Projekt 2.18 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons ... · støtter han sig især til den...

Hvad er matematik? 3 ISBN 9788770668781 Projekter: Kapitel 2. Integralregning. Projekt 2.18 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismatoider

© 2019 L&R Uddannelse A/S • Vognmagergade 11 • DK-1148 • København K • Tlf: 43503030 • Email: [email protected]

Projekt 2.18 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons prismatoider

1.1 Keplers vintønder Kepler fortæller selv om hvordan han i 1613 blev optaget

af problemerne med opmåling af vintønder:

"Da jeg i november sidste år havde hjembragt en ny kone

til mit hus, var det netop på dette tidspunkt, at en

omfattende og lige så fremragende vinhøst blev ført op på

utallige pramme langs Donau, og overfloden af denne

rigdom blev fordelt til vores Noricum (Østrig), så

hele flodbredden i Linz var overstrøet med vintønder, der

blev tilbudt til en overkommelig pris. Fordi min pligt som

ægtemand og en god familiefader krævede at jeg

forsynede mit hus med det nødvendige lager, lod jeg

mange tønder hente til mit hus, for at opbevare dem der.

Fire dage senere kom nu sælgeren med en målestok

(visierrute), som han brugte som det eneste værktøj, for at

opmåle alle tønder uden at tage hensyn til deres form eller

foretage eventuelle beregninger. Han satte spidsen af

jernstangen skævt ned i spunsen af den fulde tønde indtil

den nåede bunden af det cirkulære trælåg, som vi i det

lokale sprog kalder basen. Når han på denne måde havde

fundet begge sider af længden fra toppen af fadrundingen

til det laveste punkt i de to cirkulære baser, fandt han på

staven det mærke, der svarede til det punkt, hvor denne

længde ophørte, og angav antallet af spande vin, der var

hældt op i tønden, og satte det fastlagte antal i forhold til

prisen.

Det virkede underligt, hvis det skulle være muligt at

afgøre rumfanget af en halv tønde alene ud fra den

fastlagte linje på tværs af tønden, og jeg var i tvivl om

pålideligheden af disse målinger. "

Kepler kastede sig straks over problemet med såvel at

finde rumfanget for vintønden teoretisk som at angive

praktiske metoder til opmåling af vintønder. Resultatet

blev skriftet Stereometria Doliorum Vinarium

(rumfangsberegninger for vintønder) fra 1615, som han

indledte med et længere supplement til Archimedes, hvor

han forenklede Archimedes argumenter for

rumfangsberegninger af omdrejningslegemer frembragt af

keglesnit. Det lykkedes Kepler at udvide repertoiret for

legemer, som man kunne finde rumfanget af. Fx fandt han

rumfanget for en torus (badering) og det lykkedes også at

finde passende modeller for vintønder, så han kunne

håndtere problemet teoretisk.

Ideen med brugen af en visierrute (målestok) kan

forklares således: Hvis tønden havde form som en cylinder

kunne man have brugt en såkaldt planimetrisk viserrute

Opmåling af vintønder (Kilde ukendt).

Vintønden opmåles med en målestok.

(se yderligere: www.keplerraum.at)

Opmåling af vintønder (Kilde: Adrianus Metius

1633). Vintønden opmåles ved at finde

længderne OB og OE fra spunshullet O til

bundpunkterne B og E.

Visierrute (1600-tallet, Dresden) i træ med

sølvbeslag.

(se yderligere: http://skd-online-

collection.skd.museum/de/contents/show?id=50475)

http://www.keplerraum.at/

http://skd-online-collection.skd.museum/de/contents/show?id=50475

http://skd-online-collection.skd.museum/de/contents/show?id=50475



forsynet med en lineær skala til opmåling af afstande og en kvadratisk skala til angivelse af (cirkelformede) arealer. Ved at stikke viserruten lodret ned gennem spunshullet kunne man derfor finde tværsnitsarealet, ved at holde den på langs af tønden kunne man finde tøndens dybde. Produktet af de to giver nu netop cylinderens rumfang: V A h= .

Men de østrigske vintønder måles med et kubisk visier eller et såkaldt diagonalvisier, der angiver rumfanget direkte. Det bygger på det forhold at for to ligedannede vintønder er forholdet mellem rumfangene det samme som kuben (dvs. tredje potens) på forholdet mellem diagonalerne. Det forudsætter at østrigske vintønder bygges i et bestemt forhold mellem højde og bredde. Kepler fandt da at forholdet for østrigske vintønder faktisk er optimalt, jf. projektet Keplers vintønder, B-bogen, kapitel 4.

Vintønder kan i første tilnærmelse modelleres med en cylinder, i anden omgang med to keglestubbe, se figur.

Øvelse 1

a) Gør rede for at den indskrevne cylinder med højden h frembragt af endefladen med diameteren d og den omskrevne cylinder frembragt af bugen med diameteren D har rumfangene

2indskreven cylinder

π

4V d h= , 2

omskreven cylinder

π

4V D h= .

b) Gør rede for at de to keglestubbe tilsammen har rumfanget

( )2 2to keglestubbe

π 1

4 3V D D d d h= + +

Keplers tønderegel fremkommer ved en simpel modifikation af reglen for keglestubbene. De to keglestubbe giver et resultat, der er lidt for lille: Ved at erstatte d med D i det midterste produkt D d fås et lidt større rumfang, der ligger mellem de to keglestubbe og den omskrevne cylinder:

Sætning 1: Keplers tønderegel En vintøndes rumfang er med tilnærmelse givet ved

( )2 2π2

6V D d h +

Øvelse 2 For Østrigske vintønder fandt Kepler at der med god

tilnærmelse gælder 2h d= . Gør rede for at rumfanget af den indre cylinder med god

tilnærmelse er givet ved 30.60V s= hvor s er længden af visieret (Keplers visierregel).

Opmåling af vintønde med planimetrisk visierrute (Kilde:Adam-Ries-museum, billede fra

vinkælderen bygget ca. 1500). Annaberg-Buchholz, Tyskland (grænsen mod Tjekkiet).

Keplers figur til modellering

af Østrigske vintønder. Den østrigske vintønde har form som en udbulet cylinder, eller mere præcist: Man kan tænke på den som værende sammensat af to keglestubbe, hvis modsatte ender er skåret i gennem af trælåg, og deres fælles basis, der adskiller de to keglestubbe, udgøres af den største cirkel langs bugen af tønden. I figuren er HEFG cylinderen, ABC den ene kegle, og den anden strækker sig tilsvarende fra AC til ND. Den ene afgrænses af en afstumpet keglespids EBG, den anden afskæres af HF. De to keglestubbe udgøres af AEGC og AHFC, med den fælles grundflade AC.

SR Q

Z

X

OP

B

C

E G

FH

I

N

A

K

L

M

D

V

T

Y



Men for at få alvor styr på krumningen må Kepler kigge på omdrejningslegemer frembragt af krumme kurver, og her støtter han sig især til den omfattende teori for keglesnit, der var overleveret fra antikken. Men det lykkes ikke for Kepler at finde en generel metode til rumfangsberegninger og han støder flere steder panden imod en mur.

Hvad der gælder for cylindrene og keglestubbene kan også anvendes på en tønde, fordi den kun afviger lidt fra den cylindriske form, ligesom formen af de to keglestubbe afviger endnu mindre, så længe stavene på tønden, som her repræsenteres af kurven CRF kun buer lidt udad.

Øvelse 3 Kepler forfiner også modellen for en vintønde ved at inddrage keglesnit:

På fuldstændigt samme måde er den midterste del af enhver tønde frembragt af en cirkelformet udsnit af en citron eller et lodret elliptisk segment eller en parabolsk blomme, men for det meste en hyperbolsk spindel med lige store afskårne stykker fra toppunkterne på begge sider. Grunden til at jeg fremhæver den hyperbolsk spindel er at tønderne fortrinsvis krummer på midten, og at de går over i en kegleflade mod enderne, så at låget lettere kan sluttes til og dermed fæstnes bedre. Dette er faktisk tilfældet for begge hyperblerne og de deraf frembragte spindler idet deres grene gradvist overgår fra krumningen i midten til de retlinjede asymptoteretninger. Det samme gælder i et vist omfang også den parabolske spindel og den elliptiske blomme; tydeligst er det dog ved den hyperbolske spindel, noget mindre ved den elliptiske blomme, om end ikke for enhver omdrejningsellipsoide, kun dem, der er frembragt af et lodret ellipsesegment, hvis akse efter afstumpningen ikke når helt op til brændpunktet; den samme begrænsning gælder for den parabolske spindel. I en oliven, som er frembragt fra et punkt mellem toppene af ellipsesegmentet, finder det modsatte sted, fordi den ud mod enderne bøjer kraftigere end i midten og dermed afviger mere fra tøndefiguren. Alligevel vil jeg ikke benægte, at man nogle gange kan støde på en tønde, der har form som en afskåret oliven, men ikke på grund af en tilsigtet udformning fra håndværkeren, men på grund af en fejl i udførslen.

Læs beskrivelsen igennem og prøv at illustrere Keplers brug af keglesnit og frugter til at modellere en vintønde. Hvad er fx en citron, en blomme, en oliven? (I sin bog benytter Kepler også æbler og kvæder som modeller for rumlige legemer ☺)

Betydningen af Keplers vintønder er derfor først og fremmest at han stimulerede integralregningens udvikling: Hans udfordringer blev taget op af især de italienske matematikere Cavalieri og Torricelli (elever af Galilei). Først med den generelle metode udviklet af Newton (og uafhængigt heraf af Leibniz) lykkedes det at finde en generel metode til rumfangsberegninger. Samtidigt lykkedes det at systematisere rumfangsformlerne og påvise at et forbløffende stort antal rumfangsberegninger kan føres tilbage til en enkelt universel formel, prismatoidformlen.

1.2 Newtons prismatoidformel Eksempel: Moskva papyrussens formel for rumfanget af en pyramidestub.

Ifølge et taleksempel fra Moskvapapyrussen (se projekt 2.21) er rumfanget af en pyramidestub med kvadratiske endeflader givet ved formlen

( )2 213V a a b b h= + +

hvor a og b er kanterne i endefladerne og h er højden af pyramidestubben. Spørgsmålet er nu dels, hvordan man kan udlede en sådan formel, dels hvordan man kan forstå formlen? Vi bemærker da først at hvis vi bruger

formlen for en pyramides rumfang 13Volumen højde grundflade= fås

( )

2 21 13 3

2 21 13 3

2 2 21 1 13 3 3

2 2 21 13 3

( )

b a

a a

a a

a

V h b h a

h h b h a

h b h b h a

h b h b a

= −

= + −

= + −

= + −

Vi udnytter at b ah h h= +

Vi ganger parentesen ud

Vi sætter ah uden for en parentes

Men af ligedannethed fås nu

hb

ha

h

a

b



( )

a

b

a

a

a a

a

a

h a

h b

h a

h h b

h b h a h a

h b a h a

ah h

b a

=

=+

= +

− =

= −

Vi udnytter at b ah h h= +

Vi ganger overkors

Vi samler leddene med ah på venstre side

Vi isolerer ah

Indsættes det i rumfangsformlen fås netop Moskva papyrussens formel

( )

( )

( )

2 2 21 13 3

2 2 21 13 3

2 221 1

3 3

21 13 3

2 21 1 13 3 3

2 213

( )

aV h b h b a

ah b h b a

b a

b ah b h a

b a

h b h a b a

h b h a b h a

h a a b b

= + −

= + −−

−= +

−

= + +

= + +

= + +

Vi indsætter udtrykket for ah

Vi flytter rundt på faktorerne i sidste led

Vi forkorter brøken ved hjælp af kvadratreglen 2 2 ( ) ( )b a b a b a− = + −

Vi ganger parentesen ud

Vi sætter 13 h uden for en parentes

Men hvordan skal vi nu tolke denne formel? Den minder om formlen for

rumfanget af en pyramide, idet den sidste faktor 2 2a a b b+ + kan tolkes som et areal. De to yderste led er simple nok: Det er arealet af bundkvadratet henholdsvis arealet af topkvadratet. Men hvordan skal vi forstå det midterste led a b ? Her kan man få den ide at kigge på arealet af et tværsnit midtvejs i pyramidestubben. Det tilhørende kvadrat har da

sidelængden 2

a b+ og dermed arealet ( )

2

2 214 2

2

a ba a b b

+ = + +

.

Læg mærke til hvordan det begynder at ligne rumfangsformlen for en pyramidestub. Vi giver nu rumfangsformlen lidt massage

( )

( )

( )

( )( )( )( )

( )

2 213

2 216

2 2 2 216

22 216

22 21 16 4

1top midt bund6

2 2 2

2

4

4

V h a a b b

h a a b b

h a a a b b b

h a a b b

h a a b b

h A A A

= + +

= + +

= + + + +

= + + +

= + + +

= + +

Vi dividerer med 2 udenfor parentesen og ganger med 2 inde i parentesen.

Vi omformer 22a til 2 2a a+ og tilsvarende for 22b

Vi samler de midterste led til kvadratet på en toleddet størrelse

Vi ganger og dividerer det midterste led med 4

Vi indsætter formlerne for arealerne

Dette er netop prismatoidformlen for en pyramidestub! Det er ikke så svært at vise at den gælder for en vilkårlig pyramidestub, uanset grundfladens form, og at den også udstrækkes til keglestubbe. Men faktisk gælder den også for fx udsnit af kugler, hvilket vi vender tilbage til, så det er klart at det er en meget omfattende formel. Men præcis hvor omfattede den egentlig var forblev længe uafklaret.

a+b

2

hb

ha

h

a

b



Det første gennembrud skyldes Newton, der fandt en generel formel til udregning af rumfang afgrænset af passende polyedre. Sådanne rumfangsberegninger har stor ingeniørmæssig interesse. Når man fx skal anlægge veje har man brug for at vide hvor meget jord man skal bortskaffe (eller fremskaffe) og meget ofte kan man modellere udgravningen med en prismatoid, dvs. et polyeder afgrænset af to parallelle polygoner som endeflader, hvor polygonerne ikke behøver at have samme antal hjørner. Man kan altså tænke på prismatoiden som en 3-dimensional generalisation af et trapez. Prismatoiden har sideflader, hvis kanter forbinder hjørnerne i disse to polygoner. Sidefladerne er altså enten trekanter eller firkanter.

En endeflade kan også udarte til et linjestykke eller et punkt, hvorfor prismatoider omfatter ikke blot prismer, men også kiler, pyramider, pyramidestubbe osv.

Newton fandt rumfanget ved at skære prismatoiden over med en plan midtvejs mellem endefladerne. Derved fås et tværsnit, der selv er en polygon. Vælges et indre punkt O i dette midtertværsnit, kan vi spalte prismatoiden i et antal pyramider afgrænset af enten endefladerne eller sidefladerne. Newton havde ikke svært ved at finde rumfanget for hver af disse pyramider:

Endefladerne har arealerne 1A og 2A . De tilhørende højder for pyramiderne udgør den halve højde af prismatoiden.

Deres bidrag til rumfanget er derfor givet ved

E

F

A

B

DC

O

h

A2

A1

A

B

DC

O

E

F

A

B

DC

O



1 1 1

1 1 13 2 6V A h A h= = og 1 1 12 2 23 2 6V A h A h= =

Sidefladerne er lidt mere indviklede. Vi ser på sidefladen ABCD som et eksempel. Det er en firkant, men ikke en vilkårlig firkant: Det er nødvendigvis et trapez! Trekanten ABC udspænder nemlig en plan, der også må indeholde D. Men dette plan skærer de to parallelle endeflader i to parallelle snit, dvs. AB er parallel med CD. Midtvejs mellem de to parallelle kanter AB og CD finder vi netop grundlinjen i trekanten OEF. Grundlinjen EF er derfor gennemsnittet af de to kantlængder AB og CD. Hvis midtertværsnittet OEF står vinkelret på sidefladen ABCD gælder derfor den følgende snedige omskrivning af rumfanget:

13

13

2 13 2

23

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

Volumen OABCD højde O ABCD Areal ABCD

højde O ABCD h længde EF

højde O ABCD længde EF h

Areal OEF h

= −

= −

= −

=

Men selv om midtertværsnittet står skråt gælder præcis den samme omskrivning stadigvæk på grund af ligedannede trekanter, jfr. øvelse 4 Øvelse 4

Hvis vi ser på prismatoiden fra siden, så de parallelle planer gennem sidefladerne og midtertværsnittet fremstår som rette linjer, fås som vist en plan figur, der indeholder såvel trekantens højde, som pyramidens højde og tilsvarende både afstanden h mellem de parallelle sideflader og grundlinjen i sidefladen ABCD.

a) Argumentér ud fra ligedannethed at der må gælde højde i pyramide højde i prismatoid

højde i trekant højde i sideflade=

b) Argumentér for at den ovenstående formel for rumfanget 23 [ ]V Areal OEF h= også må gælde selvom

midtersnittet OEF står skævt på sidefladen ABCD.

Sidefladernes bidrag er derfor alt i alt givet ved

( )

23

23

23

[ ] ...

( ) ...

midt

midt

V Areal OEF h

Areal OEF h

A h

= +

= +

=

Det samlede rumfang er derfor givet ved formlen

Højden i tre-kanten OEFHøjden i pyra-

miden OABCD

Højden i sidefladen ABCDQ

P

E,FA,B C,D

O

E

F

A

B

DC

O



Sætning 2: Newtons Prismatoidformel Rumfanget af en prismatoid er givet ved

( )11 2 1 26 4midt midtV V V V A A A h= + + = + +

Newton selv mente i øvrigt ikke der var tale om ny viden men blot om en genopdagelse af en gammel hemmelig viden der gik tilbage til ægyptisk visdom. Newton kendte dog ikke til Moskvapapyrussen, men støttede sine antagelser på en alkymistisk tradition, ifølge hvilken grækerne, hvor fx Thales og Pythagoras havde studeret i Ægypten, havde kendskab til en esoterisk viden om den ægyptiske visdom som antydet i de såkaldte hermetiske skrifter, som Newton var velbevandret i.

Hermes trismegistus, Siena (ca. 1480)

Bemærkning: Prismatoidformlen kan også tolkes som at middeltværsnitsarealet er givet ved det vægtede gennemsnit

( )11 26 4 midtA A A A= + +

Man skulle nu tro at en så simpel formel ville finde anvendelse alle vegne i ingeniørarbejder mm. hvor man skal vurdere hvor meget jord man skal grave væk, hvor meget tømmer man har fældet osv. Men i praksis er den for indviklet at bruge, netop fordi den kræver kendskab til tværsnitsarealet på midten. I praksis bruger man derfor i stedet den simplere formel

( )11 22V A A h +

vel vidende at den i almindelighed er forkert! Til gengæld er den nem at regne på. Skal det være fint slår man så efterfølgende op i en tabel og finder en korrektionsformel for det givne prismatoid. Men da forskellige prismatoider alt efter deres sammensætning har forskellige korrektionsformler er også denne metode ret omstændelig i praksis.

1.3 Simpsons formel Newton overlod til sin elev Simpson at generalisere prismatoidformlen til omdrejningslegemer frembragt af passende keglesnit. Simpson var søn af en selvlært væver, og skulle egentlig selv have været en væver, men en solformørkelse vakte hans interesse for matematik og naturvidenskab og mod alle odds lykkedes det ham at tilkæmpe sig en boglig uddannelse og siden hen blive udnævnt som professor i matematik. Selv om han ikke var den første til at anvende den nye integralregning til at finde rumfang blev hans metode hængende, så han i dag tilskrives æren for at have fundet den såkaldte simpsons formel.

I 1743 udgav han ’Mathematical dissertations on a variety of physical and analytical subjects’ (blandede afhandlinger om emner fra fysik og matematik), hvor han bl.a. diskuterer den nu berømte tilnærmelsesformel for integraler:

A2

Amidt

A1



Simpsons ide er at approksimere grafen abc med et stykke af en parabel, der går gennem de samme tre punkter a, b og c og så finde arealet af denne approksimerende parabel udtrykt ved ’ordinaterne’, dvs. y-værdierne for grafpunkterne.

Hans næste træk er elegant: Han betragter parallelogrammet udspændt af sekanten ac, der forbinder grafpunkterne hørende til endepunkterne A og C og midtpunktstangenten ST hørende til midtpunktet B. Han konstaterer derefter at området mellem midtpunktstangenten og parabelbuen (rødt) netop må udgøre 1/3 af parallelogrammet. Tilsvarende må området mellem parabelbuen og sekanten (gult)netop udgøre 2/3 af parallelogrammet.

Argumentet er at parablen opfører sig på samme måde som en

pyramide, hvis rumfang netop udgør 1/3 højde grundflade og det er den samme tredjedel!

I dag ser vi på forskellen mellem midtpunktstangenten (grafen for en

lineær funktion) og parablen (grafen for et andengradspolynomium). I moderne forstand udgør denne forskel et andengradspolynomium, der er 0 på midten og har hældningen 0 på midten, dvs. det har en forskrift

på formen 2y k x= , men Simpson appellerer selvfølgelig blot til

standardviden om parabler. For at finde arealet skal vi integrere

forskellen. Stamfunktionen er da givet ved 213 k x og det er præcis herfra

tredjedelen kommer. Simpson bemærker dernæst at arealet af trapezet frembragt af

sekanten er for lille, mens arealet af trapezet frembragt af midtpunktstangenten er for stort, og at fejlen hørende til sekanten (dvs. det gule område = 2/3 parallelogram) netop er dobbelt så stor som fejlen hørende til midtpunktstangenten (dvs. det røde område = 1/3 parallelogram).

Altså kan vi finde det eksakte areal under parablen som et vægtet gennemsnit, hvor vi tildeler midtpunktstrapezet dobbelt så stor vægt som sekanttrapezet:

( )13 2simpson sekant midtpunktA A A= +

Indsættes arealformlen for et trapez, dvs. middelhøjde grundlinje, fås derfor:

( )( )

( )

2 13 2

16

2

4

simpson A C B

A B C

A y y AC y AC

y y y x

= + +

= + +

Sætning 3: Simpsons formel Hvis ( )f x er et polynomium af grad højst 2, så er integralet givet ved

( )16( ) ( ) 4 ( ) ( )

2

b

a

a bf x dx f a f f b b a

+ = + + −

parabel

A

r

S

T

b

B

c

a

C

Sekanttrapez

Midtpunktstrapez



Dette er netop den formel Simpson blev berømt for! Læg mærke til at strukturen for det vægtede gennemsnit er præcist det samme som i prismatoidformlen. Denne formel kan nemt udvides til en opdeling af grundlinjen for et integral i n lige store delintervaller med tilhørende midtpunkter, hvor den fører til approksimationsformlen

( )1 3 12 22

10 16( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ... 2 ( ) ( )

b

nna

b af x dx f x f x f x f x f x f x

n−

− + + + + + +

Men pointen er altså også at hvis bare f(x) er et polynomium af grad højst 2 følger det af Simpson sætning at ét interval med tilhørende midtpunkt er nok til at give den eksakte værdi af integralet! Bemærkning: I B-bogens kapitel 5 er der et projekt, hvor du kan læse mere om de forskellige simple summer, der bruges til approksimation af integraler. Simpson fortsætter nu sin undersøgelse af sin sumformel med at kigge på rumfang for omdrejningslegemer, hvor han specielt interesserer sig for rumfanget af kegler, kugler, ellipsoider eller omdrejningslegemer for de øvrige keglesnit:



Først bemærker han at rumfanget af et legeme altid kan opskrives som et integral af tværsnitsarealet

( )b

aV A x dx=

Dernæst bemærker han at tværsnitarealet for et omdrejningslegeme, hvor vi drejer grafen for f(x) omkring x-aksen, netop er det samme som arealet af en cirkel med radius f(x), dvs.

π ( )b

2

aV f x dx=

hvorfor rumfanget af omdrejningslegemet er det

samme som arealet under grafen for 2π ( )f x .

Men hvis grafen for ( )f x er en ret linje, dvs. ( )f x a x b= + , en cirkel, dvs. 2 2( )f x r x= − , en ellipse, dvs. 2

2( ) 1x

f x ba

= −

, en hyperbel

2

2( ) 1x

f x ba

= −

eller en vandret parabel ( )f x a x b= + , så er 2π ( )f x

netop et andengradspolynomium og vi kan derfor anvende Simpsons sætning på kegler, kugler, ellipsoider, hyperboloider og paraboloider, hvor vi drejer keglesnittene om en akse. I alle tilfældene fås derfor

( )16 a midt bV A A A L= + +

hvor L er udstrækningen af legemet, dvs. keglestubben, kugleafsnittet, … Men det er jo præcis den samme formel som prismatoidformlen! Prismatoidformlen gælder altså for

ethvert legeme, hvor tværsnitsarealet varierer som et polynomium af grad højst 2. Ja faktisk gælder Simpsons sætning også for tredjegradspolynomier, men det kan du læse mere om kapitel 7 om forbindelsen mellem integraler og summer. Sætning 4: Newton-Simpsons prismatoidformel

Hvis tværsnitsarealet A(x) af et legeme afgrænset af parallelle endeflader varierer som et polynomium af grad højst 3 som funktion af dybden x af snittet, så er rumfanget af legemet givet ved Newton-Simpsons formel:

( )11 26 midtV A A A L= + +

hvor 1A og 2A er arealerne af endefladerne, midtA er arealet af

midtertværsnittet og L er dybden af legemet målt vinkelret på endefladerne.

Øvelse 5 Gør rede for at Keplers tønderegel er et specialtilfælde af Newton-Simpsons formel. Øvelse 6

a) Pyramiden: Gør rede for at tværsnitsarealet for en pyramide varierer som kvadratet på dybden, hvorfor pyramiden opfylder forudsætningen i Newtons-Simpsons sætning. Gør også rede for at rumfanget af en pyramidestub følger af sætningen.

b) Prismatoiden: Vi lægger et 3d-koordinatsystem, så de parallelle endeflader er parallelle med y-z-planen og dybden måles langs x-aksen. Betragt et tværsnit af prismatodien. Gør rede for at hjørnernes y,z-koordinater i tværsnitspolygonen er lineære funktioner af dybden x. Gør rede for at arealet af tværsnitsarealet må være et andengradspolynomium i x. Vink: Find først en formel for arealet af en trekant udtrykt ved hjørnernes koordinater.

dV = A(x)∙dx

A(b)

A(x)

A(a)

a

x

b

x+dx

L

Amidt A2

A1



Øvelse 7

Kuglezone: Kugleudsnit: Kugleafsnit (kuglekalot):

( )2 2 216 π 3 3G TV r r h h= + + 22

3 πV R h= ( ) ( )2 2 21 16 3π 3 πGV r h h h R h= + = −

a) Gøre rede for at rumfangsformlerne for kuglezoner, kugleudsnit og kugleafsnit alle følger af prismatoidformlen. Den sidste formel blev benyttet i B-bogens kapitel 3 (polynomier), afsnit 2, Eksempel: Archimedes' undersøgelse af kugleafsnit, da den viser at rumfanget af et kugleafsnit som funktion af dybden h netop er et tredjegradspolynomium.

Øvelse 8

Omdrejningsparaboloide: Paraboloidestub:

212 πV r h= ( )2 21

2 G TV r r h= +

a) Gøre rede for at rumfangsformlerne for omdrejningsparaboloiden og paraboloidestubben begge følger af

prismatoidformlen (og endda af den forenklede formel ( )11 22V A A h= + !)

Øvelse 9

I B-bogen opgave 2.49 så vi på rumfanget af en tønde: Figuren viser en tønde, der har højden h og endefladediameter d, og hvis diameter på det bredeste sted er D. Tøndens rumfang V er

bestemt ved ( )2 234

π2

15

hV D dD d= + + .

a) Find tøndens rumfang ud fra Keplers tønderegel.

b) Antag at tønden er frembragt ved at dreje en ellipse omkring dens storeakse. Find konstanterne a og b i forskriften for

ellipsen 2

2( ) 1x

f x ba

= −

udtrykt ved d, D og h.

c) Gør rede for at tønden frembragt ved at dreje en ellipsoide opfylder forudsætningen i Newton-Simpsons sætning og find den tilhørende rumfangsformel for en ellipsetønde.

d) Antag i stedet at tønden er frembragt ved at dreje en parabel omkring en linje vinkelret på dens akse. Find

konstanterne a og c i forskriften for parablen 2( )g x c a x= − udtrykt ved d, D og h.



e) Gør rede for at den frembragte tønde ikke opfylder forudsætningen i Newton-Simpsons sætning. Benyt i

stedet integralformlen ( )b

aV A x dx= , hvor ( )A x er tværsnitsarealet, til at finde den tilhørende

rumfangsformlen for en parabeltønde.

f) Udtryk tøndens rumfang på formen indskreven cylinder ( )tøndeV V p x= , hvor x er forholdet mellem diamenteren i

bugen og diameteren i enden, dvs. D

xd

= . Bestem herved polynomiet ( )p x hørende til såvel ellipsetønden

og parabeltønden. Sammenlign de to polynomier.

Projekt 2.18 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons ... · støtter han sig især til den...

Documents

Transcript of Projekt 2.18 Stereometri-Keplers vintønder og Newtons ... · støtter han sig især til den...