝑙)

𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖

� =𝑀𝑀(𝑋𝑋𝑙𝑙) − 𝑀𝑀(𝑋𝑋𝑙𝑙)


= 0

𝐷𝐷 �𝑋𝑋𝑙𝑙 − 𝑀𝑀(𝑋𝑋𝑙𝑙)


� =1

𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖2 ∙ 𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖

2 = 1

**************************************************************************************** Na koji način vrste merenih veličina kontrolišu položaj tačke? Pravac kontroliše položaj tačke po gradijentu, a dužina po pravcu.



************************************************************************************************************************************************************************************ Definisanje broja i rasporeda tačaka u mreži Prilikom planiranja rasporeda tačaka u mreži treba voditi računa o sledećim zahtevima:

• svaka tačka mreže treba da se dogleda sa minimum dve susedne tačke mreže • svaka tačka objekta mora da se obeleži sa minimum dve tačke mreže • tačke osnovne mreže postavljaju se na stabilnom terenu • tačke osnovne mreže moraju uvek biti dostupne i mora se obezbediti da ne budu

uništene tokom izgradnje objekta za šta je neophodno poznavati organizaciju gradilišta

• visoko tačno obeležavanje tačke izvodi se sa minimum tri tačke osnovne mreže Napomena: Obeležavanje tačaka u zavisnosti od zahtevane tačnosti izvodi se na jedan od sledeća tri načina:

1. Obeležavanje sa običnom tačnošću – u jednom položaju durbina odmeraju se ugao(pravac) i dužina (polarna metoda).

2. Precizno obeležavanje – u dva položaja durbina ili sa dve stanice, položaj tačke nalazi se iz aritmetičke sredine iz dva odmeranja (položaja durbina). Prilikom obeležavanja iznad projektovane tačke fiksira se planšeta i na njoj se obeležava odmeranje prvo u jednom, pa u drugom položaju durbina i određuje konačan položaj tačke iz aritmetičke sredine odmeranja.

3. Visoko precizno obeležavanje. Prvi korak kod visoko preciznog obeležavanja predstavlja obeležavanje tačke sa običnom tačnošću. Kad je tačka obeležena običnom tačnošću fiksira se planšeta i na pariru obeleži položaj obeležene tačke. Planšeta se obično fiksira na tri kočića koji se pobijaju oko približnog položaja projektovane tačke. Nakon toga, vrše se opažanja u mreži koja sad uključuje pored okolnih tačaka osnovne mreže i novoobeleženu tačku. Nakon izravnanja dobijaju se ocenjene koordinate projektovane tačke koje se upoređuju sa projektovanim i računaju se koordinatne razlike. Sledeći korak predstavlja materijalizacija koordinatnog sistema na planšeti kako bi se moglo izvršiti nanošenje koordinatnih razlika i definitivno obeležavanje položaja projektovane tačke. Iznad projektovane tačke postavi se instrument, navizira se tačka mreže, iz koordinata se sračuna direkcioni ugao. Kad se od merenog pravca oduzme vrednost direkcionog ugla (u



smeru suprotnom od kretanja kazaljke na časovniku) dobija se pravac X ose. Kada je na planšeti materijalizovan pravac X ose i pravac Y ose (upravan na X osu) nanose se koordinantne razlike i materijalizuje položaj projektovane tačke.

Definisanje broja i vrste merenih veličina Na osnovu globalne mere unutrašnje pouzdanosti �̅�𝑝 ≥ 0,3 moguće je sračunati broj merenih veličina u mreži.

�̅�𝑝 =𝑛𝑛 − 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝

𝑛𝑛 ⇒ 𝑛𝑛 =

𝑝𝑝 − 𝑝𝑝1 − �̅�𝑝

gde su poznate veličine: u – broj nepoznatih veličina u mreži d – defekt mreže. Primer: Sračunati broj merenih veličina u mreži koja se sastoji do 10 tačaka, pri čemu se u mreži mere samo dužine. u =20 d = 3 ⇒ 𝑛𝑛 = 𝑢𝑢−𝑔𝑔

1−�̅�𝑔= 20−3

1−0,3= 25

Vrste merenja u mreži:

• terestrička merenja (uglovi i dužine) • GPS merenja (obično se mere samo dužine na velikim rastojanjima)

Funkcije veze i jednačine popravaka Nakon definisanja plana opažanja prelazi se na formiranje matrice dizajna A. Kako bi sračunali koeficijente matrice A neophodno je da poznajemo funkcije veze i jednačine popravaka za merene pravce i dužine (2D mreža) i visinske razlike (1D mreža).

• Mereni pravci

Funkcija veze:

𝛼𝛼�𝑔𝑔𝑙𝑙 = 𝛼𝛼𝑔𝑔𝑙𝑙 + 𝑣𝑣𝑔𝑔𝑙𝑙 = 𝐹𝐹�𝑋𝑋�𝑔𝑔 , 𝑌𝑌�𝑔𝑔 , 𝑋𝑋�𝑙𝑙 , 𝑌𝑌�𝑙𝑙 , �̂�𝑍𝑔𝑔 � = 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑌𝑌�𝑙𝑙 − 𝑌𝑌�𝑔𝑔

𝑋𝑋�𝑙𝑙 − 𝑋𝑋�𝑔𝑔+ �̂�𝑍𝑔𝑔



𝑋𝑋�𝑔𝑔 = 𝑋𝑋𝑜𝑜𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑔𝑔 𝑌𝑌�𝑔𝑔 = 𝑌𝑌𝑜𝑜𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑔𝑔 𝑋𝑋�𝑙𝑙 = 𝑋𝑋𝑜𝑜𝑙𝑙 + 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑙𝑙 𝑌𝑌�𝑙𝑙 = 𝑌𝑌𝑜𝑜𝑙𝑙 + 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑙𝑙 �̂�𝑍𝑔𝑔 = 𝑍𝑍𝑜𝑜𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑍𝑍𝑔𝑔 Vrednost orijentacionog ugla �̂�𝑍𝑔𝑔 računa se za svaku stanicu sa koje su mereni pravci. Linearizacija (nelinarne f-je) Tejlorovim redom:

𝛼𝛼𝑔𝑔𝑙𝑙 + 𝑣𝑣𝑔𝑔𝑙𝑙 = 𝐹𝐹(𝑋𝑋𝑜𝑜𝑔𝑔 , 𝑌𝑌𝑜𝑜𝑔𝑔 , 𝑋𝑋𝑜𝑜𝑙𝑙 , 𝑌𝑌𝑜𝑜𝑙𝑙 , 𝑍𝑍𝑜𝑜𝑔𝑔) +𝜕𝜕𝐹𝐹

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑜𝑜𝑔𝑔𝑝𝑝𝑋𝑋𝑜𝑜𝑔𝑔 +

𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑌𝑌𝑜𝑜𝑔𝑔

𝑝𝑝𝑌𝑌𝑜𝑜𝑔𝑔 +𝜕𝜕𝐹𝐹𝑋𝑋𝑜𝑜𝑙𝑙

𝑝𝑝𝑋𝑋𝑜𝑜𝑙𝑙 +𝜕𝜕𝐹𝐹𝑌𝑌𝑜𝑜𝑙𝑙

𝑝𝑝𝑌𝑌𝑜𝑜𝑙𝑙

+𝜕𝜕𝐹𝐹𝑍𝑍𝑜𝑜𝑔𝑔

𝑝𝑝𝑍𝑍𝑜𝑜𝑔𝑔

ili 𝛼𝛼𝑔𝑔𝑙𝑙 + 𝑣𝑣𝑔𝑔𝑙𝑙 = 𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑜𝑜 + 𝑝𝑝𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙 + 𝑧𝑧𝑔𝑔𝑜𝑜 + 𝑝𝑝𝑧𝑧𝑔𝑔

𝑧𝑧𝑔𝑔𝑜𝑜 =

1𝑛𝑛

�(𝛼𝛼𝑔𝑔𝑙𝑙 − 𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 ) ; 𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑜𝑜 = 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑦𝑦𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑦𝑦𝑔𝑔𝑜𝑜

𝑥𝑥𝑙𝑙𝑜𝑜 − 𝑥𝑥𝑔𝑔

𝑜𝑜

�̂�𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙 = 𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 + 𝑝𝑝𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑎𝑎𝑎𝑎𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 =

𝑦𝑦𝑙𝑙𝑜𝑜 − 𝑦𝑦𝑔𝑔

𝑜𝑜


𝑜𝑜 (∗)

Diferenciranjem izraza (*) sledi

1𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑜𝑜 𝑝𝑝𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 =


𝑜𝑜

(𝑥𝑥𝑙𝑙𝑜𝑜 − 𝑥𝑥𝑔𝑔

𝑜𝑜)2 ∙ 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑔𝑔 −𝑝𝑝𝑌𝑌𝑔𝑔


𝑜𝑜 −𝑦𝑦𝑙𝑙



𝑜𝑜)2 ∙ 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑙𝑙 +𝑝𝑝𝑌𝑌𝑙𝑙


𝑜𝑜 /∗ 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜

𝑝𝑝𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 =

(𝑦𝑦𝑙𝑙𝑜𝑜 − 𝑦𝑦𝑔𝑔

𝑜𝑜) ∙ 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜


𝑜𝑜)2 ∙ 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑔𝑔 −𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑜𝑜


𝑜𝑜 ∙ 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑔𝑔 −(𝑦𝑦𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑦𝑦𝑔𝑔𝑜𝑜) ∙ 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑜𝑜


𝑜𝑜)2 ∙ 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑙𝑙 +𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑜𝑜


𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑙𝑙

sin 𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 =


𝑜𝑜

𝐷𝐷𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 cos 𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑜𝑜 =𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑥𝑥𝑔𝑔𝑜𝑜

𝐷𝐷𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜

𝑝𝑝𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙 = 𝑎𝑎𝑔𝑔𝑙𝑙 ∙ 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑔𝑔 + 𝑏𝑏𝑔𝑔𝑙𝑙 ∙ 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑔𝑔 + 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑔𝑔 ∙ 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑙𝑙 + 𝑏𝑏𝑙𝑙𝑔𝑔 ∙ 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑙𝑙 gde je:

𝑎𝑎𝑔𝑔𝑙𝑙 = �𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑋𝑋𝑔𝑔

�𝑜𝑜

=𝑦𝑦𝑙𝑙



𝑜𝑜)2 ∙ 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 =


𝑜𝑜


𝑜𝑜)2 ∙(𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑥𝑥𝑔𝑔𝑜𝑜)2

(𝐷𝐷𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 )2 =

sin 𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜

𝐷𝐷𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 ∙ 𝜌𝜌"

𝑏𝑏𝑔𝑔𝑙𝑙 = �𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑌𝑌𝑔𝑔

�𝑜𝑜

= −1


𝑜𝑜 ∙ 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 = −

1𝑥𝑥𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑥𝑥𝑔𝑔𝑜𝑜 ∙


𝑜𝑜)2

(𝐷𝐷𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 )2 = −

cos 𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜

𝐷𝐷𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜 ∙ 𝜌𝜌"

𝑎𝑎𝑙𝑙𝑔𝑔 = �𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑋𝑋𝑙𝑙

�𝑜𝑜

= −𝑎𝑎𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑏𝑏𝑙𝑙𝑔𝑔 = �𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑌𝑌𝑙𝑙

�𝑜𝑜

= −𝑏𝑏𝑔𝑔𝑙𝑙

Jednačina popravaka merenog pravca glasi: 𝑣𝑣𝛼𝛼𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑔𝑔𝑙𝑙 ∙ 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑔𝑔 + 𝑏𝑏𝑔𝑔𝑙𝑙 ∙ 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑔𝑔 + 𝑎𝑎𝑙𝑙𝑔𝑔 ∙ 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑙𝑙 + 𝑏𝑏𝑙𝑙𝑔𝑔 ∙ 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑙𝑙 + 𝑝𝑝𝑍𝑍𝑔𝑔 + 𝑓𝑓𝛼𝛼𝑟𝑟𝑖𝑖 𝑓𝑓𝛼𝛼𝑟𝑟𝑖𝑖 = (𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑜𝑜 + 𝑧𝑧𝑔𝑔𝑜𝑜) − 𝛼𝛼𝑔𝑔𝑙𝑙 = 𝑃𝑃 − 𝑀𝑀



• Merene dužine

Funkcija veze:

�̂�𝑝𝑔𝑔𝑙𝑙 = 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑙𝑙 + 𝑣𝑣𝑔𝑔𝑙𝑙 = ��𝑋𝑋�𝑙𝑙 − 𝑋𝑋�𝑔𝑔�2 + �𝑌𝑌�𝑙𝑙 − 𝑌𝑌�𝑔𝑔�2=

= 𝐹𝐹�𝑋𝑋�𝑔𝑔 , 𝑌𝑌�𝑔𝑔 , 𝑋𝑋�𝑙𝑙 , 𝑌𝑌�𝑙𝑙 �

𝑋𝑋�𝑔𝑔 = 𝑋𝑋𝑜𝑜𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑔𝑔 𝑌𝑌�𝑔𝑔 = 𝑌𝑌𝑜𝑜𝑔𝑔 + 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑔𝑔 𝑋𝑋�𝑙𝑙 = 𝑋𝑋𝑜𝑜𝑙𝑙 + 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑙𝑙 𝑌𝑌�𝑙𝑙 = 𝑌𝑌𝑜𝑜𝑙𝑙 + 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑙𝑙 Linearizacija Tejlorovim redom:

𝑝𝑝𝑔𝑔𝑙𝑙 + 𝑣𝑣𝑔𝑔𝑙𝑙 = 𝐹𝐹(𝑋𝑋𝑜𝑜𝑔𝑔 , 𝑌𝑌𝑜𝑜𝑔𝑔 , 𝑋𝑋𝑜𝑜𝑙𝑙 , 𝑌𝑌𝑜𝑜𝑙𝑙) +𝜕𝜕𝐹𝐹

𝜕𝜕𝑋𝑋𝑜𝑜𝑔𝑔𝑝𝑝𝑋𝑋𝑜𝑜𝑔𝑔 +

𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑌𝑌𝑜𝑜𝑔𝑔

𝑝𝑝𝑌𝑌𝑜𝑜𝑔𝑔 +𝜕𝜕𝐹𝐹𝑋𝑋𝑜𝑜𝑙𝑙

𝑝𝑝𝑋𝑋𝑜𝑜𝑙𝑙 +𝜕𝜕𝐹𝐹𝑌𝑌𝑜𝑜𝑙𝑙

𝑝𝑝𝑌𝑌𝑜𝑜𝑙𝑙

gde je: 𝐹𝐹(𝑋𝑋𝑜𝑜𝑔𝑔 , 𝑌𝑌𝑜𝑜𝑔𝑔, 𝑋𝑋𝑜𝑜𝑙𝑙 , 𝑌𝑌𝑜𝑜𝑙𝑙) = �(𝑋𝑋𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑋𝑋𝑔𝑔𝑜𝑜)2 + (𝑌𝑌𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑌𝑌𝑔𝑔𝑜𝑜)2

𝐴𝐴𝑔𝑔𝑙𝑙 = �𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑋𝑋𝑔𝑔

�𝑜𝑜

=−2(𝑋𝑋𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑋𝑋𝑔𝑔𝑜𝑜)

2�(𝑋𝑋𝑙𝑙𝑜𝑜 − 𝑋𝑋𝑔𝑔

𝑜𝑜)2 + (𝑌𝑌𝑙𝑙𝑜𝑜 − 𝑌𝑌𝑔𝑔

𝑜𝑜)2= −

(𝑋𝑋𝑙𝑙𝑜𝑜 − 𝑋𝑋𝑔𝑔

𝑜𝑜)𝐷𝐷𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑜𝑜 = − cos 𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜

𝐵𝐵𝑔𝑔𝑙𝑙 = �𝜕𝜕𝐹𝐹𝜕𝜕𝑌𝑌𝑔𝑔

�𝑜𝑜

=−2(𝑌𝑌𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑌𝑌𝑔𝑔𝑜𝑜)

2�(𝑋𝑋𝑙𝑙𝑜𝑜 − 𝑋𝑋𝑔𝑔

𝑜𝑜)2 + (𝑌𝑌𝑙𝑙𝑜𝑜 − 𝑌𝑌𝑔𝑔

𝑜𝑜)2= −

(𝑌𝑌𝑙𝑙𝑜𝑜 − 𝑌𝑌𝑔𝑔

𝑜𝑜)𝐷𝐷𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑜𝑜 = − sin 𝜈𝜈𝑔𝑔𝑙𝑙𝑜𝑜

𝐴𝐴𝑙𝑙𝑔𝑔 = −𝐴𝐴𝑔𝑔𝑙𝑙𝐵𝐵𝑙𝑙𝑔𝑔 = −𝐵𝐵𝑔𝑔𝑙𝑙 Jednačina popravaka merene dužine glasi: 𝑣𝑣𝑔𝑔𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑔𝑔𝑙𝑙 ∙ 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑔𝑔 + 𝐵𝐵𝑔𝑔𝑙𝑙 ∙ 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑔𝑔 + 𝐴𝐴𝑙𝑙𝑔𝑔 ∙ 𝑝𝑝𝑋𝑋𝑙𝑙 + 𝐵𝐵𝑙𝑙𝑔𝑔 ∙ 𝑝𝑝𝑌𝑌𝑙𝑙 + 𝑓𝑓𝑔𝑔𝑟𝑟𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑔𝑔𝑟𝑟𝑖𝑖 = 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑙𝑙 = 𝑃𝑃 − 𝑀𝑀

• Merene visinske razlike

∆ℎ = 𝐻𝐻𝑏𝑏 − 𝐻𝐻𝑘𝑘 ∆ℎ� = ∆ℎ𝑀𝑀 + 𝑣𝑣 ∆ℎ𝑀𝑀 + 𝑣𝑣 = 𝐻𝐻�𝑏𝑏 − 𝐻𝐻�𝑘𝑘 𝐻𝐻�𝑏𝑏 = 𝐻𝐻𝑜𝑜𝑏𝑏 + 𝑝𝑝𝐻𝐻𝑏𝑏 𝐻𝐻�𝑘𝑘 = 𝐻𝐻𝑜𝑜𝑘𝑘 + 𝑝𝑝𝐻𝐻𝑘𝑘 ∆ℎ𝑀𝑀 + 𝑣𝑣 = 𝑝𝑝𝐻𝐻𝑏𝑏 − 𝑝𝑝𝐻𝐻𝑘𝑘 + (𝐻𝐻𝑜𝑜𝑏𝑏 − 𝐻𝐻𝑜𝑜𝑘𝑘) 𝑣𝑣 = 𝑝𝑝𝐻𝐻𝑏𝑏 − 𝑝𝑝𝐻𝐻𝑘𝑘 + [(𝐻𝐻𝑜𝑜𝑏𝑏 − 𝐻𝐻𝑜𝑜𝑘𝑘) − ∆ℎ𝑀𝑀] ⇒ 𝑣𝑣 = 𝑝𝑝𝐻𝐻𝑏𝑏 − 𝑝𝑝𝐻𝐻𝑘𝑘 + 𝑓𝑓 Definisanjem matrice Anxu definisan je funkcionalni model (mora biti linearan).



Stohastički model Pretpostavke:

• merenja su nekorelisana/nezavisna • merenja su normalno raspoređena • merenja sadrže samo slučajne greške

𝑀𝑀(𝑣𝑣) = 𝑀𝑀(−𝜀𝜀) = 0

𝐾𝐾𝑙𝑙 = 𝐾𝐾𝑣𝑣 = 𝜎𝜎02 ∙ 𝑄𝑄𝑙𝑙 = 𝜎𝜎0

2 ∙ 𝑃𝑃−1

************************ZANIMLJIVA GEODEZIJA ************************************* ************************************************************************************* Uglovi su korelisani kada se do njih dolazi računskim putem. Korelisanost redukovanih pravaca Greška merenja pravca u 2 položaja durbina iznosi 𝜎𝜎𝜀𝜀 = 5"

𝛼𝛼𝑝𝑝𝑔𝑔�� =𝐾𝐾𝐾𝐾 + 𝐾𝐾𝐷𝐷

2

𝜎𝜎𝜀𝜀2 = 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑝𝑝𝑟𝑟��

2 =14

∙ �2 ∙ 𝜎𝜎𝛼𝛼𝐾𝐾𝐾𝐾2 � =

𝜎𝜎𝛼𝛼𝐾𝐾𝐾𝐾2

2

Redukovani pravci dobijaju se na sledeći način:

𝛼𝛼𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑖𝑖 = 𝛼𝛼𝑝𝑝𝑔𝑔��𝑖𝑖 − 𝛼𝛼𝑜𝑜� ≡ ℎ 𝛼𝛼𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑗𝑗 = 𝛼𝛼𝑝𝑝𝑔𝑔��𝑗𝑗 − 𝛼𝛼𝑜𝑜� ≡ 𝑎𝑎

𝛼𝛼𝑜𝑜� − dovodi do korelisanosti (početni pravac na stanici) Primenom zakona o prenosu grešaka dobija se disperzija redukovanog pravca 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

2 = 2 ∙𝜎𝜎𝜀𝜀

2

𝐾𝐾𝑙𝑙𝑖𝑖 = ℎ𝑇𝑇 ∙ 𝐾𝐾𝑥𝑥 ∙ 𝑎𝑎

ℎ𝑇𝑇 = �𝜕𝜕𝛼𝛼𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑖𝑖

𝜕𝜕𝛼𝛼𝑝𝑝𝑔𝑔��𝑖𝑖

𝜕𝜕𝛼𝛼𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑖𝑖

𝜕𝜕𝛼𝛼𝑝𝑝𝑔𝑔��𝑗𝑗

𝜕𝜕𝛼𝛼𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑖𝑖

𝜕𝜕𝛼𝛼𝑜𝑜�� = [1 0 −1]

𝑎𝑎𝑇𝑇 = �𝜕𝜕𝛼𝛼𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑗𝑗

𝜕𝜕𝛼𝛼𝑝𝑝𝑔𝑔��𝑖𝑖

𝜕𝜕𝛼𝛼𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑗𝑗

𝜕𝜕𝛼𝛼𝑝𝑝𝑔𝑔��𝑗𝑗

𝜕𝜕𝛼𝛼𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑗𝑗

𝜕𝜕𝛼𝛼𝑜𝑜�� = [0 1 −1]

𝐾𝐾𝑥𝑥3x3 = �𝜎𝜎𝜀𝜀

2 0 00 𝜎𝜎𝜀𝜀

2 00 0 𝜎𝜎𝜀𝜀

2� = �

25 0 00 25 00 0 25

�

ℎ𝑇𝑇𝐾𝐾𝑥𝑥 = [1 0 −1] ∙ �25 0 00 25 00 0 25

� = [25 0 −25]

𝐾𝐾𝑙𝑙𝑖𝑖 = ℎ𝑇𝑇 ∙ 𝐾𝐾𝑥𝑥 ∙ 𝑎𝑎 = [25 0 −25] ∙ �01

−1� = 25



𝒓𝒓𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝑲𝑲𝒊𝒊𝒊𝒊

𝝈𝝈𝒊𝒊𝝈𝝈𝒊𝒊=

252 ∙ 𝜎𝜎𝜀𝜀

2 = 0,5

𝑝𝑝𝑙𝑙𝑖𝑖=0,5 – Koeficijent korelacije između redukovanih pravaca i i j ************************************************************************************************************************************************************************************** Definisanje tačnosti merenih veličina Definisanje tačnosti merenih veličina vrši se na osnovu poznatog standardnog odstupanja položaja tačke 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃. Za definisanje tačnosti merenih veličina koriste se dva pristupa. Mana I pristupa je što se dobijaju strogi kriterijumi koje je teško ostvariti, pa u tom slučaju koristimo II pristup.

• Pravci o I PRISTUP

Na osnovu poznavanja dužine vizure (iz približnih koordinata) između dve tačke u mreži i položajne tačnosti moguće je sračunati standardno odstupanje aritmetičke sredine pravca. Na osnovu ovako sračunatih vrednosti moguće je izvršiti izbor instrumenta i pribora za merenje.

𝜎𝜎𝛼𝛼� = 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎

𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃

𝐷𝐷𝑙𝑙𝑖𝑖≈

𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃

𝐷𝐷𝑙𝑙𝑖𝑖∙ 𝜌𝜌"

U tabeli su dati proračuni za standarno odstupanje merenog pravca ako je usvojeno da je 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 3 𝑚𝑚𝑚𝑚.

𝑫𝑫𝒊𝒊𝒊𝒊[𝒎𝒎] 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 150 180 200 𝝈𝝈𝜶𝜶�["] 61 31 20 15 12 10 9 8 7 6 5 4 3 3

o II PRISTUP Na osnovu poznatog dizajna mreže poznato je i na koliko načina je moguće doći do koordinata tačke, dobija se standard određivanja položaja konkretne tačke preko formule:

𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾 = 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 ∙ √𝑛𝑛 gde je: n – broj načina na koje se mogu odrediti koordinate tačke.



Primer: Data je skica mreže u kojoj su mereni svi pravci i sve dužine. Postavlja se pitanje na koliko načina se mogu odrediti položaji određenih tačaka (P i Q) i koliko je njihovo standardno odstupanje?

𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾 = 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 ∙ √2 𝜎𝜎𝑄𝑄𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾 = 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 ∙ √3

• Dužine o I PRISTUP

𝜎𝜎𝑔𝑔� = 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃

o II PRISTUP Identično kao i u prethodnom slučaju sa merenim pravcima.

Nakon definisane tačnosti merenih veličina definisan je stohastički model i moguće je formirati matricu težina P. ************************ZANIMLJIVA GEODEZIJA ************************************* ************************************************************************************* Sistem normalnih jednačina 𝑁𝑁𝑥𝑥 + 𝑛𝑛 = 0 𝑁𝑁 = 𝐴𝐴𝑇𝑇𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝑇𝑇𝑃𝑃𝑓𝑓 Kako nemamo vektor f ne moguće je formirati sistem normalnih jednačina. Još smo u fazi projektovanja što znači da nema merenja!!! ****************************************************************************************** 𝝈𝝈𝒐𝒐 u 2D mreži nema dimenzije! Dokaz:

𝜎𝜎𝑜𝑜 = � 𝑣𝑣𝑇𝑇𝑝𝑝𝑣𝑣𝑛𝑛 − 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝

𝑣𝑣 = 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥[𝑚𝑚𝑚𝑚] = −𝑁𝑁−1 ∙ 𝑛𝑛 = [𝑚𝑚𝑚𝑚2] ∙ �1 𝑚𝑚𝑚𝑚� � = [𝑚𝑚𝑚𝑚] 𝑁𝑁 = 𝐴𝐴𝑇𝑇𝑃𝑃𝐴𝐴 = �" 𝑚𝑚𝑚𝑚� � ∙ �1

"2� � ∙ �" 𝑚𝑚𝑚𝑚� � = �1𝑚𝑚𝑚𝑚2� �

𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝑇𝑇𝑃𝑃𝑓𝑓 = �" 𝑚𝑚𝑚𝑚� � ∙ �1"2� � ∙ ["] = �1 𝑚𝑚𝑚𝑚� �

**************************************************************************************************************************************************************************************



Izbor datuma Nakon definisanja matrica A i P postavlja se pitanje izbora datuma geodetske mreže. Razlikujemo tri vrste datuma, i to:

• Klasičan datum – koristi se prilikom uklapanja novoprojektovane mreže u postojeću, kod mreža iz nivoa (mreže spratova)

• Minimalni trag na svim tačkama – najčešće se primenjuje u inženjerstvu, najmanji uticaj izbora datuma na položajnu tačnost tačaka u mreži. Uslovi: 𝒕𝒕𝒓𝒓𝒕𝒕𝒕𝒕(𝑸𝑸𝒙𝒙) = 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒎𝒎, 𝒅𝒅𝒙𝒙𝑻𝑻𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒎𝒎 (greške po koordinatama tačaka su minimalne).

• Minimalni trag na delu tačaka – koristi se u deformacionoj analizi (min.trag se radi na tačkama za koje se utvrdi da su stabilne), važe isti uslovi kao i za minimalan trag na svim tačkama, s tom razlikom da se uslovi odnose samo na deo tačaka kojima se definiše datum.

Primenom minimalnog traga dobija se matrica dizajna A koja ima nepotpun rang kolona, što dovodi do defekta funkcionalnog modela i nemogućnosti nalaženja inverzije matrice koeficijenata normalnih jednačina N (matrica N je singularna, njena determinanta jednaka je nuli). Kako bi se dobila p seudoinverzija matrice N (N+) formiraju se matrice datumskih uslova. Matrice datumskih uslova 𝑅𝑅𝑇𝑇𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 – datumski uslovi

𝑅𝑅[𝑔𝑔x𝑢𝑢]𝑇𝑇 =

𝑋𝑋1

�10𝜂𝜂1

𝑌𝑌1

01

−𝜉𝜉1

𝑋𝑋210𝜂𝜂2

𝑌𝑌20 1

−𝜉𝜉2

… … … …

𝑋𝑋𝑙𝑙10

𝜂𝜂𝑙𝑙

𝑌𝑌𝑙𝑙

01

−𝜉𝜉𝑙𝑙

𝑍𝑍100𝜌𝜌"

…………

𝑍𝑍𝑙𝑙00𝜌𝜌"

�𝑋𝑋 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑌𝑌 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎

𝐵𝐵[𝑔𝑔x𝑢𝑢]𝑇𝑇 =

𝑋𝑋1

�

1√𝑚𝑚�0

𝜂𝜂1 𝑎𝑎�

𝑌𝑌1

01

√𝑚𝑚�

−𝜉𝜉1 𝑎𝑎�

𝑋𝑋21

√𝑚𝑚�0

𝜂𝜂2 𝑎𝑎�

𝑌𝑌20

1√𝑚𝑚�

−𝜉𝜉2 𝑎𝑎�

… … … …

𝑋𝑋𝑙𝑙1

√𝑚𝑚�0

𝜂𝜂𝑙𝑙 𝑎𝑎�

𝑌𝑌𝑙𝑙

01

√𝑚𝑚�

−𝜉𝜉𝑙𝑙 𝑎𝑎�

𝑍𝑍100

𝜌𝜌"𝑎𝑎�

…………

𝑍𝑍𝑙𝑙00

𝜌𝜌"𝑎𝑎�



Matrica BT predstavlja normiranu matricu RT , i koristi se za nalaženje pseudoinverzije preko direktne formule, a RT se koristi za proširenje matrice. Takođe, matrica BT se obavezno koristi za trag na delu tačaka. m – broj tačaka u mreži k – broj tačaka u mreži sa kojih su mereni pravci 𝜂𝜂𝑙𝑙 = 𝑌𝑌𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑌𝑌�𝑜𝑜 𝜉𝜉𝑙𝑙 = 𝑋𝑋𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑋𝑋�𝑜𝑜

𝑎𝑎 = ��(𝑌𝑌𝑙𝑙𝑜𝑜 − 𝑌𝑌�𝑜𝑜)2 + �(𝑋𝑋𝑙𝑙

𝑜𝑜 − 𝑋𝑋�𝑜𝑜)2 + 𝑛𝑛 ∙ 𝜌𝜌"2

𝑋𝑋�𝑜𝑜 =1𝑛𝑛

� 𝑋𝑋𝑙𝑙𝑜𝑜

𝑙𝑙

𝑙𝑙=1

𝑌𝑌�𝑜𝑜 =1𝑛𝑛

� 𝑌𝑌𝑙𝑙𝑜𝑜

𝑙𝑙

𝑙𝑙=1

– 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑎𝑎𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑝𝑝𝑐𝑐ž𝑐𝑐

Kako doći do 𝑸𝑸𝒙𝒙 ?



1. Proširenjem matrice N � 𝑁𝑁 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑇𝑇 0�

−= �𝑁𝑁− 𝑅𝑅−𝑇𝑇

𝑅𝑅− 0�

Izvlači se blok 𝑁𝑁− dimenizija uxu, i on predstavlja kofaktorsku matricu𝑸𝑸𝒙𝒙.

2. Primenom direktne formule 𝑸𝑸𝒙𝒙 = 𝑁𝑁𝑢𝑢x𝑢𝑢

+ = (𝑁𝑁 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑇𝑇)−1 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑇𝑇 Ukoliko je datum definisan minimalnim brojem parametara matrica RT je oblika:

𝑅𝑅[𝑔𝑔x𝑢𝑢]𝑇𝑇 =

𝑋𝑋1

�100

𝑌𝑌1

010

𝑋𝑋2000

𝑌𝑌20 00

… … … …

𝑋𝑋𝑙𝑙000

𝑌𝑌𝑙𝑙

001

𝑍𝑍1000

…………

𝑍𝑍𝑙𝑙000



Proračun tačnosti Nakon što su formirane matrice A, P i matrice datumskih uslova, za proračun tačnosti neophodno je sračunati matrice 𝑸𝑸𝒙𝒙� i 𝑸𝑸𝒗𝒗�. 𝑄𝑄𝑥𝑥� = (𝑁𝑁 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑇𝑇)−1 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑣𝑣� = 𝑃𝑃−1 − 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑥𝑥�𝐴𝐴𝑇𝑇 TAČNOST = PRECIZNOST + POUZDANOST Za računanje mera preciznosti koristimo matricu 𝑄𝑄𝑥𝑥� (nije invarijantna veličina). Za računanje mera pouzdanosti koriste se matrice P i 𝑄𝑄𝑣𝑣� (invarijantne veličine). Računanje kriterijuma za validaciju projekta MERE PRECIZNOSTI

1. Standardno odstupanje po koordinatnim osama

𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖 = 𝜎𝜎𝑜𝑜 ∙ �𝑄𝑄𝑥𝑥�𝑥𝑥𝑖𝑖𝑥𝑥𝑖𝑖 𝜎𝜎𝑌𝑌𝑖𝑖 = 𝜎𝜎𝑜𝑜 ∙ �𝑄𝑄𝑥𝑥�𝑦𝑦𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖

𝜎𝜎𝑜𝑜 - srednja greška jedinice težine (kolika greška se pravi na jedinici neke mere)

2. Standarno odstupanje po položaju

𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = �𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖2 + 𝜎𝜎𝑌𝑌𝑖𝑖

2

3. Elipse grešaka

Elipse grešaka predstavljaju statističke oblasti u kojima se nalaze ocenenje koordinate tačaka pri ponovnoj oceni. Na primer, ako usvojimo verovatnoću od 95% i ponovo premerimo našu mrežu sa istim instrumentima i priborom, i to postupak ponovimo 100 puta, 95 puta moramo dobiti ocene koordinata koje se nalaze unutar elipse grešaka dobije u prvoj seriji merenja.



Elipse poverenja su posledica funkcionalne zavisnosti između merenih veličina. Matrica 𝐾𝐾𝑙𝑙 nije dijagonalna, i to je posledica algebarske korelacije. Zajednička merenja dovode do korelisanosti. Ako je koeficijent korelacije između koordinata 𝑌𝑌𝑙𝑙 i 𝑌𝑌𝑖𝑖 , 𝜌𝜌𝑙𝑙𝑖𝑖 = 0,5 dolazimo do zaključka da ako se koordinata 𝑌𝑌𝑙𝑙 promeni za 5 cm, koordinata 𝑌𝑌𝑖𝑖 promeniće se za 2,5 cm.

�𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌 − 𝜆𝜆 𝐾𝐾𝑌𝑌𝑋𝑋𝐾𝐾𝑌𝑌𝑋𝑋 𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋 − 𝜆𝜆� = 0

(𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌 − 𝜆𝜆)(𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋 − 𝜆𝜆) − 𝐾𝐾𝑌𝑌𝑋𝑋2 = 0

𝜆𝜆2 − 𝜆𝜆(𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌 + 𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋) + 𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋 − 𝐾𝐾𝑌𝑌𝑋𝑋2 = 0

𝜆𝜆12� =

(𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌 + 𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋) ± �(𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌 + 𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋)2 − 4(𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋 − 𝐾𝐾𝑌𝑌𝑋𝑋2 )

2

𝜆𝜆12� =

(𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌 + 𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋) ± �𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌2 + 2𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋 + 𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋

2 − 4𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋 + 4𝐾𝐾𝑌𝑌𝑋𝑋2

2

𝜆𝜆12� =

(𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌 + 𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋) ± �(𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌 − 𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋)2 + 4𝐾𝐾𝑌𝑌𝑋𝑋2

2

𝜆𝜆1 =12

(𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌 + 𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋 + 𝑍𝑍)

𝜆𝜆2 =12

(𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌 + 𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋 − 𝑍𝑍)

𝑍𝑍 = �(𝐾𝐾𝑌𝑌𝑌𝑌 − 𝐾𝐾𝑋𝑋𝑋𝑋)2 + 4𝐾𝐾𝑌𝑌𝑋𝑋2

Parametri elipsi grešaka: 𝐴𝐴 = �𝜆𝜆1 - velika poluosa elipse grešaka za verovatnoću 1σ (34,14%) 𝐵𝐵 = �𝜆𝜆2 - mala poluosa elipse grešaka za verovatnoću 1σ (34,14%- dvodimenzionalna slučajna veličina i uslovna verovatnoća ) Za veće vrednosti verovatnoće (95%, 99%) parametri elipsi grešaka množe se odgovarajućim kvantilom Hi-kvadrat raspodele.

𝐴𝐴 = �𝜆𝜆1 ∙ 𝜒𝜒1−𝛼𝛼2 (2)

𝐵𝐵 = �𝜆𝜆2 ∙ 𝜒𝜒1−𝛼𝛼2 (2)

Za orijentaciju elipse grešaka računa se direkcioni ugao velike poluose.

yyoyy

xxoxx

xyoxy

yyxx

xy

yx

xy

QKQK

QK

QQQK

tg

2

2

2

22

222

σ

σ

σ

σσθ

=

=

=

−=

−=

4. Greška funkcije izravnatih (ocenjenih) veličina

X

Y

A

B

x

y

0



Da bi našli grešku neke funkcije ta funkcija (veličina) mora se izraziti preko drugih merenih veličina. Ako su na primer, u mreži mereni samo pravci, nemoguće je odrediti grešku dužine. 𝐻𝐻 = ℎ(𝑋𝑋, 𝑌𝑌, … , 𝑈𝑈) - funkcija nepoznatih parametara Neophodan uslov za ocenu funkcije nepoznatih parametara H glasi: „Funkcija H se mora izraziti preko merenih veličina u mreži!“ 𝜎𝜎𝐻𝐻

2 = 𝜎𝜎𝑜𝑜2 ∙ ℎ𝑇𝑇 ∙ 𝑄𝑄𝑥𝑥 ∙ ℎ - greška funkcije

ℎ𝑇𝑇 = �𝜕𝜕𝐻𝐻

𝜕𝜕𝑋𝑋𝜕𝜕𝐻𝐻𝜕𝜕𝑌𝑌

… 𝜕𝜕𝐻𝐻𝜕𝜕𝜕𝜕

� - vektor izvoda funkcije po nepoznatim parametrima Greška funkcije je invarijantna u odnosu na 𝑄𝑄𝑥𝑥. Uslov ocenljivosti: 𝑁𝑁𝑁𝑁+𝑁𝑁 = 𝑁𝑁 i 𝑁𝑁+𝑁𝑁𝑁𝑁+ = 𝑁𝑁+ Računanje greške funkcije ima izuzetno veliku primenu u inženjerstvu, naročito kod montiranja gotovih elemenata. Preko greške funkcije određuju se veličine pomeranja. (raspon mosta) Relativna greška Relativna greška predstavlja grešku po jedinici dužine. Računa se tako što prvo sračunamo grešku funkcije pa je onda podelimo dužinom. Greška funkcije predstavlja relativan odnos između tačaka koje definišu neku veličinu (funkciju), i predstavlja najobjektivniji kriterijum za preciznost. Globalna mera preciznosti

𝜎𝜎 =1𝑝𝑝

∙ 𝑎𝑎𝑝𝑝𝑎𝑎𝑎𝑎𝐾𝐾𝑥𝑥 MERE POUZDANOSTI Mere pouzdanosti su invarijantne veličine u odnosu na izbor datuma.

Unutrašnja pouzdanost vezana je za mogućnost kontrole uticaja grubih grešaka u opažanjima.

• Globalna mera unutrašnje pouzdanosti

GLOBALNA LOKALNA GLOBALNA LOKALNA

ANALIZA POUZDANOSTI

UNUTRASNJA POUZDANOST SPOLJASNJA POUZDANOST

POUZDANOST POUZDANOST POUZDANOST POUZDANOST



�̅�𝑝 =𝑛𝑛 − 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝

𝑛𝑛

• Lokalna mera unutrašnje pouzdanosti 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑃𝑃𝑙𝑙𝑙𝑙 ∙ 𝑄𝑄𝑣𝑣�𝑖𝑖𝑖𝑖

Spoljašnja pouzdanost vezana je za mogućnost kontrole uticaja grubih grešaka opažanja na ocene koordinata tačaka.

𝐷𝐷𝑙𝑙 =𝜔𝜔2

𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎(𝐴𝐴) ∙1 − 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙

gde je: 𝜔𝜔 - veličina grube greške koja je ostala u merenjima Kao što se iz formule vidi što je veća unutrašnja pouzdanost pojedinog merenja manji je uticaj grube greške. U slučaju 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙 = 1 ⇒ 𝐷𝐷𝑙𝑙 = 0. Marginalna gruba greška predstavlja vrednost grube greške koja se „sigurno“ može otkriti data snooping testom pri pretpostavci da postoji samo jedna gruba greška, i računa se po formuli:

|𝐺𝐺𝑙𝑙| =𝜎𝜎𝑜𝑜�𝜆𝜆𝑜𝑜

𝑃𝑃𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑄𝑄𝑣𝑣�𝑖𝑖𝑖𝑖

gde je: �𝜆𝜆𝑜𝑜 = 𝑎𝑎1−𝛽𝛽𝑜𝑜 + 𝑎𝑎1−𝛼𝛼𝑜𝑜

2 - parametar necentralnosti

𝑎𝑎1−𝛽𝛽𝑜𝑜 - kvantil Studentovog rasporeda za usvojenu moć testa 𝑎𝑎1−𝛼𝛼𝑜𝑜

2 - kvantil Studentovog rasporeda za usvojeni nivo značajnosti

„sigurno“ = nivo značajnosti α=0,05 i 1-β=0,80 Marginalna gruba greška se računa kako bismo imali potvrdu o integritetu naše mreže. Što se dobije manja vrednost marginalne grube greške to je integritet mreže veći. Vrednosti za marginalnu grubu grešku kreću se između 5𝜎𝜎𝑙𝑙 i 7𝜎𝜎𝑙𝑙 (𝜎𝜎𝑙𝑙 - standard pojedinog merenja). ************************ZANIMLJIVA GEODEZIJA ************************************* *************************************************************************************

𝝌𝝌𝟐𝟐 - raspodela predstavlja sumu kvadrata odstupanja čije je matematičko očekivanje jednako 0 F raspodela je količnik

***************************************************************************************** Zadatak 1



Tačka A se određuje merenjem dužina sa tačaka 1, 2, 3 i 4. Standard merenja dužina iznosi 𝜎𝜎𝐷𝐷 = 3𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚.

Približne koordinate tačke A

Tačka Y [m] X [m] A 4000 2400

Odrediti:

1) lokalnu meru unutrašnje pouzdanosti i vrednost marginalne grube greške 2) spoljašnju pouzdanost Di , pri čemu je ω = 5 cm

Rešenje:

Jednačine popravaka:

𝑣𝑣𝑔𝑔1𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴1𝑝𝑝𝑋𝑋𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐴𝐴1𝑝𝑝𝑌𝑌𝐴𝐴 + 𝑓𝑓𝑔𝑔1𝐴𝐴 𝑣𝑣𝑔𝑔2𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴2𝑝𝑝𝑋𝑋𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐴𝐴2𝑝𝑝𝑌𝑌𝐴𝐴 + 𝑓𝑓𝑔𝑔2𝐴𝐴 𝑣𝑣𝑔𝑔3𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴3𝑝𝑝𝑋𝑋𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐴𝐴3𝑝𝑝𝑌𝑌𝐴𝐴 + 𝑓𝑓𝑔𝑔3𝐴𝐴 𝑣𝑣𝑔𝑔4𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴4𝑝𝑝𝑋𝑋𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐴𝐴4𝑝𝑝𝑌𝑌𝐴𝐴 + 𝑓𝑓𝑔𝑔4𝐴𝐴

Dužine iz koordinata: Direkcioni uglovi:

Od Do d [m] 𝜎𝜎𝑙𝑙[𝑚𝑚𝑚𝑚] 1 A 1400 5,8 2 A 1000 5 3 A 3600 10,2 4 A 2400 7,8

Od Do ν [o] 1 A 180 2 A 270 3 A 0 4 A 90

𝑃𝑃𝑙𝑙 =1

𝜎𝜎𝑙𝑙2 𝐴𝐴𝑙𝑙𝑖𝑖 = − cos 𝜈𝜈𝑙𝑙𝑖𝑖

𝑜𝑜 𝐵𝐵𝑙𝑙𝑖𝑖 = − sin 𝜈𝜈𝑙𝑙𝑖𝑖𝑜𝑜

0,0297 0 0 0 P = 0 0,0400 0 0

0 0 0,0096 0

0 0 0 0,0164

XA YA

Koordinate datih tačaka Tačka Y [m] X [m]

1 4000 1000 2 3000 2400 3 4000 6000 4 6400 2400



1 0 dA1 A = 0 1 dA2

-1 0 dA3

0 -1 dA4

rii Gi ["] Di [cm2] 0,24 40,10 38,6593 0,29 31,66 30,4200 0,76 40,10 4,0417 0,71 31,66 5,1364

Sve formule za računanje date su u prethodnom poglavlju. Zadatak 2 Proveriti da li je do promene razmere mreže! Poznato nam je 𝑄𝑄𝑥𝑥 i 𝜎𝜎�𝑜𝑜. Izmerimo nekoliko dužina i sračunamo 𝜎𝜎�𝐷𝐷1 , 𝜎𝜎�𝐷𝐷2 , 𝜎𝜎�𝐷𝐷3 ... Za iste dužine koje su merene sračuna se greška funkcije dužina dobijenih iz koordinata.

𝐾𝐾𝐷𝐷𝑖𝑖𝐾𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾.= 𝜎𝜎�𝑜𝑜

2𝐻𝐻𝑇𝑇𝑄𝑄𝑥𝑥𝐻𝐻 Zatim se formiraju razlike dužina sračunatih iz koordinata i merenih dužina.

𝑝𝑝𝑙𝑙 = 𝐷𝐷𝑙𝑙𝐾𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾. − 𝐷𝐷𝑙𝑙𝑀𝑀 Model: 𝑝𝑝𝑙𝑙 = 𝑞𝑞 ∙ 𝐷𝐷𝑙𝑙[𝑛𝑛𝑚𝑚] q – koeficijent razmere

𝐾𝐾𝑔𝑔𝑖𝑖 = 𝐾𝐾𝐷𝐷𝑖𝑖𝐾𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾.+ �

𝜎𝜎�𝐷𝐷12 0 0

0 𝜎𝜎�𝐷𝐷22 0

0 0 𝜎𝜎�𝐷𝐷32

�

𝐾𝐾𝑔𝑔 = 𝜎𝜎𝑜𝑜2𝑃𝑃−1 → 𝑃𝑃 = 1

𝜎𝜎𝑜𝑜2 𝐾𝐾𝑔𝑔

−1 - uopšteni metod najmanjih kvadrata

𝐴𝐴 = �𝐷𝐷1[𝑛𝑛𝑚𝑚]𝐷𝐷2[𝑛𝑛𝑚𝑚]𝐷𝐷3[𝑛𝑛𝑚𝑚]

� 𝑓𝑓 = −𝑝𝑝𝑙𝑙 = �−𝑝𝑝1−𝑝𝑝2−𝑝𝑝3

� → 𝑞𝑞� = ⋯

Testiranje značajnosti parametra: Ho: 𝑀𝑀[𝑞𝑞�] = 0 Ha: 𝑀𝑀[𝑞𝑞�] ≠ 0

𝑇𝑇 =𝑝𝑝𝑇𝑇𝑄𝑄𝑔𝑔

−1𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝜎𝜎𝑜𝑜

2 ~𝐹𝐹1−𝛼𝛼(𝑛𝑛, 𝑛𝑛 − 𝑝𝑝)

*****************************************************************************************



U primeru sa slike položajnu tačnost tačke 1 moguće je poboljšati uvođenjem novih merenja, i to sa tačke 3 treba meriti pravce, a sa tačke 2 dužine. ******************************************************************************************* ******************************************************************************************* Tehnički uslovi za realizaciju merenja Kriterijumi za praćenje i kontrolu merenja

• Pravci 𝜎𝜎𝛼𝛼�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟-standardno odstupanje redukovanog pravca iz više girusa 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝜎𝜎𝛼𝛼�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ∙ √𝑛𝑛 - standardno odstupanje redukovanog pravca u jednom girusu n – broj girusa 𝛼𝛼𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝛼𝛼� − 𝛼𝛼�𝑜𝑜 𝛼𝛼�𝑜𝑜 - početni pravac 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝜎𝜎𝛼𝛼� √2 → 𝜎𝜎𝛼𝛼� =

𝜎𝜎𝛼𝛼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟√2

– standardno odstupanje aritmetičke sredine pravca

𝛼𝛼� = 𝐾𝐾𝑃𝑃+𝐾𝐾𝐷𝐷2

→ 𝜎𝜎𝛼𝛼�2 = 1

4∙ 2 ∙ 𝜎𝜎𝐾𝐾𝑃𝑃

2 𝜎𝜎𝐾𝐾𝑃𝑃 = 𝜎𝜎𝛼𝛼� √2 - standardno odstupanje pravca merenog u jednom položaju durbina Standard pravca:

𝜎𝜎𝛼𝛼�2 =

𝜎𝜎𝐶𝐶𝐶𝐶2

2∙

𝜌𝜌"2

𝐷𝐷𝑙𝑙2 +


2∙

𝜌𝜌"2

𝐷𝐷𝑙𝑙2 +

𝜎𝜎𝜀𝜀2

𝑛𝑛+ 𝜎𝜎𝑔𝑔

2 + 𝜎𝜎𝑣𝑣2

gde je: 𝜎𝜎𝐶𝐶𝐶𝐶

2 - tačnost centrisanja instrumenta 𝜎𝜎𝐶𝐶𝐶𝐶

2 – tačnost centrisanja signala 𝜎𝜎𝜀𝜀

2- deklarisana tačnost instrumenta n – broj girusa 𝜎𝜎𝑔𝑔

2- srednja kvadratna greška usled uticaja refrakcije (zanemarljiva u većini slučajeva) 𝜎𝜎𝑣𝑣

2 – srednja kvadratna greška viziranja (uzima se u obzir samo pri kratkim vizurama) Primenom principa jednakih uticaja (uticaj pojedinačkih komponenata grešaka je isti) dobijaju se 𝜎𝜎𝐶𝐶𝐶𝐶

2 , 𝜎𝜎𝐶𝐶𝐶𝐶2 , 𝜎𝜎𝜀𝜀

2.



Dozvoljena razlika 2C 𝑊𝑊2𝑐𝑐 = 𝑊𝑊𝑝𝑝,𝑙𝑙𝜎𝜎𝐾𝐾𝑃𝑃 ≈ 𝑎𝑎𝑝𝑝𝜎𝜎𝐾𝐾𝑃𝑃

Dozvoljena razlika redukovanih pravaca 𝛼𝛼𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝛼𝛼� − 𝛼𝛼�𝑜𝑜

𝜎𝜎𝛼𝛼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟2 = 𝜎𝜎𝛼𝛼�

2 + 𝜎𝜎𝛼𝛼�𝑜𝑜2 = 2𝜎𝜎𝛼𝛼�

2 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝜎𝜎𝛼𝛼� √2

𝑊𝑊𝛼𝛼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑊𝑊𝑝𝑝,𝑙𝑙𝜎𝜎𝛼𝛼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ≈ 𝑎𝑎𝑝𝑝𝜎𝜎𝛼𝛼𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑛𝑛 - broj girusa

Dozvoljeno nezatvaranje figure 𝜔𝜔 = � 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑡𝑡𝑝𝑝𝑣𝑣𝑎𝑎 − (𝑛𝑛 − 2) ∙ 180𝑜𝑜

n – broj uglova 𝜎𝜎𝑢𝑢𝑔𝑔𝑙𝑙𝑘𝑘

2 = 𝜎𝜎𝛼𝛼�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑖𝑖2 + 𝜎𝜎𝛼𝛼�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑗𝑗

2 = 2𝜎𝜎𝛼𝛼�𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟2

𝑊𝑊𝜔𝜔 = 𝑊𝑊𝑝𝑝,𝑙𝑙𝜎𝜎𝑢𝑢𝑔𝑔𝑙𝑙𝑘𝑘 𝑛𝑛 - broj tačaka figure

• Dužine 𝜎𝜎𝑔𝑔�𝑙𝑙𝑘𝑘𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔−𝑙𝑙𝑘𝑘𝑛𝑛𝑘𝑘𝑔𝑔- standardno odstupanje aritmetičke sredine merenja „napred-nazad“ (poznato iz proračuna ) Standardno odstupanje merenja dužine u jednom smeru

𝜎𝜎𝑔𝑔� = 𝜎𝜎𝑔𝑔�𝑙𝑙𝑘𝑘𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔−𝑙𝑙𝑘𝑘𝑛𝑛𝑘𝑘𝑔𝑔√2

𝜎𝜎𝑔𝑔�2 =


2+


2+ (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2𝐷𝐷2)

𝜎𝜎𝜀𝜀2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2𝐷𝐷2 – deklarisana tačnost instrumenta (a i b su nezavisne greške)

Adiciona konstanta se ne smanjuje povećanjem broja merenja. Kod instrumenata koji rade na više frekvencija može doći do smanjenja multiplikacionog dela zbog promene frekvencije. Kod merenja dužina možemo da pratimo:

dozvoljene razlike merenja u jednom smeru

𝐷𝐷𝑁𝑁𝐴𝐴𝑃𝑃𝑁𝑁𝑁𝑁𝐷𝐷 =𝐷𝐷1 + 𝐷𝐷2 + 𝐷𝐷3 + ⋯ + 𝐷𝐷𝑙𝑙

𝑛𝑛

𝑝𝑝 = 𝐷𝐷𝑙𝑙 − 𝐷𝐷𝑖𝑖 𝑊𝑊𝑔𝑔 = 𝑊𝑊𝑝𝑝,𝑙𝑙𝜎𝜎𝜀𝜀√2 ≈ 𝑎𝑎𝑝𝑝𝜎𝜎𝜀𝜀√2

n – broj merenja

dozvoljene razlike merenja „napred-nazad“ 𝑊𝑊𝑁𝑁𝐴𝐴𝑃𝑃−𝑁𝑁𝐴𝐴𝑁𝑁 = 𝑊𝑊𝑝𝑝,2𝜎𝜎𝑔𝑔�√2

Do izražaja dolaze 𝜎𝜎𝐶𝐶𝐶𝐶2 i 𝜎𝜎𝐶𝐶𝐶𝐶

2 . Nakon proračuna usvajaju se najstrožiji kriterijumi. Tačnost centrisanja:

• običan visak – 1 cm • optički visak – 1-3 mm • prisilno centrisanje optičkim putem – 0,5-1 mm • centrisanje na stubu – 0,2-0,3 mm.



PROJEKAT OSNOVNE 1D MREŽE

Sadržaj projekta osnovne 1D mreže ne razlikuje se bitno od sadržaja projekta osnovne 2D mreže. Kao što je već ranije navedeno razlozi razdvajanja 1D i 2D mreže su praktične prirode (nemogućnost zajedničkog izravnanja zbog dimenzija standardnog odstupanja jedinice težine i različita tačnost 1D i 2D mreže). Osnovne 1D mreže namenjene su za vertikalno obeležavanje i monitoring objekata (deformaciona analiza). Kao i kod 2D mreže za obeležavanje tačaka potrebno je poznavati vrednost tolerancije T, odnosno dozvoljenog odstupanja ∆= 𝑇𝑇

2. Greška geodetskog obeležavanja tačke treba da

bude zanemarljiva u odnosu na dozvoljeno odstupanje (1/3 ∆), i sastoji se od greške datih veličina, greške odmeranja (obeležavanja) i greške fiksiranja.

𝜎𝜎𝐻𝐻𝑃𝑃𝑂𝑂2 = 𝜎𝜎𝐷𝐷𝐷𝐷

2 + 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑂𝑂2 + 𝜎𝜎𝐹𝐹𝐶𝐶𝑋𝑋

2 Greška obeležavanja iznosi: 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑂𝑂

2 = 𝜎𝜎𝐶𝐶𝑇𝑇2 ∙ 𝑛𝑛 + 𝜎𝜎𝑃𝑃Č

2 + 𝜎𝜎𝑃𝑃𝐷𝐷𝑀𝑀2

Greška datih veličina kao i kod 2D mreže treba da bude zanemarljiva u odnosu na grešku obeležavanja.

𝜎𝜎𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝜎𝜎𝐻𝐻𝑃𝑃𝑀𝑀 =𝜎𝜎𝐻𝐻𝑃𝑃𝑂𝑂

3=

19

∆ Broj i raspored repera Za osnovnu 1D mrežu neophodno je minimum 3 repera. Razlog za to leži u činjenici da ako postavimo samo jedan reper nismo u mogućnosti da kontrolišemo merenja. U slučaju dva repera, možemo utvrditi da je došlo do pomeranja ali nemamo informaciju koji se reper pomerio. Na kraju, dolazimo do zaključka da u mreži koju čine tri repera moguće je otkriti pomeranje i utvrditi koji reper je nestabilan, tj.koji se pomerio. Reperi osnovne mreže (OM) moraju biti izvan uticaja gradilišta. Udaljenost od objekta mora biti najmanje za ½ visine objekta zbog činjenice da opterećenje deluje na teren pod uglom od 45o. Prilikom postavljanja repera veoma važno je imati informacije o tlu kako bi reperi bili postavljeni na stabilnom terenu. U ovom delu posla bitnu ulogu imaju geolozi i geomehaničari. Poznavanje osobina tla u širem području objekta olakšava nam analizu i interpretaciju rezulatata merenja, kao i donošenje ispravnih zaključaka. Stišljivost terena je veoma važna osobina, i treba imati u vidu da se zbog ove osobine prva reakcija novoizgrađenog objekta je da se on izdiže jer je narušena ravnoteža tla i ono pokušava da se vrati u prvobitan položaj, u čemu mu smetaju temelji objekta, i to dovodi do izdizanja istog. Imajući ovo u vidu dolazi se do zaključka da je termin „sleganje objekta“ zapravo neispravan. Takođe, još jedna zanimljiva pojava je „bubrenje terena“ koje nastaje zbog uticaja podzemnih voda. Teren se u proleće izdiže, a u jesen spušta zbog različitog nivoa podzemnih voda. (Đerdap II)



Prilikom postavljanja repera OM treba težiti da budu raspoređeni pravilno oko objekta, kao i da se OM isprojektuje tako da bude što više zatvaranja poligona.

Uvek treba izbegavati da se svi vlakovi sustiču u jednom reperu jer u tom slučaju nema kontrole. Rešenje je zatvaranje poligona. U inženjerstvu najčešće se primenjuje geometrijski nivelman. Prilikom izvođenja zemljanih radova (nasipanje zemlje) koristi se tehnički nivelman, dok se za beton koristi precizni nivelman. Vrlo često se dešava da su dužine vizura neujednačene, i tu obično ključnu ulogu igraju karakteristike objekta. Treba biti jako obazriv prilikom izbora dužine vizure ( npr. stepenice mogu biti problem, zato uvek treba ići sporije sa manje stepenika kako bi se izbegao slučaj da vizura ne pogađa letvu). Kao i kod 2D mreže broj merenja određuje se na osnovu globalne mere unutrašnje pouzdanosti. Zbog malog broja stepeni slobode unutrašnja pouzdanost kod 1D mreže ne prelazi vrednost od 0,2. Treba imati u vidu da kod 1D mreža svaki zatvoreni poligon donosi 1 stepen slobode. �̅�𝑝 ≥ 0,2

�̅�𝑝 =𝑛𝑛 − 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝

𝑛𝑛

Definisanje datuma 1D mreže Datum kod 1D mreže može biti:

• klasično definisan • minimalni trag na svim tačkama (reperima) • minimalni trag na delu tačaka (repera)



Prilikom obeležavanja treba koristiti klasičan datum, tj.uzeti date repere. Prvo je potrebno ispitati da li su dati reperi stabilni (nisu promenili visinu, nisu se pomerili). Provera repera se vrši na sličan način kao i provera promene razmere kod 2D mreže. Upoređenjem razlika iz izravnatih i izmerenih visinskih razlika zaključujemo da li je došlo do globalnog pomeranja repera (statistička provera). U deformacionoj analizi prilikom prve iteracije koristi se minimalni trag na svim reperima, a zatim nakon utvrđivanja stabilnih repera minimalni trag samo na stabilnim reperima. Matrica datumskih uslova razlikuje se od matrice kod 2D mreže, i u slučaju 1D mreže glasi: 𝑅𝑅1x𝑢𝑢

𝑇𝑇 = [1 1 1 … … 1] Normirana matrica datumskih uslova:

𝐵𝐵1x𝑢𝑢𝑇𝑇 = �

1√𝑝𝑝

1√𝑝𝑝

1√𝑝𝑝

… …1

√𝑝𝑝�

u – broj repera Što se tiče računanja kofaktorske matrice nepoznatih parametara važe iste formule i uslovi kao i kod 2D mreže. Na osnovu matrica 𝑄𝑄𝑥𝑥, 𝑄𝑄𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑄𝑄𝑙𝑙 računaju se kriterijumi za validaciju projekta i vrši validacija projekta. Kad su zadovoljeni postavljeni kriterijumi prelazi se na razradu tehničkih uslova za realizaciju merenja. Tehnički uslovi za realizaciju projekta Definisanje tačnosti kod 1D mreža Za definisanje tačnosti merenja visinskih razlika na stanici, potrebno je da prethodno znamo približnu visinsku razliku između repera, kao i dužinu između njih kako bi mogli da odredimo broj stanica imajući u vidu da je 2m maksimalna visinska razlika koju je moguće savladati. 𝜎𝜎𝐻𝐻𝑃𝑃𝑀𝑀 - standardno odstupanje visine repera (data veličina)

∆ℎ�𝑙𝑙𝑖𝑖 = 𝐻𝐻𝑁𝑁𝑗𝑗 − 𝐻𝐻𝑁𝑁𝑖𝑖

𝜎𝜎∆ℎ�𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝜎𝜎𝐻𝐻𝑃𝑃𝑀𝑀√2

𝜎𝜎∆ℎ�𝑖𝑖

𝑗𝑗 – preciznost koju treba ostvariti za sve merene visinske razlike

Tačnost visinske razlike po stanici 𝜎𝜎𝑜𝑜 ≡ 𝜎𝜎𝐶𝐶𝑇𝑇�� =𝜎𝜎

∆ℎ�𝑖𝑖𝑗𝑗

�𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥

𝑛𝑛𝑚𝑚𝑘𝑘𝑥𝑥 – maksimalan broj stanica (strana u mreži koja ima najviše stanica)



Tačnost visinske razlike po stanici usvajamo za 𝜎𝜎𝑜𝑜 (aritmetička sredina iz merenja „napred-nazad“). Kad je određen standard 𝜎𝜎𝑜𝑜 prelazi se na računanje tehničkih uslova.

Dozvoljena razlika visinskih razlika „napred-nazad“

∆ℎ� =∆ℎ�𝑁𝑁𝐴𝐴𝑃𝑃𝑁𝑁𝑁𝑁𝐷𝐷 + ∆ℎ�𝑁𝑁𝐴𝐴𝑁𝑁𝐴𝐴𝐷𝐷

2

𝜎𝜎∆ℎ�2 =

14

∙ 2 ∙ 𝜎𝜎∆ℎ�2 =

12

∙ 𝜎𝜎∆ℎ�2

𝜎𝜎∆ℎ� = 𝜎𝜎∆ℎ�√2 = 𝜎𝜎𝐶𝐶𝑇𝑇��2 ∙ 𝑛𝑛𝑚𝑚𝑘𝑘𝑥𝑥

𝑝𝑝 = ∆ℎ�𝑁𝑁𝐴𝐴𝑃𝑃𝑁𝑁𝑁𝑁𝐷𝐷 − ∆ℎ�𝑁𝑁𝐴𝐴𝑁𝑁𝐴𝐴𝐷𝐷 𝜎𝜎𝑔𝑔 = 𝜎𝜎∆ℎ�√2 = 2�𝑛𝑛𝑚𝑚𝑘𝑘𝑥𝑥 ∙ 𝜎𝜎𝐶𝐶𝑇𝑇��

𝑾𝑾𝒅𝒅 = 𝑾𝑾𝒑𝒑,𝟐𝟐 ∙ 𝝈𝝈𝒅𝒅 ≈ 𝒕𝒕𝒑𝒑 ∙ 𝝈𝝈𝒅𝒅

Dozvoljena razlika visinskih razlika dobijenih promenom visine instrumenta

𝜎𝜎∆ℎ� = 𝜎𝜎𝐶𝐶𝑇𝑇��√2 ∙ 𝑛𝑛

∆ℎ� =∆ℎ1 + ∆ℎ1

2

𝜎𝜎∆ℎ = 𝜎𝜎∆ℎ�√2

𝑝𝑝 = ∆ℎ1 − ∆ℎ1 𝜎𝜎𝑔𝑔 = 𝜎𝜎∆ℎ√2 𝑾𝑾𝒅𝒅 = 𝑾𝑾𝒑𝒑,𝟐𝟐 ∙ 𝝈𝝈𝒅𝒅 ≈ 𝒕𝒕𝒑𝒑 ∙ 𝝈𝝈𝒅𝒅

Dozvoljena razlika čitanja na letvi na stanici

𝜎𝜎∆ℎ = 𝜎𝜎∆ℎ�√2

𝜎𝜎𝐶𝐶𝑇𝑇�� = 𝜎𝜎∆ℎ

√𝑙𝑙 - treba uzeti najstrožiji kriterijum (𝜎𝜎𝐶𝐶𝑇𝑇�� =

𝜎𝜎∆ℎ�𝑖𝑖

𝑗𝑗

�𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥)

Visinska razlika na stanici (najoptimalniji broj čitanja na stanici je 3)

∆ℎ𝐶𝐶𝑇𝑇 =𝑡𝑡𝑛𝑛

′ + 𝑡𝑡𝑛𝑛′′

2−

𝑡𝑡𝑝𝑝′ + 𝑡𝑡𝑝𝑝

′′

2

𝜎𝜎𝐶𝐶𝑇𝑇��2 =

14

(4 ∙ 𝜎𝜎𝑙𝑙2) ⟹ 𝜎𝜎𝐶𝐶𝑇𝑇��

2 = 𝜎𝜎𝑙𝑙2

𝑝𝑝 = 𝑡𝑡′ − 𝑡𝑡′′

𝜎𝜎𝑔𝑔 = 𝜎𝜎𝑙𝑙√2 𝑾𝑾𝒅𝒅 = 𝑾𝑾𝒑𝒑,𝟐𝟐 ∙ 𝝈𝝈𝒅𝒅 ≈ 𝒕𝒕𝒑𝒑 ∙ 𝝈𝝈𝒅𝒅

Dozvoljeno odstupanje od konstante letve

𝐾𝐾 = 𝑡𝑡′ − 𝑡𝑡′′ 𝜎𝜎𝐾𝐾 = 𝜎𝜎𝑙𝑙√2

𝑾𝑾𝑲𝑲 = 𝑾𝑾𝒑𝒑,𝟐𝟐 ∙ 𝝈𝝈𝑲𝑲 ≈ 𝒕𝒕𝒑𝒑 ∙ 𝝈𝝈𝑲𝑲 Standarno odstupanje nezatvaranja poligona 𝜎𝜎 = 𝜎𝜎𝐶𝐶𝑇𝑇��√𝑛𝑛



************************ZANIMLJIVA GEODEZIJA ************************************* ************************************************************************************* Tačnost trigonometrijskog nivelmana

Da li se može postići tačnost određivanja visinske razlike trigonometrijskim nivelmanom od 𝜎𝜎∆ℎ = 1mm ako je merena kosa dužina D=250 m (S’ na slici) i zenitno odstojanje:

1) Z1=90o 2) Z2=60o

Rešenje:

∆ℎ = 𝐷𝐷 ∙ cos 𝑍𝑍 + 𝑛𝑛 − 𝑡𝑡

𝑎𝑎 =𝜕𝜕∆ℎ𝜕𝜕𝐷𝐷

= cos 𝑍𝑍

𝑏𝑏 =𝜕𝜕∆ℎ𝜕𝜕𝑍𝑍

= −𝐷𝐷 ∙ sin 𝑍𝑍

𝑐𝑐 =𝜕𝜕∆ℎ𝜕𝜕𝑛𝑛

= 1

𝑝𝑝 =𝜕𝜕∆ℎ𝜕𝜕𝑡𝑡

= −1

𝜎𝜎∆ℎ2 = (𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2𝑍𝑍)𝜎𝜎𝐷𝐷

2 + (𝐷𝐷2 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑍𝑍)𝜎𝜎𝑁𝑁2 + 𝜎𝜎𝑙𝑙

2 + 𝜎𝜎𝑙𝑙2

(𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2𝑍𝑍)𝜎𝜎𝐷𝐷2 = (𝐷𝐷2 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑍𝑍)𝜎𝜎𝑁𝑁

2 = 𝜎𝜎𝑙𝑙2 = 𝜎𝜎𝑙𝑙

2 = 0,25 𝑚𝑚𝑚𝑚2

𝜎𝜎𝐷𝐷2 =

𝜎𝜎∆ℎ2

4𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2𝑍𝑍 ⟹ 𝜎𝜎𝐷𝐷 = 1 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑧𝑧𝑎𝑎 𝑍𝑍2

∞ 𝑧𝑧𝑎𝑎 𝑍𝑍1

Objašnjenje: Za zenitno odstojanje jednako 90o greška dužine ne utiče na grešku visinske razlike.

𝜎𝜎𝑁𝑁2 =

𝜎𝜎∆ℎ2

4𝐷𝐷2 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛2𝑍𝑍∙ 𝜌𝜌"2 ⟹ 𝜎𝜎𝑁𝑁 = 0,47" 𝑧𝑧𝑎𝑎 𝑍𝑍2

0,40" 𝑧𝑧𝑎𝑎 𝑍𝑍1

******************************************************************************************* *******************************************************************************************



PROJEKAT OBELEŽAVANJA

Projekat obeležavanja kao i svaki drugi projekat se sastoji iz sledećih delova: • Opšta dokumentacija • Projektni zadatak • Osnove za izradu projekta • Tehnički izveštaj • Prilozi

Tehnički izveštaj sadrži:

1. Osnovni podaci o objektu 2. Osnovni podaci o osnovnoj mreži 3. Izbor metode obeležavanja 4. Proračun tačnosti obeležavanja (usvajaju se najstrožiji kriterijumi, detaljan

postupak proračuna tačnosti daje se u prilogu, navodi se i postupak merenja kojim je moguće postići zadatu tačnost)

5. Tehnički uslovi metode obeležavanja (izbor instrumenata i pribora, način fiksiranja) i kontrola obeležavanja

6. Izveštaj o obeležavanju 7. Predmer i predračun radova 8. Mere zaštite na radu

Prilozi:

1. Spisak koordinata tačaka osnovne mreže 2. Spisak projektovanih koordinata tačaka na objektu 3. Elementi za obeležavanje sa proračunom tačnosti obeležavanja 4. Skica osnovne mreže 5. Skica objekta

Sve oznake tačaka na skicama i u proračunima moraju biti usklađene. Kao kontrola obeležavanja mere se frontovi. U izveštaju o obeležavanju daje se skica obeleženih tačaka sa projektovanim i obeleženim frontovima, čije razlike ne smeju preći dozvoljenu vrednost.

𝜎𝜎𝐹𝐹𝑁𝑁𝑃𝑃𝑁𝑁𝑇𝑇 = 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑂𝑂√2 𝑊𝑊𝐹𝐹𝑁𝑁𝑃𝑃𝑁𝑁𝑇𝑇 = 𝑎𝑎𝑝𝑝𝜎𝜎𝐹𝐹𝑁𝑁𝑃𝑃𝑁𝑁𝑇𝑇

Izbor metode obeležavanja zavisi od više faktora:

• zahtevana tačnost • raspoloživi resursi (instrument i pribor, ljudstvo) • klimatski uslovi • dinamika radova na gradilištu itd.

Metode obeležavanja:

• Polarna metoda • Metoda presecanja pravaca • Slobodno pozicioniranje (presecanje pravaca nazad) • GPS obeležavanje



Tačnost obeležavanje položaja tačke zavisi od više grešaka:

𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑂𝑂2 = 𝜎𝜎𝐷𝐷𝐷𝐷

2 + 𝜎𝜎𝐹𝐹𝐶𝐶𝑋𝑋2 + 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑂𝑂

2 + 𝜎𝜎𝑇𝑇𝜕𝜕2

gde je: 𝜎𝜎𝐷𝐷𝐷𝐷

2 - greška datih veličina (teži se zanemarljivosti ove greške) 𝜎𝜎𝐹𝐹𝐶𝐶𝑋𝑋

2 - greška fiksiranja/materijalizacije tačke (maksimalna vrednost ove greške jednaka je polovini dimenzije belege – npr. kolac dimenzija 1x1 cm proizvodi maksimalnu grešku fiksiranja od 5 mm, kolac sa ekserom 2 mm, ugraviran krst na metalu ili iscrtan tehničkom olovkom na zidu 1 mm) 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑂𝑂

2 - greška odmeranja/obeležavanja 𝜎𝜎𝑇𝑇𝜕𝜕

2 - greška tehničkih uslova (vibracije, prelamanje zraka pri prolasku kroz različite sredine) Tačka se može obeležiti sa običnom tačnošću, precizno i visoko precizno. Sva tri metoda objašnjena su u prethodnim poglavljima (Zanimljiva geodezija ). Greška odmeranja/obeležavanja 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑂𝑂

2 računa se na sledeći način:

𝜎𝜎𝑃𝑃𝑂𝑂2 = 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑂𝑂

2 − 𝜎𝜎𝐹𝐹𝐶𝐶𝑋𝑋2

Proračun tačnosti elemenata za obeležavanje polarnom metodom

𝑌𝑌𝑙𝑙 = 𝑌𝑌𝐶𝐶𝑇𝑇 + 𝑝𝑝𝑙𝑙 ∙ sin(𝜈𝜈𝐴𝐴

𝑂𝑂 + 𝛼𝛼𝑙𝑙) 𝑋𝑋𝑙𝑙 = 𝑋𝑋𝐶𝐶𝑇𝑇 + 𝑝𝑝𝑙𝑙 ∙ cos(𝜈𝜈𝐴𝐴

𝑂𝑂 + 𝛼𝛼𝑙𝑙) Greške koordinata stanice i direkcionog ugla smatranju zanemarljivim (nemaju grešku 𝜎𝜎 ≡0).

𝜎𝜎𝑌𝑌𝑖𝑖2 = 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛2(𝜈𝜈𝐴𝐴

𝑂𝑂 + 𝛼𝛼𝑙𝑙)𝜎𝜎𝑔𝑔𝑖𝑖2 +

𝑝𝑝𝑙𝑙2 ∙ 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2(𝜈𝜈𝐴𝐴

𝑂𝑂 + 𝛼𝛼𝑙𝑙)𝜌𝜌"2 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑖𝑖

2

𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖2 = 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐2(𝜈𝜈𝐴𝐴

𝑂𝑂 + 𝛼𝛼𝑙𝑙)𝜎𝜎𝑔𝑔𝑖𝑖2 +

𝑝𝑝𝑙𝑙2 ∙ 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛2(𝜈𝜈𝐴𝐴

𝑂𝑂 + 𝛼𝛼𝑙𝑙)𝜌𝜌"2 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑖𝑖

2

𝜎𝜎𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑂𝑂2 = 𝜎𝜎𝑌𝑌𝑖𝑖

2 + 𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖2 = 𝜎𝜎𝑔𝑔𝑖𝑖

2 +𝑝𝑝𝑙𝑙

2

𝜌𝜌"2 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑖𝑖2

Primenom principa jednakih uticaja sledi

𝜎𝜎𝑃𝑃𝑂𝑂2 = 𝜎𝜎𝑔𝑔𝑖𝑖

2 +𝑝𝑝𝑙𝑙

2

𝜌𝜌"2 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑖𝑖2 = 2𝐾𝐾2

𝐾𝐾2 = 𝜎𝜎𝑔𝑔𝑖𝑖2 =

𝑝𝑝𝑙𝑙2

𝜌𝜌"2 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑖𝑖2

Gde je:

𝜎𝜎𝑔𝑔𝑖𝑖2 =


2+


2+ (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2𝐷𝐷2)

𝜎𝜎𝜀𝜀2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2𝐷𝐷2

𝜎𝜎𝛼𝛼𝑖𝑖2 =


2�

𝜌𝜌"2

𝑝𝑝12 −

2𝜌𝜌"2 cos 𝛼𝛼𝑙𝑙

𝑝𝑝1𝑝𝑝2+

𝜌𝜌"2

𝑝𝑝22� +


2�

𝜌𝜌"2

𝑝𝑝12 +

𝜌𝜌"2

𝑝𝑝22� +

𝜎𝜎𝜀𝜀2

𝑛𝑛



Ponovo primenom principa jednakih uticaja sračunaju se greške centirisanja instrumenta, signala i greška instrumenta. Napomena: Standard instrumenta se daje u 2 položaja durbina. Ukoliko se merenja (obeležavanje) vrše samo u jednom položaju durbina onda je n=1

2.

U slučajevima kada je nemoguće ostvariti tačnost merenja postavlja se pitanje kako povećati budžet za grešku? Odgovor na pitanje se dobija tako što se greška obeležavanja pomnoži brojem tačaka sa kojih se konkretna tačka može obeležiti - 𝜎𝜎𝑃𝑃𝑂𝑂 ∙ √𝑛𝑛.



PRIMER SADRŽAJA PROJEKTA OSNOVNE 1D I 2D MREŽE 1. OPŠTA DOKUMENTACIJA

1.1. IZVOD IZ REŠENJA O UPISU GEODETSKE ORGANIZACIJE U SUDSKI REGISTAR 1.2. REŠENJE O ODREĐIVANJU ODGOVORNOG PROJEKTANTA I VRŠIOCA UNUTRAŠNJE KONTROLE 1.3. POTVRDA DA ODGOVORNI PROJEKTANT I VRŠILAC UNUTRAŠNJE KONTROLE

ZADOVOLJAVAJU ZAKONOM PROPISANE USLOVE 1.4. IZVEŠTAJ O IZVRŠENOJ UNUTRAŠNJOJ KONTROLI

2. PROJEKTNI ZADATAK ZA IZRADU GLAVNOG PROJEKTA 2.1. PREDMET GLAVNOG PROJEKTA 2.2. OSNOVNI ZAHTEVI INVESTITORA 2.3. USLOVI REALIZACIJE PROJEKTA 2.4. PODACI O RASPOLOŽIVOJ DOKUMENTACIJI I PODLOGAMA ZA PROJEKTOVANJE 2.5. NAZIV GLAVNOG PROJEKTA

3. OSNOVE ZA IZRADU PROJEKTA 4. TEHNIČKI IZVEŠTAJ

4.1. UVOD 4.2. IZVEŠTAJ O POSTOJEĆOJ GEODETSKOJ MREŽI 4.3. PROJEKAT NOVE GEODETSKE MREŽE 4.4. NAMENA OSNOVNE 2D I 1D MREŽE 4.5. PROJEKAT OSNOVNE 2D MREŽE

4.5.1. Koncept Оsnovne 2D mreže 4.5.2. Osnovni podaci o Osnovnoj 2D mreži 4.5.3. Stabilizacija tačaka Osnovne 2D mreže 4.5.4. Koordinatni sistem Osnovne 2D mreže 4.5.5. Plan opažanja sa proračunom mera kvaliteta Osnovne 2D mreže 4.5.6. Proračun tačnosti položaja tačaka Osnovne 2D mreže 4.5.7. Merenja u Osnovnoj 2D mreži 4.5.8. Obrada merenja u Osnovnoj 2D mreži 4.5.9. Izravnanje Osnovne 2D mreže i ocena tačnosti

4.6. PROJEKAT OSNOVNE 1D MREŽE 4.6.1. Koncept Оsnovne 1D mreže 4.6.2. Osnovni podaci o Osnovnoj 1D mreži 4.6.3. Stabilizacija tačaka Osnovne 1D mreže 4.6.4 .Koordinatni sistem Osnovne 1D mreže 4.6.5. Plan merenja sa proračunom tačnosti merenja i proračunom mera kvaliteta

Osnovne 1D mreže 4.6.6. Proračun vrednosti standardnog odstupanja visina tačaka Osnovne 1D mreže 4.6.7. Merenja u Osnovnoj 1D mreži 4.6.8. Obrada merenja u Osnovnoj 1D mreži

4.7. PREDMER I PREDRAČUN GEODETSKIH RADOVA 4.8. MERE ZAŠTITE NA RADU I ZAŠTITE ŽIVOTNE SREDINE 4.9. SADRŽAJ ELABORATA REALIZACIJE PROJEKTA OSNOVNE 2D I 1D GEODETSKE MREŽE

4.9.1. Sadržaj Elaborata realizacije projekta Osnovne 2D geodetske mreže 4.9.2. Sadržaj Elaborata realizacije Osnovne 1D geodetske mreže

5. PRILOZI



GLOBALNI POZICIONI SISTEM (GPS) - PROJEKTOVANJE GPS MREŽE I PLANIRANJE GPS MERENJA -

Globalni pozicioni sistem (Global Positioning System – GPS) je globalni navigacioni satelitski sistem (Global Navigation Satellite System – GNSS) koji pokriva površinu cele planete Zemlje i radi 24 časa dnevno, a namenjen je za navigaciju, određivanje položaja i vremena. Satelitski baziran sistem pozicioniranja NAVSTAR GPS (Navigation Signal Timing and Ranging GPS) ili skraćeno samo GPS, razvijen je u SAD-u od stane Ministarstva odbrane (U.S. DoD – United States Department of Defense) 1973. godine. Prvobitna namena sistema bila je za potrebe američkih vojnih snaga (navigacija), ali ukazom Kongresa na inicijativu predsednika SAD-a Ministarstvo odbrane je NAVSTAR GPS učinio dostupnim i za civilne upotrebe. Postoji široka primena u pozicioniranju i navigaciji: na moru, kopnu, u vazduhu, zatim u geodeziji u oblasti premera, kartografije, geografskim informacionim sistemima, inženjerskoj geodeziji, praćenju pomeranja Zemljine kore, određivanju tačnog vremena i dr. Pored NAVSTAR GPS sateliskog sistema lansiran je ruski GLONASS, koji još uvek nije potpuno funkcionalan, kao i evropski globalni navigacioni sistem GALILEO. Globalni pozicioni sistem sastoji se od tri komponente:

• kosmičke; • kontrolne i • korisničke.

Kosmička komponenta podrazumeva lansirane GPS satelite koji orbitiraju oko Zemlje i imaju sledeće funkcije:

• primanje i čuvanje informacija primljenih od kontrolne komponente, • obrada podataka posredstvom sopstvenog mikroprocesora, • održavanje tačnog vremena posredstvom oscilatora (atomski časovnici), • slanje informacija prema korisniku posredstvom različitih signala, • manevrisanje posredstvom kontrole operatora sistema.

Do sada su lansirane četiri generacije satelita (Blok I, Blok II, Blok IIA, Blok IIR, Blok IIF), tako da je sada dostupno negde oko 30 satelita. Međutim, punu konstelaciju čini 24 satelita postavljenih u 6 orbitalnih ravni sa po 4 satelita u svakoj od njih. Na ovaj način u svakom trenutku sa svake tačke na Zemlji moguće je izmeriti rastojanja do najmanje 4 a najviše 12 satelita. Orbitalne ravni međusobno grade ugao od 60o, a inklinacija je ista za sve satelite i iznosi 55o.Sateliti GPS kreću se na visini od 20200 km od povši Zemlje, brzinom od 4km/s. Period obilaska GPS satelita oko Zemlje je 12 zvezdanih časova. Kontrolna komponenta sastoji se od pet osmatračkih kontrolnih stanica, raspoređenih na Zemlji (Hawaii, Colorado Springs – glavni kontrolni centar, Ascension, Diego Garcia i Kwajalein). Funkcije kontrolne komponente su sledeće:

• Prijem svih GPS signala koji se koriste za kontrolu satelita i proračun njihovih orbita.



• Tri stanice (Ascension, Diego Garcia i Kwajalein) su osposobljene da šalju podatke do satelita, uključujući nove efemeride, časovne korekcije i druge podatke sa porukama i komandama.

Za nas korisnike GPS uređaja najbitnija je korisnička komponenta. Korisnička komponenta može se posmatrati kroz:

• hardver, deo koji se odnosi na instrumente, • softver, deo koji se odnosi na prateći softver i • uputstva, kojih se treba pridržavati u okviru primene GPS mernih tehnika.

Takođe, treba naglasiti da postoje dva korisnička segmenta, a to su vojni i civilni segment. Merenja globalnim pozicionim sistemom Opažanja GPS-om zasnivaju se na merenju rastojanja između satelita i prijemnika, koja se računaju na osnovu merenja vremena ili razlika faza dobijenih upoređenjem signala primljenog sa satelita i signala generisanog u prijemniku. Na osnovu izmerenih rastojanja sa najmanje 4 satelita prostornim presecanjem nazad dobijaju se koordinate prijemnika (X, Y, Z) i vreme t (korekcija časovnika u prijemniku). Razlikuju se dve osnovne vrste merenja:

• kodna merenja (kodovi C/A, P), • fazna merenja (faze nosećih talasa L1 i L2 sa frekvencijama 1575 MHz i 1227 MHz,

respektivno). GPS merene veličine predstavljaju kodne i fazne pseudodužine. Tačnost kodnih pseudodužina je u domenu metra, dok je tačnost faznih pseudodužina u domenu milimetra. Kodna merenja se koriste u oblasti navigacije, a fazna merenja za visoko precizna i tačna određivanja položaja za potrebe geodezije. Za merenja dužina između satelita i prijemnika u geodeziji se koriste jednofrekventni i dvofrekventni prijemnici. Merenja dužina primenom GPS tehnologije, koja se zasniva na prostiranju elektomagnetnih signala na velikim rastojanjima, su u prednosti u odnosu na klasična terestrička merenja jer su nezavisna od vremenskih uslova i doba dana. Takođe, dogledanje tačaka u mreži nije neophodno. Primenom globalnog pozicionog sistema položaj tačke na fizičkoj površi Zemlje moguće je odrediti na dva načina:

• apsolutnim pozicioniranjem i • relativnim pozicioniranjem.

U geodeziji se koristi relativno pozicioniranje jer se dobija veća tačnost u odnosu na apsolutno pozicioniranje. U sledećoj tabeli date su metode relativnog pozicioniranja koje se koriste u geodeziji sa tačnošću svake od njih.



Metode relativnog pozicioniranja Horizontalna tačnost Vertikalna tačnost Statika 5 mm + 0,5 ppm 10 mm + 0,5 ppm Brza statika 5 mm + 0,5 ppm 10 mm + 0,5 ppm Kinematika sa naknadnom obradom (PPK) 10 mm + 1 ppm 20 mm + 1 ppm

Kinematika u realnom vremenu (RTK) 10 mm + 1 ppm 20 mm + 1 ppm

Kao i ostala geodetska merenja i GPS merenja su opterećena različitim greškama. S obzirom na podelu grešaka prema karakteru na slučajne, sistematske i grube greške, i greške koje utiču na tačnost GPS merenja možemo razvrstati u ove kategorije. Slučajne greške nastaju kao posledica nesavršenosti konstrukcije instrumenta, i izučavaju se korišćenjem teorije verovatnoće. Nepredvidive su po veličini i znaku. Sistematske greške se javljaju kao posledica neke zakonistosti. Prilikom GPS merenja u sistematske greške se ubrajaju greške koje potiču od satelita (greška efemerida, greška časovnika, uticaj geometrijskog rasporeda satelita GDOP), zatim greške koje potiču od prijemnika (fazni skokovi, fazna neodređenost) i na kraju, greške koje potiču od sredine kroz koju se signal prostire (jonosferska i troposferska refrakcija, višestruka refleksija). Grube greške su posledica nemarnosti operatora ili nepoznavanja metode merenja. PLANIRANJE GPS MERENJA Pre početka GPS merenja neophodno je utvditi svrhu merenja i poznavati tačnost izlaznih rezultata (koordinata), kako bi se moglo izvršiti optimalno planiranje merne kampanje. Prilikom optimalnog planiranja GPS merne kampanje u vidu treba imati nekoliko ključnih faktora, i to:

• konfiguraciju gradilišta (terena), • konstelaciju satelita, • broj i vrstu prijemnika i • ekonomski aspekt.

Kod GPS merenja geometrija mreže nije ključni aspekt na koji treba obraćati posebnu pažnju, ali svakako što je bolja geometrija mreže to su i rezultati merenja pouzdaniji. Takođe, u fazi planiranja trebalo bi razmotriti i procesiranje podataka, utvrditi koji softveri su nam dostupni i koji su njihovi zahtevi i karakteristike, odnosno šta dobijamo kao izlazni rezultat. Pored softvera za naknadnu obradu, procesiranje podataka GPS merenja, razvijeni su i softveri koji se koriste prilikom planiranja merenja. Jedan od takvih softvera je Trimble Planning, koji predstavlja ekstenziju dobro poznatog Trimble Total Control softvera za procesiranje GPS merenja. Na tržištu postoji veliki broj softvera za planiranje i procesiranje GPS podataka, ali isto tako moguće je GPS merenja planirati i upotrebom nekog od online alata za planiranje mernih kampanja, kao što je Trimble GNSS Planning Online. Upravo ovaj alat biće prikazan kroz dalje objašnjenje postupka planiranja GPS merenja. Faze planiranja GPS merne kampanje:

1. Izbor tačaka 2. Izbor broja i tipa prijemnika 3. Izbor perioda za opažanje (Observation window) 4. Izbor vremenskog intervala opažanja – dužine merenja (opažačka sesija) 5. Obilazak terena



6. Stabilizacija tačaka 7. Plan organizacije merenja

Izbor tačaka GPS mreže moguće je odrediti sa topografskih karata u razmeri 1:25000 do 1:100000. Takođe, prilikom izbora tačaka bilo bi poželjno imati i saobraćajnu kartu pri ruci, kako bi imali uvid u podatke kako najlakše stići do određenih tačaka kad počne merenje. U GPS mrežu je neophodno uključiti i tačke postojeće državne referentne mreže (najmanje 3) zbog određivanja transformacionih parametara za uklapanje GPS mreže u državni koordinatni sistem (ili neki lokalni koordinatni sistem). Koordinate tačaka koje se dobijaju iz GPS merenja, kao što je poznato, su koordinate na elipsoidu WGS-84. Tri osnovna pravila za izbor mesta tačaka GPS mreže su:

• na okolnom terenu ne sme da bude prepreka iznad 20o iznad horizonta kako bi se izbeglo blokiranje GPS signala,

• da nema reflektujućih površina u blizini prijemnika kako bi se izbegla greška merene pseudodužine usled višestruke refleksije (multipath), i

• da u blizini nema električnih instalacija kako bi se izbeglo ometanje signala. U odnosu na raspoložive ljudske i materijalne resurse i zahteve date u projektnom zadatku vrši se izbor broja i tipa GPS prijemnika (jednofrekventni ili dvofrekventni). Izbor perioda za opažanje (Observation window). U ovom koraku razmatra se kako odrediti optimalno vreme za opažanje u toku dana na osnovu broja elektronski vidljivih satelita na nebu iznad područja na kome se razvija GPS mreža. Minimalan broj vidljivih satelita je 4. U ovoj fazi planiranja od velike koristi je tabela vidljivosti satelita i mapa neba (sky plot) iznad određene lokacije. Upravo ove podatke nam obezbeđuju softveri za planiranje GPS merenja. Pored toga, ključnu ulogu u odabiru perioda opažanja igraju i DOP faktori, odnosno geometrija satelita. Postupak izbora perioda za opažanje korišćenjem alata Trimble GNSS Planning Online biće ukratko prikazan u sledećim koracima:

1. Prvo što je neohodno podesiti je izbor lokacije na kojoj će se vršiti GPS merenja, elevacioni ugao (u ovom slučaju je 10o, što predstavlja default vrednost datu u programu, koja se naravno može promeniti u zavisnosti od konfiguracije terena i zahteva projekta), zatim moguće definisati i prepreke na terenu zadavanjem azimuta i elevacionog ugla (Obstuctions). Takođe, vrši i izbor dana i perioda u toku dana za koji se želi videti raspored satelita za lokaciju od interesa. Na sledećim slikama prikazana su opisana podešavanja.



2. S obzirom da oko Zemlje kruži ukupno 71 satelit, od kojih je 68 dostiglo punu

funkcionalnost, potrebno je označiti na osnovu koje grupe satelita će se vršiti merenja i računati koordinate tačaka mreže. U praksi se koristi američki GNSS NAVSTAR GPS, i on i u ovom slučaju čini osnovu za planiranje GPS merne kampanje. Izbor satelita vrši se u katrici Satellite Library.



3. Elevacija satelita, broj satelita, DOP faktori, vidljivost iznad određene lokacije u toku dana, šema neba dobijaju se klikom na određene kartice u Trimble GNSS Planning Online. Na sledećim slikama respektivno su prikazani pobrojani grafici i šeme koje omogućavaju izbor perioda za opažanje.



Postoji još jedna više zanimljiva nego korisna opcija a to je World View, i data je na sledećoj slici.



Već je pomenuto da DOP faktori igraju ključnu ulogu u izboru perioda za merenje, pa se postavlja pitanje šta zapravo DOP (Dilution of Precision) faktori predstavljaju? Geometrija vidljivih satelita je veoma važan faktor u postizanju kvalitetnih rezultata posebno za određivanje položaja tačaka i kinematičku metodu relativnog pozicioniranja. DOP vrednosti su visoko korelisane sa geometrijom satelita koja se menja u vremenu zbog relativnog kretanja satelita. Samim tim DOP vrednosti zavise i od broja vidljivih satelita. Upravo ove vrednosti predstavljaju pokazatelj kvaliteta geometrije. Što je manja vrednost DOP faktora to je bolja geometrija satelita, što opet znači da ćemo dobiti kvalitetnija rešenja. Dobra geometrija podrazumeva da su sateliti ravnomerno raspoređeni u sva 4 kvadranta. Generalno DOP faktori se mogu sračunati iz kofaktorske matrice Qx. Za proračun DOP faktora nisu nam neophodna merenja, već se pozicije satelita računaju iz almanac fajla koji sadrži podatke o putanji satelita.

𝑄𝑄𝑋𝑋 = �

𝑞𝑞𝑋𝑋𝑋𝑋𝑞𝑞𝑌𝑌𝑋𝑋𝑞𝑞𝑁𝑁𝑋𝑋𝑞𝑞𝑡𝑡𝑋𝑋

𝑞𝑞𝑋𝑋𝑌𝑌𝑞𝑞𝑌𝑌𝑌𝑌𝑞𝑞𝑁𝑁𝑌𝑌𝑞𝑞𝑡𝑡𝑌𝑌

𝑞𝑞𝑋𝑋𝑁𝑁𝑞𝑞𝑌𝑌𝑁𝑁𝑞𝑞𝑁𝑁𝑁𝑁𝑞𝑞𝑡𝑡𝑁𝑁

𝑞𝑞𝑋𝑋𝑡𝑡𝑞𝑞𝑌𝑌𝑡𝑡𝑞𝑞𝑁𝑁𝑡𝑡𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡

�

𝐺𝐺𝐷𝐷𝐺𝐺𝑃𝑃 = �𝑞𝑞𝑋𝑋𝑋𝑋 + 𝑞𝑞𝑌𝑌𝑌𝑌 + 𝑞𝑞𝑁𝑁𝑁𝑁 + 𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑃𝑃𝐷𝐷𝐺𝐺𝑃𝑃 = �𝑞𝑞𝑋𝑋𝑋𝑋 + 𝑞𝑞𝑌𝑌𝑌𝑌 + 𝑞𝑞𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑇𝑇𝐷𝐷𝐺𝐺𝑃𝑃 = �𝑞𝑞𝑡𝑡𝑡𝑡 𝐻𝐻𝐷𝐷𝐺𝐺𝑃𝑃 = �𝑞𝑞𝑋𝑋𝑋𝑋 + 𝑞𝑞𝑌𝑌𝑌𝑌 𝑉𝑉𝐷𝐷𝐺𝐺𝑃𝑃 = �𝑞𝑞𝑁𝑁𝑁𝑁



U sledećoj tabeli date su karakteristične vrednosti DOP faktora: DOP vrednost Rang Opis

1 Idealan Najveća moguća tačnost i pouzdanost koja se može ostvariti u određenom vremenskom trenutku.

1-2 Odličan Tačnost sa kojom je moguće izvoditi visoko precizne radove.

2-5 Dobar Tačnost koja se koristi u navigaciji i za standardne geodetske radove.

5-10 Umeren Tačnost koja se koristi za proračune.

10-20 Dovoljan Gruba tačnost položaja tačke. Koristi se za projektovanje, određivanje približnih pozicija tačaka.

>20 Loš Loša tačnost merenja. Treba izbaciti sva merenja sa DOP faktorom većim od 20 iz obrade podataka.

Izbor vremenskog intervala opažanja – dužine merenja (opažačka sesija). Nakon što je izabran period opažanja neophodno je izabrati i dužinu trajanja merenja (opažačku sesiju). Faktori koji utiču na dužinu sesije su:

• rastojanja između tačaka, • broj satelita, • geometrijska određenost (GDOP) i • vrsta prijemnika.

Opšti izraz za računanje vremena merenja u geodetskoj mreži u odnosu na način pozicioniranja i vrstu prijemnika, dat je u sledećoj tabeli:

Metode relativnog pozicioniranja

Jednofrekventni prijemnici L1

Dvofrekventni prijemnici L1/L2

Relativno statičko pozicioniranje 30 min + 3 min/km 20 min + 2 min/km

Relativno brzo statičko pozicioniranje 20 min + 2 min/km 10 min + 1 min/km

Treba napomenuti da što je veći broj vidljivih satelita, to je bolja geometrija i sesije traju kraće. Uvek treba obezbediti dovoljnu dužinu sesije da se zadovolji zahtevana tačnost, ali opet treba imati u vidu da duže sesije i koštaju više. Obilazak terena. Pre početka merenja neophodno je izvršiti rekognosciranje terena, odnosno proveru terena kako bi se utvrdilo da nema prepreka za obavljanje merne kampanje („čisto“ nebo, nema reflektujućih površina itd.). Takođe, treba obratiti pažnju na dostupnost tačaka, čime se dobija na uštedi vremena između sesija. Stabilizacija tačaka. Kada su konačno određeni položaji tačaka i izvšeno rekognosciranje terena sledi stabilizacija tačaka mreže. U zavisnosti od zahtevane tačnosti izlaznih rezultata i konfiguracije terena, tačke mogu biti stabilizovane na neki od sledećih načina:

• metalne bolcne u asfaltu, • betonski stubovi različitih dimenzija.



Plan organizacije merenja. Prilikom plana organizacije merenja vrši se formiranje terenskih ekipa sa dodeljivanjem opreme i rasporeda tačaka za svaku ekipu, definiše se broj mernih sesija na jedan od sledeća dva načina:

1. 𝒎𝒎 = 𝒔𝒔−𝒐𝒐𝒓𝒓−𝒐𝒐

; 𝒓𝒓 > 0 𝑛𝑛 𝑝𝑝 ≥ 1 gde je : n – broj sesija s – broj tačaka u mreži r – broj prijemnika o – broj preklapajućih tačaka između sesija Primer: s=4 Slika: r=2 → n=2 o=2

2. 𝒎𝒎 = 𝒎𝒎𝒔𝒔

𝒓𝒓

U ovom slučaju svaka tačka mora biti zauzeta m puta. Prilikom projetovanja mreže, odnosno plana organizacije merenja treba obratiti pažnju da do svake tačke dolaze najmanje 2 vektora ili da svaka tačka bude zauzeta najmanje 2 puta kako bi se obezbedila redudantna merenja za izravnjanje mreže. Primer organizacije merenja u jednoj mreži: Broj tačaka u mreži je 9, koriste se 3 prijemnika, broj sesija je 4 (sračunato po prvoj formuli, za broj preklapajućih tačaka usvojeno 1). „Leap frogging“ metod: Prijemnik Sesija a b c d

A P2 P4 P4 P6 B P5 P5 P1 P3 C P8 P6 P7 P9



Skica mreže:

Oblik GPS mreže može biti:

• radijalan • zatvoreni poligoni.

Kod radijalnih mreža jedan prijemnik je fiksiran, dok su ostali radijalno raspoređeni oko njega. Ovaj slučaj se najčešće sreće prilikom relativnog kinematičkog pozicioniranja. Skica radijalne mreže:

Prilikom relativnog statičkog pozicioniranja u geodetskim mrežama ključnu ulogu igra tačnost izlaznih rezultata. Da bi se to postiglo neophodno je da merenja budu sistematski uređena u mrežu u kojoj je obezbeđeno zatvaranje figura.



Za dizajn ovakve mreže neophodno je ispuniti sledeća tri zahteva: • mreža se mora sastojati od zatvorenih figura (omogućena kontrola izmereneh

veličina, poboljšava se tačnost izlaznih rezultata), • veza se mora izvršiti sa najmanje 3 kontrolne tačke (u horizontalnom smislu)

između kojih se izvode direktna merenja, • veza za visinsko uklapanje u DKS (ili lokalni koordinatni sistem) se uzima sa

najmanje 4 kontrolna repera.

PROJEKTOVANJE GEODETSKIH RADOVA U INŽENJERSTVU...Zakon o javnim putevima (Službeni glasnik RS, br....

Documents

Transcript of PROJEKTOVANJE GEODETSKIH RADOVA U INŽENJERSTVU...Zakon o javnim putevima (Službeni glasnik RS, br....